Petr Hasil. Prvákoviny c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Petr Hasil. Prvákoviny c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57"

Transkript

1 Úvod do infinitezimálního počtu Petr Hasil Prvákoviny 2015 c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57

2 Obsah 1 Úvod Funkce Reálná čísla a posloupnosti Limita a spojitost funkce 2 Diferenciální počet Derivace Příklady 3 Integrální počet Neurčitý a určitý integrál Příklady c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57

3 Úvod Funkce Definice 1 Necht A, B R, f A B. Jestliže ke každému prvku a A existuje právě jeden prvek b B tak, že [a, b] f, pak relaci f nazýváme zobrazení množiny A do množiny B (f : A B). Množina A se nazývá definiční obor zobrazení f, značíme D(f ) = Dom(f ). Množinu H(f ) = Im(f ) = {b B : x D(f ) : f (x) = b} nazýváme obor hodnot zobrazení f. Zobrazení f nazýváme reálná funkce (reálná funce reálné proměnné). Píšeme y = f (x). x se nazývá nezávisle proměnná (argument) funkce f. y se nazývá závisle proměnná funkce f. Číslo f (x 0 ) R se nazývá funkční hodnota funkce f v bodě x 0. c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57

4 Úvod Funkce Poznámka Není-li definiční obor funkce zadán, jedná se o množinu všech x R pro která má daná funkce smysl. Příklad 1 Definiční obor funkce f (x) = 1 x 1 je D(f ) = R \ {1}. Definiční obor funkce g(x) = x je D(g) = (, 0]. c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57

5 Úvod Reálná čísla a posloupnosti Definice 2 (Rozšířená množina reálných čísel) Rozšířenou množinou reálných čísel R rozumíme množinu reálných čísel R rozšířenou o body a +, tj R = R {, + }. Body ± nazýváme nevlastní body, zatímco body množiny R nazýváme vlastní body. c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57

6 Úvod Reálná čísla a posloupnosti Definice 3 Posloupnost reálných čísel je zobrazení, jehož definičním oborem je množina N a oborem hodnot množina R, tj. a: N R, většinou místo a(n) píšeme a n. Příklad 2 a n = 1 n = {1, 1 2, 1 3,... } {a n } n=1, a n = vzorec pro a n a n = n sin(n π 2 ) {1, 0, 3, 0, 5, 0, 7,... } a n = {1, 1, 2, 1, 2, 3, 1, 2, 3, 4,... } c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57

7 Úvod Reálná čísla a posloupnosti Definice 4 (Limita posloupnosti) Řekneme, že posloupnost a n konverguje k číslu a R, píšeme lim n a n = a, jestliže ke ε > 0 n 0 N: pro n n 0 platí a n a < ε, tj. a n (a ε, a + ε). Řekneme, že posloupnost a n diverguje k + ( ), píšeme lim n a n = + ( ), jestliže ke A R n 0 N takové, že pro n n 0 je a n > A (a n < A). Jestliže posloupnost nekonverguje ani nediverguje, řekneme, že osciluje. c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57

8 Úvod Reálná čísla a posloupnosti Definice 5 (Okoĺı bodu) Libovolný otevřený interval I R obsahující bod x 0 R nazýváme okoĺı bodu x 0 a značíme jej O(x 0 ). Definice 6 (Okoĺı ± ) Necht A R je libovolné. Interval (A, ), resp. (, A), nazýváme okoĺı +, resp.. c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57

9 Úvod Reálná čísla a posloupnosti Speciální typy okoĺı bodu δ-okoĺı bodu x 0 O δ (x 0 ) = (x 0 δ, x 0 + δ). Prstencové (ryzí) δ-okoĺı bodu x 0 P δ (x 0 ) = O δ (x 0 ) \ {x 0 } = (x 0 δ, x 0 ) (x 0, x 0 + δ). Levé a pravé δ-okoĺı bodu x 0 O δ (x 0) = (x 0 δ, x 0 ], O + δ (x 0) = [x 0, x 0 + δ). Levé a pravé prstencové δ-okoĺı bodu x 0 P δ (x 0) = (x 0 δ, x 0 ), P + δ (x 0) = (x 0, x 0 + δ). c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57

10 Úvod Reálná čísla a posloupnosti Definice limity posloupnosti pomocí okoĺı bodu Příklad 3 lim a n = a R : O(a) n 0 N n n 0 : a n O(a). n Limita posloupnosti a n = ( 1) n 1 neexistuje. c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57

11 Úvod Limita a spojitost funkce Motivace: Příklad 4 f (x) = x 2 + x 2, 1 D(f ) x 1 x 2 + x 2 (x + 2)(x 1) lim = lim = lim (x + 2) = 3 x 1 x 1 x 1 x 1 x 1 Příklad 5 g(x) = { x 2 x 0 1 x = 0 lim g(x) = 0 x 0 c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57

12 Úvod Limita a spojitost funkce Definice 7 (Limita) Řekneme, že funkce f má v bodě x 0 R limitu rovnu L R, jestliže ε > 0 δ > 0 takové, že pro x (x 0 δ, x 0 + δ) {x 0 } platí f (x) L < ε. Píšeme lim x x 0 f (x) = L. Definice 8 (Limita pomocí okoĺı) O ε (L) O δ (x 0 ) : x P δ (x 0 ) f (x) O ε (L). Poznámka Limita funkce nezávisí na funkční hodnotě f (x 0 ) (ta nemusí být dokonce ani definována). c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57

13 Úvod Limita a spojitost funkce Nepřesně, ale ilustrativně: Je-li x bĺızko x 0, pak je f (x) bĺızko L. c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57

14 Úvod Limita a spojitost funkce Definice 9 (Limita, nevlastní limita, limita v nevlastním bodě) Necht x 0, L R. Jestliže ke každému O(L) existuje P(x 0 ) takové, že pro každé x P(x 0 ) platí f (x) O(L), pak řekneme, že lim x x0 f (x) = L. Příklad 6 Např. pro x 0 =, L = máme lim f (x) =, tj. x A R B R : x < B je f (x) > A. Příklad 7 Limita lim x sin x neexistuje. c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57

15 Úvod Limita a spojitost funkce Obr.: Nevlastní limita c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57

16 Úvod Limita a spojitost funkce Obr.: Limita v nevlastním bodě c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57

17 Úvod Limita a spojitost funkce Definice 10 (Jednostranná limita) Limitu zprava lim x x + 0 f (x) = L definujeme takto O(L) P + (x 0 ) : x P + (x 0 ) je f (x) O(L). Limitu zleva definujeme analogicky. (x 0, x 0 + δ) x R P + (x 0 ) = (, B) x = nemá smysl x = c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57

18 Úvod Limita a spojitost funkce c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57

19 Úvod Limita a spojitost funkce Není-li možné číslo do funkce dosadit jinak než limitně, můžeme představu o limitním chování funkce získat i empiricky a to dosazováním bĺızkých čísel. Podívejme se na chování funkce sin x x pro x 0 +. x 1 0, 1 0, 01 0, 001 0, 0001 sin x x 0, , , , , Z tabulky vidíme, že hodnoty se bĺıží jedničce. A skutečně lim x 0 + sin x x = 1. c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57

20 Úvod POZOR nejde o neprůstřelnou metodu: Limita a spojitost funkce x 1 0, 1 0, 01 0, 001 0, 0001 sin π x Přitom lim x 0 + sin π x neexistuje. (Zkuste dosazovat náhodná čísla bĺıžící se k nule zprava.. Např. sin = 0, ) π 0,003 c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57

21 Úvod Limita a spojitost funkce Definice 11 (Spojitost v bodě) Řekneme, že funkce f je spojitá v bodě x 0 D(f ), jestliže lim x x0 f (x) existuje a je rovna f (x 0 ), tj. ε > 0 δ > 0 : x O δ (x 0 ) platí f (x) O ε (f (x 0 )). Řekneme, že funkce f je spojitá v bodě x 0 zprava (zleva), je-li ( ) lim x x + 0 f (x) = f (x 0 ) lim x x 0 f (x) = f (x 0 ). c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57

22 Úvod Limita a spojitost funkce Definice 12 (Spojitost na intervalu) Řekneme, že funkce f je spojitá na otevřeném intervalu (a, b), je-li spojitá v každém x (a, b). Řekneme, že funkce f je spojitá na uzavřeném intervalu [a, b], je-li spojitá na otevřeném intervalu (a, b) a v bodech a (b) je spojitá zprava (zleva). c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57

23 Úvod Limita a spojitost funkce Příklad 8 { 0 x Q Dirichletova funkce χ(x) = není spojitá v žádném bodě 1 x I (lim x x0 χ(x) neexistuje libovolně malé okoĺı obsahuje 1 i 0). Příklad 9 Funkce f (x) = x χ(x) je spojitá v bodě x 0 = 0 a není spojitá v žádném jiném bodě. lim x x 0 }{{} χ(x) = 0 }{{} 0 ohraničená c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57

24 Úvod Limita a spojitost funkce Poznámka Představa, že funkce je spojitá jestliže se nepřetrhne platí, ale je zavádějící. Např. funkce f (x) = x(x 1)(x 2)χ(x) je spojitá v bodech 0, 1 a 2. c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57

25 Diferenciální počet Derivace Definice 13 (Derivace funkce f v bodě) Necht x 0 je vnitřním bodem D(f ). Jestliže existuje limita f (x) f (x 0 ) lim x x 0 x x 0 nazýváme tuto limitu derivací funkce f v bodě x 0, píšeme f (x 0 ). Poznámka f (x) f (x Je-li limita lim 0 ) x x0 x x 0 R řekneme, že funkce f má v bodě x 0 vlastní derivaci. f (x) f (x Je-li limita lim 0 ) x x0 x x 0 = ± řekneme, že funkce f má v bodě x 0 nevlastní derivaci + nebo. c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57

26 Diferenciální počet Derivace Definice 14 (Derivace funkce) Má-li funkce f derivaci v každém bodě intervalu I D(f ), pak se funkce x f (x) nazývá derivace funkce f a značí se f. Definice 15 (Derivace zprava / zleva) f +(x 0 ) = lim x x + 0 f (x) f (x 0 ) x x 0, f (x 0 ) = lim x x 0 f (x) f (x 0 ) x x 0 Poznámka Zavedením h jako x = x 0 + h získáme f f (x + h) f (x) (x 0 ) = lim. h 0 h c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57

27 Diferenciální počet Derivace Geometrický význam derivace Sečna grafu funkce f procházející body [x 0, f (x 0 )] a [x 0 + h, f (x 0 + h)] má směrnici tg ϕ = f (x 0 + h) f (x 0 ). h Jestliže se s bodem x 0 + h bĺıžíme k bodu x 0 (tj. provádíme limitní přechod h 0), přejde tato sečna v tečnu v bodě [x 0, f (x 0 )]. Směrnice tečny ke grafu funkce f v bodě x 0 je tedy lim h 0 f (x 0 + h) f (x 0 ), h což je přesně derivace funkce f v bodě x 0. c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57

28 Diferenciální počet Derivace c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57

29 Diferenciální počet Derivace Věta 1 Má-li funkce v bodě x 0 derivaci (vlastní), pak je v tomto bodě spojitá. Důkaz. lim (f (x) f (x 0 )) = lim (x x 0 ) f (x) f (x 0) = x x 0 x x0 x x 0 f (x) f (x 0 ) lim (x x 0 ) lim = 0. x x } 0 x x0 x x {{}}{{ 0 } 0 číslo R c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57

30 Diferenciální počet Derivace Poznámka Opačné tvrzení neplatí ze spojitosti neplyne existence derivace. Např. funkce f (x) = x je spojitá na celém R, ale v x 0 = 0 nemá derivaci. c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57

31 Diferenciální počet Derivace Poznámka Bolzano a Weierstrass sestrojili funkci, která je spojitá v každém bodě, ale v žádném nemá derivaci. f n (x) = 1 n cos (n2 x), g n (x) = f 1 (x) + + f n (x) Pro n je g n spojitá ( hustá, roztřesená čára ). c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57

32 Diferenciální počet Derivace g 5 (x) = 5 i=1 1 i cos (i 2 x) c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57

33 Diferenciální počet Příklady Příklad 10 Jak rychle klesá voda ve válcové nádrži, jestliže vytéká rychlostí 3000 l/min? c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57

34 Diferenciální počet Příklady Označme r poloměr nádrže [m], h(t) výšku vody v nádrži [m], t čas [min], V (t) objem vody v nádrži [m 3 ]. Víme, že V (t) = 3000 l/min, tj. V (t) = 3 m 3 /min (objem se zmenšuje, jeho derivace je tedy záporná). Hledáme h (t). Z rovnice pro objem válce určíme derivováním podle t V (t) = π r 2 h(t) V (t) = π r 2 h (t), tj. h (t) = V (t) π r 2 = 3 π r 2. Voda tedy klesá (protože je derivace objemu záporná) rychlostí 3/(π r 2 ) m/min. Pro malé r bude voda klesat rychle, pro velké r bude voda klesat pomalu. Např. pro r = 10 cm, tj. r = 0.1 m, je h (t) = 300/π = 95 m/min, naproti tomu pro r = 10 m je h (t) = 3/(100 π) = m/min, tj. h (t) = 9.5 mm/min. c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57

35 Diferenciální počet Příklady Příklad 11 Horkovzdušný balón stoupá kolmo vzhůru. Je zachycen radarem, který je 500 metrů od místa vzletu a který v té chvíli udává elevační úhel π 4, přičemž úhel roste rychlostí 0.14 rad/min. Jak rychle v tomto okamžiku balón stoupá? c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57

36 Diferenciální počet Příklady Označme t čas [min], h(t) výška balónu nad zemí [m], ϕ(t) vertikální elevační úhel radaru [rad]. Potom víme, že ϕ (t) = 0.14 rad/min, když je ϕ = π 4. Hledáme h (t) pro ϕ = π 4. Z pravoúhlého trojúhelníka vidíme, že Derivováním podle t určíme tj. v uvedeném okamžiku je tg ϕ(t) = h(t), tj. h(t) = 500 tg ϕ(t). 500 h (t) = 500 h (t) = cos 2 ϕ(t) ϕ (t), 1 cos 2 π (0.14) = 140 m/min. 4 V daném okamžiku stoupá balón rychlostí 140 m/min. c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57

37 Diferenciální počet Příklady Příklad 12 Policejní auto sleduje auto lupičů. Přijíždí k pravoúhlé křižovatce ze severu, přičemž auto lupičů již ujíždí od křižovatky na východ. Když je policejní auto 0.6 km od křižovatky a auto lupičů 0.8 km od křižovatky, udává radar v policejním autě, že se auto lupičů vzdaluje od jejich auta rychlostí 40 km/h. Policejní auto jede v té chvíli rychlostí 120 km/h. Určete rychlost auta lupičů v tomto okamžiku. c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57

38 Diferenciální počet Příklady Označme x(t) pozici auta lupičů (vodorovně) [km], y(t) pozici policejního auta (svisle) [km], t čas [h], s(t) vzdušnou vzdálenost mezi auty [km]. Potom víme, že s (t) = 40 km/h pro x = 0.8 km a y = 0.6 km a y (t) = 120 km/h (policejní auto se ke křižovatce přibližuje, proto je derivace jejich pozice y(t) záporná). Hledáme x (t) v témže okamžiku. Z rovnice s 2 (t) = x 2 (t) + y 2 (t) obdržíme derivováním podle t 2 s(t) s (t) = 2 x(t) x (t)+2 y(t) y (t), tj. x (t) = s(t) s (t) y(t) y (t). x(t) Dosazením údajů pro daný okamžik dostaneme (0.6) x (t) = 2 + (0.8) 2 40 (0.6) ( 120) = 140 km/h. 0.8 Auto lupičů ujíždí v daném okamžiku od křižovatky rychlostí 140 km/h. c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57

39 Integrální počet Neurčitý a určitý integrál Definice 16 Řekneme, že funkce F je na intervalu I primitivní funkcí k funkci f, jestliže F (x) = f (x), x I. c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57

40 Integrální počet Neurčitý a určitý integrál Věta 2 Jsou-li funkce F a G primitivní funkce k funkci f na intervalu I, pak existuje konstanta c R taková, že G = F + c. Důkaz. F (x) = f (x), G (x) = f (x) (F (x) G(x) ) = 0 na I }{{} spojitá funkce F (x) G(x) = c R. c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57

41 Integrální počet Neurčitý a určitý integrál Definice 17 Množina primitivních funkcí k funkci f se nazývá neurčitý integrál funkce f a značí se f (x)dx. c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57

42 Integrální počet Neurčitý a určitý integrál Naším cílem nyní bude výpočet plochy podgrafu dané (nezáporné) funkce f. Podgraf = { [x, y] R 2 : x [a, b], 0 y f (x) }. c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57

43 Integrální počet Neurčitý a určitý integrál Definice 18 Necht D = {x 0, x 1,..., x n } je dělení intervalu [a, b] a ξ i [x i 1, x i ]. Pak K = {ξ 1,..., ξ n } se nazývá výběr reprezentantů dělení D a součet n f (ξ i )(x i x i 1 ) =: S(D, f, K) i=1 se nazývá integrální součet funkce f příslušný dělení D a výběru reprezentantů K. c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57

44 Integrální počet Neurčitý a určitý integrál Věta 3 Necht funkce f je integrovatelná na intervalu [a, b] a D n je libovolná nulová posloupnost dělení tohoto intervalu. Pak pro každý výběr reprezentantů K n dělení D n platí b lim S(D n, f, K n ) = f (x)dx. n a c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57

45 Integrální počet Neurčitý a určitý integrál Věta 4 (Newtonův-Leibnitzův vzorec) Necht funkce f je integrovatelná na intervalu [a, b], funkce F je spojitá na [a, b] a na (a, b) je primitivní funkcí k f, tj. F = f na (a, b). Pak platí b a f (x)dx = F (b) F (a). c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57

46 Integrální počet Příklady Příklad [ x x 2 3 dx = 3 ] 5 2 = 53 3 ( 2)3 3 = c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57

47 Integrální počet Příklady Objem a povrch pláště rotačního tělesa (rotace nezáporné funkce f kolem osy x na intervalu [a, b]). b b P = 2π f (x) 1 + f 2 (x)dx, V = π f 2 (x)dx. a a c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57

48 Integrální počet Příklady Vzorec pro objem rotačního tělesa plyne přímo z konstrukce integrálu. Uvažujme dělení intervalu [a, b], v každém dílku zvoĺıme reprezentanta ξ i. Tím obdržíme obdélník daný délkou dílku a funkční hodnotou v příslušném reprezentantu. Rotujeme-li tento obdélník kolem osy x, vytvoří válec o poloměru f (ξ i ) a výšce x i x i 1. Součet všech objemů přejde pro nulovou posloupnost dělení v objem uvažovaného rotačního tělesa. V n i=1 b πf 2 (ξ i )(x i x i 1 ) = S(D, πf 2, K) π f 2 (x)dx = V a Podobně lze odvodit vzorec pro povrch pláště nahradíme-li křivku za lomenou čáru, objekt snadno rozděĺıme na sadu komolých kuželů. Součet povrchů pláště těchto kuželů se pro nulové dělení bĺıží k povrchu pláště daného tělesa. c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57

49 Integrální počet Příklady Příklad 14 Vypočtěte povrch koule o poloměru R. R P = 2 2π 0 R 2 x 2 R R R 2 x dx = 4πR dx = 4πR c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57

50 Integrální počet Příklady Příklad 15 Určete objem tělesa vzniklého rotací plochy omezené grafy funkcí f (x) = x a g(x) = x + 3 kolem osy x. 2 V = π = π = π =... = π. 2 g 2 (x)dx π f 2 (x)dx 1 (x + 3) 2 (x 2 + 1) 2 dx 8 + 6x x 2 x 4 dx c Petr Hasil (MUNI) Úvod do infinitezimálního počtu Prvákoviny / 57

Funkce a limita. Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)

Funkce a limita. Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) Funkce a limita Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu

Více

Limita posloupnosti a funkce

Limita posloupnosti a funkce Limita posloupnosti a funkce Petr Hasil Přednáška z Matematické analýzy I c Petr Hasil (MUNI) Limita posloupnosti a funkce MA I (M1101) 1 / 90 Obsah 1 Posloupnosti reálných čísel Úvod Limita posloupnosti

Více

Úvodní informace. 17. února 2018

Úvodní informace. 17. února 2018 Úvodní informace Funkce více proměnných Přednáška první 17. února 2018 Obsah 1 Úvodní informace. 2 Funkce více proměnných Definiční obor Limita a spojitost Derivace, diferencovatelnost, diferenciál Úvodní

Více

Derivace funkce. Obsah. Aplikovaná matematika I. Isaac Newton. Mendelu Brno. 2 Derivace a její geometrický význam. 3 Definice derivace

Derivace funkce. Obsah. Aplikovaná matematika I. Isaac Newton. Mendelu Brno. 2 Derivace a její geometrický význam. 3 Definice derivace Derivace funkce Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Směrnice přímk Derivace a její geometrický význam 3 Definice derivace 4 Pravidla a vzorce pro derivování 5 Tečna a normála 6 Derivace

Více

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer

Derivace funkce. Přednáška MATEMATIKA č Jiří Neubauer Přednáška MATEMATIKA č. 9-11 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Šotová, J., Doudová, L. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Motivační příklady

Více

Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si zopakovat a orientovat se v pojmech: funkce, D(f), g 2 : y =

Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si zopakovat a orientovat se v pojmech: funkce, D(f), g 2 : y = 0.1 Diferenciální počet Je částí infinitezimálního počtu, což je souhrnný název pro diferenciální a integrální počet. Je založen na pojmu derivace funkce a její užití. Z předchozího studia je třeba si

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Limita a spojitost funkce Základ všší matematik Dana Říhová Mendelu Brno Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplin společného základu

Více

Kapitola 2: Spojitost a limita funkce 1/20

Kapitola 2: Spojitost a limita funkce 1/20 Kapitola 2: Spojitost a limita funkce 1/20 Okolí bodu 2/20 Značení: a R, ε > 0 O ε (a) = (a ε, a + ε) ε-ové okolí bodu a O + ε (a) = a, a + ε) pravé okolí, O ε (a) = (a ε, a levé okolí P ε (a) = O ε (a)

Více

Derivace. Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)

Derivace. Petr Hasil. Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021)

Více

Limita a spojitost LDF MENDELU

Limita a spojitost LDF MENDELU Limita a spojitost Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného základu

Více

Parciální derivace a diferenciál

Parciální derivace a diferenciál Parciální derivace a diferenciál Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

1 LIMITA FUNKCE Definice funkce. Pravidlo f, které každému x z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné x.

1 LIMITA FUNKCE Definice funkce. Pravidlo f, které každému x z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné x. 1 LIMITA FUNKCE 1. 1 Definice funkce Pravidlo f, které každému z množiny D přiřazuje právě jedno y z množiny H se nazývá funkce proměnné. Píšeme y f ( ) Někdy používáme i jiná písmena argument (nezávisle

Více

Derivace a monotónnost funkce

Derivace a monotónnost funkce Derivace a monotónnost funkce Věta : Uvažujme funkci f (x), která má na intervalu I derivaci f (x). Pak platí: je-li f (x) > 0 x I, funkce f je na intervalu I rostoucí. je-li f (x) < 0 x I, funkce f je

Více

Posloupnosti a řady. 28. listopadu 2015

Posloupnosti a řady. 28. listopadu 2015 Posloupnosti a řady Přednáška 5 28. listopadu 205 Obsah Posloupnosti 2 Věty o limitách 3 Řady 4 Kritéria konvergence 5 Absolutní a relativní konvergence 6 Operace s řadami 7 Mocninné a Taylorovy řady Zdroj

Více

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015

Funkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015 Funkce jedné reálné proměnné Derivace Přednáška 2 15. října 2015 Obsah 1 Funkce 2 Limita a spojitost funkce 3 Derivace 4 Průběh funkce Informace Literatura v elektronické verzi (odkazy ze STAGu): 1 Lineární

Více

Parciální derivace a diferenciál

Parciální derivace a diferenciál Parciální derivace a diferenciál Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

Aplikace derivace a průběh funkce

Aplikace derivace a průběh funkce Aplikace derivace a průběh funkce Petr Hasil Přednáška z matematiky Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny společného

Více

Zavedeme-li souřadnicový systém {0, x, y, z}, pak můžeme křivku definovat pomocí vektorové funkce.

Zavedeme-li souřadnicový systém {0, x, y, z}, pak můžeme křivku definovat pomocí vektorové funkce. KŘIVKY Křivka = dráha pohybujícího se bodu = = množina nekonečného počtu bodů, které závisí na parametru (čase). Proto můžeme křivku také nazvat jednoparametrickou množinou bodů. Zavedeme-li souřadnicový

Více

Zobecněný Riemannův integrál

Zobecněný Riemannův integrál Zobecněný Riemannův integrál Definice (Zobecněný Riemannův integrál). Buď,,. Nechť pro všechna existuje určitý Riemannův integrál. Pokud existuje konečná limita, říkáme, že zobecněný Riemannův integrál

Více

2 Fyzikální aplikace. Předpokládejme, že f (x 0 ) existuje. Je-li f (x 0 ) vlastní, pak rovnice tečny ke grafu funkce f v bodě [x 0, f(x 0 )] je

2 Fyzikální aplikace. Předpokládejme, že f (x 0 ) existuje. Je-li f (x 0 ) vlastní, pak rovnice tečny ke grafu funkce f v bodě [x 0, f(x 0 )] je Derivace funkce a jej geometrický význam Je dána funkce f) 3 6 + 9 + a naším úkolem je určit směrnici tečny v bodě [; f)] Pro libovolné lze směrnici sečny danou body [; f)] a [; f)] spočítat jako f) f)

Více

Limita posloupnosti, limita funkce, spojitost. May 26, 2018

Limita posloupnosti, limita funkce, spojitost. May 26, 2018 Limita posloupnosti, limita funkce, spojitost May 26, 2018 Definice (Okolí bodu) Okolím bodu a R (také ε- okolím) rozumíme množinu U(a, ε) = {x R; x a < ε} = (a ε, a + ε), bod a se nazývá střed okolí a

Více

Matematika I (KX001) Užití derivace v geometrii, ve fyzice 3. října f (x 0 ) (x x 0) Je-li f (x 0 ) = 0, tečna: x = 3, normála: y = 0

Matematika I (KX001) Užití derivace v geometrii, ve fyzice 3. října f (x 0 ) (x x 0) Je-li f (x 0 ) = 0, tečna: x = 3, normála: y = 0 Rovnice tečny a normály Geometrický význam derivace funkce f(x) v bodě x 0 : f (x 0 ) = k t k t je směrnice tečny v bodě [x 0, y 0 = f(x 0 )] Tečna je přímka t : y = k t x + q, tj y = f (x 0 ) x + q; pokud

Více

Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky

Matematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky Matematika III Řady Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská Ústav matematiky Přednášky ZS 202-203 Obsah Číselné řady. Součet nekonečné řady. Kritéria konvergence 2 Funkční řady. Bodová konvergence.

Více

Označení derivace čárkami, resp. římskými číslicemi, volíme při nižším řádu derivace, jinak užíváme horní index v závorce f (5), f (6),... x c g (x).

Označení derivace čárkami, resp. římskými číslicemi, volíme při nižším řádu derivace, jinak užíváme horní index v závorce f (5), f (6),... x c g (x). 9 Využití derivace 9.1 Derivace vyšších řádů Definice 1. Nechť funkce má derivaci v nějakém okolí bodu c D(f). Nechť funkce ϕ() =f () máderivacivboděc. Pak hodnotu ϕ (c) nazýváme derivací 2. řádu (2. derivací)

Více

Matematika 1. 1 Derivace. 2 Vlastnosti a použití. 3. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 16

Matematika 1. 1 Derivace. 2 Vlastnosti a použití. 3. přednáška ( ) Matematika 1 1 / 16 Matematika 1 3. přednáška 1 Derivace 2 Vlastnosti a použití 3. přednáška 6.10.2009) Matematika 1 1 / 16 1. zápočtový test již během 2 týdnů. Je nutné se něj registrovat přes webové rozhraní na https://amos.fsv.cvut.cz.

Více

Diferenciální počet - II. část (Taylorův polynom, L Hospitalovo pravidlo, extrémy

Diferenciální počet - II. část (Taylorův polynom, L Hospitalovo pravidlo, extrémy Diferenciální počet - II. část (Taylorův polynom, L Hospitalovo pravidlo, extrémy funkcí, průběh funkce) Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 5. přednáška z AMA1 Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz)

Více

Diferenciální rovnice a jejich aplikace. (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36

Diferenciální rovnice a jejich aplikace. (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36 Diferenciální rovnice a jejich aplikace Zdeněk Kadeřábek (Brkos 2011) Diferenciální rovnice a jejich aplikace 1 / 36 Obsah 1 Co to je derivace? 2 Diferenciální rovnice 3 Systémy diferenciálních rovnic

Více

Dodatek 2: Funkce dvou proměnných 1/9

Dodatek 2: Funkce dvou proměnných 1/9 Dodatek 2: Funkce dvou proměnných 1/9 2/9 Funkce dvou proměnných Definice: Reálnou funkcí dvou reálných proměnných, definovanou na množině M R 2, rozumíme předpis f, který každé uspořádané dvojici reálných

Více

Spojitost a limita funkce

Spojitost a limita funkce Spojitost a ita funkce Okolí bodu Značení: a R ε > 0 označujeme O ε (a) = (a ε, a + ε) ε-ové okolí bodu a O + ε (a) = a, a + ε) pravé okolí, O ε (a) = (a ε, a levé okolí P ε (a) = O ε (a) \ {a} x a ε-ové

Více

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014 Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičení Zimní semestr akademického roku 24/25 2. prosince 24 Předmluva iii

Více

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 Matematika I A ukázkový test 1 pro 2014/2015 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a a) Napište Frobeniovu větu (existence i počet řešení). b)

Více

Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné

Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné Přednáška 4 Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné V několika následujících přednáškách budeme studovat zobrazení jedné reálné proměnné f : X Y, kde X R a Y R k. Protože pro každé

Více

2. LIMITA A SPOJITOST FUNKCE

2. LIMITA A SPOJITOST FUNKCE . LIMITA A SPOJITOST FUNKCE Průvodce studiem Funkce y = je definována pro ( ) (>. Z grafu funkce (obr. 3) a z tabulky (a) je vidět že čím více se hodnoty blíží k -3 tím více se funkční hodnoty blíží ke

Více

DERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO

DERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA DERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakult MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

PRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim.

PRIMITIVNÍ FUNKCE. Primitivní funkce primitivní funkce. geometrický popis integrály 1 integrály 2 spojité funkce konstrukce prim. PRIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí

Více

IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel

IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel Matematická analýza IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel na množině R je definováno: velikost (absolutní hodnota), uspořádání, aritmetické operace; znázornění:

Více

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost.

Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Euklidovský prostor. Funkce dvou proměnných: základní pojmy, limita a spojitost. Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a

Více

Pavlína Matysová. 5. listopadu 2018

Pavlína Matysová. 5. listopadu 2018 Soubor řešených úloh Vyšetřování průběhu funkce Pavlína Matysová 5. listopadu 018 1 Soubor řešených úloh Tento text obsahuje 7 úloh na téma vyšetřování průběhu funkce. Každé úloha je řešena dvěma způsoby

Více

Limita a spojitost funkce

Limita a spojitost funkce Přednáška 5 Limita a spojitost funkce V této přednášce se konečně dostaneme k diferenciálnímu počtu funkce jedné reálné proměnné. Diferenciální počet se v podstatě zabývá lokálním chováním funkce v daném

Více

1 Topologie roviny a prostoru

1 Topologie roviny a prostoru 1 Topologie roviny a prostoru 1.1 Základní pojmy množin Intervaly a okolí Intervaly v rovině nebo prostoru jsou obdélníky nebo hranoly se stranami rovnoběžnými s osami souřadnic. Podmnožiny intervalů se

Více

Matematická analýza 1, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, )

Matematická analýza 1, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, ) Matematická analýza, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, 6.. 7) Reálná čísla. Určete maximum, minimum, supremum a infimum následujících množin: Z; b) M = (, ), 5 ; c) M =, Q; d) M = { + n : n N}; e)

Více

PRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE

PRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE PIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí

Více

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a

Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a Matematika I A ukázkový test 1 pro 2011/2012 1. Je dána soustava rovnic s parametrem a R x y + z = 1 a) Napište Frobeniovu větu. x + y + 3z = 1 (2a 1)x + (a + 1)y + z = 1 a b) Vyšetřete počet řešení soustavy

Více

Matematická analýza pro informatiky I. Derivace funkce

Matematická analýza pro informatiky I. Derivace funkce Matematická analýza pro informatiky I. 7. přednáška Derivace funkce Jan Tomeček tomecek@inf.upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 31. března 2011 Jan Tomeček, tomecek@inf.upol.cz

Více

Diferenciální počet funkcí jedné proměnné

Diferenciální počet funkcí jedné proměnné Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 1 4. Derivace funkce 4.3. Průběh funkce 2 Pro přesné určení průběhu grafu funkce je třeba určit bližší vlastnosti funkce. Monotónnost funkce Funkce monotónní =

Více

Matematická analýza III.

Matematická analýza III. 1. - limita, spojitost Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Úvod Co bychom měli znát limity posloupností v R základní vlastnosti funkcí jedné proměnné (definiční obor, monotónnost, omezenost,... )

Více

PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI

PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI 2.1 Zobrazení 2 Definice 1. Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Zobrazení množiny A do množiny B je definováno jako množina F uspořádaných dvojic (x, y A B, kde ke každému

Více

Petr Hasil. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 1 / 183

Petr Hasil. c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 1 / 183 Nekonečné řady Petr Hasil Přednáška z Matematické analýzy III c Petr Hasil (MUNI) Nekonečné řady MA III (M3100) 1 / 183 Obsah 1 Nekonečné číselné řady Základní pojmy Řady s nezápornými členy Řady s libovolnými

Více

Matematická analýza III.

Matematická analýza III. 2. Parciální derivace Miroslav Hušek, Lucie Loukotová UJEP 2010 Parciální derivace jsou zobecněním derivace funkce jedné proměnné. V této kapitole poznáme jejich základní vlastnosti a využití. Co bychom

Více

Matematika (KMI/PMATE)

Matematika (KMI/PMATE) Matematika (KMI/PMATE) Přednáška druhá aneb Úvod do matematické analýzy Limita a spojitost funkce Matematika (KMI/PMATE) 1 / 30 Osnova přednášky lineární funkce y = kx + q definice lineární funkce význam

Více

DERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO

DERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO MENDELOVA UNIVERZITA V BRNĚ LDF MT MATEMATIKA DERIVACE FUNKCE, L HOSPITALOVO PRAVIDLO Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem

Více

Michal Fusek. 10. přednáška z AMA1. Ústav matematiky FEKT VUT, Michal Fusek 1 / 62

Michal Fusek. 10. přednáška z AMA1. Ústav matematiky FEKT VUT, Michal Fusek 1 / 62 Nekonečné řady Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 0. přednáška z AMA Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) / 62 Obsah Nekonečné číselné řady a určování jejich součtů 2 Kritéria

Více

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech

Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení

Více

Drsná matematika III 1. přednáška Funkce více proměnných: křivky, směrové derivace, diferenciál

Drsná matematika III 1. přednáška Funkce více proměnných: křivky, směrové derivace, diferenciál Drsná matematika III 1. přednáška Funkce více proměnných: křivky, směrové derivace, diferenciál Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 16. 9. 2008 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Funkce a

Více

Funkce v ıce promˇ enn ych Extr emy Pˇredn aˇska p at a 12.bˇrezna 2018

Funkce v ıce promˇ enn ych Extr emy Pˇredn aˇska p at a 12.bˇrezna 2018 Funkce více proměnných Extrémy Přednáška pátá 12.března 2018 Zdroje informací Diferenciální počet http://homen.vsb.cz/~kre40/esfmat2/fceviceprom.html http://www.studopory.vsb.cz/studijnimaterialy/sbirka_uloh/pdf/7.pdf

Více

Matematika 5 FSV UK, ZS Miroslav Zelený

Matematika 5 FSV UK, ZS Miroslav Zelený Matematika 5 FSV UK, ZS 2018-19 Miroslav Zelený 1. Stabilita řešení soustav diferenciálních rovnic 2. Úvod do variačního počtu 3. Globální extrémy 4. Teorie optimálního řízení 5. Různé 1. Stabilita řešení

Více

Numerické metody a statistika

Numerické metody a statistika Numerické metody a statistika Radek Kučera VŠB-TU Ostrava 016-017 ( ) Numerické metody a statistika 016-017 1 / Numerické integrování ( ) Numerické metody a statistika 016-017 / Geometrický význam integrálu

Více

Integrální počet - III. část (určitý vlastní integrál)

Integrální počet - III. část (určitý vlastní integrál) Integrální počet - III. část (určitý vlstní integrál) Michl Fusek Ústv mtemtiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 8. přednášk z AMA1 Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 18 Obsh 1 Určitý vlstní (Riemnnův)

Více

Omezenost funkce. Definice. (shora, zdola) omezená na množině M D(f ) tuto vlastnost. nazývá se (shora, zdola) omezená tuto vlastnost má množina

Omezenost funkce. Definice. (shora, zdola) omezená na množině M D(f ) tuto vlastnost. nazývá se (shora, zdola) omezená tuto vlastnost má množina Přednáška č. 5 Vlastnosti funkcí Jiří Fišer 22. října 2007 Jiří Fišer (KMA, PřF UP Olomouc) KMA MMAN1 Přednáška č. 4 22. října 2007 1 / 1 Omezenost funkce Definice Funkce f se nazývá (shora, zdola) omezená

Více

Limita a spojitost funkce. 3.1 Úvod. Definice: [MA1-18:P3.1]

Limita a spojitost funkce. 3.1 Úvod. Definice: [MA1-18:P3.1] KAPITOLA 3: Limita a spojitost funkce [MA-8:P3.] 3. Úvod Necht je funkce f definována alespoň na nějakém prstencovém okolí bodu 0 R. Číslo a R je itou funkce f v bodě 0, jestliže pro každé okolí Ua) bodu

Více

Kapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14

Kapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14 Kapitola 10: Diferenciální rovnice 1/14 Co je to diferenciální rovnice? Definice: Diferenciální rovnice je vztah mezi hledanou funkcí y(x), jejími derivacemi y (x), y (x), y (x),... a nezávisle proměnnou

Více

Přednáška 11, 12. prosince Část 5: derivace funkce

Přednáška 11, 12. prosince Část 5: derivace funkce Přednáška 11, 12. prosince 2014 Závěrem pasáže o spojitých funkcích zmíníme jejich podtřídu, lipschitzovské funkce, nazvané podle německého matematika Rudolfa Lipschitze (1832 1903). Fukce f : M R je lipschitzovská,

Více

Přednáška 6, 6. listopadu 2013

Přednáška 6, 6. listopadu 2013 Přednáška 6, 6. listopadu 2013 Kapitola 2. Posloupnosti a řady funkcí. V dalším jsou f, f n : M R, n = 1, 2,..., reálné funkce jedné reálné proměnné definované na (neprázdné) množině M R. Co to znamená,

Více

Integrální počet - II. část (určitý integrál a jeho aplikace)

Integrální počet - II. část (určitý integrál a jeho aplikace) Integrální počet - II. část (určitý integrál jeho plikce) Michl Fusek Ústv mtemtiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 7. přednášk z ESMAT Michl Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 23 Obsh 1 Určitý vlstní (Riemnnův)

Více

LEKCE10-RAD Otázky

LEKCE10-RAD Otázky Řady -ekv ne ŘADY ČÍSEL 1. limita posloupnosti (operace založená na vzdálenosti bodů) 2. supremum nebo infimum posloupnosti (operace založená na uspořádání bodů). Z hlavních struktur reálných čísel zbývá

Více

1 Funkce dvou a tří proměnných

1 Funkce dvou a tří proměnných 1 Funkce dvou a tří proměnných 1.1 Pojem funkce více proměnných Definice Funkce dvou proměnných je předpis, který každému bodu z R 2 (tj. z roviny) přiřazuje jediné reálné číslo. z = f(x, y), D(f) R 2

Více

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014 Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičení Zimní semestr akademického roku 2014/2015 7. prosince 2014 Předmluva

Více

17. Posloupnosti a řady funkcí

17. Posloupnosti a řady funkcí 17. Posloupnosti a řady funkcí Aplikovaná matematika III, NMAF073 M. Rokyta, KMA MFF UK ZS 2011/12 17.1 Stejnoměrná konvergence posloupnosti funkcí Definice Necht M je množina, f, f n : M R m, m, n N.

Více

dx se nazývá diferenciál funkce f ( x )

dx se nazývá diferenciál funkce f ( x ) 6 Výklad Definice 6 Nechť je 0 vnitřním bodem definičního oboru D f funkce f ( ) Funkce proměnné d = 0 definovaná vztahem df ( 0) = f ( 0) d se nazývá diferenciál funkce f ( ) v bodě 0, jestliže platí

Více

1.1 Existence a jednoznačnost řešení. Příklad 1.1: [M2-P1] diferenciální rovnice (DR) řádu n: speciálně nás budou zajímat rovnice typu

1.1 Existence a jednoznačnost řešení. Příklad 1.1: [M2-P1] diferenciální rovnice (DR) řádu n: speciálně nás budou zajímat rovnice typu [M2-P1] KAPITOLA 1: Diferenciální rovnice 1. řádu diferenciální rovnice (DR) řádu n: speciálně nás budou zajímat rovnice typu G(x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 y (n) = F (x, y, y,..., y (n 1) ) Příklad 1.1:

Více

Určete (v závislosti na parametru), zda daný integrál konverguje, respektive zda konverguje. dx = t 1/α 1 dt. sin x α dx =

Určete (v závislosti na parametru), zda daný integrál konverguje, respektive zda konverguje. dx = t 1/α 1 dt. sin x α dx = . cvičení http://www.karlin.mff.cuni.cz/ kuncova/ kytaristka@gmail.com Teorie Věta 1 (Abelovo-Dirichletovo kritérium konveregnce Newtonova integrálu). Necht a R, b R a necht a < b. Necht f : [a, b) R je

Více

Úvod. Integrování je inverzní proces k derivování Máme zderivovanou funkci a integrací získáme původní funkci kterou jsme derivovali

Úvod. Integrování je inverzní proces k derivování Máme zderivovanou funkci a integrací získáme původní funkci kterou jsme derivovali NEURČITÝ INTEGRÁL Úvod Integrování je inverzní proces k derivování Máme zderivovanou funkci a integrací získáme původní funkci kterou jsme derivovali Umět pracovat s integrálním počtem Je důležité pro

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

(1) Limity. Kristýna Kuncová. Matematika B2 18/19. Kristýna Kuncová (1) Limity 1 / 27

(1) Limity. Kristýna Kuncová. Matematika B2 18/19. Kristýna Kuncová (1) Limity 1 / 27 (1) Limity Kristýna Kuncová Matematika B2 18/19 Kristýna Kuncová (1) Limity 1 / 27 Proč studovat matematiku Zdroje: http://www.karlin.mff.cuni.cz/ pick/2018-10-02-prvni-prednaska-z-analyzy.pdf https://www.youtube.com/watch?v=6ec3ndnr86s

Více

9. Limita a spojitost

9. Limita a spojitost OKOLÍ BODU, VNITŘNÍ A HRANIČNÍ BOD Okolí bodu a je libovolný interval (a r, a + r), kde r > 0; značí se O(a, r), případně jen O(a) (obr. 9..). Číslo r se nazývá poloměr okolí. O(a, r) 0 a r a a + r Obrázek

Více

1 Posloupnosti a řady.

1 Posloupnosti a řady. 1 Posloupnosti a řady. 1.1 Posloupnosti reálných čísel. Definice 1.1: Posloupností reálných čísel nazýváme zobrazení f množiny N všech přirozených čísel do množiny R všech reálných čísel. Pokud nemůže

Více

VII. Limita a spojitost funkce

VII. Limita a spojitost funkce VII. Limita a spojitost funkce VII.1. Limita funkce Úvodní poznámky: Limita funkce f v bodě c R hodnota a R, k níž se přibližují hodnoty f(x), jestliže x se blíží k hodnotě c; funkce f nemusí být definovaná

Více

f(x) = arccotg x 2 x lim f(x). Určete všechny asymptoty grafu x 2 2 =

f(x) = arccotg x 2 x lim f(x). Určete všechny asymptoty grafu x 2 2 = Řešení vzorové písemky z předmětu MAR Poznámky: Řešení úloh ze vzorové písemky jsou formulována dosti podrobně podobným způsobem jako u řešených příkladů ve skriptech U zkoušky lze jednotlivé kroky postupu

Více

( + ) ( ) f x x f x. x bude zmenšovat nekonečně přesný. = derivace funkce f v bodě x. nazýváme ji derivací funkce f v bodě x. - náš základní zápis

( + ) ( ) f x x f x. x bude zmenšovat nekonečně přesný. = derivace funkce f v bodě x. nazýváme ji derivací funkce f v bodě x. - náš základní zápis 1.. Derivace elementárních funkcí I Předpoklad: 1 Shrnutí z minulé hodin: Chceme znát jakým způsobem se mění hodnot funkce f ( f ( + f ( přibližná hodnota změn = přesnost výpočtu se bude zvětšovat, kdž

Více

Dnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení.

Dnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení. Předmět: MA4 Dnešní látka Variačně formulované okrajové úlohy zúplnění prostoru funkcí. Lineární zobrazení. Literatura: Kapitola 2 a)-c) a kapitola 4 a)-c) ze skript Karel Rektorys: Matematika 43, ČVUT,

Více

9. Limita a spojitost funkce

9. Limita a spojitost funkce Moderní technologie ve studiu aplikované fyziky CZ..07/..00/07.008 9. Limita a spojitost funkce OKOLÍ BODU, VNITŘNÍ A HRANIČNÍ BOD Okolí bodu a je libovolný interval (a r, a r), kde r > 0; značí se O (a,

Více

Riemannův určitý integrál

Riemannův určitý integrál Riemannův určitý integrál 1. Motivační příklad Příklad (Motivační příklad pro zavedení Riemannova integrálu). Nechť,. Vypočtěme obsah vybarvené oblasti ohraničené grafem funkce, osou a svislými přímkami

Více

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK. Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 20. Číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.

Vzdělávací materiál. vytvořený v projektu OP VK. Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 20. Číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34. Vzdělávací materiál vytvořený v projektu OP VK Název školy: Gymnázium, Zábřeh, náměstí Osvobození 20 Číslo projektu: Název projektu: Číslo a název klíčové aktivity: CZ.1.07/1.5.00/34.0211 Zlepšení podmínek

Více

Definice derivace v bodě

Definice derivace v bodě Definice derivace v bodě tgϕ = f ( ) f () f () : = tgϕ = lim f f () tgϕ = f f () Obecně: f f f ( ) ( ) : = lim f ( + h) f f : = lim h h Derivace zleva (zprava): f ( ) : = lim f f ( ) f ( ) : = lim + +

Více

Monotonie a lokální extrémy. Konvexnost, konkávnost a inflexní body. 266 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné

Monotonie a lokální extrémy. Konvexnost, konkávnost a inflexní body. 266 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné 66 I. Diferenciální počet funkcí jedné proměnné I. 5. Vyšetřování průběhu funkce Monotonie a lokální etrémy Důsledek. Nechť má funkce f) konečnou derivaci na intervalu I. Je-li f ) > 0 pro každé I, pak

Více

Základy matematiky pro FEK

Základy matematiky pro FEK Základy matematiky pro FEK 8. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 14 Derivace funkce U lineárních funkcí ve tvaru

Více

30. listopadu Derivace. VŠB-TU Ostrava. Dostupné: s1a64/cd/index.htm.

30. listopadu Derivace. VŠB-TU Ostrava. Dostupné:   s1a64/cd/index.htm. KMA/MAT1 Přednáška a cvičení č. 11 30. listopadu 2017 [KS] Jaromír Kuben Petra Šarmanová: Diferenciální počet funkcí jedné proměnné. VŠB-TU Ostrava. Dostupné: http://homel.vsb.cz/ s1a64/cd/inde.htm. 1

Více

Obsah. Derivace funkce. Petr Hasil. L Hospitalovo pravidlo. Konvexnost, konkávnost a inflexní body Asymptoty

Obsah. Derivace funkce. Petr Hasil. L Hospitalovo pravidlo. Konvexnost, konkávnost a inflexní body Asymptoty Petr Hasil Přednáška z Matematické analýzy I c Petr Hasil (MUNI) MA I (M0) / 46 Obsah Základní vlastnosti derivace Geometrický význam derivace Věty o střední hodnotě L Hospitalovo pravidlo 2 Etrémy Konvenost,

Více

Primitivní funkce a Riemann uv integrál Lineární algebra Taylor uv polynom Extrémy funkcí více prom ˇenných Matematika III Matematika III Program

Primitivní funkce a Riemann uv integrál Lineární algebra Taylor uv polynom Extrémy funkcí více prom ˇenných Matematika III Matematika III Program Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Program Primitivní funkce a Riemannův integrál Lineární algebra Taylorův polynom Program Primitivní

Více

10 Funkce více proměnných

10 Funkce více proměnných M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap. 10: Funkce více proměnných 16 10 Funkce více proměnných 10.1 Základní pojmy Definice. Eukleidovskou vzdáleností bodů x = (x 1,...,x n ), y = (y 1,...,y

Více

Metody výpočtu limit funkcí a posloupností

Metody výpočtu limit funkcí a posloupností Metody výpočtu limit funkcí a posloupností Martina Šimůnková, 6. listopadu 205 Učební tet k předmětu Matematická analýza pro studenty FP TUL Značení a terminologie R značí množinu reálných čísel, rozšířenou

Více

LIMITA A SPOJITOST FUNKCE

LIMITA A SPOJITOST FUNKCE PŘEDNÁŠKA 5 LIMITA A SPOJITOST FUNKCE 5.1 Spojitost funkce 2 Řekneme, že funkce f(x) je spojitá v bodě a D f, jestliže ke každému ε > 0 existuje δ > 0 takové, že pro každé x (a δ, a + δ) D f platí nerovnost:

Více

14. Monotonnost, lokální extrémy, globální extrémy a asymptoty funkce

14. Monotonnost, lokální extrémy, globální extrémy a asymptoty funkce . Monotonnost, lokální extrém, globální extrém a asmptot funkce Studijní text. Monotonnost, lokální extrém, globální extrém a asmptot funkce A. Rostoucí a klesající funkce Pojm rostoucí, klesající a konstantní

Více

Kapitola 8: Dvojný integrál 1/26

Kapitola 8: Dvojný integrál 1/26 Kapitola 8: vojný integrál 1/26 vojný integrál - osnova kapitoly 2/26 dvojný integrál přes obdélník definice výpočet (Fubiniova věta pro obdélník) dvojný integrál přes standardní množinu definice výpočet

Více

To je samozřejmě základní pojem konvergence, ale v mnoha případech je příliš obecný a nestačí na dokazování některých užitečných tvrzení.

To je samozřejmě základní pojem konvergence, ale v mnoha případech je příliš obecný a nestačí na dokazování některých užitečných tvrzení. STEJNOMĚRNÁ KONVERGENCE Zatím nebylo v těchto textech věnováno příliš pozornosti konvergenci funkcí, at jako limita posloupnosti nebo součet řady. Jinak byla posloupnosti funkcí nebo řady brána jako. To

Více

0.1 Úvod do matematické analýzy

0.1 Úvod do matematické analýzy Matematika I (KMI/PMATE) 1 0.1 Úvod do matematické analýzy 0.1.1 Limita a spojitost funkce Lineární funkce Lineární funkce je jedna z nejjednodušších a možná i nejpoužívanějších funkcí. f(x) = kx + q D(f)

Více

i=1 Přímka a úsečka. Body, které leží na přímce procházející body a a b můžeme zapsat pomocí parametrické rovnice

i=1 Přímka a úsečka. Body, které leží na přímce procházející body a a b můžeme zapsat pomocí parametrické rovnice I. Funkce dvou a více reálných proměnných 1. Úvod Značení: V textu budeme používat označení: N pro množinu všech přirozených čísel; R pro množinu všech reálných čísel; R n pro množinu všech uspořádaných

Více

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1

1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější

Více

1 Množiny, výroky a číselné obory

1 Množiny, výroky a číselné obory 1 Množiny, výroky a číselné obory 1.1 Množiny a množinové operace Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých objektů (které nazýváme prvky) do jediného celku. Definice. Dvě množiny jsou

Více

OBECNOSTI KONVERGENCE V R N

OBECNOSTI KONVERGENCE V R N FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH V reálných situacích závisejí děje obvykle na více proměnných než jen na jedné (např. na teplotě i na tlaku), závislost na jedné proměnné je spíše výjimkou. OBECNOSTI Reálná funkce

Více