Riziko rezerv v neživotním pojištění Srovnání několika metod výpočtu na základě škodních trojúhelníků
|
|
- Iveta Bartošová
- před 8 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Riziko rezerv v neživotním pojištění Srovnání několika metod výpočtu na základě škodních trojúhelníků Tomáš Petr Actuarial & Insurance Solutions, Deloitte. Seminář z aktuárských věd 30. března 2012 Audit.Tax.Consulting.Financial Advisory.
2 SII Projekce C-L Mack M-W ODP Bootstrap SII rizika Úvod Cílem přednášky je s využitím příkladů srovnat několik metod výpočtu na základě škodních trojúhelníků, použitelných v rámci standardní formule, USP či částečného interního modelu. To znamená: shrnout, co pokrývá riziko technických rezerv v neživotním pojištění podle Solventnosti II připomenout některé metody výpočtu škodních rezerv založených na škodních trojúhelnících na příkladu porovnat možnosti jejich použití pro riziko rezerv podle Solventnosti II 2 Riziko rezerv v neživotním pojištění
3 SII Projekce C-L Mack M-W ODP Bootstrap SII rizika Obsah Solventnost II Projekce škod Metoda Chain-Ladder Mackova metoda chain-ladder Metoda Merz-Wüthrich Overdispersed Poisson Bootstrap Zpět k výpočtu rizik pro Solventnost II 3 Riziko rezerv v neživotním pojištění
4 Solventnost II
5 Solventnost II SII Projekce C-L Mack M-W ODP Bootstrap SII rizika Solventnost II zavádí novou Evropskou regulaci pojišt oven I. pilíř Kvantitativní požadavky Ocenění aktiv a závazků Kapitálový požadavek II. pilíř Kvalitativní požadavky Řízení rizik ORSA III. pilíř Zveřejňování Veřejné vykazování Vykazování dohledu Direktiva Solventnost II schválená v listopadu 2009 Implementační detaily: technická specifikace QIS5, návrh implementačních opatření druhé a třetí úrovně 5 Riziko rezerv v neživotním pojištění
6 Annex to Group Guidance Supervisory Approval Implementation Procedures Capital (K. Marx) Contractual Conditions Analysis Comments to discussion paper Solvency II directive Kapitál v SII SII Projekce C-L Mack M-W ODP Bootstrap SII rizika Solvency II for beginners Classification of risks Independent Results Analysis RECONCILIATION Audit Report Map of Requirements Important: Read ASAP Risk Capacities Catastrophe Modelling Appendix to Implementation Procedures Risk Margin Economic Scenario Generator Požadavek na kapitál: Important! Annex Group Implementation Guidance Ammedment XVIII Implementation plan, version 9bis ORSA Risk mitigation plan Internal Audit Report Documentation Expert Judgement Disclaimer Expert oppinion Management Report INTERNAL MODEL: DOCUMENTATION EIOPA Level 2: Draft Implementing Measures Undertaking Specific Parameters Expert Opinion IMPLEMENTATION GUIDANCE QIS 5 Technical Specification Appendix QIS4: Results and Messages European Commission Call for advice CEIOPS Other Provisions Risk Apetite Assessment Reporting requirements Management Approval Management Summary Commentary on Results UNDERTAKING SPECIFIC PARAMETERS Draft Supervisory Report Implementation Process Map Oppinion of the Committee Solvency II vs. IFRS 4 draft requirements Gap Analysis Amended Proposal Discussion paper Best Estimate Draft consultation paper Consultation paper on illiquidity premium kde VaR 99.5% (A(t + 1) L(t + 1)) > 0 (A(t) L(t)) > SCR A(t), L(t) je nejlepší odhad (BE) hodnoty aktiv a závazků nyní A(t + 1), A(t + 1) je BE hodnota aktiv a závazků po roce SCR = (A(t) L(t)) VaR 99.5% (A(t + 1) L(t + 1)) Praktický výpočet SCR: jednotlivé skupiny rizik jsou obvykle nejprve počítány odděleně, až nakonec se přidá vliv vzájemných korelací. European Councel draft documents 6 Riziko rezerv v neživotním pojištění
7 Kapitálový požadavek SII Projekce C-L Mack M-W ODP Bootstrap SII rizika Teoreticky odpovídá výši kapitálu tak, aby kapitál po 1 roce neklesl pod 0 s 99,5% pravděpodobností SCR BSCR Operační riziko Tržní riziko Neživotní upis. riziko Zdravotní upis. riziko Životní upis. riziko Riziko selhání protistr. Kurzové r. R. pojistného R. podobná živ. poj. R. úmrtnosti R. dlouhověkosti Krach investic Úrokové r. R. rezerv R. podobná neživ. poj. R. invalidity Krach zajistitele Nemovitostní r. R. storen R. epidemií a katastrof R. nákladů Kreditní r. Katastrofické r. R. revize R. koncentrace = Snižování rizik budoucími nezaručenými podíly na zisku R. storen Katastrofické r. 7 Riziko rezerv v neživotním pojištění
8 SII Projekce C-L Mack M-W ODP Bootstrap SII rizika Neživotní riziko rezerv a pojistného Výpočet rezerv podle SII = nejlepší odhad ( BE ), očekávaná diskontovaná hodnota bud. peněžních toků + riziková přirážka, spočítaná jako náklad na kapitál ( CoC ) na celku a pak (vč. vlivu diversifikace) rozpočítána zpět na odvětví Riziko pojistného = riziko, že BE rezerva poj. na zač. roku + pojistné během roku + úroky < škody a náklady nastalé během roku + rezerva poj. na konci roku (vliv chyby odhadu nebo rozptylu daného procesu) Riziko rezerv = riziko, že po 1 roce BE škodní rezerva se ukáže jako špatně odhadnutá (chyba odhadu) skutečné škody se odchýlí od očekávané střední hodnoty (procesní chyba) 8 Riziko rezerv v neživotním pojištění
9 Projekce škod
10 SII Projekce C-L Mack M-W ODP Bootstrap SII rizika Přístupy k projekci škod: Přístupy k projekci škod v neživotním pojištění obvykle spadají do jedné z následujících skupin: Výpočet ze škodních trojúhelníků Data = souhrn škod po škodních a vývojových letech Odhaduje se celkový objem škod a zpoždění jejich vývoje Vhodné zejména pro dostatečně rozsáhlá a homogenní portfolia Individuální projekce Data = individuální škody Odhaduje se počet škod, velikost jednotlivé škody, zpoždění hlášení, rezervování, (postupného) vyplácení Umožňuje detailnější modelování (velké/katastrofické škody s jinými vlastnostmi než malé, aplikace XL zajištění,... ) Náročné na odhady parametrů (dostatek dat) a výpočet (místo např. 100 buněk trojúhelníka může jít i o miliony škod) 10 Riziko rezerv v neživotním pojištění
11 SII Projekce C-L Mack M-W ODP Bootstrap SII rizika Přístupy k projekci škod: Přístupy k projekci škod v neživotním pojištění obvykle spadají do jedné z následujících skupin: Výpočet ze škodních trojúhelníků Data = souhrn škod po škodních a vývojových letech Odhaduje se celkový objem škod a zpoždění jejich vývoje Vhodné zejména pro dostatečně rozsáhlá a homogenní portfolia Individuální projekce Data = individuální škody Odhaduje se počet škod, velikost jednotlivé škody, zpoždění hlášení, rezervování, (postupného) vyplácení Umožňuje detailnější modelování (velké/katastrofické škody s jinými vlastnostmi než malé, aplikace XL zajištění,... ) Náročné na odhady parametrů (dostatek dat) a výpočet (místo např. 100 buněk trojúhelníka může jít i o miliony škod) 10 Riziko rezerv v neživotním pojištění
12 SII Projekce C-L Mack M-W ODP Bootstrap SII rizika Přístupy k projekci škod: Přístupy k projekci škod v neživotním pojištění obvykle spadají do jedné z následujících skupin: Výpočet ze škodních trojúhelníků Data = souhrn škod po škodních a vývojových letech Odhaduje se celkový objem škod a zpoždění jejich vývoje Vhodné zejména pro dostatečně rozsáhlá a homogenní portfolia Individuální projekce Data = individuální škody Odhaduje se počet škod, velikost jednotlivé škody, zpoždění hlášení, rezervování, (postupného) vyplácení Umožňuje detailnější modelování (velké/katastrofické škody s jinými vlastnostmi než malé, aplikace XL zajištění,... ) Náročné na odhady parametrů (dostatek dat) a výpočet (místo např. 100 buněk trojúhelníka může jít i o miliony škod) 10 Riziko rezerv v neživotním pojištění
13 Metoda Chain-Ladder
14 SII Projekce C-L Mack M-W ODP Bootstrap SII rizika Předpoklady tradiční metody chain-ladder Mějme kumulativní škodní trojúhelník {C ij }. 1 2 n 1 C 11 C 12 C 1n 2 C 21 C 22. n C n1 f 1 f n 1. Předpokládáme následující vztahy: C i,j f j C i,j 1, tzn. nárůst v každém vývojovém roce 1 j je podobný ve všech řádcích a osciluje kolem hodnoty dané vývojovým faktorem f j. 1 V prezentaci říkáme vývojový,rok, ale může jít o libovolnou jinou periodu 12 Riziko rezerv v neživotním pojištění
15 Shrnutí SII Projekce C-L Mack M-W ODP Bootstrap SII rizika Vývojové faktory se odhadnou pomocí ˆfj = n k+1 i=1 / n k+1 C i,j i=1 C i,j 1 Chain-ladder je notoricky známá metoda, ostatní metody se proti ní obvykle porovnávají. Použití kumulativních dat vyžaduje znát celou historii každého škodního roku (tzn. problematické, pokud chybí horní levý roh trojúhelníka). Alternativa: např. aditivní metoda ILR Metoda je citlivá na data v rozích trojúhelníka (dolní levý určuje rezervu pro poslední škodní rok, horní pravý určuje chování na konci/tailu). Alternativa: např. Bornhuetter-Ferguson, Mackova B.-F. Tradiční chain-ladder neposkytuje odhad rozptylu nebo chyby odhadu. Alternativa: např. Mack C-L, Mack ILR, GLM metody - např. ODP 13 Riziko rezerv v neživotním pojištění
16 Shrnutí SII Projekce C-L Mack M-W ODP Bootstrap SII rizika Vývojové faktory se odhadnou pomocí ˆfj = n k+1 i=1 / n k+1 C i,j i=1 C i,j 1 Chain-ladder je notoricky známá metoda, ostatní metody se proti ní obvykle porovnávají. Použití kumulativních dat vyžaduje znát celou historii každého škodního roku (tzn. problematické, pokud chybí horní levý roh trojúhelníka). Alternativa: např. aditivní metoda ILR Metoda je citlivá na data v rozích trojúhelníka (dolní levý určuje rezervu pro poslední škodní rok, horní pravý určuje chování na konci/tailu). Alternativa: např. Bornhuetter-Ferguson, Mackova B.-F. Tradiční chain-ladder neposkytuje odhad rozptylu nebo chyby odhadu. Alternativa: např. Mack C-L, Mack ILR, GLM metody - např. ODP 13 Riziko rezerv v neživotním pojištění
17 Shrnutí SII Projekce C-L Mack M-W ODP Bootstrap SII rizika Vývojové faktory se odhadnou pomocí ˆfj = n k+1 i=1 / n k+1 C i,j i=1 C i,j 1 Chain-ladder je notoricky známá metoda, ostatní metody se proti ní obvykle porovnávají. Použití kumulativních dat vyžaduje znát celou historii každého škodního roku (tzn. problematické, pokud chybí horní levý roh trojúhelníka). Alternativa: např. aditivní metoda ILR Metoda je citlivá na data v rozích trojúhelníka (dolní levý určuje rezervu pro poslední škodní rok, horní pravý určuje chování na konci/tailu). Alternativa: např. Bornhuetter-Ferguson, Mackova B.-F. Tradiční chain-ladder neposkytuje odhad rozptylu nebo chyby odhadu. Alternativa: např. Mack C-L, Mack ILR, GLM metody - např. ODP 13 Riziko rezerv v neživotním pojištění
18 Shrnutí SII Projekce C-L Mack M-W ODP Bootstrap SII rizika Vývojové faktory se odhadnou pomocí ˆfj = n k+1 i=1 / n k+1 C i,j i=1 C i,j 1 Chain-ladder je notoricky známá metoda, ostatní metody se proti ní obvykle porovnávají. Použití kumulativních dat vyžaduje znát celou historii každého škodního roku (tzn. problematické, pokud chybí horní levý roh trojúhelníka). Alternativa: např. aditivní metoda ILR Metoda je citlivá na data v rozích trojúhelníka (dolní levý určuje rezervu pro poslední škodní rok, horní pravý určuje chování na konci/tailu). Alternativa: např. Bornhuetter-Ferguson, Mackova B.-F. Tradiční chain-ladder neposkytuje odhad rozptylu nebo chyby odhadu. Alternativa: např. Mack C-L, Mack ILR, GLM metody - např. ODP 13 Riziko rezerv v neživotním pojištění
19 Shrnutí SII Projekce C-L Mack M-W ODP Bootstrap SII rizika Vývojové faktory se odhadnou pomocí ˆfj = n k+1 i=1 / n k+1 C i,j i=1 C i,j 1 Chain-ladder je notoricky známá metoda, ostatní metody se proti ní obvykle porovnávají. Použití kumulativních dat vyžaduje znát celou historii každého škodního roku (tzn. problematické, pokud chybí horní levý roh trojúhelníka). Alternativa: např. aditivní metoda ILR Metoda je citlivá na data v rozích trojúhelníka (dolní levý určuje rezervu pro poslední škodní rok, horní pravý určuje chování na konci/tailu). Alternativa: např. Bornhuetter-Ferguson, Mackova B.-F. Tradiční chain-ladder neposkytuje odhad rozptylu nebo chyby odhadu. Alternativa: např. Mack C-L, Mack ILR, GLM metody - např. ODP 13 Riziko rezerv v neživotním pojištění
20 Mackova metoda chain-ladder
21 SII Projekce C-L Mack M-W ODP Bootstrap SII rizika Předpoklady Mackovy metody Chain-ladder předpoklady lze přirozeně rozšířit o chování rozptylu a formalizovat následovně: Mackův chain-ladder model 1. Vývojové faktory: 2. Nezávislost řádků: E (C i,j C i1,..., C ij ) = C i,j 1 f j ; { Ci1,..., C in } { Cj1,..., C jn } ; 3. Rozptyl: Var (C i,j C i1,..., C ij ) = C i,j 1 σ 2 j. 15 Riziko rezerv v neživotním pojištění
22 SII Projekce C-L Mack M-W ODP Bootstrap SII rizika Mackova metoda: odhad faktorů Dáme-li každému pozorování C i,j /C i,j 1 a-priori váhu w ij (např. s nižší vahou pro vychýlená pozorování), můžeme odhadnout: Vývojové faktory Faktory rozptylu ˆfj = n j+1 i=1 / n j+1 w ij C ij i=1 w ij C i,j 1 ˆσ 2 j = 1 n j+1 w ij (C ij d.f. C ˆf j C i,j 1 ) 2 i=1 i,j 1 kde d.f. je počet stupňů volnosti (n j jsou-li všechna w ij = 1) Rozptyl vývojových faktorů n j+1 Var(ˆf j ) = ˆσ 2 j i=1 w 2 ij C i,j 1 / n j+1 i=1 w ij C i,j 1 Opět lze uvažovat o intra/extrapolaci odhadů zejm. na konci. 16 Riziko rezerv v neživotním pojištění 2 Detaily
23 Kontrola odhadů SII Projekce C-L Mack M-W ODP Bootstrap SII rizika Chceme-li použít metodu chain-ladder, vývoj C ij /C i,j 1 v každém roce i by měl být,rozumně blízko f j. Když ted máme odhad rozptylu, můžeme se podívat na residua r ij = ( ) Cij C ˆf / ˆσ j j ij 1 Ci,j 1 a zkontrolovat, jestli jejich rozdělení odpovídá rozdělení se střední hodnotou 0 a rozptylem 1. Mimo to můžeme residua později použít při bootstrapu: pro jednoduchost můžeme předpokládat, že rozdělení residuí je stejné ve všech škodních a vývojových letech projekce residuí při bootstrapu založíme na výběru z pozorovaných residuích (simulace z empirického rozdělení), nebo na výběru z jejich předpokládaného rozdělení 17 Riziko rezerv v neživotním pojištění
24 Odhad rezerv SII Projekce C-L Mack M-W ODP Bootstrap SII rizika Odhad střední hodnoty rezervy (BE) je stejný, jako při tradiční metodě chain-ladder: Konečná hodnota v roce i se odhadne roznásobením diagonály a vývojových faktorů představujících budoucí roky, Û i = Ĉi = C i,n i+1 j=n i+2 ˆfj Rezerva pokrývá projektovaný budoucí vývoj, ˆR i = Ûi C i,n i+1 18 Riziko rezerv v neživotním pojištění
25 Rozptyl rezerv SII Projekce C-L Mack M-W ODP Bootstrap SII rizika Za použití označení = {C ij, i n, j n i + 1} můžeme vyjádřit odchylku výplat od odhadnuté rezervy v každém škodním roce: E ( ( ˆR i R i ) 2 ) = Var(C i ) } {{ } + Var(Ĉi ) } {{ } rozptyl procesu + rozptyl odhadu 2 kde obě části můžeme odhadnout rekurzivně pomocí Rozptyl procesu (tzn. rozptyl náhodné veličiny C ij ): Var(C ij ) = Var(C i,j 1 )ˆf 2 j + Ĉi,j 1 ˆσ 2 j, Var(Ci,n i+1 ) = 0 Rozptyl odhadu (tzn. nakolik se odhadnutý průměr liší od teoretické střední hodnoty): Var(Ĉij ) = Var(Ĉi,j 1 )ˆf 2 j + Ĉ2 i,j 1 Var(ˆf j ), Var( Ĉ i,n i+1 ) = 0 2 Přesněji, při použití tohoto odhadu bychom měli psát Var( Ĉ ij {C ij, i + j < n, j i}) místo Var(Ĉij ) - viz detaily. Detaily 19 Riziko rezerv v neživotním pojištění
26 SII Projekce C-L Mack M-W ODP Bootstrap SII rizika Rozptyl celkové rezervy Rozptyl celé rezervy ˆR = n i=1 ˆR i lze odhadnout pomocí Rozptyl procesu: díky nezávislosti řádků je Var(R ) = n Var(R i ) Rozptyl odhadu: jednotlivé odhady ˆR i nejsou nezávislé, nebot jsou spočítané ze stejných pozorování, takže je třeba dopočítat rekurzivně Var( ˆR ) = Var(Ĉ>, ) kde n n Ĉ >,j = Ĉ i,j, Ĉ,j 1 = i=n+2 j i=1 i=n+2 j Ĉ i,j 1 Var(Ĉ>,j ) = Var(Ĉ>,j 1 )ˆf 2 k + Ĉ2,j 1 Var(ˆf j ) Pozn.: podobně lze uvažovat i o kovariancích rezerv různých odvětví viz např. [Merz & Wüthrich 2008] 20 Riziko rezerv v neživotním pojištění
27 SII Projekce C-L Mack M-W ODP Bootstrap SII rizika Projekce Z uvedených odhadů můžeme získat chybu danou rozptylem procesu, chybu odhadu a celkovou chybu předpovědi proc.e.(r) = Var(R ), estim.e.(r) = Var( ˆR ) pred.e.(r) = Var(R ) + Var( ˆR ) a použít je ke konstrukci intervalu spolehlivosti - s pravděpodobností α můžeme říct, že R E(R ) ± q α proc.e.(r) E(R ) ˆR ± q α estim.e.(r) R ˆR ± q α pred.e.(r) kde q α je kvantil vhodného rozdělení (pro jednoduchost se často používá normální rozdělení). 21 Riziko rezerv v neživotním pojištění
28 SII Projekce C-L Mack M-W ODP Bootstrap SII rizika Shrnutí Mackova metoda je přirozené rozšíření metody chain-ladder. To znamená, že dává stejný odhad střední hodnoty, ale také že má podobné vlastnosti (např. citlivost na data v rozích trojúhelníka). K odvození odhadu rozptylu není použit žádný předpoklad rozdělení; lze ale ukázat, že výsledky jsou stejné, jako při použití předpokladu normálního rozdělení. Jiné metody mohou být vhodnější, je-li třeba modelovat těžší chvosty (fat-tail). Alternativa: např. GLM metody s vhodným předpokládaným rozdělením Uvedené odhady udávají celkový rozptyl rezervy po skončení vývoje, ne po 1 roce jak požaduje SII. Alternativa: Merz-Wüthrich 22 Riziko rezerv v neživotním pojištění
29 SII Projekce C-L Mack M-W ODP Bootstrap SII rizika Shrnutí Mackova metoda je přirozené rozšíření metody chain-ladder. To znamená, že dává stejný odhad střední hodnoty, ale také že má podobné vlastnosti (např. citlivost na data v rozích trojúhelníka). K odvození odhadu rozptylu není použit žádný předpoklad rozdělení; lze ale ukázat, že výsledky jsou stejné, jako při použití předpokladu normálního rozdělení. Jiné metody mohou být vhodnější, je-li třeba modelovat těžší chvosty (fat-tail). Alternativa: např. GLM metody s vhodným předpokládaným rozdělením Uvedené odhady udávají celkový rozptyl rezervy po skončení vývoje, ne po 1 roce jak požaduje SII. Alternativa: Merz-Wüthrich 22 Riziko rezerv v neživotním pojištění
30 SII Projekce C-L Mack M-W ODP Bootstrap SII rizika Shrnutí Mackova metoda je přirozené rozšíření metody chain-ladder. To znamená, že dává stejný odhad střední hodnoty, ale také že má podobné vlastnosti (např. citlivost na data v rozích trojúhelníka). K odvození odhadu rozptylu není použit žádný předpoklad rozdělení; lze ale ukázat, že výsledky jsou stejné, jako při použití předpokladu normálního rozdělení. Jiné metody mohou být vhodnější, je-li třeba modelovat těžší chvosty (fat-tail). Alternativa: např. GLM metody s vhodným předpokládaným rozdělením Uvedené odhady udávají celkový rozptyl rezervy po skončení vývoje, ne po 1 roce jak požaduje SII. Alternativa: Merz-Wüthrich 22 Riziko rezerv v neživotním pojištění
31 SII Projekce C-L Mack M-W ODP Bootstrap SII rizika Shrnutí Mackova metoda je přirozené rozšíření metody chain-ladder. To znamená, že dává stejný odhad střední hodnoty, ale také že má podobné vlastnosti (např. citlivost na data v rozích trojúhelníka). K odvození odhadu rozptylu není použit žádný předpoklad rozdělení; lze ale ukázat, že výsledky jsou stejné, jako při použití předpokladu normálního rozdělení. Jiné metody mohou být vhodnější, je-li třeba modelovat těžší chvosty (fat-tail). Alternativa: např. GLM metody s vhodným předpokládaným rozdělením Uvedené odhady udávají celkový rozptyl rezervy po skončení vývoje, ne po 1 roce jak požaduje SII. Alternativa: Merz-Wüthrich 22 Riziko rezerv v neživotním pojištění
32 Metoda Merz-Wüthrich
33 Roční run-off SII Projekce C-L Mack M-W ODP Bootstrap SII rizika Mackova metoda dovoluje spočítat odchylku rezervy a konečné výše škod pro Solventnost II ale potřebujeme rozptyl run-offu pouze po 1 roce. ˆR t+1 i Označíme-li, Ĉt+1 odhady rezervy a výplat ij příští rok a Y i,n i+2 = C i,n i+2 C i,n i+1 skutečné výplaty příští rok, pak run-off po 1 roce je Roff i = ˆR i (Y i,n i+2 + t+1 ˆR ) = i Ĉi Ĉt+1 i. Zatímco střední hodnota run-offu (pohledem nyní) je zřejmě 0, rozptyl se musí dopočítat o něco složitěji než u Mackovy metody. Kontrola: tento roztpyl ročního run-offu by měl být vždy menší, než Mackův rozptyl úplného run-offu. 24 Riziko rezerv v neživotním pojištění
34 Rozptyl run-offu SII Projekce C-L Mack M-W ODP Bootstrap SII rizika V ideálním případě by platilo Ĉi = E(C i ) a pak by rozptyl byl: kde značíme: Var ( E(C i ) E(C i t+1 ) ) = (E(Ci )) 2 Ψ i. Φ i = ˆσ2 n i+2 /ˆf 2 n i+2 i 1 k=1 C k,n i+1 Ψ i = σ2 n i+2 /f 2 n i+2 + C i,n i+1 j=n i+2 C n j+1,j n j+1 k=1 C k,j Ve skutečnosti ale musíme počítat i s chybou odhadu: Var(Roff i ) = ( Ĉ i ) 2 (Ψi + Φ i ) ˆσ 2 j+1 /ˆf 2 j+1 n j k=1 C k,j Celkový rozptyl je pak n n Var Roff i = Var(Roff i ) + 2 Ĉ i Ĉ k Φ i i=1 i=1 i<k Detaily 25 Riziko rezerv v neživotním pojištění
35 Overdispersed Poisson
36 Předpoklady SII Projekce C-L Mack M-W ODP Bootstrap SII rizika Jako obvykle začneme nekumulativním škodním trojúhelníkem {Y ij }. 1 2 n 1 Y 11 Y 12 Y 1n 2 Y 21 Y 22. n. Y n1 Škody popisuje tzv. over-dispersed Poisson model ( ODP ): E Y ij = µ ij = e η ij, Var(Y ij ) = φ µ ij, η ij = m + r i + c j = konst. + vliv řádku + vliv sloupce. Y ij a Y kl jsou nezávislé pro i k j l. 27 Riziko rezerv v neživotním pojištění
37 SII Projekce C-L Mack M-W ODP Bootstrap SII rizika Parametry V maticové formě budeme psát η = Xβ, kde β = (m, r 1,..., c n ) a X je matice, která má nuly a jedničky na správných místech. Položíme r 1 = c 1 = 0. (Jinak by model byl přeparametrizovaný X by neměla plnou hodnost.) Parametry chceme odhadnout metodou maximální věrohodnosti potřebujeme vyřešit: 0 = dl dβ k = ij 1 φw z (ij) (Y ij µ ij ) dη ij dµ ij x ij,k, kde W z (ij) = 1 w ij µ ij ( dηij dµ ij ) 2 a wij jsou a-priori váhy dané jednotlivým pozorováním výchozí hodnota vah je 1. Detaily Tento vzorec vypadá obdobně jako věrohodnostní funkce lineární regrese toho můžeme využít a aplikovat mechanismy a postupy známé z lineární regrese. 28 Riziko rezerv v neživotním pojištění
38 SII Projekce C-L Mack M-W ODP Bootstrap SII rizika Parametry V maticové formě budeme psát η = Xβ, kde β = (m, r 1,..., c n ) a X je matice, která má nuly a jedničky na správných místech. Položíme r 1 = c 1 = 0. (Jinak by model byl přeparametrizovaný X by neměla plnou hodnost.) Parametry chceme odhadnout metodou maximální věrohodnosti potřebujeme vyřešit: 0 = dl dβ k = ij 1 φw z (ij) (Y ij µ ij ) dη ij dµ ij x ij,k, kde W z (ij) = 1 w ij µ ij ( dηij dµ ij ) 2 a wij jsou a-priori váhy dané jednotlivým pozorováním výchozí hodnota vah je 1. Detaily Tento vzorec vypadá obdobně jako věrohodnostní funkce lineární regrese toho můžeme využít a aplikovat mechanismy a postupy známé z lineární regrese. 28 Riziko rezerv v neživotním pojištění
39 SII Projekce C-L Mack M-W ODP Bootstrap SII rizika Parametry V maticové formě budeme psát η = Xβ, kde β = (m, r 1,..., c n ) a X je matice, která má nuly a jedničky na správných místech. Položíme r 1 = c 1 = 0. (Jinak by model byl přeparametrizovaný X by neměla plnou hodnost.) Parametry chceme odhadnout metodou maximální věrohodnosti potřebujeme vyřešit: 0 = dl dβ k = ij 1 φw z (ij) (Y ij µ ij ) dη ij dµ ij x ij,k, kde W z (ij) = 1 w ij µ ij ( dηij dµ ij ) 2 a wij jsou a-priori váhy dané jednotlivým pozorováním výchozí hodnota vah je 1. Detaily Tento vzorec vypadá obdobně jako věrohodnostní funkce lineární regrese toho můžeme využít a aplikovat mechanismy a postupy známé z lineární regrese. 28 Riziko rezerv v neživotním pojištění
40 Numerické řešení SII Projekce C-L Mack M-W ODP Bootstrap SII rizika Označme z = η + (Y µ) dη dµ. Pokud bychom měli pevné µ, mohli bychom lineární regresí odhadnout η = Xβ na základě pozorování z. V našem případě je ale µ funkcí η, takže musíme tento postup použít iterativně. Y ˆη k, ˆµ k z k z k X ˆβ k+1 ˆµ k+1 = µ(ˆβ k+1 ) Pokud tato procedura konverguje, pak řešení ˆβ je také řešením našeho původního GLM problému (maximalizace věrohodnosti na minulé straně). Detaily 29 Riziko rezerv v neživotním pojištění
41 SII Projekce C-L Mack M-W ODP Bootstrap SII rizika Predikce Necht F je matice popisující budoucí závislosti (podobně jako X ty minulé) a Y F = {Y ij, i + j > n + 1} jsou budoucí buňky trojúhelníka. Pak můžeme odhadnout Ŷ F = e F ˆβ. Parametr rozptylu φ můžeme odhadnout pomocí (Y ij µ ij ) ˆφ 2 = /(n p) φ χ 2 n p. µ ij ij p je počet parametrů (délka vektoru β) a tento odhad má asymptoticky výše uvedené χ 2 rozdělení. 30 Riziko rezerv v neživotním pojištění
42 SII Projekce C-L Mack M-W ODP Bootstrap SII rizika Predikce Necht F je matice popisující budoucí závislosti (podobně jako X ty minulé) a Y F = {Y ij, i + j > n + 1} jsou budoucí buňky trojúhelníka. Pak můžeme odhadnout Ŷ F = e F ˆβ. Parametr rozptylu φ můžeme odhadnout pomocí (Y ij µ ij ) ˆφ 2 = /(n p) φ χ 2 n p. µ ij ij p je počet parametrů (délka vektoru β) a tento odhad má asymptoticky výše uvedené χ 2 rozdělení. 30 Riziko rezerv v neživotním pojištění
43 Odhad odchylek SII Projekce C-L Mack M-W ODP Bootstrap SII rizika Protože rezerva je R i = n j=n i+2 Y ij, dostáváme E(R i ˆR n i ) 2 = E Y ij Ŷij j=n i+2 Odchylku skutečných budoucích škod od jejich odhadu lze opět rozdělit na dvě části 2. E(Y ij Ŷij) 2 = Var(Y ij ) } {{ } Tyto části můžeme odhadnout pomocí + Var(Ŷij) } {{ } rozptyl procesu + rozptyl odhadu Var(Y F ) = ˆφ ˆµ, kde M = diag(ˆµ). Var( Ŷ F ) = ˆφ M F (X T W 1 z X) 1 F T M, Detaily 31 Riziko rezerv v neživotním pojištění
44 SII Projekce C-L Mack M-W ODP Bootstrap SII rizika Shrnutí Tento konkrétní ODP model dává stejný odhad rezervy (střední hodnoty škod) jako chain-ladder. f n = ec e c n 1 + e c n e c e c n 1 Navíc dostáváme odhad rozptylu. Oproti Mackovu modelu dostáváme jiné rozdělení škod. Mackův model je odvozen bez použití předpokladu o rozdělení; dá se ale ukázat, že stejné výsledky jako v Mackově modelu bychom dostali při užití metody maximální věrohodnosti a normálního rozdělení. Oproti tomu tento ODP model používá (možná realističtější?) rozdělení odvozené z Poissonova rozdělení (dovoluje modelovat o něco těžší chvosty). Odvození ODP vyžaduje, aby součet škod ve všech sloupcích inkrementálního trojúhelníka byl nezáporný. 32 Riziko rezerv v neživotním pojištění
45 SII Projekce C-L Mack M-W ODP Bootstrap SII rizika Shrnutí Tento konkrétní ODP model dává stejný odhad rezervy (střední hodnoty škod) jako chain-ladder. f n = ec e c n 1 + e c n e c e c n 1 Navíc dostáváme odhad rozptylu. Oproti Mackovu modelu dostáváme jiné rozdělení škod. Mackův model je odvozen bez použití předpokladu o rozdělení; dá se ale ukázat, že stejné výsledky jako v Mackově modelu bychom dostali při užití metody maximální věrohodnosti a normálního rozdělení. Oproti tomu tento ODP model používá (možná realističtější?) rozdělení odvozené z Poissonova rozdělení (dovoluje modelovat o něco těžší chvosty). Odvození ODP vyžaduje, aby součet škod ve všech sloupcích inkrementálního trojúhelníka byl nezáporný. 32 Riziko rezerv v neživotním pojištění
46 SII Projekce C-L Mack M-W ODP Bootstrap SII rizika Shrnutí Tento konkrétní ODP model dává stejný odhad rezervy (střední hodnoty škod) jako chain-ladder. f n = ec e c n 1 + e c n e c e c n 1 Navíc dostáváme odhad rozptylu. Oproti Mackovu modelu dostáváme jiné rozdělení škod. Mackův model je odvozen bez použití předpokladu o rozdělení; dá se ale ukázat, že stejné výsledky jako v Mackově modelu bychom dostali při užití metody maximální věrohodnosti a normálního rozdělení. Oproti tomu tento ODP model používá (možná realističtější?) rozdělení odvozené z Poissonova rozdělení (dovoluje modelovat o něco těžší chvosty). Odvození ODP vyžaduje, aby součet škod ve všech sloupcích inkrementálního trojúhelníka byl nezáporný. 32 Riziko rezerv v neživotním pojištění
47 SII Projekce C-L Mack M-W ODP Bootstrap SII rizika Shrnutí Tento konkrétní ODP model dává stejný odhad rezervy (střední hodnoty škod) jako chain-ladder. f n = ec e c n 1 + e c n e c e c n 1 Navíc dostáváme odhad rozptylu. Oproti Mackovu modelu dostáváme jiné rozdělení škod. Mackův model je odvozen bez použití předpokladu o rozdělení; dá se ale ukázat, že stejné výsledky jako v Mackově modelu bychom dostali při užití metody maximální věrohodnosti a normálního rozdělení. Oproti tomu tento ODP model používá (možná realističtější?) rozdělení odvozené z Poissonova rozdělení (dovoluje modelovat o něco těžší chvosty). Odvození ODP vyžaduje, aby součet škod ve všech sloupcích inkrementálního trojúhelníka byl nezáporný. 32 Riziko rezerv v neživotním pojištění
48 Bootstrap
49 SII Projekce C-L Mack M-W ODP Bootstrap SII rizika Bootstrap Baron Prášil: Vytáhl jsem se za řemínky u bot. (i když v české verzi za cop) Poslední metodou kterou použijeme je bootstrap. Analytické metody obvykle poskytují přímočarý odhad střední hodnoty, ale odhady rozptylu jsou obvykle komplikovanější další vlastnosti rozdělení (např. kvantil rezerv, rozptyl run-offu po n letech, nelineární transformace např. zajištění,... ) se často nedají odhadnout analyticky Řešení: Hodíme data do stroje, provedeme tisíce simulací a doufáme, že z něj vypadne odpověd. 3 3 Odpověd : 42. Ale počkat jaká byla otázka? ([Adams 1979]) 34 Riziko rezerv v neživotním pojištění
50 Bootstrap princip SII Projekce C-L Mack M-W ODP Bootstrap SII rizika 3.0 Původní data Pozorovaná data v jejich původním rozdělení Residua Převedeno na stejně rozdělená residua, s µ = 0, σ = Riziko rezerv v neživotním pojištění
51 Bootstrap princip SII Projekce C-L Mack M-W ODP Bootstrap SII rizika 3.0 Původní data 1.0 Simulace z empir. rozdělení Zpětná transformace Residua 1.0 Simulace z předpokl. rozdělení Zpětná transformace Riziko rezerv v neživotním pojištění
52 Zpět k výpočtu rizik pro Solventnost II
53 Neživotní riziko rezerv SII Projekce C-L Mack M-W ODP Bootstrap SII rizika Oproti životním rizikům nabízí SII pro výpočet neživotních rizik širší výběr metod co se obtížnosti výpočtu týče: Standardní vzorec: založen na BE pojistného a rezerv, které jsou pouze vynásobeny poskytnutými standardními faktory rozptylu Parametry specifické pro pojišt ovnu ( USP ): faktory rozptylu pro danou pojišt ovnu odhadnuty z vlastních dat pomocí jedné z doporučených metod (je třeba dostatek historických dat) Interní model: plná projekce budoucích peněžních toků; možná struktura např.: Běžné škody - simulační/bootstrap metody používající škodní trojúhelníky (příklady i v této přednášce) Velké škody - projekce frekvence a závažnosti jednotlivých škod, umožňující např. výpočet XL zajištění každé škody, apod. Katastrofy - simulace nebo scénaře, často připravené ve spolupráci se zajistiteli, kteří mají více dat a zkušeností s katastrofami 37 Riziko rezerv v neživotním pojištění
54 SII Projekce C-L Mack M-W ODP Bootstrap SII rizika Praktická poznámka k výpočtu rizika Proč se vůbec namáhat s něčím jiným než standardní vzorec? Mějme 3 společnosti mající podobná portfolia: Společnost BE reserv Std. odch. run-offu 1. Good Bad Ugly 50 (špatný odhad) 80 Std. vzorec: společnosti 1, 2 mají stejné SCR = ρ(σ std ) 80 USP nebo interní model: mohou ukázat rozdíl mezi společnostmi 1 a 2; interní model by ideálně měl postihnout i situaci, kdy rozptyl (a tedy USP) jsou stejné, ale 99,5% kvantil nikoliv Pokud dohled neodhalí nepřesnosti v BE rezervě u společnosti 3, tak její SCR je nejnižší Riziko rezerv v neživotním pojištění
55 SII Projekce C-L Mack M-W ODP Bootstrap SII rizika Příklad Na příkladu jednoho šk. trojúhelníka odvodíme BE šk. rezervu (metodou chain-ladder) a srovnáme následující posupy výpočtu rizika: Standardní vzorec 1a. Výpočet podle QIS5 s parametry pro poj. odpovědnosti 1b. Výpočet podle návrhu L2 opatření s parametry pro poj. odpovědnosti Parametry specifické pro společnost, metody podle QIS5 2a. Odhad rozptylu run-offu z historických run-offů 2b. Merz-Wüthrichova metoda odhadu rozptylu 1-ročního run-offu, používající BE odhad rezerv 2c. Merz-Wüthrichova metoda odhadu rozptylu 1-ročního run-offu, výslovně používající C-L odhad rezerv (to samé, pokud BE = C-L odhad) Vlastní odvození rozptylu 1-ročního run-offu bootstrapem 3a. Mackova metoda 3b. Overdispersed Poisson metoda, konstantní parametr rozptylu φ Odvození 99,5% kvantilu (bootstrap) 4a. Mackova metoda odhadu rozptylu + empirické rozdělení residuí 4b. Overdispersed Poisson metoda + negativně binomické rozdělení residuí 39 Riziko rezerv v neživotním pojištění
56 SII Projekce C-L Mack M-W ODP Bootstrap SII rizika Příklad Na příkladu jednoho šk. trojúhelníka odvodíme BE šk. rezervu (metodou chain-ladder) a srovnáme následující posupy výpočtu rizika: Standardní vzorec 1a. Výpočet podle QIS5 s parametry pro poj. odpovědnosti 1b. Výpočet podle návrhu L2 opatření s parametry pro poj. odpovědnosti Parametry specifické pro společnost, metody podle QIS5 2a. Odhad rozptylu run-offu z historických run-offů 2b. Merz-Wüthrichova metoda odhadu rozptylu 1-ročního run-offu, používající BE odhad rezerv 2c. Merz-Wüthrichova metoda odhadu rozptylu 1-ročního run-offu, výslovně používající C-L odhad rezerv (to samé, pokud BE = C-L odhad) Vlastní odvození rozptylu 1-ročního run-offu bootstrapem 3a. Mackova metoda 3b. Overdispersed Poisson metoda, konstantní parametr rozptylu φ Odvození 99,5% kvantilu (bootstrap) 4a. Mackova metoda odhadu rozptylu + empirické rozdělení residuí 4b. Overdispersed Poisson metoda + negativně binomické rozdělení residuí 39 Riziko rezerv v neživotním pojištění
57 SII Projekce C-L Mack M-W ODP Bootstrap SII rizika Příklad Na příkladu jednoho šk. trojúhelníka odvodíme BE šk. rezervu (metodou chain-ladder) a srovnáme následující posupy výpočtu rizika: Standardní vzorec 1a. Výpočet podle QIS5 s parametry pro poj. odpovědnosti 1b. Výpočet podle návrhu L2 opatření s parametry pro poj. odpovědnosti Parametry specifické pro společnost, metody podle QIS5 2a. Odhad rozptylu run-offu z historických run-offů 2b. Merz-Wüthrichova metoda odhadu rozptylu 1-ročního run-offu, používající BE odhad rezerv 2c. Merz-Wüthrichova metoda odhadu rozptylu 1-ročního run-offu, výslovně používající C-L odhad rezerv (to samé, pokud BE = C-L odhad) Vlastní odvození rozptylu 1-ročního run-offu bootstrapem 3a. Mackova metoda 3b. Overdispersed Poisson metoda, konstantní parametr rozptylu φ Odvození 99,5% kvantilu (bootstrap) 4a. Mackova metoda odhadu rozptylu + empirické rozdělení residuí 4b. Overdispersed Poisson metoda + negativně binomické rozdělení residuí 39 Riziko rezerv v neživotním pojištění
58 SII Projekce C-L Mack M-W ODP Bootstrap SII rizika Příklad Na příkladu jednoho šk. trojúhelníka odvodíme BE šk. rezervu (metodou chain-ladder) a srovnáme následující posupy výpočtu rizika: Standardní vzorec 1a. Výpočet podle QIS5 s parametry pro poj. odpovědnosti 1b. Výpočet podle návrhu L2 opatření s parametry pro poj. odpovědnosti Parametry specifické pro společnost, metody podle QIS5 2a. Odhad rozptylu run-offu z historických run-offů 2b. Merz-Wüthrichova metoda odhadu rozptylu 1-ročního run-offu, používající BE odhad rezerv 2c. Merz-Wüthrichova metoda odhadu rozptylu 1-ročního run-offu, výslovně používající C-L odhad rezerv (to samé, pokud BE = C-L odhad) Vlastní odvození rozptylu 1-ročního run-offu bootstrapem 3a. Mackova metoda 3b. Overdispersed Poisson metoda, konstantní parametr rozptylu φ Odvození 99,5% kvantilu (bootstrap) 4a. Mackova metoda odhadu rozptylu + empirické rozdělení residuí 4b. Overdispersed Poisson metoda + negativně binomické rozdělení residuí 39 Riziko rezerv v neživotním pojištění
59 Výsledky příkladu SII Projekce C-L Mack M-W ODP Bootstrap SII rizika Výsledky porovnání jednotlivých metod: viz Excel 40 Riziko rezerv v neživotním pojištění
Chyba predikce při rezervování metodou Chain Ladder u korelovaných vývojových trojúhelníků
Chyba predikce při rezervování metodou Chain Ladder u korelovaných vývojových trojúhelníků Mgr. Marcela Martinů 13. května 2016 5/13/2016 0 Obsah 1. Úvod a. Motivace a cíle b. Základní metody 2. Rozšířená
VíceRiziko rezerv na jednoletém horizontu. Seminář aktuárských věd, 8. listopadu 2013 Ing. Lucie Hronová
Riziko rezerv na ednoletém horizontu Seminář aktuárských věd, 8. listopadu 2013 Náplň přednášky Jednoletý vs. ultimate horizont BE budoucích závazků ako stochastický proces Přístupy k modelování ednoletého
VíceVyužití korelace v rezervování povinného ručení
INSURANCE Využití korelace v rezervování povinného ručení Ondřej Bušta, Actuarial services 7. prosince 2007 ADVISORY 1 Agenda Nástin problému Majetkové škody Zdravotní škody Korelační analýza a riziko
VíceAplikace matematiky. Dana Lauerová A note to the theory of periodic solutions of a parabolic equation
Aplikace matematiky Dana Lauerová A note to the theory of periodic solutions of a parabolic equation Aplikace matematiky, Vol. 25 (1980), No. 6, 457--460 Persistent URL: http://dml.cz/dmlcz/103885 Terms
Víceovnictví z pohledu regulace Seminář z aktuárských věd, 6. března 2009
Pojišťovnictv ovnictví z pohledu regulace Monika Šťástková,, Iva Justová Seminář z aktuárských věd, 6. března 2009 1. část Zpráva odpovědn dného pojistného matematika Monika Šťástková Obsah Úvod Regulace
VíceTestování předpokladů pro metodu chain-ladder. Seminář z aktuárských věd Petra Španihelová
Testování předpokladů pro metodu chain-ladder Seminář z aktuárských věd 4. 11. 2016 Petra Španihelová Obsah Datová struktura Posouzení dat Předpoklady metody chain-ladder dle T. Macka Běžná lineární regrese
VíceRezerva pojistného v režimu Solvency II (neživotní pojištění) Jaroslav Hůrka Seminář z aktuárských věd 13.12.2013
Rezerva pojistného v režimu Solvency II (neživotní pojištění) Jaroslav Hůrka Seminář z aktuárských věd 13.12.2013 Obsah Legislativní rámec Výpočet rezervy pojistného Segmentace Kvalita údajů Výpočet Combined
VíceUni- and multi-dimensional parametric tests for comparison of sample results
Uni- and multi-dimensional parametric tests for comparison of sample results Jedno- a více-rozměrné parametrické testy k porovnání výsledků Prof. RNDr. Milan Meloun, DrSc. Katedra analytické chemie, Universita
VíceGymnázium, Brno, Slovanské nám. 7 WORKBOOK. Mathematics. Teacher: Student:
WORKBOOK Subject: Teacher: Student: Mathematics.... School year:../ Conic section The conic sections are the nondegenerate curves generated by the intersections of a plane with one or two nappes of a cone.
VíceAVDAT Klasický lineární model, metoda nejmenších
AVDAT Klasický lineární model, metoda nejmenších čtverců Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Lineární model y i = β 0 + β 1 x i1 + + β k x ik + ε i (1) kde y i
VíceTento materiál byl vytvořen v rámci projektu Operačního programu Vzdělávání pro konkurenceschopnost.
Tento materiál byl vytvořen v rámci projektu Operačního programu Vzdělávání pro konkurenceschopnost. Projekt MŠMT ČR Číslo projektu Název projektu školy Klíčová aktivita III/2 EU PENÍZE ŠKOLÁM CZ.1.07/1.4.00/21.2146
VíceWORKSHEET 1: LINEAR EQUATION 1
WORKSHEET 1: LINEAR EQUATION 1 1. Write down the arithmetical problem according the dictation: 2. Translate the English words, you can use a dictionary: equations to solve solve inverse operation variable
VíceREZERVOVÁNÍ SOUDNÍCH SPORŮ SAV Iveta Grzonková
REZERVOVÁNÍ SOUDNÍCH SPORŮ 10.11.2017 SAV Iveta Grzonková OBSAH 1. Obsah P.02 2. Soudní spory P.03 Rozdělení soudních sporů P.03 Občanský zákoník P.04 Rezervování sporů P.06 Odhad výše sporu P.08 Odhadování
VícePravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz
Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická
VíceTransportation Problem
Transportation Problem ١ C H A P T E R 7 Transportation Problem The transportation problem seeks to minimize the total shipping costs of transporting goods from m origins (each with a supply s i ) to n
Více1/30. Mgr. Jan Šváb Zobecněný lineární model a jeho použití v povinném ručení. 31.3.2006 Seminář z aktuárských věd. Slides by LATEX.
1/30 31.3.2006 Seminář z aktuárských věd Slides by LATEX Mgr. Jan Šváb Zobecněný lineární model a jeho použití v povinném ručení 2/30 Obsah 1 Zobecněné lineární modely (GLZ 1 ) Obecný lineární model (GLM)
VíceMetodika pro zadání veřejné zakázky formou DESIGN & BUILD pro dopravní stavby v ČR
Metodika pro zadání veřejné zakázky formou DESIGN & BUILD pro dopravní stavby v ČR Jan Věžník, Deloitte 19. 5. 2015 Konference Projektování pozemních komunikací Přístup k zpracování metodiky Analytická
Více4EK211 Základy ekonometrie
4EK211 Základy ekonometrie ZS 2015/16 Cvičení 7: Časově řady, autokorelace LENKA FIŘTOVÁ KATEDRA EKONOMETRIE, FAKULTA INFORMATIKY A STATISTIKY VYSOKÁ ŠKOLA EKONOMICKÁ V PRAZE 1. Časové řady Data: HDP.wf1
VíceRezervování v neživotním pojištění
Rezervování v neživotním pojištění z cyklu Pojistný matematik v praxi Zdeněk Roubal, Česká společnost aktuárů Seminář z aktuárských věd 10. října 2014 Pojistný matematik v praxi Rezerva na pojistná plnění
VíceVyužití modelů peněžních toků pro ocenění zajištění. 13. května 2011 Zdeněk Roubal
Využití modelů peněžních toků pro ocenění zajištění 13. května 2011 Zdeněk Roubal Agenda Motivace Vliv zdravotních škod na cenu zajištění Standardní přístup k modelování zajištění Zdravotní škody v ČR
VícePravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc.
Pravděpodobnost a matematická statistika Doc. RNDr. Gejza Dohnal, CSc. dohnal@nipax.cz Pravděpodobnost a matematická statistika 010 1.týden (0.09.-4.09. ) Data, typy dat, variabilita, frekvenční analýza
VíceMěření dat Filtrace dat, Kalmanův filtr
Měření dat Filtrace dat, Matematické metody pro ITS (11MAMY) Jan Přikryl Ústav aplikované matematiky ČVUT v Praze, Fakulta dopravní 3. přednáška 11MAMY čtvrtek 28. února 2018 verze: 2018-02-28 12:20 Obsah
VíceAnalýza změny vlastních zdrojů podle Solventnosti II
Analýza změny vlastních zdrojů podle Solventnosti II Imrich Lozsi Seminář z aktuárských věd 12. května 2017 1 O čem to dnes bude Motivace: proč se o tom bavit Základní princip analýzy změny Rozdíly mezi
VíceLineární a logistická regrese
Lineární a logistická regrese Martin Branda Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Výpočetní prostředky finanční a pojistné matematiky
VíceAplikace teoretických postupů pro ocenění rizika při upisování pojistných smluv v oblasti velkých rizik
Aplikace teoretických postupů pro ocenění rizika při upisování pojistných smluv v oblasti velkých rizik Ondřej Pavlačka Praha, 18. ledna 2011 Cíle projektu Vytvořit matematický model pro oceňování přijímaného
VíceKarta předmětu prezenční studium
Karta předmětu prezenční studium Název předmětu: Číslo předmětu: 545-0250 Garantující institut: Garant předmětu: Ekonomická statistika Institut ekonomiky a systémů řízení RNDr. Radmila Sousedíková, Ph.D.
VíceRezervování v neživotním pojištění z cyklu Pojistný matematik v praxi
Rezervování v neživotním pojištění z cyklu Pojistný matematik v praxi Zdeněk Roubal, Česká pojišťovna, a.s. Agenda Pojistný matematik v praxi Rezerva na pojistná plnění příklady využití pojistné matematiky
VíceDC circuits with a single source
Název projektu: utomatizace výrobních procesů ve strojírenství a řemeslech egistrační číslo: Z..07/..0/0.008 Příjemce: SPŠ strojnická a SOŠ profesora Švejcara Plzeň, Klatovská 09 Tento projekt je spolufinancován
VíceEva Fišerová a Karel Hron. Katedra matematické analýzy a aplikací matematiky Přírodovědecká fakulta Univerzity Palackého v Olomouci.
Ortogonální regrese pro 3-složkové kompoziční data využitím lineárních modelů Eva Fišerová a Karel Hron Katedra matematické analýzy a aplikací matematiky Přírodovědecká fakulta Univerzity Palackého v Olomouci
VíceValue at Risk. Karolína Maňáková
Value at Risk Karolína Maňáková Value at risk Historická metoda Model-Building přístup Lineární model variance a kovariance Metoda Monte Carlo Stress testing a Back testing Potenciální ztráta s danou pravděpodobností
Více1. Přednáška. Ing. Miroslav Šulai, MBA
N_OFI_2 1. Přednáška Počet pravděpodobnosti Statistický aparát používaný ve financích Ing. Miroslav Šulai, MBA 1 Počet pravděpodobnosti -náhodné veličiny 2 Počet pravděpodobnosti -náhodné veličiny 3 Jevy
VíceZáklady teorie front III
Základy teorie front III Aplikace Poissonova procesu v teorii front II Mgr. Rudolf B. Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký, DrSc. Katedra počítačových systémů Katedra teoretické informatiky Fakulta
Více8 Coxův model proporcionálních rizik I
8 Coxův model proporcionálních rizik I Předpokládané výstupy z výuky: 1. Student umí formulovat Coxův model proporcionálních rizik 2. Student rozumí významu regresních koeficientů modelu 3. Student zná
VíceEY Procurement Survey 2014. Procurement Forum 2014
Procurement Forum 2014 Začlenění útvaru nákupu ve společnosti Téměř 80 % společností vnímá organizační uspořádání nákupu jako centralizované Umístění nákupu u téměř 70 % společností vypovídá o silném zaměření
VíceDynamic programming. Optimal binary search tree
The complexity of different algorithms varies: O(n), Ω(n ), Θ(n log (n)), Dynamic programming Optimal binary search tree Různé algoritmy mají různou složitost: O(n), Ω(n ), Θ(n log (n)), The complexity
VíceVyužití hybridní metody vícekriteriálního rozhodování za nejistoty. Michal Koláček, Markéta Matulová
Využití hybridní metody vícekriteriálního rozhodování za nejistoty Michal Koláček, Markéta Matulová Outline Multiple criteria decision making Classification of MCDM methods TOPSIS method Fuzzy extension
VíceUSING VIDEO IN PRE-SET AND IN-SET TEACHER TRAINING
USING VIDEO IN PRE-SET AND IN-SET TEACHER TRAINING Eva Minaříková Institute for Research in School Education, Faculty of Education, Masaryk University Structure of the presentation What can we as teachers
VíceTomáš Cipra: Riziko ve financích a pojišťovnictví: Basel III a Solvency II. Ekopress, Praha 2015 (515 stran, ISBN: ) 1. ÚVOD..
Tomáš Cipra: Riziko ve financích a pojišťovnictví: Basel III a Solvency II. Ekopress, Praha 2015 (515 stran, ISBN: 978-80- 87865-24-8) OBSAH 1. ÚVOD.. 1 2. OBECNĚ O RIZIKU. 3 2.1. Pojem rizika. 3 2.2.
VíceKvantifikace operačního rizika v rámci Přistupu distribuce ztrát
Kvantifikace operačního rizika v rámci Přistupu distribuce ztrát Jiří Havlický 1 Abstrakt Článek je zaměřen na stanovení a zhodnocení citlivosti výše očekávané a neočekávané ztráty plynoucí z podstupovaného
VíceFinanční modely v oblasti Consultingu
Finanční modely v oblasti Consultingu Jan Cimický 1 Abstrakt Ve své disertační práci se zabývám finančním modelováním. Práce je koncipována jako soubor vzájemně často propojených nebo na sebe navazujících
VíceAVDAT Nelineární regresní model
AVDAT Nelineární regresní model Josef Tvrdík Katedra informatiky Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita Nelineární regresní model Ey i = f (x i, β) kde x i je k-členný vektor vysvětlujících proměnných
VíceDatabase systems. Normal forms
Database systems Normal forms An example of a bad model SSN Surnam OfficeNo City Street No ZIP Region President_of_ Region 1001 Novák 238 Liteň Hlavní 10 26727 Středočeský Rath 1001 Novák 238 Bystřice
VíceACTA UNIVERSITATIS AGRICULTURAE ET SILVICULTURAE MENDELIANAE BRUNENSIS SBORNÍK MENDELOVY ZEMĚDĚLSKÉ A LESNICKÉ UNIVERZITY V BRNĚ
ACTA UNIVERSITATIS AGRICULTURAE ET SILVICULTURAE MENDELIANAE BRUNENSIS SBORNÍK MENDELOVY ZEMĚDĚLSKÉ A LESNICKÉ UNIVERZITY V BRNĚ Ročník LII 6 Číslo 3, 2004 Gasser-Müllerův odhad J. Poměnková Došlo: 8.
VíceALM v pojišťovnách. Martin Janeček Tools4F. MFF UK, Praha,
ALM v pojišťovnách Martin Janeček Tools4F MFF UK, Praha, 4.5.2018 Cíl Představit základní ekonomické analýzy při řízení ALM v pojišťovnách Obsah 1. Opakování základů 2. Bilance pojišťovny 3. Cíle ALM a)
VícePoužití modelu Value at Risk u akcií z
Použití modelu Value at Risk u akcií z pražské Burzy cenných papírů Radim Gottwald Mendelova univerzita v Brně Abstrakt Článek se zaměřuje na model Value at Risk, který se v současnosti často používá na
VíceVykazování v Solventnosti II
Vykazování v Solventnosti II Barbora Hejmová 1. 4. 201 Obsah Regulatorní požadavky SII reportingu Regulatorní požadavky Level 1, Level 2 a Level Celkový přehled Vykazování v Solvency II Kdo, Co, Komu,
VíceJust write down your most recent and important education. Remember that sometimes less is more some people may be considered overqualified.
CURRICULUM VITAE - EDUCATION Jindřich Bláha Výukový materiál zpracován v rámci projektu EU peníze školám Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Bc. Jindřich Bláha. Dostupné z Metodického
VíceZohlednění nelikvidity v pojistných závazcích
Zohlednění nelikvidity v pojistných závazcích Liquidity premium Kamil Žák Seminář z aktuárských věd, MFF UK 7. května 2010 Zohlednění nelikvidity v pojistných závazcích Liquidity premium Kamil Žák Seminář
VíceIntroduction to MS Dynamics NAV
Introduction to MS Dynamics NAV (Item Charges) Ing.J.Skorkovský,CSc. MASARYK UNIVERSITY BRNO, Czech Republic Faculty of economics and business administration Department of corporate economy Item Charges
VícePříručka ke směrnici 89/106/EHS o stavebních výrobcích / Příloha III - Rozhodnutí Komise
Příručka ke směrnici 89/106/EHS o stavebních výrobcích / Příloha III - Rozhodnutí Komise ROZHODNUTÍ KOMISE ze dne 27. června 1997 o postupu prokazování shody stavebních výrobků ve smyslu čl. 20 odst. 2
VíceUniverzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta DIPLOMOVÁ PRÁCE. Bc. Eva Nevoralová. technických rezerv
Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta DIPLOMOVÁ PRÁCE Bc. Eva Nevoralová Rizikové marže při výpočtech technických rezerv Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Vedoucí diplomové
VíceVY_32_INOVACE_06_Předpřítomný čas_03. Škola: Základní škola Slušovice, okres Zlín, příspěvková organizace
VY_32_INOVACE_06_Předpřítomný čas_03 Autor: Růžena Krupičková Škola: Základní škola Slušovice, okres Zlín, příspěvková organizace Název projektu: Zkvalitnění ICT ve slušovské škole Číslo projektu: CZ.1.07/1.4.00/21.2400
VíceA Note on Generation of Sequences of Pseudorandom Numbers with Prescribed Autocorrelation Coefficients
KYBERNETIKA VOLUME 8 (1972), NUMBER 6 A Note on Generation of Sequences of Pseudorandom Numbers with Prescribed Autocorrelation Coefficients JAROSLAV KRAL In many applications (for example if the effect
VíceStatistická analýza dat v psychologii. Věci, které můžeme přímo pozorovat, jsou téměř vždy pouze vzorky. Alfred North Whitehead
PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii Přednáška 8 Statistické usuzování, odhady Věci, které můžeme přímo pozorovat, jsou téměř vždy pouze vzorky. Alfred North Whitehead Barevná srdíčka kolegyně
VíceDesign Experimentu a Statistika - AGA46E
Design Experimentu a Statistika - AGA46E Czech University of Life Sciences in Prague Department of Genetics and Breeding Summer Term 2015 Matúš Maciak (@ A 211) Office Hours: T 9:00 10:30 or by appointment
VíceSTANOVOVÁNÍ IBNR REZERVY S VYUŽITÍM ZOBECNĚNÉHO LINEÁRNÍHO MODELU 1
NÁRODOHOSPODÁŘSKÝ OBZOR STANOVOVÁNÍ IBNR REZERVY S VYUŽITÍM ZOBECNĚNÉHO LINEÁRNÍHO MODELU 1 Miroslav Otáhal Úvod Důležitou součástí ekonomiky každé země je finanční sektor. Ten je kromě burz, bank a jim
VíceCompression of a Dictionary
Compression of a Dictionary Jan Lánský, Michal Žemlička zizelevak@matfyz.cz michal.zemlicka@mff.cuni.cz Dept. of Software Engineering Faculty of Mathematics and Physics Charles University Synopsis Introduction
VíceIntervalové odhady. Interval spolehlivosti pro střední hodnotu v N(µ, σ 2 ) Interpretace intervalu spolehlivosti. Interval spolehlivosti ilustrace
Intervalové odhady Interval spolehlivosti pro střední hodnotu v Nµ, σ 2 ) Situace: X 1,..., X n náhodný výběr z Nµ, σ 2 ), kde σ 2 > 0 známe měli jsme: bodové odhady odhadem charakteristiky je číslo) nevyjadřuje
VíceAnalýza rozptylu. PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii Přednáška 12. Srovnávání více než dvou průměrů
PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii Přednáška 12 Analýza rozptylu Srovnávání více než dvou průměrů If your experiment needs statistics, you ought to have done a better experiment. Ernest Rutherford
VíceZadání Máme data hdp.wf1, která najdete zde: Bodová předpověď: Intervalová předpověď:
Predikce Text o predikci pro upřesnění pro ty, které zajímá, kde se v EViews všechna ta čísla berou. Ruční výpočty u průběžného testu nebudou potřeba. Co bude v závěrečném testu, to nevím. Ale přečíst
VíceRezervy z pohledu bankopojištění a užití Kaplan Meierova odhadu při výpočtu RBNS
Rezervy z pohledu bankopojištění a užití Kaplan Meierova odhadu při výpočtu RBNS Mgr. Zuzana Valentová 29. dubna 2016 Obsah 1. Bankopojištění základní pojmy 2. Rezerva pojistného životních pojištění 3.
VíceZpracování studie týkající se průzkumu vlastností statistických proměnných a vztahů mezi nimi.
SEMINÁRNÍ PRÁCE Zadání: Data: Statistické metody: Zpracování studie týkající se průzkumu vlastností statistických proměnných a vztahů mezi nimi. Minimálně 6 proměnných o 30 pozorováních (z toho 2 proměnné
VíceRun-off analýzy v neživotním pojištění
Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta DIPLOMOVÁ PRÁCE Jana Bestová Run-off analýzy v neživotním pojištění Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Vedoucí diplomové práce: Mgr.
VíceIntervalové odhady. Interval spolehlivosti pro střední hodnotu v N(µ, σ 2 ) Interpretace intervalu spolehlivosti. Interval spolehlivosti ilustrace
Intervalové odhady Interval spolehlivosti pro střední hodnotu v Nµ, σ 2 ) Situace: X 1,..., X n náhodný výběr z Nµ, σ 2 ), kde σ 2 > 0 známe měli jsme: bodové odhady odhadem charakteristiky je číslo) nevyjadřuje
VíceMetoda backward výběru proměnných v lineární regresi a její vlastnosti
Metoda backward výběru proměnných v lineární regresi a její vlastnosti Aktuárský seminář, 13. dubna 2018 Milan Bašta 1 / 30 1 Metody výběru proměnných do modelu 2 Monte Carlo simulace, backward metoda
VíceII. Statistické metody vyhodnocení kvantitativních dat Gejza Dohnal
Základy navrhování průmyslových experimentů DOE II. Statistické metody vyhodnocení kvantitativních dat Gejza Dohnal! Testování statistických hypotéz kvalitativní odezva kvantitativní chí-kvadrát test homogenity,
VíceDATA SHEET. BC516 PNP Darlington transistor. technický list DISCRETE SEMICONDUCTORS Apr 23. Product specification Supersedes data of 1997 Apr 16
zákaznická linka: 840 50 60 70 DISCRETE SEMICONDUCTORS DATA SHEET book, halfpage M3D186 Supersedes data of 1997 Apr 16 1999 Apr 23 str 1 Dodavatel: GM electronic, spol. s r.o., Křižíkova 77, 186 00 Praha
VícePrávní formy podnikání v ČR
Bankovní institut vysoká škola Praha Právní formy podnikání v ČR Bakalářská práce Prokeš Václav Leden, 2009 Bankovní institut vysoká škola Praha Katedra Bankovnictví Právní formy podnikání v ČR Bakalářská
VícePojistná matematika 2 KMA/POM2E
Pojistná matematika 2 KMA/POM2E RNDr. Ondřej Pavlačka, Ph.D. pracovna 5.052 tel. 585 63 4027 e-mail: ondrej.pavlacka@upol.cz web: http://aix-slx.upol.cz/~pavlacka (informace + podkladové materiály) Konzultační
Více2 Hlavní charakteristiky v analýze přežití
2 Hlavní charakteristiky v analýze přežití Předpokládané výstupy z výuky: 1. Student umí definovat funkci přežití, rizikovou funkci a kumulativní rizikovou funkci a zná funkční vazby mezi nimi 2. Student
VíceOdhadnutí citlivosti nákladů v hromadné výrobě - process costing
Analýza bodu zvratu Zdůvodnění Krátkodobý charakter analýzy bodu zvratu - CVP analysis Časový interval, během kterého nemůže management firmy změnit dopady určitých minulých rozhodnutí V praxi období krratší
VíceSocial Media a firemní komunikace
Social Media a firemní komunikace TYINTERNETY / FALANXIA YOUR WORLD ENGAGED UČTE SE OD STARTUPŮ ANALYSIS -> PARALYSIS POUŽIJTE TO, CO ZNÁ KAŽDÝ POUŽIJTE TO, CO ZNÁ KAŽDÝ POUŽIJTE TO, CO ZNÁ KAŽDÝ POUŽIJTE
VícePříručka ke směrnici 89/106/EHS o stavebních výrobcích / Příloha III - Rozhodnutí Komise
Příručka ke směrnici 89/106/EHS o stavebních výrobcích / Příloha III - Rozhodnutí Komise ROZHODNUTÍ KOMISE ze dne 17. února 1997 o postupu prokazování shody stavebních výrobků ve smyslu čl. 20 odst. 2
Více4EK211 Základy ekonometrie
4EK Základy ekonometrie Odhad klasického lineárního regresního modelu II Cvičení 3 Zuzana Dlouhá Klasický lineární regresní model - zadání příkladu Soubor: CV3_PR.xls Data: y = maloobchodní obrat potřeb
VíceUSER'S MANUAL FAN MOTOR DRIVER FMD-02
USER'S MANUAL FAN MOTOR DRIVER FMD-02 IMPORTANT NOTE: Read this manual carefully before installing or operating your new air conditioning unit. Make sure to save this manual for future reference. FMD Module
VíceZpracování a vyhodnocování analytických dat
Zpracování a vyhodnocování analytických dat naměřená data Zpracování a statistická analýza dat analytické výsledky Naměř ěřená data jedna hodnota 5,00 mg (bod 1D) navážka, odměřený objem řada dat 15,8;
Více2. Entity, Architecture, Process
Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Praktika návrhu číslicových obvodů Dr.-Ing. Martin Novotný Katedra číslicového návrhu Fakulta informačních technologií ČVUT v Praze Miloš
VíceDetermination Value at Risk via Monte Carlo simulation Stanovení Value at Risk pomocí metody simulace Monte Carlo
Determination Value at Risk via Monte Carlo simulation Stanovení Value at Risk pomocí metody simulace Monte Carlo Kateřina Zelinková 1 Abstract The financial institution, namely securities firms, banks
VícePříručka ke směrnici 89/106/EHS o stavebních výrobcích / Příloha III - Rozhodnutí Komise
Příručka ke směrnici 89/106/EHS o stavebních výrobcích / Příloha III - Rozhodnutí Komise ROZHODNUTÍ KOMISE ze dne 17. února 1997 o postupu prokazování shody stavebních výrobků ve smyslu čl. 20 odst. 2
VíceRizikové přirážky při oceňování produktů životního pojištění. Petr Sotona 6.11.2009 Seminář z aktuárských věd
Petr Sotona 6.11.2009 Seminář z aktuárských věd Agenda Teoretická část Druhy rizikových přirážek a jejich interpretace Vlastnosti rizikových přirážek Postup odhadu rizikových přirážek a metody jejich výpočtu
VíceVybrané poznámky k řízení rizik v bankách
Vybrané poznámky k řízení rizik v bankách Seminář z aktuárských věd Petr Myška 7.11.2008 Obsah přednášky Oceňování nestandartních instrumentů finančních trhů Aplikace analytických vzorců Simulační techniky
VíceDepartment of Mathematical Analysis and Applications of Mathematics Faculty of Science, Palacký University Olomouc Czech Republic
ROBUST 13. září 2016 regression regresních modelů Categorical Continuous - explanatory, Eva Fišerová Department of Mathematical Analysis and Applications of Mathematics Faculty of Science, Palacký University
VíceKredibilitní pojistné v pojištění automobilů. Silvie Zlatošová září 2016, Robust
Silvie Zlatošová 11. - 16. září 2016, Robust Obsah 1 Motivace a cíl 2 Tvorba apriorních tarifních skupin 3 Teorie kredibility 4 Aplikace aposteriorních korekcí Motivace a cíl Obsah 1 Motivace a cíl 2 Tvorba
VíceKategorická data METODOLOGICKÝ PROSEMINÁŘ II TÝDEN 7 4. DUBNA dubna 2018 Lukáš Hájek, Karel Höfer Metodologický proseminář II 1
Kategorická data METODOLOGICKÝ PROSEMINÁŘ II TÝDEN 7 4. DUBNA 2018 4. dubna 2018 Lukáš Hájek, Karel Höfer Metodologický proseminář II 1 Typy proměnných nominální (nominal) o dvou hodnotách lze říci pouze
VíceMatematické přístupy k pojištění automobilů. Silvie Kafková. 3. 6. září 2013, Podlesí
Matematické přístupy k pojištění automobilů Silvie Kafková 3. 6. září 2013, Podlesí Obsah 1 Motivace 2 Tvorba tarifních skupin a priori 3 Motivace Obsah 1 Motivace 2 Tvorba tarifních skupin a priori 3
VíceZvyšování kvality výuky technických oborů
Zvyšování kvality výuky technických oborů Klíčová aktivita IV.2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol Téma V.2.1 Posloupnosti a finanční matematika
VíceRozvaha. Společnost: Aegon Pojistovna a.s. Scénář: S Období: Měna: Kč, Koruna Česká
Rozvaha Scénář: S.02.01.02 Hodnota dle SII Hodnota dle SII C0010 C0010 Aktiva Závazky Goodwill R0010 Technické rezervy v hrubé výši v neživotním pojištění celkem (Σ) R0510-875429396.00 Odložené pořizovací
VíceRozvaha. Společnost: Aegon Pojistovna a.s. Scénář: S Období: Měna: Kč, Koruna Česká
Rozvaha Scénář: S.02.01.02 Hodnota dle SII Hodnota dle SII C0010 C0010 Aktiva Závazky Goodwill R0010 Technické rezervy v hrubé výši v neživotním pojištění celkem (Σ) R0510-739584810.29 Odložené pořizovací
VíceRozvaha. Společnost: Aegon Pojistovna a.s. Scénář: S Období: Měna: Kč, Koruna Česká
Rozvaha Scénář: S.02.01.02 Hodnota dle SII Hodnota dle SII C0010 C0010 Aktiva Závazky Goodwill R0010 Technické rezervy v hrubé výši v neživotním pojištění celkem (Σ) R0510-814307994.08 Odložené pořizovací
VícePříručka ke směrnici 89/106/EHS o stavebních výrobcích / Příloha III - Rozhodnutí Komise
Příručka ke směrnici 89/106/EHS o stavebních výrobcích / Příloha III - Rozhodnutí Komise ROZHODNUTÍ KOMISE ze dne 14. července 1997 o postupu prokazování shody stavebních výrobků ve smyslu čl. 20 odst.
VíceGymnázium, Brno, Slovanské nám. 7, SCHEME OF WORK Mathematics SCHEME OF WORK. cz
SCHEME OF WORK Subject: Mathematics Year: first grade, 1.X School year:../ List of topisc # Topics Time period Introduction, repetition September 1. Number sets October 2. Rigtht-angled triangle October,
VícePRODEJNÍ EAUKCE A JEJICH ROSTOUCÍ SEX-APPEAL SELLING EAUCTIONS AND THEIR GROWING APPEAL
PRODEJNÍ EAUKCE A JEJICH ROSTOUCÍ SEX-APPEAL SELLING EAUCTIONS AND THEIR GROWING APPEAL Ing. Jan HAVLÍK, MPA tajemník Městského úřadu Žďár nad Sázavou Chief Executive Municipality of Žďár nad Sázavou CO
VíceNext line show use of paragraf symbol. It should be kept with the following number. Jak může státní zástupce věc odložit zmiňuje 159a.
1 Bad line breaks The follwing text has prepostions O and k at end of line which is incorrect according to Czech language typography standards: Mezi oblíbené dětské pohádky patří pohádky O Palečkovi, Alenka
VíceRizika v činnosti pojišťoven
Rizika v činnosti pojišťoven Pojistně technické riziko Tržní riziko Kreditní riziko Riziko likvidity Operační rizika ALM (Asset-liability matching) rizika Rizika při provozování produktů neživotního pojištění
VíceRiziko pojistného na jednoletém horizontu
Riziko pojistného na jednoletém horizontu Interní model rizika pojistného v SII Jiří Thomayer Aktuárský seminář 17.04.2015 Obsah Solvency II Kapitálové požadavky Interní model rizika pojistného Příklad
VícePSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii přednáška 8. Statistické usuzování, odhady
PSY117/454 Statistická analýza dat v psychologii přednáška 8 Statistické usuzování, odhady Výběr od deskripce k indukci Deskripce dat, odhad parametrů Usuzování = inference = indukce Počítá se s náhodným
VíceZměna hodnoty pozice v důsledku změn tržních cen.
Tržní riziko Změna hodnoty pozice v důsledku změn tržních cen. Akciové riziko Měnové riziko Komoditní riziko Úrokové riziko Odvozená rizika... riz. volatility, riz. korelace Pozice (saldo hodnoty očekávaných
VíceOdhady Parametrů Lineární Regrese
Odhady Parametrů Lineární Regrese Mgr. Rudolf B. Blažek, Ph.D. prof. RNDr. Roman Kotecký, DrSc. Katedra počítačových systémů Katedra teoretické informatiky Fakulta informačních technologií České vysoké
VíceByznys a obchodní záležitosti
- Úvod Dear Mr. President, Dear Mr. President, Velmi formální, příjemce má speciální titul či status, který musí být použit v místě jejich jména Dear Sir, Formální, příjemce muž, jméno neznámé Dear Madam,
VíceNárodní informační den společných technologických iniciativ ARTEMIS a ENIAC
Národní informační den společných technologických iniciativ ARTEMIS a ENIAC 21. března 2011, Praha Pravidla a podmínky účasti v projektech ARTEMIS a ENIAC v ČR Úvod k finančním pravidlům JTIs (ARTEMIS
Více