27.ročník. Milý řešiteli!

Transkript

1 7.ročník 3.leták Milý řešiteli! Ahojmilýřešiteli,přednámijeužjendruhépololetíaspolusnímtipřinášíme novou sérii plnou dalších zajímavých příkladů prolínajících se s napínavým a strhujícím příběhem. Co se týče novinek od nás organizátorů, tak do dvou týdnu můžeš na našich stránkách najít předbězné informace o nadcházejícím jarním soustředění a samozřejmě i přihlášku. Tak neváhej a registruj se ihned. Zadání úloh Ota, odhodlaný vypátrat záhadného zloděje jeho zásob sladkostí a pisatele záhadných vzkazů, systematicky navštěvoval ostatní sy a mnohdy ani nečekal na povolení ostatních účastníků tábora, když jim začal prohledávat věci. Díky tomu se také už stačil dostat do konfliktu s Čeňkem, který odmítal Otovi ukázat obsah své krabice s jídlem, protožesebál,žebymuotavšechnyzásobysnědl. Jáchym s Prokopem trávili dopoledne ve su a do Otova hledání se raději nezapojovali. Úloha1.(9bodů): Jáchym,kterýsenáramněnudil,sivzalsvoupapírovoušachovnici a zkoušel ji vyskládat dominem tak, aby domino obsadilo všechna políčkanašachovnici.pochvilcezanímpřišelprokopapokusilsemutoztížittak, že od šachovnice odstřihl políčka vyznačená černě(obr. níže) a zeptal se Jáchyma, jestli to teď zvládne vyskládat jako předtím. Může se to Jáchymovi podařit? Jáchyma se dost dotklo, že mu Prokop bez dovolení rozstříhal jeho šachovnici a uchýlilseprotokesvéoblíbenézábavě hranísisesvýmtajnýmoblíbenýmčíslem. Nikdy své oblíbené číslo nikomu neprozradil, protože si ho hodlal nechat jen a jen pro sebe, a rád se při dlouhých chvílích bavil tím, že přicházel na různé jeho nové vlastnosti. Úloha.(9bodů): Jáchymsihrálsesvýmoblíbenýmčtyřmístnýmčíslema zjistil,žemátakovouvlastnost,žekdyžhovynásobítřemiapřičte4takvznikne palindrom(číslo, které se ve svém desítkovém zápisu čte stejně zepředu i zezadu, např ). Kolik čísel by mohlo být Jáchymovým oblíbeným číslem? KoKoS, Gymnázium Mikuláše Koperníka, 17.listopadu 56, Bílovec

2 3.leták 7.ročník(013/014) KoKoS Odpoledne účastníky tábora čekala další velká hra. Tým,kdebyliProkop,JáchymaOta,sepovítězství vposlednísoutěžidrželnaprvnímístě,toaleještěnic neznamenalo. Vedoucí rozdali postupně všem týmům po jednom barevném praporku. Úkolem každého týmu bylo ukrýtsvůjpraporekvleseconejlépe,abyjejostatní týmy nenašly a zároveň najít co nejvíce ostatních praporků. Ota a Jáchym byli vylosování jako zástupci svého týmu, kteří mají praporek ukrýt. Ostatní zatím dostali úlohy, které museli vypočítat a až po jejich dokončení vyrazitdolesa.celýtýmkroměotyajáchyma,kteří už zmizeli v lese, začal diskutovat o prvním úkolu. Úloha3.(7bodů): Kružnice k, lsedotýkajíspolečnétečnyvedvoubodech A, B, přičemž jsou to kružnice s vnějším dotykem. Jakých celočíselných hodnot mohou nabývat poloměry těchto kružnic, jestliže AB 8cm? Kdyžnatokonečněpřišli,otráviloje,žeidalšípříkladjezgeometrie.Alenedalose nic dělat. Úloha 4.(5 bodů): Máme pravidelný šestiúhelník ABCDEF, ve kterém je trojúhelník ADF. Vypočti procentuální obsah tohoto trojúhelníku v šestiúhelníku. JáchymaOtasezpočátkujentakpotulovalisematampoleseaanijednohoznich nenapadalo nějaké dobré místo, kde by jejich soupeři vlaječku nenašli. Nakonec se napojilinaúzkoulesnípěšinu,pokterékráčelihloubějimezistromy. Notakdělej, brblal Jáchym, kterému se nelíbilo, jak se Ota loudá. Musíme se ztratit ostatním týmům, jinakbudenášúkrythnedprozrazený. Jáužalefaktnemůžu,kdybyspořádnešeltak rychle! vztekalseotaasotvadýchal. Pojďmesidátnachvílipauzu! Jáchymužtoho měltakakorátpokrk. Klidněsitadydejpřestávkusám,alejájdudál. Takdobře oddechlsiotaarozvalilsenapařeznaokrajipěšiny. Jenomsinachvilkusednuahned tědoženu,neodbočujztécestičky. Úloha5.(5bodů): JáchymaOtajdoulesem.PonějakédoběseOtaunaví a na 15 minut se zastaví, aby si odpočinul. Jáchym mezitím pokračuje svižnou chůzírychlosti5 km h KdyžseOtavydáznovanacestu,nejprveběžírychlostí7km h, kteroualezvládneudržetjen30sadalší1minutumusípokračovatrychlostí 3 km h.totopořádopakuje.zajakdlouhootajáchymadožene? OtaužaleJáchymanikdynedohnal.Tentotižzplánované stezky odbočil, když ho znenadání napadlo něco geniálního, na co nedokázal přestat myslet. Tady někde bylatastaráchatrč! vzpomnělsi,aconejrychlejivyrazilsměrem,okterémsedomníval,žeklesnímudomku vede. Jeho odhad byl správný, zanedlouho se před ním chatrč opravdu vynořila a on už byl rozhodnutý ukrýt praporekněkdeuvnitř.zapomnělnastrachinato,kde

3 Koperníkův Korespondenční seminář 3 nechal svého kamaráda a chtěl si otevřít dveře do domku, jenže to nešlo. Neměly totiž žádnou kliku. Místo toho uprostřed svítila obrazovka a pod ní byla seřazena tlačítka s číslicemi. Jáchym se zarazil nad tím, že se právě tady setkal s tak neobyčejným způsobem zabezpečení. Ještě než ale začal přemýšlet nad správnou kombinací čísel, všiml si drobnéhopapírku,kterýsemupovalovalpodnohama. Dalšívzkaz! pomyslelsiaměl pravdu.zdálose,žeten,kdozáhadnévzkazypíše,aťužtobylkdokoliv,semutentokrát snaží pomoct. Na papírku totiž Jáchym našel nápovědu, jak dveře do chatrče otevřít. Úloha6.(5bodů): Kódemjenejmenšíšestimístnéčíslo,prokteréplatí,žeje dělitelnéčísli1,,3,4,5,6asoučástítohotočíslajsoudvěsudéčíslice.ojaké číslo se jedná? Najít odpověď Jáchymovi netrvalo dlouho. Jakmile naťukal správnou kombinaci čísel, dveře se samy se zavrzáním otevřely. Řešení úloh 3. série posílejte do na známou adresu: KoKoS Gymnázium Mikuláše Koperníka 17. listopadu Bílovec KoKoS, Gymnázium Mikuláše Koperníka, 17.listopadu 56, Bílovec

4 4 3.leták 7.ročník(013/014) KoKoS Autorská řešení 1. série Úloha 1. V první polovině testu bylo 84% odpovědí správných vypočítáme jejich počet (5 84:1001).Správnéašpatnéodpovědibylyvpoměru7:1,toznamená, že špatně Jáchym v první polovině zodpověděl tři otázky a jednu otázku vynechal. Dopočítáme,ževprvnípoloviněcelkemzískal13bodů( ),to znamená,ževdruhéčástizískal bodů.Vedruhépoloviněje poměrsprávnýchašpatných4:3.můžemesestavitrovnici:4x 7 3x 56. Ztézjistíme,že x.početsprávnýchodpovědíjetedyroven:4 8,počet špatných: 3 6. Nezodpovězené otázky ve druhé polovině dopočítáme jako: 5 (8+6) 11. Přičteme 1 nezodpovězenou z první poloviny testu a máme celkem 1 otázek, na které Jáchym neodpověděl. Terka Úloha. Zezadánínámvyplývá,žemámezjistittytoúhly,přičemžobrazecseskládáze šesti čtverců. Řešení je mnoho, ale vezeme si třeba tyto dva trojúhelníky. Podle pythagorovyvětyspočítáme,žedráhyjsou50a70km.protožejsouvpoměru 5:7ačasjestejný,zjistímerychlostitak,že50a70vynásobímestejnýmčíslem. Toto číslo má ale dlouhý desetinný rozvoj, takže by bylo složité ho najít. Bude námstačit,kdyžnajdemenejvětšínásobek7menšínež100(tj.98).totočíslo vydělíme7avýsledkemvynásobíme5.vyjdounámtakrychlosti v 1 70 km h a v 98 km h.teďužjenvypočítámečas,kterýjeli(tojeasi4min,51s).takže sesetkajív8h4min51s. Berča Úloha 3. Označímesidobupauzyjako x.zevztahu s 1 s dostáváme v 1 v 1 v 1 ( 3x)v ( x),kdehjsoucelkovýčasjízdy.mámetedy:0 ( 3x)10 ( x), xjetedyrovno 5. 5 hjedobaodpočinkudruhéhocyklisty,takžeznámečasi rychlostamůžemevypočístdráhu: s10 ( 5 )16km. Barča

5 Autorská řešení 5 Úloha 4. Jáchym musí vždy šachovnici rozpůlit. Po spočítání všech použitých pěšáků doseme číslo 56. Adam Úloha 5. Celkem5kelímků:kelímky-8bílýchačerné3kelímky 6bílýcha4černé Odebírajísebuďbílénebo1černá. Vyhrává ten, jenž odebere poslední kuličku a začíná Čeněk. 34 bílých a 16 černých kuliček celkem. 17xseodeberoubíléa16xčerné,zčehožvyplývá,žecelkovýpočettahůje33, cožjelichýpočet,takževyhraječeněk,neboťmálichýtah. Jirka KoKoS, Gymnázium Mikuláše Koperníka, 17.listopadu 56, Bílovec

6 6 3.leták 7.ročník(013/014) KoKoS Úloha 6. Kika

7 Věty o trojúhelnících 7 Věty o trojúhelnících V tomto díle πρhu si řekneme o dalších větách o trojúhelnících. Tangentová věta Tato věta vyjadřuje vztah mezi délkami stran a velikostmi úhlů v obecné trojúhelníku. Tangentová věta říká, že pro každý trojúhelník ABC s vnitřními úhly α, β, γastranami a,b,cplatí: a b a+b b c a+b c a a+b α+β β γ β+γ γ α γ+α cot γ β γ cot α γ α cot β Odvození je poměrně složité: V důkazu využijeme sinovu větu a vzorce pro goniometrické funkce. Sinovu větu využijeme hned v prvních úpravách, kde pomocí ní vyjádřímedélkustranyaab.naposlednítři kroky potřebujeme znát vzorce goniometrických funkcí, tyto vzorce jsou poměrně složité na důkaz, proto si jejich důkaz zde ukazovat nebudeme. KoKoS, Gymnázium Mikuláše Koperníka, 17.listopadu 56, Bílovec

8 8 3.leták 7.ročník(013/014) KoKoS b sinα a b a+b b sin α sinβ a sinβ sinα sinβ + a sinβ sinα b sin α a sin β sinβ sinα b sin α+a sin β sinβ sinα v sinα v sinβ v sinα+v sinβ sinα sinβ sinα+sinβ b sin α a sin β b sin α+a sin β b v cos sin α+β cos sin α+β cot γ α+β b a v a b v b +a v a α+β Čèvova věta Čèvovu větu používáme hlavně na dokazování, že se tři úsečky v trojúhelníku (např. těžnice) protínají v jednom bodě. Čèvova věta je: 1 AZ BX CY ZB XC YA Pokud platí vztah udávány čèvovou větou, potom se dané tři úsečky protínají vjednombodě.důkazůtétovětyexistujevíce,jedenznichjedůkazpomocí poměru obsahů. Mějme trojúhelník ve, kterém jsou tři úsečky protínající se v jednombodě.kde Pjeprůsečíkúsečekabody X, Y, Zjsoutvořenyprůsečíkem úsečky a strany kterou protne. Podle obrázku si vyjádříme obsahy trojúhelníků AZC a AZP, jejich rozdílem zjistíme obsah trojúhelníku APC.Tosamésivyjádřímeuobsahtrojúhelníku ZBC od něho odečteme obsah trojúhelníku ZBPazůsemiobsahtrojúhelníkuPBC.Poměr obsahůtrojúhelníku APCa PBCjestejnýjakopoměr AB BC.

9 Věty o trojúhelnících 9 S AZC AZ v S AZP AZ v x S APC S AZC S AZP AZ v v x AZ AZ x S ZBC BZ v S ZBP BZ v x S PBC S ZBC S ZBP BZ v v x BZ BZ x S APC S PBC S AZC S AZP S ZBC S ZBP AZ x BZ x AZ BC Tento postup zopakujeme: S ABP S ABX S PBX BX x S APC S AXC S PXC XC x S PBC S Y BC S YPC CY x S ABP S ABY S APY YA x BX XC CY YA AZ BX CY ZB XC YA S APC S ABP S PBC S PBC S APC S ABP 1 Teďjsme siukázali,pročplatí vztahudávanýčèvovouvětou.nazávěrsi ukážeme, jak pomocí této věty dokážeme, že se těžnice protínají v jednom bodě. Jelikožtěžnicejespojnicestředustranysopačnýmvrcholem,protobody X, Y, Z budouležetpřesněvpoloviněstrany,aprotoplatíže AZ BZ, BX XC, CY YA.Pokuddosadímdočèvovyvětydanérovnostitaksemivšechny délkyvykrátíazůsemi1. Jirka KoKoS, Gymnázium Mikuláše Koperníka, 17.listopadu 56, Bílovec

10 10 3.leták 7.ročník(013/014) KoKoS Výsledkové listiny Tady najdete úplnou výsledkovou listinu řešitelů. 6. ročník jméno příjmení S 1. Jiří Zelený ročník jméno příjmení S 1. Natálie Maleňáková Anastázie Štěpánková Linda Onderková ročník jméno příjmení S 1. Jana Kolenovská Karolína Helemiková Tereza Zelená Alina Mojšová Hana Sadílková Barbora Chlostová Alena Bidlová

11 9. ročník 11 jméno příjmení 9. ročník S 1. Klára Mořkovská Lenka Švidrnochová Miroslava Novoveská Vanda Kostková KoKoS, Gymnázium Mikuláše Koperníka, 17.listopadu 56, Bílovec