Riziko rezerv v neživotním pojištění Srovnání několika metod výpočtu na základě škodních trojúhelníků

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Riziko rezerv v neživotním pojištění Srovnání několika metod výpočtu na základě škodních trojúhelníků"

Transkript

1 Riziko rezerv v neživotním pojištění Srovnání několika metod výpočtu na základě škodních trojúhelníků Tomáš Petr Actuarial & Insurance Solutions, Deloitte. Seminář z aktuárských věd 30. března 2012 Audit.Tax.Consulting.Financial Advisory.

2 SII Projekce C-L Mack M-W ODP Bootstrap SII rizika Úvod Cílem přednášky je s využitím příkladů srovnat několik metod výpočtu na základě škodních trojúhelníků, použitelných v rámci standardní formule, USP či částečného interního modelu. To znamená: shrnout, co pokrývá riziko technických rezerv v neživotním pojištění podle Solventnosti II připomenout některé metody výpočtu škodních rezerv založených na škodních trojúhelnících na příkladu porovnat možnosti jejich použití pro riziko rezerv podle Solventnosti II 2 Riziko rezerv v neživotním pojištění

3 SII Projekce C-L Mack M-W ODP Bootstrap SII rizika Obsah Solventnost II Projekce škod Metoda Chain-Ladder Mackova metoda chain-ladder Metoda Merz-Wüthrich Overdispersed Poisson Bootstrap Zpět k výpočtu rizik pro Solventnost II 3 Riziko rezerv v neživotním pojištění

4 Solventnost II

5 Solventnost II SII Projekce C-L Mack M-W ODP Bootstrap SII rizika Solventnost II zavádí novou Evropskou regulaci pojišt oven I. pilíř Kvantitativní požadavky Ocenění aktiv a závazků Kapitálový požadavek II. pilíř Kvalitativní požadavky Řízení rizik ORSA III. pilíř Zveřejňování Veřejné vykazování Vykazování dohledu Direktiva Solventnost II schválená v listopadu 2009 Implementační detaily: technická specifikace QIS5, návrh implementačních opatření druhé a třetí úrovně 5 Riziko rezerv v neživotním pojištění

6 Annex to Group Guidance Supervisory Approval Implementation Procedures Capital (K. Marx) Contractual Conditions Analysis Comments to discussion paper Solvency II directive Kapitál v SII SII Projekce C-L Mack M-W ODP Bootstrap SII rizika Solvency II for beginners Classification of risks Independent Results Analysis RECONCILIATION Audit Report Map of Requirements Important: Read ASAP Risk Capacities Catastrophe Modelling Appendix to Implementation Procedures Risk Margin Economic Scenario Generator Požadavek na kapitál: Important! Annex Group Implementation Guidance Ammedment XVIII Implementation plan, version 9bis ORSA Risk mitigation plan Internal Audit Report Documentation Expert Judgement Disclaimer Expert oppinion Management Report INTERNAL MODEL: DOCUMENTATION EIOPA Level 2: Draft Implementing Measures Undertaking Specific Parameters Expert Opinion IMPLEMENTATION GUIDANCE QIS 5 Technical Specification Appendix QIS4: Results and Messages European Commission Call for advice CEIOPS Other Provisions Risk Apetite Assessment Reporting requirements Management Approval Management Summary Commentary on Results UNDERTAKING SPECIFIC PARAMETERS Draft Supervisory Report Implementation Process Map Oppinion of the Committee Solvency II vs. IFRS 4 draft requirements Gap Analysis Amended Proposal Discussion paper Best Estimate Draft consultation paper Consultation paper on illiquidity premium kde VaR 99.5% (A(t + 1) L(t + 1)) > 0 (A(t) L(t)) > SCR A(t), L(t) je nejlepší odhad (BE) hodnoty aktiv a závazků nyní A(t + 1), A(t + 1) je BE hodnota aktiv a závazků po roce SCR = (A(t) L(t)) VaR 99.5% (A(t + 1) L(t + 1)) Praktický výpočet SCR: jednotlivé skupiny rizik jsou obvykle nejprve počítány odděleně, až nakonec se přidá vliv vzájemných korelací. European Councel draft documents 6 Riziko rezerv v neživotním pojištění

7 Kapitálový požadavek SII Projekce C-L Mack M-W ODP Bootstrap SII rizika Teoreticky odpovídá výši kapitálu tak, aby kapitál po 1 roce neklesl pod 0 s 99,5% pravděpodobností SCR BSCR Operační riziko Tržní riziko Neživotní upis. riziko Zdravotní upis. riziko Životní upis. riziko Riziko selhání protistr. Kurzové r. R. pojistného R. podobná živ. poj. R. úmrtnosti R. dlouhověkosti Krach investic Úrokové r. R. rezerv R. podobná neživ. poj. R. invalidity Krach zajistitele Nemovitostní r. R. storen R. epidemií a katastrof R. nákladů Kreditní r. Katastrofické r. R. revize R. koncentrace = Snižování rizik budoucími nezaručenými podíly na zisku R. storen Katastrofické r. 7 Riziko rezerv v neživotním pojištění

8 SII Projekce C-L Mack M-W ODP Bootstrap SII rizika Neživotní riziko rezerv a pojistného Výpočet rezerv podle SII = nejlepší odhad ( BE ), očekávaná diskontovaná hodnota bud. peněžních toků + riziková přirážka, spočítaná jako náklad na kapitál ( CoC ) na celku a pak (vč. vlivu diversifikace) rozpočítána zpět na odvětví Riziko pojistného = riziko, že BE rezerva poj. na zač. roku + pojistné během roku + úroky < škody a náklady nastalé během roku + rezerva poj. na konci roku (vliv chyby odhadu nebo rozptylu daného procesu) Riziko rezerv = riziko, že po 1 roce BE škodní rezerva se ukáže jako špatně odhadnutá (chyba odhadu) skutečné škody se odchýlí od očekávané střední hodnoty (procesní chyba) 8 Riziko rezerv v neživotním pojištění

9 Projekce škod

10 SII Projekce C-L Mack M-W ODP Bootstrap SII rizika Přístupy k projekci škod: Přístupy k projekci škod v neživotním pojištění obvykle spadají do jedné z následujících skupin: Výpočet ze škodních trojúhelníků Data = souhrn škod po škodních a vývojových letech Odhaduje se celkový objem škod a zpoždění jejich vývoje Vhodné zejména pro dostatečně rozsáhlá a homogenní portfolia Individuální projekce Data = individuální škody Odhaduje se počet škod, velikost jednotlivé škody, zpoždění hlášení, rezervování, (postupného) vyplácení Umožňuje detailnější modelování (velké/katastrofické škody s jinými vlastnostmi než malé, aplikace XL zajištění,... ) Náročné na odhady parametrů (dostatek dat) a výpočet (místo např. 100 buněk trojúhelníka může jít i o miliony škod) 10 Riziko rezerv v neživotním pojištění

11 SII Projekce C-L Mack M-W ODP Bootstrap SII rizika Přístupy k projekci škod: Přístupy k projekci škod v neživotním pojištění obvykle spadají do jedné z následujících skupin: Výpočet ze škodních trojúhelníků Data = souhrn škod po škodních a vývojových letech Odhaduje se celkový objem škod a zpoždění jejich vývoje Vhodné zejména pro dostatečně rozsáhlá a homogenní portfolia Individuální projekce Data = individuální škody Odhaduje se počet škod, velikost jednotlivé škody, zpoždění hlášení, rezervování, (postupného) vyplácení Umožňuje detailnější modelování (velké/katastrofické škody s jinými vlastnostmi než malé, aplikace XL zajištění,... ) Náročné na odhady parametrů (dostatek dat) a výpočet (místo např. 100 buněk trojúhelníka může jít i o miliony škod) 10 Riziko rezerv v neživotním pojištění

12 SII Projekce C-L Mack M-W ODP Bootstrap SII rizika Přístupy k projekci škod: Přístupy k projekci škod v neživotním pojištění obvykle spadají do jedné z následujících skupin: Výpočet ze škodních trojúhelníků Data = souhrn škod po škodních a vývojových letech Odhaduje se celkový objem škod a zpoždění jejich vývoje Vhodné zejména pro dostatečně rozsáhlá a homogenní portfolia Individuální projekce Data = individuální škody Odhaduje se počet škod, velikost jednotlivé škody, zpoždění hlášení, rezervování, (postupného) vyplácení Umožňuje detailnější modelování (velké/katastrofické škody s jinými vlastnostmi než malé, aplikace XL zajištění,... ) Náročné na odhady parametrů (dostatek dat) a výpočet (místo např. 100 buněk trojúhelníka může jít i o miliony škod) 10 Riziko rezerv v neživotním pojištění

13 Metoda Chain-Ladder

14 SII Projekce C-L Mack M-W ODP Bootstrap SII rizika Předpoklady tradiční metody chain-ladder Mějme kumulativní škodní trojúhelník {C ij }. 1 2 n 1 C 11 C 12 C 1n 2 C 21 C 22. n C n1 f 1 f n 1. Předpokládáme následující vztahy: C i,j f j C i,j 1, tzn. nárůst v každém vývojovém roce 1 j je podobný ve všech řádcích a osciluje kolem hodnoty dané vývojovým faktorem f j. 1 V prezentaci říkáme vývojový,rok, ale může jít o libovolnou jinou periodu 12 Riziko rezerv v neživotním pojištění

15 Shrnutí SII Projekce C-L Mack M-W ODP Bootstrap SII rizika Vývojové faktory se odhadnou pomocí ˆfj = n k+1 i=1 / n k+1 C i,j i=1 C i,j 1 Chain-ladder je notoricky známá metoda, ostatní metody se proti ní obvykle porovnávají. Použití kumulativních dat vyžaduje znát celou historii každého škodního roku (tzn. problematické, pokud chybí horní levý roh trojúhelníka). Alternativa: např. aditivní metoda ILR Metoda je citlivá na data v rozích trojúhelníka (dolní levý určuje rezervu pro poslední škodní rok, horní pravý určuje chování na konci/tailu). Alternativa: např. Bornhuetter-Ferguson, Mackova B.-F. Tradiční chain-ladder neposkytuje odhad rozptylu nebo chyby odhadu. Alternativa: např. Mack C-L, Mack ILR, GLM metody - např. ODP 13 Riziko rezerv v neživotním pojištění

16 Shrnutí SII Projekce C-L Mack M-W ODP Bootstrap SII rizika Vývojové faktory se odhadnou pomocí ˆfj = n k+1 i=1 / n k+1 C i,j i=1 C i,j 1 Chain-ladder je notoricky známá metoda, ostatní metody se proti ní obvykle porovnávají. Použití kumulativních dat vyžaduje znát celou historii každého škodního roku (tzn. problematické, pokud chybí horní levý roh trojúhelníka). Alternativa: např. aditivní metoda ILR Metoda je citlivá na data v rozích trojúhelníka (dolní levý určuje rezervu pro poslední škodní rok, horní pravý určuje chování na konci/tailu). Alternativa: např. Bornhuetter-Ferguson, Mackova B.-F. Tradiční chain-ladder neposkytuje odhad rozptylu nebo chyby odhadu. Alternativa: např. Mack C-L, Mack ILR, GLM metody - např. ODP 13 Riziko rezerv v neživotním pojištění

17 Shrnutí SII Projekce C-L Mack M-W ODP Bootstrap SII rizika Vývojové faktory se odhadnou pomocí ˆfj = n k+1 i=1 / n k+1 C i,j i=1 C i,j 1 Chain-ladder je notoricky známá metoda, ostatní metody se proti ní obvykle porovnávají. Použití kumulativních dat vyžaduje znát celou historii každého škodního roku (tzn. problematické, pokud chybí horní levý roh trojúhelníka). Alternativa: např. aditivní metoda ILR Metoda je citlivá na data v rozích trojúhelníka (dolní levý určuje rezervu pro poslední škodní rok, horní pravý určuje chování na konci/tailu). Alternativa: např. Bornhuetter-Ferguson, Mackova B.-F. Tradiční chain-ladder neposkytuje odhad rozptylu nebo chyby odhadu. Alternativa: např. Mack C-L, Mack ILR, GLM metody - např. ODP 13 Riziko rezerv v neživotním pojištění

18 Shrnutí SII Projekce C-L Mack M-W ODP Bootstrap SII rizika Vývojové faktory se odhadnou pomocí ˆfj = n k+1 i=1 / n k+1 C i,j i=1 C i,j 1 Chain-ladder je notoricky známá metoda, ostatní metody se proti ní obvykle porovnávají. Použití kumulativních dat vyžaduje znát celou historii každého škodního roku (tzn. problematické, pokud chybí horní levý roh trojúhelníka). Alternativa: např. aditivní metoda ILR Metoda je citlivá na data v rozích trojúhelníka (dolní levý určuje rezervu pro poslední škodní rok, horní pravý určuje chování na konci/tailu). Alternativa: např. Bornhuetter-Ferguson, Mackova B.-F. Tradiční chain-ladder neposkytuje odhad rozptylu nebo chyby odhadu. Alternativa: např. Mack C-L, Mack ILR, GLM metody - např. ODP 13 Riziko rezerv v neživotním pojištění

19 Shrnutí SII Projekce C-L Mack M-W ODP Bootstrap SII rizika Vývojové faktory se odhadnou pomocí ˆfj = n k+1 i=1 / n k+1 C i,j i=1 C i,j 1 Chain-ladder je notoricky známá metoda, ostatní metody se proti ní obvykle porovnávají. Použití kumulativních dat vyžaduje znát celou historii každého škodního roku (tzn. problematické, pokud chybí horní levý roh trojúhelníka). Alternativa: např. aditivní metoda ILR Metoda je citlivá na data v rozích trojúhelníka (dolní levý určuje rezervu pro poslední škodní rok, horní pravý určuje chování na konci/tailu). Alternativa: např. Bornhuetter-Ferguson, Mackova B.-F. Tradiční chain-ladder neposkytuje odhad rozptylu nebo chyby odhadu. Alternativa: např. Mack C-L, Mack ILR, GLM metody - např. ODP 13 Riziko rezerv v neživotním pojištění

20 Mackova metoda chain-ladder

21 SII Projekce C-L Mack M-W ODP Bootstrap SII rizika Předpoklady Mackovy metody Chain-ladder předpoklady lze přirozeně rozšířit o chování rozptylu a formalizovat následovně: Mackův chain-ladder model 1. Vývojové faktory: 2. Nezávislost řádků: E (C i,j C i1,..., C ij ) = C i,j 1 f j ; { Ci1,..., C in } { Cj1,..., C jn } ; 3. Rozptyl: Var (C i,j C i1,..., C ij ) = C i,j 1 σ 2 j. 15 Riziko rezerv v neživotním pojištění

22 SII Projekce C-L Mack M-W ODP Bootstrap SII rizika Mackova metoda: odhad faktorů Dáme-li každému pozorování C i,j /C i,j 1 a-priori váhu w ij (např. s nižší vahou pro vychýlená pozorování), můžeme odhadnout: Vývojové faktory Faktory rozptylu ˆfj = n j+1 i=1 / n j+1 w ij C ij i=1 w ij C i,j 1 ˆσ 2 j = 1 n j+1 w ij (C ij d.f. C ˆf j C i,j 1 ) 2 i=1 i,j 1 kde d.f. je počet stupňů volnosti (n j jsou-li všechna w ij = 1) Rozptyl vývojových faktorů n j+1 Var(ˆf j ) = ˆσ 2 j i=1 w 2 ij C i,j 1 / n j+1 i=1 w ij C i,j 1 Opět lze uvažovat o intra/extrapolaci odhadů zejm. na konci. 16 Riziko rezerv v neživotním pojištění 2 Detaily

23 Kontrola odhadů SII Projekce C-L Mack M-W ODP Bootstrap SII rizika Chceme-li použít metodu chain-ladder, vývoj C ij /C i,j 1 v každém roce i by měl být,rozumně blízko f j. Když ted máme odhad rozptylu, můžeme se podívat na residua r ij = ( ) Cij C ˆf / ˆσ j j ij 1 Ci,j 1 a zkontrolovat, jestli jejich rozdělení odpovídá rozdělení se střední hodnotou 0 a rozptylem 1. Mimo to můžeme residua později použít při bootstrapu: pro jednoduchost můžeme předpokládat, že rozdělení residuí je stejné ve všech škodních a vývojových letech projekce residuí při bootstrapu založíme na výběru z pozorovaných residuích (simulace z empirického rozdělení), nebo na výběru z jejich předpokládaného rozdělení 17 Riziko rezerv v neživotním pojištění

24 Odhad rezerv SII Projekce C-L Mack M-W ODP Bootstrap SII rizika Odhad střední hodnoty rezervy (BE) je stejný, jako při tradiční metodě chain-ladder: Konečná hodnota v roce i se odhadne roznásobením diagonály a vývojových faktorů představujících budoucí roky, Û i = Ĉi = C i,n i+1 j=n i+2 ˆfj Rezerva pokrývá projektovaný budoucí vývoj, ˆR i = Ûi C i,n i+1 18 Riziko rezerv v neživotním pojištění

25 Rozptyl rezerv SII Projekce C-L Mack M-W ODP Bootstrap SII rizika Za použití označení = {C ij, i n, j n i + 1} můžeme vyjádřit odchylku výplat od odhadnuté rezervy v každém škodním roce: E ( ( ˆR i R i ) 2 ) = Var(C i ) } {{ } + Var(Ĉi ) } {{ } rozptyl procesu + rozptyl odhadu 2 kde obě části můžeme odhadnout rekurzivně pomocí Rozptyl procesu (tzn. rozptyl náhodné veličiny C ij ): Var(C ij ) = Var(C i,j 1 )ˆf 2 j + Ĉi,j 1 ˆσ 2 j, Var(Ci,n i+1 ) = 0 Rozptyl odhadu (tzn. nakolik se odhadnutý průměr liší od teoretické střední hodnoty): Var(Ĉij ) = Var(Ĉi,j 1 )ˆf 2 j + Ĉ2 i,j 1 Var(ˆf j ), Var( Ĉ i,n i+1 ) = 0 2 Přesněji, při použití tohoto odhadu bychom měli psát Var( Ĉ ij {C ij, i + j < n, j i}) místo Var(Ĉij ) - viz detaily. Detaily 19 Riziko rezerv v neživotním pojištění

26 SII Projekce C-L Mack M-W ODP Bootstrap SII rizika Rozptyl celkové rezervy Rozptyl celé rezervy ˆR = n i=1 ˆR i lze odhadnout pomocí Rozptyl procesu: díky nezávislosti řádků je Var(R ) = n Var(R i ) Rozptyl odhadu: jednotlivé odhady ˆR i nejsou nezávislé, nebot jsou spočítané ze stejných pozorování, takže je třeba dopočítat rekurzivně Var( ˆR ) = Var(Ĉ>, ) kde n n Ĉ >,j = Ĉ i,j, Ĉ,j 1 = i=n+2 j i=1 i=n+2 j Ĉ i,j 1 Var(Ĉ>,j ) = Var(Ĉ>,j 1 )ˆf 2 k + Ĉ2,j 1 Var(ˆf j ) Pozn.: podobně lze uvažovat i o kovariancích rezerv různých odvětví viz např. [Merz & Wüthrich 2008] 20 Riziko rezerv v neživotním pojištění

27 SII Projekce C-L Mack M-W ODP Bootstrap SII rizika Projekce Z uvedených odhadů můžeme získat chybu danou rozptylem procesu, chybu odhadu a celkovou chybu předpovědi proc.e.(r) = Var(R ), estim.e.(r) = Var( ˆR ) pred.e.(r) = Var(R ) + Var( ˆR ) a použít je ke konstrukci intervalu spolehlivosti - s pravděpodobností α můžeme říct, že R E(R ) ± q α proc.e.(r) E(R ) ˆR ± q α estim.e.(r) R ˆR ± q α pred.e.(r) kde q α je kvantil vhodného rozdělení (pro jednoduchost se často používá normální rozdělení). 21 Riziko rezerv v neživotním pojištění

28 SII Projekce C-L Mack M-W ODP Bootstrap SII rizika Shrnutí Mackova metoda je přirozené rozšíření metody chain-ladder. To znamená, že dává stejný odhad střední hodnoty, ale také že má podobné vlastnosti (např. citlivost na data v rozích trojúhelníka). K odvození odhadu rozptylu není použit žádný předpoklad rozdělení; lze ale ukázat, že výsledky jsou stejné, jako při použití předpokladu normálního rozdělení. Jiné metody mohou být vhodnější, je-li třeba modelovat těžší chvosty (fat-tail). Alternativa: např. GLM metody s vhodným předpokládaným rozdělením Uvedené odhady udávají celkový rozptyl rezervy po skončení vývoje, ne po 1 roce jak požaduje SII. Alternativa: Merz-Wüthrich 22 Riziko rezerv v neživotním pojištění

29 SII Projekce C-L Mack M-W ODP Bootstrap SII rizika Shrnutí Mackova metoda je přirozené rozšíření metody chain-ladder. To znamená, že dává stejný odhad střední hodnoty, ale také že má podobné vlastnosti (např. citlivost na data v rozích trojúhelníka). K odvození odhadu rozptylu není použit žádný předpoklad rozdělení; lze ale ukázat, že výsledky jsou stejné, jako při použití předpokladu normálního rozdělení. Jiné metody mohou být vhodnější, je-li třeba modelovat těžší chvosty (fat-tail). Alternativa: např. GLM metody s vhodným předpokládaným rozdělením Uvedené odhady udávají celkový rozptyl rezervy po skončení vývoje, ne po 1 roce jak požaduje SII. Alternativa: Merz-Wüthrich 22 Riziko rezerv v neživotním pojištění

30 SII Projekce C-L Mack M-W ODP Bootstrap SII rizika Shrnutí Mackova metoda je přirozené rozšíření metody chain-ladder. To znamená, že dává stejný odhad střední hodnoty, ale také že má podobné vlastnosti (např. citlivost na data v rozích trojúhelníka). K odvození odhadu rozptylu není použit žádný předpoklad rozdělení; lze ale ukázat, že výsledky jsou stejné, jako při použití předpokladu normálního rozdělení. Jiné metody mohou být vhodnější, je-li třeba modelovat těžší chvosty (fat-tail). Alternativa: např. GLM metody s vhodným předpokládaným rozdělením Uvedené odhady udávají celkový rozptyl rezervy po skončení vývoje, ne po 1 roce jak požaduje SII. Alternativa: Merz-Wüthrich 22 Riziko rezerv v neživotním pojištění

31 SII Projekce C-L Mack M-W ODP Bootstrap SII rizika Shrnutí Mackova metoda je přirozené rozšíření metody chain-ladder. To znamená, že dává stejný odhad střední hodnoty, ale také že má podobné vlastnosti (např. citlivost na data v rozích trojúhelníka). K odvození odhadu rozptylu není použit žádný předpoklad rozdělení; lze ale ukázat, že výsledky jsou stejné, jako při použití předpokladu normálního rozdělení. Jiné metody mohou být vhodnější, je-li třeba modelovat těžší chvosty (fat-tail). Alternativa: např. GLM metody s vhodným předpokládaným rozdělením Uvedené odhady udávají celkový rozptyl rezervy po skončení vývoje, ne po 1 roce jak požaduje SII. Alternativa: Merz-Wüthrich 22 Riziko rezerv v neživotním pojištění

32 Metoda Merz-Wüthrich

33 Roční run-off SII Projekce C-L Mack M-W ODP Bootstrap SII rizika Mackova metoda dovoluje spočítat odchylku rezervy a konečné výše škod pro Solventnost II ale potřebujeme rozptyl run-offu pouze po 1 roce. ˆR t+1 i Označíme-li, Ĉt+1 odhady rezervy a výplat ij příští rok a Y i,n i+2 = C i,n i+2 C i,n i+1 skutečné výplaty příští rok, pak run-off po 1 roce je Roff i = ˆR i (Y i,n i+2 + t+1 ˆR ) = i Ĉi Ĉt+1 i. Zatímco střední hodnota run-offu (pohledem nyní) je zřejmě 0, rozptyl se musí dopočítat o něco složitěji než u Mackovy metody. Kontrola: tento roztpyl ročního run-offu by měl být vždy menší, než Mackův rozptyl úplného run-offu. 24 Riziko rezerv v neživotním pojištění

34 Rozptyl run-offu SII Projekce C-L Mack M-W ODP Bootstrap SII rizika V ideálním případě by platilo Ĉi = E(C i ) a pak by rozptyl byl: kde značíme: Var ( E(C i ) E(C i t+1 ) ) = (E(Ci )) 2 Ψ i. Φ i = ˆσ2 n i+2 /ˆf 2 n i+2 i 1 k=1 C k,n i+1 Ψ i = σ2 n i+2 /f 2 n i+2 + C i,n i+1 j=n i+2 C n j+1,j n j+1 k=1 C k,j Ve skutečnosti ale musíme počítat i s chybou odhadu: Var(Roff i ) = ( Ĉ i ) 2 (Ψi + Φ i ) ˆσ 2 j+1 /ˆf 2 j+1 n j k=1 C k,j Celkový rozptyl je pak n n Var Roff i = Var(Roff i ) + 2 Ĉ i Ĉ k Φ i i=1 i=1 i<k Detaily 25 Riziko rezerv v neživotním pojištění

35 Overdispersed Poisson

36 Předpoklady SII Projekce C-L Mack M-W ODP Bootstrap SII rizika Jako obvykle začneme nekumulativním škodním trojúhelníkem {Y ij }. 1 2 n 1 Y 11 Y 12 Y 1n 2 Y 21 Y 22. n. Y n1 Škody popisuje tzv. over-dispersed Poisson model ( ODP ): E Y ij = µ ij = e η ij, Var(Y ij ) = φ µ ij, η ij = m + r i + c j = konst. + vliv řádku + vliv sloupce. Y ij a Y kl jsou nezávislé pro i k j l. 27 Riziko rezerv v neživotním pojištění

37 SII Projekce C-L Mack M-W ODP Bootstrap SII rizika Parametry V maticové formě budeme psát η = Xβ, kde β = (m, r 1,..., c n ) a X je matice, která má nuly a jedničky na správných místech. Položíme r 1 = c 1 = 0. (Jinak by model byl přeparametrizovaný X by neměla plnou hodnost.) Parametry chceme odhadnout metodou maximální věrohodnosti potřebujeme vyřešit: 0 = dl dβ k = ij 1 φw z (ij) (Y ij µ ij ) dη ij dµ ij x ij,k, kde W z (ij) = 1 w ij µ ij ( dηij dµ ij ) 2 a wij jsou a-priori váhy dané jednotlivým pozorováním výchozí hodnota vah je 1. Detaily Tento vzorec vypadá obdobně jako věrohodnostní funkce lineární regrese toho můžeme využít a aplikovat mechanismy a postupy známé z lineární regrese. 28 Riziko rezerv v neživotním pojištění

38 SII Projekce C-L Mack M-W ODP Bootstrap SII rizika Parametry V maticové formě budeme psát η = Xβ, kde β = (m, r 1,..., c n ) a X je matice, která má nuly a jedničky na správných místech. Položíme r 1 = c 1 = 0. (Jinak by model byl přeparametrizovaný X by neměla plnou hodnost.) Parametry chceme odhadnout metodou maximální věrohodnosti potřebujeme vyřešit: 0 = dl dβ k = ij 1 φw z (ij) (Y ij µ ij ) dη ij dµ ij x ij,k, kde W z (ij) = 1 w ij µ ij ( dηij dµ ij ) 2 a wij jsou a-priori váhy dané jednotlivým pozorováním výchozí hodnota vah je 1. Detaily Tento vzorec vypadá obdobně jako věrohodnostní funkce lineární regrese toho můžeme využít a aplikovat mechanismy a postupy známé z lineární regrese. 28 Riziko rezerv v neživotním pojištění

39 SII Projekce C-L Mack M-W ODP Bootstrap SII rizika Parametry V maticové formě budeme psát η = Xβ, kde β = (m, r 1,..., c n ) a X je matice, která má nuly a jedničky na správných místech. Položíme r 1 = c 1 = 0. (Jinak by model byl přeparametrizovaný X by neměla plnou hodnost.) Parametry chceme odhadnout metodou maximální věrohodnosti potřebujeme vyřešit: 0 = dl dβ k = ij 1 φw z (ij) (Y ij µ ij ) dη ij dµ ij x ij,k, kde W z (ij) = 1 w ij µ ij ( dηij dµ ij ) 2 a wij jsou a-priori váhy dané jednotlivým pozorováním výchozí hodnota vah je 1. Detaily Tento vzorec vypadá obdobně jako věrohodnostní funkce lineární regrese toho můžeme využít a aplikovat mechanismy a postupy známé z lineární regrese. 28 Riziko rezerv v neživotním pojištění

40 Numerické řešení SII Projekce C-L Mack M-W ODP Bootstrap SII rizika Označme z = η + (Y µ) dη dµ. Pokud bychom měli pevné µ, mohli bychom lineární regresí odhadnout η = Xβ na základě pozorování z. V našem případě je ale µ funkcí η, takže musíme tento postup použít iterativně. Y ˆη k, ˆµ k z k z k X ˆβ k+1 ˆµ k+1 = µ(ˆβ k+1 ) Pokud tato procedura konverguje, pak řešení ˆβ je také řešením našeho původního GLM problému (maximalizace věrohodnosti na minulé straně). Detaily 29 Riziko rezerv v neživotním pojištění

41 SII Projekce C-L Mack M-W ODP Bootstrap SII rizika Predikce Necht F je matice popisující budoucí závislosti (podobně jako X ty minulé) a Y F = {Y ij, i + j > n + 1} jsou budoucí buňky trojúhelníka. Pak můžeme odhadnout Ŷ F = e F ˆβ. Parametr rozptylu φ můžeme odhadnout pomocí (Y ij µ ij ) ˆφ 2 = /(n p) φ χ 2 n p. µ ij ij p je počet parametrů (délka vektoru β) a tento odhad má asymptoticky výše uvedené χ 2 rozdělení. 30 Riziko rezerv v neživotním pojištění

42 SII Projekce C-L Mack M-W ODP Bootstrap SII rizika Predikce Necht F je matice popisující budoucí závislosti (podobně jako X ty minulé) a Y F = {Y ij, i + j > n + 1} jsou budoucí buňky trojúhelníka. Pak můžeme odhadnout Ŷ F = e F ˆβ. Parametr rozptylu φ můžeme odhadnout pomocí (Y ij µ ij ) ˆφ 2 = /(n p) φ χ 2 n p. µ ij ij p je počet parametrů (délka vektoru β) a tento odhad má asymptoticky výše uvedené χ 2 rozdělení. 30 Riziko rezerv v neživotním pojištění

43 Odhad odchylek SII Projekce C-L Mack M-W ODP Bootstrap SII rizika Protože rezerva je R i = n j=n i+2 Y ij, dostáváme E(R i ˆR n i ) 2 = E Y ij Ŷij j=n i+2 Odchylku skutečných budoucích škod od jejich odhadu lze opět rozdělit na dvě části 2. E(Y ij Ŷij) 2 = Var(Y ij ) } {{ } Tyto části můžeme odhadnout pomocí + Var(Ŷij) } {{ } rozptyl procesu + rozptyl odhadu Var(Y F ) = ˆφ ˆµ, kde M = diag(ˆµ). Var( Ŷ F ) = ˆφ M F (X T W 1 z X) 1 F T M, Detaily 31 Riziko rezerv v neživotním pojištění

44 SII Projekce C-L Mack M-W ODP Bootstrap SII rizika Shrnutí Tento konkrétní ODP model dává stejný odhad rezervy (střední hodnoty škod) jako chain-ladder. f n = ec e c n 1 + e c n e c e c n 1 Navíc dostáváme odhad rozptylu. Oproti Mackovu modelu dostáváme jiné rozdělení škod. Mackův model je odvozen bez použití předpokladu o rozdělení; dá se ale ukázat, že stejné výsledky jako v Mackově modelu bychom dostali při užití metody maximální věrohodnosti a normálního rozdělení. Oproti tomu tento ODP model používá (možná realističtější?) rozdělení odvozené z Poissonova rozdělení (dovoluje modelovat o něco těžší chvosty). Odvození ODP vyžaduje, aby součet škod ve všech sloupcích inkrementálního trojúhelníka byl nezáporný. 32 Riziko rezerv v neživotním pojištění

45 SII Projekce C-L Mack M-W ODP Bootstrap SII rizika Shrnutí Tento konkrétní ODP model dává stejný odhad rezervy (střední hodnoty škod) jako chain-ladder. f n = ec e c n 1 + e c n e c e c n 1 Navíc dostáváme odhad rozptylu. Oproti Mackovu modelu dostáváme jiné rozdělení škod. Mackův model je odvozen bez použití předpokladu o rozdělení; dá se ale ukázat, že stejné výsledky jako v Mackově modelu bychom dostali při užití metody maximální věrohodnosti a normálního rozdělení. Oproti tomu tento ODP model používá (možná realističtější?) rozdělení odvozené z Poissonova rozdělení (dovoluje modelovat o něco těžší chvosty). Odvození ODP vyžaduje, aby součet škod ve všech sloupcích inkrementálního trojúhelníka byl nezáporný. 32 Riziko rezerv v neživotním pojištění

46 SII Projekce C-L Mack M-W ODP Bootstrap SII rizika Shrnutí Tento konkrétní ODP model dává stejný odhad rezervy (střední hodnoty škod) jako chain-ladder. f n = ec e c n 1 + e c n e c e c n 1 Navíc dostáváme odhad rozptylu. Oproti Mackovu modelu dostáváme jiné rozdělení škod. Mackův model je odvozen bez použití předpokladu o rozdělení; dá se ale ukázat, že stejné výsledky jako v Mackově modelu bychom dostali při užití metody maximální věrohodnosti a normálního rozdělení. Oproti tomu tento ODP model používá (možná realističtější?) rozdělení odvozené z Poissonova rozdělení (dovoluje modelovat o něco těžší chvosty). Odvození ODP vyžaduje, aby součet škod ve všech sloupcích inkrementálního trojúhelníka byl nezáporný. 32 Riziko rezerv v neživotním pojištění

47 SII Projekce C-L Mack M-W ODP Bootstrap SII rizika Shrnutí Tento konkrétní ODP model dává stejný odhad rezervy (střední hodnoty škod) jako chain-ladder. f n = ec e c n 1 + e c n e c e c n 1 Navíc dostáváme odhad rozptylu. Oproti Mackovu modelu dostáváme jiné rozdělení škod. Mackův model je odvozen bez použití předpokladu o rozdělení; dá se ale ukázat, že stejné výsledky jako v Mackově modelu bychom dostali při užití metody maximální věrohodnosti a normálního rozdělení. Oproti tomu tento ODP model používá (možná realističtější?) rozdělení odvozené z Poissonova rozdělení (dovoluje modelovat o něco těžší chvosty). Odvození ODP vyžaduje, aby součet škod ve všech sloupcích inkrementálního trojúhelníka byl nezáporný. 32 Riziko rezerv v neživotním pojištění

48 Bootstrap

49 SII Projekce C-L Mack M-W ODP Bootstrap SII rizika Bootstrap Baron Prášil: Vytáhl jsem se za řemínky u bot. (i když v české verzi za cop) Poslední metodou kterou použijeme je bootstrap. Analytické metody obvykle poskytují přímočarý odhad střední hodnoty, ale odhady rozptylu jsou obvykle komplikovanější další vlastnosti rozdělení (např. kvantil rezerv, rozptyl run-offu po n letech, nelineární transformace např. zajištění,... ) se často nedají odhadnout analyticky Řešení: Hodíme data do stroje, provedeme tisíce simulací a doufáme, že z něj vypadne odpověd. 3 3 Odpověd : 42. Ale počkat jaká byla otázka? ([Adams 1979]) 34 Riziko rezerv v neživotním pojištění

50 Bootstrap princip SII Projekce C-L Mack M-W ODP Bootstrap SII rizika 3.0 Původní data Pozorovaná data v jejich původním rozdělení Residua Převedeno na stejně rozdělená residua, s µ = 0, σ = Riziko rezerv v neživotním pojištění

51 Bootstrap princip SII Projekce C-L Mack M-W ODP Bootstrap SII rizika 3.0 Původní data 1.0 Simulace z empir. rozdělení Zpětná transformace Residua 1.0 Simulace z předpokl. rozdělení Zpětná transformace Riziko rezerv v neživotním pojištění

52 Zpět k výpočtu rizik pro Solventnost II

53 Neživotní riziko rezerv SII Projekce C-L Mack M-W ODP Bootstrap SII rizika Oproti životním rizikům nabízí SII pro výpočet neživotních rizik širší výběr metod co se obtížnosti výpočtu týče: Standardní vzorec: založen na BE pojistného a rezerv, které jsou pouze vynásobeny poskytnutými standardními faktory rozptylu Parametry specifické pro pojišt ovnu ( USP ): faktory rozptylu pro danou pojišt ovnu odhadnuty z vlastních dat pomocí jedné z doporučených metod (je třeba dostatek historických dat) Interní model: plná projekce budoucích peněžních toků; možná struktura např.: Běžné škody - simulační/bootstrap metody používající škodní trojúhelníky (příklady i v této přednášce) Velké škody - projekce frekvence a závažnosti jednotlivých škod, umožňující např. výpočet XL zajištění každé škody, apod. Katastrofy - simulace nebo scénaře, často připravené ve spolupráci se zajistiteli, kteří mají více dat a zkušeností s katastrofami 37 Riziko rezerv v neživotním pojištění

54 SII Projekce C-L Mack M-W ODP Bootstrap SII rizika Praktická poznámka k výpočtu rizika Proč se vůbec namáhat s něčím jiným než standardní vzorec? Mějme 3 společnosti mající podobná portfolia: Společnost BE reserv Std. odch. run-offu 1. Good Bad Ugly 50 (špatný odhad) 80 Std. vzorec: společnosti 1, 2 mají stejné SCR = ρ(σ std ) 80 USP nebo interní model: mohou ukázat rozdíl mezi společnostmi 1 a 2; interní model by ideálně měl postihnout i situaci, kdy rozptyl (a tedy USP) jsou stejné, ale 99,5% kvantil nikoliv Pokud dohled neodhalí nepřesnosti v BE rezervě u společnosti 3, tak její SCR je nejnižší Riziko rezerv v neživotním pojištění

55 SII Projekce C-L Mack M-W ODP Bootstrap SII rizika Příklad Na příkladu jednoho šk. trojúhelníka odvodíme BE šk. rezervu (metodou chain-ladder) a srovnáme následující posupy výpočtu rizika: Standardní vzorec 1a. Výpočet podle QIS5 s parametry pro poj. odpovědnosti 1b. Výpočet podle návrhu L2 opatření s parametry pro poj. odpovědnosti Parametry specifické pro společnost, metody podle QIS5 2a. Odhad rozptylu run-offu z historických run-offů 2b. Merz-Wüthrichova metoda odhadu rozptylu 1-ročního run-offu, používající BE odhad rezerv 2c. Merz-Wüthrichova metoda odhadu rozptylu 1-ročního run-offu, výslovně používající C-L odhad rezerv (to samé, pokud BE = C-L odhad) Vlastní odvození rozptylu 1-ročního run-offu bootstrapem 3a. Mackova metoda 3b. Overdispersed Poisson metoda, konstantní parametr rozptylu φ Odvození 99,5% kvantilu (bootstrap) 4a. Mackova metoda odhadu rozptylu + empirické rozdělení residuí 4b. Overdispersed Poisson metoda + negativně binomické rozdělení residuí 39 Riziko rezerv v neživotním pojištění

56 SII Projekce C-L Mack M-W ODP Bootstrap SII rizika Příklad Na příkladu jednoho šk. trojúhelníka odvodíme BE šk. rezervu (metodou chain-ladder) a srovnáme následující posupy výpočtu rizika: Standardní vzorec 1a. Výpočet podle QIS5 s parametry pro poj. odpovědnosti 1b. Výpočet podle návrhu L2 opatření s parametry pro poj. odpovědnosti Parametry specifické pro společnost, metody podle QIS5 2a. Odhad rozptylu run-offu z historických run-offů 2b. Merz-Wüthrichova metoda odhadu rozptylu 1-ročního run-offu, používající BE odhad rezerv 2c. Merz-Wüthrichova metoda odhadu rozptylu 1-ročního run-offu, výslovně používající C-L odhad rezerv (to samé, pokud BE = C-L odhad) Vlastní odvození rozptylu 1-ročního run-offu bootstrapem 3a. Mackova metoda 3b. Overdispersed Poisson metoda, konstantní parametr rozptylu φ Odvození 99,5% kvantilu (bootstrap) 4a. Mackova metoda odhadu rozptylu + empirické rozdělení residuí 4b. Overdispersed Poisson metoda + negativně binomické rozdělení residuí 39 Riziko rezerv v neživotním pojištění

57 SII Projekce C-L Mack M-W ODP Bootstrap SII rizika Příklad Na příkladu jednoho šk. trojúhelníka odvodíme BE šk. rezervu (metodou chain-ladder) a srovnáme následující posupy výpočtu rizika: Standardní vzorec 1a. Výpočet podle QIS5 s parametry pro poj. odpovědnosti 1b. Výpočet podle návrhu L2 opatření s parametry pro poj. odpovědnosti Parametry specifické pro společnost, metody podle QIS5 2a. Odhad rozptylu run-offu z historických run-offů 2b. Merz-Wüthrichova metoda odhadu rozptylu 1-ročního run-offu, používající BE odhad rezerv 2c. Merz-Wüthrichova metoda odhadu rozptylu 1-ročního run-offu, výslovně používající C-L odhad rezerv (to samé, pokud BE = C-L odhad) Vlastní odvození rozptylu 1-ročního run-offu bootstrapem 3a. Mackova metoda 3b. Overdispersed Poisson metoda, konstantní parametr rozptylu φ Odvození 99,5% kvantilu (bootstrap) 4a. Mackova metoda odhadu rozptylu + empirické rozdělení residuí 4b. Overdispersed Poisson metoda + negativně binomické rozdělení residuí 39 Riziko rezerv v neživotním pojištění

58 SII Projekce C-L Mack M-W ODP Bootstrap SII rizika Příklad Na příkladu jednoho šk. trojúhelníka odvodíme BE šk. rezervu (metodou chain-ladder) a srovnáme následující posupy výpočtu rizika: Standardní vzorec 1a. Výpočet podle QIS5 s parametry pro poj. odpovědnosti 1b. Výpočet podle návrhu L2 opatření s parametry pro poj. odpovědnosti Parametry specifické pro společnost, metody podle QIS5 2a. Odhad rozptylu run-offu z historických run-offů 2b. Merz-Wüthrichova metoda odhadu rozptylu 1-ročního run-offu, používající BE odhad rezerv 2c. Merz-Wüthrichova metoda odhadu rozptylu 1-ročního run-offu, výslovně používající C-L odhad rezerv (to samé, pokud BE = C-L odhad) Vlastní odvození rozptylu 1-ročního run-offu bootstrapem 3a. Mackova metoda 3b. Overdispersed Poisson metoda, konstantní parametr rozptylu φ Odvození 99,5% kvantilu (bootstrap) 4a. Mackova metoda odhadu rozptylu + empirické rozdělení residuí 4b. Overdispersed Poisson metoda + negativně binomické rozdělení residuí 39 Riziko rezerv v neživotním pojištění

59 Výsledky příkladu SII Projekce C-L Mack M-W ODP Bootstrap SII rizika Výsledky porovnání jednotlivých metod: viz Excel 40 Riziko rezerv v neživotním pojištění

Chyba predikce při rezervování metodou Chain Ladder u korelovaných vývojových trojúhelníků

Chyba predikce při rezervování metodou Chain Ladder u korelovaných vývojových trojúhelníků Chyba predikce při rezervování metodou Chain Ladder u korelovaných vývojových trojúhelníků Mgr. Marcela Martinů 13. května 2016 5/13/2016 0 Obsah 1. Úvod a. Motivace a cíle b. Základní metody 2. Rozšířená

Více

Riziko rezerv na jednoletém horizontu. Seminář aktuárských věd, 8. listopadu 2013 Ing. Lucie Hronová

Riziko rezerv na jednoletém horizontu. Seminář aktuárských věd, 8. listopadu 2013 Ing. Lucie Hronová Riziko rezerv na ednoletém horizontu Seminář aktuárských věd, 8. listopadu 2013 Náplň přednášky Jednoletý vs. ultimate horizont BE budoucích závazků ako stochastický proces Přístupy k modelování ednoletého

Více

Využití korelace v rezervování povinného ručení

Využití korelace v rezervování povinného ručení INSURANCE Využití korelace v rezervování povinného ručení Ondřej Bušta, Actuarial services 7. prosince 2007 ADVISORY 1 Agenda Nástin problému Majetkové škody Zdravotní škody Korelační analýza a riziko

Více

Aplikace matematiky. Dana Lauerová A note to the theory of periodic solutions of a parabolic equation

Aplikace matematiky. Dana Lauerová A note to the theory of periodic solutions of a parabolic equation Aplikace matematiky Dana Lauerová A note to the theory of periodic solutions of a parabolic equation Aplikace matematiky, Vol. 25 (1980), No. 6, 457--460 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/103885 Terms

Více

Testování předpokladů pro metodu chain-ladder. Seminář z aktuárských věd Petra Španihelová

Testování předpokladů pro metodu chain-ladder. Seminář z aktuárských věd Petra Španihelová Testování předpokladů pro metodu chain-ladder Seminář z aktuárských věd 4. 11. 2016 Petra Španihelová Obsah Datová struktura Posouzení dat Předpoklady metody chain-ladder dle T. Macka Běžná lineární regrese

Více

ovnictví z pohledu regulace Seminář z aktuárských věd, 6. března 2009

ovnictví z pohledu regulace Seminář z aktuárských věd, 6. března 2009 Pojišťovnictv ovnictví z pohledu regulace Monika Šťástková,, Iva Justová Seminář z aktuárských věd, 6. března 2009 1. část Zpráva odpovědn dného pojistného matematika Monika Šťástková Obsah Úvod Regulace

Více

Rezerva pojistného v režimu Solvency II (neživotní pojištění) Jaroslav Hůrka Seminář z aktuárských věd 13.12.2013

Rezerva pojistného v režimu Solvency II (neživotní pojištění) Jaroslav Hůrka Seminář z aktuárských věd 13.12.2013 Rezerva pojistného v režimu Solvency II (neživotní pojištění) Jaroslav Hůrka Seminář z aktuárských věd 13.12.2013 Obsah Legislativní rámec Výpočet rezervy pojistného Segmentace Kvalita údajů Výpočet Combined

Více

Tento materiál byl vytvořen v rámci projektu Operačního programu Vzdělávání pro konkurenceschopnost.

Tento materiál byl vytvořen v rámci projektu Operačního programu Vzdělávání pro konkurenceschopnost. Tento materiál byl vytvořen v rámci projektu Operačního programu Vzdělávání pro konkurenceschopnost. Projekt MŠMT ČR Číslo projektu Název projektu školy Klíčová aktivita III/2 EU PENÍZE ŠKOLÁM CZ.1.07/1.4.00/21.2146

Více

WORKSHEET 1: LINEAR EQUATION 1

WORKSHEET 1: LINEAR EQUATION 1 WORKSHEET 1: LINEAR EQUATION 1 1. Write down the arithmetical problem according the dictation: 2. Translate the English words, you can use a dictionary: equations to solve solve inverse operation variable

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická

Více

1/30. Mgr. Jan Šváb Zobecněný lineární model a jeho použití v povinném ručení. 31.3.2006 Seminář z aktuárských věd. Slides by LATEX.

1/30. Mgr. Jan Šváb Zobecněný lineární model a jeho použití v povinném ručení. 31.3.2006 Seminář z aktuárských věd. Slides by LATEX. 1/30 31.3.2006 Seminář z aktuárských věd Slides by LATEX Mgr. Jan Šváb Zobecněný lineární model a jeho použití v povinném ručení 2/30 Obsah 1 Zobecněné lineární modely (GLZ 1 ) Obecný lineární model (GLM)

Více

Metodika pro zadání veřejné zakázky formou DESIGN & BUILD pro dopravní stavby v ČR

Metodika pro zadání veřejné zakázky formou DESIGN & BUILD pro dopravní stavby v ČR Metodika pro zadání veřejné zakázky formou DESIGN & BUILD pro dopravní stavby v ČR Jan Věžník, Deloitte 19. 5. 2015 Konference Projektování pozemních komunikací Přístup k zpracování metodiky Analytická

Více

Rezervování v neživotním pojištění

Rezervování v neživotním pojištění Rezervování v neživotním pojištění z cyklu Pojistný matematik v praxi Zdeněk Roubal, Česká společnost aktuárů Seminář z aktuárských věd 10. října 2014 Pojistný matematik v praxi Rezerva na pojistná plnění

Více

Aplikace teoretických postupů pro ocenění rizika při upisování pojistných smluv v oblasti velkých rizik

Aplikace teoretických postupů pro ocenění rizika při upisování pojistných smluv v oblasti velkých rizik Aplikace teoretických postupů pro ocenění rizika při upisování pojistných smluv v oblasti velkých rizik Ondřej Pavlačka Praha, 18. ledna 2011 Cíle projektu Vytvořit matematický model pro oceňování přijímaného

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc.

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika 010 1.týden (0.09.-4.09. ) Data, typy dat, variabilita, frekvenční analýza

Více

Karta předmětu prezenční studium

Karta předmětu prezenční studium Karta předmětu prezenční studium Název předmětu: Číslo předmětu: 545-0250 Garantující institut: Garant předmětu: Ekonomická statistika Institut ekonomiky a systémů řízení RNDr. Radmila Sousedíková, Ph.D.

Více

4EK211 Základy ekonometrie

4EK211 Základy ekonometrie 4EK211 Základy ekonometrie ZS 2015/16 Cvičení 7: Časově řady, autokorelace LENKA FIŘTOVÁ KATEDRA EKONOMETRIE, FAKULTA INFORMATIKY A STATISTIKY VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE 1. Časové řady Data: HDP.wf1

Více

1. Přednáška. Ing. Miroslav Šulai, MBA

1. Přednáška. Ing. Miroslav Šulai, MBA N_OFI_2 1. Přednáška Počet pravděpodobnosti Statistický aparát používaný ve financích Ing. Miroslav Šulai, MBA 1 Počet pravděpodobnosti -náhodné veličiny 2 Počet pravděpodobnosti -náhodné veličiny 3 Jevy

Více

EY Procurement Survey 2014. Procurement Forum 2014

EY Procurement Survey 2014. Procurement Forum 2014 Procurement Forum 2014 Začlenění útvaru nákupu ve společnosti Téměř 80 % společností vnímá organizační uspořádání nákupu jako centralizované Umístění nákupu u téměř 70 % společností vypovídá o silném zaměření

Více

Finanční modely v oblasti Consultingu

Finanční modely v oblasti Consultingu Finanční modely v oblasti Consultingu Jan Cimický 1 Abstrakt Ve své disertační práci se zabývám finančním modelováním. Práce je koncipována jako soubor vzájemně často propojených nebo na sebe navazujících

Více

AVDAT Nelineární regresní model

AVDAT Nelineární regresní model AVDAT Nelineární regresní model Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Nelineární regresní model Ey i = f (x i, β) kde x i je k-členný vektor vysvětlujících proměnných

Více

Kvantifikace operačního rizika v rámci Přistupu distribuce ztrát

Kvantifikace operačního rizika v rámci Přistupu distribuce ztrát Kvantifikace operačního rizika v rámci Přistupu distribuce ztrát Jiří Havlický 1 Abstrakt Článek je zaměřen na stanovení a zhodnocení citlivosti výše očekávané a neočekávané ztráty plynoucí z podstupovaného

Více

USING VIDEO IN PRE-SET AND IN-SET TEACHER TRAINING

USING VIDEO IN PRE-SET AND IN-SET TEACHER TRAINING USING VIDEO IN PRE-SET AND IN-SET TEACHER TRAINING Eva Minaříková Institute for Research in School Education, Faculty of Education, Masaryk University Structure of the presentation What can we as teachers

Více

Tomáš Cipra: Riziko ve financích a pojišťovnictví: Basel III a Solvency II. Ekopress, Praha 2015 (515 stran, ISBN: ) 1. ÚVOD..

Tomáš Cipra: Riziko ve financích a pojišťovnictví: Basel III a Solvency II. Ekopress, Praha 2015 (515 stran, ISBN: ) 1. ÚVOD.. Tomáš Cipra: Riziko ve financích a pojišťovnictví: Basel III a Solvency II. Ekopress, Praha 2015 (515 stran, ISBN: 978-80- 87865-24-8) OBSAH 1. ÚVOD.. 1 2. OBECNĚ O RIZIKU. 3 2.1. Pojem rizika. 3 2.2.

Více

Just write down your most recent and important education. Remember that sometimes less is more some people may be considered overqualified.

Just write down your most recent and important education. Remember that sometimes less is more some people may be considered overqualified. CURRICULUM VITAE - EDUCATION Jindřich Bláha Výukový materiál zpracován v rámci projektu EU peníze školám Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Bc. Jindřich Bláha. Dostupné z Metodického

Více

ACTA UNIVERSITATIS AGRICULTURAE ET SILVICULTURAE MENDELIANAE BRUNENSIS SBORNÍK MENDELOVY ZEMĚDĚLSKÉ A LESNICKÉ UNIVERZITY V BRNĚ

ACTA UNIVERSITATIS AGRICULTURAE ET SILVICULTURAE MENDELIANAE BRUNENSIS SBORNÍK MENDELOVY ZEMĚDĚLSKÉ A LESNICKÉ UNIVERZITY V BRNĚ ACTA UNIVERSITATIS AGRICULTURAE ET SILVICULTURAE MENDELIANAE BRUNENSIS SBORNÍK MENDELOVY ZEMĚDĚLSKÉ A LESNICKÉ UNIVERZITY V BRNĚ Ročník LII 6 Číslo 3, 2004 Gasser-Müllerův odhad J. Poměnková Došlo: 8.

Více

Database systems. Normal forms

Database systems. Normal forms Database systems Normal forms An example of a bad model SSN Surnam OfficeNo City Street No ZIP Region President_of_ Region 1001 Novák 238 Liteň Hlavní 10 26727 Středočeský Rath 1001 Novák 238 Bystřice

Více

Zohlednění nelikvidity v pojistných závazcích

Zohlednění nelikvidity v pojistných závazcích Zohlednění nelikvidity v pojistných závazcích Liquidity premium Kamil Žák Seminář z aktuárských věd, MFF UK 7. května 2010 Zohlednění nelikvidity v pojistných závazcích Liquidity premium Kamil Žák Seminář

Více

Použití modelu Value at Risk u akcií z

Použití modelu Value at Risk u akcií z Použití modelu Value at Risk u akcií z pražské Burzy cenných papírů Radim Gottwald Mendelova univerzita v Brně Abstrakt Článek se zaměřuje na model Value at Risk, který se v současnosti často používá na

Více

Vykazování v Solventnosti II

Vykazování v Solventnosti II Vykazování v Solventnosti II Barbora Hejmová 1. 4. 201 Obsah Regulatorní požadavky SII reportingu Regulatorní požadavky Level 1, Level 2 a Level Celkový přehled Vykazování v Solvency II Kdo, Co, Komu,

Více

VY_32_INOVACE_06_Předpřítomný čas_03. Škola: Základní škola Slušovice, okres Zlín, příspěvková organizace

VY_32_INOVACE_06_Předpřítomný čas_03. Škola: Základní škola Slušovice, okres Zlín, příspěvková organizace VY_32_INOVACE_06_Předpřítomný čas_03 Autor: Růžena Krupičková Škola: Základní škola Slušovice, okres Zlín, příspěvková organizace Název projektu: Zkvalitnění ICT ve slušovské škole Číslo projektu: CZ.1.07/1.4.00/21.2400

Více

Determination Value at Risk via Monte Carlo simulation Stanovení Value at Risk pomocí metody simulace Monte Carlo

Determination Value at Risk via Monte Carlo simulation Stanovení Value at Risk pomocí metody simulace Monte Carlo Determination Value at Risk via Monte Carlo simulation Stanovení Value at Risk pomocí metody simulace Monte Carlo Kateřina Zelinková 1 Abstract The financial institution, namely securities firms, banks

Více

STANOVOVÁNÍ IBNR REZERVY S VYUŽITÍM ZOBECNĚNÉHO LINEÁRNÍHO MODELU 1

STANOVOVÁNÍ IBNR REZERVY S VYUŽITÍM ZOBECNĚNÉHO LINEÁRNÍHO MODELU 1 NÁRODOHOSPODÁŘSKÝ OBZOR STANOVOVÁNÍ IBNR REZERVY S VYUŽITÍM ZOBECNĚNÉHO LINEÁRNÍHO MODELU 1 Miroslav Otáhal Úvod Důležitou součástí ekonomiky každé země je finanční sektor. Ten je kromě burz, bank a jim

Více

Run-off analýzy v neživotním pojištění

Run-off analýzy v neživotním pojištění Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta DIPLOMOVÁ PRÁCE Jana Bestová Run-off analýzy v neživotním pojištění Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Vedoucí diplomové práce: Mgr.

Více

Statistická analýza dat v psychologii. Věci, které můžeme přímo pozorovat, jsou téměř vždy pouze vzorky. Alfred North Whitehead

Statistická analýza dat v psychologii. Věci, které můžeme přímo pozorovat, jsou téměř vždy pouze vzorky. Alfred North Whitehead PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii Přednáška 8 Statistické usuzování, odhady Věci, které můžeme přímo pozorovat, jsou téměř vždy pouze vzorky. Alfred North Whitehead Barevná srdíčka kolegyně

Více

Zadání Máme data hdp.wf1, která najdete zde: Bodová předpověď: Intervalová předpověď:

Zadání Máme data hdp.wf1, která najdete zde:  Bodová předpověď: Intervalová předpověď: Predikce Text o predikci pro upřesnění pro ty, které zajímá, kde se v EViews všechna ta čísla berou. Ruční výpočty u průběžného testu nebudou potřeba. Co bude v závěrečném testu, to nevím. Ale přečíst

Více

II. Statistické metody vyhodnocení kvantitativních dat Gejza Dohnal

II. Statistické metody vyhodnocení kvantitativních dat Gejza Dohnal Základy navrhování průmyslových experimentů DOE II. Statistické metody vyhodnocení kvantitativních dat Gejza Dohnal! Testování statistických hypotéz kvalitativní odezva kvantitativní chí-kvadrát test homogenity,

Více

A Note on Generation of Sequences of Pseudorandom Numbers with Prescribed Autocorrelation Coefficients

A Note on Generation of Sequences of Pseudorandom Numbers with Prescribed Autocorrelation Coefficients KYBERNETIKA VOLUME 8 (1972), NUMBER 6 A Note on Generation of Sequences of Pseudorandom Numbers with Prescribed Autocorrelation Coefficients JAROSLAV KRAL In many applications (for example if the effect

Více

Právní formy podnikání v ČR

Právní formy podnikání v ČR Bankovní institut vysoká škola Praha Právní formy podnikání v ČR Bakalářská práce Prokeš Václav Leden, 2009 Bankovní institut vysoká škola Praha Katedra Bankovnictví Právní formy podnikání v ČR Bakalářská

Více

Pojistná matematika 2 KMA/POM2E

Pojistná matematika 2 KMA/POM2E Pojistná matematika 2 KMA/POM2E RNDr. Ondřej Pavlačka, Ph.D. pracovna 5.052 tel. 585 63 4027 e-mail: ondrej.pavlacka@upol.cz web: http://aix-slx.upol.cz/~pavlacka (informace + podkladové materiály) Konzultační

Více

Odhadnutí citlivosti nákladů v hromadné výrobě - process costing

Odhadnutí citlivosti nákladů v hromadné výrobě - process costing Analýza bodu zvratu Zdůvodnění Krátkodobý charakter analýzy bodu zvratu - CVP analysis Časový interval, během kterého nemůže management firmy změnit dopady určitých minulých rozhodnutí V praxi období krratší

Více

Zpracování a vyhodnocování analytických dat

Zpracování a vyhodnocování analytických dat Zpracování a vyhodnocování analytických dat naměřená data Zpracování a statistická analýza dat analytické výsledky Naměř ěřená data jedna hodnota 5,00 mg (bod 1D) navážka, odměřený objem řada dat 15,8;

Více

Social Media a firemní komunikace

Social Media a firemní komunikace Social Media a firemní komunikace TYINTERNETY / FALANXIA YOUR WORLD ENGAGED UČTE SE OD STARTUPŮ ANALYSIS -> PARALYSIS POUŽIJTE TO, CO ZNÁ KAŽDÝ POUŽIJTE TO, CO ZNÁ KAŽDÝ POUŽIJTE TO, CO ZNÁ KAŽDÝ POUŽIJTE

Více

4EK211 Základy ekonometrie

4EK211 Základy ekonometrie 4EK Základy ekonometrie Odhad klasického lineárního regresního modelu II Cvičení 3 Zuzana Dlouhá Klasický lineární regresní model - zadání příkladu Soubor: CV3_PR.xls Data: y = maloobchodní obrat potřeb

Více

Zpracování studie týkající se průzkumu vlastností statistických proměnných a vztahů mezi nimi.

Zpracování studie týkající se průzkumu vlastností statistických proměnných a vztahů mezi nimi. SEMINÁRNÍ PRÁCE Zadání: Data: Statistické metody: Zpracování studie týkající se průzkumu vlastností statistických proměnných a vztahů mezi nimi. Minimálně 6 proměnných o 30 pozorováních (z toho 2 proměnné

Více

Rezervy z pohledu bankopojištění a užití Kaplan Meierova odhadu při výpočtu RBNS

Rezervy z pohledu bankopojištění a užití Kaplan Meierova odhadu při výpočtu RBNS Rezervy z pohledu bankopojištění a užití Kaplan Meierova odhadu při výpočtu RBNS Mgr. Zuzana Valentová 29. dubna 2016 Obsah 1. Bankopojištění základní pojmy 2. Rezerva pojistného životních pojištění 3.

Více

Rizikové přirážky při oceňování produktů životního pojištění. Petr Sotona 6.11.2009 Seminář z aktuárských věd

Rizikové přirážky při oceňování produktů životního pojištění. Petr Sotona 6.11.2009 Seminář z aktuárských věd Petr Sotona 6.11.2009 Seminář z aktuárských věd Agenda Teoretická část Druhy rizikových přirážek a jejich interpretace Vlastnosti rizikových přirážek Postup odhadu rizikových přirážek a metody jejich výpočtu

Více

Rizika v činnosti pojišťoven

Rizika v činnosti pojišťoven Rizika v činnosti pojišťoven Pojistně technické riziko Tržní riziko Kreditní riziko Riziko likvidity Operační rizika ALM (Asset-liability matching) rizika Rizika při provozování produktů neživotního pojištění

Více

Vybrané poznámky k řízení rizik v bankách

Vybrané poznámky k řízení rizik v bankách Vybrané poznámky k řízení rizik v bankách Seminář z aktuárských věd Petr Myška 7.11.2008 Obsah přednášky Oceňování nestandartních instrumentů finančních trhů Aplikace analytických vzorců Simulační techniky

Více

Matematické přístupy k pojištění automobilů. Silvie Kafková. 3. 6. září 2013, Podlesí

Matematické přístupy k pojištění automobilů. Silvie Kafková. 3. 6. září 2013, Podlesí Matematické přístupy k pojištění automobilů Silvie Kafková 3. 6. září 2013, Podlesí Obsah 1 Motivace 2 Tvorba tarifních skupin a priori 3 Motivace Obsah 1 Motivace 2 Tvorba tarifních skupin a priori 3

Více

Markovské metody pro modelování pravděpodobnosti

Markovské metody pro modelování pravděpodobnosti Markovské metody pro modelování pravděpodobnosti rizikových stavů 1 Markovský řetězec Budeme uvažovat náhodný proces s diskrétním časem (náhodnou posloupnost) X(t), t T {0, 1, 2,... } s konečnou množinou

Více

Riziko pojistného na jednoletém horizontu

Riziko pojistného na jednoletém horizontu Riziko pojistného na jednoletém horizontu Interní model rizika pojistného v SII Jiří Thomayer Aktuárský seminář 17.04.2015 Obsah Solvency II Kapitálové požadavky Interní model rizika pojistného Příklad

Více

Gymnázium, Brno, Slovanské nám. 7, SCHEME OF WORK Mathematics SCHEME OF WORK. cz

Gymnázium, Brno, Slovanské nám. 7, SCHEME OF WORK Mathematics SCHEME OF WORK.  cz SCHEME OF WORK Subject: Mathematics Year: first grade, 1.X School year:../ List of topisc # Topics Time period Introduction, repetition September 1. Number sets October 2. Rigtht-angled triangle October,

Více

Next line show use of paragraf symbol. It should be kept with the following number. Jak může státní zástupce věc odložit zmiňuje 159a.

Next line show use of paragraf symbol. It should be kept with the following number. Jak může státní zástupce věc odložit zmiňuje 159a. 1 Bad line breaks The follwing text has prepostions O and k at end of line which is incorrect according to Czech language typography standards: Mezi oblíbené dětské pohádky patří pohádky O Palečkovi, Alenka

Více

Vykazování závazků pojišťoven podle různých přístupů

Vykazování závazků pojišťoven podle různých přístupů Vykazování závazků pojišťoven podle různých přístupů Kamil Žák Seminář z aktuárských věd, MFF UK 9. listopadu 2012 Obsah Tradiční přístup Test předpokladů Test postačitelnosti (LAT) Aktualizace předpokladů

Více

Změna hodnoty pozice v důsledku změn tržních cen.

Změna hodnoty pozice v důsledku změn tržních cen. Tržní riziko Změna hodnoty pozice v důsledku změn tržních cen. Akciové riziko Měnové riziko Komoditní riziko Úrokové riziko Odvozená rizika... riz. volatility, riz. korelace Pozice (saldo hodnoty očekávaných

Více

připravili Filip Trojan, Pavel Macek, p.macek@creditinfosolutions.com 731 126 291

připravili Filip Trojan, Pavel Macek, p.macek@creditinfosolutions.com 731 126 291 Credit Scoring a Creditinfo Predictor principy, výhody, použití připravili Filip Trojan, Pavel Macek, p.macek@creditinfosolutions.com 731 126 291 Co je to scoring CREDIT SCORING je globálně používaná technologie......

Více

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc.

Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika 2010 1.týden (20.09.-24.09. ) Data, typy dat, variabilita, frekvenční analýza

Více

Energy vstupuje na trh veterinárních produktů Energy enters the market of veterinary products

Energy vstupuje na trh veterinárních produktů Energy enters the market of veterinary products Energy news2 1 Energy vstupuje na trh veterinárních produktů Energy enters the market of veterinary products Doposud jste Energy znali jako výrobce a dodavatele humánních přírodních doplňků stravy a kosmetiky.

Více

Národní informační den společných technologických iniciativ ARTEMIS a ENIAC

Národní informační den společných technologických iniciativ ARTEMIS a ENIAC Národní informační den společných technologických iniciativ ARTEMIS a ENIAC 21. března 2011, Praha Pravidla a podmínky účasti v projektech ARTEMIS a ENIAC v ČR Úvod k finančním pravidlům JTIs (ARTEMIS

Více

Pojistná matematika 2 KMA/POM2E

Pojistná matematika 2 KMA/POM2E Pojistná matematika 2 KMA/POM2E RNDr. Ondřej Pavlačka, Ph.D. pracovna 5.052 tel. 585 63 4027 e-mail: ondrej.pavlacka@upol.cz web: http://aix-slx.upol.cz/~pavlacka (informace + podkladové materiály) Konzultační

Více

1, Žáci dostanou 5 klíčových slov a snaží se na jejich základě odhadnout, o čem bude následující cvičení.

1, Žáci dostanou 5 klíčových slov a snaží se na jejich základě odhadnout, o čem bude následující cvičení. Moje hlavní město Londýn řešení: 1, Žáci dostanou 5 klíčových slov a snaží se na jejich základě odhadnout, o čem bude následující cvičení. Klíčová slova: capital, double decker bus, the River Thames, driving

Více

Statistické metody v marketingu. Ing. Michael Rost, Ph.D.

Statistické metody v marketingu. Ing. Michael Rost, Ph.D. Statistické metody v marketingu Ing. Michael Rost, Ph.D. Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Regresní analýza doplnění základů Vzhledem k požadavku Vašich kolegů zařazuji doplňující partii o regresní

Více

Změna hodnoty pozice v důsledku změn tržních cen.

Změna hodnoty pozice v důsledku změn tržních cen. Tržní riziko Změna hodnoty pozice v důsledku změn tržních cen. Akciové riziko Měnové riziko Komoditní riziko Úrokové riziko Odvozená rizika... riz. volatility, riz. korelace Pozice (saldo hodnoty očekávaných

Více

Téma 8. Náklady kapitálu. Kapitálová struktura a její optimalizace

Téma 8. Náklady kapitálu. Kapitálová struktura a její optimalizace Téma 8. Náklady kapitálu. Kapitálová struktura a její optimalizace 1. Náklady kapitálu a jejich kvantifikace 2. Kapitálová struktura podniku 3. Působení finanční páky 4. Optimální kapitálová struktura

Více

V praxi pracujeme s daty nominálními (nabývají pouze dvou hodnot), kategoriálními (nabývají více

V praxi pracujeme s daty nominálními (nabývají pouze dvou hodnot), kategoriálními (nabývají více 9 Vícerozměrná data a jejich zpracování 9.1 Vícerozměrná data a vícerozměrná rozdělení Při zpracování vícerozměrných dat, hledáme souvislosti mezi dvěmi, případně více náhodnými veličinami. V praxi pracujeme

Více

4EK211 Základy ekonometrie

4EK211 Základy ekonometrie 4EK211 Základy ekonometrie Predikce Multikolinearita Cvičení 4 Zuzana Dlouhá Aplikace EM predikce obecně ekonomické prognózování, předpověď, předvídání hlavním cílem je odhad hodnot vysvětlované proměnné

Více

VYSOKÁ ŠKOLA HOTELOVÁ V PRAZE 8, SPOL. S R. O.

VYSOKÁ ŠKOLA HOTELOVÁ V PRAZE 8, SPOL. S R. O. VYSOKÁ ŠKOLA HOTELOVÁ V PRAZE 8, SPOL. S R. O. Návrh konceptu konkurenceschopného hotelu v době ekonomické krize Diplomová práce 2013 Návrh konceptu konkurenceschopného hotelu v době ekonomické krize Diplomová

Více

Binární vyhledávací stromy pokročilé partie

Binární vyhledávací stromy pokročilé partie Binární vyhledávací stromy pokročilé partie KMI/ALS lekce Jan Konečný 30.9.204 Literatura Cormen Thomas H., Introduction to Algorithms, 2nd edition MIT Press, 200. ISBN 0-262-5396-8 6, 3, A Knuth Donald

Více

Tomáš Karel LS 2012/2013

Tomáš Karel LS 2012/2013 Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není

Více

Solvency II: Pilíř 2. Aby se nic špatného nestalo. kpmg.cz

Solvency II: Pilíř 2. Aby se nic špatného nestalo. kpmg.cz Solvency II: Pilíř 2 Aby se nic špatného nestalo kpmg.cz Správně nastavené řízení rizik tvoří jeden ze základních požadavků na fungování pojišťovny v rámci nového regulatorního režimu Solvency II. Co všechno

Více

Pozn. přeskakuji zde popisnou statistiku, jinak by měla být součástí každé analýzy.

Pozn. přeskakuji zde popisnou statistiku, jinak by měla být součástí každé analýzy. Pozn. přeskakuji zde popisnou statistiku, jinak by měla být součástí každé analýzy. Z pastí na daném území byla odhadnuta abundance několika druhů: myšice lesní 250, myšice křovinná 200, hraboš polní 150,

Více

Matematika III 10. týden Číselné charakteristiky střední hodnota, rozptyl, kovariance, korelace

Matematika III 10. týden Číselné charakteristiky střední hodnota, rozptyl, kovariance, korelace Matematika III 10. týden Číselné charakteristiky střední hodnota, rozptyl, kovariance, korelace Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 28. 11 2. 12. 2016 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Střední

Více

Solventnost II v České republice

Solventnost II v České republice Solventnost II v České republice Vladimír Tomšík Viceguvernér, Česká národní banka Výroční shromáždění členů České asociace pojišťoven Praha, 7. dubna 2016 Obsah Vývoj pojistného trhu v roce 2015 Aktuální

Více

AIC ČESKÁ REPUBLIKA CZECH REPUBLIC

AIC ČESKÁ REPUBLIKA CZECH REPUBLIC ČESKÁ REPUBLIKA CZECH REPUBLIC ŘÍZENÍ LETOVÉHO PROVOZU ČR, s.p. Letecká informační služba AIR NAVIGATION SERVICES OF THE C.R. Aeronautical Information Service Navigační 787 252 61 Jeneč A 1/14 20 FEB +420

Více

4EK211 Základy ekonometrie

4EK211 Základy ekonometrie 4EK211 Základy ekonometrie Predikce Multikolinearita Cvičení 4 Zuzana Dlouhá Aplikace EM predikce obecně ekonomické prognózování, předpověď, předvídání hlavním cílem je odhad hodnot vysvětlované proměnné

Více

ODHADY NÁVRATOVÝCH HODNOT PRO

ODHADY NÁVRATOVÝCH HODNOT PRO ODHADY NÁVRATOVÝCH HODNOT PRO SRÁŽKOVÁ A TEPLOTNÍ DATA Katedra aplikované matematiky Fakulta přírodovědně-humanitní a pedagogická Technická univerzita v Liberci Novohradské statistické dny ÚVOD Velká pozornost

Více

8. Posloupnosti, vektory a matice

8. Posloupnosti, vektory a matice . jsou užitečné matematické nástroje. V Mathcadu je často používáme například k rychlému zápisu velkého počtu vztahů s proměnnými parametry, ke zpracování naměřených hodnot, k výpočtům lineárních soustav

Více

APLIKACE METODY MONTE CARLO K SIMULACI KRITICKÉ CESTY (APPLICATION OF THE MONTE CARLO METHOD FOR THE SIMULATION OF A CRITICAL PATH)

APLIKACE METODY MONTE CARLO K SIMULACI KRITICKÉ CESTY (APPLICATION OF THE MONTE CARLO METHOD FOR THE SIMULATION OF A CRITICAL PATH) 21. medzinárodná vedecká konferencia Riešenie krízových situácií v špecifickom prostredí Fakulta bezpečnostného inžinierstva UNIZA, Žilina, 25. - 26. máj 216 APLIKACE METODY MONTE CARLO K SIMULACI KRITICKÉ

Více

Příručka k měsíčním zprávám ING fondů

Příručka k měsíčním zprávám ING fondů Příručka k měsíčním zprávám ING fondů ING Investment Management vydává každý měsíc aktuální zprávu ke každému fondu, která obsahuje základní informace o fondu, jeho aktuální výkonnosti, složení portfolia

Více

Vánoční sety Christmas sets

Vánoční sety Christmas sets Energy news 7 Inovace Innovations 1 Vánoční sety Christmas sets Na jaře tohoto roku jste byli informováni o připravované akci pro předvánoční období sety Pentagramu koncentrátů a Pentagramu krémů ve speciálních

Více

Odborná směrnice č. 3

Odborná směrnice č. 3 Odborná směrnice č. 3 Test postačitelnosti technických rezerv životních pojištění Právní normy: Zákon č. 277/2009 Sb., o pojišťovnictví, ve znění pozdějších předpisů (dále jen zákon o pojišťovnictví )

Více

Angličtina v matematických softwarech 2 Vypracovala: Mgr. Bronislava Kreuzingerová

Angličtina v matematických softwarech 2 Vypracovala: Mgr. Bronislava Kreuzingerová Angličtina v matematických softwarech 2 Vypracovala: Mgr. Bronislava Kreuzingerová Název školy Název a číslo projektu Název modulu Obchodní akademie a Střední odborné učiliště, Veselí nad Moravou Motivace

Více

Příručka k měsíčním zprávám ING fondů

Příručka k měsíčním zprávám ING fondů Příručka k měsíčním zprávám ING fondů ING Investment Management vydává každý měsíc aktuální zprávu ke každému fondu, která obsahuje základní informace o fondu, jeho aktuální výkonnosti, složení portfolia

Více

Postup objednávky Microsoft Action Pack Subscription

Postup objednávky Microsoft Action Pack Subscription Postup objednávky Microsoft Action Pack Subscription DŮLEŽITÉ: Pro objednání MAPS musíte být členem Microsoft Partner Programu na úrovni Registered Member. Postup registrace do Partnerského programu naleznete

Více

TOOLS4F. Test postačitelnosti rezerv v životním pojištění

TOOLS4F. Test postačitelnosti rezerv v životním pojištění Test postačitelnosti rezerv v životním pojištění Martin Janeček Tools4F, s.r.o. Imrich Lozsi in-pact, k.s. Představení Martin Janeček praxe od 1996 (ČSOBP), od 2000 nezávislý konzultant Ph.D. MFF UK 2006

Více

Kvantitativn ı ˇr ızen ı rizik

Kvantitativn ı ˇr ızen ı rizik Kvantitativní řízení rizik 9.10.2015 Core syllabus for actuarial training in Europe - požadavky na vzdělání plných členů asociací sdružených v Actuarial Association of Europe (dříve GC) 12. Quantitative

Více

Škola: Střední škola obchodní, České Budějovice, Husova 9. Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT

Škola: Střední škola obchodní, České Budějovice, Husova 9. Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Škola: Střední škola obchodní, České Budějovice, Husova 9 Projekt MŠMT ČR: EU PENÍZE ŠKOLÁM Číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0536 Název projektu školy: Výuka s ICT na SŠ obchodní České Budějovice Šablona

Více

Úvod do analýzy časových řad

Úvod do analýzy časových řad Přednáška STATISTIKA II - EKONOMETRIE Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Posloupnost náhodných veličin {Y t, t = 0, ±1, ±2... } se nazývá stochastický

Více

Potřebujete mít vaše IS ve shodě s legislativou? Bc. Stanislava Birnerová

Potřebujete mít vaše IS ve shodě s legislativou? Bc. Stanislava Birnerová Potřebujete mít vaše IS ve shodě s legislativou? Bc. Stanislava Birnerová Direct Account Manager sbirnerova@novell.com Komplexnost, Nátlak, Nulová tolerance Nařízení Business Continuity Interní hrozby

Více

B1 MORE THAN THE CITY

B1 MORE THAN THE CITY B1 MORE THAN THE CITY INTRODUCTION ÚVOD B1 Budova B1 je součástí moderního kancelářského projektu CITY WEST a nově budované městské čtvrti Západní město, Praha 5 - Stodůlky. Tato lokalita kromě vynikající

Více

Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49

Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49 Střední průmyslová škola strojnická Olomouc, tř.17. listopadu 49 Výukový materiál zpracovaný v rámci projektu Výuka moderně Registrační číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0205 Šablona: III/2 Anglický jazyk

Více

Kids Fun Day Summer on the farm

Kids Fun Day Summer on the farm Kids Fun Day Summer on the farm IIK Grand Prix 2013 May 2013 For Grand Prix only Propagační materiály článek v interním ITS Bulletinu Dear Parents and Colleagues, The ITS Kids Fun Day is just around the

Více

Mít, nebo nemít e-shop? Pavel Špryňar, Josef Dvořák

Mít, nebo nemít e-shop? Pavel Špryňar, Josef Dvořák Mít, nebo nemít e-shop? Pavel Špryňar, Josef Dvořák Trendy v online prodeji 67% Webrooming Populace dnes používá smartphone nebo tablet Showrooming 69 % 50% Letos historicky poprvé smartphony přestihly

Více

ehealth a bezpečnost dat

ehealth a bezpečnost dat ehealth Day 2015 22. ŘÍJNA 2015 Brno Aleš Špidla Manažer řízení rizik - PwC Prezident Českého institutu manažerů informační bezpečnosti Agenda: Zákon o kybernetické bezpečnosti, ale nejen on Elektronizace

Více

Bodové a intervalové odhady parametrů v regresním modelu

Bodové a intervalové odhady parametrů v regresním modelu Bodové a intervalové odhady parametrů v regresním modelu 1 Odhady parametrů 11 Bodové odhady Mějme lineární regresní model (LRM) kde Y = y 1 y 2 y n, e = e 1 e 2 e n Y = Xβ + e, x 11 x 1k, X =, β = x n1

Více

Téma 2: Časová hodnota peněz a riziko. 2. Riziko ve finančním rozhodování. 1. Časová hodnota peněz ve finančním rozhodování podniku

Téma 2: Časová hodnota peněz a riziko. 2. Riziko ve finančním rozhodování. 1. Časová hodnota peněz ve finančním rozhodování podniku Téma 2: Časová hodnota peněz a riziko ve finančním rozhodování 1. Časová hodnota peněz ve finančním rozhodování podniku 2. Riziko ve finančním rozhodování - rizika systematická a nesystematická - podnikatelské

Více

Fytomineral. Inovace Innovations. Energy News 04/2008

Fytomineral. Inovace Innovations. Energy News 04/2008 Energy News 4 Inovace Innovations 1 Fytomineral Tímto Vám sdělujeme, že již byly vybrány a objednány nové lahve a uzávěry na produkt Fytomineral, které by měly předejít únikům tekutiny při přepravě. První

Více

Neživotní pojistné riziko v Solventnosti II - parametry specifické pro pojišťovnu

Neživotní pojistné riziko v Solventnosti II - parametry specifické pro pojišťovnu Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Barbora Šimková Neživotní pojistné riziko v Solventnosti II - parametry specifické pro pojišťovnu Katedra pravděpodobnosti a matematické

Více

7 Regresní modely v analýze přežití

7 Regresní modely v analýze přežití 7 Regresní modely v analýze přežití Předpokládané výstupy z výuky: 1. Student rozumí významu regresního modelování dat o přežití 2. Student dokáže definovat pojmy poměr rizik a základní riziková funkce

Více