Riziko rezerv v neživotním pojištění Srovnání několika metod výpočtu na základě škodních trojúhelníků

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Riziko rezerv v neživotním pojištění Srovnání několika metod výpočtu na základě škodních trojúhelníků"

Transkript

1 Riziko rezerv v neživotním pojištění Srovnání několika metod výpočtu na základě škodních trojúhelníků Tomáš Petr Actuarial & Insurance Solutions, Deloitte. Seminář z aktuárských věd 30. března 2012 Audit.Tax.Consulting.Financial Advisory.

2 SII Projekce C-L Mack M-W ODP Bootstrap SII rizika Úvod Cílem přednášky je s využitím příkladů srovnat několik metod výpočtu na základě škodních trojúhelníků, použitelných v rámci standardní formule, USP či částečného interního modelu. To znamená: shrnout, co pokrývá riziko technických rezerv v neživotním pojištění podle Solventnosti II připomenout některé metody výpočtu škodních rezerv založených na škodních trojúhelnících na příkladu porovnat možnosti jejich použití pro riziko rezerv podle Solventnosti II 2 Riziko rezerv v neživotním pojištění

3 SII Projekce C-L Mack M-W ODP Bootstrap SII rizika Obsah Solventnost II Projekce škod Metoda Chain-Ladder Mackova metoda chain-ladder Metoda Merz-Wüthrich Overdispersed Poisson Bootstrap Zpět k výpočtu rizik pro Solventnost II 3 Riziko rezerv v neživotním pojištění

4 Solventnost II

5 Solventnost II SII Projekce C-L Mack M-W ODP Bootstrap SII rizika Solventnost II zavádí novou Evropskou regulaci pojišt oven I. pilíř Kvantitativní požadavky Ocenění aktiv a závazků Kapitálový požadavek II. pilíř Kvalitativní požadavky Řízení rizik ORSA III. pilíř Zveřejňování Veřejné vykazování Vykazování dohledu Direktiva Solventnost II schválená v listopadu 2009 Implementační detaily: technická specifikace QIS5, návrh implementačních opatření druhé a třetí úrovně 5 Riziko rezerv v neživotním pojištění

6 Annex to Group Guidance Supervisory Approval Implementation Procedures Capital (K. Marx) Contractual Conditions Analysis Comments to discussion paper Solvency II directive Kapitál v SII SII Projekce C-L Mack M-W ODP Bootstrap SII rizika Solvency II for beginners Classification of risks Independent Results Analysis RECONCILIATION Audit Report Map of Requirements Important: Read ASAP Risk Capacities Catastrophe Modelling Appendix to Implementation Procedures Risk Margin Economic Scenario Generator Požadavek na kapitál: Important! Annex Group Implementation Guidance Ammedment XVIII Implementation plan, version 9bis ORSA Risk mitigation plan Internal Audit Report Documentation Expert Judgement Disclaimer Expert oppinion Management Report INTERNAL MODEL: DOCUMENTATION EIOPA Level 2: Draft Implementing Measures Undertaking Specific Parameters Expert Opinion IMPLEMENTATION GUIDANCE QIS 5 Technical Specification Appendix QIS4: Results and Messages European Commission Call for advice CEIOPS Other Provisions Risk Apetite Assessment Reporting requirements Management Approval Management Summary Commentary on Results UNDERTAKING SPECIFIC PARAMETERS Draft Supervisory Report Implementation Process Map Oppinion of the Committee Solvency II vs. IFRS 4 draft requirements Gap Analysis Amended Proposal Discussion paper Best Estimate Draft consultation paper Consultation paper on illiquidity premium kde VaR 99.5% (A(t + 1) L(t + 1)) > 0 (A(t) L(t)) > SCR A(t), L(t) je nejlepší odhad (BE) hodnoty aktiv a závazků nyní A(t + 1), A(t + 1) je BE hodnota aktiv a závazků po roce SCR = (A(t) L(t)) VaR 99.5% (A(t + 1) L(t + 1)) Praktický výpočet SCR: jednotlivé skupiny rizik jsou obvykle nejprve počítány odděleně, až nakonec se přidá vliv vzájemných korelací. European Councel draft documents 6 Riziko rezerv v neživotním pojištění

7 Kapitálový požadavek SII Projekce C-L Mack M-W ODP Bootstrap SII rizika Teoreticky odpovídá výši kapitálu tak, aby kapitál po 1 roce neklesl pod 0 s 99,5% pravděpodobností SCR BSCR Operační riziko Tržní riziko Neživotní upis. riziko Zdravotní upis. riziko Životní upis. riziko Riziko selhání protistr. Kurzové r. R. pojistného R. podobná živ. poj. R. úmrtnosti R. dlouhověkosti Krach investic Úrokové r. R. rezerv R. podobná neživ. poj. R. invalidity Krach zajistitele Nemovitostní r. R. storen R. epidemií a katastrof R. nákladů Kreditní r. Katastrofické r. R. revize R. koncentrace = Snižování rizik budoucími nezaručenými podíly na zisku R. storen Katastrofické r. 7 Riziko rezerv v neživotním pojištění

8 SII Projekce C-L Mack M-W ODP Bootstrap SII rizika Neživotní riziko rezerv a pojistného Výpočet rezerv podle SII = nejlepší odhad ( BE ), očekávaná diskontovaná hodnota bud. peněžních toků + riziková přirážka, spočítaná jako náklad na kapitál ( CoC ) na celku a pak (vč. vlivu diversifikace) rozpočítána zpět na odvětví Riziko pojistného = riziko, že BE rezerva poj. na zač. roku + pojistné během roku + úroky < škody a náklady nastalé během roku + rezerva poj. na konci roku (vliv chyby odhadu nebo rozptylu daného procesu) Riziko rezerv = riziko, že po 1 roce BE škodní rezerva se ukáže jako špatně odhadnutá (chyba odhadu) skutečné škody se odchýlí od očekávané střední hodnoty (procesní chyba) 8 Riziko rezerv v neživotním pojištění

9 Projekce škod

10 SII Projekce C-L Mack M-W ODP Bootstrap SII rizika Přístupy k projekci škod: Přístupy k projekci škod v neživotním pojištění obvykle spadají do jedné z následujících skupin: Výpočet ze škodních trojúhelníků Data = souhrn škod po škodních a vývojových letech Odhaduje se celkový objem škod a zpoždění jejich vývoje Vhodné zejména pro dostatečně rozsáhlá a homogenní portfolia Individuální projekce Data = individuální škody Odhaduje se počet škod, velikost jednotlivé škody, zpoždění hlášení, rezervování, (postupného) vyplácení Umožňuje detailnější modelování (velké/katastrofické škody s jinými vlastnostmi než malé, aplikace XL zajištění,... ) Náročné na odhady parametrů (dostatek dat) a výpočet (místo např. 100 buněk trojúhelníka může jít i o miliony škod) 10 Riziko rezerv v neživotním pojištění

11 SII Projekce C-L Mack M-W ODP Bootstrap SII rizika Přístupy k projekci škod: Přístupy k projekci škod v neživotním pojištění obvykle spadají do jedné z následujících skupin: Výpočet ze škodních trojúhelníků Data = souhrn škod po škodních a vývojových letech Odhaduje se celkový objem škod a zpoždění jejich vývoje Vhodné zejména pro dostatečně rozsáhlá a homogenní portfolia Individuální projekce Data = individuální škody Odhaduje se počet škod, velikost jednotlivé škody, zpoždění hlášení, rezervování, (postupného) vyplácení Umožňuje detailnější modelování (velké/katastrofické škody s jinými vlastnostmi než malé, aplikace XL zajištění,... ) Náročné na odhady parametrů (dostatek dat) a výpočet (místo např. 100 buněk trojúhelníka může jít i o miliony škod) 10 Riziko rezerv v neživotním pojištění

12 SII Projekce C-L Mack M-W ODP Bootstrap SII rizika Přístupy k projekci škod: Přístupy k projekci škod v neživotním pojištění obvykle spadají do jedné z následujících skupin: Výpočet ze škodních trojúhelníků Data = souhrn škod po škodních a vývojových letech Odhaduje se celkový objem škod a zpoždění jejich vývoje Vhodné zejména pro dostatečně rozsáhlá a homogenní portfolia Individuální projekce Data = individuální škody Odhaduje se počet škod, velikost jednotlivé škody, zpoždění hlášení, rezervování, (postupného) vyplácení Umožňuje detailnější modelování (velké/katastrofické škody s jinými vlastnostmi než malé, aplikace XL zajištění,... ) Náročné na odhady parametrů (dostatek dat) a výpočet (místo např. 100 buněk trojúhelníka může jít i o miliony škod) 10 Riziko rezerv v neživotním pojištění

13 Metoda Chain-Ladder

14 SII Projekce C-L Mack M-W ODP Bootstrap SII rizika Předpoklady tradiční metody chain-ladder Mějme kumulativní škodní trojúhelník {C ij }. 1 2 n 1 C 11 C 12 C 1n 2 C 21 C 22. n C n1 f 1 f n 1. Předpokládáme následující vztahy: C i,j f j C i,j 1, tzn. nárůst v každém vývojovém roce 1 j je podobný ve všech řádcích a osciluje kolem hodnoty dané vývojovým faktorem f j. 1 V prezentaci říkáme vývojový,rok, ale může jít o libovolnou jinou periodu 12 Riziko rezerv v neživotním pojištění

15 Shrnutí SII Projekce C-L Mack M-W ODP Bootstrap SII rizika Vývojové faktory se odhadnou pomocí ˆfj = n k+1 i=1 / n k+1 C i,j i=1 C i,j 1 Chain-ladder je notoricky známá metoda, ostatní metody se proti ní obvykle porovnávají. Použití kumulativních dat vyžaduje znát celou historii každého škodního roku (tzn. problematické, pokud chybí horní levý roh trojúhelníka). Alternativa: např. aditivní metoda ILR Metoda je citlivá na data v rozích trojúhelníka (dolní levý určuje rezervu pro poslední škodní rok, horní pravý určuje chování na konci/tailu). Alternativa: např. Bornhuetter-Ferguson, Mackova B.-F. Tradiční chain-ladder neposkytuje odhad rozptylu nebo chyby odhadu. Alternativa: např. Mack C-L, Mack ILR, GLM metody - např. ODP 13 Riziko rezerv v neživotním pojištění

16 Shrnutí SII Projekce C-L Mack M-W ODP Bootstrap SII rizika Vývojové faktory se odhadnou pomocí ˆfj = n k+1 i=1 / n k+1 C i,j i=1 C i,j 1 Chain-ladder je notoricky známá metoda, ostatní metody se proti ní obvykle porovnávají. Použití kumulativních dat vyžaduje znát celou historii každého škodního roku (tzn. problematické, pokud chybí horní levý roh trojúhelníka). Alternativa: např. aditivní metoda ILR Metoda je citlivá na data v rozích trojúhelníka (dolní levý určuje rezervu pro poslední škodní rok, horní pravý určuje chování na konci/tailu). Alternativa: např. Bornhuetter-Ferguson, Mackova B.-F. Tradiční chain-ladder neposkytuje odhad rozptylu nebo chyby odhadu. Alternativa: např. Mack C-L, Mack ILR, GLM metody - např. ODP 13 Riziko rezerv v neživotním pojištění

17 Shrnutí SII Projekce C-L Mack M-W ODP Bootstrap SII rizika Vývojové faktory se odhadnou pomocí ˆfj = n k+1 i=1 / n k+1 C i,j i=1 C i,j 1 Chain-ladder je notoricky známá metoda, ostatní metody se proti ní obvykle porovnávají. Použití kumulativních dat vyžaduje znát celou historii každého škodního roku (tzn. problematické, pokud chybí horní levý roh trojúhelníka). Alternativa: např. aditivní metoda ILR Metoda je citlivá na data v rozích trojúhelníka (dolní levý určuje rezervu pro poslední škodní rok, horní pravý určuje chování na konci/tailu). Alternativa: např. Bornhuetter-Ferguson, Mackova B.-F. Tradiční chain-ladder neposkytuje odhad rozptylu nebo chyby odhadu. Alternativa: např. Mack C-L, Mack ILR, GLM metody - např. ODP 13 Riziko rezerv v neživotním pojištění

18 Shrnutí SII Projekce C-L Mack M-W ODP Bootstrap SII rizika Vývojové faktory se odhadnou pomocí ˆfj = n k+1 i=1 / n k+1 C i,j i=1 C i,j 1 Chain-ladder je notoricky známá metoda, ostatní metody se proti ní obvykle porovnávají. Použití kumulativních dat vyžaduje znát celou historii každého škodního roku (tzn. problematické, pokud chybí horní levý roh trojúhelníka). Alternativa: např. aditivní metoda ILR Metoda je citlivá na data v rozích trojúhelníka (dolní levý určuje rezervu pro poslední škodní rok, horní pravý určuje chování na konci/tailu). Alternativa: např. Bornhuetter-Ferguson, Mackova B.-F. Tradiční chain-ladder neposkytuje odhad rozptylu nebo chyby odhadu. Alternativa: např. Mack C-L, Mack ILR, GLM metody - např. ODP 13 Riziko rezerv v neživotním pojištění

19 Shrnutí SII Projekce C-L Mack M-W ODP Bootstrap SII rizika Vývojové faktory se odhadnou pomocí ˆfj = n k+1 i=1 / n k+1 C i,j i=1 C i,j 1 Chain-ladder je notoricky známá metoda, ostatní metody se proti ní obvykle porovnávají. Použití kumulativních dat vyžaduje znát celou historii každého škodního roku (tzn. problematické, pokud chybí horní levý roh trojúhelníka). Alternativa: např. aditivní metoda ILR Metoda je citlivá na data v rozích trojúhelníka (dolní levý určuje rezervu pro poslední škodní rok, horní pravý určuje chování na konci/tailu). Alternativa: např. Bornhuetter-Ferguson, Mackova B.-F. Tradiční chain-ladder neposkytuje odhad rozptylu nebo chyby odhadu. Alternativa: např. Mack C-L, Mack ILR, GLM metody - např. ODP 13 Riziko rezerv v neživotním pojištění

20 Mackova metoda chain-ladder

21 SII Projekce C-L Mack M-W ODP Bootstrap SII rizika Předpoklady Mackovy metody Chain-ladder předpoklady lze přirozeně rozšířit o chování rozptylu a formalizovat následovně: Mackův chain-ladder model 1. Vývojové faktory: 2. Nezávislost řádků: E (C i,j C i1,..., C ij ) = C i,j 1 f j ; { Ci1,..., C in } { Cj1,..., C jn } ; 3. Rozptyl: Var (C i,j C i1,..., C ij ) = C i,j 1 σ 2 j. 15 Riziko rezerv v neživotním pojištění

22 SII Projekce C-L Mack M-W ODP Bootstrap SII rizika Mackova metoda: odhad faktorů Dáme-li každému pozorování C i,j /C i,j 1 a-priori váhu w ij (např. s nižší vahou pro vychýlená pozorování), můžeme odhadnout: Vývojové faktory Faktory rozptylu ˆfj = n j+1 i=1 / n j+1 w ij C ij i=1 w ij C i,j 1 ˆσ 2 j = 1 n j+1 w ij (C ij d.f. C ˆf j C i,j 1 ) 2 i=1 i,j 1 kde d.f. je počet stupňů volnosti (n j jsou-li všechna w ij = 1) Rozptyl vývojových faktorů n j+1 Var(ˆf j ) = ˆσ 2 j i=1 w 2 ij C i,j 1 / n j+1 i=1 w ij C i,j 1 Opět lze uvažovat o intra/extrapolaci odhadů zejm. na konci. 16 Riziko rezerv v neživotním pojištění 2 Detaily

23 Kontrola odhadů SII Projekce C-L Mack M-W ODP Bootstrap SII rizika Chceme-li použít metodu chain-ladder, vývoj C ij /C i,j 1 v každém roce i by měl být,rozumně blízko f j. Když ted máme odhad rozptylu, můžeme se podívat na residua r ij = ( ) Cij C ˆf / ˆσ j j ij 1 Ci,j 1 a zkontrolovat, jestli jejich rozdělení odpovídá rozdělení se střední hodnotou 0 a rozptylem 1. Mimo to můžeme residua později použít při bootstrapu: pro jednoduchost můžeme předpokládat, že rozdělení residuí je stejné ve všech škodních a vývojových letech projekce residuí při bootstrapu založíme na výběru z pozorovaných residuích (simulace z empirického rozdělení), nebo na výběru z jejich předpokládaného rozdělení 17 Riziko rezerv v neživotním pojištění

24 Odhad rezerv SII Projekce C-L Mack M-W ODP Bootstrap SII rizika Odhad střední hodnoty rezervy (BE) je stejný, jako při tradiční metodě chain-ladder: Konečná hodnota v roce i se odhadne roznásobením diagonály a vývojových faktorů představujících budoucí roky, Û i = Ĉi = C i,n i+1 j=n i+2 ˆfj Rezerva pokrývá projektovaný budoucí vývoj, ˆR i = Ûi C i,n i+1 18 Riziko rezerv v neživotním pojištění

25 Rozptyl rezerv SII Projekce C-L Mack M-W ODP Bootstrap SII rizika Za použití označení = {C ij, i n, j n i + 1} můžeme vyjádřit odchylku výplat od odhadnuté rezervy v každém škodním roce: E ( ( ˆR i R i ) 2 ) = Var(C i ) } {{ } + Var(Ĉi ) } {{ } rozptyl procesu + rozptyl odhadu 2 kde obě části můžeme odhadnout rekurzivně pomocí Rozptyl procesu (tzn. rozptyl náhodné veličiny C ij ): Var(C ij ) = Var(C i,j 1 )ˆf 2 j + Ĉi,j 1 ˆσ 2 j, Var(Ci,n i+1 ) = 0 Rozptyl odhadu (tzn. nakolik se odhadnutý průměr liší od teoretické střední hodnoty): Var(Ĉij ) = Var(Ĉi,j 1 )ˆf 2 j + Ĉ2 i,j 1 Var(ˆf j ), Var( Ĉ i,n i+1 ) = 0 2 Přesněji, při použití tohoto odhadu bychom měli psát Var( Ĉ ij {C ij, i + j < n, j i}) místo Var(Ĉij ) - viz detaily. Detaily 19 Riziko rezerv v neživotním pojištění

26 SII Projekce C-L Mack M-W ODP Bootstrap SII rizika Rozptyl celkové rezervy Rozptyl celé rezervy ˆR = n i=1 ˆR i lze odhadnout pomocí Rozptyl procesu: díky nezávislosti řádků je Var(R ) = n Var(R i ) Rozptyl odhadu: jednotlivé odhady ˆR i nejsou nezávislé, nebot jsou spočítané ze stejných pozorování, takže je třeba dopočítat rekurzivně Var( ˆR ) = Var(Ĉ>, ) kde n n Ĉ >,j = Ĉ i,j, Ĉ,j 1 = i=n+2 j i=1 i=n+2 j Ĉ i,j 1 Var(Ĉ>,j ) = Var(Ĉ>,j 1 )ˆf 2 k + Ĉ2,j 1 Var(ˆf j ) Pozn.: podobně lze uvažovat i o kovariancích rezerv různých odvětví viz např. [Merz & Wüthrich 2008] 20 Riziko rezerv v neživotním pojištění

27 SII Projekce C-L Mack M-W ODP Bootstrap SII rizika Projekce Z uvedených odhadů můžeme získat chybu danou rozptylem procesu, chybu odhadu a celkovou chybu předpovědi proc.e.(r) = Var(R ), estim.e.(r) = Var( ˆR ) pred.e.(r) = Var(R ) + Var( ˆR ) a použít je ke konstrukci intervalu spolehlivosti - s pravděpodobností α můžeme říct, že R E(R ) ± q α proc.e.(r) E(R ) ˆR ± q α estim.e.(r) R ˆR ± q α pred.e.(r) kde q α je kvantil vhodného rozdělení (pro jednoduchost se často používá normální rozdělení). 21 Riziko rezerv v neživotním pojištění

28 SII Projekce C-L Mack M-W ODP Bootstrap SII rizika Shrnutí Mackova metoda je přirozené rozšíření metody chain-ladder. To znamená, že dává stejný odhad střední hodnoty, ale také že má podobné vlastnosti (např. citlivost na data v rozích trojúhelníka). K odvození odhadu rozptylu není použit žádný předpoklad rozdělení; lze ale ukázat, že výsledky jsou stejné, jako při použití předpokladu normálního rozdělení. Jiné metody mohou být vhodnější, je-li třeba modelovat těžší chvosty (fat-tail). Alternativa: např. GLM metody s vhodným předpokládaným rozdělením Uvedené odhady udávají celkový rozptyl rezervy po skončení vývoje, ne po 1 roce jak požaduje SII. Alternativa: Merz-Wüthrich 22 Riziko rezerv v neživotním pojištění

29 SII Projekce C-L Mack M-W ODP Bootstrap SII rizika Shrnutí Mackova metoda je přirozené rozšíření metody chain-ladder. To znamená, že dává stejný odhad střední hodnoty, ale také že má podobné vlastnosti (např. citlivost na data v rozích trojúhelníka). K odvození odhadu rozptylu není použit žádný předpoklad rozdělení; lze ale ukázat, že výsledky jsou stejné, jako při použití předpokladu normálního rozdělení. Jiné metody mohou být vhodnější, je-li třeba modelovat těžší chvosty (fat-tail). Alternativa: např. GLM metody s vhodným předpokládaným rozdělením Uvedené odhady udávají celkový rozptyl rezervy po skončení vývoje, ne po 1 roce jak požaduje SII. Alternativa: Merz-Wüthrich 22 Riziko rezerv v neživotním pojištění

30 SII Projekce C-L Mack M-W ODP Bootstrap SII rizika Shrnutí Mackova metoda je přirozené rozšíření metody chain-ladder. To znamená, že dává stejný odhad střední hodnoty, ale také že má podobné vlastnosti (např. citlivost na data v rozích trojúhelníka). K odvození odhadu rozptylu není použit žádný předpoklad rozdělení; lze ale ukázat, že výsledky jsou stejné, jako při použití předpokladu normálního rozdělení. Jiné metody mohou být vhodnější, je-li třeba modelovat těžší chvosty (fat-tail). Alternativa: např. GLM metody s vhodným předpokládaným rozdělením Uvedené odhady udávají celkový rozptyl rezervy po skončení vývoje, ne po 1 roce jak požaduje SII. Alternativa: Merz-Wüthrich 22 Riziko rezerv v neživotním pojištění

31 SII Projekce C-L Mack M-W ODP Bootstrap SII rizika Shrnutí Mackova metoda je přirozené rozšíření metody chain-ladder. To znamená, že dává stejný odhad střední hodnoty, ale také že má podobné vlastnosti (např. citlivost na data v rozích trojúhelníka). K odvození odhadu rozptylu není použit žádný předpoklad rozdělení; lze ale ukázat, že výsledky jsou stejné, jako při použití předpokladu normálního rozdělení. Jiné metody mohou být vhodnější, je-li třeba modelovat těžší chvosty (fat-tail). Alternativa: např. GLM metody s vhodným předpokládaným rozdělením Uvedené odhady udávají celkový rozptyl rezervy po skončení vývoje, ne po 1 roce jak požaduje SII. Alternativa: Merz-Wüthrich 22 Riziko rezerv v neživotním pojištění

32 Metoda Merz-Wüthrich

33 Roční run-off SII Projekce C-L Mack M-W ODP Bootstrap SII rizika Mackova metoda dovoluje spočítat odchylku rezervy a konečné výše škod pro Solventnost II ale potřebujeme rozptyl run-offu pouze po 1 roce. ˆR t+1 i Označíme-li, Ĉt+1 odhady rezervy a výplat ij příští rok a Y i,n i+2 = C i,n i+2 C i,n i+1 skutečné výplaty příští rok, pak run-off po 1 roce je Roff i = ˆR i (Y i,n i+2 + t+1 ˆR ) = i Ĉi Ĉt+1 i. Zatímco střední hodnota run-offu (pohledem nyní) je zřejmě 0, rozptyl se musí dopočítat o něco složitěji než u Mackovy metody. Kontrola: tento roztpyl ročního run-offu by měl být vždy menší, než Mackův rozptyl úplného run-offu. 24 Riziko rezerv v neživotním pojištění

34 Rozptyl run-offu SII Projekce C-L Mack M-W ODP Bootstrap SII rizika V ideálním případě by platilo Ĉi = E(C i ) a pak by rozptyl byl: kde značíme: Var ( E(C i ) E(C i t+1 ) ) = (E(Ci )) 2 Ψ i. Φ i = ˆσ2 n i+2 /ˆf 2 n i+2 i 1 k=1 C k,n i+1 Ψ i = σ2 n i+2 /f 2 n i+2 + C i,n i+1 j=n i+2 C n j+1,j n j+1 k=1 C k,j Ve skutečnosti ale musíme počítat i s chybou odhadu: Var(Roff i ) = ( Ĉ i ) 2 (Ψi + Φ i ) ˆσ 2 j+1 /ˆf 2 j+1 n j k=1 C k,j Celkový rozptyl je pak n n Var Roff i = Var(Roff i ) + 2 Ĉ i Ĉ k Φ i i=1 i=1 i<k Detaily 25 Riziko rezerv v neživotním pojištění

35 Overdispersed Poisson

36 Předpoklady SII Projekce C-L Mack M-W ODP Bootstrap SII rizika Jako obvykle začneme nekumulativním škodním trojúhelníkem {Y ij }. 1 2 n 1 Y 11 Y 12 Y 1n 2 Y 21 Y 22. n. Y n1 Škody popisuje tzv. over-dispersed Poisson model ( ODP ): E Y ij = µ ij = e η ij, Var(Y ij ) = φ µ ij, η ij = m + r i + c j = konst. + vliv řádku + vliv sloupce. Y ij a Y kl jsou nezávislé pro i k j l. 27 Riziko rezerv v neživotním pojištění

37 SII Projekce C-L Mack M-W ODP Bootstrap SII rizika Parametry V maticové formě budeme psát η = Xβ, kde β = (m, r 1,..., c n ) a X je matice, která má nuly a jedničky na správných místech. Položíme r 1 = c 1 = 0. (Jinak by model byl přeparametrizovaný X by neměla plnou hodnost.) Parametry chceme odhadnout metodou maximální věrohodnosti potřebujeme vyřešit: 0 = dl dβ k = ij 1 φw z (ij) (Y ij µ ij ) dη ij dµ ij x ij,k, kde W z (ij) = 1 w ij µ ij ( dηij dµ ij ) 2 a wij jsou a-priori váhy dané jednotlivým pozorováním výchozí hodnota vah je 1. Detaily Tento vzorec vypadá obdobně jako věrohodnostní funkce lineární regrese toho můžeme využít a aplikovat mechanismy a postupy známé z lineární regrese. 28 Riziko rezerv v neživotním pojištění

38 SII Projekce C-L Mack M-W ODP Bootstrap SII rizika Parametry V maticové formě budeme psát η = Xβ, kde β = (m, r 1,..., c n ) a X je matice, která má nuly a jedničky na správných místech. Položíme r 1 = c 1 = 0. (Jinak by model byl přeparametrizovaný X by neměla plnou hodnost.) Parametry chceme odhadnout metodou maximální věrohodnosti potřebujeme vyřešit: 0 = dl dβ k = ij 1 φw z (ij) (Y ij µ ij ) dη ij dµ ij x ij,k, kde W z (ij) = 1 w ij µ ij ( dηij dµ ij ) 2 a wij jsou a-priori váhy dané jednotlivým pozorováním výchozí hodnota vah je 1. Detaily Tento vzorec vypadá obdobně jako věrohodnostní funkce lineární regrese toho můžeme využít a aplikovat mechanismy a postupy známé z lineární regrese. 28 Riziko rezerv v neživotním pojištění

39 SII Projekce C-L Mack M-W ODP Bootstrap SII rizika Parametry V maticové formě budeme psát η = Xβ, kde β = (m, r 1,..., c n ) a X je matice, která má nuly a jedničky na správných místech. Položíme r 1 = c 1 = 0. (Jinak by model byl přeparametrizovaný X by neměla plnou hodnost.) Parametry chceme odhadnout metodou maximální věrohodnosti potřebujeme vyřešit: 0 = dl dβ k = ij 1 φw z (ij) (Y ij µ ij ) dη ij dµ ij x ij,k, kde W z (ij) = 1 w ij µ ij ( dηij dµ ij ) 2 a wij jsou a-priori váhy dané jednotlivým pozorováním výchozí hodnota vah je 1. Detaily Tento vzorec vypadá obdobně jako věrohodnostní funkce lineární regrese toho můžeme využít a aplikovat mechanismy a postupy známé z lineární regrese. 28 Riziko rezerv v neživotním pojištění

40 Numerické řešení SII Projekce C-L Mack M-W ODP Bootstrap SII rizika Označme z = η + (Y µ) dη dµ. Pokud bychom měli pevné µ, mohli bychom lineární regresí odhadnout η = Xβ na základě pozorování z. V našem případě je ale µ funkcí η, takže musíme tento postup použít iterativně. Y ˆη k, ˆµ k z k z k X ˆβ k+1 ˆµ k+1 = µ(ˆβ k+1 ) Pokud tato procedura konverguje, pak řešení ˆβ je také řešením našeho původního GLM problému (maximalizace věrohodnosti na minulé straně). Detaily 29 Riziko rezerv v neživotním pojištění

41 SII Projekce C-L Mack M-W ODP Bootstrap SII rizika Predikce Necht F je matice popisující budoucí závislosti (podobně jako X ty minulé) a Y F = {Y ij, i + j > n + 1} jsou budoucí buňky trojúhelníka. Pak můžeme odhadnout Ŷ F = e F ˆβ. Parametr rozptylu φ můžeme odhadnout pomocí (Y ij µ ij ) ˆφ 2 = /(n p) φ χ 2 n p. µ ij ij p je počet parametrů (délka vektoru β) a tento odhad má asymptoticky výše uvedené χ 2 rozdělení. 30 Riziko rezerv v neživotním pojištění

42 SII Projekce C-L Mack M-W ODP Bootstrap SII rizika Predikce Necht F je matice popisující budoucí závislosti (podobně jako X ty minulé) a Y F = {Y ij, i + j > n + 1} jsou budoucí buňky trojúhelníka. Pak můžeme odhadnout Ŷ F = e F ˆβ. Parametr rozptylu φ můžeme odhadnout pomocí (Y ij µ ij ) ˆφ 2 = /(n p) φ χ 2 n p. µ ij ij p je počet parametrů (délka vektoru β) a tento odhad má asymptoticky výše uvedené χ 2 rozdělení. 30 Riziko rezerv v neživotním pojištění

43 Odhad odchylek SII Projekce C-L Mack M-W ODP Bootstrap SII rizika Protože rezerva je R i = n j=n i+2 Y ij, dostáváme E(R i ˆR n i ) 2 = E Y ij Ŷij j=n i+2 Odchylku skutečných budoucích škod od jejich odhadu lze opět rozdělit na dvě části 2. E(Y ij Ŷij) 2 = Var(Y ij ) } {{ } Tyto části můžeme odhadnout pomocí + Var(Ŷij) } {{ } rozptyl procesu + rozptyl odhadu Var(Y F ) = ˆφ ˆµ, kde M = diag(ˆµ). Var( Ŷ F ) = ˆφ M F (X T W 1 z X) 1 F T M, Detaily 31 Riziko rezerv v neživotním pojištění

44 SII Projekce C-L Mack M-W ODP Bootstrap SII rizika Shrnutí Tento konkrétní ODP model dává stejný odhad rezervy (střední hodnoty škod) jako chain-ladder. f n = ec e c n 1 + e c n e c e c n 1 Navíc dostáváme odhad rozptylu. Oproti Mackovu modelu dostáváme jiné rozdělení škod. Mackův model je odvozen bez použití předpokladu o rozdělení; dá se ale ukázat, že stejné výsledky jako v Mackově modelu bychom dostali při užití metody maximální věrohodnosti a normálního rozdělení. Oproti tomu tento ODP model používá (možná realističtější?) rozdělení odvozené z Poissonova rozdělení (dovoluje modelovat o něco těžší chvosty). Odvození ODP vyžaduje, aby součet škod ve všech sloupcích inkrementálního trojúhelníka byl nezáporný. 32 Riziko rezerv v neživotním pojištění

45 SII Projekce C-L Mack M-W ODP Bootstrap SII rizika Shrnutí Tento konkrétní ODP model dává stejný odhad rezervy (střední hodnoty škod) jako chain-ladder. f n = ec e c n 1 + e c n e c e c n 1 Navíc dostáváme odhad rozptylu. Oproti Mackovu modelu dostáváme jiné rozdělení škod. Mackův model je odvozen bez použití předpokladu o rozdělení; dá se ale ukázat, že stejné výsledky jako v Mackově modelu bychom dostali při užití metody maximální věrohodnosti a normálního rozdělení. Oproti tomu tento ODP model používá (možná realističtější?) rozdělení odvozené z Poissonova rozdělení (dovoluje modelovat o něco těžší chvosty). Odvození ODP vyžaduje, aby součet škod ve všech sloupcích inkrementálního trojúhelníka byl nezáporný. 32 Riziko rezerv v neživotním pojištění

46 SII Projekce C-L Mack M-W ODP Bootstrap SII rizika Shrnutí Tento konkrétní ODP model dává stejný odhad rezervy (střední hodnoty škod) jako chain-ladder. f n = ec e c n 1 + e c n e c e c n 1 Navíc dostáváme odhad rozptylu. Oproti Mackovu modelu dostáváme jiné rozdělení škod. Mackův model je odvozen bez použití předpokladu o rozdělení; dá se ale ukázat, že stejné výsledky jako v Mackově modelu bychom dostali při užití metody maximální věrohodnosti a normálního rozdělení. Oproti tomu tento ODP model používá (možná realističtější?) rozdělení odvozené z Poissonova rozdělení (dovoluje modelovat o něco těžší chvosty). Odvození ODP vyžaduje, aby součet škod ve všech sloupcích inkrementálního trojúhelníka byl nezáporný. 32 Riziko rezerv v neživotním pojištění

47 SII Projekce C-L Mack M-W ODP Bootstrap SII rizika Shrnutí Tento konkrétní ODP model dává stejný odhad rezervy (střední hodnoty škod) jako chain-ladder. f n = ec e c n 1 + e c n e c e c n 1 Navíc dostáváme odhad rozptylu. Oproti Mackovu modelu dostáváme jiné rozdělení škod. Mackův model je odvozen bez použití předpokladu o rozdělení; dá se ale ukázat, že stejné výsledky jako v Mackově modelu bychom dostali při užití metody maximální věrohodnosti a normálního rozdělení. Oproti tomu tento ODP model používá (možná realističtější?) rozdělení odvozené z Poissonova rozdělení (dovoluje modelovat o něco těžší chvosty). Odvození ODP vyžaduje, aby součet škod ve všech sloupcích inkrementálního trojúhelníka byl nezáporný. 32 Riziko rezerv v neživotním pojištění

48 Bootstrap

49 SII Projekce C-L Mack M-W ODP Bootstrap SII rizika Bootstrap Baron Prášil: Vytáhl jsem se za řemínky u bot. (i když v české verzi za cop) Poslední metodou kterou použijeme je bootstrap. Analytické metody obvykle poskytují přímočarý odhad střední hodnoty, ale odhady rozptylu jsou obvykle komplikovanější další vlastnosti rozdělení (např. kvantil rezerv, rozptyl run-offu po n letech, nelineární transformace např. zajištění,... ) se často nedají odhadnout analyticky Řešení: Hodíme data do stroje, provedeme tisíce simulací a doufáme, že z něj vypadne odpověd. 3 3 Odpověd : 42. Ale počkat jaká byla otázka? ([Adams 1979]) 34 Riziko rezerv v neživotním pojištění

50 Bootstrap princip SII Projekce C-L Mack M-W ODP Bootstrap SII rizika 3.0 Původní data Pozorovaná data v jejich původním rozdělení Residua Převedeno na stejně rozdělená residua, s µ = 0, σ = Riziko rezerv v neživotním pojištění

51 Bootstrap princip SII Projekce C-L Mack M-W ODP Bootstrap SII rizika 3.0 Původní data 1.0 Simulace z empir. rozdělení Zpětná transformace Residua 1.0 Simulace z předpokl. rozdělení Zpětná transformace Riziko rezerv v neživotním pojištění

52 Zpět k výpočtu rizik pro Solventnost II

53 Neživotní riziko rezerv SII Projekce C-L Mack M-W ODP Bootstrap SII rizika Oproti životním rizikům nabízí SII pro výpočet neživotních rizik širší výběr metod co se obtížnosti výpočtu týče: Standardní vzorec: založen na BE pojistného a rezerv, které jsou pouze vynásobeny poskytnutými standardními faktory rozptylu Parametry specifické pro pojišt ovnu ( USP ): faktory rozptylu pro danou pojišt ovnu odhadnuty z vlastních dat pomocí jedné z doporučených metod (je třeba dostatek historických dat) Interní model: plná projekce budoucích peněžních toků; možná struktura např.: Běžné škody - simulační/bootstrap metody používající škodní trojúhelníky (příklady i v této přednášce) Velké škody - projekce frekvence a závažnosti jednotlivých škod, umožňující např. výpočet XL zajištění každé škody, apod. Katastrofy - simulace nebo scénaře, často připravené ve spolupráci se zajistiteli, kteří mají více dat a zkušeností s katastrofami 37 Riziko rezerv v neživotním pojištění

54 SII Projekce C-L Mack M-W ODP Bootstrap SII rizika Praktická poznámka k výpočtu rizika Proč se vůbec namáhat s něčím jiným než standardní vzorec? Mějme 3 společnosti mající podobná portfolia: Společnost BE reserv Std. odch. run-offu 1. Good Bad Ugly 50 (špatný odhad) 80 Std. vzorec: společnosti 1, 2 mají stejné SCR = ρ(σ std ) 80 USP nebo interní model: mohou ukázat rozdíl mezi společnostmi 1 a 2; interní model by ideálně měl postihnout i situaci, kdy rozptyl (a tedy USP) jsou stejné, ale 99,5% kvantil nikoliv Pokud dohled neodhalí nepřesnosti v BE rezervě u společnosti 3, tak její SCR je nejnižší Riziko rezerv v neživotním pojištění

55 SII Projekce C-L Mack M-W ODP Bootstrap SII rizika Příklad Na příkladu jednoho šk. trojúhelníka odvodíme BE šk. rezervu (metodou chain-ladder) a srovnáme následující posupy výpočtu rizika: Standardní vzorec 1a. Výpočet podle QIS5 s parametry pro poj. odpovědnosti 1b. Výpočet podle návrhu L2 opatření s parametry pro poj. odpovědnosti Parametry specifické pro společnost, metody podle QIS5 2a. Odhad rozptylu run-offu z historických run-offů 2b. Merz-Wüthrichova metoda odhadu rozptylu 1-ročního run-offu, používající BE odhad rezerv 2c. Merz-Wüthrichova metoda odhadu rozptylu 1-ročního run-offu, výslovně používající C-L odhad rezerv (to samé, pokud BE = C-L odhad) Vlastní odvození rozptylu 1-ročního run-offu bootstrapem 3a. Mackova metoda 3b. Overdispersed Poisson metoda, konstantní parametr rozptylu φ Odvození 99,5% kvantilu (bootstrap) 4a. Mackova metoda odhadu rozptylu + empirické rozdělení residuí 4b. Overdispersed Poisson metoda + negativně binomické rozdělení residuí 39 Riziko rezerv v neživotním pojištění

56 SII Projekce C-L Mack M-W ODP Bootstrap SII rizika Příklad Na příkladu jednoho šk. trojúhelníka odvodíme BE šk. rezervu (metodou chain-ladder) a srovnáme následující posupy výpočtu rizika: Standardní vzorec 1a. Výpočet podle QIS5 s parametry pro poj. odpovědnosti 1b. Výpočet podle návrhu L2 opatření s parametry pro poj. odpovědnosti Parametry specifické pro společnost, metody podle QIS5 2a. Odhad rozptylu run-offu z historických run-offů 2b. Merz-Wüthrichova metoda odhadu rozptylu 1-ročního run-offu, používající BE odhad rezerv 2c. Merz-Wüthrichova metoda odhadu rozptylu 1-ročního run-offu, výslovně používající C-L odhad rezerv (to samé, pokud BE = C-L odhad) Vlastní odvození rozptylu 1-ročního run-offu bootstrapem 3a. Mackova metoda 3b. Overdispersed Poisson metoda, konstantní parametr rozptylu φ Odvození 99,5% kvantilu (bootstrap) 4a. Mackova metoda odhadu rozptylu + empirické rozdělení residuí 4b. Overdispersed Poisson metoda + negativně binomické rozdělení residuí 39 Riziko rezerv v neživotním pojištění

57 SII Projekce C-L Mack M-W ODP Bootstrap SII rizika Příklad Na příkladu jednoho šk. trojúhelníka odvodíme BE šk. rezervu (metodou chain-ladder) a srovnáme následující posupy výpočtu rizika: Standardní vzorec 1a. Výpočet podle QIS5 s parametry pro poj. odpovědnosti 1b. Výpočet podle návrhu L2 opatření s parametry pro poj. odpovědnosti Parametry specifické pro společnost, metody podle QIS5 2a. Odhad rozptylu run-offu z historických run-offů 2b. Merz-Wüthrichova metoda odhadu rozptylu 1-ročního run-offu, používající BE odhad rezerv 2c. Merz-Wüthrichova metoda odhadu rozptylu 1-ročního run-offu, výslovně používající C-L odhad rezerv (to samé, pokud BE = C-L odhad) Vlastní odvození rozptylu 1-ročního run-offu bootstrapem 3a. Mackova metoda 3b. Overdispersed Poisson metoda, konstantní parametr rozptylu φ Odvození 99,5% kvantilu (bootstrap) 4a. Mackova metoda odhadu rozptylu + empirické rozdělení residuí 4b. Overdispersed Poisson metoda + negativně binomické rozdělení residuí 39 Riziko rezerv v neživotním pojištění

58 SII Projekce C-L Mack M-W ODP Bootstrap SII rizika Příklad Na příkladu jednoho šk. trojúhelníka odvodíme BE šk. rezervu (metodou chain-ladder) a srovnáme následující posupy výpočtu rizika: Standardní vzorec 1a. Výpočet podle QIS5 s parametry pro poj. odpovědnosti 1b. Výpočet podle návrhu L2 opatření s parametry pro poj. odpovědnosti Parametry specifické pro společnost, metody podle QIS5 2a. Odhad rozptylu run-offu z historických run-offů 2b. Merz-Wüthrichova metoda odhadu rozptylu 1-ročního run-offu, používající BE odhad rezerv 2c. Merz-Wüthrichova metoda odhadu rozptylu 1-ročního run-offu, výslovně používající C-L odhad rezerv (to samé, pokud BE = C-L odhad) Vlastní odvození rozptylu 1-ročního run-offu bootstrapem 3a. Mackova metoda 3b. Overdispersed Poisson metoda, konstantní parametr rozptylu φ Odvození 99,5% kvantilu (bootstrap) 4a. Mackova metoda odhadu rozptylu + empirické rozdělení residuí 4b. Overdispersed Poisson metoda + negativně binomické rozdělení residuí 39 Riziko rezerv v neživotním pojištění

59 Výsledky příkladu SII Projekce C-L Mack M-W ODP Bootstrap SII rizika Výsledky porovnání jednotlivých metod: viz Excel 40 Riziko rezerv v neživotním pojištění

Využití korelace v rezervování povinného ručení

Využití korelace v rezervování povinného ručení INSURANCE Využití korelace v rezervování povinného ručení Ondřej Bušta, Actuarial services 7. prosince 2007 ADVISORY 1 Agenda Nástin problému Majetkové škody Zdravotní škody Korelační analýza a riziko

Více

1/30. Mgr. Jan Šváb Zobecněný lineární model a jeho použití v povinném ručení. 31.3.2006 Seminář z aktuárských věd. Slides by LATEX.

1/30. Mgr. Jan Šváb Zobecněný lineární model a jeho použití v povinném ručení. 31.3.2006 Seminář z aktuárských věd. Slides by LATEX. 1/30 31.3.2006 Seminář z aktuárských věd Slides by LATEX Mgr. Jan Šváb Zobecněný lineární model a jeho použití v povinném ručení 2/30 Obsah 1 Zobecněné lineární modely (GLZ 1 ) Obecný lineární model (GLM)

Více

Rezervování v neživotním pojištění

Rezervování v neživotním pojištění Rezervování v neživotním pojištění z cyklu Pojistný matematik v praxi Zdeněk Roubal, Česká společnost aktuárů Seminář z aktuárských věd 10. října 2014 Pojistný matematik v praxi Rezerva na pojistná plnění

Více

Rezerva pojistného v režimu Solvency II (neživotní pojištění) Jaroslav Hůrka Seminář z aktuárských věd 13.12.2013

Rezerva pojistného v režimu Solvency II (neživotní pojištění) Jaroslav Hůrka Seminář z aktuárských věd 13.12.2013 Rezerva pojistného v režimu Solvency II (neživotní pojištění) Jaroslav Hůrka Seminář z aktuárských věd 13.12.2013 Obsah Legislativní rámec Výpočet rezervy pojistného Segmentace Kvalita údajů Výpočet Combined

Více

Database systems. Normal forms

Database systems. Normal forms Database systems Normal forms An example of a bad model SSN Surnam OfficeNo City Street No ZIP Region President_of_ Region 1001 Novák 238 Liteň Hlavní 10 26727 Středočeský Rath 1001 Novák 238 Bystřice

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická

Více

Mít, nebo nemít e-shop? Pavel Špryňar, Josef Dvořák

Mít, nebo nemít e-shop? Pavel Špryňar, Josef Dvořák Mít, nebo nemít e-shop? Pavel Špryňar, Josef Dvořák Trendy v online prodeji 67% Webrooming Populace dnes používá smartphone nebo tablet Showrooming 69 % 50% Letos historicky poprvé smartphony přestihly

Více

Matematické přístupy k pojištění automobilů. Silvie Kafková. 3. 6. září 2013, Podlesí

Matematické přístupy k pojištění automobilů. Silvie Kafková. 3. 6. září 2013, Podlesí Matematické přístupy k pojištění automobilů Silvie Kafková 3. 6. září 2013, Podlesí Obsah 1 Motivace 2 Tvorba tarifních skupin a priori 3 Motivace Obsah 1 Motivace 2 Tvorba tarifních skupin a priori 3

Více

Rizikové přirážky při oceňování produktů životního pojištění. Petr Sotona 6.11.2009 Seminář z aktuárských věd

Rizikové přirážky při oceňování produktů životního pojištění. Petr Sotona 6.11.2009 Seminář z aktuárských věd Petr Sotona 6.11.2009 Seminář z aktuárských věd Agenda Teoretická část Druhy rizikových přirážek a jejich interpretace Vlastnosti rizikových přirážek Postup odhadu rizikových přirážek a metody jejich výpočtu

Více

Realitní trh 2014. Stavební fórum. Tomas Seidl, 10.12.2014

Realitní trh 2014. Stavební fórum. Tomas Seidl, 10.12.2014 Realitní trh 2014 Stavební fórum Tomas Seidl, 10.12.2014 Agenda Rezidenční trh 3 Kancelářský trh 9 Maloobchodní trh 14 Hotelový trh 17 2014 Deloitte Central Europe 2 Rezidenční trh Vývoj bytové výstavby

Více

Název projektu: Multimédia na Ukrajinské

Název projektu: Multimédia na Ukrajinské Základní škola, Ostrava Poruba, Ukrajinská 1533, příspěvková organizace Operační program Vzdělávání pro konkurenceschopnost Název projektu: Multimédia na Ukrajinské číslo projektu: CZ1.07/1.4.00/21.3759

Více

Solvency II: Pilíř 2. Aby se nic špatného nestalo. kpmg.cz

Solvency II: Pilíř 2. Aby se nic špatného nestalo. kpmg.cz Solvency II: Pilíř 2 Aby se nic špatného nestalo kpmg.cz Správně nastavené řízení rizik tvoří jeden ze základních požadavků na fungování pojišťovny v rámci nového regulatorního režimu Solvency II. Co všechno

Více

Vánoční sety Christmas sets

Vánoční sety Christmas sets Energy news 7 Inovace Innovations 1 Vánoční sety Christmas sets Na jaře tohoto roku jste byli informováni o připravované akci pro předvánoční období sety Pentagramu koncentrátů a Pentagramu krémů ve speciálních

Více

ODHADY NÁVRATOVÝCH HODNOT PRO

ODHADY NÁVRATOVÝCH HODNOT PRO ODHADY NÁVRATOVÝCH HODNOT PRO SRÁŽKOVÁ A TEPLOTNÍ DATA Katedra aplikované matematiky Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Technická univerzita v Liberci Novohradské statistické dny ÚVOD Velká pozornost

Více

1, Žáci dostanou 5 klíčových slov a snaží se na jejich základě odhadnout, o čem bude následující cvičení.

1, Žáci dostanou 5 klíčových slov a snaží se na jejich základě odhadnout, o čem bude následující cvičení. Moje hlavní město Londýn řešení: 1, Žáci dostanou 5 klíčových slov a snaží se na jejich základě odhadnout, o čem bude následující cvičení. Klíčová slova: capital, double decker bus, the River Thames, driving

Více

Téma 7. Investiční rozhodování

Téma 7. Investiční rozhodování Téma 7. Investiční rozhodování 1. Kapitálové rozpočty výdajů a očekávaných peněžních příjmů z investic 2. Hodnocení efektivnosti investičních projektů 3. Investice do dlouhodobého finančního majetku a

Více

Vybrané poznámky k řízení rizik v bankách

Vybrané poznámky k řízení rizik v bankách Vybrané poznámky k řízení rizik v bankách Seminář z aktuárských věd Petr Myška 7.11.2008 Obsah přednášky Oceňování nestandartních instrumentů finančních trhů Aplikace analytických vzorců Simulační techniky

Více

Škola: Střední škola obchodní, České Budějovice, Husova 9. Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT

Škola: Střední škola obchodní, České Budějovice, Husova 9. Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Škola: Střední škola obchodní, České Budějovice, Husova 9 Projekt MŠMT ČR: EU PENÍZE ŠKOLÁM Číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0536 Název projektu školy: Výuka s ICT na SŠ obchodní České Budějovice Šablona

Více

Karta předmětu prezenční studium

Karta předmětu prezenční studium Karta předmětu prezenční studium Název předmětu: Číslo předmětu: 545-0206 Garantující institut: Garant předmětu: Investice a investiční rozhodování Institut ekonomiky a systémů řízení RNDr. Radmila Sousedíková,

Více

Průvodce. PX Bonusové certifikáty

Průvodce. PX Bonusové certifikáty Průvodce PX Jiná dimenze investování RDX Bonus Certificate 2 Příležitosti Rizika Atraktivní zisky na trzích, které nemají trend, nebo lehce klesají Částečná ochrana kapitálu Neomezené příležitosti zisku

Více

ČESKÁ FOTOGRAFIE CZECH PHOTOGRAPHY 2008. p r o S P O R T B E Z B A R I É R. Roman Šebrle

ČESKÁ FOTOGRAFIE CZECH PHOTOGRAPHY 2008. p r o S P O R T B E Z B A R I É R. Roman Šebrle p r o S P O R T B E Z B A R I É R f o r S p o r t w i t h o u t B a r r i e r s Foto/Photo: HERBERT SLAVÍK Roman Šebrle Prodejem kalendáře, vydaného ve spolupráci s Českým olympijským výborem, získává

Více

EURO přeshraniční platba

EURO přeshraniční platba EURO přeshraniční platba EURO přeshraniční platba je platební příkaz splňující následující kriteria: Je předložen elektronicky Je požadováno standardní provedení (tj. nikoliv urgentní nebo expresní) Částka

Více

Směrnice Evropského parlamentu a Rady 2006/121/ES. ze dne 18. prosince 2006,

Směrnice Evropského parlamentu a Rady 2006/121/ES. ze dne 18. prosince 2006, L 396/852 CS Úřední věstník Evropské unie 30.12.2006 Směrnice Evropského parlamentu a Rady 2006/121/ES ze dne 18. prosince 2006, kterou se mění směrnice Rady 67/548/EHS o sbližování právních a správních

Více

5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza

5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza 5 Vícerozměrná data - kontingenční tabulky, testy nezávislosti, regresní analýza 5.1 Vícerozměrná data a vícerozměrná rozdělení Při zpracování vícerozměrných dat se hledají souvislosti mezi dvěma, případně

Více

Important Disclosures

Important Disclosures Important Disclosures No offer or solicitation to buy or sell securities, securities derivatives, futures products or offexchange foreign currency (forex) transactions of any kind, or any type of trading

Více

Metodické pokyny pro práci s modulem Řešitel v tabulkovém procesoru Excel

Metodické pokyny pro práci s modulem Řešitel v tabulkovém procesoru Excel Metodické pokyny pro práci s modulem Řešitel v tabulkovém procesoru Excel Modul Řešitel (v anglické verzi Solver) je určen pro řešení lineárních i nelineárních úloh matematického programování. Pro ilustraci

Více

MATEMATIKA MEZI... ANEB NĚCO MÁLO O DISKRIMINACI

MATEMATIKA MEZI... ANEB NĚCO MÁLO O DISKRIMINACI ROBUST 2000, 119 124 c JČMF 2001 MATEMATIKA MEZI... ANEB NĚCO MÁLO O DISKRIMINACI ARNOŠT KOMÁREK Abstrakt. If somebody wants to distinguish objects from two groups,he can use a statistical model to achieve

Více

Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49

Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49 Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49 Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205 Šablona: III/2 Anglický jazyk

Více

Klepnutím lze upravit styl Click to edit Master title style předlohy nadpisů.

Klepnutím lze upravit styl Click to edit Master title style předlohy nadpisů. nadpisu. Case Study Environmental Controlling level Control Fifth level Implementation Policy and goals Organisation Documentation Information Mass and energy balances Analysis Planning of measures 1 1

Více

Pokud data zadáme přes "Commands" okno: SDF1$X1<-c(1:15) //vytvoření řady čísel od 1 do 15 SDF1$Y1<-c(1.5,3,4.5,5,6,8,9,11,13,14,15,16,18.

Pokud data zadáme přes Commands okno: SDF1$X1<-c(1:15) //vytvoření řady čísel od 1 do 15 SDF1$Y1<-c(1.5,3,4.5,5,6,8,9,11,13,14,15,16,18. Regresní analýza; transformace dat Pro řešení vztahů mezi proměnnými kontinuálního typu používáme korelační a regresní analýzy. Korelace se používá pokud nelze určit "kauzalitu". Regresní analýza je určena

Více

05/29/08 cvic5.r. cv5.dat <- read.csv("cvic5.csv")

05/29/08 cvic5.r. cv5.dat <- read.csv(cvic5.csv) Zobecněné lineární modely Úloha 5: Vzdělání a zájem o politiku cv5.dat

Více

Mobilní trh vize Atos

Mobilní trh vize Atos 20-11-2014 Mobilní trh vize Atos Nabídka Smart Mobility: Dva způsoby reakce na požadavky na mobilitu Enterprise Mobilita pro zaměstnance Téma: Kvalitnější, rychlejší, levnější mobilní Ovlivňuje: Produktivitu

Více

Matematika pro ekonomiku

Matematika pro ekonomiku Pojistná matematika 14.10.2011 1 I. POJISTNÁ MATEMATIKA Pojistná matematika 2 Základní odvětví: životní pojištění, do něhož spadá výplata předem sjednané částky v případě smrti nebo dožití se určitého

Více

Robust 2014, 19. - 24. ledna 2014, Jetřichovice

Robust 2014, 19. - 24. ledna 2014, Jetřichovice K. Hron 1 C. Mert 2 P. Filzmoser 2 1 Katedra matematické analýzy a aplikací matematiky Přírodovědecká fakulta, Univerzita Palackého, Olomouc 2 Department of Statistics and Probability Theory Vienna University

Více

Pozn. přeskakuji zde popisnou statistiku, jinak by měla být součástí každé analýzy.

Pozn. přeskakuji zde popisnou statistiku, jinak by měla být součástí každé analýzy. Pozn. přeskakuji zde popisnou statistiku, jinak by měla být součástí každé analýzy. Z pastí na daném území byla odhadnuta abundance několika druhů: myšice lesní 250, myšice křovinná 200, hraboš polní 150,

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

Příručka k měsíčním zprávám ING fondů

Příručka k měsíčním zprávám ING fondů Příručka k měsíčním zprávám ING fondů ING Investment Management vydává každý měsíc aktuální zprávu ke každému fondu, která obsahuje základní informace o fondu, jeho aktuální výkonnosti, složení portfolia

Více

Výukový materiál zpracován v rámci projektu EU peníze školám

Výukový materiál zpracován v rámci projektu EU peníze školám Výukový materiál zpracován v rámci projektu EU peníze školám Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0996 Šablona: III/2 č. materiálu: VY_32_INOVACE_ANJ349 Jméno autora: PhDr. Korbová Magdalena Třída/ročník:

Více

Aplikace teoretických postupů pro ocenění rizika při upisování pojistných smluv v oblasti velkých rizik (2. fáze)

Aplikace teoretických postupů pro ocenění rizika při upisování pojistných smluv v oblasti velkých rizik (2. fáze) Aplikace teoretických postupů pro ocenění rizika při upisování pojistných smluv v oblasti velkých rizik (2. fáze) Zpracovali: Ondřej Pavlačka, Lukáš Héža, Dagmar Martinková Katedry matematické analýzy

Více

Simulace. Simulace dat. Parametry

Simulace. Simulace dat. Parametry Simulace Simulace dat Menu: QCExpert Simulace Simulace dat Tento modul je určen pro generování pseudonáhodných dat s danými statistickými vlastnostmi. Nabízí čtyři typy rozdělení: normální, logaritmicko-normální,

Více

Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy Karmelitská 7, 118 12 Praha 1 tel.: +420 234 811 111 msmt@msmt.cz www.msmt.cz

Ministerstvo školství, mládeže a tělovýchovy Karmelitská 7, 118 12 Praha 1 tel.: +420 234 811 111 msmt@msmt.cz www.msmt.cz Akreditační systém vysokoškolského vzdělávání v ČR v připravované novele zákona o vysokých školách Higher Education Accreditation System in the Czech Republic in a proposal of an amendment to the Higher

Více

4EK211 Základy ekonometrie

4EK211 Základy ekonometrie 4EK211 Základy ekonometrie LS 2014/15 Cvičení 4: Statistické vlastnosti MNČ LENKA FIŘTOVÁ KATEDRA EKONOMETRIE, FAKULTA INFORMATIKY A STATISTIKY VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE Upřesnění k pojmům a značení

Více

NOVELIZOVANÝ RÁMEC PRO KONZULTACE O SOLVENTNOSTI II

NOVELIZOVANÝ RÁMEC PRO KONZULTACE O SOLVENTNOSTI II EVROPSKÁ KOMISE GŘ pro vnitřní trh a služby FINANČNÍ INSTITUCE Pojištění a důchody duben 2006 MARKT/2515/06 NOVELIZOVANÝ RÁMEC PRO KONZULTACE O SOLVENTNOSTI II Účel dokumentu Tento dokument stanoví revidovaný

Více

Klepnutím lze upravit styl předlohy. nadpisů. nadpisů.

Klepnutím lze upravit styl předlohy. nadpisů. nadpisů. 1/ 13 Klepnutím lze upravit styl předlohy Klepnutím lze upravit styl předlohy www.splab.cz Soft biometric traits in de identification process Hair Jiri Prinosil Jiri Mekyska Zdenek Smekal 2/ 13 Klepnutím

Více

1 st International School Ostrava-základní škola a gymnázium, s.r.o. Gregorova 2582/3, 702 00 Ostrava. IZO: 150 077 009 Forma vzdělávání: denní

1 st International School Ostrava-základní škola a gymnázium, s.r.o. Gregorova 2582/3, 702 00 Ostrava. IZO: 150 077 009 Forma vzdělávání: denní 1 st International School Ostrava-základní škola a gymnázium, s.r.o. Gregorova 2582/3, 702 00 Ostrava IZO: 150 077 009 Forma vzdělávání: denní Kritéria pro III. kolo přijímacího řízení pro školní rok 2015/2016

Více

INTEGRACE AIS SE ZÁKLADNÍMI REGISTRY

INTEGRACE AIS SE ZÁKLADNÍMI REGISTRY Solutions for Demanding Business INTEGRACE AIS SE ZÁKLADNÍMI REGISTRY egovernment 20:10, Mikulov 2012 Petr Čermák, Josef Krtil Září 2012 AGENDA Asseco Central Europe Zkušenosti a výzvy velkých integračních

Více

Pravděpodobnostní rozdělení v MS Excel

Pravděpodobnostní rozdělení v MS Excel Pravděpodobnostní rozdělení v MS Excel Luboš Marek Vysoká škola ekonomická v Praze, Praha Konzultace 1 Úvod Mezi statistickou obcí se často diskutuje, který statistický program je nejlepší, přičemž se

Více

7 Kardinální informace o kritériích (část 1)

7 Kardinální informace o kritériích (část 1) 7 Kardinální informace o kritériích (část 1) Předpokládejme stejná značení jako v předchozích cvičeních. Kardinální informací o kritériích se rozumí ohodnocení jejich důležitosti k pomocí váhového vektoru

Více

The Czech education system, school

The Czech education system, school The Czech education system, school Pracovní list Číslo projektu Číslo materiálu Autor Tematický celek CZ.1.07/1.5.00/34.0266 VY_32_INOVACE_ZeE_AJ_4OA,E,L_10 Mgr. Eva Zemanová Anglický jazyk využívání on-line

Více

Škola: Střední škola obchodní, České Budějovice, Husova 9. Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT

Škola: Střední škola obchodní, České Budějovice, Husova 9. Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Škola: Střední škola obchodní, České Budějovice, Husova 9 Projekt MŠMT ČR: EU PENÍZE ŠKOLÁM Číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0536 Název projektu školy: Výuka s ICT na SŠ obchodní České Budějovice Šablona

Více

Pravděpodobnost v závislosti na proměnné x je zde modelován pomocí logistického modelu. exp x. x x x. log 1

Pravděpodobnost v závislosti na proměnné x je zde modelován pomocí logistického modelu. exp x. x x x. log 1 Logistická regrese Menu: QCExpert Regrese Logistická Modul Logistická regrese umožňuje analýzu dat, kdy odezva je binární, nebo frekvenční veličina vyjádřená hodnotami 0 nebo 1, případně poměry v intervalu

Více

VS. shop? Kamenný obchod nebo e-

VS. shop? Kamenný obchod nebo e- VS. shop? Kamenný obchod nebo e- VS. Kamenný obchod nebo e-shop? Kdo jsem (krátce) Provozování butiku Fashion Systems Provozování e-shopu Příklad e-shopu Draculaclothing.com Přehlídky, eventy&online marketing

Více

PRÁCE S UKÁZKAMI ODPOVĚDÍ MATURANTŮ NA DVD

PRÁCE S UKÁZKAMI ODPOVĚDÍ MATURANTŮ NA DVD CVIČENÍ K VIDEU 5 DVD PRÁCE S UKÁZKAMI ODPOVĚDÍ MATURANTŮ NA DVD Na DVD si můžeš prohlédnout 4 ukázky správných a 4 ukázky nesprávných odpovědí těchto částí ústní maturitní zkoušky z angličtiny: 1) Interakce

Více

VYSOKÁ ŠKOLA HOTELOVÁ V PRAZE 8, SPOL.S R. O.

VYSOKÁ ŠKOLA HOTELOVÁ V PRAZE 8, SPOL.S R. O. VYSOKÁ ŠKOLA HOTELOVÁ V PRAZE 8, SPOL.S R. O. Mgr. Evgeniya Pavlova Rozvojová strategie podniku ve fázi stabilizace Diplomová práce 2013 Rozvojová strategie podniku ve fázi stabilizace Diplomová práce

Více

Pravidla a podmínky k vydání osvědčení o způsobilosti vykonávat aktuárskou činnost

Pravidla a podmínky k vydání osvědčení o způsobilosti vykonávat aktuárskou činnost Pravidla a podmínky k vydání osvědčení o způsobilosti vykonávat aktuárskou činnost (dále jen společnost) stanoví k vydání osvědčení o způsobilosti vykonávat aktuárskou činnost (dále jen osvědčení) následující

Více

Poznámky k ekonomickému ukazateli IRR. výnos do splatnosti...

Poznámky k ekonomickému ukazateli IRR. výnos do splatnosti... Poznámky k ekonomickému ukazateli IRR (Remarks on the economic criterion the Internal Rate of Return ) Carmen Simerská IRR... vnitřní míra výnosnosti, vnitřní výnosové procento, výnos do splatnosti...

Více

PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii Přednáška 10

PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii Přednáška 10 PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii Přednáška 10 TESTY PRO NOMINÁLNÍ A ORDINÁLNÍ PROMĚNNÉ NEPARAMETRICKÉ METODY... a to mělo, jak sám vidíte, nedozírné následky. Smrť Analýza četností hodnot

Více

My Year Manager is Vedoucí našeho ročníku je. P.E. is on Tělocvik mám v

My Year Manager is Vedoucí našeho ročníku je. P.E. is on Tělocvik mám v EMTRAS [Czech] My Headteacher is Ředitel naší školy je My Year Manager is Vedoucí našeho ročníku je My Form Tutor is Můj třídní učitel(ka) je My Form is Moje třída je P.E. is on Tělocvik mám v I must bring

Více

Řízení výkonnosti nemovitostního portfolia. Integrační platforma innosys. Květen 2014

Řízení výkonnosti nemovitostního portfolia. Integrační platforma innosys. Květen 2014 Řízení výkonnosti nemovitostního portfolia Integrační platforma innosys Květen 2014 Technologické trendy 2014 Narušitelé zavedených postupů Kognitivní analýza Industrializace zdrojů mas Blízká setkávání

Více

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2]

PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2] PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA aneb Krátký průvodce skripty [1] a [2] Použitá literatura: [1]: J.Reif, Z.Kobeda: Úvod do pravděpodobnosti a spolehlivosti, ZČU Plzeň, 2004 (2. vyd.) [2]: J.Reif: Metody matematické

Více

Seznam použité literatury. Zdroje z internetu

Seznam použité literatury. Zdroje z internetu Seznam použité literatury [1] Interní dokumenty KODIS [2] MILETÍN, J. Autodoprava. PRAHA: Verlag Dashöfer, 2001. [3] HÓTOVÁ, R a kol. Účetnictví. OSTRAVA: VŠB-TU, 2005. ISBN 80-248-0837-4. [4] Úplné znění

Více

CADCalc Credit: efektivní výpočet kapitálového požadavku ke kreditnímu riziku

CADCalc Credit: efektivní výpočet kapitálového požadavku ke kreditnímu riziku CADCalc Credit: efektivní výpočet kapitálového požadavku ke kreditnímu riziku Mgr. Ing. Václav Novotný Advanced Risk Management, s.r.o. Konference "Moderní nástroje pro finanční analýzu a modelování Praha,

Více

Malé statistické repetitorium Verze s řešením

Malé statistické repetitorium Verze s řešením Verze s řešením Příklad : Rozdělení náhodné veličiny základní charakteristiky Rozdělení diskrétní náhodné veličiny X je dáno následující tabulkou x 0 4 5 P(X = x) 005 05 05 0 a) Nakreslete graf distribuční

Více

Ekonomické modelování pro podnikatelskou praxi

Ekonomické modelování pro podnikatelskou praxi pro podnikatelskou praxi Ing. Jan Vlachý, Ph.D. vlachy@atlas.cz Dlouhý, M. a kol. Simulace podnikových procesů Vlachý, J. Řízení finančních rizik Scholleová, H. Hodnota flexibility: Reálné opce Sylabus

Více

11.1 Jedna rovnice pro jednu neznámou

11.1 Jedna rovnice pro jednu neznámou 52. ešení rovnic Mathcad je schopen řešit i velmi složité rovnice, kdy hledaná neznámá je obsažena současně v několika různých funkcích apod.. Jedna rovnice pro jednu neznámou.. Funkce root Před vlastním

Více

ANGLICKÁ KONVERZACE PRO STŘEDNĚ POKROČILÉ

ANGLICKÁ KONVERZACE PRO STŘEDNĚ POKROČILÉ ANGLICKÁ KONVERZACE PRO STŘEDNĚ POKROČILÉ MGR. VLADIMÍR BRADÁČ ROZVOJ KOMPETENCÍ MANAGEMENTU A PRACOVNÍKŮ VŠ MSK (S PODPOROU ICT) PROJEKT OP VK 2.2: CZ.1.07/2.2.00/15.0176 OSTRAVA 2012 Tento projekt je

Více

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Střední hodnota a rozptyl náhodné. kvantilu. Ing. Michael Rost, Ph.D. Střední hodnota a rozptyl náhodné veličiny, vybraná rozdělení diskrétních a spojitých náhodných veličin, pojem kvantilu Ing. Michael Rost, Ph.D. Príklad Předpokládejme že máme náhodnou veličinu X která

Více

CzechPOINT@office a konverze na úřadech Martin Řehořek

CzechPOINT@office a konverze na úřadech Martin Řehořek CzechPOINT@office a konverze na úřadech Martin Řehořek Novell Professional Services ČR, s.r.o. mrehorek@novell.com Agenda CzechPOINT@office Lokální administrátor Autorizovaná konverze na žádost Autorizovaná

Více

ČTENÍ. Anglický jazyk. Hana Vavřenová. Z á k l a d o v ý t e x t ( 1 5 0 2 5 0 s l o v ) :

ČTENÍ. Anglický jazyk. Hana Vavřenová. Z á k l a d o v ý t e x t ( 1 5 0 2 5 0 s l o v ) : ČTENÍ Jazyk Úroveň Autor Kód materiálu Anglický jazyk 5. třída Hana Vavřenová aj5-rie-vav-cte-03 Z á k l a d o v ý t e x t ( 1 5 0 2 5 0 s l o v ) : It's Christmas. Andrea is visiting her friends during

Více

Vícerozměrné metody. PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii Přednáška 12. Schematický úvod

Vícerozměrné metody. PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii Přednáška 12. Schematický úvod PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii Přednáška 12 Vícerozměrné metody Schematický úvod Co je na slově statistika tak divného, že jeho vyslovení tak často způsobuje napjaté ticho? William Kruskal

Více

INTELIGENTNÍ DOPRAVNÍ SYSTÉM MĚSTA TRNAVA

INTELIGENTNÍ DOPRAVNÍ SYSTÉM MĚSTA TRNAVA Solutions for Demanding Business INTELIGENTNÍ DOPRAVNÍ SYSTÉM MĚSTA TRNAVA Pilotní řešení Peter Ondrovič a kolektiv ISSS 2012 HRADEC KRÁLOVÉ OBSAH PREZENTACE Základní koncept pilotního řešení Poloha v

Více

1) Personal data / Osobní údaje

1) Personal data / Osobní údaje Central European Studies Středoevropská studia EXECUTIVE MBA EXECUTIVE MBA APPLICATION FORM PŘIHLÁŠKA KE STUDIU University of St. Francis Vysoké učení technické v Brně 500 Wilcox Street Fakulta podnikatelská

Více

PROČ UŽ SE NEOBEJDETE BEZ ANALÝZY DAT

PROČ UŽ SE NEOBEJDETE BEZ ANALÝZY DAT PROČ UŽ SE NEOBEJDETE BEZ ANALÝZY DAT JAKUB CHOVANEC - IDG KONFERENCE 3.6.2015 KDO JSME #1 v poskytování datové analytiky a služeb v oblasti Business Analytics a Business Intelligence 39 let na trhu 16

Více

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) =

E(X) = np D(X) = np(1 p) 1 2p np(1 p) (n + 1)p 1 ˆx (n + 1)p. A 3 (X) = Základní rozdělení pravděpodobnosti Diskrétní rozdělení pravděpodobnosti. Pojem Náhodná veličina s Binomickým rozdělením Bi(n, p), kde n je přirozené číslo, p je reálné číslo, < p < má pravděpodobnostní

Více

Navrhování experimentů a jejich analýza. Eva Jarošová

Navrhování experimentů a jejich analýza. Eva Jarošová Navrhování experimentů a jejich analýza Eva Jarošová Obsah Základní techniky Vyhodnocení výsledků Experimenty s jedním zkoumaným faktorem Faktoriální experimenty úplné 2 N dílčí 2 N-p Experimenty pro studium

Více

Přednáška 9. Testy dobré shody. Grafická analýza pro ověření shody empirického a teoretického rozdělení

Přednáška 9. Testy dobré shody. Grafická analýza pro ověření shody empirického a teoretického rozdělení Přednáška 9 Testy dobré shody Grafická analýza pro ověření shody empirického a teoretického rozdělení χ 2 test dobré shody ověření, zda jsou relativní četnosti jednotlivých variant rovny číslům π 01 ;

Více

Zaměřen na rozvojové země Práce na rozvojových projektech, poznávání kultury, výuka angličtiny,

Zaměřen na rozvojové země Práce na rozvojových projektech, poznávání kultury, výuka angličtiny, NA STÁŽ S AIESEC ROZVOJOVÉ STÁŽE Zaměřen na rozvojové země Práce na rozvojových projektech, poznávání kultury, výuka angličtiny, Podmínky: Znalost angličtiny na komunikativní úrovni Být studentem VŠ nebo

Více

Zvýhodněné úvěry v OPPK Finanční nástroj JESSICA v regionu Praha

Zvýhodněné úvěry v OPPK Finanční nástroj JESSICA v regionu Praha EVROPSKÝ FOND PRO REGIONÁLNÍ ROZVOJ www.pwc.com Finanční nástroj JESSICA v regionu Praha Seminář pro příjemce z OPPK 24. PRAHA & EU INVESTUJEME DO VAŠÍ BUDOUCNOSTI Program 13.30 13.45 Registrace účastníků

Více

System Center Operations Manager

System Center Operations Manager System Center Operations Manager Jan Vávra Solution Sales Professional Microsoft System Center Operations Manager End-to-End Service Management Proaktivní správa IT služeb Integrované monitorování distribuovaných

Více

Agilní metodiky vývoje softwaru

Agilní metodiky vývoje softwaru vývoje softwaru : důraz na průběžnou komunikaci mezi vývojovým týmem a zákazníkem důraz na tvorbu kvalitního kódu a funkcí, které mají přímou obchodní hodnotu pro zákazníka týmovou spolupráci a samoorganizaci

Více

Stanovení spravedlivé ceny u vybraných úvěrů

Stanovení spravedlivé ceny u vybraných úvěrů Stanovení spravedlivé ceny u vybraných úvěrů Josef Novotný 1 Abstrakt Příspěvek je věnován popisu stanovení spravedlivé ceny úvěrů. Nejdříve jsou ve stručnosti popsány jednotlivé faktory, které vstupují

Více

Luk aˇ s R uˇ ziˇ cka Pˇ redbudouc ı ˇ cas

Luk aˇ s R uˇ ziˇ cka Pˇ redbudouc ı ˇ cas aneb Perfektní budoucnost. 2013 Předminulý čas se v angličtině nazývá Future Perfect. Používáme jej tehdy, potřebujeme-li jasně vyjádřit, že nějaký děj proběhl ještě dříve než budoucí děj, o kterém hovoříme.

Více

VZDĚLÁVACÍ MATERIÁL. Závěrečná písemná práce pro 5. ročník z anglického jazyka Mgr. Iveta Milostná VY_32_INOVACE_A19 Pořadové číslo: 19.

VZDĚLÁVACÍ MATERIÁL. Závěrečná písemná práce pro 5. ročník z anglického jazyka Mgr. Iveta Milostná VY_32_INOVACE_A19 Pořadové číslo: 19. VZDĚLÁVACÍ MATERIÁL Název: Závěrečná písemná práce pro 5. ročník z anglického jazyka Autor: Mgr. Iveta Milostná Sada: VY_32_INOVACE_A19 Pořadové číslo: 19. Ročník: 5. ročník Datum vytvoření: 10. června

Více

14.6.2011. Možná specifika negociací s EK a podávání zpráv. Brno, 14. června 2011. Grantová dohoda - Projekty I3. Transnational access (TA)

14.6.2011. Možná specifika negociací s EK a podávání zpráv. Brno, 14. června 2011. Grantová dohoda - Projekty I3. Transnational access (TA) Praktický seminář zaměřený na přípravu a management projektů výzkumných infrastruktur typu integrační aktivita Možná specifika negociací s EK a podávání zpráv Brno, 14. června 2011 Ing. Kateřina Rakušanová

Více

Náhradník Náhradník 5.A

Náhradník Náhradník 5.A 5. (Testovací klíč: GSZUTIZ) Počet správně zodpovězených otázek Počet nesprávně zodpovězených otázek 0 23 Poslech Čtení s porozuměním Slovní zásoba Gramatika Konverzace 04 02 07 08 02 Obecná škola Otázka

Více

dokumentu: Proceedings of 27th International Conference Mathematical Methods in

dokumentu: Proceedings of 27th International Conference Mathematical Methods in 1. Empirical Estimates in Stochastic Optimization via Distribution Tails Druh výsledku: J - Článek v odborném periodiku, Předkladatel výsledku: Ústav teorie informace a automatizace AV ČR, v. v. i., Dodavatel

Více

POPIS TUN TAP. Vysvetlivky: Modre - překlad Cervene - nejasnosti Zelene -poznamky. (Chci si ujasnit o kterem bloku z toho schematu se mluvi.

POPIS TUN TAP. Vysvetlivky: Modre - překlad Cervene - nejasnosti Zelene -poznamky. (Chci si ujasnit o kterem bloku z toho schematu se mluvi. Vysvetlivky: Modre - překlad Cervene - nejasnosti Zelene -poznamky POPIS TUN TAP (Chci si ujasnit o kterem bloku z toho schematu se mluvi.) VAS MODEL OpenVPN MUJ MODEL funkce virtuálního sítového rozhrani

Více

Pojistný matematik v pojišťovně. ČESKÁ SPOLEČNOST AKTUÁRŮ Josef Lukášek

Pojistný matematik v pojišťovně. ČESKÁ SPOLEČNOST AKTUÁRŮ Josef Lukášek Pojistný matematik v pojišťovně ČESKÁ SPOLEČNOST AKTUÁRŮ Josef Lukášek Co dnes uslyšíte? Pojišťovna a její organizace Pojistný matematik a jeho různé pozice V pojišťovně Popis v zákoně, vyhlášce V SII

Více

Instalace Pokyny pro instalaci v operačním systému Windows XP / Vista / Win7 / Win8

Instalace Pokyny pro instalaci v operačním systému Windows XP / Vista / Win7 / Win8 Instalace Pokyny pro instalaci v operačním systému Windows XP / Vista / Win7 / Win8 1. Stáhněte si instalační program HOST makro engine z oficiálního webu IABYTE. 2. Spusťte instalační program a postupujte

Více

Daňové souvislosti švarcsystému

Daňové souvislosti švarcsystému www.pwc.cz Daňové souvislosti švarcsystému Zdeněk Drozd 5. dubna 2012 1 Švarcsystém proč? Výhody: - zaměstnavatel neodvádí sociální zabezpečení (SZ) a zdravotní pojištění (ZP), zálohy na daň; - odpadá

Více

Technické rezervy a jejich role v hospodaření pojišťoven

Technické rezervy a jejich role v hospodaření pojišťoven Technické rezervy a jejich role v hospodaření pojišťoven Eva DUCHÁČKOVÁ Úvod Pojišťovny jsou finanční instituce, které provozují pojištění. Pojištění je finanční nástroj určený ke krytí důsledků nahodilých

Více

SLOVNIK CIZICH SLOV PDF

SLOVNIK CIZICH SLOV PDF SLOVNIK CIZICH SLOV PDF ==> Download: SLOVNIK CIZICH SLOV PDF SLOVNIK CIZICH SLOV PDF - Are you searching for Slovnik Cizich Slov Books? Now, you will be happy that at this time Slovnik Cizich Slov PDF

Více

ČESKÁ TECHNICKÁ NORMA

ČESKÁ TECHNICKÁ NORMA ČESKÁ TECHNICKÁ NORMA ICS 01.040.75; 75.080 2003 Ropný průmysl - Terminologie - Část 6: Měření ČSN ISO 1998-6 65 6000 Srpen Petroleum industry - Terminology - Part 6: Measurement Industrie pétrolière -

Více

Determinanty a matice v theorii a praxi

Determinanty a matice v theorii a praxi Determinanty a matice v theorii a praxi 1. Lineární závislost číselných soustav In: Václav Vodička (author): Determinanty a matice v theorii a praxi. Část druhá. (Czech). Praha: Jednota československých

Více

PRAVIDLA ZPRACOVÁNÍ EXPRESNÍCH ELEKTRONICKÝCH DOMÁCÍCH PLATEBNÍCH PŘÍKAZŮ EXPRESS ELECTRONIC DOMESTIC PAYMENT ORDERS PROCESSING RULES

PRAVIDLA ZPRACOVÁNÍ EXPRESNÍCH ELEKTRONICKÝCH DOMÁCÍCH PLATEBNÍCH PŘÍKAZŮ EXPRESS ELECTRONIC DOMESTIC PAYMENT ORDERS PROCESSING RULES PRAVIDLA ZPRACOVÁNÍ EXPRESNÍCH ELEKTRONICKÝCH DOMÁCÍCH PLATEBNÍCH PŘÍKAZŮ EXPRESS ELECTRONIC DOMESTIC PAYMENT ORDERS PROCESSING RULES Použité pojmy Platební systém Domácí platební příkaz Elektronický platební

Více

Zprávy používané při vypořádání denního trhu 4M MC / Messages used on the day-ahead 4M MC

Zprávy používané při vypořádání denního trhu 4M MC / Messages used on the day-ahead 4M MC Zprávy používané při vypořádání denního trhu 4M MC / Messages used on the day-ahead 4M MC Zveřejnění ATC hodnot / ATC Publication (MSG 989) Zveřejnění ATC hodnot ATC Publication ATC hodnoty jsou zveřejněny.

Více

Výukový materiál zpracovaný v rámci operačního programu Vzdělávání pro konkurenceschopnost

Výukový materiál zpracovaný v rámci operačního programu Vzdělávání pro konkurenceschopnost Výukový materiál zpracovaný v rámci operačního programu Vzdělávání pro konkurenceschopnost Registrační číslo: CZ.1.07/1. 5.00/34.0084 Šablona: II/2 Inovace a zkvalitnění výuky cizích jazyků na středních

Více

FOOTBALL MATCH INVITATION, WELCOME TO MY TOWN

FOOTBALL MATCH INVITATION, WELCOME TO MY TOWN FOOTBALL MATCH INVITATION, WELCOME TO MY TOWN writing skills Určeno studentům úrovně B1 Autor: Taťána Konečná Datum vytvoření: květen 2012 Ročník: 2. 4. ročník středních škol s maturitní zkouškou Klíčová

Více

1. Zadavatel: Lepíky s.r.o., Podnikatelská 539, 19011 Praha 9 Ič: 27575080 Dič: CZ27575080

1. Zadavatel: Lepíky s.r.o., Podnikatelská 539, 19011 Praha 9 Ič: 27575080 Dič: CZ27575080 Operační program Praha, Konkurenceschopnost /OPPK/, podpora EU: Inovační aktivity v oblasti lepení samolepícími materiály Výběrové řízení: Řezací stroj / Slitting machine /English version follows Czech

Více

SMES-EU D&H-5P Workshop 1. Prague November 2003 V Praze listopadu 2003

SMES-EU D&H-5P Workshop 1. Prague November 2003 V Praze listopadu 2003 SMES-EU D&H-5P Workshop 1 Prague November 2003 V Praze listopadu 2003 SMES-EU D&H-5P Workshop 1 The presentation includes comments and observations made during the Czech Republic Workshop of November 2003.

Více