Matematika 6F fuzzy množiny
|
|
- Jiřina Pokorná
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Pojem fuzzy množiny Matematika 6F fuzzy množiny Mirko Navara navara/m6f/fset print.pdf. dubna 007. Minimum o klasických množinách Abychom se vyhnuli problémům, omezíme se na podmnožiny nějaké univerzální množiny univerza) X PX) značí množinu všech podmnožin množiny X Množinu A PX) jednoznačně určuje její charakteristická funkce µ A : X 0, }, pro x A, µ A x) = 0 pro x A. Pomocí značení lze psát Místo µ ) A } píšeme µ A ) apod. peciálně µ = 0, µ X =.. Zavedení fuzzy množin A = x X : µ A x) = } = x X : µ A x) > 0}. µ A M) = x X : µ Ax) M} A = µ A ) ) } = µ A 0,. Fuzzy podmnožina univerza X stručně fuzzy množina) je objekt A, který popisuje zobecněná) charakteristická funkce funkce příslušnosti) µ A : X 0, Alternativní značení: Ax) Klasické množiny nazýváme v tomto kontextu ostré angl. crisp, sharp). FX) značí množinu všech fuzzy podmnožin univerza X Obor pravdivostních hodnot angl. range, level set): RangeA) = α 0, : x X : µ A x) = α) } = µ A X) Výška: ha) = sup RangeA) Nosič angl. support): uppa) = x X : µ A x) > 0 } = µ ) A 0, Jádro angl. core): corea) = x X : µ A x) = } = µ A ) Příklady fuzzy množin A, B FR), 0 pro x < 0, x pro x 0,, µ A x) = x pro x,, 0 pro x >, µ B x) = pro x = 3, pro x = 4, 4 pro x = 5, 0 jinak. Konečné fuzzy množiny zapisujeme stručněji např. µ B = 3, ), 4, ), 5, 4 )}. Alternativní značení: µ B = /3, /4, 4 /5}, µ B = /3 + /4 + 4 /5.
2 ystém řezů fuzzy množiny Definice: Nechť A FX), α 0,. Pak α-hladina angl. α-level) fuzzy množiny A je ostrá množina µ A α) = x X : µ A x) = α }. ystém řezů fuzzy množiny A je zobrazení R A : 0, PX), které každému α 0, přiřazuje tzv. α-řez angl. α-cut) R A α) = µ ) A α, = x X : µa x) α }. ystém ostrých řezů je A : 0, PX), kde A α) = µ ) A α, = x X : µa x) > α}. Alternativní značení α-řezu: [A] α, [A] α, α A, α A. Věta o systému řezů RangeA) = α 0, : µ A α) }, ha) = sup α 0, : R A α) }, uppa) = A 0), corea) = R A ), R A 0) = X, A ) =. Věta: Zobrazení M : 0, PX) je systém řezů nějaké fuzzy množiny A FX), právě když R) M0) = X, R) 0 α < β Mα) Mβ), R3) 0 < β Mβ) = Mα). α:α<β Důkaz: : R): M0) = R A 0) = X. R): x Mβ) = R A β) µ A x) β > α x R A α) = Mα). R3) : R) α 0, β) : Mβ) Mα) Mβ) Mα). α:α<β R3) : x α:α<β Mα) = α:α<β R A α) α 0, β) : µ A x) α, µ A x) β x R A β) = Mβ). : Dokážeme, že M = R A, kde µ A x) := sup α 0, : x Mα) }. : x Mβ) µ A x) β x R A β), : x R A β) µ A x) = sup α 0, : x Mα) } β, α 0, β) : x Mα), x Mα) = Mβ). α:α<β. Reprezentace fuzzy množin Horizontální reprezentace: pomocí systému řezů Vertikální reprezentace: pomocí funkce příslušnosti Převod z horizontální do vertikální reprezentace: Věta: Nechť A FX). Pak µ A x) = sup α 0, : x R A α) }. µ A = sup α µ RA α) = sup α µ RA α), α 0, α RangeA)
3 kde supremum počítáme po bodech, tj..3 Fuzzy inkluze µ A x) = sup α µ RA α)x). α RangeA) Klasická definice A B x A : x B se nehodí, neboť pro fuzzy množiny nemůžeme psát x A, x B Nicméně A B x X : µ A x) µ B x) µ A µ B Pro A, B FX): A B x X : µ A x) µ B x) µ A µ B α 0, : R A α) R B α) Důkaz poslední ekvivalence: : Nechť µ A µ B, x R A α) α µ A x) µ B x), x R B α), tj. R A α) R B α) : Nechť α 0, : R A α) R B α) µ A x) = sup α 0, : x R A α) } sup α 0, : x R B α) } = µ B x).4 Řezová konzistence Vlastnost P fuzzy množin A,..., A n je předpis, který argumentům A,..., A n přiřazuje ostrou pravdivostní hodnotu P A,..., A n ) 0, } predikát ). Vlastnost P fuzzy množiny se nazývá řezově dědičná angl. cutworthy), jestliže P A,..., A n ) α 0, : P R A α),..., R An α))), řezově konzistentní, jestliže 0-řezy záměrně neuvažujeme) P A,..., A n ) α 0, : P R A α),..., R An α))). Příklady řezové dědičnosti a konzistence Inkluze je řezově konzistentní. ilná normalita, x X : µ A x) =, je řezově konzistentní. Ostrost množiny je řezově dědičná, ale není řezově konzistentní. 3 Operace s fuzzy množinami 3. Operace s ostrými množinami množinové operace výrokové operace vztah : PX) PX) : 0, } 0, } A = x X : x A) : PX) PX) : 0, } 0, } A B = x X : x A) x B) : PX) PX) : 0, } 0, } A B = x X : x A) x B) Pomocí charakteristických funkcí: µ A x) = µ A x) µ A B x) = µ A x) µ B x) µ A B x) = µ A x) µ B x) 3
4 3. Zákony Booleovy algebry α = α, α β = β α, β = β α, α β) γ = α β γ), β) γ = β γ), β γ) = β) γ), α β γ) = α β) α γ), α α = α, α = α, α β) = α, α β) = α, α =, 0 = 0, α 0 = α, = α, α = 0, α α =, β) = α β, α β) = β. 3.3 Fuzzy negace je unární operace. : 0, 0, taková, že α β. β. α, N).. α = α. N) Příklad: tandardní negace: α = α. Vlastnosti fuzzy negací Věta: Každá fuzzy negace. je spojitá, klesající, bijektivní a splňuje okrajové podmínky. = 0,. 0 =. N0) Její graf je symetrický podle osy. a 3. kvadrantu, tj.. =. Důkaz: Prostá: Je-li. α =. β, pak α =.. α =.. β = β. urjektivní na ): Pro každé α 0, existuje β 0, takové, že α =. β, totiž β =. α. spojitost a okrajové podmínky. ymetrie grafu je ekvivalentní s involutivitou N). Věta o reprezentaci fuzzy negací Nutná a postačující podmínka pro to, aby funkce. : 0, 0, byla fuzzy negace, je existence rostoucí bijekce i : 0, 0, generátor fuzzy negace. ) takové, že. = i i, tj.. α = i iα) ). Důkaz: Dle [Nguyen-Walker].) Postačující: N): Předpokládejme α, β 0,, α β. i, i uspořádání zachovávají, obrací: N): iα) iβ) iα) iβ) i iα) ) i iβ) ). α. β.. = i i i i = i i = i i = id, kde id je identita na 0,. 4
5 Možná konstrukce generátoru fuzzy negace Nutná: Dokážeme, že α +. α iα) = je generátorem fuzzy negace.. i je rostoucí, spojitá, i0) = 0, i) =, tedy i je bijekce na 0,. α +. α α +. α α +. α iα) = = = = α +. α.. α +. α = = = i. α). i =. i, neboli i i =. Generátor fuzzy negace není jednoznačně určen. 3.4 Fuzzy doplněk µ A.x) =. µ A x). Rozlišujeme stejnými indexy, jako u fuzzy negací, například A je standardní doplněk. 3.5 Fuzzy konjunkce trojúhelníková norma, t-norma) angl. triangular norm) je binární operace. : 0, 0, splňující následující axiomy pro všechna α, β, γ 0, :. β = β. α komutativita) T). β. γ) =. β). γ β γ. β. γ. = α asociativita) T) monotonie) T3) okrajová podmínka) T4) Věta:. 0 = 0. Důkaz: Podle T3) a T4) platí:. 0 T3). 0 T4) = 0. Příklady fuzzy konjunkcí tandardní min, Gödelova, Zadehova... ): β = minα, β). oučinová produktová, pravděpodobnostní, Goguenova, angl. algebraic product... ): P β = α β. ukasiewiczova Gilesova, angl. též bold... ): α + β pro α + β > 0, β = 0 jinak. Drastická slabá, angl. weak... ): α pro β =, D β = β pro α =, 0 jinak. 5
6 Vlastnosti fuzzy konjunkcí Věta: α, β 0, : D β. β β. Důkaz: Je-li α = nebo β =, pak podmínka T4) dává stejný výsledek pro všechny fuzzy konjunkce. Předpokládejme bez újmy na obecnosti) α β <. Pak D β = 0. β. = α = β. Věta: tandardní konjunkce je jediná, která je idempotentní, tj. α 0, :. α = α Důkaz: Předpokládejme α, β 0,, α β. tedy. β = α = β. Totéž pro α > β. Reprezentace fuzzy konjunkcí obecně) α =. α T3). β T3). T4) = α, Věta: Nechť je fuzzy konjunkce a i : 0, 0, rostoucí bijekce. Pak operace : 0, 0, definovaná vzorcem β = i iα) iβ) ) je fuzzy konjunkce. Je-li spojitá, je též spojitá. Důkaz: Komutativita asociativita se dokáže obdobně): Monotonie: Předpokládejme β γ. Okrajová podmínka: β = i iα) iβ)) = i iβ) iα)) = β α iβ) iγ), iα) iβ) iα) iγ), β = i iα) iβ)) i iα) iγ)) = γ. = i iα) i)) = i iα) ) = i iα)) = α. Klasifikace fuzzy konjunkcí pojitá fuzzy konjunkce. je archimédovská, jestliže α 0, ) :. α < α TA) striktní, jestliže α 0, β, γ 0, : β < γ. β <. γ T3+) nilpotentní, jestliže je archimédovská a není striktní. Příklad: oučinová konjunkce je striktní, ukasiewiczova je nilpotentní, standardní a drastická nejsou archimédovské standardní nesplňuje TA), drastická není spojitá). 6
7 Věta o reprezentaci striktních fuzzy konjunkcí Operace. : 0, 0, je striktní fuzzy konjunkce, právě když existuje rostoucí bijekce i : 0, 0, multiplikativní generátor) taková, že. β = i iα) P iβ) ) = i iα) iβ) ). Že je podmínka postačující, jsme již dokázali kromě striktnosti, což je snadné). Důkaz nutnosti je mnohem obtížnější. Multiplikativní generátor striktní fuzzy konjunkce není určen jednoznačně. Věta o reprezentaci nilpotentních fuzzy konjunkcí Operace. : 0, 0, je nilpotentní fuzzy konjunkce, právě když existuje rostoucí bijekce i : 0, 0, ukasiewiczův generátor) taková, že. β = i iα) iβ) ). ukasiewiczův generátor nilpotentní fuzzy konjunkce není určen jednoznačně. Věta: Nechť. je nilpotentní fuzzy konjunkce. Pak α 0, ) n N : n k= α = 0. Důkaz: Podle reprezentační věty stačí bez újmy na obecnosti) dokázat větu pro ukasiewiczovu konjunkci. Pro dostatečně velké n dostáváme n n α + α ) 0, k= α = Fuzzy průnik je operace na fuzzy množinách definovaná pomocí fuzzy konjunkce: i= µ A. Bx) = µ A x). µ B x) rozlišujeme stejnými indexy jako u příslušných fuzzy konjunkcí) Věta: tandardní průnik je řezově konzistentní. Důkaz:. Řezová dědičnost: R A Bα) = x X : µ A Bx) α} = x X : µ A x) α) µ B x) α)} = x X : µ A x) α} x X : µ B x) α} = R A α) R B α). Řezy R A α) R B α) pro všechna α 0, ) určují jednoznačně fuzzy množinu rovnou A B. 3.7 Fuzzy disjunkce trojúhelníková konorma, t-konorma) je binární operace. : 0, 0, splňující Věta: α. =. Důkaz: α. 3) 0. 4) =. α. β = β. α α. β. γ) = α. β). γ β γ α. β α. γ α. 0 = α komutativita) ) asociativita) ) monotonie) 3) okrajová podmínka) 4) 7
8 Příklady fuzzy disjunkcí tandardní max, Gödelova, Zadehova... ): α β = maxα, β). oučinová produktová, pravděpodobnostní... ): α P β = α + β α β. ukasiewiczova Gilesova, angl. též bold, bounded sum... ): α + β pro α + β <, α β = jinak. Drastická slabá, angl. weak... ): α pro β = 0, α D β = β pro α = 0, jinak. Einsteinova α E β = α + β + αβ Vlastnosti fuzzy disjunkcí α, β 0, : α β α. β α D β. tandardní disjunkce je jediná, která je idempotentní, tj. α. α = α pro všechna α 0,. Dualita Nechť. je fuzzy negace. A. Je-li. fuzzy konjunkce, pak α. β =.... β) je fuzzy disjunkce duální k. vzhledem k. ). B. Je-li. fuzzy disjunkce, pak. β =.. α.. β) je fuzzy konjunkce duální k. vzhledem k. ). Věta: ukasiewiczovy operace, jsou duální vzhledem ke standardní negaci. oučinové operace P, P jsou duální vzhledem ke standardní negaci. tandardní operace, jsou duální vzhledem k jakékoli fuzzy negaci. Drastické operace D, D jsou duální vzhledem k jakékoli fuzzy negaci. Klasifikace fuzzy disjunkcí pojitá fuzzy disjunkce. je archimédovská, jestliže striktní, jestliže α 0, ) : α. α > α A) α 0, ) β, γ 0, : β < γ α. β < α. γ 3+) nilpotentní, jestliže je archimédovská a není striktní. 8
9 Věty o reprezentaci fuzzy disjunkcí Věta: Operace. : 0, 0, je striktní fuzzy disjunkce, právě když existuje rostoucí bijekce i : 0, 0, taková, že α. β = i iα) P iβ) ). Věta: Operace. : 0, 0, je nilpotentní fuzzy disjunkce, právě když existuje rostoucí bijekce i : 0, 0, aditivní generátor) taková, že α. β = i iα) iβ) ) i iα) + iβ) ) pro iα) + iβ) = jinak. 3.8 Fuzzy sjednocení je operace na fuzzy množinách definovaná pomocí fuzzy disjunkce: µ A. B x) = µ A x). µ B x). rozlišujeme stejnými indexy jako u příslušných fuzzy disjunkcí) Věta: tandardní sjednocení je řezově konzistentní. 3.9 Fuzzy výrokové algebry černě vyznačené platí vždy červeně vyznačené platí pro standardní fuzzy operace, ale ne pro některé jiné modře vyznačené platí jen pro některé volby fuzzy operací ne pro standardní).. α = α, α. β = β. α,. β = β. α, α. β). γ = α. β. γ),. β). γ =. β. γ),. β. γ) =. β).. γ), α. β. γ) = α. β). α. γ), α. α = α,. α = α, α.. β) = α,. α. β) = α, α. =,. 0 = 0, α. 0 = α,. = α,.. α = 0, α.. α =,.. β) =. α.. β,. α. β) =... β. 3.0 Fuzzy implikace je jakákoli operace.. : 0, 0,, která se na 0, } shoduje s klasickou implikací. Mohli bychom si přát: α.. β = α β, Ia) α.. β = α β, Ib).. β = β, I).. je nerostoucí v. argumentu a neklesající v. argumentu, I3) α.. β = β.. α, I4) α.. β.. γ) = β.. α.. γ), I5) spojitost. I6) 9
10 R-implikace reziduovaná fuzzy implikace, reziduum) je operace α R. β = supγ :. γ β} RI) kde. je fuzzy konjunkce je-li. spojitá, lze supremum nahradit maximem) Příklady R-implikací Od standardní konjunkce je odvozena Gödelova implikace α R β = pro α β, β jinak. Je po částech lineární a spojitá s výjimkou bodů α, α), α <. Od ukasiewiczovy konjunkce je odvozena ukasiewiczova implikace α R β = pro α β, α + β jinak. Je po částech lineární a spojitá. Od součinové konjunkce P je odvozena Goguenova též Gainesova) implikace Má jediný bod nespojitosti, 0, 0). Vlastnosti R-implikací α R P β = pro α β, β α jinak. Věta: Nechť. je spojitá fuzzy konjunkce. Pak R-implikace R. splňuje Ia), Ib), I), I3). Důkaz: α. R β = sup Γα, β), kde Γα, β) = γ :. γ β} je interval obsahující nulu. Při spojitosti. navíc uzavřený.) Ia) Je-li α β, pak Γα, β) = 0,, sup Γα, β) =. Ib) Je-li α > β, pak / Γα, β), sup Γα, β) < z uzavřenosti Γα, β)). I):. R β = supγ : γ β} = β. I3): Zvětšujeme-li α, Γα, β) se nezvětšuje. Zvětšujeme-li β, Γα, β) se nezmenšuje. Věta: Reziduovaná fuzzy implikace příslušná spojité fuzzy konjunkci. je spojitá, právě když. je nilpotentní. -implikace je operace α. β = α. β I) kde. je fuzzy disjunkce Příklad: Ze standardní disjunkce dostáváme Kleeneovu Dienesovu implikaci α β = max α, β). 0
11 Z ukasiewiczovy disjunkce dostáváme ukasiewiczovu implikaci, která se shoduje s ukasiewiczovou reziduovanou implikací R. Všechny požadavky Ia),Ib),I) I6) splňují ze zde probíraných fuzzy implikací pouze reziduované implikace odvozené od nilpotentních fuzzy konjunkcí např. ukasiewiczova implikace). 3. Fuzzy biimplikace ekvivalence) je operace.., obvykle definovaná vztahem α.. β = α.. β). β.. α), kde.. je fuzzy implikace a. je fuzzy konjunkce biimplikaci indexujeme stejně jako odpovídající fuzzy implikaci) Pokud.. splňuje Ia) například pro reziduovanou implikaci), je vždy aspoň jedna ze závorek na pravé straně rovna jedné, takže nezáleží na volbě fuzzy konjunkce.. Příklad: ukasiewiczova biimplikace: α R β = α β. 4 Fuzzy relace 4. Klasické relace Binární relace je R X Y Inverzní relace k R: R Y X: R = y, x) Y X : x, y) R } ložená relace z relací R X Y, Y Z je R X Z: R = x, z) X Z : y Y : x, y) R, y, z) )} Pomocí funkcí příslušnosti: µ R : X Y 0, } µ R y, x) = µ R x, y) µ R x, z) = max µr x, y) µ y, z) ) y Y 4. Fuzzy relace Fuzzy relace je R FX Y ), µ R : X Y 0, Inverzní relace k R je R FY X): x X y Y : µ R y, x) = µ R x, y) -složená relace z relací R FX Y ), FY Z) je R. FX Z): µ R.x, z) = sup µr x, y). µ y, z) ) y Y Věta Inverze fuzzy relací je řezově konzistentní. Věta Je-li Y konečná množina, pak standardní skládání fuzzy relací R FX Y ), FY Z) je řezově konzistentní.
12 4.3 peciální ostré relace R X X může být: rovnost: E = x, x) : x X }, reflexivní: x X : x, x) R, tj. E R, symetrická: x, y) R y, x) R, tj. R = R, antisymetrická: x, y) R ) y, x) R ) x = y, tj. R R E, tranzitivní: x, y) R ) y, z) R ) x, z) R, tj. R R R, částečné uspořádání: antisymetrická, reflexivní a tranzitivní, ekvivalence: symetrická, reflexivní a tranzitivní. Relaci rovnosti, E X X odpovídá funkce příslušnosti Kroneckerovo delta: pro x = y, µ E x, y) = δx, y) = 0 pro x y. 4.4 peciální fuzzy relace R FX X) může být: reflexivní: E R, symetrická: R = R, -antisymetrická: R. R E, -tranzitivní: R. R R, -částečné uspořádání: -antisymetrická, reflexivní a -tranzitivní, -ekvivalence: symetrická, reflexivní a -tranzitivní. Poslední čtyři pojmy závisí na volbě fuzzy konjunkce.. Věta Následující vlastnosti fuzzy relací jsou řezově konzistentní: reflexivita, symetrie, standardní antisymetrie, standardní tranzitivita, standardní částečné uspořádání, standardní ekvivalence. 4.5 Projekce fuzzy relací evá první) projekce fuzzy relace R FX Y ) je P R) FX): µ PR)x) = sup µ R x, y) y Y Pravá druhá) projekce fuzzy relace R FX Y ) je P R) FY ): Věta Projekce fuzzy relací jsou řezově konzistentní. 4.6 Cylindrické rozšíření µ PR)y) = sup µ R x, y) x X též kartézský součin) fuzzy množin A FX), B FY ) je A B FX Y ): µ A B x, y) = µ A x) µ B y) Je to maximální fuzzy relace R FX Y ) taková, že P R) A a P R) B. Rovnost nastává, právě když ha) = hb). Věta P R) P R) R Věta Cylindrické rozšíření je řezově konzistentní.
13 5 Princip rozšíření 5. Rozšíření binárních relací na ostré množiny Zobrazení je R X Y : x X!y = rx) Y : x, y) R Zobrazení R X Y odpovídá r : X Y předpisem x, y) R y = rx), R = x, rx) ) : x X } Rozšíření relace R X Y je zobrazení r : PX) PY ): ra) = y Y : x A : x, y) R )} Analogicky rozšíření relace R Y X je zobrazení r : PY ) PX): r B) = x X : y B : x, y) R )} Rozšíření r a r jsou zobrazení, i když původní relace R zobrazení není. Nejsou však navzájem inverzní. Pokud R je navíc zobrazení, pak ra) = rx) : x A } r B) = x X : rx) B } peciálně Pomocí funkcí příslušnosti: r y) = r y}) = x X : rx) = y } µ ra) y) = max µr x, y) µ A x) ) x X µ r B)x) = max µr x, y) µ B y) ) y Y 5. Rozšíření binárních relací na fuzzy množiny Rozšíření relace R X Y je zobrazení r : FX) FY ): µ ra) y) = sup µr x, y) µ A x) ) A FX), y Y ) x X Analogicky rozšíření relace R Y X je zobrazení r : FY ) FX): µ r B)x) = sup µr x, y) µ B y) ) B FY ), x X) y Y R je ostrá relace, takže na volbě fuzzy konjunkce. nezáleží: µ A x) pro µ R x, y) = µ R x, y). µ A x) = 0 pro µ R x, y) = 0 využitím rozšíření r : PX) PY ), r : PY ) PX) relací R, R na ostré množiny lze rozšíření na fuzzy množiny psát Je-li R zobrazení, pak Je-li R zobrazení, pak Věta Je-li pro všechna y Y množina konečná, pak platí rovnost. µ ra) y) = sup µ A x) x r y) µ r B)x) = sup µ B y) y rx) µ r B)x) = µ B rx)) µ ra) y) = µ A r y)) r R A α) ) R ra) α) r y) = x X : x, y) R} 3
14 5.3 Konvexní fuzzy množiny Nechť je lineární prostor. Ostrá množina A je konvexní, jestliže Pomocí funkcí příslušnosti: x, y A λ 0, ) : λx + λ) y A min µ A x), µ A y) ) µ A λx + λ) y ) Nechť X je ostrá konvexní podmnožina lineárního prostoru. Fuzzy množina A FX) se nazývá konvexní, jestliže x, y X λ 0, ) : µ A λx + λ) y ) µa x) µ A y) Konvexita fuzzy množiny nemá nic společného s konvexitou její funkce příslušnosti! Věta Konvexita je řezově konzistentní vlastnost. peciálně fuzzy množina reálných čísel je konvexní, právě když všechny její neprázdné řezy jsou intervaly. 5.4 Fuzzy čísla a fuzzy intervaly Fuzzy interval je A FR) taková, že: upp A je omezená množina, Pro všechna α 0, je R A α) uzavřený interval, R A ) tj. R A ) je neprázdný uzavřený interval). Je-li navíc R A ) jednobodová množina, nazývá se A fuzzy číslo. Fuzzy intervaly jsou konvexní. Fuzzy interval opačné k fuzzy intervalu A je A FR): µ A x) = µ A x) Princip rozšíření binárních relací uplatněný na unární minus) 5.5 Binární operace s fuzzy intervaly +,,, /} : R R můžeme chápat jako ostrou relaci R R: µ y, z), x ) = R A α) = R A α) pro y z = x, 0 jinde. Tu můžeme rozšířit podle již zavedeného principu rozšíření pro binární relace na operaci FR ) FR), kterou potřebujeme ještě složit s cylindrickým rozšířením FR) FR) FR ). Tím dostáváme binární operaci : FR) FR) FR). A FR), B FR) A B FR R) A B = A B) FR) µ A B x) = µ A B) x) = sup µa B y, z) µ y, z), x )) y,z) R 4
15 = sup y,z) R,y = sup y,z) R,y µ A B y, z) z=x µa y) µ B z) ) z=x peciálně pro = +: Hledáme supremum z funkce µ A y) µ B z) pro všechna y, z) R taková, že y + z = x. Tj. hledáme supremum z funkce µ A x z) µ B z) pro všechna z R neboť y + z = x y = x z). µ A+B x) = sup µa x z) µ B z) ), z R µ A B x) = sup µa x + z) µ B z) ), z R µ A B x) = sup µ A x/z) µ B z)), x 0, z R, z 0 µ A/B x) = sup µa x z) µ B z) ). z R Jen pro hodnotu µ A B 0) musíme použít původní definici kvůli problémům s dělením nulou. peciálně pro ostré intervaly A = a, b, B = c, d dostaneme intervalovou aritmetiku: a, b + c, d = a + c, b + d, a, b c, d = a d, b c, a, b c, d = minac, ad, bc, bd), maxac, ad, bc, bd), a, b / c, d = mina/c, a/d, b/c, b/d), maxa/c, a/d, b/c, b/d). Poslední rovnost platí pouze pro 0 c, d. µ A B x) = max µ A y) µ B z) : y, z R, y z = x }. V případě dělení předpokládáme navíc µ B 0) = 0.) Věta čítání, odčítání, násobení a dělení fuzzy intervalů je řezově konzistentní dělení za předpokladu, že stupeň příslušnosti nuly k děliteli je nulový). Věta oučet, rozdíl a součin fuzzy čísel resp. fuzzy intervalů) je fuzzy číslo resp. fuzzy interval). Též podíl, pokud uzávěr nosiče dělitele neobsahuje nulu.) ibovolné reálné číslo x R lze považovat za speciální případ fuzzy čísla, reprezentovaného jednobodovou ostrou množinou x}), značíme x. Věta Vlastnosti operací s fuzzy intervaly: 0 + A = A, 0 A = 0, A = A, A + B = B + A, A B = B A, A + B + C) = A + B) + C, A B C) = A B) C, A + B) = A B, A) B = A B) = A B), A) = A, A/B = A /B), A B + C) A B) + A C) Pokud je v posledním vztahu A ostré číslo A = x), pak nastává rovnost. Pro fuzzy intervaly může být: A A 0, A + B) B A, A/A, A/B) B A, A B + C) A B + A C. 5
Princip rozšíření a operace s fuzzy čísly
Center for Machine Perception presents Princip rozšíření a operace s fuzzy čísly Mirko Navara Center for Machine Perception Faculty of Electrical Engineering Czech Technical University Praha, Czech Republic
VíceMatematická analýza 1
Matematická analýza 1 ZS 2019-20 Miroslav Zelený 1. Logika, množiny a základní číselné obory 2. Limita posloupnosti 3. Limita a spojitost funkce 4. Elementární funkce 5. Derivace 6. Taylorův polynom Návod
VíceFuzzy množiny, Fuzzy inference system. Libor Žák
Fuzzy množiny, Fuzzy inference system Proč právě fuzzy množiny V řadě případů jsou parametry, které vstupují a ovlivňují vlastnosti procesu, popsané pomocí přibližných nebo zjednodušených pojmů. Tedy
Více1 Množiny, výroky a číselné obory
1 Množiny, výroky a číselné obory 1.1 Množiny a množinové operace Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých objektů (které nazýváme prvky) do jediného celku. Definice. Dvě množiny jsou
Více1. POJMY 1.1. FORMULE VÝROKOVÉHO POČTU
Obsah 1. Pojmy... 2 1.1. Formule výrokového počtu... 2 1.2. Množina... 3 1.2.1. Operace s množinami... 3 1.2.2. Relace... 3 2. Číselné obory... 5 2.1. Uzavřenost množiny na operaci... 5 2.2. Rozšíření
VíceLineární algebra Kapitola 1 - Základní matematické pojmy
Lineární algebra Kapitola 1 - Základní matematické pojmy 1.1 Relace a funkce V celém textu budeme používat následující označení pro číselné množiny: N množina všech přirozených čísel bez nuly, N={1, 2,
Více1. POJMY 1.1. FORMULE VÝROKOVÉHO POČTU
Obsah 1. Pojmy... 2 1.1. Formule výrokového počtu... 2 1.2. Množina... 3 1.2.1. Operace s množinami... 3 1.2.2. Relace... 3 2. Číselné obory... 5 2.1. Uzavřenost množiny na operaci... 5 2.2. Rozšíření
VíceTeorie množin. Čekají nás základní množinové operace kartézské součiny, relace zobrazení, operace. Teoretické základy informatiky.
Teorie množin V matematice je všechno množina I čísla jsou definována pomocí množin Informatika stojí na matematice Znalosti Teorie množin využijeme v databázových systémech v informačních systémech při
VíceAplikovaná matematika I, NMAF071
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika I kap. 1: Úvod, čísla, zobrazení, posloupnosti 1 Aplikovaná matematika I, NMAF071 M. Rokyta, KMA MFF UK ZS 2013/14 Sylabus = obsah (plán) přednášky [a orientační
VícePojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace
RELACE Pojem binární relace patří mezi nejzákladnější matematické pojmy. Binární relace slouží k vyjádření vztahů mezi prvky nějakých množin. Vztahy mohou být různé povahy. Patří sem vztah býti potomkem,
VíceÚvod do informatiky. Miroslav Kolařík
Úvod do informatiky přednáška pátá Miroslav Kolařík Zpracováno dle učebního textu R. Bělohlávka: Úvod do informatiky, KMI UPOL, Olomouc 2008 a dle učebního textu R. Bělohlávka a V. Vychodila: Diskrétní
VícePŘEDNÁŠKA 7 Kongruence svazů
PŘEDNÁŠKA 7 Kongruence svazů PAVEL RŮŽIČKA Abstrakt. Definujeme svazové kongruence a ukážeme jak pro vhodné binární relace svazu ověřit, že se jedná o svazové kongruence. Popíšeme svaz Con(A) kongruencí
VíceKapitola 1. Úvod. 1.1 Značení. 1.2 Výroky - opakování. N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) R...
Kapitola 1 Úvod 1.1 Značení N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Z... celá čísla ( 3, 2, 1, 0, 1, 2,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) q R... reálná čísla C... komplexní čísla 1.2 Výroky -
VíceMnožiny, relace, zobrazení
Množiny, relace, zobrazení Množiny Množinou rozumíme každý soubor určitých objektů shrnutých v jeden celek. Zmíněné objekty pak nazýváme prvky dané množiny. Pojem množina je tedy synonymem pojmů typu soubor,
VíceLineární algebra : Lineární prostor
Lineární algebra : Lineární prostor (3. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 17. dubna 2014, 14:43 1 2 3.1 Aximotické zavedení lineárního prostoru Číselné těleso Celou lineární
VícePro každé formule α, β, γ, δ platí: Pro každé formule α, β, γ platí: Poznámka: Platí právě tehdy, když je tautologie.
Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz 5. Výroková logika, formule výrokové logiky a jejich pravdivostní ohodnocení, splnitelné formule, tautologie, kontradikce, sémantický důsledek, tautologicky ekvivalentní
VíceAritmetika s didaktikou I.
Katedra matematiky PF UJEP Aritmetika s didaktikou I. KM1 / 0001 Přednáška 02 Opakování základních pojmů - 2. část O čem budeme hovořit: Binární relace a jejich vlastnosti Speciální typy binárních relací
VíceI. Úvod. I.1. Množiny. I.2. Výrokový a predikátový počet
I. Úvod I.1. Množiny Množinou rozumíme každé shrnutí určitých a navzájem různých objektů (které nazýváme prvky) do jediného celku. Značení. Symbol x A značí, že element x je prvkem množiny A. Značení x
VíceMatematika I. Přednášky: Mgr. Radek Výrut, Zkouška:
Přednášky: Mgr. Radek Výrut, Matematika I katedra matematiky, UL-605, rvyrut@kma.zcu.cz tel.: 377 63 2658 Zkouška: Písemná část zkoušky - příklady v rozsahu zápočtových prací Ústní část zkoušky - základní
VíceMATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]
MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě
Více0. ÚVOD - matematické symboly, značení,
0. ÚVOD - matematické symboly, značení, číselné množiny Výroky Výrok je každé sdělení, u kterého lze jednoznačně rozhodnout, zda je či není pravdivé. Každému výroku lze proto přiřadit jedinou pravdivostní
VíceV předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti
Kapitola 5 Vektorové prostory V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti operací sčítání a násobení
VíceTexty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech
Texty k přednáškám z MMAN3: 4. Funkce a zobrazení v euklidovských prostorech 1. července 2008 1 Funkce v R n Definice 1 Necht n N a D R n. Reálnou funkcí v R n (reálnou funkcí n proměnných) rozumíme zobrazení
VíceAplikovaná matematika 1 NMAF071, ZS
Aplikovaná matematika 1 NMAF071, ZS 2012-13 Milan Pokorný MÚ MFF UK Sylabus = obsah (plán) přednášky 1. Úvod: něco málo o logice, teorii množin, číslech a zobrazeních; posloupnosti 2. Funkce jedné reálné
VíceDoporučené příklady k Teorii množin, LS 2018/2019
Doporučené příklady k Teorii množin, LS 2018/2019 1. přednáška, 21. 2. 2019 1. Napište množina x je prázdná (přesněji množina x nemá žádné prvky ) formulí základního jazyka teorie množin. 2. Dokažte ((x
VíceRELACE, OPERACE. Relace
RELACE, OPERACE Relace Užití: 1. K popisu (evidenci) nějaké množiny objektů či jevů, které lze charakterizovat pomocí jejich vlastnostmi. Entita je popsána pomocí atributů. Ty se vybírají z domén. Různé
VícePožadavky k ústní části zkoušky Matematická analýza 1 ZS 2014/15
Požadavky k ústní části zkoušky Matematická analýza 1 ZS 2014/15 Klíčové pojmy Neznalost některého z klíčových pojmů bude mít za následek ukončení zkoušky se známkou neprospěl(a). supremum infimum limita
VícePŘEDNÁŠKA 5 Konjuktivně disjunktivní termy, konečné distributivní svazy
PŘEDNÁŠKA 5 Konjuktivně disjunktivní termy, konečné distributivní svazy PAVEL RŮŽIČKA Abstrakt. Ukážeme, že každý prvek distributivního svazu odpovídá termu v konjuktivně-disjunktivním (resp. disjunktivně-konjunktivním)
VíceMnožiny, základní číselné množiny, množinové operace
2 Množiny, základní číselné množiny, množinové operace Pokud kliknete na některý odkaz uvnitř textu kromě prezentace, zobrazí se odpovídající příklad nebo tabulka. Levý Alt+šipka doleva nebo ikona Vás
VíceKaždé formuli výrokového počtu přiřadíme hodnotu 0, půjde-li o formuli nepravdivou, a hodnotu 1, půjde-li. α neplatí. β je nutná podmínka pro α
1. JAZYK ATEATIKY 1.1 nožiny nožina je souhrn objektů určitých vlastností, které chápeme jako celek. ZNAČENÍ. x A x A θ A = { { a, b a A = B A B 0, 1 2 a, a,..., a n x patří do množiny A x nepatří do množiny
VíceZáklady matematiky pro FEK
Základy matematiky pro FEK 4. přednáška Blanka Šedivá KMA zimní semestr 2016/2017 Blanka Šedivá (KMA) Základy matematiky pro FEK zimní semestr 2016/2017 1 / 27 Množiny Zavedení pojmu množina je velice
VícePetr Hasil. c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce MA I (M1101) 1 / 125
Množiny, číselné obory, funkce Petr Hasil Přednáška z Matematické analýzy I c Petr Hasil (MUNI) Množiny, číselné obory, funkce MA I (M1101) 1 / 125 Obsah 1 Množiny a číselné obory Množinové operace Reálná
Více1 Kardinální čísla. množin. Tvrzení: Necht X Cn. Pak: 1. X Cn a je to nejmenší prvek třídy X v uspořádání (Cn, ),
Pracovní text k přednášce Logika a teorie množin 4.1.2007 1 1 Kardinální čísla 2 Ukázali jsme, že ordinální čísla reprezentují typy dobrých uspořádání Základy teorie množin Z minula: 1. Věta o ordinálních
VícePojem relace patří mezi pojmy, které prostupují všemi částmi matematiky.
Relace. Pojem relace patří mezi pojmy, které prostupují všemi částmi matematiky. Definice. Mějme množiny A a B. Binární relace R z množiny A do množiny B je každá množina uspořádaných dvojic (a, b), kde
VíceDefinice 4.1 Nechť (X, ) je svaz s nejmenším prvkem 0 a největším prvkem 1. Komplement prvku x X je každý prvek y, pro který platí. x y = 1, x y = 0.
Kapitola 4 Booleovy algebry 4.1 Definice Definice 4.1 Nechť (X, ) je svaz s nejmenším prvkem 0 a největším prvkem 1. Komplement prvku x X je každý prvek y, pro který platí x y = 1, x y = 0. Představu o
VíceKapitola 1. Relace. podle definice podmnožinou každé množiny. 1 Neříkáme už ale, co to je objekt. V tom právě spočívá intuitivnost našeho přístupu.
Kapitola 1 Relace Úvodní kapitola je věnována důležitému pojmu relace. Protože relace popisují vztahy mezi prvky množin a navíc jsou samy množinami, bude vhodné množiny nejprve krátce připomenout. 1.1
Více2. přednáška 8. října 2007
2. přednáška 8. října 2007 Konvergence v metrických prostorech. Posloupnost bodů (a n ) M v metrickém prostoru (M, d) konverguje (je konvergentní), když v M existuje takový bod a, že lim n d(a n, a) =
VíceProjekty - Úvod do funkcionální analýzy
Projekty - Úvod do funkcionální analýzy Projekt č. 1. Nechť a, b R, a < b. Dokažte, že prostor C( a, b ) = f : R R: f je spojitá na D(f) = a, b s metrikou je úplný. ρ(f, g) = max f(x) g(x) x a,b Projekt
VíceFuzzy logika. Informační a znalostní systémy
Fuzzy logika Informační a znalostní systémy Fuzzy logika a odvozování Lotfi A. Zadeh (*1921) Lidé nepotřebují přesnou číslem vyjádřenou informaci a přesto jsou schopni rozhodovat na vysoké úrovni, odpovídající
VíceVýroková a predikátová logika - VII
Výroková a predikátová logika - VII Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2018/2019 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - VII ZS 2018/2019 1 / 15 Platnost (pravdivost) Platnost ve struktuře
Více3. přednáška 15. října 2007
3. přednáška 15. října 2007 Kompaktnost a uzavřené a omezené množiny. Kompaktní množiny jsou vždy uzavřené a omezené, a v euklidovských prostorech to platí i naopak. Obecně to ale naopak neplatí. Tvrzení
VíceBooleovy algebry. Irina Perfilieva. logo
Booleovy algebry Irina Perfilieva Irina.Perfilieva@osu.cz 25. března 2010 Outline 1 Komplementární svazy 2 Booleovy algebry 3 Věty o Booleových algebrách Outline 1 Komplementární svazy 2 Booleovy algebry
VíceZákladní pojmy teorie množin Vektorové prostory
Základní pojmy teorie množin Přednáška MATEMATIKA č. 1 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz 7. 10. 2010 Základní pojmy teorie množin Základní pojmy
Více)(x 2 + 3x + 4),
3 IREDUCIBILNÍ ROZKLADY POLYNOMŮ V T [X] 3 Ireducibilní rozklady polynomů v T [x] - rozklady polynomů na ireducibilní (dále nerozložitelné) prvky v oboru integrity polynomů jedné neurčité x nad tělesem
VíceJazyk matematiky. 2.1. Matematická logika. 2.2. Množinové operace. 2.3. Zobrazení. 2.4. Rozšířená číslená osa
2. Jazyk matematiky 2.1. Matematická logika 2.2. Množinové operace 2.3. Zobrazení 2.4. Rozšířená číslená osa 1 2.1 Matematická logika 2.1.1 Výrokový počet logická operace zapisujeme čteme česky negace
VíceOperace s maticemi
Operace s maticemi Seminář druhý 17.10. 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice 3 Regulární matice 4 Inverzní matice Matice Definice (Matice). Reálná matice typu m n je obdélníkové schema A =
Více10 Funkce více proměnných
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap. 10: Funkce více proměnných 16 10 Funkce více proměnných 10.1 Základní pojmy Definice. Eukleidovskou vzdáleností bodů x = (x 1,...,x n ), y = (y 1,...,y
VíceMETRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY
PŘEDNÁŠKA 1 METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY 1.1 Prostor R n a jeho podmnožiny Připomeňme, že prostorem R n rozumíme množinu uspořádaných n tic reálných čísel, tj. R n = R } R {{ R }. n krát Prvky R n budeme
Více1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1
1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější
VíceVI. Maticový počet. VI.1. Základní operace s maticemi. Definice. Tabulku
VI Maticový počet VI1 Základní operace s maticemi Definice Tabulku a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n, a m1 a m2 a mn kde a ij R, i = 1,, m, j = 1,, n, nazýváme maticí typu m n Zkráceně zapisujeme (a ij i=1m
Vícemnožinu definujeme axiomaticky: nesnažíme se ji zkonstruovat (dokonce se ani nezabýváme otázkou,
Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 2. Reálná čísla, funkce reálné proměnné V této kapitole zavádíme množinu, na níž stojí celá matematická analýza:
VíceB i n á r n í r e l a c e. Patrik Kavecký, Radomír Hamřík
B i n á r n í r e l a c e Patrik Kavecký, Radomír Hamřík Obsah 1 Kartézský součin dvou množin... 3 2 Binární relace... 6 3 Inverzní relace... 8 4 Klasifikace binární relací... 9 5 Ekvivalence... 12 2 1
VíceFormální systém výrokové logiky
Formální systém výrokové logiky 1.Jazyk výrokové logiky Nechť P = {p,q,r, } je neprázdná množina symbolů, které nazýváme prvotní formule. Symboly jazyka L P výrokové logiky jsou : a) prvky množiny P, b)
VíceCo je to univerzální algebra?
Co je to univerzální algebra? Při studiu řadu algebraických struktur (grupoidy, pologrupy, grupy, komutativní grupy, okruhy, obory integrity, tělesa, polosvazy, svazy, Booleovy algebry) se často některé
Víceteorie logických spojek chápaných jako pravdivostní funkce
Výroková logika teorie logických spojek chápaných jako pravdivostní funkce zabývá se způsoby tvoření výroků pomocí spojek a vztahy mezi pravdivostí různých výroků používá specifický jazyk složený z výrokových
VíceOperace s maticemi. 19. února 2018
Operace s maticemi Přednáška druhá 19. února 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice (opakování) 3 Regulární matice 4 Inverzní matice 5 Determinant matice Matice Definice (Matice). Reálná matice
VíceSvazy. Jan Paseka. Masarykova univerzita Brno. Svazy p.1/37
Svazy Jan Paseka Masarykova univerzita Brno Svazy p.1/37 Abstrakt Zmíníme se krátce o úplných a distributivních svazech, resp. jaké vlastnosti má řetězec reálných čísel. Svazy p.2/37 Abstrakt V této kapitole
VíceTOPOLOGIE A TEORIE KATEGORIÍ (2017/2018) 4. PREDNÁŠKA - SOUČIN PROSTORŮ A TICHONOVOVA VĚTA.
TOPOLOGIE A TEORIE KATEGORIÍ (2017/2018) 4. PREDNÁŠKA - SOUČIN PROSTORŮ A TICHONOVOVA VĚTA. PAVEL RŮŽIČKA 4.1. (Kvazi)kompaktnost a sub-báze. Buď (Q, ) uspořádaná množina. Řetězcem v Q budeme rozumět lineárně
VíceMatematika B101MA1, B101MA2
Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet
VíceALGEBRA. Téma 4: Grupy, okruhy a pole
SLEZSKÁ UNIVERZITA V OPAVĚ Matematický ústav v Opavě Na Rybníčku 1, 746 01 Opava, tel. (553) 684 611 DENNÍ STUDIUM Téma 4: Grupy, okruhy a pole Základní pojmy unární operace, binární operace, asociativita,
Více1 Výroková logika 1. 2 Predikátová logika 3. 3 Důkazy matematických vět 4. 4 Doporučená literatura 7
1 Výroková logika 1 Výroková logika 1 2 Predikátová logika 3 3 Důkazy matematických vět 4 4 Doporučená literatura 7 Definice 1.1 Výrokem rozumíme každé sdělení, o kterém má smysl uvažovat, zda je, či není
VíceJak je důležité být fuzzy
100 vědců do SŠ 1. intenzivní škola Olomouc, 21. 22. 6. 2012 Jak je důležité být fuzzy Libor Běhounek Ústav informatiky AV ČR 1. Úvod Klasická logika Logika se zabývá pravdivostí výroků a jejím přenášením
VíceNAIVNÍ TEORIE MNOŽIN, okruh č. 5
NAIVNÍ TEORIE MNOŽIN, okruh č. 5 Definování množiny a jejích prvků Množina je souhrn nějakých věcí. Patří-li věc do množiny X, říkáme, že v ní leží, že je jejím prvkem nebo že množina X tuto věc obsahuje.
VíceOproti definici ekvivalence jsme tedy pouze zaměnili symetričnost za antisymetričnost.
Kapitola 3 Uspořádání a svazy Pojem uspořádání, který je tématem této kapitoly, představuje (vedle zobrazení a ekvivalence) další zajímavý a důležitý speciální případ pojmu relace. 3.1 Uspořádání Definice
VíceV: Pro nulový prvek o lineárního prostoru L platí vlastnosti:
Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz. Základní vlastnosti abstraktních lineárních prostorů. Lineární závislost, nezávislost, báze, souřadnice vzhledem k bázi, matice lineárního zobrazení vzhledem k bázím.skalární
VíceINVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ. Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.
INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Modernizace studijního programu Matematika na PřF Univerzity Palackého v Olomouci CZ.1.07/2.2.00/28.0141 Relace, zobrazení, algebraické struktury Michal Botur Přednáška
VíceCílem kapitoly je opakování a rozšíření středoškolských znalostí v oblasti teorie množin.
1.2. Cíle Cílem kapitoly je opakování a rozšíření středoškolských znalostí v oblasti teorie množin. Průvodce studiem Množina je jedním ze základních pojmů moderní matematiky. Teorii množin je možno budovat
VíceMATEMATICKÁ ANALÝZA 1 - ZIMNÍ SEMESTR PŘEDNÁŠKA
MATEMATICKÁ ANALÝZA 1 - ZIMNÍ SEMESTR 2018 2019 PŘEDNÁŠKA LUBOŠ PICK 1. Logika, množiny a základní číselné obory 1.1. Logika. Logika je věda o formální správnosti myšlení. Formálně logická správnost spočívá
VíceMatematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA I, zimní semestr 2000/2001 Michal Marvan. 2.
Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební texty k přednášce ALGEBRA I, zimní semestr 2000/2001 Michal Marvan 2. Homomorfismy V souvislosti se strukturami se v moderní matematice studují i zobrazení,
VíceÚvod do informatiky. Miroslav Kolařík. Zpracováno dle učebního textu R. Bělohlávka: Úvod do informatiky, KMI UPOL, Olomouc 2008.
Úvod do informatiky přednáška čtvrtá Miroslav Kolařík Zpracováno dle učebního textu R. Bělohlávka: Úvod do informatiky, KMI UPOL, Olomouc 2008. Obsah 1 Pojem relace 2 Vztahy a operace s (binárními) relacemi
VíceTeorie grup 1 Příklad axiomatické teorie
Teorie grup 1 Příklad axiomatické teorie Alena Šolcová 1 Binární operace Binary operation Binární operací na neprázdné množině A rozumíme každé zobrazení kartézského součinu A x A do A. Multiplikativní
VíceOrganizace. Zápočet: test týden semestru (pátek) bodů souhrnný test (1 pokus) Zkouška: písemná část ( 50 bodů), ústní část
Matematika I 1/15 2/15 Organizace Zápočet: test 6. + 11. týden semestru (pátek) 80 bodů 50 79 bodů souhrnný test (1 pokus) Zkouška: písemná část ( 50 bodů), ústní část www.vscht.cz/mat Výuka www.vscht.cz/mat/jana.nemcova
VíceObsah. Množiny (opakování) Relace a zobrazení (opakování) Relace Binární relace na množině Zobrazení Rozklady, ekvivalence Uspořádání
Obsah Množiny (opakování) Relace a zobrazení (opakování) Relace Binární relace na množině Zobrazení Rozklady, ekvivalence Uspořádání lgebry lgebry s jednou operací lgebry se dvěma operacemi Svazy 2 Teorie
VícePoznámka. Je-li f zobrazení, ve kterém potřebujeme zdůraznit proměnnou, píšeme f(x) (resp. f(y), resp. f(t)) je zobrazení místo f je zobrazení.
2. ZOBRAZENÍ A FUNKCE 2.1 Zobrazení 2. 1. 1 Definice: Nechť A a B jsou množiny. Řekneme že f je zobrazení množiny A do množiny B jestliže (i) f A B (ii) ke každému z množiny A eistuje právě jedno y z množiny
VíceFunkce jedn e re aln e promˇ enn e Derivace Pˇredn aˇska ˇr ıjna 2015
Funkce jedné reálné proměnné Derivace Přednáška 2 15. října 2015 Obsah 1 Funkce 2 Limita a spojitost funkce 3 Derivace 4 Průběh funkce Informace Literatura v elektronické verzi (odkazy ze STAGu): 1 Lineární
Více1. Množiny, zobrazení, relace
Matematická analýza I přednášky M. Málka cvičení A. Hakové a R. Otáhalové Zimní semestr 2004/05 1. Množiny, zobrazení, relace První kapitola je věnována základním pojmům teorie množin. Pojednává o množinách
VíceÚvod do logiky (presentace 2) Naivní teorie množin, relace a funkce
Úvod do logiky (presentace 2) Naivní teorie množin, relace a funkce Marie Duží marie.duzi@vsb.cz 1 Úvod do teoretické informatiky (logika) Naivní teorie množin Co je to množina? Množina je soubor prvků
VíceFunkce a základní pojmy popisující jejich chování
a základní pojmy ující jejich chování Pro zobrazení z reálných čísel do reálných čísel se používá termín reálná funkce reálné proměnné. 511 f bude v této části znamenat zobrazení nějaké neprázdné podmnožiny
VíceREÁLNÁ FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ
REÁLNÁ FUNKCE JEDNÉ PROMĚNNÉ 5 přednáška S funkcemi se setkáváme na každém kroku ve všech přírodních vědách ale i v každodenním životě Každá situace kdy jsou nějaký jev nebo veličina jednoznačně určeny
VíceDůkaz Heineho Borelovy věty. Bez újmy na obecnosti vezmeme celý prostor A = M (proč? úloha 1). Implikace. Nechť je (M, d) kompaktní a nechť.
Přednáška 3, 19. října 2015 Důkaz Heineho Borelovy věty. Bez újmy na obecnosti vezmeme celý prostor A = M (proč? úloha 1). Implikace. Nechť je (M, d) kompaktní a nechť X i = M i I je jeho pokrytí otevřenými
Více1 Pravdivost formulí v interpretaci a daném ohodnocení
1 Pravdivost formulí v interpretaci a daném ohodnocení Než uvedeme konkrétní příklady, zopakujme si definici interpretace, ohodnocení a pravdivosti. Necht L je nějaký jazyk. Interpretaci U, jazyka L tvoří
VíceTeorie množin. pro fajnšmekry - TeMno. Lenka Macálková BR Solutions Orličky. Lenka (Brkos 2010) TeMno
Teorie množin pro fajnšmekry - TeMno Lenka Macálková BR Solutions 2010 - Orličky 23.2. 27.2.2010 Lenka (Brkos 2010) TeMno 23.2. 27.2.2010 1 / 42 Bylo nebylo... Starověké Řecko - nekonečnost nepochopená
Více[1] x (y z) = (x y) z... (asociativní zákon), x y = y x... (komutativní zákon).
Grupy, tělesa grupa: množina s jednou rozumnou operací příklady grup, vlastnosti těleso: množina se dvěma rozumnými operacemi příklady těles, vlastnosti, charakteristika tělesa lineární prostor nad tělesem
VíceMatematická analýza pro informatiky I.
Matematická analýza pro informatiky I. 1. přednáška Jan Tomeček tomecek@inf.upol.cz http://aix-slx.upol.cz/ tomecek/index Univerzita Palackého v Olomouci 14. února 2011 Jan Tomeček, tomecek@inf.upol.cz
Více1 Zobrazení 1 ZOBRAZENÍ 1. Zobrazení a algebraické struktury. (a) Ukažte, že zobrazení f : x
1 ZOBRAZENÍ 1 Zobrazení a algebraické struktury 1 Zobrazení Příklad 1.1. (a) Ukažte, že zobrazení f : x na otevřený interval ( 1, 1). x x +1 je bijekce množiny reálných čísel R (b) Necht a, b R, a < b.
VíceÚvod do TI - logika Predikátová logika 1.řádu (4.přednáška) Marie Duží marie.duzi@vsb.cz
Úvod do TI - logika Predikátová logika 1.řádu (4.přednáška) Marie Duží marie.duzi@vsb.cz Jednoduché úsudky, kde VL nestačí Všechny opice mají rády banány Judy je opice Judy má ráda banány Z hlediska VL
VíceLineární algebra : Lineární zobrazení
Lineární algebra : Lineární zobrazení (6. přednáška František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 20. května 2014, 22:40 1 2 6.1 Lineární zobrazení Definice 1. Buďte P a Q dva lineární prostory
VíceAlgebraické struktury s jednou binární operací
16 Kapitola 1 Algebraické struktury s jednou binární operací 1.1 1. Grupoid, pologrupa, monoid a grupa Chtěli by jste vědět, co jsou to algebraické struktury s jednou binární operací? No tak to si musíte
VíceZáklady logiky a teorie množin
Pracovní text k přednášce Logika a teorie množin (I/2007) 1 1 Struktura přednášky Matematická logika 2 Výroková logika Základy logiky a teorie množin Petr Pajas pajas@matfyz.cz Predikátová logika 1. řádu
VíceIV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel
Matematická analýza IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel na množině R je definováno: velikost (absolutní hodnota), uspořádání, aritmetické operace; znázornění:
VíceVěta o dělení polynomů se zbytkem
Věta o dělení polynomů se zbytkem Věta. Nechť R je okruh, f, g R[x], přičemž vedoucí koeficient polynomu g 0 je jednotka okruhu R. Pak existuje jediná dvojice polynomů q, r R[x] taková, že st(r) < st(g)
Více15. Moduly. a platí (p + q)(x) = p(x) + q(x), 1(X) = id. Vzniká tak struktura P [x]-modulu na V.
Učební texty k přednášce ALGEBRAICKÉ STRUKTURY Michal Marvan, Matematický ústav Slezská univerzita v Opavě 15. Moduly Definice. Bud R okruh, bud M množina na níž jsou zadány binární operace + : M M M,
VíceÚVOD DO ARITMETIKY. Michal Botur
ÚVOD DO ARITMETIKY Michal Botur 2011 2 Obsah 1 Algebraické základy 3 1.1 Binární relace.................................. 3 1.2 Zobrazení a operace............................... 7 1.3 Algebry s jednou
VíceKATEDRA INFORMATIKY UNIVERZITA PALACKÉHO ALGEBRA DAGMAR SKALSKÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN
KATEDRA INFORMATIKY PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITA PALACKÉHO ALGEBRA DAGMAR SKALSKÁ VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM ČESKÉ REPUBLIKY Olomouc
VícePŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI
PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI 2.1 Zobrazení 2 Definice 1. Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Zobrazení množiny A do množiny B je definováno jako množina F uspořádaných dvojic (x, y A B, kde ke každému
VíceOkruh č.3: Sémantický výklad predikátové logiky
Okruh č.3: Sémantický výklad predikátové logiky Predikátová logika 1.řádu formalizuje úsudky o vlastnostech předmětů a vztazích mezi předměty pevně dané předmětné oblasti (univerza). Nebudeme se zabývat
VíceÚvod do lineární algebry
Úvod do lineární algebry 1 Aritmetické vektory Definice 11 Mějme n N a utvořme kartézský součin R n R R R Každou uspořádanou n tici x 1 x 2 x, x n budeme nazývat n rozměrným aritmetickým vektorem Prvky
VíceSémantika predikátové logiky
Sémantika predikátové logiky pro analýzu sémantiky potřebujeme nejprve specifikaci jazyka (doména, konstanty, funkční a predikátové symboly) příklad: formální jazyk s jediným binárním predikátovým symbolem
VíceM M. Je-li ρ M 2 relace, pak vztah (x, y) ρ zapisujeme x ρ y.
Matematický ústav Slezské univerzity v Opavě Učební textykpřednášce ALGEBRA I, zimní semestr 2000/2001 Michal Marvan 8. Uspořádání asvazy Uspořádání je další užitečná abstraktní struktura na množině. Modeluje
VíceLineární algebra : Metrická geometrie
Lineární algebra : Metrická geometrie (16. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 6. května 2014, 10:42 1 2 Úvod Zatím jsme se lineární geometrii věnovali v kapitole o lineárních
Více