} Vyzkoušej všechny povolené možnosti.

Transkript

1 VZOROVÉ ŘEŠENÍ

2 1 2 2, 5 = 0, 5 2, 5 = 1, = 0, 5 } 1, 25 0, 5 = 0, : , 029 = 128 2, 9 = 125, 1 1,44 (0,1)2 0,01 10 = , = 0, = 0, , = 120 3, 6 = 116, ( ) 8 3 = = = = = 11 : 2 = 11 1 = : = 3: = 3: = = = = = 2 5 = 4 5 =

3 a a (a a a) = = a a ( a 2 + 1) = a a a 2 2 = a 2 + a = n 2n ( n ) + ( n + n2 ) = n n + n2 = + n 2 = n n2 = n 2 n 2 1 / x 10 = 2x 15 8x 6 = 2x 15 8x 2x = x = 9 /: 6 / 2x + 6 x = 9 6 x = 3 2 / 12 12y 4 10y + 4 = 9y y = 9y y 9y = 24 7y = 24 / 9y /: ( 7) y = 24 7

4 63 9 = 54 } Vyzkoušej všechny povolené možnosti = = 1206 Na prvních dvou místech výsledku musí být číslo 12, protože = 11, ale dvě stejné číslice jsou zakázané. Nejbližší povolené dvojčíslí je pak až 15, což už je moc velké. Do zbývajících cifer pak vyzkoušej všechny povolené možnosti. stolek... x Kč židle... y Kč 4 stolky a 20 židlí... 4x + 20y Kč Kč 3 stolky a 18 židlí... 3x + 18y Kč Kč 4x + 20y = x + 18y = x 60y = x + 72y = y = 3600 y = 300 / ( 3) / 4 } + /: 12 3x = x = 7800 / x = 2400 /: 3 x = 800 Jedna židle = 300 Kč, jeden stolek = 800 Kč

5 x Chybějící část cesty: 5 2 = 3 m = 12 x 13 Celá cesta A B = 17 m Pythagorova věta: 13 2 = x = x 2 25 = x 2 25 = x x = 5 m Pythagorova věta: x x 8 + (8 4) = 12 x 2 = x 2 = x 2 = 400 x = = 16 x = 20 m

6 Náčrt: Zápis konstrukce: 1) S; S AC, AS = CS 2) q; q p, C q 3) k; k(s, r = AC ) 4) B, D; B, D k p 5) D, B; D, B k q 6) rovnoběžník ABCD Úloha má 2 řešení. střed úsečky AC rovnoběžka s přímkou p jdoucí bodem C kružnice k se středem S a poloměrem délky úsečky AC body B a D jako průnik kružnice k a přímky p zbývající body D a B jako průnik kružnice k a přímky q

7 10.1: Kružnice k je opsanou kružnicí trojúhelníku ABC. Její střed nalezneme pomocí os stran tohoto trojúhelníku: 1) S 1 ; S 1 AC, AS 1 = CS 1 2) o 1 ; o 1 AC, S 1 o 1 3) S 2 ; S 2 AB, AS 2 = BS 2 4) o 2 ; o 2 AB, S 2 o 2 5) S; S o 1 o 2 6) k; k(s, r = SA ) střed strany AC osa strany AC střed strany AB osa strany AB průsečík os je střed kružnice opsané kružnice k se středem S a poloměrem o velikosti SA 10.2: Čtverec, jehož vrcholy leží na kružnici, má úhlopříčky, které jsou na sebe kolmé a protínají se ve středu kružnice: 1) CS 2) E; E k CS 3) p; p CS, S p 4) D, F; D, F k p 5) čtverec CDEF polopřímka CS bod E jako průsečík polopřímky CS a kružnice k přímka p kolmá na polopřímku CS a prochází bodem S body D a F, které leží v průsečících přímky p a kružnice k

8 a b-a a a b b b-a a a a X X X Obvod prvního obrazce je složen z 6 stran bílého čtverce (a), ze dvou celých stran tmavého (b) a ze dvou kousků které vzniknou odečtením strany tmavého a bílého čtverce (b a). Tento obvod je 96 cm: 6a + 2b + 2(b a) = 96 6a + 2b + 2b 2a = 96 4a + 4b = 96 Platí, že obvod bílého čtverce (o = 4a) je dvakrát menší než obvod tmavého (o = 4b), takže i strana bílého je dvakrát menší než strana tmavého (a = b 2 ). Dosadíme do rovnice vlevo a vypočítáme délky stran čtverců 4 b + 4b = b + 4b = 96 6b = 96 b = 16 cm a = b 2 a = 16 2 = 8 cm 11.1: Obvod tmavého čtverce je: o = 4 16 = 64 cm 11.2: Obvod celého druhého obrazce je složen z osmi stran bílého, dvou stran tmavého a čtyř kousků tmavý mínus bílý: o = (16 8) = = 128 cm 11.3: Obvod třetího obrazce je složen z 10 stran bílého, 4 stran tmavého a čtyř kousků tmavý mínus bílý: o = (16 8) = 176 cm = 48 cm

9 A C B α α = 180 3α + 15 = 180 3α = 165 α = 55 α + β + α = 180 2α + β = β = 180 β = 70 Jedná se o úhly vedlejší Třetí úhel v trojúhelníku ABC je také α. Jedná se o úhly vrcholové. Z obrázku je poznat, že rozměry kvádru jsou a = 8 cm, b = 4 cm a c = 6 cm. Podle těchto rozměrů lze odvodit, že se do kvádru vejdou pouze 2 krychličky v jedné řadě (viz obrázek vpravo).

10 Z grafu jsou vidět počty zájezdů v jednotlivých měsících: Měsíc: leden únor březen duben květen červen červenec Počet zájezdů: Projdeme všechny možné měsíce a porovnáme podmínky zadání: 1) únor = 60 o měsíc dříve = 120 ano, v únoru prodáno o polovinu méně o měsíc později = 120 ne, v únoru není prodáno o polovinu více 2) březen = 120 o měsíc dříve = 60 ne, v březnu není prodáno o polovinu méně 3) duben = 60 o měsíc dříve = 120 ano, v dubnu prodáno o polovinu méně o měsíc později = 40 ano, v dubnu prodáno o polovinu více

11 E B % 30 % 66 C 15.1: % x % x = x = 150 % Překročila o 50 % 15.2: 1000 Kč % x Kč % x = x = 800 Kč 800 Kč % 480 Kč... x % x = x = 60 % Cena v prodejně je 800 Kč. Cena na internetu je o 40 % nižší než v prodejně. 15.3: Na vaření chodí 3x více osob než na šachy, takže musí mít také 3x více procent. Součet procent musí být 100. Na šachy chodí x %. Potom platí: x + 60 % + 3x = 100 % 4x + 60 % = 100 % 4x = 40 % x = 10 % Můžeme tak vyplnit první tabulku: vypočítat, kolik seniorů provozuje turistiku, a kolik je seniorů celkem: = 150. Dopočítáme počet mužů ( = 66) a opět zjistíme počet procent: % x % x = x = 44 %

12 Pokud první autíčko ujelo 10 kol (= 2, 5 4), tak druhé ujelo 7,5 kola (= 2, 5 3). Autíčka se potkají vždy, když první ujede 4 kola a druhé 3 kola. Tato situace nastane pro obě autíčka dvakrát, protože: 10: 4 = 2 (zb. 2) 7, 5: 3 = 2 (zb. 1, 5) Stejná situace, jako v prvním případě. Druhé autíčko ujelo 50 kol (= ), takže první 3 autíčko ujelo 66 2 kola (= ). Spočítáme, kolikrát nastane, že se potkají: : 4 = 16 (zb ) Potkají se tedy 16x. 50: 3 = 16 (zb. 2) Ujetá kola autíček jsou v poměru 4: 3, což lze upravit do tvaru 4 : 1. Z toho je vidět, že když druhé 3 autíčko ujede jedno kolo, tak první zvládne ujet 4 kola, neboli 1 1 kola. Nejlepší je si načrtnout 3 3 obrázky po jednotlivých kolech a zamyslet se nad tím, kolikrát se autíčka v dané situaci potkala. Celkem se potkají 12x : START Při startu se potkají 1x 2. auto ujede 1 kolo 1. auto ujede kola Potkají se 2x 2. auto ujede další kolo, tj. 2 kola celkem 1. auto ujede další 1 1 kola, tj. 2 2 kola celkem 3 3 Potkají se 2x 2. auto ujede další kolo, tj. 3 kola celkem 1. auto ujede další 1 1 kola, tj. 4 kola celkem 3 Potkají se 3x 2. auto ujede další kolo, tj. 4 kola celkem 1. auto ujede další 1 1 kola, tj. 5 1 kola celkem 3 3 Potkají se 2x 2. auto ujede další kolo, tj. 5 kol celkem 1. auto ujede další kola, tj kola celkem Potkají se 2x