Sbírka příkladů k předmětu PA167 Rozvrhování

Transkript

1 Sbírka příkladů k předmětu PA167 Rozvrhování Hana Rudová Fakulta informatiky, Masarykova univerzita 14. června 2012 Obsah 1 Úvod do rozvrhování 3 1 Příklady a reálné problémy Terminologie Klasifikace rozvrhovacích problémů Složitost Lokální prohledávání 4 5 Lokální prohledávání obecně Tabu prohledávání Simulované žíhání Genetické algoritmy Řídící pravidla 7 9 Řídící pravidla Matematické programování 8 10 Matematické programování Omezující podmínky 8 11 Problém splňování podmínek Rozvrhování jako problém splňování podmínek Podmínky pro zdroje Globální omezení Rozvrhovací strategie Plánování projektu Úvod Reprezentace projektu Neomezené zdroje Variabilní doba trvání Přidání pracovní síly Plánování úloh Popis problému Řídící pravidla Metoda větví a mezí Paprskové prohledávání Popis job shop

2 26 Disjunktivní grafová reprezentace Matematické programování a job shop Metoda větví a mezí pro job shop Posunování kritického místa (shifting bottleneck) Lokální prohledávání pro job shop Rozvrhování montážních systémů Montážní linka s flexibilním časem Montážní linka s fixním časem Montážní linka s paralelními pracovními stanicemi Rezervace Úvod Intervalové rozvrhování Rezervační systém s rezervou Rozvrhování jako timetabling Úvod Rozvrhování s operátory Rozvrhování s pracovní silou Rozvrhování zaměstnanců Úvod Rozvrhování volných dnů Rozvrhování směn Cyklické rozvrhování směn Rozvrhování pomocí omezujících podmínek Rozvrhování předmětů na univerzitě Popis problému Iniciální tvorba rozvrhu Interaktivní rozvrhování Hana Rudová, Fakulta informatiky, Masarykova univerzita 2

3 1 Úvod do rozvrhování 1 Příklady a reálné problémy 1.1. Načrtněte Ganttův diagram pro tabulkou daný rozvrh: úloha T 1 T 2 T 3 T 4 T 5 T 6 T 7 T 8 S j p j stroj M 1 M 2 M 3 M 2 M 2 M 1 M 3 M Jaké znáte třídy problémů rozvrhování v průmyslu nebo ve službách? Popište stručně charakteristiku tří co nejvíce odlišných problémů Vysvětlete pojmy rozvrhování a rozvrh Vysvětlete pojmy částečný rozvrh a úplný rozvrh tak, aby byl zřejmý rozdíl mezi nimi Čím se liší úplný konzistentní rozvrh a optimální rozvrh? 2 Terminologie 2.1. Jaký je rozdíl mezi pojmy scheduling (rozvrhování/plánování) a timetabling (rozvrhování)? 2.2. Jaký je rozdíl mezi pojmy scheduling (rozvrhování/plánování) a planning (plánování)? Co je uvažováno pod pojmem AI planning (plánování v umělé inteligenci)? 2.3. Vysvětlete pojmy sequencing (seřazení) a rostering Vysvětlete termíny termín dostupnosti (release date), termín dokončení (due date) a deadline tak, aby bylo jasné, čím se liší Čím se liší statické a dynamické parametry úlohy? Jaké znáte základní statické a dynamické parametry úlohy? Popište alespoň tři statické a dva dynamické parametry. 3 Klasifikace rozvrhovacích problémů 3.1. Co je to Grahamova klasifikace? Popište jednotlivé komponenty Grahamovy klasifikace. Uved te příklad reálného problému s jeho Grahamovou klasifikací a definujte jeho jednotlivé komponenty Grahamova klasifikace umožňuje jako vlastnosti stroje popsat mj. identické paralelní stroje, paralelní stroje s různou rychlostí a nezávislé paralelní stroje s různou rychlostí. Popište tyto vlastnosti strojů a rozdíly mezi nimi Čím se liší multi-operační (shop) problémy od problémů na jednodušších paralelních strojích (P m, Qm, Rm)? Uved te příklad rozvrhovacího problému znázorněného pomocí Ganttova diagramu, který je příkladem P m a není příkladem multi-operačního problému, není příkladem P m a je příkladem multi-operačního problému Jaké znáte problémy multi-operačního rozvrhování (shop problems)? Stručně je popište tak, aby bylo vidět, jaké jsou mezi nimi rozdíly Popište flexible flow shop problém (F F s). Uved te příklad problému znázorněného Ganttovým diagramem pro 5 úloh a pro s = 3, kde jednotlivé fáze nejsou tvořeny jedním strojem. Úlohy mají navíc dobu provádění ve všech fázích nenulovou. Hana Rudová, Fakulta informatiky, Masarykova univerzita 3

4 3.6. Na co se používá nastavovací (setup) doba? Uved te praktický příklad použití Jaká omezení (komponenta β Grahamovy klasifikace) znáte? Uved te alespoň tři příklady s jejich stručným popisem Napište dva příklady různých problémů zapsaných pomocí Grahamovy klasifikace tak, aby se jednotlivé komponenty problémů lišily. Uved te zároveň stručný popis (u kritérii definici) jednotlivých parametrů Formulujte optimalizační kritéria makespan (maximální čas konce úloh), lateness (zpoždění) a tardiness (nezáporné zpoždění). Porovnejte rozdíly mezi nimi Jaká znáte optimalizační kritéria spojená s termínem dokončení? Uved te dva příklady zahrnující definice kritérií Jakým optimalizačním kritériem lze minimalizovat cenu za skladování při výrobě? Uved te jeho definici Jaké vlastnosti bude mít rozvrh při volbě robustnosti jako optimalizačního kritéria? Pro jaké problémy může mít taková volba smysl? 4 Složitost 4.1. Uved te příklady polynomiálního a NP-těžkého rozvrhovacího problému i s jejich Grahamovou klasifikací. 2 Lokální prohledávání 5 Lokální prohledávání obecně 5.1. Co rozumíte pod pojmem lokální změna? Uved te příklad pro problém 1 r j C max Popište rozdíl mezi konstruktivními a lokálními metodami lokálního prohledávání Napište základní algoritmus lokálního probledávání pro problém rozvrhování Jakým způsobem je reprezentován rozvrh pro jeden stroj při použití algoritmů lokálního prohledávání? Uved te dva příklady, jakým způsobem může být definováno okolí. V příkladech uved te velikost okolí Jaký je rozdíl mezi deterministickými a pravděpodobnostními metodami výběru v algoritmech lokálního prohledávání? Uved te algoritmus s deterministickým a pravděpodobnostní metodou výběru Uved te příklady alespoň 2 typů podmínek ukončení používaných v kontextu algoritmů lokálního prohledávání Uvažujte algoritmus lokálního prohledávání pro následující problém minimalizace makespan na 1 stroji bez preempce. úlohy r j p j Do okolí zahrňte všechny rozvrhy, které mohou vzniknout párovou výměnou sousedních úloh. Z těch vyberte do další iterace vždy nejlepší rozvrh, a to pouze pokud zlepšuje hodnotu optimalizačního kritéria. Jako iniciální rozvrh zvolte: Hana Rudová, Fakulta informatiky, Masarykova univerzita 4

5 (a) 2, 3, 4, 5, 1 (b) 2, 4, 5, 1, 3 Pro obě varianty realizujte tři kompletní iterace algoritmu, pokud výpočet neskončí dříve. 6 Tabu prohledávání 6.1. Co je to tabu seznam v kontextu tabu prohledávání? Jaká délka tabu seznamu se obvykle používá? K čemu může dojít, je-li příliš krátký či dlouhý? 6.2. Jak se používá aspirační kritérium v algoritmech tabu prohledávání? 6.3. Napište algoritmus tabu prohledávání pro řešení obecného rozvrhovacího problému Uvažujte rozvrhovací problém s 1 d j w j T j úlohy p j d j w j a tabu prohledávání s následujícími parametry: okolí tvoří všechny rozvrhy, které získáme párovou výměnou sousedních úloh; z okolí je vybrán nejlepší rozvrh; iniciální rozvrh je (1, 2, 3, 4); tabu seznam tvoří pár úloh, který byl přehozen při jedné poslední změně. Ukažte, jakým způsobem probíhá výpočet v prvních dvou iteracích Uvažujte rozvrhovací problém s 1 r j C max a tabu prohledávání s uvedenými parametry: úlohy r j p j okolí tvoří všechny rozvrhy, které získáme párovou výměnou sousedních úloh; z okolí je vybrán nejlepší rozvrh; iniciální rozvrh je (1, 2, 3, 4); tabu seznam tvoří pár úloh, který byl přehozen při jedné poslední změně. Ukažte, jakým způsobem probíhá výpočet v prvních dvou iteracích. 7 Simulované žíhání 7.1. Používá algoritmus simulovaného žíhání deterministickou nebo pravděpodobní metodu výběru řešení? Jakou konkrétní roli ve výběru hraje výše parametru chlazení? 7.2. Jakým způsobem se v algoritmu simulovaného žíhání mění parametr chlazení? Popište hlavní praktický důsledek těchto změn. Uved te příklad funkce, která se používá pro změnu parametru chlazení Uved te a vysvětlete Metropolisovo kritérium používané u algoritmu simulovaného žíhání Napište algoritmus simulovaného žíhání. Hana Rudová, Fakulta informatiky, Masarykova univerzita 5

6 7.5. Proved te tři kompletní iterace algoritmu simulovaného žíhání pro problém 1 d j w j T j : úlohy p j d j w j Do okolí zahrňte všechny rozvrhy vzniklé párovou výměnou sousedních úloh. Z okolí vyberte vždy úlohu s nejnižší hodnotu účelové funkce. Vyjděte z iniciálního rozvrhu (3,1,4,2). Zvolte α(t) = 0.9 t, t 0 = Jako náhodná čísla použijte v řadě 0.02, 0.74, Můžete využít znalost e 3/ = Genetické algoritmy 8.1. Porovnejte v čem spočívají rozdíly a společné rysy mezi tabu prohledáváním a genetickými algoritmy Popište význam a princip křížení v kontextu genetických algoritmů. Jaké nevýhody má operátor jednoduchého křížení a jak se jim můžeme vyhnout? 8.3. Uved te příklad operátoru křížení pro genetické algoritmy a problém rozvrhování na jednom stroji. Na příkladu ukažte, jak Vámi definovaný operátor pracuje Popište algoritmus částečně mapovaného křížení PMX Uvažujte genetický algoritmus řešící problém, jehož výstupem je pořadí zpracování úloh na jednom stroji. Pomocí algoritmu PMX (částečně mapovaného křížení) najděte potomka jedinců (rodič 1) a (rodič 2). V úvodním kroku do potomka zkopírujte pás alel z pozic 3 7 z 1. rodiče Co to je mutace a jak se používá? V čem může být mutace užitečná pro genetický algoritmus? Uved te tři příklady mutace pro rozvrhovací problém s jedním strojem Popište princip výběru jedince pomocí ruletového kola v kontextu genetických algoritmů a na příkladu ukažte, jak funguje V jedné iteraci genetického algoritmu mají jedinci v populaci vhodnost po řadě 5, 1, 6, 8. Spočtěte pravděpodobnosti výběru každého z nich v jednom kroku výběru metodou ruletového kola V kontextu genetických algoritmů popište princip turnajového výběru Jak mohou genetické algoritmy zaručit přežití nejlepšího jedince? Může to mít i nějaké nevýhody? Napište genetický algoritmus pro konstrukci rozvrhu Uvažujte rozvrhovací problém s 1 T j a pomocí genetického algoritmu nalezněte řešení po provedení tří iterací algoritmu s uvedenými parametry: velikost populace je 3; úlohy p j d j iniciální populace je následující 3421, 2314, 4231; pro reprodukci je použita párová výměna sousedů; Hana Rudová, Fakulta informatiky, Masarykova univerzita 6

7 z možných potomků je vybrán nejvhodnější a nahradí nejméně vhodného jedince z předchozí generace; duplikace potomků není povolena Uvažujte montážní linku produkující 5 různých výrobků. Pomocí genetického algoritmu nalezněte optimální pořadí produkce těchto výrobků minimalizující celkovou nastavovací dobu pro jeden výrobní cyklus. Nastavovací doby jsou následující: úlohy Rozvrh reprezentujte jako posloupnost čísel výrobků. Použijte populaci o 3 jednotlivcích, začněte s iniciální populací 32415, 42351, Při reprodukci použijte elitářský model a párové výměny sousedních prvků. Mezi možnými párovými výměnami vybírejte náhodně, všem přidělte stejnou pravděpodobnost. Proved te kompletní výpočet dvou iterací algoritmu. 3 Řídící pravidla 9 Řídící pravidla 9.1. Co je to řídící pravidlo? Na příkladu s minimálně šesti úlohami demonstrujte užití řídícího pravidla Popište chování čtyř různých řídících pravidel Jaká řídící pravidla byste použili pro minimalizaci maximálního zpoždění a odlišnosti v době čekání na stroj. Popište je Popište, jakým způsobem se chová řídící pravidlo minimální rezervy a vytvořte rozvrh pro následující úlohy a jeden stroj pomocí tohoto pravidla. úloha p i d i Spočítejte pro Vaše řešení, jaké hodnoty nabývají účelové funkce L max a j T j Jaký je rozdíl mezi statickým a dynamickým řídícím pravidlem? Uved te definici jednoho statického a jednoho dynamického řídícího pravidla Čím se liší lokální a globální řídící pravidla? Popište jeden příklad globálního řídícího pravidla Která řídící pravidla jsou vhodná pro minimalizaci vážených součtů časů konců úloh a makespan? Popište je Vytvořte rozvrh pro problém 1 r j j C j pomocí pravidla Nejkratší doba provádění (Shortest Processing Time SPT). Hana Rudová, Fakulta informatiky, Masarykova univerzita 7

8 úloha r j p j Spočítejte pro Vaše řešení hodnotu účelové funkce. Jak by se výsledný rozvrh lišil, pokud bychom neuvažovali termín dostupnosti r j a řešili bychom problém 1 j C j (uved te výsledný rozvrh a spočítejte pro něj hodnotu účelové funkce)? 9.9. Popište, jakým způsobem se chová řídící pravidlo Vážená nejkratší doba provádění (Weighted Shortest Processing Time WSPT) a vytvořte rozvrh pro problém 1 r j j w jc j úloha r j p j w j Spočítejte pro Vaše řešení hodnotu účelové funkce. Jak by se výsledný rozvrh lišil, pokud bychom neuvažovali termín dostupnosti r j a řešili bychom problém 1 w j C j (uved te výsledný rozvrh a spočítejte pro něj hodnotu účelové funkce)? Popište dva příklady řídících pravidel pro problémy s precedenčními omezeními Popište chování řídících pravidel Shortest Queue on Next Operation (SQNO) a Least Flexible Job First (LFJ) Zhodnot te výhody a nevýhody řídících pravidel. Kde zejména nacházejí své uplatnění? 4 Matematické programování 10 Matematické programování Popište lineární program, včetně oboru proměnných a koeficientů. Čím se od něj liší celočíselný program či mixed-integer program? Které z těchto druhů matematických programů jsou užitečnější pro rozvrhování a proč? Jakými metodami se řeší lineární programy (stačí název)? Stručně popište metodu řezné roviny a metodu větví a mezí pro řešení celočíselných programů. Co předchází aplikaci těchto metod? Formulujte problém 1 r j, p j = 1 w j C j pomocí celočíselného programování (tj. uved te popis proměnných, optimalizační funkci a předpoklady) Formulujte problém 1 prec w j C j pomocí celočíselného programování (tj. uved te popis proměnných, optimalizační funkci a předpoklady). 5 Omezující podmínky 11 Problém splňování podmínek V kontextu omezujících podmínek definujte množinu doménových proměnných a doménu. Hana Rudová, Fakulta informatiky, Masarykova univerzita 8

9 11.2. Definujte pojem omezení v kontextu programování s omezujícími podmínkami. Co musí platit, aby se omezení nazývalo splněné? Uved te příklad omezení a ukažte, kdy je splněno a kdy není splněno Popište problém splňování podmínek. Jak je definováno jeho řešení? Ukažte příklad problému splňování podmínek, který má právě dvě řešení Uved te konkrétní příklad problému splňování podmínek a na něm ukažte pojmy množina doménových proměnných, doména, omezení a řešení problému splňování podmínek. Příklad problému splňování podmínek navrhněte tak, aby měl alespoň pět proměnných a pět omezení Co je to filtrace domén? K čemu slouží při řešení problému splňování podmínek? Uved te příklad filtrace domény Co je to hranová konzistence (AC)? Kdy nazýváme problém splňování podmínek (CSP) hranově konzistentní? Ukažte příklad problému, který je hranově konzistentní a příklad problému, který není hranově konzistentní Jak se v problému splňování podmínek zajišt uje hranová konzistence? Napište algoritmus AC-8 pro zajištění hranové konzistence. Čím se liší od algoritmu AC-3? Použijte algoritmus AC-8 pro zajištění hranové konzistence na problém splňování podmínek: A in , B in , C in A B C, A + B = 4, B + C = Uved te kostru algoritmus přiřazování (labeling) používaný při řešení problému splňování podmínek. Jaký typ prohledávání se zde používá? Proč není pro řešení problému splňování podmínek dostačující algoritmus pro hranovou konzistenci a musí být doplněn prohledávacím algoritmem? Popište techniku pohledu dopředu (MAC) pro prohledávání při řešení problému splňování podmínek Navrhněte a napište modifikaci techniky pohledu dopředu (MAC) tak, aby používala větvení stavového prostoru typu (Promenna=Hodnota Promenna Hodnota) Použijte algoritmus MAC (technika pohledu dopředu) na problém splňování podmínek: A in , B in , C in A B, A C, A < B, A + B + C = 4 při výběru proměnné preferujte tu, která má nejmenší doménu preferujte hodnoty, které jsou více podporovány v součtu přes všechny podmínky Popište způsoby větvení prohledávacího algoritmu pro řešení problému splňování podmínek. Co jsou to princip prvotního neúspěchu (first-fail) a princip prvotního úspěchu (succeedfirst)? Který z nich se obvykle používá pro výběr proměnné k přiřazení a který pro výběr hodnoty? Hana Rudová, Fakulta informatiky, Masarykova univerzita 9

10 12 Rozvrhování jako problém splňování podmínek Popište, jaké doménové proměnné jsou nutné k popisu rozvrhování jako problému splňování podmínek (včetně uvedení domén jednotlivých typů proměnných) Jak se liší omezení pro začátek, dobu trvání a konec úlohy, je-li preempce (přerušení aktivity) zakázána nebo povolena? Pomocí omezujících podmínek vyjádřete (a) precedenční omezení mezi úlohami A, B, (b) disjunktivní omezení (tj. nepřekrývání) těchto úloh. V obou případech předpokládejte, že úlohy jsou nepřerušitelné. 13 Podmínky pro zdroje Vysvětlete pojmy unární zdroj, kumulativní zdroj a produkovatelný/spotřebovatelný zdroj. Ke každému typu zdroje uved te příklad reálného zdroje, který je vhodné tímto typem modelovat Popište některé z odvozovacích pravidel pro zdroje používané v kontextu programování s omezujícími podmínkami a uved te jakým způsobem pro něj probíhá filtrace domén Ukažte na příkladu, kdy a jak je možné aplikovat algoritmus hledání hran (edge finding) Jaká jsou odvozovací pravidla pro algoritmus hledání hran (edge finding)? Demonstrujte na příkladu Ukažte na příkladu, kdy a jak je možné aplikovat algoritmus Ne-první/ne-poslední (notfirst/not-last) Jaká jsou odvozovací pravidla pro algoritmus Ne-první/ne-poslední (not-first/not-last)? Demonstrujte na příkladu Popište principy hledání hran a metody ne-první/ne-poslední tak, aby bylo jasné v čem se tyto metody liší a co mají společného Napište odvozovací pravidla metod hledání hran a ne-první/ne-poslední pro úlohy sdílející jeden zdroj o kapacitě 1. Lze pomocí nich vytvořit úplný rozvrh pro uvedený problém? úloha p i d i Jak je možné modelovat zdroj s kapacitou proměnnou v čase s pomocí zdroje konstantní kapacity? Definujte tabulku (timetable) pro aktivitu A a podmínku tabulky (timetable constraint). K čemu tato podmínka slouží? Popište odvozovací pravidla pro podmínku tabulky (timetable constraint) Napište konkrétní omezující podmínky pro podmínku tabulky (timetable constraint) pro následující úlohy: úloha p i d i Hana Rudová, Fakulta informatiky, Masarykova univerzita 10

11 Úlohy sdílejí zdroj o kapacitě 2. Pokuste se odvodit rozvrh pomocí odvozovacích pravidel a popište jednotlivé kroky odvození Jaká technika se používá pro modelování alternativnách zdrojů pro aktivitu? Popište související odvozovací pravidla Vysvětlete pojem optimistický zdrojový profil v kontextu programování s omezujícími podmínkami a uved te vztah pro jeho výpočet Vysvětlete pojem pesimistický zdrojový profil v kontextu programování s omezujícími podmínkami a uved te vztah pro jeho výpočet Srovnejte pojmy optimistický zdrojový profil a pesimistický zdrojový profil v kontextu programování s omezujícími podmínkami Vypočtěte hodnotu optimistického zdrojového profilu pro úlohu C a je-li to možné, rozhodněte, může-li být naplánována po A. Počáteční (maximální) kapacita zdroje je 4 a minimální 0. Je dána precedence C << D. úloha A B C D E cap i Vypočtěte hodnotu pesimistického zdrojového profilu pro úlohu C a je-li to možné, rozhodněte, může-li být naplánována po A. Počáteční (maximální) kapacita zdroje je 0 a maximální 5. Je dána precedence C << D. 14 Globální omezení úloha A B C D E cap i Uved te tři různé globální podmínky používané pro rozvrhování a pro každou z těchto podmínek ukažte na příkladu způsob jejich použití Popište syntaxi a sémantiku globální omezující podmínky all_diffrent. Ukažte dále příklad použití této podmínky Popište syntaxi a sémantiku globální omezující podmínky cumulative využívanou pro reprezentaci unárního zdroje. Ukažte dále příklad použití této podmínky Popište syntaxi a sémantiku globální omezující podmínky cumulative využívanou pro reprezentaci kumulativního zdroje. Ukažte dále příklad použití této podmínky Popište syntaxi a sémantiku globální omezující podmínky cumulatives. Ukažte dále příklad použití této podmínky Vyjádřete globální omezující podmínkou, že státní zkouška každého studenta musí začínat v jiný čas (reprezentovaný hodinou). Intervaly možných začátků jsou: student od do Zapište pomocí globálních omezujících podmínek problém rozvržení následujících úloh sdílejících zdroj o kapacitě 3. Hana Rudová, Fakulta informatiky, Masarykova univerzita 11

12 úloha p i cap i Vyjádřete globální omezující podmínkou problém rozvrhování výpočetních úloh na 4 stroje, není-li umožněna preempce a běžící úloha se nemůže přesouvat mezi stroji. 15 Rozvrhovací strategie úloha p i cap i Popište mechanismus větvení v technikách prohledávání a přiřazování v kontextu programování s omezujícími podmínkami. Jaký mají při větvení význam rozvrhovací strategie? K čemu se používá rezerva při rozvrhování s omezujícími podmínkami? Definujte pojem rezervy dvou aktivit v kontextu programování s omezujícími podmínkami Popište využití rezervy dvou aktivit v rozvrhovacích strategiích. Jaký pár aktivit je uspořádán první, jaké pořadí bývá zvoleno, a proč? Popište strategii větvení první/poslední v kontextu programování s omezujícícmi podmínkami Definujte pojem zdrojová rezerva v kontextu programování s omezujícími podmínkami (včetně uvedení matematického vztahu, jak se tato rezerva spočítá). Jak jí lze využít v rozvrhovacích strategiích? 6 Plánování projektu 16 Úvod Popište základní problém plánování projektu. Jak se rozšiřuje o variabilní dobu trvání a pracovní sílu? Uved te konkrétní příklady takových problémů. 17 Reprezentace projektu Různé způsoby reprezentace projektu znázorňují úlohu jako hranu, uzel nebo obdélník. Popište tyto způsoby reprezentace a ukažte je na příkladě jednoduchého projektu. Kde se v tomto kontextu používají pomocné (dummy) úlohy a proč? Demonstrujte nutnost jejich použití na příkladu. 18 Neomezené zdroje Popište problém plánování projektu s neomezenými zdroji jako problém plánování úloh. Uved te Grahamovu klasifikaci problému Co jsou to v kontextu metody kritické cesty úloha s rezervou a kritická úloha? Napište algoritmus pro nalezení kritické cesty Pro následující problém plánování projektu uved te graf kritických cest, Hana Rudová, Fakulta informatiky, Masarykova univerzita 12

13 úlohy s rezervou (slack jobs) a jejich rezervu, nejpozdější startovní čas všech úloh doba trvání Variabilní doba trvání Definujte pojem marginální cena v kontextu problému plánování projektu Jakým způsobem je definovaná cena za provádění projektu používaná při řešení problému plánování projektu s variabilní dobou trvání? Co je to (minimální) vrcholový řez grafu? Napište algoritmus kompromisní heuristiky mezi časem a cenou pro problém plánování projektu s variabilní dobou trvání Pro následující vstup realizujte jeden kompletní krok algorimu kompromisní heuristiky mezi časem a cenou pro problém plánování projektu. V řešení nezapomeňte uvést iniciální kritické cesty, všechny minimální řezy a nové kritické cesty po proběhnutí kroku algoritmu. Jaká bude iniciální cena a cena po realizaci jednoho kroku algoritmu za předpokladu, že fixní režijní náklady jsou c 0 = 4? ,3 7, ,4 7 9, ,3 4,3 5,1 7, ,1 j legenda min j b j j p p c,c max j Víte, za jakých podmínek algoritmus kompromisní heuristiky skončí? Napište formulaci lineárního programu pro řešení problému plánování projektu s variabilní dobou trvání. Uved te popis proměnných, optimalizační funkci a omezení. 20 Přidání pracovní síly Formulujte problém plánování projektu s omezenými zdroji (resource-constrained project scheduling problem, RCPSP) Napište formulaci celočíselného programování pro problém plánování projektu s přidáním pracovní síly. Uved te popis proměnných, optimalizační funkci a omezení. 7 Plánování úloh 21 Popis problému Opakování. Hana Rudová, Fakulta informatiky, Masarykova univerzita 13

14 22 Řídící pravidla Která řídící pravidla se používají pro řešení problémů plánování úloh? Dokážete uvést tři reprezentanty těchto problémů (zapište je v Grahamově klasifikaci) spolu s doporučeným řídícím pravidlem? Jaký je vztah mezi řídícími pravidly nejdřívější termín dokončení (EDD) a minimální rezerva (MS)? Jaká je složitost problému P m C max? Lze jej efektivně řešit použitím řídícího pravidla? Jakým řídícím pravidlem je možné řešit problém P m C j pro r j = 0? Liší se nějak řešení pro preemptivní variantu problému? Je řešení problému P m C j stejně obtížné jako řešení problému P m w j C j (uved te složitost řešení obou problémů)? Jaké řídící pravidlo byste použili pro problém P m w j C j? Dokažte, že řídící pravidlo vážená nejkratší doba trvání (weighted shortest processing time, WSPT) je optimální pro problém 1 w j C j (tj. r j = 0, d j = ) Co jsou to kompozitní řídící pravidla? Uved te příklad kompozitního pravidla a diskutujte, která řídící pravidla používá a proč Definujte řídící pravidlo Apparent Tardiness Cost (ATC). Popište jeho parametry a jejich efekt na chování pravidla. Jaké statistiky se používají pro nastavení parametrů? Porovnejte složitost řešení problémů 1 r j L max a 1 L max. Jaké metody řešení se pro tyto problémy používají? Dávají některé metody optimální řešení? Porovnejte problémy 1 r j L max a 1 r j, prmp L max. Který z těchto problému je složitější a proč? Lze některý z nich optimálně řešit řídícími pravidly? Vytvořte rozvrh podle pravidla EDD (Earliest Due Date, nejdřívější termín dokončení) pro problém 1 r j L max a podle pravidla preemptivní EDD pro problém 1 r j, prmp L max, kde úloha p i r i d i Jaká je hodnota účelové funkce pro jednotlivé problémy? 23 Metoda větví a mezí Popište princip metody větví a mezí. Víte, jak lze v této metodě využít hranice ceny řešení relaxovaného/zjednodušeného problému? Uved te příklad problému a odpovídajícího relaxovaného problému Který problém lze použít jako relaxaci problému 1 r j L max při jeho řešení metodou větví a mezí? Proč je v tomto konkrétním příkladě řešení relaxovaného problému jednodušší než řešení problému původního? Popište postup větvení při aplikaci metody větví a mezí na řešení problému 1 r j L max. V rámci popisu uved te, která větvení musíme na dané úrovni uvažovat Popište princip práce s mezemi při aplikaci metody větví a mezí na řešení problému 1 r j L max (jak se meze počítají a jak se využívají). Hana Rudová, Fakulta informatiky, Masarykova univerzita 14

15 23.5. Pomocí metody větví a mezí (branch & bound) nalezněte optimální řešení zadaného problému typu 1 r j L max. V řešení uved te, jakým způsobem vypadá prozkoumávaný graf prohledávacího prostoru. 24 Paprskové prohledávání úloha p j r j d j Popište princip paprskového prohledávání (beam search). Na příkladu ukažte, jak tento algoritmus funguje. Od kterého algoritmu je paprskové prohledávání odvozeno a v čem se od něj liší? Popište a srovnejte metodu větví a mezí (branch&bound) s paprskovým prohledáváním (beam search). Uved te příklady problémů, které lze pomocí těchto metod řešit K čemu v metodě paprskového prohledávání slouží parametr šířka paprsku (beam width)? Jak ovlivňuje přesnost a rychlost výpočtu? Popište princip dvoufázové evaluační procedury pro metodu paprskového prohledávání. Čím je tato procedura výhodná? 25 Popis job shop Opakování. 26 Disjunktivní grafová reprezentace Co to je disjunktivní grafová reprezentace (uved te definici)? Ukažte na netriviálním problému (alespoň 3 stroje, 3 úlohy a 8 operací) jeho disjunktivní grafovou reprezentaci Co to je disjunktivní grafová reprezentace a splnitelný výběr (pro získání plného počtu bodů uved te definici)? Ukažte to na následujícím job shop problému a zkonstruujte rozvrh dle Vámi navrženého splnitelného výběru: úlohy: J1 (2, 1) (1, 1) (3, 1) J2 (4, 2) J3 (4, 3) (2, 3) J4 (2, 4) (1, 4) (3, 4) doby provádění: p 11 = 3, p 21 = 2, p 31 = 1, p 42 = 2, p 23 = 2, p 43 = 3, p 14 = 1, p 24 = 1, p 34 = 4 Dále nalezněte nějaký splnitelný výběr pro tento problém a zkonstruujte odpovídající rozvrh Uved te disjunktivní grafovou reprezentaci a splnitelný výběr pro následující problém. Vysvětlete čím se disjunktivní grafová reprezentace a splnitelný výběr liší. Napište také úplné zadání tohoto problému včetně všech jeho parametrů a jejich klasického značení. Hana Rudová, Fakulta informatiky, Masarykova univerzita 15

16 M M M Popište algoritmus výpočtu rozvrhu pro job shop problém ze splnitelného výběru jeho disjunktivní grafové reprezentace Napište postup nalezení splnitelného výběru disjunktivní grafové reprezentace z rozvrhu pro job shop problém. 27 Matematické programování a job shop Popište, jak jsou formulovány problémy, které řešíme pomocí disjunktivního programování Popište job shop problém typu J m C max a uved te jeho formulaci pomocí disjunktivního programování (tj. uved te formulaci matematického programování určením proměnných, optimalizačního kritéria a předpokladů). Co reprezentuje disjunkce v disjunktivním programování? 28 Metoda větví a mezí pro job shop Jaké vlastnosti má rozvrh, pokud je (a) bez zdržení, (b) aktivní? Uved te příklad neaktivního rozvrhu a upravte ho tak, aby se z něj stal aktivní rozvrh. Podobně uved te příklad rozvrhu se zdržením a upravte ho tak, aby se z něj stal rozvrh bez zdržení Napište algoritmus pro generování všech aktivních rozvrhů pro problémy typu job-shop Pro zadaný job-shop problém ukažte jak bude inicializován algoritmus generování všech aktivních rozvrhů a proved te dva kroky tohoto algoritmu. úlohy: J 1 (2, 1) (3, 1) J 2 (1, 2) (2, 2) (3, 2) J 3 (3, 3) (1, 3) (2, 3) doby provádění: p 21 = 4, p 31 = 3, p 12 = 2, p 22 = 1, p 32 = 3, p 33 = 3, p 13 = 2, p 23 = Jakým způsobem vypočítáme dolní hranici při řešení job shop problému metodou větví a mezí? V rámci odpovědi diskutujte, které podproblémy používáme pro stanovení dolní meze, a jak je jejich řešení (hodnota účelové funkce) využito při definici dolní hranice. Hana Rudová, Fakulta informatiky, Masarykova univerzita 16

17 29 Posunování kritického místa (shifting bottleneck) Stručně popište základní myšlenky heuristiky posunování kritického místa Napište postup výběru stroje pro rozvrhování používaný v jednotlivých krocích heuristiky posunování kritického místa. Jaký vztah platí pro hodnotu makespanu pro dosud narozvrhovanou množinu strojů s nově narozvrhovaným/vybraným strojem? Jak probíhá přeplánování strojů v heuristice posunování kritického místa? Co je jeho cílem? Popište podproblém s jedním strojem v rámci heuristiky posunování kritického místa. Jakým způsobem se počítají parametry tohoto problému? Pro zadaný job-shop problém vypočtěte, který stroj bude rozvrhován jako druhý v heuristice posunování kritického místa: úlohy: J 1 (2, 1) (3, 1) J 2 (1, 2) (2, 2) (3, 2) J 3 (3, 3) (1, 3) (2, 3) úloha (2,1) (3,1) (1,2) (2,2) (3,2) (3,3) (1,3) (2,3) p j d j Lokální prohledávání pro job shop Jakým způsobem je reprezentován rozvrh pro jeden stroj a pro problémy typu job shop při použití algoritmů lokálního prohledávání? Jakým způsobem může být definováno okolí pro jednotlivé problémy? Napište algoritmus lokálního prohledávání pro problémy typu job shop s optimalizací makespan. Zaměřte se zejména na reprezentaci rozvrhu, popis okolí. 8 Rozvrhování montážních systémů 31 Montážní linka s flexibilním časem Popište rozdíly mezi problémy typu job shop a montážní linka (flexible assembly system). Jak se liší problémy montážní linky s flexibilním časem, fixním časem a s paralelními pracovními stanicemi? Popište problém montážní linky s flexibilním časem a uved te reálný příklad Vysvětlete pojem blokování v kontextu montážní linky s flexibilním časem. Jak se v tomto problému pracuje s frontami mezi stroji? Co je to cyklický rozvrh pro problém montážní linky? Zhodnot te vliv nastavovacích dob na cyklické rozvrhy Co to je minimální podílová množina (minimum part set)? Uved te netriviální příklad minimální podílové množiny. Jaké znáte různé typy problémů, při jejichž řešení se minimální podílová množina používá? Hana Rudová, Fakulta informatiky, Masarykova univerzita 17

18 31.6. Co to je profil úlohy v rámci heuristiky padnoucího profilu pro problém montážní linky s flexibilním časem? Ukažte příklad profilu úlohy pro první dvě úlohy na třech strojích Popište heuristiku padnoucího profilu pro problém montážní linky s flexibilním časem Pomocí heuristiky padnoucího profilu vypočtěte cyklický rozvrh pro montážní linku s flexibilním časem. N i p 1i p 2i p 3i Montážní linka s fixním časem Popište problém montážní linky s fixním časem a uved te příklad takového problému. Čím se liší od problému montážní linky s flexibilním časem? Co jsou to skupiny výrobků v kontextu montážní linky s fixním časem? Jak jsou v problému montážní linky s fixním časem definovány operace omezující kapacitu (kritické operace)? Napište heuristický algoritmus seskupování a distribuce (grouping and spacing) pro řešení problému montážní linky s fixním časem Je zadán následující problém montážní linky s fixním časem: (a) doba trvání všech úloh je jednotková (b) úlohy mají zadán atribut a j, termín dokončení d j a váhu w j (c) pokud je úloha dokončena po termínu dokončení, pak je penalizována w j T j (d) pokud mají dvě po sobě prováděné úlohy k a l odlišný atribut, pak je nutná cena za nastavení a k a l. Úlohy a j d j 4 3 w j Nalezněte posloupnost úloh s minimální cenou pomocí heuristiky seskupování a distribuce (grouping and spacing). Jaká je cena řešení? 33 Montážní linka s paralelními pracovními stanicemi Popište problém montážní linky s paralelními pracovními stanicemi. Co v tomto kontextu znamená bypass? Popište kostru algoritmu plnění paralelních pracovních stanic (flexible flow line loading, FFLL). Jaká kritéria tento algoritmus optimalizuje? Popište heuristiku dynamického balancování pro seřazení úloh v minimální podílové množině (MPS) Napište hlavní myšlenky fáze doby dostupnosti algoritmu plnění paralelních pracovních stanic (FFLL) Uvažujte problém montážní linky s paralelními pracovními stanicemi: Hana Rudová, Fakulta informatiky, Masarykova univerzita 18

19 úloha p 1j p 2j p 3j Pomocí algoritmu plnění paralelních pracovních stanic přiřad te úlohy specifickým strojům na všech stanicích a určete, která úloha bude v MST první. 9 Rezervace 34 Úvod Popište problém rezervačního systému, cíl jeho řešení a obvykle používaná optimalizační kritéria. Uved te příklad aplikace rezervačních systémů Čím se liší rezervační systémy bez rezervy a s rezervou? Které účelové funkce jsou pro tyto problémy charakteristické (v čem je hlavní rozdíl od účelových funkcí uvažovaných pro plánování strojů)? 35 Intervalové rozvrhování Popište problém intervalového rozvrhování a napište optimální algoritmus pro řešení instance tohoto problému, který nalezne minimální počet identických strojů potřebných pro naplánování všech úloh s jednotkovou váhou Napište formulaci celočíselného programování pro problém intervalového rozvrhování Jak se změní problém intervalového rozvrhování, jeho složitost a formulace celočíselného programování, mají-li všechny úlohy jednotkovou dobu trvání? Napište algoritmus pro řešení problému intervalového rozvrhování s jednotkovou vahou úloh a identickými stroji (máme konečný počet strojůj. Jaká se v tomto případě používá účelová funkce? Řešte následující problém intervalového rozvrhování pro úlohy jednotkové váhy a dva identické stroje tak, aby byl maximalizován počet realizovaných úloh. Ukažte, jak vypadá rozvrh po každé iteraci algoritmu. úloha r j d j Napište algoritmus pro řešení problému intervalového rozvrhování s jednotkovou vahou úloh a nelimitovaným počtem identických strojů. Jaký je v tomto případě optimalizační cíl? Pro problém intervalového rozvrhování s jednotkovou váhou a identickými stroji najděte minimální počet potřebných strojů tak, aby byly všechny úlohy realizovány. Rozepište všechny iterace výpočtu. j r j d j Problém intervalového rozvrhování s jednotkovou vahou úloh a nelimitovaným počtem identických strojů lze přeformulovat na speciální případ barvení grafu. Popište tuto korespondenci a diskutujte, v čem je tento speciální případ jednodušší než obecný problém barvení grafu. Hana Rudová, Fakulta informatiky, Masarykova univerzita 19

20 36 Rezervační systém s rezervou Napište algoritmus maximalizace váženého počtu aktivit pro rezervační systém s rezervou. Popište princip výpočtu prioritních indexů pro úlohy i stroje Specifikujte příklad funkce, která se používá pro výpočet prioritního indexu pro úlohu při maximalizaci váženého počtu aktivit pro rezervační systém s rezervou. Podobně napište příklad funkce pro výpočet prioritního indexu pro stroj Pomocí algoritmu maximalizace váženého počtu aktivit vytvořte rozvrh pro problém rezervačního systému s rezervou. Rozepište jednotlivé iterace algoritmu. j p j r j d j w j M j {1, 2} {1, 2} {1} {2} {1} {2} 10 Rozvrhování jako timetabling 37 Úvod Popište problém plánování projektu s omezenými zdroji (resource-constrained project scheduling problem, RCPSP). Jak jsou od něj odvozeny problémy rozvrhování s operátory a rozvrhování s pracovní sílou? Uved te aplikace obou problémů. 38 Rozvrhování s operátory Popište problém rozvrhování s operátory jako problém barvení grafu. Rozlište varianty problému existence řešení a optimalizačního problému Napište algoritmus heuristiky, která umožní řešit problém barvení grafu. Které rozvrhovací problémy je možné pomocí této heuristiky řešit? Pomocí heuristiky pro barvení grafu najděte rozvrh s minimálním makespan pro problém rozvrhování s operátory. Firma zaměstnává 4 operátory různých odborností. úloha A B C D Popište problém intervalového rozvrhování a problém rozvrhování s operátory. Jaká se zde používají optimalizační kritéria? Reformulujte následující problém intervalového rozvrhování jako problém rozvrhování s operátory. Úloha p j r j d j Hana Rudová, Fakulta informatiky, Masarykova univerzita 20

21 39 Rozvrhování s pracovní silou Znáte nějaký problém z oblasti rozvrhování, který lze namapovat na problém plnění košů (bin-packing)? Popište tento problém a uved te mapování. Uved te příklad a popis alespoň jedné heuristiky, která se využívá při řešení problému plnění košů Řešte následující problém rozvrhování s pracovní silou pomocí heuristiky prvního padnoucího koše (first fit FF). Firma zaměstnává 50 zaměstnanců, kteří mají realizovat 10 zakázek. Každá zakázka je zpracovávána jeden den a pracuje na ní zadaný počet zaměstnanců. Cílem řešení je narozvrhování všech zakázek v minimálním počtu dnů. Zakázky Počet zaměstnanců Znáte nějakou efektivnější heuristiku pro řešení tohoto problému? Jaké bude řešení v tomto případě? Popište heuristiku prvního padnoucího koše se zmenšováním úloh. Jaký rozvrhovací problém je možné řešit pomocí této heuristiky? 11 Rozvrhování zaměstnanců 40 Úvod Bez příkladů. 41 Rozvrhování volných dnů Popište problém rozvrhování volných dnů Jaká omezení se používají pro stanovení dolní hranice počtu zaměstnaců v problému rozvrhování volných dnů? Uved te matematické vztahy a vysvětlete, jak je možné je odvodit Určete minimální potřebný počet zaměstnanců v problému rozvrhování volných dnů, má-li každý zaměstnanec volné 2 ze 4 víkendů, pracuje přesně 5 ze 7 dnů od pondělí do neděle a pracuje nejvýše 6 po sobě jdoucích dnů. Den Počet zaměstnanců Jakým způsobem stanovíte dodatečný počet párů volných dnů v problému rozvrhování volných dnů? Napište dále algoritmus, jakým způsobem jsou konstruovány páry volných dnů Určete volné dny pro zaměstnance v uvedeném problému rozvrhování volných dnů, má-li každý zaměstnanec volné 2 ze 4 víkendů. Den Počet zaměstnanců Hana Rudová, Fakulta informatiky, Masarykova univerzita 21

22 42 Rozvrhování směn Popište problém rozvrhování směn a formulujte ho jako problém celočíselného programování Pracovní doba v továrně je od 6:00 do 22:00. Zaměstnanci mohou pracovat v následujících směnách a za každou z nich jsou placeni uvedeným platem směna doba plat V době od 6:00 do 8:00 jsou potřeba 4 zaměstnanci, mezi 8:00 a 14:00 je vyžadováno 8 zaměstnanců, od 14:00 do 18:00 celkem 5 zaměstanců a večer od 18:00 do 22:00 jsou nutni pouze 3 zaměstnanci. Naformulujte jako problém celočíselného programování, jakým způsobem je možné nalézt takový počet zaměstnanců na každou směnu, aby byla minimalizována celková výše peněz nutná na platy Naformulujte následující problém jako problém celočíselného programování. Na lince pracují zaměstnanci od 6:00 do 20:00. Každý ze zaměstnanců může pracovat na ranní směně (6:00-14:00), na krátké polední směně (10:00-14:00), na dlouhé polední směně (10:00-16:00) a nebo na večerní směně (14:00-20:00). Zaměstnavatel jim platí za ranní směnu 800 Kč, za krátkou polední 450 Kč, za dlouhou polední 650 Kč a za večerní směnu 700 Kč. V době od 6:00 do 10:00 je potřeba minimálně 20 zaměstnanců, od 10:00 do 14:00 30 zaměstnanců, od 14:00 do 16:00 25 zaměstnanců a od 16:00 do 20:00 je třeba minimálně 22 zaměstnanců. Jaký počet zaměstnanců je potřeba obsadit na každé směně, aby byla minimalizována celková cena za zaměstance za den? 43 Cyklické rozvrhování směn Popište problém cyklického rozvrhování směn. Čím se liší od (necyklického) problému rozvrhování směn? Napište postup řešení problému cyklického rozvrhování směn. Jaká je jeho složitost? 44 Rozvrhování pomocí omezujících podmínek Jakou globální omezující podmínku lze použít při řešení problému rozvrhování směn pro stanovení minimálního a maximálního počtu zaměstnanců každou směnu? Popište doménové proměnné (a jejich domény) v tomto omezní a ukažte, jak použijete tuto globální podmínku pro rozvrhování s pěti zaměstnanci, čtyřmi typy směn a pěti pracovními dny Jakou globální omezující podmínku lze použít při řešení problému rozvrhování směn pro stanovení minimálního a maximálního počtu typů směny pro každého zaměstnance? Popište doménové proměnné (a jejich domény) v tomto omezní a ukažte, jak použijete tuto globální podmínku pro rozvrhování se čtyřmi zaměstnanci, třemi typy směn a sedmi pracovními dny Formulujte problém cyklického rozvrhování směn pomocí globálních podmínek v kontextu programování s omezujícími podmínkami. Popište doménové proměnné, jejich domény a omezení. Hana Rudová, Fakulta informatiky, Masarykova univerzita 22

23 12 Rozvrhování předmětů na univerzitě 45 Popis problému Jaký je rozdíl mezi rozvrhováním s curriculy (curriculum-based timetabling) a rozvrhováním se zápisy studentů (enrollment-based timetabling)? Co je cílem řešení jednotlivých problémů? Co to je vážený problém splňování podmínek? Co to jsou měkké a pevné podmíny a jaký je mezi nimi rozdíl? U rozvrhování předmětů na univerzitě lze měkké podmínky lze rozdělit do čtyř základních kategorií, uvedt e jejich název a příklad ke každé z nich. Uved te dále jeden příklad pevné podmínky, která se používá v tomto problému, a přítom se nepoužívá jako měkká podmínka. 46 Iniciální tvorba rozvrhu Napište algoritmus iterativního dopředného prohledávání, který se používá například při rozvrhování předmětů na univerzitě Jakým způsobem se udržují hodnoty pro konfliktní statistiku používanou u algoritmu iterativního dopředného prohledávání? Předpokládejte, že konfliktní statistika u algoritmu iterativního dopředného prohledávání má uloženy následující hodnoty: X = a 1 Y = b, 5 Y = c, 50 Z = a, 100 W = a X = b 1 Y = a, 10 Y = b, 20 Z = a Jaká bude evaluace hodnot a a b pomocí konflitní statistiky při výběru hodnoty proměnné X, pokud je současné přiřazení Y = c, Z = a, W = b, X/a vede ke konfliktu s Y/c a W/a, X/b vede ke konfliktu s Y/b a Z/a. 47 Interaktivní rozvrhování Jaký je smysl interaktivního rozvrhování? Čím se interaktivní rozvrhování liší od iniciální tvorby rozvrhu? Jaké typy mezí využívá algoritmus opravné verze metody větví a mezí používaný například při rozvrhování předmětů na univerzitě? Proč jsou využívány právě tyto meze? Popište principy algoritmu opravné verze metody větví a mezí používaného při interaktivním rozvrhování. Hana Rudová, Fakulta informatiky, Masarykova univerzita 23