Úlohy MO z let navržené dr. Jaroslavem Švrčkem

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Úlohy MO z let navržené dr. Jaroslavem Švrčkem"

Transkript

1 Úlohy MO z let navržené dr. Jaroslavem Švrčkem

2

3 1. Je dána polokružnice o středu S sestrojená nad průměrem AB. Sestrojte takovou její tečnu t s dotykovým bodem T (A T B), aby platilo P BCS = 2P DAT, kde P XY Z značí obsah trojúhelníku XY Z a kde body D, C jsou po řadě paty kolmic spuštěných z bodů A, B na přímku t. [44 C I 2] 2. Určete všechny trojice celých nezáporných čísel a, b, c, které vyhovují soustavě rovnic a + bc = 3c, b + ca = 3a, c + ab = 3b. [44 C S 1] 3. Určete počet všech čtyřmístných čísel n s vlastností: Jestliže k číslu n přičteme čtyřmístné číslo n, jehož zápis v desítkové soustavě má opačné pořadí číslic než číslo n, dostaneme číslo, které je dělitelné 70. [44 C II 1] 4. V rovině je dán rovnostranný trojúhelník ABC a přímky p A, p B, které jsou kolmé k AB a procházejí po řadě body A, B. Sestrojte pravoúhlý trojúhelník KLC s přeponou KL, který má stejný obsah jako trojúhelník ABC a přitom jeho vrcholy K, L leží po řadě na přímkách p A, p B. [44 C II 3] 5. Určete všechna reálná čísla a, pro něž existuje právě jedna uspořádaná dvojice [x, y] reálných čísel takových, že x + 1 y y x = y + 1 x x y = a. [44 B II 1] 6. Sestrojte lichoběžník ABCD (AB CD) s pravým úhlem při vrcholu A, je-li AC = 5 cm, BD = 7 cm a úhlopříčka AC dělí obsah lichoběžníku na dvě části v poměru 2 : 1. [45 C I 3] 7. V polorovině ABM sestrojte kružnice k 1 a k 2, které se dotýkají přímky AB po řadě v daných bodech A a B, dotýkají se vně v nějakém bodě T a jejich společná tečna v tomto bodě prochází daným bodem M. [45 C II 4] 8. Body dotyku tečen vedených z bodu V ke kružnici k označme A, B. Sestrojte sečnu kružnice k tak, aby procházela bodem V a kružnici k protínala v bodech C, D, kde AC = BD. [45 B II 2] 9. Ve čtverci ABCD je R střed strany CD a Q průsečík úhlopříčky BD s přímkou AR. Na straně BC zvolte bod P tak, aby úsečka P Q rozdělila lichoběžník ABCR na dva čtyřúhelníky stejného obsahu. [46 C II-4] 10. Nechť ABCD je lichoběžník (AB CD), jehož úhlopříčky jsou navzájem kolmé. Dokažte nerovnost AB + CD < BC + DA. [46 B II 3] 11. Pro každé přirozené číslo n 2 určete největší hodnotu výrazu V n = sin x 1 cos x 2 + sin x 2 cos x sin x n 1 cos x n + sin x n cos x 1, kde x 1, x 2,..., x n jsou libovolná reálná čísla. 1 [46 A III 5]

4 12. Dokažte, že pro každou trojici x, y, z kladných čísel platí nerovnost ( 2 xyz x + y + 2 y + z + 2 ) x + y + z. z + x Zjistěte, kdy nastane rovnost. 13. Určete všechny trojice (a, b, c) reálných čísel, pro které platí a + b + c = 1, ab + bc + ca = abc. [47 B I 3] [47 B S 1] 14. Je dán pravoúhlý lichoběžník se základnami a, c (a > c) a delším ramenem b. Sestrojte přímku, která daný lichoběžník rozdělí na dva navzájem podobné čtyřúhelníky. Proveďte diskusi o počtu řešení vzhledem k délkám a, b, c. [47 A I 6] 15. V obdélníku ABCD platí AB > BC. Oblouk AC kružnice, jejíž střed leží na straně AB, protíná stranu CD v bodě M. Dokažte, že přímky AM a BD jsou navzájem kolmé. [48 C I 2] 16. Pro libovolnou dvojici reálných čísel a, b splňující vztah a + b = 1 platí a2 + a b 2 + b + 1 > 2. Jsou-li navíc čísla a, b nezáporná, platí také a2 + a b 2 + b + 1 < 3. Obě tvrzení dokažte. [48 C I 6] 17. Určete největší čtyřmístné číslo n, pro něž je součet n n dělitelný deseti. [48 C S 2] 18. V rovině je dán obdélník ABCD, nad jehož stranami AB a BC (jako nad průměry) jsou vně obdélníku sestrojeny po řadě polokružnice k a l. Najděte úsečku XY co největší délky d tak, aby platilo X k a Y l. Délku d pak vyjádřete pomocí délek a = AB a b = BC. [48 C S 3] 19. Je dán rovnostranný trojúhelník ABC. Na straně BC najděte bod P tak, aby kružnice vepsaná trojúhelníku ABP a kružnice připsaná straně P C trojúhelníku AP C byly shodné. [48 B I 4] 20. Je dán pravoúhlý trojúhelník ABC, nad jehož odvěsnami AB a BC (jako nad průměry) jsou vně trojúhelníku sestrojeny po řadě polokružnice k a l. Vrcholem B veďte přímku p, která protíná polokružnice k a l po řadě v bodech X a Y tak, aby čtyřúhelník AXY C měl co největší obvod. [48 B II 2] 21. Je dán čtverec ABCD. Dokažte, že pro všechny body P toho oblouku AB kružnice čtverci opsané, který neobsahuje body C a D, má výraz stejnou hodnotu. Určete ji. AP + BP CP + DP [48 A II 2] 22. Označme S střed kružnice vepsané libovolnému trojúhelníku ABC. Dokažte, že rovnost AS BS = CS AB platí, právě když je úhel ACB pravý. [49 B I 2] 2

5 23. Nechť K, L, M jsou po řadě vnitřní body stran BC, CA, AB daného trojúhelníku ABC takové, že kružnice vepsané dvojicím trojúhelníků ABK a CAK, BCL a ABL, CAM a BCM mají vnější dotyk. Pak platí Dokažte. BK CL AM = CK AL BM. [49 A I 2] 24. Je dán trojúhelník ABC. Uvnitř jeho stran BC, CA, AB uvažujme po řadě body K, L, M takové, že úsečky AK, BL, CM se protínají v bodě U. Jestliže trojúhelníky AMU a KCU mají obsah P a trojúhelníky MBU a CLU obsah Q, pak P = Q. Dokažte. [49 A S 2] 25. Určete všechny konvexní čtyřúhelníky ABCD s následující vlastností: Uvnitř čtyřúhelníku ABCD existuje bod E takový, že každá přímka, která prochází tímto bodem a protíná strany AB a CD ve vnitřních bodech, dělí čtyřúhelník ABCD na dvě části o stejném obsahu. Svou odpověď zdůvodněte. [49 A II 4] 26. V rovině je dán čtverec ABCD. Kružnice k prochází body A, B a dotýká se přímky CD. Označme M (M B) průsečík kružnice k a strany BC. Určete poměr CM : BM. [50 C S 2] 27. V rovině je dán ostroúhlý trojúhelník ABC. Paty výšek z vrcholů A, B označme po řadě A 1, B 1. Tečny kružnice opsané trojúhelníku CA 1 B 1 sestrojené v bodech A 1, B 1 se protínají v bodě M. Dokažte, že kružnice opsané trojúhelníkům AMB 1, BMA 1, CA 1 B 1 procházejí jedním bodem. [50 A I 3] 28. V oboru reálných čísel řešte soustavu nerovnic sin x + cos y 2, sin y + cos z 2, sin z + cos x Najděte všechna reálná čísla p, pro která má soustava nerovnic x 2 13y + 10z p, y 2 6z + 10x, z 2 6x + 5y + p s neznámými x, y, z řešení v oboru reálných čísel. [50 A I 4] [50 A S 1] 30. Sestrojte rovnoramenný trojúhelník ABC se základnou BC dané délky a, je-li dán střed P strany AB a bod Q (Q P ), který je patou výšky z vrcholu B. [51 C I 5] 31. V rovině je dán pravoúhlý trojúhelník ABC takový, že kružnice k(a; AC ) protíná přeponu AB v jejím středu S. Dokažte, že kružnice opsaná trojúhelníku BCS je shodná s kružnicí k. [51 C S 2] 32. Nechť kružnice sestrojené nad rameny lichoběžníku jako nad průměry mají vnější dotyk. Dokažte, že dotykový bod těchto kružnic leží na ose úhlu, který obě ramena lichoběžníku svírají. [51 C II 2] 33. Nechť k je polokružnice sestrojená nad průměrem AB, která leží ve čtverci ABCD. Uvažujme její tečnu t 1 z bodu C (různou od BC) a označme P její 3

6 průsečík se stranou AD. Nechť t 2 je společná vnější tečna polokružnice k a kružnice vepsané trojúhelníku CDP (různá od AD). Dokažte, že přímky t 1 a t 2 jsou navzájem kolmé. [51 B I 3] 34. Nechť n 2 je dané přirozené číslo. Pro které hodnoty reálného parametru p má soustava rovnic x x 2 = px 2, 1 x x 2 = px 3, x 4 n x 2 = px n, n 1 x 4 n + 2 x 2 = px 1 n alespoň dvě řešení v oboru reálných čísel? [51 A I 4] 35. Označme S střed kružnice vepsané danému trojúhelníku ABC a P, Q paty kolmic z vrcholu C k přímkám, na kterých leží osy vnitřních úhlů BAC a ABC. Dokažte, že přímky AB a P Q jsou rovnoběžné. [51 A S 2] 36. Je dán trojúhelník ABC s ostrými vnitřními úhly při vrcholech A a B. Označme Q průsečík těžnice AD s výškou CP a E patu kolmice z bodu D na stranu AB. Dále nechť R je bod na polopřímce opačné k P C takový, že P R = CQ. Dokažte, že přímky AD a RE jsou různoběžné a že jejich průsečík leží na kolmici k přímce AB procházející bodem B. [52 C I 2] 37. V rovině je dána úsečka AP. Sestrojte pravidelný šestiúhelník ABCDEF tak, aby bod P byl středem jeho strany DE. [52 C II 2] 38. V rovině je dán pravoúhlý lichoběžník ABCD s delší základnou AB a pravým úhlem při vrcholu A. Kružnice k 1 sestrojená nad stranou AD jako průměrem a kružnice k 2, která prochází vrcholy B, C a dotýká se přímky AB, mají vnější dotyk v bodě P. Dokažte, že úhly CP D a ABC jsou shodné. [52 B I 5] 39. V rovině je dán pravoúhlý trojúhelník ABC, na jehož přeponě AB uvažujeme libovolný bod K. Kružnice sestrojená nad úsečkou CK jako nad průměrem protne odvěsny BC a CA ve vnitřních bodech, které označíme po řadě L a M. Rozhodněte, pro který bod K má čtyřúhelník ABLM nejmenší možný obsah. [52 B II 2] 40. V rovině je dán pravoúhlý lichoběžník ABCD s delší základnou AB a pravým úhlem při vrcholu A. Označme k 1 kružnici sestrojenou nad stranou AD jako nad průměrem a k 2 kružnici procházející vrcholy B, C a dotýkající se přímky AB. Mají-li kružnice k 1, k 2 vnější dotyk v bodě P, je přímka BC tečnou kružnice opsané trojúhelníku CDP. Dokažte. [52 B II 4] 41. V oboru reálných čísel řešte soustavu rovnic log x (y + z) = p, log y (z + x) = p, log z (x + y) = p s neznámými x, y, z a nezáporným celočíselným parametrem p. 4 [52 A II 3]

7 42. Je dán obdélník ABCD. Nechť přímky p a q, které procházejí vrcholem A, protínají polokružnice vně připsané stranám BC a CD daného obdélníku po řadě v bodech K a L (B K C L D) a rovněž strany BC a CD po řadě v bodech P a Q tak, že trojúhelník ABP má stejný obsah jako trojúhelník KCP a zároveň trojúhelník AQD má stejný obsah jako trojúhelník CLQ. Dokažte, že body K, L, C leží na téže přímce. [53 C I 2] 43. V rovině je dán obdélník ABCD, kde AB = a < b = BC. Na jeho straně BC existuje bod K a na straně CD bod L tak, že daný obdélník je úsečkami AK, KL a LA rozdělen na čtyři navzájem podobné trojúhelníky. Určete hodnotu poměru a : b. [53 C II 1] 44. V rovině daného čtverce KLMN určete množinu všech bodů P, pro něž jsou úhly NP K, KP L a LP M shodné. [53 A I 2] 45. Nechť K, L, M jsou po řadě průsečíky os vnitřních úhlů α, β, γ při vrcholech A, B, C daného trojúhelníku ABC s protějšími stranami BC, CA, AB. Dokažte, že platí nerovnost BC AK cos α 2 + CA BL cos β 2 + AB CM cos γ Určete všechny trojice (x, y, z) reálných čísel, pro něž platí x 2 + y 2 + z min {x 2 8 x 4, y2 8 y 4, z2 8 } z 4. [53 A II 4] [53 A III 1] 47. Nechť L je libovolný vnitřní bod kratšího oblouku CD kružnice opsané čtverci ABCD. Označme K průsečík přímek AL a CD, M průsečík přímek AD a CL a N průsečík přímek MK a BC. Dokažte, že body B, L, M, N leží na téže kružnici. [53 A III 5] 48. Libovolným vnitřním bodem P úhlopříčky AC daného obdélníku ABCD jsou vedeny rovnoběžky s jeho stranami, které protínají úsečky AB, BC, CD a DA po řadě v bodech K, L, M a N. Dokažte, že a) přímky LM a KN jsou rovnoběžky, b) vzdálenost rovnoběžek LM a KN je konstantní (nezávisí na volbě bodu P ), c) pro obvod o čtyřúhelníku KLMN platí nerovnost o 2 AC. [54 C II 3] 49. Nechť ABC je pravoúhlý trojúhelník se stranami a < b < c. Označme Q střed odvěsny BC a S střed přepony AB. Průsečík osy úsečky AB s odvěsnou CA označme R. Dokažte, že RQ = RS, právě když a 2 : b 2 : c 2 = 1 : 2 : 3. [54 B S 2] 50. Nechť ABC je ostroúhlý trojúhelník. Označme K a L paty výšek z vrcholů A a B, M střed strany AB a V průsečík výšek trojúhelníku ABC. Dokažte, že osa úhlu KML prochází středem úsečky V C. [54 B II 3] 51. Nechť M je libovolný vnitřní bod kratšího oblouku CD kružnice opsané čtverci ABCD. Označme P, R průsečíky přímky AM po řadě s úsečkami BD, CD 5

8 a podobně Q, S průsečíky přímky BM s úsečkami AC, DC. Dokažte, že přímky P S a QR jsou navzájem kolmé. [54 A I 2] 52. V rovině je dán rovnoramenný trojúhelník KLM se základnou KL. Uvažujme libovolné dvě kružnice k a l, které mají vnější dotyk a které se dotýkají přímek KM a LM po řadě v bodech K a L. Určete množinu dotykových bodů T všech takových kružnic k a l. [54 A II 3] 53. Je dáno přirozené číslo n (n 2) a reálná čísla x 1, x 2,..., x n, pro která platí Dokažte, že x 1 x 2 = x 2 x 3 =... = x n 1 x n = x n x 1 = 1. x x x 2 n n. 54. Splňují-li reálná čísla a, b, c, d rovnosti a 2 + b 2 = b 2 + c 2 = c 2 + d 2 = 1, platí nerovnost ab + ac + ad + bc + bd + cd 3. [55 C I 4] Dokažte a zjistěte, kdy přitom nastane rovnost. [55 C II 2] 55. Kružnice k, l s vnějším dotykem leží obě v obdélníku ABCD, jehož obsah je 72 cm 2. Kružnice k se přitom dotýká stran CD, DA a AB, zatímco kružnice l se dotýká stran AB a BC. Určete poloměry kružnic k a l, jestliže poloměr kružnice k je v centimetrech vyjádřen celým číslem. [55 C II 3] 56. Na přeponě AB pravoúhlého trojúhelníku ABC uvažujme body P a Q takové, že AP = AC a BQ = BC. Označme M průsečík kolmice z vrcholu A na přímku CP a kolmice z vrcholu B na přímku CQ. Dokažte, že přímky P M a QM jsou navzájem kolmé. [55 B S 2] 57. Určete všechny dvojice prvočísel p a q, pro něž platí p + q 2 = q + p V oboru reálných čísel řešte rovnici 2(sin t + cos t) = tg 3 t + cotg 3 t. [55 B II 1] [55 A I 1] 59. Je dán rovnostranný trojúhelník ABC o obsahu S a jeho vnitřní bod M. Označme po řadě A 1, B 1, C 1 ty body stran BC, CA a AB, pro něž platí MA 1 AB, MB 1 BC a MC 1 CA. Průsečíky os úseček MA 1, MB 1 a MC 1 tvoří vrcholy trojúhelníku o obsahu T. Dokažte, že platí S = 3T. [55 A S 2] 60. V oboru reálných čísel řešte soustavu rovnic sin 2 x + cos 2 y = y 2, sin 2 y + cos 2 x = x 2. [55 A II 4] 6

9 61. V rovině je dána úsečka AB. Sestrojte množinu těžišť všech ostroúhlých trojúhelníků ABC, pro něž platí: Vrcholy A a B, průsečík výšek V a střed S kružnice vepsané trojúhelníku ABC leží na jedné kružnici. [55 A III 4] 62. V oboru reálných čísel řešte soustavu rovnic tg 2 x + 2 cotg 2 2y = 1, tg 2 y + 2 cotg 2 2z = 1, tg 2 z + 2 cotg 2 2x = Určete všechny dvojice (a, b) přirozených čísel, pro něž platí a + 5 b = b + 5 a. [55 A III 6] [56 C I 1] 64. Určete všechny dvojice (a, b) přirozených čísel, jejichž rozdíl a b je pátou mocninou některého prvočísla a pro něž platí a 4 b = b + 4 a. [56 C S 3] 65. Nechť p, q, r jsou přirozená čísla, pro něž platí p + r p + q + q = a) Určete, jakých hodnot může nabývat součet p + q + r. b) Určete počet všech trojic (p, q, r) přirozených čísel, které vyhovují dané rovnici. [56 C II 2] 66. Je dán ostroúhlý trojúhelník ABC. Pro libovolný bod L jeho strany AB označme K, M paty kolmic z bodu L na strany AC, BC. Zjistěte, pro kterou polohu bodu L je úsečka KM nejkratší. [56 B II 4] 67. Jsou-li x, y, z reálná čísla z intervalu 1, 1 splňující podmínku xy+yz +zx = 1, pak platí 6 3 (1 x 2 )(1 y 2 )(1 z 2 ) 1 + (x + y + z) 2. Dokažte a zjistěte, kdy nastane rovnost. [56 A I 3] 68. Je dán lichoběžník ABCD s pravým úhlem při vrcholu A a základnou AB, v němž platí AB > CD DA. Označme S průsečík os jeho vnitřních úhlů při vrcholech A, B a T průsečík os vnitřních úhlů při vrcholech C, D. Podobně označme U, V průsečíky os vnitřních úhlů při vrcholech A, D, resp. B, C. a) Ukažte, že přímky UV a AB jsou rovnoběžné. b) Dokažte, že průsečík E polopřímky DT s přímkou AB a body S, T, B leží na téže kružnici. [56 A S 3] 69. Nechť M je libovolný vnitřní bod přepony AB pravoúhlého trojúhelníku ABC. Označme S, S 1, S 2 středy kružnic opsaných po řadě trojúhelníkům ABC, AMC, BMC. a) Dokažte, že body M, C, S 1, S 2 a S leží na téže kružnici. b) Pro kterou polohu bodu M má tato kružnice nejmenší poloměr? [56 A II 3] 70. Určete nejmenší přirozené číslo n, pro něž i čísla 2n, 3 3n, 5 5n jsou přirozená. [57 C I 1] 71. Trojúhelník ABC splňuje při obvyklém značení délek stran podmínku a b c. Vepsaná kružnice se dotýká stran AB, BC a AC po řadě v bodech K, L a M. Dokažte, že z úseček AK, BL a CM lze sestrojit trojúhelník, právě když platí b + c < 3a. [57 C II 1] 7

10 72. Určete všechny dvojice a, b reálných čísel, pro něž má každá z kvadratických rovnic ax 2 + 2bx + 1 = 0, bx 2 + 2ax + 1 = 0 dva různé reálné kořeny, přičemž právě jeden z nich je oběma rovnicím společný. 73. Určete všechny dvojice (a, b) reálných čísel, pro něž mají rovnice společný reálný kořen. 74. Uvažujme dvě kvadratické rovnice x 2 + (3a + b)x + 4a = 0, x 2 + (3b + a)x + 4b = 0 x 2 ax b = 0, x 2 bx a = 0 [57 B I 5] [57 B S 2] s reálnými parametry a, b. Zjistěte, jaké nejmenší a jaké největší hodnoty může nabývat součet a+b, existuje-li právě jedno reálné číslo x, které současně vyhovuje oběma rovnicím. Určete dále všechny dvojice (a, b) reálných parametrů, pro něž uvažovaný součet těchto hodnot nabývá. [57 B II 1] 75. V rovině je dán rovnoběžník ABCD, jehož úhlopříčka BD je kolmá ke straně AD. Označme M (M A) průsečík přímky AC s kružnicí o průměru AD. Dokažte, že osa úsečky BM prochází středem strany CD. [57 B II 3] 76. Množinu M tvoří 2n různých kladných reálných čísel, kde n 2. Uvažujme n obdélníků, jejichž rozměry jsou čísla z M, přičemž každý prvek z M je použit právě jednou. Určete, jaké rozměry mají tyto obdélníky, je-li součet jejich obsahů a) největší možný; b) nejmenší možný. [57 A I 3] 77. Nechť M je libovolný vnitřní bod polokružnice k se středem S a průměrem AB. Označme k A kružnici vepsanou kruhové výseči ASM a k B kružnici vepsanou kruhové výseči BSM. Dokažte, že kružnice k A a k B leží v opačných polorovinách vyťatých některou přímkou kolmou k úsečce AB. (Kružnice vepsaná kruhové výseči se dotýká obou ramen i hraničního oblouku.) [57 A II 4] 78. V oboru reálných čísel řešte soustavu rovnic x + y 2 = y 3, y + x 2 = x Určete všechny trojice (x, y, z) reálných čísel, pro které platí x 2 + xy = y 2 + z 2, z 2 + zy = y 2 + x V oboru reálných čísel řešte soustavu rovnic ax + y = 2, x y = 2a, x + y = 1 o neznámých x a y a reálném parametru a. 8 [57 A III 1] [58 B I 2] [58 B S 1]

11 81. V oboru reálných čísel řešte soustavu rovnic x + y = 1, x y = a, 4ax + 4y = z o neznámých x, y, z a reálném parametru a. 82. V oboru reálných čísel řešte soustavu rovnic 2 sin x cos(x + y) + sin y = 1, 2 sin y cos(y + x) + sin x = 1. [58 B II 1] [58 A I 1] 83. Nechť ABC je ostroúhlý trojúhelník, v němž vnitřní úhel při vrcholu A má velikost 45. Označme D patu výšky z vrcholu C. Uvažujme dále libovolný vnitřní bod P výšky CD. Dokažte tvrzení: Přímky AP a BC jsou navzájem kolmé, právě když úsečky AP a BC jsou shodné. [58 A S 2] 84. Na odvěsnách délek a, b pravoúhlého trojúhelníku leží po řadě středy dvou kružnic k a, k b. Obě kružnice se dotýkají přepony a procházejí vrcholem proti přeponě. Poloměry uvedených kružnic označme ϱ a, ϱ b. Určete největší kladné reálné číslo p takové, že nerovnost p( ϱ a ϱ b a + 1 ) b platí pro všechny pravoúhlé trojúhelníky. 85. Určete velikosti vnitřních úhlů α, β, γ trojúhelníku, pro něž platí 2 sin β sin(α + β) cos α = 1, 2 sin γ sin(β + γ) cos β = 0. [58 A II 2] [58 A II 3] 86. Určete všechna reálná čísla x, která vyhovují rovnici 4x 2 x = 5. (Symbol x značí největší celé číslo, které není větší než číslo x, tzv. dolní celou část reálného čísla x.) [59 C I 3] 87. Určete všechny dvojice reálných čísel x, y, které vyhovují soustavě rovnic x + y = 2 010, x y = p, jestliže a) p = 2, b) p = 3. (Symbol x značí největší celé číslo, které není větší než dané reálné číslo x, tzv. dolní celá část reálného čísla x.) [59 C II 4] 88. V rovině je dána úsečka AB. Sestrojte rovnoběžník ABCD, pro jehož středy stran AB, CD, DA označené po řadě K, L, M platí: body A, B, L, D leží na jedné kružnici a rovněž body K, L, D, M leží na jedné kružnici. [59 B I 3] 89. V rovině je dán rovnoběžník ABCD. Označme K, L, M po řadě středy stran AB, CD, AD. Předpokládejme, že body A, B, L, D leží na jedné kružnici a zároveň i body K, L, D, M leží na jedné kružnici. Dokažte, že AC = 2 AD. [59 B II 3] 9

12 90. Je dán rovnoběžník ABCD s tupým úhlem ABC. Na jeho úhlopříčce AC v polorovině BDC zvolme bod P tak, aby platilo BP D = ABC. Dokažte, že přímka CD je tečnou ke kružnici opsané trojúhelníku BCP, právě když úsečky AB a BD jsou shodné. [59 A II 2] 91. Uvažujme vnitřní bod P daného obdélníku ABCD a označme po řadě Q, R obrazy bodu P v souměrnostech podle středů A, C. Předpokládejme, že přímka QR protne strany AB a BC ve vnitřních bodech M a N. Sestrojte množinu všech bodů P, pro něž platí MN = AB. [60 B I 2] 92. Nechť M, N jsou po řadě vnitřní body stran AB, BC rovnostranného trojúhelníku ABC, pro něž platí AM : MB = BN : NC = 2 : 1. Označme P průsečík přímek AN a CM. Dokažte, že přímky BP a AN jsou navzájem kolmé. [60 B II 3] 93. Jsou dány kružnice k, l, které se protínají v bodech A, B. Označme K, L po řadě dotykové body jejich společné tečny zvolené tak, že bod B je vnitřním bodem trojúhelníku AKL. Na kružnicích k a l zvolme po řadě body N a M tak, aby bod A byl vnitřním bodem úsečky MN. Dokažte, že čtyřúhelník KLMN je tětivový, právě když přímka MN je tečnou kružnice opsané trojúhelníku AKL. 94. Určete všechna reálná čísla c, která lze s oběma kořeny kvadratické rovnice x x + c = 0 uspořádat do tříčlenné aritmetické posloupnosti. [60 A I 3] [60 A S 1] 95. Určete velikosti vnitřních úhlů všech trojúhelníků ABC s vlastností: Uvnitř stran AB, AC existují po řadě body K, M, které s průsečíkem L přímek MB a KC tvoří tětivové čtyřúhelníky AKLM a KBCM se shodnými opsanými kružnicemi. [60 A III 1] 96. Je dán pravoúhlý trojúhelník ABC s pravým úhlem při vrcholu C, jehož obsah označme P. Nechť F je pata výšky z vrcholu C na přeponu AB. Na kolmicích k přímce AB, které procházejí vrcholy A a B, v polorovině opačné k polorovině ABC uvažujme po řadě body D a E, pro něž platí AF = AD a BF = BE. Obsah trojúhelníku DEF označme Q. Dokažte, že platí P Q, a zjistěte, kdy nastane rovnost. [61 B I 2] 97. V oboru celých čísel řešte rovnici x 2 + y 2 + x + y = 4. [61 B S 1] 98. Je dán pravoúhlý trojúhelník ABC s pravým úhlem při vrcholu C. Nechť F je pata výšky z vrcholu C na přeponu AB. Na kolmicích k přímce AB, které procházejí vrcholy A a B, jsou v polorovině opačné k polorovině ABC zvoleny po řadě body D a E, pro něž platí AF = AD a BF = BE. Označme dále R střed úsečky DE. Dokažte, že platí nerovnost RF CF, a zjistěte, kdy nastane rovnost. [61 B S 2] 99. Určete, kolika způsoby lze vrcholům pravidelného devítiúhelníku ABCDEF GHI přiřadit čísla z množiny {17, 27, 37, 47, 57, 67, 77, 87, 97} tak, aby každé z nich bylo 10

13 přiřazeno jinému vrcholu a aby součet čísel přiřazených každým třem sousedním vrcholům byl dělitelný třemi. [61 B II 2] 100. V rovině uvažujme lichoběžník ABCD se základnami AB a CD a označme M střed jeho úhlopříčky AC. Dokažte, že platí: Mají-li trojúhelníky ABM a ACD stejné obsahy, jsou přímky DM a BC rovnoběžné. [61 A S 2] 101. V oboru reálných čísel řešte soustavu rovnic x 4 + y = 5yz, y 4 + z = 5zx, z 4 + x = 5xy. [61 A III 6] 11

14 Pan doktor Jaroslav Švrček se ve druhém poločase dosavadní šedesátileté historie MO v našich zemích vypracoval v jednu z jejích výrazných osobností, které věnují této soutěži neutuchající organizátorskou energii i stálé úsilí při tvorbě nových soutěžních úloh. Tento rodák z Přerova se jako vítěz celostátního kola 21. ročníku MO rozhodl pro studium matematiky na Přírodovědecké fakultě Univerzity Palackého v Olomouci, která se posléze stala jeho celoživotním pracovištěm, na němž předával a dosud předává své znalosti a bohaté praktické zkušenosti mladým adeptům učitelství matematiky na středních školách. Sám se kromě výuky na fakultě již po tři desítky let stále intenzívně věnuje výchově středoškolských matematických talentů. Znají ho a vděčí mu za mnohé dnes již nejen stovky studentů matematických tříd bíloveckého gymnázia, ale i celé generace účastníků různých krajských a zejména celostátních soustředění MO, na jejichž přípravě a organizačním zajištění mívá pan doktor ve funkci místopředsedy ústřední komise MO rozhodující zásluhu. V tomto směru přes zamýšlenou stručnost tohoto textu nelze opomenout jeden jeho významný počin, či spíše mnohaměsíční vytrvalé úsilí při nesnadných jednáních, bez kterých by bylo nemyslitelné, aby akademická Olomouc po jeden zářijový týden roku 2008 úspěšně hostila půlstovku soutěžících z devíti okolních zemí, kteří tehdy přijeli do České republiky právě na Hanou, aby změřili své síly na Středoevropské matematické olympiádě. V lednu 2013 se pan doktor Švrček dožije 60 let. K tomuto jeho životnímu jubileu jsme připravili stávající přehled zadání více než stovky úloh, které pan doktor pro naši matematickou olympiádu sestavil a které byly v soutěžních kolech MO v období uplatněny. Věříme, že touto kolekcí pěkných matematických problémů a poučných postupů jejich řešení, která lze podle uvedených odkazů vyhledat v ročenkách MO nebo na internetu, přesvědčíme čtenáře o bohatosti nápadů a šíři zájmů autora napříč celou oblastí elementární matematiky. Neobvyklým užitím sportovní terminologie úvodem prvního odstavce jsme chtěli naznačit, že pan doktor Švrček kromě matematických zápolení miluje i souboje dvou jedenáctičlenných týmů při hře, pro kterou má naše bohatá mateřština kouzelný termín kopaná. Ani jako matematik nemá pan doktor patrně spočítáno, kolik kilometrů se již najezdil po zejména moravských silnicích za zápasy družstva svého rodného města. Přejeme mu, aby těch tažení s vítězným koncem bylo i v budoucnu co nejvíce. Prosinec 2012 Členové ústřední komise MO 12

Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie

Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie Rozpis výstupů zima 2008 Geometrie 20. 10. porovnávání úseček grafický součet úseček grafický rozdíl úseček... porovnávání úhlů grafický součet úhlů grafický rozdíl úhlů... osa úhlu úhly vedlejší a vrcholové...

Více

66. ročníku MO (kategorie A, B, C)

66. ročníku MO (kategorie A, B, C) Příloha časopisu MATEMATIKA FYZIKA INFORMATIKA Ročník 25 (2016), číslo 3 Úlohy I. kola (domácí část) 66. ročníku MO (kategorie A, B, C) KATEGORIE A A I 1 Najděte všechna prvočísla p, pro něž existuje přirozené

Více

Konstrukční úlohy. Růžena Blažková, Irena Budínová. Milé studentky, milí studenti,

Konstrukční úlohy. Růžena Blažková, Irena Budínová. Milé studentky, milí studenti, Konstrukční úlohy Růžena Blažková, Irena Budínová Milé studentky, milí studenti, zadání konstrukčních úloh si vylosujete v semináři nebo na přednášce, u každé konstrukční úlohy proveďte: - rozbor obsahuje

Více

( ) ( ) 6. Algebraické nerovnice s jednou neznámou ( ) ( ) ( ) ( 2. e) = ( )

( ) ( ) 6. Algebraické nerovnice s jednou neznámou ( ) ( ) ( ) ( 2. e) = ( ) 6. Algebraické nerovnice s jednou neznámou Další dovednosti: -iracionální nerovnice -lineární nerovnice s parametrem -kvadratické nerovnice s parametrem Možné maturitní otázky: Lineární a kvadratické nerovnice

Více

Různostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna

Různostranný (obecný) žádné dvě strany nejsou stějně dlouhé. Rovnoramenný dvě strany (ramena) jsou stejně dlouhé, třetí strana je základna 16. Trojúhelník, Mnohoúhelník, Kružnice (typy trojúhelníků a jejich vlastnosti, Pythagorova věta, Euklidovy věty, čtyřúhelníky druhy a jejich vlastnosti, kružnice obvodový a středový, úsekový úhel, vzájemná

Více

Návody k domácí části I. kola kategorie C

Návody k domácí části I. kola kategorie C Návody k domácí části I. kola kategorie C 1. Dokažte, že pro libovolné reálné číslo a platí nerovnost Určete, kdy nastane rovnost. a 2 + 1 a 2 a + 1 a + 1. 1. Dokažte, že pro libovolná reálná čísla x,

Více

Užití stejnolehlosti v konstrukčních úlohách

Užití stejnolehlosti v konstrukčních úlohách Užití stejnolehlosti v konstrukčních úlohách Příklad 1: Je dána kružnice k(o,r) a bod M ležící uvnitř kružnice k. Bodem M veďte tětivu AB, jejíž délka je bodem M rozdělena v poměru 2 : 1. Sestrojte obraz

Více

GEOMETRIE PLANIMETRIE Úlohy k rozvoji geometrické představivosti Úlohy početní. Růžena Blažková

GEOMETRIE PLANIMETRIE Úlohy k rozvoji geometrické představivosti Úlohy početní. Růžena Blažková GEOMETRIE PLANIMETRIE Úlohy k rozvoji geometrické představivosti Úlohy početní Růžena Blažková 1. Základní pojmy 1. Zvolte si čtyři různé body v rovině. Kolik různých přímek je těmito body určeno? Jak

Více

Návody k domácí části I. kola kategorie A

Návody k domácí části I. kola kategorie A Návody k domácí části I. kola kategorie A 1. Najděte všechna prvočísla p, pro něž existuje přirozené číslo n takové, že p n + 1 je třetí mocninou některého přirozeného čísla. 1. Určete všechny trojice

Více

Návody k domácí části I. kola kategorie C

Návody k domácí části I. kola kategorie C 61. ročník Matematické olympiády Návody k domácí části I. kola kategorie C 1. Najděte všechny trojčleny p(x) = ax 2 + bx + c, které dávají při dělení dvojčlenem x + 1 zbytek 2 a při dělení dvojčlenem x

Více

Návody k domácí části I. kola kategorie A

Návody k domácí části I. kola kategorie A Návody k domácí části I. kola kategorie A 1. Najděte všechny dvojice prvočísel p, q, pro které existuje přirozené číslo a takové, že pq p + q = a + 1 a + 1. 1. Nechť p a q jsou prvočísla. Zjistěte, jaký

Více

5. P L A N I M E T R I E

5. P L A N I M E T R I E 5. P L A N I M E T R I E 5.1 Z Á K L A D N Í P L A N I M E T R I C K É P O J M Y Bod (definice, značení, znázornění) Přímka (definice, značení, znázornění) Polopřímka (definice, značení, znázornění, počáteční

Více

Čtyřúhelník. O b s a h : Čtyřúhelník. 1. Jak definovat čtyřúhelník základní vlastnosti. 2. Názvy čtyřúhelníků Deltoid Tětivový čtyřúhelník

Čtyřúhelník. O b s a h : Čtyřúhelník. 1. Jak definovat čtyřúhelník základní vlastnosti. 2. Názvy čtyřúhelníků Deltoid Tětivový čtyřúhelník Čtyřúhelník : 1. Jak definovat čtyřúhelník základní vlastnosti 2. Názvy čtyřúhelníků 2.1. Deltoid 2.2. Tětivový čtyřúhelník 2.3. Tečnový čtyřúhelník 2.4. Rovnoběžník 2.4.1. Základní vlastnosti 2.4.2. Výšky

Více

PLANIMETRIE 2 mnohoúhelníky, kružnice a kruh

PLANIMETRIE 2 mnohoúhelníky, kružnice a kruh PLANIMETRIE 2 mnohoúhelníky, kružnice a kruh Lomená čára A 0 A 1 A 2 A 3..., A n (n 2) se skládá z úseček A 0 A 1, A 1 A 2, A 2 A 3,..., A n 1 A n, z nichž každé dvě sousední mají společný jeden krajní

Více

DIDAKTIKA MATEMATIKY

DIDAKTIKA MATEMATIKY DIDAKTIKA MATEMATIKY GEOMETRIE PLANIMETRIE Úlohy k rozvoji geometrické představivosti Úlohy početní a důkazové Růžena Blažková, Irena Budínová Brno 2007 1 1. Základní pojmy 1. Zvolte si čtyři různé body

Více

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK

FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK FAKULTA STAVEBNÍ VUT V BRNĚ PŘIJÍMACÍ ŘÍZENÍ PRO AKADEMICKÝ ROK 00 007 TEST Z MATEMATIKY PRO PŘIJÍMACÍ ZKOUŠKY ČÍSLO FAST-M-00-0. tg x + cot gx a) sinx cos x b) sin x + cos x c) d) sin x e) +. sin x cos

Více

9. Planimetrie 1 bod

9. Planimetrie 1 bod 9. Plnimetrie 1 bod 9.1. Do rovnostrnného trojúhelníku ABC o strně je vepsán rovnostrnný trojúhelník DEF tk, že D AB, E BC, F CA. Jestliže obsh trojúhelníku DEF je roven polovině obshu trojúhelníku ABC,

Více

Shodná zobrazení. bodu B ležet na na zobrazené množině b. Proto otočíme kružnici b kolem

Shodná zobrazení. bodu B ležet na na zobrazené množině b. Proto otočíme kružnici b kolem Shodná zobrazení Otočení Příklad 1. Jsou dány tři různé soustředné kružnice a, b a c. Sestrojte rovnostranný trojúhelník ABC tak, aby A ležel na a, B ležel na b a C ležel na c. Řešení. Zvolíme vrchol A

Více

Téma 5: PLANIMETRIE (úhly, vlastnosti rovinných útvarů, obsahy a obvody rovinných útvarů) Úhly 1) Jaká je velikost úhlu? a) 60 b) 80 c) 40 d) 30

Téma 5: PLANIMETRIE (úhly, vlastnosti rovinných útvarů, obsahy a obvody rovinných útvarů) Úhly 1) Jaká je velikost úhlu? a) 60 b) 80 c) 40 d) 30 Téma 5: PLANIMETRIE (úhly, vlastnosti rovinných útvarů, obsahy a obvody rovinných útvarů) Úhly 1) Jaká je velikost úhlu? a) 60 b) 80 c) 40 d) 30 2) Vypočtěte velikost úhlu : a) 150 10 b) 149 22 c) 151

Více

Úlohy domácího kola kategorie B

Úlohy domácího kola kategorie B 47. ročník Matematické olympiády Úlohy domácího kola kategorie B 1. Magický čtverec je čtvercová tabulka přirozených čísel, v níž je součet všech čísel v každém řádku, v každém sloupci i na obou úhlopříčkách

Více

Omezíme se jen na lomené čáry, jejichž nesousední strany nemají společný bod. Jestliže A 0 = A n (pro n 2), nazývá se lomená čára uzavřená.

Omezíme se jen na lomené čáry, jejichž nesousední strany nemají společný bod. Jestliže A 0 = A n (pro n 2), nazývá se lomená čára uzavřená. MNOHOÚHELNÍKY Vlastnosti mnohoúhelníků Lomená čára C 0 C C C 3 C 4 protíná samu sebe. Lomená čára A 0 A A... A n- A n (n ) se skládá z úseček A 0 A, A A,..., A n- A n, z nichž každé dvě sousední mají společný

Více

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy

Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy 5 Trojúhelník a čtyřúhelník výpočet jejich obsahu, konstrukční úlohy Trojúhelník: Trojúhelník je definován jako průnik tří polorovin. Pojmy: ABC - vrcholy trojúhelníku abc - strany trojúhelníku ( a+b>c,

Více

Opakování ZŠ - Matematika - část geometrie - konstrukce

Opakování ZŠ - Matematika - část geometrie - konstrukce Opakování ZŠ - Matematika - část geometrie - konstrukce Základní útvary v rovině Bod je nejzákladnější geometrický pojem. Body zapisujeme písmeny velké abecedy: A, B, N, H, Přímka Přímky zapisujeme písmeny

Více

[obr. 1] Rozbor S 3 S 2 S 1. o 1. o 2 [obr. 2]

[obr. 1] Rozbor S 3 S 2 S 1. o 1. o 2 [obr. 2] Příklad Do dané kruhové výseče s ostrým středovým úhlem vepište kružnici (obr. ). M k l V N [obr. ] Rozbor Oblouk l a hledaná kružnice k se dotýkají v bodě T, mají proto v tomto bodě společnou tečnu t.

Více

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITY KARLOVY V PRAZE Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky r + s r s r s r + s 1 r2 + s 2 r 2 s 2 ( ) ( ) 1 a 2a 1 + a 3 1 + 2a + 1 ( a b 2 + ab 2 ) ( a + b + b b a

Více

- shodnost trojúhelníků. Věta SSS: Věta SUS: Věta USU:

- shodnost trojúhelníků. Věta SSS: Věta SUS: Věta USU: 1/12 PLANIMETRIE Základní pojmy: Shodnost, podobnost trojúhelníků Středová souměrnost, osová souměrnost, posunutí, otočení shodná zobrazení Středový a obvodový úhel Obsahy a obvody rovinných obrazců 1.

Více

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky

Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITY KARLOVY V PRAZE Modelové úlohy přijímacího testu z matematiky r + s r s r s r + s 1 r2 + s 2 r 2 s 2 ( ) ( ) 1 a 2a 1 + a 3 1 + 2a + 1 ( a b 2 + ab 2 ) ( a + b + b b a

Více

Úlohy domácího kola kategorie A

Úlohy domácího kola kategorie A 49. ročník Matematické olympiády Úlohy domácího kola kategorie A 1. Nechť P (x), Q(x) jsou kvadratické trojčleny takové, že tři z kořenů rovnice P (Q(x)) = 0 jsou čísla 22, 7, 13. Určete čtvrtý kořen této

Více

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta

Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta SEMINÁRNÍ PRÁCE Z METOD ŘEŠENÍ 1 PLANIMETRIE 000/001 Cifrik, M-ZT První příklad ze zadávacích listů 1 Zadání: Sestrojte trojúhelník ABC, pokud je dáno: ρ

Více

Kružnice, úhly příslušné k oblouku kružnice

Kružnice, úhly příslušné k oblouku kružnice KRUŽNICE, KRUH Kružnice, úhly příslušné k oblouku kružnice Je dán bod S a kladné číslo r. Kružnice k(s;r) je množina všech bodů (roviny), které mají od bodu S vzdálenost r. Můžeme také říci. Kružnicí k

Více

(4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74,

(4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74, 1. V oboru celých čísel řešte soustavu rovnic (4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74, kde (n) k značí násobek čísla k nejbližší číslu n. (P. Černek) Řešení. Z první rovnice dané soustavy plyne, že číslo

Více

Maturitní nácvik 2008/09

Maturitní nácvik 2008/09 Maturitní nácvik 008/09 1. Parabola a) Načrtněte graf funkce y + 4 - ² a z grafu vypište všechny její vlastnosti. b) Určete čísla a,b,c tak, aby parabola s rovnicí y a + b + c procházela body K[1,-], L[0,-1],

Více

PLANIMETRIE úvodní pojmy

PLANIMETRIE úvodní pojmy PLANIMETRIE úvodní pojmy Je část geometrie zabývající se studiem geometrických útvarů v rovině. Základními stavebními kameny v rovině budou bod a přímka. 1) Přímka a její části Dvěma různými body lze vést

Více

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz 1/15 ANALYTICKÁ GEOMETRIE Základní pojmy: Soustava souřadnic v rovině a prostoru Vzdálenost bodů, střed úsečky Vektory, operace s vektory, velikost vektoru, skalární součin Rovnice přímky Geometrie v rovině

Více

49. roënìk matematickè olympi dy, III. kolo kategorie A. BÌlovec, 9.ñ12. dubna 2000

49. roënìk matematickè olympi dy, III. kolo kategorie A. BÌlovec, 9.ñ12. dubna 2000 49. roënìk matematickè olympi dy, III. kolo kategorie BÌlovec, 9.ñ. dubna 000 . Nechť n je přirozené číslo. Dokažte, že součet 4 n + 4 n je dělitelný třinácti, právě když n je sudé. (J. Šimša) Řešení.

Více

A STEJNOLEHLOST,, EUKLIDOVYE VĚTY 2.

A STEJNOLEHLOST,, EUKLIDOVYE VĚTY 2. PODOBNOST A STEJNOLEHLOST,, EUKLIDOVYE VĚTY 2. ČÁST MAT. OT 2. OT. Č.. 15: SHODNÁS HODNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ, PODOBNOST A STEJNOLEHLOST,, EUKLIDOVYE VĚTY PODOBNOST KDE LÁTKU NAJDETE Kapitola Základy planimetrie

Více

PODOBNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ (včetně stejnolehlosti)

PODOBNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ (včetně stejnolehlosti) Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol PODOBNÁ

Více

Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA DRUHÝ MGR. JÜTTNEROVÁ Název zpracovaného celku: PODOBNOST A STEJNOLEHLOST PODOBNOST

Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA DRUHÝ MGR. JÜTTNEROVÁ Název zpracovaného celku: PODOBNOST A STEJNOLEHLOST PODOBNOST Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MATEMATIKA DRUHÝ MGR. JÜTTNEROVÁ 7. 5. 0 Název zpracovaného celku: PODOBNOST A STEJNOLEHLOST PODOBNOST Je každé zobrazení v rovině takové, že pro libovolné body roviny

Více

PRACOVNÍ SEŠIT PLANIMETRIE. 6. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online.

PRACOVNÍ SEŠIT PLANIMETRIE. 6. tematický okruh: Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online. Připrav se na státní maturitní zkoušku z MATEMATIKY důkladně, z pohodlí domova a online PRACOVNÍ SEŠIT 6. tematický okruh: PLANIMETRIE vytvořila: RNDr. Věra Effenberger expertka na online přípravu na SMZ

Více

P L A N I M E T R I E

P L A N I M E T R I E M T E M T I K P L N I M E T R I E rovinná geometrie Základní planimetrické pojmy od - značí se velkými tiskacími písmeny, např.,,. P, Q. Přímka - značí se malými písmeny, např. a, b, p, q nebo pomocí bodů

Více

Úlohy domácí části I. kola kategorie B

Úlohy domácí části I. kola kategorie B 6. ročník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategorie 1. Určete všechny trojice (a, b, c) přirozených čísel, pro které platí a + 4 b = 8 c. Řešení. Danou rovnici můžeme přepsat jako a +

Více

Úlohy domácí části I. kola kategorie B

Úlohy domácí části I. kola kategorie B 6. ročník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategorie B. Mezi všemi desetimístnými čísly dělitelnými jedenácti, v nichž se žádná číslice neopakuje, najděte nejmenší a největší. Řešení. Uvažovaná

Více

pro každé i. Proto je takových čísel m právě N ai 1 +. k k p

pro každé i. Proto je takových čísel m právě N ai 1 +. k k p KOMENTÁŘE ÚLOH 43. ROČNÍKU MO, KATEGORIE A 1. Přirozené číslo m > 1 nazveme k násobným dělitelem přirozeného čísla n, pokud platí rovnost n = m k q, kde q je celé číslo, které není násobkem čísla m. Určete,

Více

Úlohy domácí části I. kola kategorie A

Úlohy domácí části I. kola kategorie A . ročník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategorie A. Je dáno přirozené číslo n. Čtverec o straně délky n je rozdělen na n jednotkových čtverečků. Za vzdálenost dvou čtverečků považujeme

Více

Úlohy krajského kola kategorie A

Úlohy krajského kola kategorie A 62. ročník matematické olympiády Úlohy krajského kola kategorie A 1. Je dáno 21 různých celých čísel takových, že součet libovolných jedenácti z nich je větší než součet deseti ostatních čísel. a) Dokažte,

Více

Několik úloh z geometrie jednoduchých těles

Několik úloh z geometrie jednoduchých těles Několik úloh z geometrie jednoduchých těles Úlohy ke cvičení In: F. Hradecký (author); Milan Koman (author); Jan Vyšín (author): Několik úloh z geometrie jednoduchých těles. (Czech). Praha: Mladá fronta,

Více

Úlohy krajského kola kategorie C

Úlohy krajského kola kategorie C 6. ročník matematické olympiády Úlohy krajského kola kategorie C. Pro libovolná reálná čísla x, y, z taková, že x < y < z, dokažte nerovnost x 2 y 2 + z 2 > (x y + z) 2. 2. Honza má tři kartičky, na každé

Více

2. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku a zlomek uveďte v základním tvaru. 4. Upravte a stanovte podmínky, za kterých má daný výraz smysl:

2. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku a zlomek uveďte v základním tvaru. 4. Upravte a stanovte podmínky, za kterých má daný výraz smysl: KVINTA úlohy k opakování 1. Jsou dány množiny: = {xr; x - 9 5} B = {xr; 1 - x } a) zapište dané množiny pomocí intervalů b) stanovte A B, A B, A - B, B A. Zapište daná racionální čísla ve tvaru zlomku

Více

6 Planimetrie. 6.1 Trojúhelník. body A, B, C vrcholy trojúhelníku. vnitřní úhly BAC = α, ABC = β, BCA = γ. konvexní (menší než 180º)

6 Planimetrie. 6.1 Trojúhelník. body A, B, C vrcholy trojúhelníku. vnitřní úhly BAC = α, ABC = β, BCA = γ. konvexní (menší než 180º) 6 Planimetrie Planimetrie = část matematiky, která se zabývá geometrií (původně věda o měřené země) v rovině (obrazce, jejich vlastnosti, shodnost a podobnost, zobrazení). 6.1 Trojúhelník Každé tři body,

Více

61. ročník matematické olympiády III. kolo kategorie A. Hradec Králové, března 2012

61. ročník matematické olympiády III. kolo kategorie A. Hradec Králové, března 2012 61. ročník matematické olympiády III. kolo kategorie Hradec Králové, 5. 8. března 01 MO 1. Najděte všechna celá čísla n, pro něž je n 4 3n + 9 prvočíslo. (leš Kobza) Řešení. Zadaný výraz lze jednoduchou

Více

1. Planimetrie - geometrické útvary v rovině

1. Planimetrie - geometrické útvary v rovině 1. Planimetrie - geometrické útvary v rovině 1. Základní pojmy Body průsečíky čar, značí se velkými tiskacími písmeny A = B bod A je totožný (splývá) s bodem B A B různé body A, B Přímka je dána dvěma

Více

10)(- 5) 2 = 11) 5 12)3,42 2 = 13)380 2 = 14)4, = 15) = 16)0, = 17)48,69 2 = 18) 25, 23 10) 12) ) )

10)(- 5) 2 = 11) 5 12)3,42 2 = 13)380 2 = 14)4, = 15) = 16)0, = 17)48,69 2 = 18) 25, 23 10) 12) ) ) Druhá mocnina z tabulek 1) (- 6) = 10)(- 5) = ) 7 = 4 11) 5 = ) 4,8 = 4) 40 = 5),785 = 6) 65 8 = 7) 0,01485 = 8) 5,7 = 9) = 4 1),4 = 1)80 = 14)4,6787 = 15)467 56 = 16)0,014 = 17)48,69 = 1 18) Druhá odmocnina

Více

Úlohy domácí části I. kola kategorie C

Úlohy domácí části I. kola kategorie C 62. ročník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategorie C 1. Čtvercová tabulka je rozdělena na 16 16 políček. Kobylka se po ní pohybuje dvěma směry: vpravo nebo dolů, přičemž střídá skoky

Více

CVIČNÝ TEST 49. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15

CVIČNÝ TEST 49. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 CVIČNÝ TEST 49 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15 I. CVIČNÝ TEST 1 bod 1 Kolik hodnot proměnné a R existuje takových, že diference aritmetické

Více

Syntetická geometrie I

Syntetická geometrie I Kružnice Pedagogická fakulta 2016 www.karlin.mff.cuni.cz/~zamboj/ & přímka Vzájemná poloha přímky a kružnice p 1 vnější přímka p 2 tečna s bodem dotyku T p 3 sečna X 1 X 2 tětiva Y 1 Y 2 průměr Y 1 S poloměr

Více

9. Je-li cos 2x = 0,5, x 0, π, pak tgx = a) 3. b) 1. c) neexistuje d) a) x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R d) x < 4. e) 3 3 b

9. Je-li cos 2x = 0,5, x 0, π, pak tgx = a) 3. b) 1. c) neexistuje d) a) x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R d) x < 4. e) 3 3 b 008 verze 0A. Řešeními nerovnice x + 4 0 jsou právě všechna x R, pro která je x ( 4, 4) b) x = 4 c) x R x < 4 e) nerovnice nemá řešení b. Rovnice x + y x = je rovnicí přímky b) dvojice přímek c) paraboly

Více

1.1 Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem

1.1 Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem Analytická geometrie - kružnice Napište středovou rovnici kružnice, která má střed v počátku soustavy souřadnic a prochází bodem A = ; 5 [ ] Napište středový i obecný tvar rovnice kružnice, která má střed

Více

February 05, Čtyřúhelníky lichoběžníky.notebook. 1. Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace

February 05, Čtyřúhelníky lichoběžníky.notebook. 1. Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Registrační číslo projektu: Název projektu: Název a číslo globálního grantu: CZ.1.07/1.1.12/02.0010 Šumavská škola = evropská škola Zvyšování kvality ve vzdělání v Plzeňském kraji CZ.1.07/1.1.12 Název

Více

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ 11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ Dovednosti: 1. Chápat pojmy orientovaná úsečka a vektor a geometrický význam součtu, rozdílu a reálného násobku orientovaných úseček a vektorů..

Více

Úlohy domácí části I. kola kategorie B

Úlohy domácí části I. kola kategorie B 65. ročník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategorie B. Pro přirozená čísla k, l, m platí k + m + klm = 05 404. Určete všechny možné hodnoty součinu klm. Řešení. I když rovnice v zadání

Více

8 Podobná (ekviformní) zobrazení v rovině

8 Podobná (ekviformní) zobrazení v rovině Typeset by LATEX2ε 1 8 Podobná (ekviformní) zobrazení v rovině 8.1 Stejnolehlost (homotetie) v rovině Definice 8.1.1. Nechť jsou dány 3 různé kolineární body A, B, C. Dělicím poměrem λ = (ABC) rozumíme

Více

CVIČNÝ TEST 35. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 35. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 35 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST 1 Vypočtěte [( 3 3 ) ( 1 4 5 3 0,5 ) ] : 1 6 1. 1 bod VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE

Více

Úsečka spojující sousední vrcholy se nazývá strana, spojnice nesousedních vrcholů je úhlopříčka mnohoúhelníku.

Úsečka spojující sousední vrcholy se nazývá strana, spojnice nesousedních vrcholů je úhlopříčka mnohoúhelníku. Mnohoúhelníky Je dáno n různých bodů A 1, A 2,. A n, z nichž žádné tři neleží na přímce. Geometrický útvar tvořený lomenou čarou a částí roviny touto čarou ohraničenou nazýváme n-úhelníkem A 1 A 2. A n.

Více

Opakování k maturitě matematika 4. roč. TAD 2 <

Opakování k maturitě matematika 4. roč. TAD 2 < 8.. Otázka číslo Mocniny a odmocniny. b.) Zjednodušte: 6 b. b Opakování k maturitě matematika. roč. TAD : 6.) Zjednodušte: 6 6.) Vypočtěte: a. y : ( a. y ) =.) Usměrněte zlomek =.. Otázka číslo Lineární

Více

56. ročník Matematické olympiády

56. ročník Matematické olympiády 56. ročník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategorie C. Určete všechny dvojice (a, b) přirozených čísel, pro něž platí a + 5 b = b + 5 a. Řešení. Substitucí m = a, n = b převedeme rovnici

Více

Úlohy krajského kola kategorie A

Úlohy krajského kola kategorie A 66. ročník matematické olympiády Úlohy krajského kola kategorie A 1. Najděte všechny trojice celých čísel (a, b, c) takové, že každý ze zlomků má celočíselnou hodnotu. a b + c, b c + a, c a + b 2. Je dána

Více

Sčítání a odčítání Jsou-li oba sčítanci kladní, znaménko výsledku je + +421 +23 = + 444

Sčítání a odčítání Jsou-li oba sčítanci kladní, znaménko výsledku je + +421 +23 = + 444 ARITMETIKA CELÁ ČÍSLA Celá čísla jsou. -6, -5, -4, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, Celá čísla rozdělujeme na záporná (-1, -2, -3, ) kladná (1, 2, 3,.) nula 0 (není číslo kladné ani záporné) absolutní

Více

Zajímavé matematické úlohy

Zajímavé matematické úlohy Poděkování. Tento článek vznikl v rámci projektu SVV 2014-260105. Výzkum byl podpořen Grantovou agenturou Univerzity Karlovy v Praze (projekt č. 1250213). L i t e r a t u r a [1] Hejný, M. a kol.: Teória

Více

Sbírka příkladů z m a t e m a t i k y. Příprava k profilové části maturitní zkoušky

Sbírka příkladů z m a t e m a t i k y. Příprava k profilové části maturitní zkoušky Sbírka příkladů z m a t e m a t i k y Příprava k profilové části maturitní zkoušky školní rok 0/0 . Algebraické výrazy ) Rozložte na součin: a) d) n n a a b + b b c) a + a a b b b n n e) a 0a f) b + 5b

Více

PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ

PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ PLANIMETRIE, KONSTRUKČNÍ ÚLOHY V ROVINĚ Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky

Více

SHODNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ GEOMETRICKÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ SHODNÁ ZOBRAZENÍ

SHODNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ GEOMETRICKÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ SHODNÁ ZOBRAZENÍ Předmět: Ročník: Vytvořil: Datum: MTEMTIK DRUHÝ Mgr. Tomáš MŇÁK 21. června 2012 Název zpracovaného celku: SHODNÁ ZORZENÍ V ROVINĚ Teoretická část GEOMETRICKÁ ZORZENÍ V ROVINĚ Zobrazení Z v rovině je předpis,

Více

Základní geometrické tvary

Základní geometrické tvary Základní geometrické tvary č. 37 Matematika 1. Narýsuj bod A. 2. Narýsuj přímku b. 3. Narýsuj přímku, která je dána body AB. AB 4. Narýsuj polopřímku CD. CD 5. Narýsuj úsečku AB. 6. Doplň. Rýsujeme v rovině.

Více

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel.

Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax 2 + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených funkcí je množina reálných čísel. 5. Funkce 9. ročník 5. Funkce ZOPAKUJTE SI : 8. ROČNÍK KAPITOLA. Funkce. 5.. Kvadratická funkce Obecná rovnice kvadratické funkce : y = ax + bx + c Pokud není uvedeno jinak, tak definičním oborem řešených

Více

Témata absolventského klání z matematiky :

Témata absolventského klání z matematiky : Témata absolventského klání z matematiky : 1.Dělitelnost přirozených čísel - násobek a dělitel - společný násobek - nejmenší společný násobek (n) - znaky dělitelnosti 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9,10 - společný

Více

Úlohy domácí části I. kola kategorie C

Úlohy domácí části I. kola kategorie C 61. ročník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategorie C 1. Najděte všechny trojčleny p(x) = ax + bx + c, které dávají při dělení dvojčlenem x + 1 zbytek a při dělení dvojčlenem x + zbytek

Více

CVIČNÝ TEST 13. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Zdeňka Strnadová. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 13. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Zdeňka Strnadová. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 13 Mgr. Zdeňka Strnadová OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 V trojúhelníku ABC na obrázku dělí úsečka

Více

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce

MATEMATIKA 5. TŘÍDA. C) Tabulky, grafy, diagramy 1 - Tabulky, doplnění řady čísel podle závislosti 2 - Grafy, jízní řády 3 - Magické čtverce MATEMATIKA 5. TŘÍDA 1 - Přirozená čísla a číslo nula a číselná osa, porovnávání b zaokrouhlování c zápis čísla v desítkové soustavě d součet, rozdíl e násobek, činitel, součin f dělení, dělení se zbytkem

Více

Máme tři různé body A, B, C. Trojúhelník ABC je průnik polorovin ABC, BCA a CAB.

Máme tři různé body A, B, C. Trojúhelník ABC je průnik polorovin ABC, BCA a CAB. 8. Trojúhelník 6. ročník 8. Trojúhelník 8.1. Základní pojmy 8.1.1. Trojúhelník Máme tři různé body A, B, C. Trojúhelník ABC je průnik polorovin ABC, BCA a CAB. Trojúhelník popisujeme proti chodu hodinových

Více

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ. u. v = u v + u v. Umět ho aplikovat při

11. VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ. u. v = u v + u v. Umět ho aplikovat při . VEKTOROVÁ ALGEBRA A ANALYTICKÁ GEOMETRIE LINEÁRNÍCH ÚTVARŮ Dovednosti:. Chápat pojmy orientovaná úsečka a vektor a geometrický význam součtu, rozdílu a reálného násobku orientovaných úseček a vektorů..

Více

Analytická geometrie lineárních útvarů

Analytická geometrie lineárních útvarů ) Na přímce: a) Souřadnice bodu na přímce: Analtická geometrie lineárních útvarů Bod P nazýváme počátek - jeho souřadnice je P [0] Nalevo od počátku leží čísla záporná, napravo čísla kladná. Každý bod

Více

M - Planimetrie pro studijní obory

M - Planimetrie pro studijní obory M - Planimetrie pro studijní obory Autor: Mgr. Jaromír Juřek Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je dovoleno pouze s uvedením odkazu na www.jarjurek.cz. VARIACE 1 Tento dokument byl

Více

Trojúhelníky. a jejich různé středy. Součet vnitřních úhlů trojúhelníku = 180 neboli π radiánů.

Trojúhelníky. a jejich různé středy. Součet vnitřních úhlů trojúhelníku = 180 neboli π radiánů. Úvod V této knize předkládáme čtenáři základní matematické a fyzikální vzorce v přívětivé a snadno použitelné podobě. Využití čísel a symbolů k modelování, předpovídání a ovládání reality je mocnou zbraní

Více

Trojúhelník - určují tři body které neleţí na jedné přímce. Trojúhelník je rovněţ moţno povaţovat za průnik tří polorovin nebo tří konvexních úhlů.

Trojúhelník - určují tři body které neleţí na jedné přímce. Trojúhelník je rovněţ moţno povaţovat za průnik tří polorovin nebo tří konvexních úhlů. Trojúhelník Trojúhelník - určují tři body které neleţí na jedné přímce. Trojúhelník je rovněţ moţno povaţovat za průnik tří polorovin nebo tří konvexních úhlů. C Body se nazývají vrcholy trojúhelníku Úsečky

Více

Přijímací zkouška na MFF UK v Praze

Přijímací zkouška na MFF UK v Praze Přijímací zkouška na MFF UK v Praze pro bakalářské studijní programy fyzika, informatika a matematika 2016, varianta A U každé z deseti úloh je nabízeno pět odpovědí: a, b, c, d, e. Vaším úkolem je u každé

Více

Přírodovědecká fakulta Masarykovy univerzity. na trigonometrii pravoúhlého a obecného trojúhelníku

Přírodovědecká fakulta Masarykovy univerzity. na trigonometrii pravoúhlého a obecného trojúhelníku Přírodovědecká fakulta Masarykovy univerzity Řešení složitějších úloh na trigonometrii pravoúhlého a obecného trojúhelníku Bakalářská práce BRNO. května 006 Barbora Kamencová Prohlašuji, že jsem svou bakalářskou

Více

16. Trojúhelník vlastnosti, prvky, konstrukční úlohy Vypracovala: Ing. Ludmila Všetulová, prosinec 2013

16. Trojúhelník vlastnosti, prvky, konstrukční úlohy Vypracovala: Ing. Ludmila Všetulová, prosinec 2013 16. Trojúhelník vlastnosti, prvky, konstrukční úlohy Vypracovala: Ing. Ludmila Všetulová, prosinec 2013 Název školy Obchodní akademie a Střední odborné učiliště Veselí nad Moravou Název a číslo OP OP Vzdělávání

Více

PLANIMETRIE. Mgr. Zora Hauptová TROJÚHELNÍK VY_32_INOVACE_MA_1_04

PLANIMETRIE. Mgr. Zora Hauptová TROJÚHELNÍK VY_32_INOVACE_MA_1_04 PLANIMETRIE Mgr. Zora Hauptová TROJÚHELNÍK VY_32_INOVACE_MA_1_04 OPVK 1.5 EU peníze středním školám CZ.1.07/1.500/34.0116 Modernizace výuky na učilišti Název školy Název šablony Předmět Tematický celek

Více

1. Přímka a její části

1. Přímka a její části . Přímka a její části přímka v rovině, v prostoru, přímka jako graf funkce, konstrukce přímky nebo úsečky, analytická geometrie přímky, přímka jako tečna grafu, přímka a kuželosečka Přímka v rovině a v

Více

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332

ZŠ ÚnO, Bratří Čapků 1332 Úvodní obrazovka Menu (vlevo nahoře) Návrat na hlavní stránku Obsah Výsledky Poznámky Záložky edunet Konec Matematika 2 (pro 12-16 let) LangMaster Obsah (střední část) výběr tématu - dvojklikem v seznamu

Více

55. ročník matematické olympiády

55. ročník matematické olympiády . ročník matematické olympiády! " #%$'&( *$,+ 1. Najděte všechny dvojice celých čísel x a y, pro něž platí x y = 6 10.. Je dán rovnostranný trojúhelník ABC o obsahu S a jeho vnitřní bod M. Označme po řadě

Více

CVIČNÝ TEST 9 OBSAH. Mgr. Václav Zemek. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19

CVIČNÝ TEST 9 OBSAH. Mgr. Václav Zemek. I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 CVIČNÝ TEST 9 Mgr. Václav Zemek OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 5 III. Klíč 17 IV. Záznamový list 19 I. CVIČNÝ TEST 1 Vypočítejte (7,5 10 3 2 10 2 ) 2. Výsledek zapište ve tvaru a 10 n, kde

Více

Extremální úlohy v geometrii

Extremální úlohy v geometrii Extremální úlohy v geometrii Petr Vodstrčil petr.vodstrcil@vsb.cz Katedra aplikované matematiky, Fakulta elektrotechniky a informatiky, Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava 30.4. 2013 Petr

Více

65. ročník matematické olympiády III. kolo kategorie A. Pardubice, dubna 2016

65. ročník matematické olympiády III. kolo kategorie A. Pardubice, dubna 2016 65. ročník matematické olympiády III. kolo kategorie A Pardubice, 3. 6. dubna 2016 MO 1. Nechť p > 3 je dané prvočíslo. Určete počet všech uspořádaných šestic (a, b, c, d, e, f) kladných celých čísel,

Více

CVIČNÝ TEST 39. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 5 III. Klíč 11 IV. Záznamový list 13

CVIČNÝ TEST 39. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 5 III. Klíč 11 IV. Záznamový list 13 CVIČNÝ TEST 9 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test II. Autorské řešení 5 III. Klíč 11 IV. Záznamový list 1 I. CVIČNÝ TEST 1 bod 1 Do kruhu je vepsán rovnostranný trojúhelník. Jakou část obsahu kruhu

Více

z přímek a kružnic 35. Čtverec s danou stranou: 1. Oblouky A-B, B-A (přímka CED); 2. Oblouk E-AB (F); 3. Přímky AF, BF a vzniklé průsečíky

z přímek a kružnic 35. Čtverec s danou stranou: 1. Oblouky A-B, B-A (přímka CED); 2. Oblouk E-AB (F); 3. Přímky AF, BF a vzniklé průsečíky ČTVERCE A KOSOčTVERCE z přímek a kružnic Jednoduché čtyřúhelníkové konstrukce se dají zvládnout snadno. Abyste sestrojili kružnici opsanou čtverci nebo obdélníku, nejprve zakreslete úhlopříčky a pak narýsujte

Více

SHODNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ

SHODNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ Projekt ŠABLONY NA GVM Gymnázium Velké Meziříčí registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0948 IV-2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol SHODNÁ

Více

Trojúhelník. MATEMATIKA pro 1. ročníky tříletých učebních oborů. Ing. Miroslav Čapek srpen 2011

Trojúhelník. MATEMATIKA pro 1. ročníky tříletých učebních oborů. Ing. Miroslav Čapek srpen 2011 MATEMATIKA pro 1. ročníky tříletých učebních oborů Trojúhelník Ing. Miroslav Čapek srpen 2011 Projekt Využití e-learningu k rozvoji klíčových kompetencí reg. č.: CZ.1.07/1.1.10/03.0021 je spolufinancován

Více

63. ročník matematické olympiády Řešení úloh krajského kola kategorie B. 1. Odečtením druhé rovnice od první a třetí od druhé dostaneme dvě rovnice

63. ročník matematické olympiády Řešení úloh krajského kola kategorie B. 1. Odečtením druhé rovnice od první a třetí od druhé dostaneme dvě rovnice 63. ročník matematické olympiády Řešení úloh krajského kola kategorie B 1. Odečtením druhé rovnice od první a třetí od druhé dostaneme dvě rovnice (x y)(x + y 6) = 0, (y z)(y + z 6) = 0, které spolu s

Více

1. Základní poznatky z matematiky

1. Základní poznatky z matematiky . Základní poznatky z matematiky. Určete opačné číslo k číslu (3 5). a) 8 b) 8 c) 8 d) 8. Čísla,, 0, 3,, 8 9, seřaďte od největšího k nejmenšímu. a), 3,, 8 9,, 0, b), 3,, 8 9,, 0, c) 3,,, 8 9,, 0, d),,

Více