Úlohy MO z let navržené dr. Jaroslavem Švrčkem

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Úlohy MO z let navržené dr. Jaroslavem Švrčkem"

Transkript

1 Úlohy MO z let navržené dr. Jaroslavem Švrčkem

2

3 1. Je dána polokružnice o středu S sestrojená nad průměrem AB. Sestrojte takovou její tečnu t s dotykovým bodem T (A T B), aby platilo P BCS = 2P DAT, kde P XY Z značí obsah trojúhelníku XY Z a kde body D, C jsou po řadě paty kolmic spuštěných z bodů A, B na přímku t. [44 C I 2] 2. Určete všechny trojice celých nezáporných čísel a, b, c, které vyhovují soustavě rovnic a + bc = 3c, b + ca = 3a, c + ab = 3b. [44 C S 1] 3. Určete počet všech čtyřmístných čísel n s vlastností: Jestliže k číslu n přičteme čtyřmístné číslo n, jehož zápis v desítkové soustavě má opačné pořadí číslic než číslo n, dostaneme číslo, které je dělitelné 70. [44 C II 1] 4. V rovině je dán rovnostranný trojúhelník ABC a přímky p A, p B, které jsou kolmé k AB a procházejí po řadě body A, B. Sestrojte pravoúhlý trojúhelník KLC s přeponou KL, který má stejný obsah jako trojúhelník ABC a přitom jeho vrcholy K, L leží po řadě na přímkách p A, p B. [44 C II 3] 5. Určete všechna reálná čísla a, pro něž existuje právě jedna uspořádaná dvojice [x, y] reálných čísel takových, že x + 1 y y x = y + 1 x x y = a. [44 B II 1] 6. Sestrojte lichoběžník ABCD (AB CD) s pravým úhlem při vrcholu A, je-li AC = 5 cm, BD = 7 cm a úhlopříčka AC dělí obsah lichoběžníku na dvě části v poměru 2 : 1. [45 C I 3] 7. V polorovině ABM sestrojte kružnice k 1 a k 2, které se dotýkají přímky AB po řadě v daných bodech A a B, dotýkají se vně v nějakém bodě T a jejich společná tečna v tomto bodě prochází daným bodem M. [45 C II 4] 8. Body dotyku tečen vedených z bodu V ke kružnici k označme A, B. Sestrojte sečnu kružnice k tak, aby procházela bodem V a kružnici k protínala v bodech C, D, kde AC = BD. [45 B II 2] 9. Ve čtverci ABCD je R střed strany CD a Q průsečík úhlopříčky BD s přímkou AR. Na straně BC zvolte bod P tak, aby úsečka P Q rozdělila lichoběžník ABCR na dva čtyřúhelníky stejného obsahu. [46 C II-4] 10. Nechť ABCD je lichoběžník (AB CD), jehož úhlopříčky jsou navzájem kolmé. Dokažte nerovnost AB + CD < BC + DA. [46 B II 3] 11. Pro každé přirozené číslo n 2 určete největší hodnotu výrazu V n = sin x 1 cos x 2 + sin x 2 cos x sin x n 1 cos x n + sin x n cos x 1, kde x 1, x 2,..., x n jsou libovolná reálná čísla. 1 [46 A III 5]

4 12. Dokažte, že pro každou trojici x, y, z kladných čísel platí nerovnost ( 2 xyz x + y + 2 y + z + 2 ) x + y + z. z + x Zjistěte, kdy nastane rovnost. 13. Určete všechny trojice (a, b, c) reálných čísel, pro které platí a + b + c = 1, ab + bc + ca = abc. [47 B I 3] [47 B S 1] 14. Je dán pravoúhlý lichoběžník se základnami a, c (a > c) a delším ramenem b. Sestrojte přímku, která daný lichoběžník rozdělí na dva navzájem podobné čtyřúhelníky. Proveďte diskusi o počtu řešení vzhledem k délkám a, b, c. [47 A I 6] 15. V obdélníku ABCD platí AB > BC. Oblouk AC kružnice, jejíž střed leží na straně AB, protíná stranu CD v bodě M. Dokažte, že přímky AM a BD jsou navzájem kolmé. [48 C I 2] 16. Pro libovolnou dvojici reálných čísel a, b splňující vztah a + b = 1 platí a2 + a b 2 + b + 1 > 2. Jsou-li navíc čísla a, b nezáporná, platí také a2 + a b 2 + b + 1 < 3. Obě tvrzení dokažte. [48 C I 6] 17. Určete největší čtyřmístné číslo n, pro něž je součet n n dělitelný deseti. [48 C S 2] 18. V rovině je dán obdélník ABCD, nad jehož stranami AB a BC (jako nad průměry) jsou vně obdélníku sestrojeny po řadě polokružnice k a l. Najděte úsečku XY co největší délky d tak, aby platilo X k a Y l. Délku d pak vyjádřete pomocí délek a = AB a b = BC. [48 C S 3] 19. Je dán rovnostranný trojúhelník ABC. Na straně BC najděte bod P tak, aby kružnice vepsaná trojúhelníku ABP a kružnice připsaná straně P C trojúhelníku AP C byly shodné. [48 B I 4] 20. Je dán pravoúhlý trojúhelník ABC, nad jehož odvěsnami AB a BC (jako nad průměry) jsou vně trojúhelníku sestrojeny po řadě polokružnice k a l. Vrcholem B veďte přímku p, která protíná polokružnice k a l po řadě v bodech X a Y tak, aby čtyřúhelník AXY C měl co největší obvod. [48 B II 2] 21. Je dán čtverec ABCD. Dokažte, že pro všechny body P toho oblouku AB kružnice čtverci opsané, který neobsahuje body C a D, má výraz stejnou hodnotu. Určete ji. AP + BP CP + DP [48 A II 2] 22. Označme S střed kružnice vepsané libovolnému trojúhelníku ABC. Dokažte, že rovnost AS BS = CS AB platí, právě když je úhel ACB pravý. [49 B I 2] 2

5 23. Nechť K, L, M jsou po řadě vnitřní body stran BC, CA, AB daného trojúhelníku ABC takové, že kružnice vepsané dvojicím trojúhelníků ABK a CAK, BCL a ABL, CAM a BCM mají vnější dotyk. Pak platí Dokažte. BK CL AM = CK AL BM. [49 A I 2] 24. Je dán trojúhelník ABC. Uvnitř jeho stran BC, CA, AB uvažujme po řadě body K, L, M takové, že úsečky AK, BL, CM se protínají v bodě U. Jestliže trojúhelníky AMU a KCU mají obsah P a trojúhelníky MBU a CLU obsah Q, pak P = Q. Dokažte. [49 A S 2] 25. Určete všechny konvexní čtyřúhelníky ABCD s následující vlastností: Uvnitř čtyřúhelníku ABCD existuje bod E takový, že každá přímka, která prochází tímto bodem a protíná strany AB a CD ve vnitřních bodech, dělí čtyřúhelník ABCD na dvě části o stejném obsahu. Svou odpověď zdůvodněte. [49 A II 4] 26. V rovině je dán čtverec ABCD. Kružnice k prochází body A, B a dotýká se přímky CD. Označme M (M B) průsečík kružnice k a strany BC. Určete poměr CM : BM. [50 C S 2] 27. V rovině je dán ostroúhlý trojúhelník ABC. Paty výšek z vrcholů A, B označme po řadě A 1, B 1. Tečny kružnice opsané trojúhelníku CA 1 B 1 sestrojené v bodech A 1, B 1 se protínají v bodě M. Dokažte, že kružnice opsané trojúhelníkům AMB 1, BMA 1, CA 1 B 1 procházejí jedním bodem. [50 A I 3] 28. V oboru reálných čísel řešte soustavu nerovnic sin x + cos y 2, sin y + cos z 2, sin z + cos x Najděte všechna reálná čísla p, pro která má soustava nerovnic x 2 13y + 10z p, y 2 6z + 10x, z 2 6x + 5y + p s neznámými x, y, z řešení v oboru reálných čísel. [50 A I 4] [50 A S 1] 30. Sestrojte rovnoramenný trojúhelník ABC se základnou BC dané délky a, je-li dán střed P strany AB a bod Q (Q P ), který je patou výšky z vrcholu B. [51 C I 5] 31. V rovině je dán pravoúhlý trojúhelník ABC takový, že kružnice k(a; AC ) protíná přeponu AB v jejím středu S. Dokažte, že kružnice opsaná trojúhelníku BCS je shodná s kružnicí k. [51 C S 2] 32. Nechť kružnice sestrojené nad rameny lichoběžníku jako nad průměry mají vnější dotyk. Dokažte, že dotykový bod těchto kružnic leží na ose úhlu, který obě ramena lichoběžníku svírají. [51 C II 2] 33. Nechť k je polokružnice sestrojená nad průměrem AB, která leží ve čtverci ABCD. Uvažujme její tečnu t 1 z bodu C (různou od BC) a označme P její 3

6 průsečík se stranou AD. Nechť t 2 je společná vnější tečna polokružnice k a kružnice vepsané trojúhelníku CDP (různá od AD). Dokažte, že přímky t 1 a t 2 jsou navzájem kolmé. [51 B I 3] 34. Nechť n 2 je dané přirozené číslo. Pro které hodnoty reálného parametru p má soustava rovnic x x 2 = px 2, 1 x x 2 = px 3, x 4 n x 2 = px n, n 1 x 4 n + 2 x 2 = px 1 n alespoň dvě řešení v oboru reálných čísel? [51 A I 4] 35. Označme S střed kružnice vepsané danému trojúhelníku ABC a P, Q paty kolmic z vrcholu C k přímkám, na kterých leží osy vnitřních úhlů BAC a ABC. Dokažte, že přímky AB a P Q jsou rovnoběžné. [51 A S 2] 36. Je dán trojúhelník ABC s ostrými vnitřními úhly při vrcholech A a B. Označme Q průsečík těžnice AD s výškou CP a E patu kolmice z bodu D na stranu AB. Dále nechť R je bod na polopřímce opačné k P C takový, že P R = CQ. Dokažte, že přímky AD a RE jsou různoběžné a že jejich průsečík leží na kolmici k přímce AB procházející bodem B. [52 C I 2] 37. V rovině je dána úsečka AP. Sestrojte pravidelný šestiúhelník ABCDEF tak, aby bod P byl středem jeho strany DE. [52 C II 2] 38. V rovině je dán pravoúhlý lichoběžník ABCD s delší základnou AB a pravým úhlem při vrcholu A. Kružnice k 1 sestrojená nad stranou AD jako průměrem a kružnice k 2, která prochází vrcholy B, C a dotýká se přímky AB, mají vnější dotyk v bodě P. Dokažte, že úhly CP D a ABC jsou shodné. [52 B I 5] 39. V rovině je dán pravoúhlý trojúhelník ABC, na jehož přeponě AB uvažujeme libovolný bod K. Kružnice sestrojená nad úsečkou CK jako nad průměrem protne odvěsny BC a CA ve vnitřních bodech, které označíme po řadě L a M. Rozhodněte, pro který bod K má čtyřúhelník ABLM nejmenší možný obsah. [52 B II 2] 40. V rovině je dán pravoúhlý lichoběžník ABCD s delší základnou AB a pravým úhlem při vrcholu A. Označme k 1 kružnici sestrojenou nad stranou AD jako nad průměrem a k 2 kružnici procházející vrcholy B, C a dotýkající se přímky AB. Mají-li kružnice k 1, k 2 vnější dotyk v bodě P, je přímka BC tečnou kružnice opsané trojúhelníku CDP. Dokažte. [52 B II 4] 41. V oboru reálných čísel řešte soustavu rovnic log x (y + z) = p, log y (z + x) = p, log z (x + y) = p s neznámými x, y, z a nezáporným celočíselným parametrem p. 4 [52 A II 3]

7 42. Je dán obdélník ABCD. Nechť přímky p a q, které procházejí vrcholem A, protínají polokružnice vně připsané stranám BC a CD daného obdélníku po řadě v bodech K a L (B K C L D) a rovněž strany BC a CD po řadě v bodech P a Q tak, že trojúhelník ABP má stejný obsah jako trojúhelník KCP a zároveň trojúhelník AQD má stejný obsah jako trojúhelník CLQ. Dokažte, že body K, L, C leží na téže přímce. [53 C I 2] 43. V rovině je dán obdélník ABCD, kde AB = a < b = BC. Na jeho straně BC existuje bod K a na straně CD bod L tak, že daný obdélník je úsečkami AK, KL a LA rozdělen na čtyři navzájem podobné trojúhelníky. Určete hodnotu poměru a : b. [53 C II 1] 44. V rovině daného čtverce KLMN určete množinu všech bodů P, pro něž jsou úhly NP K, KP L a LP M shodné. [53 A I 2] 45. Nechť K, L, M jsou po řadě průsečíky os vnitřních úhlů α, β, γ při vrcholech A, B, C daného trojúhelníku ABC s protějšími stranami BC, CA, AB. Dokažte, že platí nerovnost BC AK cos α 2 + CA BL cos β 2 + AB CM cos γ Určete všechny trojice (x, y, z) reálných čísel, pro něž platí x 2 + y 2 + z min {x 2 8 x 4, y2 8 y 4, z2 8 } z 4. [53 A II 4] [53 A III 1] 47. Nechť L je libovolný vnitřní bod kratšího oblouku CD kružnice opsané čtverci ABCD. Označme K průsečík přímek AL a CD, M průsečík přímek AD a CL a N průsečík přímek MK a BC. Dokažte, že body B, L, M, N leží na téže kružnici. [53 A III 5] 48. Libovolným vnitřním bodem P úhlopříčky AC daného obdélníku ABCD jsou vedeny rovnoběžky s jeho stranami, které protínají úsečky AB, BC, CD a DA po řadě v bodech K, L, M a N. Dokažte, že a) přímky LM a KN jsou rovnoběžky, b) vzdálenost rovnoběžek LM a KN je konstantní (nezávisí na volbě bodu P ), c) pro obvod o čtyřúhelníku KLMN platí nerovnost o 2 AC. [54 C II 3] 49. Nechť ABC je pravoúhlý trojúhelník se stranami a < b < c. Označme Q střed odvěsny BC a S střed přepony AB. Průsečík osy úsečky AB s odvěsnou CA označme R. Dokažte, že RQ = RS, právě když a 2 : b 2 : c 2 = 1 : 2 : 3. [54 B S 2] 50. Nechť ABC je ostroúhlý trojúhelník. Označme K a L paty výšek z vrcholů A a B, M střed strany AB a V průsečík výšek trojúhelníku ABC. Dokažte, že osa úhlu KML prochází středem úsečky V C. [54 B II 3] 51. Nechť M je libovolný vnitřní bod kratšího oblouku CD kružnice opsané čtverci ABCD. Označme P, R průsečíky přímky AM po řadě s úsečkami BD, CD 5

8 a podobně Q, S průsečíky přímky BM s úsečkami AC, DC. Dokažte, že přímky P S a QR jsou navzájem kolmé. [54 A I 2] 52. V rovině je dán rovnoramenný trojúhelník KLM se základnou KL. Uvažujme libovolné dvě kružnice k a l, které mají vnější dotyk a které se dotýkají přímek KM a LM po řadě v bodech K a L. Určete množinu dotykových bodů T všech takových kružnic k a l. [54 A II 3] 53. Je dáno přirozené číslo n (n 2) a reálná čísla x 1, x 2,..., x n, pro která platí Dokažte, že x 1 x 2 = x 2 x 3 =... = x n 1 x n = x n x 1 = 1. x x x 2 n n. 54. Splňují-li reálná čísla a, b, c, d rovnosti a 2 + b 2 = b 2 + c 2 = c 2 + d 2 = 1, platí nerovnost ab + ac + ad + bc + bd + cd 3. [55 C I 4] Dokažte a zjistěte, kdy přitom nastane rovnost. [55 C II 2] 55. Kružnice k, l s vnějším dotykem leží obě v obdélníku ABCD, jehož obsah je 72 cm 2. Kružnice k se přitom dotýká stran CD, DA a AB, zatímco kružnice l se dotýká stran AB a BC. Určete poloměry kružnic k a l, jestliže poloměr kružnice k je v centimetrech vyjádřen celým číslem. [55 C II 3] 56. Na přeponě AB pravoúhlého trojúhelníku ABC uvažujme body P a Q takové, že AP = AC a BQ = BC. Označme M průsečík kolmice z vrcholu A na přímku CP a kolmice z vrcholu B na přímku CQ. Dokažte, že přímky P M a QM jsou navzájem kolmé. [55 B S 2] 57. Určete všechny dvojice prvočísel p a q, pro něž platí p + q 2 = q + p V oboru reálných čísel řešte rovnici 2(sin t + cos t) = tg 3 t + cotg 3 t. [55 B II 1] [55 A I 1] 59. Je dán rovnostranný trojúhelník ABC o obsahu S a jeho vnitřní bod M. Označme po řadě A 1, B 1, C 1 ty body stran BC, CA a AB, pro něž platí MA 1 AB, MB 1 BC a MC 1 CA. Průsečíky os úseček MA 1, MB 1 a MC 1 tvoří vrcholy trojúhelníku o obsahu T. Dokažte, že platí S = 3T. [55 A S 2] 60. V oboru reálných čísel řešte soustavu rovnic sin 2 x + cos 2 y = y 2, sin 2 y + cos 2 x = x 2. [55 A II 4] 6

9 61. V rovině je dána úsečka AB. Sestrojte množinu těžišť všech ostroúhlých trojúhelníků ABC, pro něž platí: Vrcholy A a B, průsečík výšek V a střed S kružnice vepsané trojúhelníku ABC leží na jedné kružnici. [55 A III 4] 62. V oboru reálných čísel řešte soustavu rovnic tg 2 x + 2 cotg 2 2y = 1, tg 2 y + 2 cotg 2 2z = 1, tg 2 z + 2 cotg 2 2x = Určete všechny dvojice (a, b) přirozených čísel, pro něž platí a + 5 b = b + 5 a. [55 A III 6] [56 C I 1] 64. Určete všechny dvojice (a, b) přirozených čísel, jejichž rozdíl a b je pátou mocninou některého prvočísla a pro něž platí a 4 b = b + 4 a. [56 C S 3] 65. Nechť p, q, r jsou přirozená čísla, pro něž platí p + r p + q + q = a) Určete, jakých hodnot může nabývat součet p + q + r. b) Určete počet všech trojic (p, q, r) přirozených čísel, které vyhovují dané rovnici. [56 C II 2] 66. Je dán ostroúhlý trojúhelník ABC. Pro libovolný bod L jeho strany AB označme K, M paty kolmic z bodu L na strany AC, BC. Zjistěte, pro kterou polohu bodu L je úsečka KM nejkratší. [56 B II 4] 67. Jsou-li x, y, z reálná čísla z intervalu 1, 1 splňující podmínku xy+yz +zx = 1, pak platí 6 3 (1 x 2 )(1 y 2 )(1 z 2 ) 1 + (x + y + z) 2. Dokažte a zjistěte, kdy nastane rovnost. [56 A I 3] 68. Je dán lichoběžník ABCD s pravým úhlem při vrcholu A a základnou AB, v němž platí AB > CD DA. Označme S průsečík os jeho vnitřních úhlů při vrcholech A, B a T průsečík os vnitřních úhlů při vrcholech C, D. Podobně označme U, V průsečíky os vnitřních úhlů při vrcholech A, D, resp. B, C. a) Ukažte, že přímky UV a AB jsou rovnoběžné. b) Dokažte, že průsečík E polopřímky DT s přímkou AB a body S, T, B leží na téže kružnici. [56 A S 3] 69. Nechť M je libovolný vnitřní bod přepony AB pravoúhlého trojúhelníku ABC. Označme S, S 1, S 2 středy kružnic opsaných po řadě trojúhelníkům ABC, AMC, BMC. a) Dokažte, že body M, C, S 1, S 2 a S leží na téže kružnici. b) Pro kterou polohu bodu M má tato kružnice nejmenší poloměr? [56 A II 3] 70. Určete nejmenší přirozené číslo n, pro něž i čísla 2n, 3 3n, 5 5n jsou přirozená. [57 C I 1] 71. Trojúhelník ABC splňuje při obvyklém značení délek stran podmínku a b c. Vepsaná kružnice se dotýká stran AB, BC a AC po řadě v bodech K, L a M. Dokažte, že z úseček AK, BL a CM lze sestrojit trojúhelník, právě když platí b + c < 3a. [57 C II 1] 7

10 72. Určete všechny dvojice a, b reálných čísel, pro něž má každá z kvadratických rovnic ax 2 + 2bx + 1 = 0, bx 2 + 2ax + 1 = 0 dva různé reálné kořeny, přičemž právě jeden z nich je oběma rovnicím společný. 73. Určete všechny dvojice (a, b) reálných čísel, pro něž mají rovnice společný reálný kořen. 74. Uvažujme dvě kvadratické rovnice x 2 + (3a + b)x + 4a = 0, x 2 + (3b + a)x + 4b = 0 x 2 ax b = 0, x 2 bx a = 0 [57 B I 5] [57 B S 2] s reálnými parametry a, b. Zjistěte, jaké nejmenší a jaké největší hodnoty může nabývat součet a+b, existuje-li právě jedno reálné číslo x, které současně vyhovuje oběma rovnicím. Určete dále všechny dvojice (a, b) reálných parametrů, pro něž uvažovaný součet těchto hodnot nabývá. [57 B II 1] 75. V rovině je dán rovnoběžník ABCD, jehož úhlopříčka BD je kolmá ke straně AD. Označme M (M A) průsečík přímky AC s kružnicí o průměru AD. Dokažte, že osa úsečky BM prochází středem strany CD. [57 B II 3] 76. Množinu M tvoří 2n různých kladných reálných čísel, kde n 2. Uvažujme n obdélníků, jejichž rozměry jsou čísla z M, přičemž každý prvek z M je použit právě jednou. Určete, jaké rozměry mají tyto obdélníky, je-li součet jejich obsahů a) největší možný; b) nejmenší možný. [57 A I 3] 77. Nechť M je libovolný vnitřní bod polokružnice k se středem S a průměrem AB. Označme k A kružnici vepsanou kruhové výseči ASM a k B kružnici vepsanou kruhové výseči BSM. Dokažte, že kružnice k A a k B leží v opačných polorovinách vyťatých některou přímkou kolmou k úsečce AB. (Kružnice vepsaná kruhové výseči se dotýká obou ramen i hraničního oblouku.) [57 A II 4] 78. V oboru reálných čísel řešte soustavu rovnic x + y 2 = y 3, y + x 2 = x Určete všechny trojice (x, y, z) reálných čísel, pro které platí x 2 + xy = y 2 + z 2, z 2 + zy = y 2 + x V oboru reálných čísel řešte soustavu rovnic ax + y = 2, x y = 2a, x + y = 1 o neznámých x a y a reálném parametru a. 8 [57 A III 1] [58 B I 2] [58 B S 1]

11 81. V oboru reálných čísel řešte soustavu rovnic x + y = 1, x y = a, 4ax + 4y = z o neznámých x, y, z a reálném parametru a. 82. V oboru reálných čísel řešte soustavu rovnic 2 sin x cos(x + y) + sin y = 1, 2 sin y cos(y + x) + sin x = 1. [58 B II 1] [58 A I 1] 83. Nechť ABC je ostroúhlý trojúhelník, v němž vnitřní úhel při vrcholu A má velikost 45. Označme D patu výšky z vrcholu C. Uvažujme dále libovolný vnitřní bod P výšky CD. Dokažte tvrzení: Přímky AP a BC jsou navzájem kolmé, právě když úsečky AP a BC jsou shodné. [58 A S 2] 84. Na odvěsnách délek a, b pravoúhlého trojúhelníku leží po řadě středy dvou kružnic k a, k b. Obě kružnice se dotýkají přepony a procházejí vrcholem proti přeponě. Poloměry uvedených kružnic označme ϱ a, ϱ b. Určete největší kladné reálné číslo p takové, že nerovnost p( ϱ a ϱ b a + 1 ) b platí pro všechny pravoúhlé trojúhelníky. 85. Určete velikosti vnitřních úhlů α, β, γ trojúhelníku, pro něž platí 2 sin β sin(α + β) cos α = 1, 2 sin γ sin(β + γ) cos β = 0. [58 A II 2] [58 A II 3] 86. Určete všechna reálná čísla x, která vyhovují rovnici 4x 2 x = 5. (Symbol x značí největší celé číslo, které není větší než číslo x, tzv. dolní celou část reálného čísla x.) [59 C I 3] 87. Určete všechny dvojice reálných čísel x, y, které vyhovují soustavě rovnic x + y = 2 010, x y = p, jestliže a) p = 2, b) p = 3. (Symbol x značí největší celé číslo, které není větší než dané reálné číslo x, tzv. dolní celá část reálného čísla x.) [59 C II 4] 88. V rovině je dána úsečka AB. Sestrojte rovnoběžník ABCD, pro jehož středy stran AB, CD, DA označené po řadě K, L, M platí: body A, B, L, D leží na jedné kružnici a rovněž body K, L, D, M leží na jedné kružnici. [59 B I 3] 89. V rovině je dán rovnoběžník ABCD. Označme K, L, M po řadě středy stran AB, CD, AD. Předpokládejme, že body A, B, L, D leží na jedné kružnici a zároveň i body K, L, D, M leží na jedné kružnici. Dokažte, že AC = 2 AD. [59 B II 3] 9

12 90. Je dán rovnoběžník ABCD s tupým úhlem ABC. Na jeho úhlopříčce AC v polorovině BDC zvolme bod P tak, aby platilo BP D = ABC. Dokažte, že přímka CD je tečnou ke kružnici opsané trojúhelníku BCP, právě když úsečky AB a BD jsou shodné. [59 A II 2] 91. Uvažujme vnitřní bod P daného obdélníku ABCD a označme po řadě Q, R obrazy bodu P v souměrnostech podle středů A, C. Předpokládejme, že přímka QR protne strany AB a BC ve vnitřních bodech M a N. Sestrojte množinu všech bodů P, pro něž platí MN = AB. [60 B I 2] 92. Nechť M, N jsou po řadě vnitřní body stran AB, BC rovnostranného trojúhelníku ABC, pro něž platí AM : MB = BN : NC = 2 : 1. Označme P průsečík přímek AN a CM. Dokažte, že přímky BP a AN jsou navzájem kolmé. [60 B II 3] 93. Jsou dány kružnice k, l, které se protínají v bodech A, B. Označme K, L po řadě dotykové body jejich společné tečny zvolené tak, že bod B je vnitřním bodem trojúhelníku AKL. Na kružnicích k a l zvolme po řadě body N a M tak, aby bod A byl vnitřním bodem úsečky MN. Dokažte, že čtyřúhelník KLMN je tětivový, právě když přímka MN je tečnou kružnice opsané trojúhelníku AKL. 94. Určete všechna reálná čísla c, která lze s oběma kořeny kvadratické rovnice x x + c = 0 uspořádat do tříčlenné aritmetické posloupnosti. [60 A I 3] [60 A S 1] 95. Určete velikosti vnitřních úhlů všech trojúhelníků ABC s vlastností: Uvnitř stran AB, AC existují po řadě body K, M, které s průsečíkem L přímek MB a KC tvoří tětivové čtyřúhelníky AKLM a KBCM se shodnými opsanými kružnicemi. [60 A III 1] 96. Je dán pravoúhlý trojúhelník ABC s pravým úhlem při vrcholu C, jehož obsah označme P. Nechť F je pata výšky z vrcholu C na přeponu AB. Na kolmicích k přímce AB, které procházejí vrcholy A a B, v polorovině opačné k polorovině ABC uvažujme po řadě body D a E, pro něž platí AF = AD a BF = BE. Obsah trojúhelníku DEF označme Q. Dokažte, že platí P Q, a zjistěte, kdy nastane rovnost. [61 B I 2] 97. V oboru celých čísel řešte rovnici x 2 + y 2 + x + y = 4. [61 B S 1] 98. Je dán pravoúhlý trojúhelník ABC s pravým úhlem při vrcholu C. Nechť F je pata výšky z vrcholu C na přeponu AB. Na kolmicích k přímce AB, které procházejí vrcholy A a B, jsou v polorovině opačné k polorovině ABC zvoleny po řadě body D a E, pro něž platí AF = AD a BF = BE. Označme dále R střed úsečky DE. Dokažte, že platí nerovnost RF CF, a zjistěte, kdy nastane rovnost. [61 B S 2] 99. Určete, kolika způsoby lze vrcholům pravidelného devítiúhelníku ABCDEF GHI přiřadit čísla z množiny {17, 27, 37, 47, 57, 67, 77, 87, 97} tak, aby každé z nich bylo 10

13 přiřazeno jinému vrcholu a aby součet čísel přiřazených každým třem sousedním vrcholům byl dělitelný třemi. [61 B II 2] 100. V rovině uvažujme lichoběžník ABCD se základnami AB a CD a označme M střed jeho úhlopříčky AC. Dokažte, že platí: Mají-li trojúhelníky ABM a ACD stejné obsahy, jsou přímky DM a BC rovnoběžné. [61 A S 2] 101. V oboru reálných čísel řešte soustavu rovnic x 4 + y = 5yz, y 4 + z = 5zx, z 4 + x = 5xy. [61 A III 6] 11

14 Pan doktor Jaroslav Švrček se ve druhém poločase dosavadní šedesátileté historie MO v našich zemích vypracoval v jednu z jejích výrazných osobností, které věnují této soutěži neutuchající organizátorskou energii i stálé úsilí při tvorbě nových soutěžních úloh. Tento rodák z Přerova se jako vítěz celostátního kola 21. ročníku MO rozhodl pro studium matematiky na Přírodovědecké fakultě Univerzity Palackého v Olomouci, která se posléze stala jeho celoživotním pracovištěm, na němž předával a dosud předává své znalosti a bohaté praktické zkušenosti mladým adeptům učitelství matematiky na středních školách. Sám se kromě výuky na fakultě již po tři desítky let stále intenzívně věnuje výchově středoškolských matematických talentů. Znají ho a vděčí mu za mnohé dnes již nejen stovky studentů matematických tříd bíloveckého gymnázia, ale i celé generace účastníků různých krajských a zejména celostátních soustředění MO, na jejichž přípravě a organizačním zajištění mívá pan doktor ve funkci místopředsedy ústřední komise MO rozhodující zásluhu. V tomto směru přes zamýšlenou stručnost tohoto textu nelze opomenout jeden jeho významný počin, či spíše mnohaměsíční vytrvalé úsilí při nesnadných jednáních, bez kterých by bylo nemyslitelné, aby akademická Olomouc po jeden zářijový týden roku 2008 úspěšně hostila půlstovku soutěžících z devíti okolních zemí, kteří tehdy přijeli do České republiky právě na Hanou, aby změřili své síly na Středoevropské matematické olympiádě. V lednu 2013 se pan doktor Švrček dožije 60 let. K tomuto jeho životnímu jubileu jsme připravili stávající přehled zadání více než stovky úloh, které pan doktor pro naši matematickou olympiádu sestavil a které byly v soutěžních kolech MO v období uplatněny. Věříme, že touto kolekcí pěkných matematických problémů a poučných postupů jejich řešení, která lze podle uvedených odkazů vyhledat v ročenkách MO nebo na internetu, přesvědčíme čtenáře o bohatosti nápadů a šíři zájmů autora napříč celou oblastí elementární matematiky. Neobvyklým užitím sportovní terminologie úvodem prvního odstavce jsme chtěli naznačit, že pan doktor Švrček kromě matematických zápolení miluje i souboje dvou jedenáctičlenných týmů při hře, pro kterou má naše bohatá mateřština kouzelný termín kopaná. Ani jako matematik nemá pan doktor patrně spočítáno, kolik kilometrů se již najezdil po zejména moravských silnicích za zápasy družstva svého rodného města. Přejeme mu, aby těch tažení s vítězným koncem bylo i v budoucnu co nejvíce. Prosinec 2012 Členové ústřední komise MO 12

Různostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna

Různostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna 16. Trojúhelník, Mnohoúhelník, Kružnice (typy trojúhelníků a jejich vlastnosti, Pythagorova věta, Euklidovy věty, čtyřúhelníky druhy a jejich vlastnosti, kružnice obvodový a středový, úsekový úhel, vzájemná

Více

Návody k domácí části I. kola kategorie A

Návody k domácí části I. kola kategorie A Návody k domácí části I. kola kategorie A 1. Najděte všechny dvojice prvočísel p, q, pro které existuje přirozené číslo a takové, že pq p + q = a + 1 a + 1. 1. Nechť p a q jsou prvočísla. Zjistěte, jaký

Více

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy 5 Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy Trojúhelník: Trojúhelník je definován jako průnik tří polorovin. Pojmy: ABC - vrcholy trojúhelníku abc - strany trojúhelníku ( a+b>c,

Více

PRACOVNÍ SEŠIT PLANIMETRIE. 6. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.

PRACOVNÍ SEŠIT PLANIMETRIE. 6. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online. Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online PRACOVNÍ SEŠIT 6. tematický okruh: PLANIMETRIE vytvořila: RNDr. Věra Effenberger expertka na online přípravu na SMZ

Více

Úlohy domácí části I. kola kategorie B

Úlohy domácí části I. kola kategorie B 6. ročník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategorie B. Mezi všemi desetimístnými čísly dělitelnými jedenácti, v nichž se žádná číslice neopakuje, najděte nejmenší a největší. Řešení. Uvažovaná

Více

2. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku a zlomek uveďte v základním tvaru. 4. Upravte a stanovte podmínky, za kterých má daný výraz smysl:

2. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku a zlomek uveďte v základním tvaru. 4. Upravte a stanovte podmínky, za kterých má daný výraz smysl: KVINTA úlohy k opakování 1. Jsou dány množiny: = {xr; x - 9 5} B = {xr; 1 - x } a) zapište dané množiny pomocí intervalů b) stanovte A B, A B, A - B, B A. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku

Více

Úlohy domácí části I. kola kategorie C

Úlohy domácí části I. kola kategorie C 62. ročník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategorie C 1. Čtvercová tabulka je rozdělena na 16 16 políček. Kobylka se po ní pohybuje dvěma směry: vpravo nebo dolů, přičemž střídá skoky

Více

Sčítání a odčítání Jsou-li oba sčítanci kladní, znaménko výsledku je + +421 +23 = + 444

Sčítání a odčítání Jsou-li oba sčítanci kladní, znaménko výsledku je + +421 +23 = + 444 ARITMETIKA CELÁ ČÍSLA Celá čísla jsou. -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, Celá čísla rozdělujeme na záporná (-1, -2, -3, ) kladná (1, 2, 3,.) nula 0 (není číslo kladné ani záporné) absolutní

Více

Sbírka příkladů z m a t e m a t i k y. Příprava k profilové části maturitní zkoušky

Sbírka příkladů z m a t e m a t i k y. Příprava k profilové části maturitní zkoušky Sbírka příkladů z m a t e m a t i k y Příprava k profilové části maturitní zkoušky školní rok 0/0 . Algebraické výrazy ) Rozložte na součin: a) d) n n a a b + b b c) a + a a b b b n n e) a 0a f) b + 5b

Více

Témata absolventského klání z matematiky :

Témata absolventského klání z matematiky : Témata absolventského klání z matematiky : 1.Dělitelnost přirozených čísel - násobek a dělitel - společný násobek - nejmenší společný násobek (n) - znaky dělitelnosti 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9,10 - společný

Více

PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ

PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky

Více

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce MATEMATIKA 5. TŘÍDA 1 - Přirozená čísla a číslo nula a číselná osa, porovnávání b zaokrouhlování c zápis čísla v desítkové soustavě d součet, rozdíl e násobek, činitel, součin f dělení, dělení se zbytkem

Více

Máme tři různé body A, B, C. Trojúhelník ABC je průnik polorovin ABC, BCA a CAB.

Máme tři různé body A, B, C. Trojúhelník ABC je průnik polorovin ABC, BCA a CAB. 8. Trojúhelník 6. ročník 8. Trojúhelník 8.1. Základní pojmy 8.1.1. Trojúhelník Máme tři různé body A, B, C. Trojúhelník ABC je průnik polorovin ABC, BCA a CAB. Trojúhelník popisujeme proti chodu hodinových

Více

Opakování k maturitě matematika 4. roč. TAD 2 <

Opakování k maturitě matematika 4. roč. TAD 2 < 8.. Otázka číslo Mocniny a odmocniny. b.) Zjednodušte: 6 b. b Opakování k maturitě matematika. roč. TAD : 6.) Zjednodušte: 6 6.) Vypočtěte: a. y : ( a. y ) =.) Usměrněte zlomek =.. Otázka číslo Lineární

Více

Trojúhelník - určují tři body které neleţí na jedné přímce. Trojúhelník je rovněţ moţno povaţovat za průnik tří polorovin nebo tří konvexních úhlů.

Trojúhelník - určují tři body které neleţí na jedné přímce. Trojúhelník je rovněţ moţno povaţovat za průnik tří polorovin nebo tří konvexních úhlů. Trojúhelník Trojúhelník - určují tři body které neleţí na jedné přímce. Trojúhelník je rovněţ moţno povaţovat za průnik tří polorovin nebo tří konvexních úhlů. C Body se nazývají vrcholy trojúhelníku Úsečky

Více

16. Trojúhelník vlastnosti, prvky, konstrukční úlohy Vypracovala: Ing. Ludmila Všetulová, prosinec 2013

16. Trojúhelník vlastnosti, prvky, konstrukční úlohy Vypracovala: Ing. Ludmila Všetulová, prosinec 2013 16. Trojúhelník vlastnosti, prvky, konstrukční úlohy Vypracovala: Ing. Ludmila Všetulová, prosinec 2013 Název školy Obchodní akademie a Střední odborné učiliště Veselí nad Moravou Název a číslo OP OP Vzdělávání

Více

M - Planimetrie pro studijní obory

M - Planimetrie pro studijní obory M - Planimetrie pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je dovoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento dokument byl

Více

PLANIMETRIE. Mgr. Zora Hauptová TROJÚHELNÍK VY_32_INOVACE_MA_1_04

PLANIMETRIE. Mgr. Zora Hauptová TROJÚHELNÍK VY_32_INOVACE_MA_1_04 PLANIMETRIE Mgr. Zora Hauptová TROJÚHELNÍK VY_32_INOVACE_MA_1_04 OPVK 1.5 EU peníze středním školám CZ.1.07/1.500/34.0116 Modernizace výuky na učilišti Název školy Název šablony Předmět Tematický celek

Více

Trojúhelník. MATEMATIKA pro 1. ročníky tříletých učebních oborů. Ing. Miroslav Čapek srpen 2011

Trojúhelník. MATEMATIKA pro 1. ročníky tříletých učebních oborů. Ing. Miroslav Čapek srpen 2011 MATEMATIKA pro 1. ročníky tříletých učebních oborů Trojúhelník Ing. Miroslav Čapek srpen 2011 Projekt Využití e-learningu k rozvoji klíčových kompetencí reg. č.: CZ.1.07/1.1.10/03.0021 je spolufinancován

Více

Vzorce počítačové grafiky

Vzorce počítačové grafiky Vektorové operace součet vektorů rozdíl vektorů opačný vektor násobení vektoru skalárem úhel dvou vektorů velikost vektoru a vzdálenost dvojice bodů v rovině (v prostoru analogicky) u = B A= b a b a u

Více

101 Střední škola, město Zadání - Náboj 2008 Úloha 1. Kolik různých trojúhelníků s celočíselnými délkami stran má obvod 7? Které to jsou?

101 Střední škola, město Zadání - Náboj 2008 Úloha 1. Kolik různých trojúhelníků s celočíselnými délkami stran má obvod 7? Které to jsou? Úloha 1. Kolik různých trojúhelníků s celočíselnými délkami stran má obvod 7? Které to jsou? Úloha 2. V růžovém království se platí mincemi v hodnotě 3 a 7. Určete největší částku, která se nedá pomocí

Více

53. ročník matematické olympiády. q = 65

53. ročník matematické olympiády. q = 65 53. ročník matematické olympiády! 1. V rovině je dán obdélník ABCD, kde AB = a < b = BC. Na jeho straně BC eistuje bod K a na straně CD bod L tak, že daný obdélník je úsečkami AK, KL a LA rozdělen na čtyři

Více

Matematický KLOKAN 2005 kategorie Junior

Matematický KLOKAN 2005 kategorie Junior Matematický KLOKAN 2005 kategorie Junior Vážení přátelé, v následujících 75 minutách vás čeká stejný úkol jako mnoho vašich vrstevníků v řadě dalších evropských zemí. V níže uvedeném testu je zadáno čtyřiadvacet

Více

Mgr. Monika Urbancová. a vepsané trojúhelníku

Mgr. Monika Urbancová. a vepsané trojúhelníku Název projektu Život jako leporelo Registrační číslo CZ.1.07/1.4.00/21.3763 Autor Mgr. Monika Urbancová Datum 28. 8. 2014 Ročník 6. ročník Vzdělávací oblast MATEMATIKA A JEJÍ APLIKACE Vzdělávací obor MATEMATIKA

Více

Úterý 8. ledna. Cabri program na rýsování. Základní rozmístění sad nástrojů na panelu nástrojů

Úterý 8. ledna. Cabri program na rýsování. Základní rozmístění sad nástrojů na panelu nástrojů Úterý 8. ledna Cabri program na rýsování program umožňuje rýsování základních geometrických útvarů, měření délky úsečky, velikosti úhlu, výpočet obvodů a obsahů. Je vhodný pro rýsování geometrických míst

Více

Základní pojmy: Objemy a povrchy těles Vzájemná poloha bodů, přímek a rovin Opakování: Obsahy a obvody rovinných útvarů

Základní pojmy: Objemy a povrchy těles Vzájemná poloha bodů, přímek a rovin Opakování: Obsahy a obvody rovinných útvarů 1/13 Základní pojmy: Objemy a povrchy těles Vzájemná poloha bodů, přímek a rovin Opakování: Obsahy a obvody rovinných útvarů STEREOMETRIE Stereometrie - geometrie v prostoru - zabývá se vzájemnou polohou

Více

Sbírka příkladů ke školní části maturitní zkoušky z matematiky

Sbírka příkladů ke školní části maturitní zkoušky z matematiky Sbírka příkladů ke školní části maturitní zkoušky z matematiky. otázka. Řešení logaritmických rovnic Řešte rovnici s neznámou x R:. log(x 2 +) log(x+) = 2 2. log 2 2 x + 2 log 2 x = 0. log x + log x =.

Více

Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205

Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205 Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49 Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205 Šablona: III/2 Přírodovědné

Více

Úloha2.Naleznětevšechnydvojicereálnýchčísel(a,b)takové,žečísla10, a, b, abtvořívtomtopořadí aritmetickou posloupnost.

Úloha2.Naleznětevšechnydvojicereálnýchčísel(a,b)takové,žečísla10, a, b, abtvořívtomtopořadí aritmetickou posloupnost. Úloha. V Americe se pro měření teploty používají místo Celsiových stupňů stupně Fahrenheitovy. PřepočetzCelsiovýchstupňůnaFahrenheitovylzeprovéstpodlevzorce f = 9 5 c+32(cjsoustupně Celsiovy, f Farenheitovy).

Více

[ ] = [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) = [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) 2 1 :: MOCNINY A ODMOCNINY

[ ] = [ ] ( ) ( ) [ ] ( ) = [ ] ( ) ( ) ( ) ( ) = ( ) ( ) ( ) 2 1 :: MOCNINY A ODMOCNINY Daniel Nechvátal :: maturitní otázky z matematiky 008 :: MOCNINY A ODMOCNINY ) Zjednodušte následující výrazy a určete, pro které hodnoty proměnných mají smysl a) ( ) ( ) [ ] ( ) ( ) [ ] : n n n n b) [

Více

PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ

PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky

Více

TROJÚHELNÍK 180. Definice. C neleží v přímce. Potom trojúhelníkem ABC nazveme průnik polorovin ABC, BCA, Nechť body. Viz příloha: obecny_trojuhelnik

TROJÚHELNÍK 180. Definice. C neleží v přímce. Potom trojúhelníkem ABC nazveme průnik polorovin ABC, BCA, Nechť body. Viz příloha: obecny_trojuhelnik TROJÚHELNÍK Definice Nechť body A, B, C neleží v přímce. Potom trojúhelníkem ABC nazveme průnik polorovin ABC, BCA, CAB. Viz příloha: obecny_trojuhelnik Definice trojúhelníku Uzavřená, jednoduchá (neprotínající

Více

Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49

Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49 Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49 Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205 Šablona: III/2 Přírodovědné

Více

Polibky kružnic: Intermezzo

Polibky kružnic: Intermezzo Polibky kružnic: Intermezzo PAVEL LEISCHNER Pedagogická fakulta JU, České Budějovice Věta 21 z Archimedovy Knihy o dotycích kruhů zmíněná v předchozím dílu seriálu byla inspirací k tomuto původně neplánovanému

Více

Přípravný kurz. k přijímacím zkouškám z matematiky pro uchazeče o studium na gymnáziu (čtyřletý obor) pro

Přípravný kurz. k přijímacím zkouškám z matematiky pro uchazeče o studium na gymnáziu (čtyřletý obor) pro Příjímací zkoušky 01 Přípravný kurz k přijímacím zkouškám z matematiky pro uchazeče o studium na gymnáziu (čtyřletý obor) 1. Číselné obory 1.1. Doplňte číslo do rámečku tak, aby platila rovnost: 1.1.1.

Více

ŘEŠENÉ PŘÍKLADY DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. ONDŘEJ MACHŮ a kol.

ŘEŠENÉ PŘÍKLADY DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE. ONDŘEJ MACHŮ a kol. ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z DESKRIPTIVNÍ GEOMETRIE ONDŘEJ MACHŮ a kol. Předmluva Otevíráte sbírku, která vznikla z příkladů zadaných studentům pátého ročníku PřF UP v Olomouci, učitelů matematiky a deskriptivní

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Projekt: Digitální učební materiály ve škole, registrační číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0527 Příjemce: Střední zdravotnická škola a Vyšší odborná škola zdravotnická, Husova

Více

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná

PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná PRIMA Přirozená čísla Celá čísla Desetinná čísla Číselná osa Pravidla pro násobení a dělení 10, 100, 1000..a 0,1, 0,01, 0,001.. Čísla navzájem opačná Racionální čísla Zlomky Rozšiřování a krácení zlomků

Více

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

ANALYTICKÁ GEOMETRIE INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ ANALYTICKÁ GEOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Příklady k opakování učiva ZŠ

Příklady k opakování učiva ZŠ Příklady k opakování učiva ZŠ 1. Číslo 78 je dělitelné: 8 7 3. Rozhodněte, které z následujících čísel je dělitelem čísla 94: 4 14 15 3. Určete všechny dělitele čísla 36:, 18, 4, 9, 6, 3, 1, 3, 6, 1 3,

Více

Planimetrie úvod, základní pojmy (teorie)

Planimetrie úvod, základní pojmy (teorie) Planimetrie úvod, základní pojmy (teorie) Geometrie (původně zeměměřictví) nyní část matematiky, zabývající se studiem geometrických objektů Planimetrie rovinná geometrie Stereometrie prostorová geometrie

Více

Planimetrie pro studijní obory

Planimetrie pro studijní obory Variace 1 Planimetrie pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. 1. Planimetrie Planimetrie

Více

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky

Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Cvičné texty ke státní maturitě z matematiky Pracovní listy s postupy řešení Brno 2010 RNDr. Rudolf Schwarz, CSc. Státní maturita z matematiky Obsah Obsah NIŽŠÍ úroveň obtížnosti 4 MAGZD10C0K01 říjen 2010..........................

Více

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání

METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání Jaroslav Švrček a kolektiv Rámcový vzdělávací program pro gymnázia Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Tematický okruh: Geometrie

Více

Digitální učební materiál

Digitální učební materiál Digitální učební materiál Projekt: Digitální učební materiály ve škole, registrační číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0527 Příjemce: Střední zdravotnická škola a Vyšší odborná škola zdravotnická, Husova

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ základní úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo

Více

Doučování sekunda. měsíc Probírané učivo Základní učivo září Opakování učiva z primy

Doučování sekunda. měsíc Probírané učivo Základní učivo září Opakování učiva z primy Doučování sekunda měsíc Probírané učivo Základní učivo září Opakování učiva z primy Desetinná čísla Krychle a kvádr Prvočísla a čísla složená Společný násobek a dělitel Prvočísla a čísla složená Trojúhelník

Více

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0.

II. Zakresli množinu bodů, ze kterých vidíme úsečku délky 3 cm v zorném úhlu větším než 30 0 a menším než 60 0. Ukázky typových maturitních příkladů z matematiky..reálná čísla. 3} x R; I. Zobrazte množiny A = {x є 3} < + x R; B = {x є II. Zapište ve tvaru zlomku číslo, 486.Komplexní čísla. I. Určete a + b, a - b,

Více

MATEMATIKA 6. ročník II. pololetí

MATEMATIKA 6. ročník II. pololetí Úhel a jeho velikost: MATEMATIKA 6. ročník II. pololetí 26A Převeď na stupně a minuty: 126 = 251 = 87 = 180 = 26B Převeď na stupně a minuty: 92 = 300 = 146 = 248 = 27A Převeď na minuty: 3 0 = 1 0 25 =

Více

6. Čtyřúhelníky, mnohoúhelníky, hranoly

6. Čtyřúhelníky, mnohoúhelníky, hranoly 6. Čtyřúhelníky, mnohoúhelníky, hranoly 7. ročník - 6. Čtyřúhelníky, mnohoúhelníky, hranoly 6.1. Základní pojmy 6.1.1. n úhelník n - úhelník pro n > 2 je geometrický obrazec, který má n vrcholů ( stran,

Více

Přípravný kurz - Matematika

Přípravný kurz - Matematika Přípravný kurz - Matematika Téma: Konstrukční úlohy Klíčová slova: rozbor, náčrt, popis, diskuse počtu řešení, kružnice opsaná a vepsaná Autor: trojúhelníku Mlynářová 1 Kontrukční úlohy Výsledkem tzv.

Více

MĚSÍC MATEMATIKA GEOMETRIE

MĚSÍC MATEMATIKA GEOMETRIE 3. ročník Bod, přímka ZÁŘÍ Násobení a dělení Aplikační úlohy (nakupujeme) Bod, přímka Úsečka Násobení a dělení ŘÍJEN Procvičování Pamětné sčítání a odčítání, aplikační úlohy Polopřímka Modelování polopřímek

Více

6. Úhel a jeho vlastnosti

6. Úhel a jeho vlastnosti 6. Úhel a jeho vlastnosti 6.1 Úhel, osa úhlu 6.1.1 Úhel Úhel je část roviny ohraničená dvěma polopřímkami se společným počátkem. Polopřímkám říkáme ramena úhlu. Jejich společný počátek nazýváme vrchol

Více

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ

POSLOUPNOSTI A ŘADY INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ POSLOUPNOSTI A ŘADY Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

Oblast podpory: 1.4 Zlepšení podmínek pro vzdělávání na základních školách. Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.4.00/21. 0918

Oblast podpory: 1.4 Zlepšení podmínek pro vzdělávání na základních školách. Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.4.00/21. 0918 Prioritní osa: 1 Počáteční vzdělávání Oblast podpory: 1.4 Zlepšení podmínek pro vzdělávání na základních školách Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.4.00/21. 0918 Název projektu:inovace vzdělávání v

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 Úvodní obrazovka Menu (vlevo nahoře) Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 1 (pro 12-16 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu

Více

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků

Požadavky na konkrétní dovednosti a znalosti z jednotlivých tematických celků Maturitní zkouška z matematiky 2012 požadované znalosti Zkouška z matematiky ověřuje matematické základy formou didaktického testu. Test obsahuje uzavřené i otevřené úlohy. V uzavřených úlohách je vždy

Více

v z t sin ψ = Po úpravě dostaneme: sin ψ = v z v p v p v p 0 sin ϕ 1, 0 < v z sin ϕ < 1.

v z t sin ψ = Po úpravě dostaneme: sin ψ = v z v p v p v p 0 sin ϕ 1, 0 < v z sin ϕ < 1. Řešení S-I-4-1 Hledáme vlastně místo, kde se setkají. A to tak, aby nemusel pes na zajíce čekat nebo ho dohánět. X...místo setkání P...místo, kde vybíhá pes Z...místo, kde vybíhá zajíc ZX = v z t P X =

Více

8. Slovní úlohy na extrémy

8. Slovní úlohy na extrémy 8. Slovní úlohy na extrémy Vtétokapitolenaznačíme,jakřešitněkteré praktické (většinougeometrické) úlohy související s extrémy funkcí jedné proměnné. Novým prvkem bude nutnost slovně zadanou úlohu nejdříve

Více

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik

MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik MATEMATIKA Tematické okruhy ke státní maturitní zkoušce Obor: mechanik elektronik R4 1. ČÍSELNÉ VÝRAZY 1.1. Přirozená čísla počítání s přirozenými čísly, rozlišit prvočíslo a číslo složené, rozložit složené

Více

GONIOMETRIE A TRIGONOMETRIE

GONIOMETRIE A TRIGONOMETRIE GONIOMETRIE A TRIGONOMETRIE Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu

Více

MATEMATIKA. vyšší úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST MAGVD10C0T01. Testový sešit neotvírejte, počkejte na pokyn!

MATEMATIKA. vyšší úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST MAGVD10C0T01. Testový sešit neotvírejte, počkejte na pokyn! MATEMATIKA vyšší úroveň obtížnosti MAGVD10C0T01 DIDAKTICKÝ TEST Didaktický test obsahuje 21 úloh. Časový limit pro řešení didaktického testu je uveden na záznamovém archu. Povolené pomůcky: psací a rýsovací

Více

8. ročník 6. Podobnost. Geometrické funkce v pravoúhlém trojúhelníku 6. Podobnost. Goniometrické funkce v pravoúhlém trojúhelníku

8. ročník 6. Podobnost. Geometrické funkce v pravoúhlém trojúhelníku 6. Podobnost. Goniometrické funkce v pravoúhlém trojúhelníku 6. Podobnost. Goniometrické funkce v pravoúhlém trojúhelníku 6.1. Podobnost geometrických útvarů. Podobností ( podobným zobrazením ) nazýváme takové geometrické zobrazení, je-li každému bodu X přiřazen

Více

1. Opakování učiva 6. ročníku

1. Opakování učiva 6. ročníku . Opakování učiva 6. ročníku.. Čísla, zlomek ) Z číslic, 6 a sestavte všechna trojciferná čísla tak, aby v každém z nich byly všechny tři číslice různé. ) Z číslic, 0, 3, sestavte všechna čtyřciferná čísla

Více

STEREOMETRIE ZÁKLADNÍ POJMY, METRICKÉ VLASTNOSTI, ODCHYLKY, VZDÁLENOSTI. STEREOMETRIE geometrie v prostoru

STEREOMETRIE ZÁKLADNÍ POJMY, METRICKÉ VLASTNOSTI, ODCHYLKY, VZDÁLENOSTI. STEREOMETRIE geometrie v prostoru Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA DRUHÝ Mgr. Tomáš MAŇÁK 4. května 2014 Název zpracovaného celku: STEREOMETRIE ZÁKLADNÍ POJMY, METRICKÉ VLASTNOSTI, ODCHYLKY, VZDÁLENOSTI STEREOMETRIE geometrie

Více

Oblast podpory: 1.4 Zlepšení podmínek pro vzdělávání na základních školách

Oblast podpory: 1.4 Zlepšení podmínek pro vzdělávání na základních školách Prioritní osa: 1 Počáteční vzdělávání Oblast podpory: 1.4 Zlepšení podmínek pro vzdělávání na základních školách Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.4.00/21. 0918 Název projektu:inovace vzdělávání v

Více

Autor: Mgr. Lukáš Saulich Název školy: Gymnázium Jana Nerudy, škola hl. města Prahy. Předmět, mezipředmětové vztahy: matematika a její aplikace

Autor: Mgr. Lukáš Saulich Název školy: Gymnázium Jana Nerudy, škola hl. města Prahy. Předmět, mezipředmětové vztahy: matematika a její aplikace Název: Rotace Autor: Mgr. Lukáš Saulich Název školy: Gymnázium Jana Nerudy, škola hl. města Prahy Předmět, mezipředmětové vztahy: matematika a její aplikace Ročník: 3. (1. ročník vyššího gymnázia) Tématický

Více

Pojmy: stěny, podstavy, vrcholy, podstavné hrany, boční hrany (celkem hran ),

Pojmy: stěny, podstavy, vrcholy, podstavné hrany, boční hrany (celkem hran ), Tělesa 1/6 Tělesa 1.Mnohostěny n-boký hranol Pojmy: stěny, podstavy, vrcholy, podstavné hrany, boční hrany (celkem hran ), hranol kosý hranol kolmý (boční stěny jsou kolmé k rovině podstavy) pravidelný

Více

Příklady na testy předmětu Seminář z matematiky pro studenty fakulty strojní TUL.

Příklady na testy předmětu Seminář z matematiky pro studenty fakulty strojní TUL. Příklady na testy předmětu Seminář z matematiky pro studenty fakulty strojní TUL. Jméno a příjmení(čitelně): varianta č. 90 Přezdívka(nepovinné): Zde pište své výsledky Napište rovnici přímky procházející

Více

Test žáka. Zdroj testu: Celoplošná zkouška 2. Školní rok 2012/2013 MATEMATIKA. Jméno: Třída: Škola: Termín provedení testu:

Test žáka. Zdroj testu: Celoplošná zkouška 2. Školní rok 2012/2013 MATEMATIKA. Jméno: Třída: Škola: Termín provedení testu: Test žáka Zdroj testu: Celoplošná zkouška 2 Školní rok 2012/2013 MATEMATIKA Jméno: Třída: Škola: Termín provedení testu: Datum vytvoření: 14. 10. 2013 Obtížnost 1 Úloha 1 Trojúhelník má jeden úhel tupý,

Více

MATEMATIKA základní úroveň obtížnosti

MATEMATIKA základní úroveň obtížnosti ILUSTRAČNÍ DIDAKTICKÝ TEST MATEMATIKA základní úroveň obtížnosti DIDAKTICKÝ TEST Didaktický test obsahuje 8 úloh. Časový limit pro řešení didaktického testu je uveden na záznamovém archu. Povolené pomůcky:

Více

SBÍRKA ÚLOH PRO PŘÍPRAVU NA PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY Z MATEMATIKY NA VŠ EKONOMICKÉHO SMĚRU

SBÍRKA ÚLOH PRO PŘÍPRAVU NA PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY Z MATEMATIKY NA VŠ EKONOMICKÉHO SMĚRU SBÍRKA ÚLOH PRO PŘÍPRAVU NA PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY Z MATEMATIKY NA VŠ EKONOMICKÉHO SMĚRU Tento materiál vznikl v rámci realizace projektu: Globální vzdělávání pro udržitelný rozvoj v sítí spolupracujících škol,

Více

Test Matematika Var: 101

Test Matematika Var: 101 Test Matematika Var: 101 Pokyny: Vyplňte příslušné kolečko odpovídající správné odpovědi u každé otázky ve zvláštním odpovědním formuláři, který Vám byl rozdán spolu se zadáním testu. 1. Přímky p: y =

Více

MATEMATIKA ZÁKLADNÍ ÚROVEŇ

MATEMATIKA ZÁKLADNÍ ÚROVEŇ NOVÁ MTURITNÍ ZKOUŠK Ilustrační test 2008 Základní úroveň obtížnosti MVCZMZ08DT MTEMTIK ZÁKLDNÍ ÚROVEŇ DIDKTICKÝ TEST Testový sešit obsahuje 8 úloh. Na řešení úloh máte 90 minut. Úlohy řešte v testovém

Více

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě.

Žák plní standard v průběhu primy a sekundy, učivo absolutní hodnota v kvartě. STANDARDY MATEMATIKA 2. stupeň ČÍSLO A PROMĚNNÁ 1. M-9-1-01 Žák provádí početní operace v oboru celých a racionálních čísel; užívá ve výpočtech druhou mocninu a odmocninu 1. žák provádí základní početní

Více

Obecné informace: Typy úloh a hodnocení:

Obecné informace: Typy úloh a hodnocení: Obecné informace: Počet úloh: 30 Časový limit: 60 minut Max. možný počet bodů: 30 Min. možný počet bodů: 8 Povolené pomůcky: modrá propisovací tužka obyčejná tužka pravítko kružítko mazací guma Poznámky:

Více

5. Konstrukce trojúhelníků Konstrukce trojúhelníků podle vět sss, sus, usu, Ssu (ssu):

5. Konstrukce trojúhelníků Konstrukce trojúhelníků podle vět sss, sus, usu, Ssu (ssu): 5. Konstruke trojúhelníků Konstruke trojúhelníků podle vět sss, sus, usu, Ssu (ssu): 1. Nrýsuj trojúhelník ABC, je-li dáno: AB = 7,6 m, BC = 4,2 m, AC = 5,6 m Řešení: Pro strny trojúhelníku musí pltit

Více

1. VÝROKOVÁ LOGIKA. a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l)

1. VÝROKOVÁ LOGIKA. a) b) c) d) e) f) g) h) i) j) k) l) 1. VÝROKOVÁ LOGIKA 1. Negujte výroky s kvantifikátory, výroky g j a jejich negace zapište i symbolicky a) Alespoň 5 dnů bude pršet. b) Úloha má právě 2 řešení. c) Žádný z předmětů mě nebaví. d) Nejvýše

Více

Alternace 2012/13 ALTERNACE MATEMATIKA 4. ROČNÍK 2012/13

Alternace 2012/13 ALTERNACE MATEMATIKA 4. ROČNÍK 2012/13 ALTERNACE MATEMATIKA 4. ROČNÍK 01/13-1- Obsah Posloupnosti... 4 Aritmetická posloupnost... 5 Geometrická posloupnost... 6 Geometrické řady... 7 Finanční matematika... 8 Vektor, operace s vektory... 9 Vzdálenosti

Více

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT)

MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) MATEMATIKA Maturitní témata společná část MZ vyšší úroveň (vychází z Katalogu požadavků MŠMT) 1. Číselné obory 1.1 Přirozená čísla provádět aritmetické operace s přirozenými čísly rozlišit prvočíslo a

Více

Opakování na 2. trimestrální test z MATEMATIKY PRIMA. Dělitelnost. 3. Rozložte daná čísla na součin prvočísel: 128; 96; 78; 105; 150.

Opakování na 2. trimestrální test z MATEMATIKY PRIMA. Dělitelnost. 3. Rozložte daná čísla na součin prvočísel: 128; 96; 78; 105; 150. Opakování na 2. trimestrální test z MATEMATIKY PRIMA Dělitelnost 1. Z čísel 1800; 356; 168; 855; 380; 768; 2880; 435; 2000 vyberte čísla: a) dělitelná dvěma: b) dělitelná třemi: c) dělitelná čtyřmi: d)

Více

- 1 - 1. - osobnostní rozvoj cvičení pozornosti,vnímaní a soustředění při řešení příkladů,, řešení problémů

- 1 - 1. - osobnostní rozvoj cvičení pozornosti,vnímaní a soustředění při řešení příkladů,, řešení problémů - 1 - Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Vyučovací předmět: Matematika 6.ročník Výstup Učivo Průřezová témata - čte, zapisuje a porovnává přirozená čísla s přirozenými čísly - zpaměti a písemně

Více

7/ Podstavou kolmého trojbokého hranolu ABCA BĆ je rovnoramenný trojúhelník ABC. Určete odchylku přímek: a) BA ; BC b) A B ; BC c) AB ; BC

7/ Podstavou kolmého trojbokého hranolu ABCA BĆ je rovnoramenný trojúhelník ABC. Určete odchylku přímek: a) BA ; BC b) A B ; BC c) AB ; BC Stereometrie 1/ Je dána krychle ABCDEFGH. Uveďte všechny přímky, které procházejí bodem E a dalším vrcholem krychle a jsou s přímkou BC a) rovnoběžné b) různoběžné c) mimoběžné / Je dána krychle ABCDEFGH.

Více

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA

Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA Wichterlovo gymnázium, Ostrava-Poruba, příspěvková organizace Maturitní otázky z předmětu MATEMATIKA 1. Výrazy a jejich úpravy vzorce (a+b)2,(a+b)3,a2-b2,a3+b3, dělení mnohočlenů, mocniny, odmocniny, vlastnosti

Více

Předpokládané znalosti žáka 1. stupeň:

Předpokládané znalosti žáka 1. stupeň: Předpokládané znalosti žáka 1. stupeň: ČÍSLO A POČETNÍ OPERACE používá přirozená čísla k modelování reálných situací, počítá předměty v daném souboru, vytváří soubory s daným počtem prvků čte, zapisuje

Více

Mária Sadloňová. Fajn MATIKA. 150 řešených příkladů (vzorek)

Mária Sadloňová. Fajn MATIKA. 150 řešených příkladů (vzorek) Mária adloňová Fajn MATIKA (nejen) na přijímačky 50 řešených příkladů (vorek) 0 Mgr. Mária adloňová FajnMATIKA (nejen) na přijímačky 50 řešených příkladů (reklamní vorek) Mgr. Mária adloňová, 0 Vydavatel

Více

1. ABSOLUTNÍ HODNOTA. : y= 4. Je dán trojúhelník ABC, A[-3; 4], B[-1; -2], C[3; 6]. Vypočítejte velikosti všech výšek.

1. ABSOLUTNÍ HODNOTA. : y= 4. Je dán trojúhelník ABC, A[-3; 4], B[-1; -2], C[3; 6]. Vypočítejte velikosti všech výšek. . ABSOLUTNÍ HODNOTA definice absolutní hodnoty reálného čísla a geometrická interpretace, definice absolutní hodnoty komplexního čísla a geometrická interpretace, vzdálenost bodu od přímky (v rovině i

Více

- čte a zapisuje desetinná čísla MDV kritické čtení a - zaokrouhluje, porovnává. - aritmetický průměr

- čte a zapisuje desetinná čísla MDV kritické čtení a - zaokrouhluje, porovnává. - aritmetický průměr Matematika - 6. ročník Provádí početní operace v oboru desetinná čísla racionálních čísel - čtení a zápis v desítkové soustavě F užití desetinných čísel - čte a zapisuje desetinná čísla - zaokrouhlování

Více

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci

Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Geometire Gradovaný řetězec úloh Téma: obsahy a obvody mnohoúhelníků, grafy funkcí s absolutní

Více

Matematika sbírka příkladů Vzorové příklady pro opakování k profilové části maturitní zkoušky

Matematika sbírka příkladů Vzorové příklady pro opakování k profilové části maturitní zkoušky Matematika sbírka příkladů Vzorové příklady pro opakování k profilové části maturitní zkoušky Množiny, číselné obory, algebraické výrazy ) Zapište výčtem prvků množiny: a) A = {n N, n < 5} b) B = {x R,

Více

Měsíc: učivo:. PROSINEC Numerace do 7, rozklad čísla 1 7. Sčítání a odčítání v oboru do 7, slovní úlohy.

Měsíc: učivo:. PROSINEC Numerace do 7, rozklad čísla 1 7. Sčítání a odčítání v oboru do 7, slovní úlohy. Předmět: MATEMATIKA Ročník: PRVNÍ Měsíc: učivo:. ZÁŘÍ Úvod k učivu o přirozeném čísle. Numerace do 5, čtení čísel 0-5. Vytváření souborů o daném počtu předmětů. Znaménka méně, více, rovná se, porovnávání

Více

ZÁKLADY PLANIMETRIE. 1.1 Přímka. Základy planimetrie, Jaroslav Reichl, 2013

ZÁKLADY PLANIMETRIE. 1.1 Přímka. Základy planimetrie, Jaroslav Reichl, 2013 ZÁKLADY PLANIMETRIE Planimetrie je část matematiky, která se zabývá studiem geometrických útvarů v rovině. Těmito útvary v rovině jsou: 1. body - značí se velkými písmeny latinské abecedy (A, B, C, D,

Více

5.2. Funkce, definiční obor funkce a množina hodnot funkce

5.2. Funkce, definiční obor funkce a množina hodnot funkce 5. Funkce 8. ročník 5. Funkce 5.. Opakování - Zobrazení a zápis intervalů a) uzavřený interval d) otevřený interval čísla a,b krajní body intervalu číslo a patří do intervalu (plné kolečko) číslo b patří

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

Konkretizovaný výstup Konkretizované učivo Očekávané výstupy RVP. Zápis čísla v desítkové soustavě - porovnávání čísel - čtení a psaní čísel

Konkretizovaný výstup Konkretizované učivo Očekávané výstupy RVP. Zápis čísla v desítkové soustavě - porovnávání čísel - čtení a psaní čísel Ročník: I. - vytváří si názoru představu o čísle 5, 10, 20 - naučí se vidět počty prvků do 5 bez počítání po jedné - rozpozná a čte čísla 0 5 - pozná a čte čísla 0 10 - určí a čte čísla 0 20 Číselná řada

Více

CZ.1.07/1.5.00/34.0527

CZ.1.07/1.5.00/34.0527 Projekt: Příjemce: Digitální učební materiály ve škole, registrační číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0527 Střední zdravotnická škola a Vyšší odborná škola zdravotnická, Husova 3, 371 60 České Budějovice

Více

MATEMATIKA+ MAIPD14C0T01 DIDAKTICKÝ TEST. 2.1 Pokyny k otevřeným úlohám. 1 Základní informace k zadání zkoušky. 2.2 Pokyny k uzavřeným úlohám

MATEMATIKA+ MAIPD14C0T01 DIDAKTICKÝ TEST. 2.1 Pokyny k otevřeným úlohám. 1 Základní informace k zadání zkoušky. 2.2 Pokyny k uzavřeným úlohám MATEMATIKA+ DIDAKTICKÝ TEST MAIPD14C0T01 Maximální bodové hodnocení: 50 bodů Hranice úspěšnosti: 33 % 1 Základní informace k zadání zkoušky Didaktický test obsahuje 23 úloh. Časový limit pro řešení didaktického

Více

β 180 α úhel ve stupních β úhel v radiánech β = GONIOMETRIE = = 7π 6 5π 6 3 3π 2 π 11π 6 Velikost úhlu v obloukové a stupňové míře: Stupňová míra:

β 180 α úhel ve stupních β úhel v radiánech β = GONIOMETRIE = = 7π 6 5π 6 3 3π 2 π 11π 6 Velikost úhlu v obloukové a stupňové míře: Stupňová míra: GONIOMETRIE Veliost úhlu v oblouové a stupňové míře: Stupňová míra: Jednota (stupeň) 60 600 jeden stupeň 60 minut 600 vteřin Př. 5,4 5 4 0,4 0,4 60 4 Oblouová míra: Jednota radián radián je veliost taového

Více

Zapíšeme k ( S ; r ) Čteme kružnice k je určena středem S a poloměrem r.

Zapíšeme k ( S ; r ) Čteme kružnice k je určena středem S a poloměrem r. 7. Kruh, kružnice, válec 7. ročník - 7. Kruh, kružnice, válec 7.1 Kruh, kružnice 7.1.1. Základní pojmy Kružnice je množina bodů mající od daného bodu stejnou vzdálenost. Daný bod označujeme jako střed

Více