POČÍTAČOVÝ MODEL JAKO MODERNÍ NÁSTROJ PRO PODPORU VÝUKY FYZIKY NA ZÁKLADNÍ A STŘEDNÍ ŠKOLE

Transkript

1 PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITY PALACKÉHO V OLOMOUCI KATEDRA EXPERIMENTÁLNÍ FYZIKY POČÍTAČOVÝ MODEL JAKO MODERNÍ NÁSTROJ PRO PODPORU VÝUKY FYZIKY NA ZÁKLADNÍ A STŘEDNÍ ŠKOLE Rigorózní práce Olomouc 2011 Vypracoval: Mgr. Petr Janeček Konzultant rigorózní práce: doc. RNDr. Oldřich Lepil, CSc.

2 Prohlašuji, že jsem rigorózní práci vypracoval samostatně pod vedením doc. RNDr. O. Lepila, CSc. za použití literatury uvedené v závěru práce. V Olomouci dne

3 Děkuji konzultantovi rigorózní práce panu doc. RNDr. O. Lepilovi, CSc. za cenné rady a připomínky, které mně poskytl během přípravy a tvorby zadaného úkolu.

4 Obsah 1. Úvod Matematická podstata počítačového modelu Modelování pomocí programu Microsoft Excel Rovnoměrný přímočarý pohyb Rovnoměrně zrychlený přímočarý pohyb Volný pád Volný pád v odporujícím prostředí Harmonické kmitání pružinového oscilátoru Tlumené kmitání pružinového oscilátoru Modelování pomocí programu Modellus Vodorovný vrh Vrh šikmý vzhůru Vrh šikmý vzhůru balistická křivka Demonstrace trajektorie cykloida Demonstrace trajektorie asteroida Harmonický kmitavý pohyb Skládání kmitavých pohybů Příčné postupné mechanické vlnění Podélné postupné mechanické vlnění Modelování pomocí programu Interactive Physics Vektor okamžité rychlosti Pohyb těles v centrálním gravitačním poli Země Přímý dokonale pružný centrální ráz koulí Spřažená kyvadla Export modelů ve formátu AVI... 68

5 Obsah 6. Aplety ve výuce fyziky Magnetické pole tyčového magnetu Vznik střídavého napětí Lom světla na rozhraní dvou optických prostředí Objasnění Huygensova principu Optická banka Tónový generátor Vzdálené laboratoře Měření základních meteorologických měření Vlastní a vynucené oscilace Ohyb elektromagnetického záření Videoanalýza fyzikálního děje Videoanalýza kmitavého pohybu kyvadla Videoanalýza rovnoměrně zrychleného přímočarého pohybu Výuka fyziky na interaktivní tabuli Závěr Seznam použité literatury

6 Obsah CD-ROM příloha rigorózní práce: 1_Modelovani_Excel 1_1_rpp_excel.xlsx (Rovnoměrný přímočarý pohyb) 1_2_rzp_excel.xlsx (Rovnoměrně zrychlený přímočarý pohyb) 1_3_voln_pad_excel.xlsx (Volný pád v neodporujícím prostředí) 1_4_voln_pad_odpor_excel.xlsx (Volný pád v odporujícím prostředí) 1_5_harmonicke_kmitani_excel.xlsx (Harmonické kmitání pružinového oscilátoru) 1_6_harmonicke_kmitani_odpor_excel.xlsx (Tlumené kmitání pružinového oscilátoru) 2_Modelovani_Modellus 2_1_vodorovny_vrh_modellus.mdl (Vodorovný vrh) 2_2_vrh_sikmy_vzhuru_modellus.mdl (Vrh šikmý vzhůru) 2_3_balisticka_krivka_modellus.mdl (Vrh šikmý vzhůru balistická křivka) 2_4_cykloida_modellus.mdl (Demonstrace trajektorie cykloida) 2_5_asteroida_modellus.mdl (Demonstrace trajektorie asteroida) 2_6_kmitavy_pohyb_modellus.mdl (Harmonický kmitavý pohyb) 2_7_skladani_kmitu_modellus.mdl (Skládání kmitavých pohybů) 2_8_pricne_vlneni_modellus.mdl (Příčné postupné mechanické vlnění) 2_9_podelne_vlneni_modellus.mdl (Podélné postupné mechanické vlnění) modellus_full.exe (Instalační soubor programu Modellus) 3_1_Modelovani_Interactive_Physics_modely 3_1_1_vektor_okamzite_rychlosti.IP (Vektor okamžité rychlosti) 3_1_2_centralni_pole.IP (Pohyb těles v centrálním gravitačním poli Země) 3_1_3_raz_kouli.IP (Přímý dokonale pružný centrální ráz koulí) 3_1_4_sprazena_kyvadla.IP (Spřažená kyvadla) 3_2_Modelovani_Interactive_Physics_videa 3_2_01_trajektorie_a_okamzita_rychlost.avi (Trajektorie a okamžitá rychlost)

7 Obsah 3_2_02_rovnomerny_primocary_pohyb.avi (Rovnoměrný přímočarý pohyb) 3_2_03_rovnomerne_zrychleny_pohyb_1.avi (Rovnoměrně zrychlený přímočarý pohyb nulová počáteční rychlost) 3_2_04_rovnomerne_zrychleny_pohyb_2.avi (Rovnoměrně zrychlený přímočarý pohyb nenulová počáteční rychlost) 3_2_05_rovnomerne_zpomaleny_pohyb.avi (Rovnoměrně zpomalený přímočarý pohyb) 3_2_06_volny_pad.avi (Volný pád) 3_2_07_rovnomerny_pohyb_po_kruznici.avi (Rovnoměrný pohyb po kružnici) 3_2_08_zzme.avi (Zákon zachování mechanické energie) 3_2_09_vrh_svisly_vzhuru.avi (Vrh svislý vzhůru) 3_2_10_vodorovny_vrh.avi (Vodorovný vrh) 3_2_11_vrh_sikmy_vzhuru.avi (Vrh šikmý vzhůru) 3_2_12_centralni_pole.avi (Pohyb tělesa v centrálním gravitačním poli Země) 3_2_13_model_brownova_pohybu.avi (Model Brownova pohybu) 3_2_14_harmonicky_kmitavy_pohyb.avi (Harmonický kmitavý pohyb) 3_2_15_matematicke_kyvadlo.avi (Kyvadlo) 3_2_16_postupne_pricne_vlneni.avi (Model postupného příčného vlnění) 3_2_17_postupne_podelne_vlneni.avi (Model postupného podélného vlnění) 3_2_18_stojate_pricne_vlneni.avi (Model stojatého příčného vlnění) 3_2_19_stojate_podelne_vlneni.avi (Model stojatého podélného vlnění) 3_2_20_pruzinovy_oscilator.avi (Pružinový oscilátor) 3_2_21_rezonance_mechanickeho_oscilatoru.avi (Rezonance mechanického oscilátoru) 3_2_22_skladani_kmitu_stejne_frekvence.avi (Skládání kmitavých pohybů stejné frekvence) 3_2_23_skladani_kmitu_ruznych_frekvenci_prima_oktava.avi (Skládání kmitavých pohybů různých frekvencí superpozice primy s oktávou) 3_2_24_skladani_kmitu_ruznych_frekvenci_razy.avi (Skládání kmitavých pohybů různých frekvencí rázy)

8 Obsah 4_Modelovani_aplety (off-line verze webu zaměřeného na fyzikální aplety) (off-line verze webu zaměřeného na fyzikální aplety) 5_Videoanalyza_fyzikalniho_deje 5_1_rovnomerny_pohyb.avi (videozáznam rovnoměrného přímočarého pohybu vozíku na vzduchové dráze pro potřebu videoanalýzy) 5_2_zrychleny_pohyb.avi (videozáznam rovnoměrně zrychleného přímočarého pohybu vozíku na vzduchové dráze pro potřebu videoanalýzy) 5_3_pruzina.avi (videozáznam kmitavého pohybu pružinového oscilátoru pro potřebu videoanalýzy) 5_4_kyvadlo.avi (videozáznam kmitavého pohybu kyvadla pro potřebu videoanalýzy) Viana (programu na videoanalýzu záznamu fyzikálního děje)

9 1. Úvod Překotný technický rozvoj a snadná dostupnost počítačové techniky během posledního desetiletí způsobily zásadní přehodnocení pohledu na spektrum nástrojů, které může učitel fyziky využít během výuky na její podporu. Zatímco ještě poměrně nedávno byl učitel fyziky odkázán výhradně na reálné fyzikální pomůcky a reálný fyzikální experiment, jsou jeho možnosti dnes mnohem pestřejší. Bohužel je však tato skutečnost velmi často v ostrém kontrastu s časovými možnostmi souvisejícími zejména se snižováním celkové hodinové dotace fyziky v učebních plánech základních a středních škol. Počítačové modelování ve spojení s rozsáhlými možnostmi soudobé audiovizuální techniky představuje zásadní rozšíření možností učitele fyziky při demonstraci různých fyzikálních dějů. Kromě experimentu reálného tak do výuky fyziky vstupuje nový fenomén experiment virtuální. Virtuální fyzikální experiment není už podle názvu experimentem v pravém slova smyslu, tak jak jej běžně známe z hodin fyziky. Zpravidla nepracuje přímo s fyzikálními objekty, ale s jejich modely v dnešní době nejčastěji počítačovými. Zdálo by se tedy, že virtuální experiment může do jisté míry potlačit experiment klasický, který by měl vždy být nedílnou součástí výuky fyziky. Je potřeba hned na úvod zdůraznit, že autor této práce si v žádném případě nikdy nekladl za cíl upozadit ve výuce fyziky reálný experiment. Chce pouze nabídnout možnost doplnění a zpestření výuky mimo jiné v těch oblastech, kde je často provedení reálného experimentu komplikované, ne-li zcela nemožné. Počítačový model fyzikálního děje lze realizovat pomocí různých nástrojů (počítačových programů, apletů, ) a na různé úrovni jeho zápisu. Úvodní část práce se zaměřuje na objasnění samotného principu počítačového modelování fyzikálního děje na několika jednoduchých úlohách z kinematiky hmotného bodu. Ukazuje se, že k celkem pohodlnému modelování bohatě postačuje běžný tabulkový procesor, např. Microsoft Excel. Je zde ale nutná poměrně vysoká matematická erudice tvůrce takového modelu a také dobrá znalost práce s tabulkovým procesorem (např. Microsoft Excel). Navíc je zde možné vytvořit pouze modely statické, tzn. nejčastěji grafická znázornění řešení příslušných pohybových rovnic daného děje bez možnosti jejich animace. Takovýto výsledek má jistě velkou vypovídací schopnost pro učitele, ale pro žáky je tak jen málo atraktivní. Alternativou by mohlo být použití modelovacího systému Modellus, kterým se zabývám v další části této práce. Jedná se o software, který byl lokalizován do českého jazyka - 1 -

10 1. Úvod a v dnešní době představuje v podstatě plnohodnotnou náhradu systému Famulus, který byl optimalizován pro systém MS-DOS a i přes své nesporné kvality je již poněkud zastaralý. Při použití obou výše uvedených metod (Microsoft Excel, Modellus) je vždy zapotřebí vložit do systému jisté množství matematických výrazů a vzorců. Vytvoření počítačového modelu i jednoduššího děje, a zejména pak jeho grafická optimalizace, tak může být časově velmi náročná. Další část textu je zaměřena na systém Interactive Physics. Jedná se o špičkový modelovací systém firmy MSC.Software. Umožňuje interaktivní řešení fyzikálních problémů a provádění fyzikálních experimentů bez využití jediné reálné pomůcky. Tento produkt se prosazuje zejména proto, že je navržen v prostředí Windows. Zde již nepíšeme samotné rovnice a vzorce (i když i tento postup je možný a v některých případech vhodný nebo dokonce nezbytný), nýbrž systém je založen na vkládání jednotlivých fyzikálních objektů na plochu počítače. Po vytvoření jednotlivých vazeb a definování dalších podmínek, např. silových polí, tření a odporových sil, začne systém sám řešit příslušné pohybové rovnice. Na několika jednoduchých modelech jsou v této práci představeny základní funkce a možnosti tohoto nástroje. Následující část textu popisuje možnosti využití apletů s fyzikální tématikou a vzdálených laboratoří volně dostupných na internetu ve výuce fyziky na základní a střední škole. Text popisuje tematicky nejtypičtější příklady aplikace těchto virtuálních nástrojů v jednotlivých částech výuky fyziky. V předposlední kapitole práce je popsána možnost počítačového zpracování videozáznamu reálného fyzikálního děje pomocí tzv. videoanalýzy. Tu provádíme pomocí vhodného software. Mezi nejznámější patří programy Easyvid, ViMPS a Viana. Videoanalýza vlastně představuje počítačový rozbor sekvence snímků, na nichž je zaznamenán vhodný reálný fyzikální děj. Poslední část tohoto výukového materiálu v podstatě shrnuje všechny možnosti počítačového modelování a virtuálního experimentu s důrazem na využití interaktivní tabule ve výuce a jejich praktické začlenění do interaktivních sešitů vytvořených nástrojem ActivStudio. Filozofie a struktura obslužného software pro interaktivní tabule je v podstatě u všech výrobců obdobná, takže znalosti získané prací s tabulí ActivBoard a softwarem ActivStudio lze pak snadno přenést na jiný typ zařízení a softwaru

11 1. Úvod Porovnáme-li všechny výše uvedené nástroje z hlediska uplatnitelnosti v jednotlivých oborech fyziky, vysledujeme jistá obecná omezení. Naprosto dominantní postavení má v tomto ohledu mechanika, mechanické kmitání a mechanické vlnění. Je to logické, neboť zejména v těchto fyzikálních oborech hraje pohyb objektů velmi důležitou roli. Navíc lze model většinou nastavit tak, že rychlosti objektů ve skutečnosti odpovídají rychlostem těchto objektů v daném modelu. To je velmi důležité z didaktického hlediska. Umožňuje to totiž žákům snáze pochopit daný děj a v libovolném okamžiku porovnat příslušnou kinematickou veličinu v modelu s reálnou situací. Velké množství modelů nalezneme a uplatníme také v optice, zejména paprskové. Souvisí to s tím, že při zobrazování prostřednictvím základních optických elementů (zrcadla, čočky) platí velmi jednoduchá geometrická pravidla, která lze snadno interpretovat pomocí grafického znázornění chodu světelných paprsků. Výrazně omezenější jsou naše možnosti v oblasti elektřiny, magnetismu, molekulové fyziky a fyziky mikrosvěta. Souvisí to mimo jiné s tím, že v těchto oblastech fyziky nezkoumáme prioritně pohyb jako takový. Pokud už takový model vznikne, pak za cenu toho, že rychlosti daných objektů anebo jejich velikosti se naprosto zásadně liší od reality. I zde však nalezneme výjimky. Pomocí programu Interactive Physics lze například velmi jednoduše vysvětlit a objasnit Brownův pohyb, k dispozici je celá řada apletů zaměřených na demonstraci základních jevů z oblasti elektřiny a magnetismu, existují dokonce i aplety, pomocí kterých se dají znázornit a objasnit některé závěry speciální teorie relativity. Text této práce je koncipován tak, že vždy v úvodu každé kapitoly je stručně popsán princip tvorby modelu v daném prostředí a základní pravidla týkající se zápisu modelu a dostupných funkcí. Poté následuje zpravidla soubor několika vybraných modelů, v nichž je využití daného nástroje naznačeno. Je zde také vždy uvedena orientační časová náročnost na přípravu modelu, způsob jeho metodického začlenění do výuky fyziky a v celé řadě případů i vlastní poznámky a doplnění autora, včetně upozornění na možná specifika a úskalí. Práce tak může do jisté míry dobře posloužit i jako učební text pro zájemce o virtuální experiment z řad učitelů fyziky na základních a středních školách

12 2. Matematická podstata počítačového modelu V této části textu bude nastíněna matematická podstata počítačového modelu fyzikálního děje. Její zvládnutí není nezbytně nutné při použití nástroje Interactive Physics, avšak při optimalizaci některých modelů vytvořených tímto nástrojem se nám některé poznatky z této oblasti týkající se např. nastavení přesnosti výpočtu nebo velikosti časového kroku mohou hodit. Veškeré pohyby v klasické mechanice lze popsat pomocí druhého Newtonova pohybového zákona ve tvaru: F = ma, kde a je celkové zrychlení, které tělesu o hmotnosti m uděluje výslednice všech sil na toto těleso působících F. V praxi se vlastně jedná o pohybovou diferenciální rovnici ve tvaru: F = m d2 r dt 2, kterou lze po složkách rozepsat do tří skalárních rovnic: F x = m d2 x dt 2, F y = m d2 y dt 2, F z = m d2 z dt 2. Přesné řešení těchto rovnic lze provést pouze pro úzkou skupinu nejjednodušších pohybů a navíc je v podstatě nemožné toto řešení provádět na střední škole (teorie diferenciálních rovnic). Navzdory tomu však existuje velmi jednoduchá přibližná metoda řešení těchto pohybových rovnic, která je pro studenty pochopitelná a navíc lze při řešení s výhodou použít počítač. Jedná se o Eulerovu metodu řešení diferenciální rovnice, kterou při výpočtu většinou používá i např. program Interactive Physics. Princip Eulerovy metody řešení pohybových diferenciálních rovnic lze snadno objasnit s využitím následujícího obrázku

13 2. Matematická podstata počítačového modelu Předpokládejme těleso (žlutá kulička), které se pohybuje po trajektorii znázorněné zelenou barvou. Poloha kuličky je zde vyznačena v počátečním čase t 0 a dále pak ve dvou dalších časových okamžicích t 0 + t a t t, tedy ve dvou stejně velkých časových intervalech. Hodnoty kinematických veličin v čase t 0 + t můžeme pomocí hodnot v čase t 0 vyjádřit následovně: x 1 = x 0 + v x0 t, a x0 = F x0 m, v x1 = v x0 + a x0 t, y 1 = y 0 + v y0 t, a y0 = F y0, m v y1 = v y0 + a y0 t, kde x 0 ; y 0 ; v x0 ; v y0 ; a x0 ; a y0 ; F x0 ; F y0 jsou hodnoty mechanických veličin v čase t 0 a x 1 ; y 1 ; v x1 ; v y1 jsou hodnoty těchto veličin v čase t 0 + t. Z obrázku je vidět, že část trajektorie mezi časovými okamžiky t 0 a t 0 + t jsme přibližně nahradili úsečkou, tedy lineárním přírůstkem příslušných kinematických veličin

14 2. Matematická podstata počítačového modelu Hodnoty kinematických veličin v čase t t můžeme pomocí hodnot v čase t 0 + t vyjádřit následovně: x 2 = x 1 + v x1 t, a x1 = F x1 m, v x2 = v x1 + a x1 t, y 2 = y 1 + v y1 t, a y1 = F y1 m, v y2 = v y1 + a y1 t, kde x 1 ; y 1 ; v x1 ; v y1 ; a x1 ; a y1 ; F x1 ; F y1 jsou hodnoty mechanických veličin v čase t 0 + t a x 2 ; y 2 ; v x2 ; v y2 jsou hodnoty těchto veličin v čase t t. Z obrázku je vidět, že část trajektorie mezi časovými okamžiky t 0 + t a t t jsme opět přibližně nahradili úsečkou, tedy lineárním přírůstkem příslušných kinematických veličin. Obecně hodnoty kinematických veličin v čase t 0 + (i + 1) t můžeme pomocí hodnot v čase t 0 + i t vyjádřit následovně: x i+1 = x i + v xi t, a xi = F xi m, v x(i+1) = v xi + a xi t, y i+1 = y i + v yi t, a yi = F yi, m v y(i+1) = v yi + a yi t, kde x i ; y i1 ; v xi ; v yi ; a xi ; a yi ; F xi ; F yi jsou hodnoty mechanických veličin v čase t 0 + i t a x i+1 ; y i+1 ; v x(i+1) ; v y(i+1) jsou hodnoty těchto veličin v čase t 0 + (i + 1) t. Vytvoření modelu daného děje pak tedy pouze spočívá v tom, že výše uvedené posloupnosti jednoduchých matematických výrazů zadáme do vhodného programu uzpůsobeného k matematickým výpočtům a následného zobrazování těchto hodnot pomocí grafů. Na počátku výpočtu vždy musíme stanovit počáteční hodnoty jednotlivých kinematických veličin, což v podstatě odpovídá stanovení počátečních podmínek při řešení příslušných pohybových rovnic. Vytvoření některých typických modelů si v následujících dvou částech textu ukážeme v programech Microsoft Excel a Modellus

15 3. Modelování pomocí programu Microsoft Excel Název modelu: 3.1 Rovnoměrný přímočarý pohyb Cíl modelu: demonstrace rovnoměrného přímočarého pohybu zaměřená na grafické znázornění závislosti základních kinematických veličin na čase Určeno pro: 2. stupeň základní školy, nižší gymnázium, vyšší gymnázium Prostředí: Microsoft Excel Časová náročnost na přípravu modelu: 10 minut Délka trvání použití modelu: 5 minut Základní nastavení vzorců je patrné z barevných popisků, vzorce z buněk I3 M3 nakopírujeme do dalších buněk tažením za pravý dolní roh označené skupiny těchto buněk. Adresaci na buňky B8 a B9 je třeba nastavit absolutně, neboť tyto hodnoty jsou neustále konstantní. Dvojitý symbol dolaru vložíme stiskem klávesy F

16 3. Modelování pomocí programu Microsoft Excel Grafické znázornění vypočtených číselných hodnot - 8 -

17 3. Modelování pomocí programu Microsoft Excel Název modelu: 3.2 Rovnoměrně zrychlený přímočarý pohyb Cíl modelu: demonstrace rovnoměrně zrychleného přímočarého pohybu zaměřená na grafické znázornění závislosti základních kinematických veličin na čase Určeno pro: vyšší gymnázium Prostředí: Microsoft Excel Časová náročnost na přípravu modelu: 10 minut Délka trvání použití modelu: 5 minut Základní nastavení vzorců je patrné z barevných popisků, vzorce z buněk I3 M3 nakopírujeme do dalších buněk tažením za pravý dolní roh označené skupiny těchto buněk. Adresaci na buňky B8 a B9 je třeba nastavit absolutně, neboť tyto hodnoty jsou neustále konstantní. Dvojitý symbol dolaru vložíme stiskem klávesy F4. Časový krok je zde nastaven na poměrně velkou hodnotu (dt = 0,5 s). Výpočet je v tomto případě příliš hrubý a na grafickém znázornění výsledků je patrné, že graf závislosti dráhy na čase je velmi nepřesný, jedná se v podstatě o lomenou čáru. Na následujících dvou obrázcích je pro porovnání znázorněn výsledek modelu pro časový krok 0,5 s a 0,01 s. Zmenšíme-li časový krok, musí počítač udělat větší množství výpočtů. V praxi tedy musíme vzorce v Excelu rozkopírovat na mnohem větší počet buněk směrem dolů, chceme-li dosáhnout srovnatelného výsledného času celého děje

18 3. Modelování pomocí programu Microsoft Excel Ve všech dalších modelech je použit časový krok o velikosti 0,01 s. Ze zkušenosti autora je takto nastavená velikost časového kroku dostatečná pro modelování všech běžných fyzikálních dějů

19 3. Modelování pomocí programu Microsoft Excel Název modelu: 3.3 Volný pád Cíl modelu: demonstrace volného pádu zaměřená na grafické znázornění závislosti základních kinematických veličin na čase Určeno pro: 2. stupeň základní školy, nižší gymnázium, vyšší gymnázium Prostředí: Microsoft Excel Časová náročnost na přípravu modelu: 10 minut Délka trvání použití modelu: 5 minut U tohoto modelu je třeba výpočet doplnit o další dva sloupce (N, O), neboť v grafickém znázornění závislosti velikosti rychlosti a zrychlení zpravidla požadujeme, aby hodnoty těchto veličin byly kladné velikost rychlosti tělesa při volném pádu totiž roste. V uvedených dvou sloupcích se tedy počítá absolutní hodnota ze sloupců K a M a tyto absolutní hodnoty jsou také znázorněné v následujícím grafu

20 3. Modelování pomocí programu Microsoft Excel Všechny doposud uvedené modely pohybů předpokládají, že pohyb se děje v neodporujícím prostředí. Za těchto podmínek jsou pohybové rovnice řešitelné snadno a žáci jejich řešení vlastně znají jsou to vztahy pro výpočet dráhy a rychlosti u jednotlivých dějů. Neodvozují se však jako řešení diferenciálních rovnic, ale jinak, např. graficky. U volného pádu se však přímo nabízí pokusit se tento děj vymodelovat i v odporujícím prostředí. Pro jednoduchost budeme předpokládat, že se těleso pohybuje malou rychlostí a velikost odporové síly na těleso působící je přímo úměrná první mocnině velikosti jeho rychlosti. Pro odporovou sílu tedy platí vztah: F o = k v, kde k je koeficient odporu prostředí. Tato odporová síla se při pohybu skládá se sílou tíhovou, která má opačný směr. Okamžité zrychlení tělesa pak určuje výslednice těchto dvou sil

21 3. Modelování pomocí programu Microsoft Excel Název modelu: 3.4 Volný pád v odporujícím prostředí Cíl modelu: demonstrace volného pádu v odporujícím prostředí zaměřená na grafické znázornění závislosti základních kinematických veličin na čase a srovnání s volným pádem ve vakuu Určeno pro: vyšší gymnázium Prostředí: Microsoft Excel Časová náročnost na přípravu modelu: 20 minut Délka trvání použití modelu: 5 minut Oproti modelu v neodporujícím prostředí přibyla buňka B10, která udává hodnotu koeficientu odporu prostředí. Dále se změnil výpočet okamžité hodnoty velikosti výslednice působících sil. Změna vzorce je vyznačena v obrázku červeně a vychází z výše uvedeného poznatku, že velikost výsledné síly určíme jako vektorový součet síly tíhové a odporové. Na následujících obrázcích je výsledek modelu pro různé hodnoty koeficientu odporu prostředí (0,5; 5; 25; 50). Z výsledků je zřejmé, že velikost okamžitého zrychlení klesá s rostoucím časem k nule a velikost okamžité rychlosti se postupně asymptoticky blíží k nějaké maximální hodnotě, což je v souladu např. s poznatky o skoku parašutisty z letadla

22 3. Modelování pomocí programu Microsoft Excel k = 0,5 k =

23 3. Modelování pomocí programu Microsoft Excel k = 25 k =

24 3. Modelování pomocí programu Microsoft Excel Název modelu: 3.5 Harmonické kmitání pružinového oscilátoru Cíl modelu: demonstrace kmitavého pohybu pružinového oscilátoru v neodporujícím prostředí zaměřená na grafické znázornění závislosti základních kinematických veličin na čase Určeno pro: vyšší gymnázium Prostředí: Microsoft Excel Časová náročnost na přípravu modelu: 20 minut Délka trvání použití modelu: 5 minut Model je poněkud zjednodušen, předpokládá, že na těleso nepůsobí tíhová síla, nýbrž pouze síla pružiny, pro kterou platí: F = k y, kde k je tzv. tuhost pružiny a y je vektor okamžité výchylky. Vložení tohoto vzorce je opět v modelu zvýrazněno červeně. Další zajímavostí tohoto modelu je fakt, že při časovém kroku 0,01 s dochází k poměrně velké odchylce (amplituda jednotlivých veličin tak v grafech znatelně narůstá), proto je nutné volit v tomto modelu časový krok desetkrát menší

25 3. Modelování pomocí programu Microsoft Excel Model opět předpokládá pohyb v neodporujícím prostředí, hovoříme pak o tzv. netlumeném kmitání harmonického oscilátoru. Lze jej opět velmi jednoduše upravit tak, aby simuloval kmitavý pohyb v odporujícím prostředí pak hovoříme o tlumeném kmitání harmonického oscilátoru. Kromě síly pružiny působí na těleso i síla odporu prostředí. Pro jednoduchost budeme opět předpokládat, že se těleso pohybuje malou rychlostí a velikost odporové síly na těleso působící je přímo úměrná první mocnině velikosti jeho rychlosti. Pro odporovou sílu tedy platí vztah: F o = r v, kde r je koeficient odporu prostředí. Tato odporová síla se při pohybu skládá se sílou pružnosti. Okamžité zrychlení tělesa pak určuje výslednice těchto dvou sil podle vztahu: ma = F +, F o ma = k y r v

26 3. Modelování pomocí programu Microsoft Excel Pro souřadnici zrychlení pak z této rovnice platí: a = ky rv m. Při řešení příslušné pohybové rovnice dostáváme po úpravách lineární homogenní diferenciální rovnici druhého řádu s konstantními koeficienty, kterou řešíme pomocí tzv. charakteristické rovnice. Obvykle se při řešení této rovnice zavádí následující označení: δ = r 2m ; ω 0 2 = k m. Příslušná charakteristická rovnice je kvadratická a ta má podle hodnoty diskriminantu tři varianty řešení: a) δ < ω 0 řešením rovnice jsou dvě čísla komplexně sdružená, v tomto případě hovoříme o podkriticky tlumeném oscilátoru. Těleso vykonává tzv. kvaziperiodický kmitavý pohyb, jehož amplituda s časem exponenciálně klesá. b) δ = ω 0 řešením rovnice je jeden reálný dvojnásobný kořen, v tomto případě hovoříme o kriticky tlumeném oscilátoru. Těleso vykonává tzv. aperiodický děj, při kterém dospěje do rovnovážné polohy nejrychleji ze všech aperiodických dějů. c) δ > ω 0 řešením rovnice jsou dva reálné kořeny, v tomto případě hovoříme o nadkriticky tlumeném oscilátoru. Těleso vykonává opět tzv. aperiodický děj, při kterém se bude pomalu vracet do rovnovážné polohy

27 3. Modelování pomocí programu Microsoft Excel Název modelu: 3.6 Tlumené kmitání pružinového oscilátoru Cíl modelu: demonstrace kmitavého pohybu pružinového oscilátoru v odporujícím prostředí zaměřená na grafické znázornění závislosti základních kinematických veličin na čase Určeno pro: vyšší gymnázium Prostředí: Microsoft Excel Časová náročnost na přípravu modelu: 20 minut Délka trvání použití modelu: 5 minut Oproti modelu v neodporujícím prostředí přibyla buňka B11, která udává hodnotu koeficientu odporu prostředí. Dále se změnil výpočet okamžité hodnoty velikosti výslednice působících sil. Změna vzorce je vyznačena v obrázku červeně a vychází z výše uvedeného poznatku, že velikost výsledné síly určíme jako vektorový součet síly pružnosti a síly odporové. Z výše uvedené teorie tedy také vyplývá, že i podle vzájemného poměru hodnot k a r nastávají tři zmiňované případy: a) podkritické tlumení oscilátoru nastává tehdy, pokud platí: r 2 < 4mk,

28 3. Modelování pomocí programu Microsoft Excel b) kritické tlumení oscilátoru nastává tehdy, pokud platí: r 2 = 4mk, pohyb oscilátoru je pak takový, že oscilátor se za nejkratší možnou dobu ustálí v rovnovážné poloze,

29 3. Modelování pomocí programu Microsoft Excel c) nadkritické tlumení oscilátoru nastává tehdy, pokud platí: r 2 > 4mk, v tomto případě se jedná o neperiodický (aperiodický) pohyb, kdy se oscilátor bude pomalu vracet do své rovnovážné polohy

30 4. Modelování pomocí programu Modellus Řešení některých vybraných úloh prostřednictvím programu Microsoft Excel je sice poměrně jednoduché, ale vzniklý model se omezuje v podstatě pouze na vykreslení příslušných grafických závislostí. Tento software neumožňuje modely dynamické, tzn. takové, které by simulovaly skutečný pohyb daného tělesa. Špičkou na českém trhu v této oblasti byl kdysi program Famulus. I přes svou jednoduchost poskytoval širokou škálu možností a nástrojů k tvorbě počítačových modelů zaměřených na různé oblasti fyziky i matematiky. Tento program byl vytvořen ještě v systému MS-DOS a v dnešní době je již poněkud morálně zastaralý. V podstatě plnohodnotnou náhradou za tento produkt může být program Modellus. Jedná se o portugalský produkt, který lze po zaregistrování stáhnout zdarma na adrese V současné době je dostupný ve verzi Na adrese lze stáhnout v české lokalizaci verzi 2.5. Pro nekomerční a výukové potřeby je program volně šiřitelný a veškeré modely v této kapitole jsou vytvořené v něm. Po bezproblémové instalaci a spuštění se objeví na monitoru následující rozložení jednotlivých modulů:

31 4. Modelování pomocí programu Modellus Popis jednotlivých modulů programu: Ovládání Tento modul obsahuje standardní tlačítka pro ovládání videosekvence a dále tlačítko Nastavení. Po jeho aktivaci se objeví následující dialog: Zde je nastavena jako nezávislá proměnná čas, dále časový krok (odpovídá časovému kroku např. při použití Eulerovy metody). Pokud je parametr t použitý u goniometrických funkcí, nastavíme, zda udává hodnotu v radiánech nebo ve stupních. Poslední důležitou volbou v tomto dialogu je nastavení počtu desetinných míst ve výpočtech a počet míst exponentu při zápisech čísel v semilogaritmickém tvaru. Model V okně tohoto modulu zapisujeme rovnice popisující daný model (viz. další text). V horní liště jsou funkce, které nám usnadňují zápis některých matematických operací (mocniny, odmocniny, ) a důležité tlačítko Přelož. Toto tlačítko musíme použít vždy, když dokončíme zápis modelu nebo provedeme jeho změnu. Program zkontroluje, zda je zápis syntakticky správný a v modulu Počáteční podmínky doplní veškeré nalezené parametry a vybídne k doplnění jejich číselných hodnot a k doplnění počátečních hodnot všech použitých proměnných. Je-li model přeložen bez chyb, objeví se zelený text Model přeložen!, je-li v zápise nalezena chyba, objeví se červený text Chyba v modelu! Graf V okně tohoto modulu je při běhu modelu vykreslován graf zvolené závislosti. To, která veličina se bude znázorňovat na které ose, zvolíme zakliknutím v sekcích Vertikálně a Horizontálně. V sekci Vertikálně je možné přidržením klávesy CTRL označit více položek a v obrázku se tak bude vykreslovat více grafů najednou. Tlačítkem Přizpůsobit dosáhneme

32 4. Modelování pomocí programu Modellus toho, že dojde k přeškálování os tak, aby byl zachycen celý doposud vypočtený graf. Po aktivaci tlačítka Nastavení se objeví následující dialog: V části Meze nastavujeme dolní a horní meze obou os. Při volbě položky Automatické měřítko se bude měřítko os přizpůsobovat vypočteným hodnotám při běhu modelu. Volbou položky Projekční čáry se budou společně s grafem překreslovat i kolmice k oběma osám. Volbou položky Stejná měřítka dosáhneme toho, že dílky na obou osách budou stejně veliké a volba položky Body zajistí, že v grafu budou zobrazeny pouze polohy bodů vypočtených modelem a nikoliv spojnice těchto bodů. Viditelného efektu u této volby dosáhneme pouze tehdy, když je časový krok v porovnání se zvoleným měřítkem dostatečně velký. Tabulka V okně tohoto modulu se zobrazují v tabulce vypočtené hodnoty zvolených proměnných. Opět lze použít tlačítko CTRL k výběru více proměnných, v takovém případě se v tabulce objeví další sloupce. Počáteční podmínky Tento modul již byl zmiňován. Po překladu modelu se v sekci Parametry objeví všechny konstanty modelu (např. tíhové zrychlení, tuhost pružiny, ) a v sekci Počáteční hodnoty nastavujeme počáteční hodnoty použitých proměnných (počáteční poloha, počáteční rychlost, ) Animace V tomto modulu probíhá samotná animace daného modelu. Nastavení jednotlivých parametrů je tak rozsáhlé, že jejich popis bude proveden vždy u každého modelu zvlášť. Na závěr tohoto odstavce je nutné podotknout, že v případě modulů Graf, Tabulka a Animace lze zobrazit i více těchto modulů současně. Volbu dalšího takového modulu provedeme v hlavním menu programu v položce Okno

33 4. Modelování pomocí programu Modellus Název modelu: 4.1 Vodorovný vrh Cíl modelu: demonstrace pohybu tělesa v homogenním tíhovém poli Země v neodporujícím prostředí zaměřená na grafické znázornění závislosti základních kinematických veličin na čase, animace tohoto děje a znázornění složek rychlosti pohybujícího se tělesa Určeno pro: vyšší gymnázium Prostředí: Modellus Časová náročnost na přípravu modelu: 15 minut Délka trvání použití modelu: 5-10 minut Zápis modelu a nastavení počátečních podmínek a parametrů je patrné z obrázků. Ze zápisu modelu je zřejmé, že k výpočtu pohybových rovnic je opět použita Eulerova metoda. Vložení tělesa do modulu Animace provedeme pomocí tlačítka Vytvořit novou částici. Po výběru tohoto nástroje a jeho umístění na pracovní plochu Animace se objeví následující dialog: V sekcích Horizontálně a Vertikálně nastavíme, kterými proměnnými bude ovlivňován pohyb částice v obou směrech. V sekci Druh objektu zvolíme jako Typ Částice a barvu. V sekci vlastnosti zvolíme, že při pohybu částice se budou v okně animace zobrazovat okamžité hodnoty proměnných x a y, souřadnicové osy,

34 4. Modelování pomocí programu Modellus trajektorie a pohybující se částice bude po každých deseti krocích zanechávat stopu. Dosáhneme tak typického tzv. stroboskopického efektu. K takto zvolené částici potom pomocí tlačítka Vytvořit nový vektor postupně připojíme dva vektory rychlosti. Po výběru tohoto nástroje se vždy objeví příslušný dialog. Nastavení parametrů v jednotlivých dialozích je patrné z následujících obrázků: Grafické znázornění modelu

35 4. Modelování pomocí programu Modellus Název modelu: 4.2 Vrh šikmý vzhůru Cíl modelu: demonstrace pohybu tělesa v homogenním tíhovém poli Země v neodporujícím prostředí zaměřená na grafické znázornění závislosti základních kinematických veličin na čase, animace tohoto děje a znázornění složek rychlosti pohybujícího se tělesa Určeno pro: vyšší gymnázium Prostředí: Modellus Časová náročnost na přípravu modelu: 15 minut Délka trvání použití modelu: 5-10 minut Zápis modelu a nastavení počátečních podmínek a parametrů je patrné z obrázků. Ze zápisu modelu je zřejmé, že k výpočtu pohybových rovnic je opět použita Eulerova metoda. Vložení tělesa do modulu Animace provedeme podobným způsobem jako v předcházejícím modelu. Stejně tak nastavíme podobným způsobem připojení vektorů rychlosti a stroboskopický efekt

36 4. Modelování pomocí programu Modellus Grafické znázornění modelu Pro tento model je typické, že se jej snažíme přizpůsobit reálné situaci, tedy upravit tak, aby odpovídal pohybu v odporujícím prostředí (např. pohyb střely) trajektorie takového pohybu se potom nazývá balistická křivka. Použijeme-li k výpočtu opět Eulerovu metodu, je úprava zápisu modelu velmi jednoduchá. Pro jednoduchost budeme opět předpokládat, že velikost odporové síly na těleso působící je přímo úměrná první mocnině velikosti jeho rychlosti. Pro odporovou sílu tedy platí vztah: F o = k v, kde k je koeficient odporu prostředí. Tato odporová síla se při pohybu skládá se silou tíhovou. Okamžité zrychlení tělesa pak určuje výslednice těchto dvou sil

37 4. Modelování pomocí programu Modellus Název modelu: 4.3 Vrh šikmý vzhůru balistická křivka Cíl modelu: demonstrace pohybu tělesa v homogenním tíhovém poli Země v odporujícím prostředí zaměřená na grafické znázornění závislosti základních kinematických veličin na čase, animace tohoto děje a znázornění složek rychlosti pohybujícího se tělesa Určeno pro: vyšší gymnázium Prostředí: Modellus Časová náročnost na přípravu modelu: 15 minut Délka trvání použití modelu: 5-10 minut Zápis modelu a nastavení počátečních podmínek a parametrů je patrné z obrázků. Ze zápisu modelu je zřejmé, že k výpočtu pohybových rovnic je opět použita Eulerova metoda. Vložení tělesa do modulu Animace provedeme podobným způsobem jako v předcházejícím modelu. Stejně tak nastavíme podobným způsobem připojení vektorů rychlosti a stroboskopický efekt

38 4. Modelování pomocí programu Modellus Grafické znázornění modelu

39 4. Modelování pomocí programu Modellus Název modelu: 4.4 Demonstrace trajektorie cykloida Cíl modelu: demonstrace vzniku netradiční trajektorie cykloidy, kterou opisuje bod na obvodu kružnice (např. ventilek kola) valící se po vodorovné podložce Určeno pro: vyšší gymnázium Prostředí: Modellus Časová náročnost na přípravu modelu: 10 minut Délka trvání použití modelu: 5 minut Zápis modelu a nastavení počátečních podmínek a parametrů je patrné z obrázků. Ze zápisu modelu je zřejmé, že k výpočtu není použita žádná přibližná metoda, nýbrž vycházíme ze znalosti parametrických rovnic cykloidy (první dva řádky modelu). V samotném modelu je třeba ještě simulovat valení kružnice po podložce. Poloměr této kružnice je určen v počátečních podmínkách modelu, střed kružnice se pohybuje pohybem rovnoměrným ve vodorovném směru. Okamžité souřadnice tohoto středu jsou vypočteny na třetím a čtvrtém řádku modelu. Vložení podložky do modulu Animace provedeme pomocí tlačítka Vytvořit nový geometrický objekt. Po výběru tohoto nástroje a jeho umístění na pracovní plochu Animace se objeví dialog, ve kterém provedeme následující nastavení:

40 4. Modelování pomocí programu Modellus Vložení valící se kružnice do modulu Animace provedeme opět pomocí tlačítka Vytvořit nový geometrický objekt. Po výběru tohoto nástroje a jeho umístění na pracovní plochu Animace se objeví dialog, ve kterém provedeme nastavení podle obrázku. Stiskem tlačítka Umístění v tomto dialogu dále nastavíme, jakým způsobem je určen střed této kružnice a jakým způsobem valící se bod na této kružnici. K definici valícího se bodu užijeme proměnné z prvních dvou řádků modelu, k definici středu kružnice další dva řádky modelu. Nastavení dialogu pak bude vypadat takto: Vložení valícího se poloměru kružnice do modulu Animace provedeme obdobným způsobem opět pomocí tlačítka Vytvořit nový geometrický objekt. Nastavení obou dialogů pak bude vypadat takto:

41 4. Modelování pomocí programu Modellus Vložení zapisovače (tužky) do modulu Animace provedeme pomocí tlačítka Vytvořit nový souřadnicový zapisovač. Nastavení dialogu bude vypadat takto: Grafické znázornění modelu

42 4. Modelování pomocí programu Modellus Název modelu: 4.5 Demonstrace trajektorie asteroida Cíl modelu: demonstrace vzniku netradiční trajektorie asteroidy, kterou opisuje bod na obvodu kružnice valící se uvnitř jiné kružnice, která má čtyřikrát větší průměr Určeno pro: vyšší gymnázium Prostředí: Modellus Časová náročnost na přípravu modelu: 10 minut Délka trvání použití modelu: 5 minut Zápis modelu a nastavení počátečních podmínek a parametrů je patrné z obrázků. Ze zápisu modelu je zřejmé, že k výpočtu není opět použita žádná přibližná metoda, nýbrž vycházíme ze znalosti parametrických rovnic asteroidy (druhý a třetí řádek modelu). V samotném modelu je třeba ještě simulovat valení kružnice uvnitř větší kružnice. Poloměr této kružnice je určen v počátečních podmínkách modelu, střed kružnice se pohybuje pohybem rovnoměrným po kružnici s poloměrem ¾ R. Okamžité souřadnice tohoto středu jsou vypočteny na čtvrtém a pátém řádku modelu. Vložení větší kružnice do modulu Animace provedeme pomocí tlačítka Vytvořit nový geometrický objekt. Po výběru tohoto nástroje a jeho umístění na pracovní plochu Animace se objeví dialog, ve kterém provedeme následující nastavení:

43 4. Modelování pomocí programu Modellus Vložení valící se kružnice do modulu Animace provedeme opět pomocí tlačítka Vytvořit nový geometrický objekt. Po výběru tohoto nástroje a jeho umístění na pracovní plochu Animace se objeví dialog, ve kterém provedeme nastavení podle obrázku. Stiskem tlačítka Umístění v tomto dialogu dále nastavíme, jakým způsobem je určen střed této kružnice a jakým způsobem valící se bod na této kružnici. K definici valícího se bodu užijeme proměnné z druhého a třetího řádku modelu, k definici středu kružnice další dva řádky modelu. Nastavení dialogu pak bude vypadat takto: Vložení valícího se poloměru kružnice do modulu Animace provedeme obdobným způsobem opět pomocí tlačítka Vytvořit nový geometrický objekt. Nastavení obou dialogů pak bude vypadat takto:

44 4. Modelování pomocí programu Modellus Vložení zapisovače (tužky) do modulu Animace provedeme pomocí tlačítka Vytvořit nový souřadnicový zapisovač. Nastavení dialogu bude vypadat takto: Grafické znázornění modelu

45 4. Modelování pomocí programu Modellus Název modelu: 4.6 Harmonický kmitavý pohyb Cíl modelu: demonstrace vzniku harmonického kmitavého pohybu jako kolmého průmětu pohybu rovnoměrného po kružnici a jeho časového rozvinutí Určeno pro: vyšší gymnázium Prostředí: Modellus Časová náročnost na přípravu modelu: 10 minut Délka trvání použití modelu: 5 minut Zápis modelu a nastavení počátečních podmínek a parametrů je patrné z obrázků. Ze zápisu modelu je zřejmé, že k výpočtu není opět použita žádná přibližná metoda, nýbrž vycházíme ze znalosti parametrických rovnic kružnice (první a druhý řádek modelu). Vložení částice pohybující se po kružnici do modulu Animace provedeme pomocí tlačítka Vytvořit novou částici. Po výběru tohoto nástroje a jeho umístění na pracovní plochu Animace se objeví dialog, ve kterém provedeme následující nastavení:

46 4. Modelování pomocí programu Modellus Vložení částice pohybující se jako kolmý průmět pohybu po kružnici do modulu Animace provedeme pomocí tlačítka Vytvořit novou částici. Po výběru tohoto nástroje a jeho umístění na pracovní plochu Animace se objeví dialog, ve kterém provedeme následující nastavení: Vložení zapisovače (tužky) do modulu Animace provedeme pomocí tlačítka Vytvořit nový souřadnicový zapisovač. Nastavení dialogu bude vypadat takto: Pomocnou spojovací přímku, která promítá pohyb po kružnici do pohybu rovinného, do modulu Animace provedeme pomocí tlačítka Vytvořit nový geometrický objekt. Po výběru tohoto nástroje a jeho umístění na pracovní plochu Animace se objeví dialog, ve kterém provedeme následující nastavení:

47 4. Modelování pomocí programu Modellus Grafické znázornění modelu

48 4. Modelování pomocí programu Modellus Název modelu: 4.7 Skládání kmitavých pohybů Cíl modelu: demonstrace superpozice (skládání) dvou harmonických kmitavých pohybů a jeho časového rozvinutí Určeno pro: vyšší gymnázium Prostředí: Modellus Časová náročnost na přípravu modelu: 15 minut Délka trvání použití modelu: 10 minut Zápis modelu a nastavení počátečních podmínek a parametrů je patrné z obrázků. Ze zápisu modelu je zřejmé, že k výpočtu není opět použita žádná přibližná metoda. Vycházíme ze znalosti rovnic okamžité výchylky obou oscilátorů. Předpokládáme, že oba oscilátory (závaží na pružinách) jsou spojeny tenkým gumovým vláknem. Střed tohoto vlákna (označen červeně) pak koná kmitavý pohyb, který je výsledkem skládání obou dílčích kmitavých pohybů. Z obrázku je patrné, že okamžitá výchylka tohoto červeného oscilátoru je rovna polovině součtu okamžitých výchylek obou oscilátorů. Všechny čtyři částice, souřadnicový zapisovač a promítací přímku vložíme do modulu Animace běžným způsobem, který byl již popsán u předešlých modelů. Popišme si pouze způsob, jak vložíme do modulu Animace model spojovacího gumového vlákna. Vložení provedeme pomocí tlačítka Vytvořit nový geometrický objekt. Po výběru tohoto nástroje a jeho umístění na pracovní plochu Animace se objeví dialog, ve kterém provedeme následující nastavení:

49 4. Modelování pomocí programu Modellus ω 1 a ω 2. Na následujících třech obrázcích je vidět výsledek modelu pro různé poměry frekvencí Grafické znázornění modelu ω 1 : ω 2 = 1: 2 (superpozice primy s oktávou)

50 4. Modelování pomocí programu Modellus Grafické znázornění modelu ω 1 : ω 2 = 1: 3 ω 1 : ω 2 = 11: 13 (superpozice kmitů s blízkými frekvencemi tzv. rázy)

51 4. Modelování pomocí programu Modellus Název modelu: 4.8 Příčné postupné mechanické vlnění Cíl modelu: demonstrace vzniku jednorozměrné příčné mechanické postupné vlny v bodové řadě Určeno pro: vyšší gymnázium Prostředí: Modellus Časová náročnost na přípravu modelu: 20 minut Délka trvání použití modelu: 5 minut Zápis modelu a nastavení počátečních podmínek a parametrů je patrné z obrázků. Ze zápisu modelu je zřejmé, že k výpočtu není opět použita žádná přibližná metoda. Vycházíme ze znalosti rovnic okamžité výchylky všech dílčích oscilátorů v bodové řadě. Vzdálenosti jednotlivých oscilátorů se od zdroje mechanického vlnění rovnoměrně zvětšují postupně vždy o 10 metrů. V modelu je celkem nadefinováno 30 rovnic pro okamžité výchylky y 1 až y 30. Vložení jednotlivých oscilátorů do modulu Animace provedeme pomocí tlačítka Vytvořit novou částici. Po výběru tohoto nástroje a jeho umístění na pracovní plochu Animace se objeví dialog, ve kterém provedeme nastavení dle obrázku. Jednotlivé oscilátory umísťujeme na plochu do stejných vzdáleností od sebe

52 4. Modelování pomocí programu Modellus Grafické znázornění modelu

53 4. Modelování pomocí programu Modellus Název modelu: 4.9 Podélné postupné mechanické vlnění Cíl modelu: demonstrace vzniku jednorozměrné podélné mechanické postupné vlny v bodové řadě Určeno pro: vyšší gymnázium Prostředí: Modellus Časová náročnost na přípravu modelu: 20 minut Délka trvání použití modelu: 5 minut Zápis modelu a nastavení počátečních podmínek a parametrů je patrné z obrázků. Ze zápisu modelu je zřejmé, že k výpočtu není opět použita žádná přibližná metoda. Vycházíme ze znalosti rovnic okamžité výchylky všech dílčích oscilátorů v bodové řadě. Vzdálenosti jednotlivých oscilátorů se od zdroje mechanického vlnění rovnoměrně zvětšují postupně vždy o 10 metrů. V modelu je celkem nadefinováno 30 rovnic pro okamžité výchylky y 1 až y 30. Oproti modelu příčného vlnění je třeba přenastavit dvě důležité věci. Amplitudu jednotlivých oscilátorů musíme zmenšit tak, aby se jednotlivé oscilátory přes sebe nepřekrývaly, a jednotlivé výchylky přiřadíme oscilátorům v horizontálním směru. Na modelu se pak bude reálně podélné vlnění jevit jako zhušťování a zřeďování pružného prostředí

54 4. Modelování pomocí programu Modellus Vložení jednotlivých oscilátorů do modulu Animace provedeme pomocí tlačítka Vytvořit novou částici. Po výběru tohoto nástroje a jeho umístění na pracovní plochu Animace se objeví dialog, ve kterém provedeme nastavení dle obrázku. Jednotlivé oscilátory umísťujeme na plochu do stejných vzdáleností od sebe. Grafické znázornění modelu

55 5. Modelování pomocí programu Interactive Physics V předchozích dvou kapitolách si lze všimnout jedné společné vlastnosti všech modulů. Téměř výhradně se jedná vždy o pohyb jediného tělesa (hmotného) bodu. Při řešení pohybu více těles současně, která mezi sebou navzájem interagují (prostřednictvím různých silových polí), se jedná o soustavu více pohybových rovnic. Řešení takové soustavy bývá již zpravidla matematicky náročné. Vhodným pomocníkem při modelování těchto dějů může být program Interactive Physics firmy MSC. Software. V této kapitole bych chtěl čtenáře a potenciální zájemce o práci s tímto softwarem seznámit se základní filozofií programu, způsobem ovládání a možnostmi při využití ve výuce. Vše je řešeno jako vkládání jednotlivých objektů (těleso, působiště, směr a velikost síly, pružina, kladka, ) na pracovní plochu počítače a jejich vzájemné propojování. Výběr těchto objektů je prováděn prostřednictvím menu. U každého takového objektu pak zvlášť nastavujeme jeho základní fyzikální vlastnosti - počáteční polohu, počáteční rychlosti, hmotnost, součinitel smykového tření, koeficient pružnosti, elektrický náboj, hustotu, moment setrvačnosti, atd. Před samotným spuštěním modelu pak nastavujeme další parametry, např. vazby mezi jednotlivými objekty, kterými můžeme ovlivňovat jejich stupně volnosti, působení gravitačního pole, působení elektrostatických sil, odpor prostředí, atd. Spustíme-li model, začne program numericky řešit příslušné pohybové rovnice a na základě tohoto řešení se objekty v modelu začnou chovat jako v případě reálného experimentu. Způsob numerického řešení diferenciálních rovnic je možno volit mezi metodou Eulerovou a metodou Kutta-Merson. První je méně přesná, ale rychlejší, druhá zase poskytuje přesnější aproximace. U každé metody je možné měnit integrační krok i další parametry ovlivňující rychlost a přesnost řešení. Samozřejmostí je i potřebná fyzikální nástavba, tj. zobrazovaní vektorů, časových průběhů, grafů a číselných hodnot různých fyzikálních veličin týkajících se toho kterého objektu. Pro ilustraci uvádím polohu, rychlost, zrychlení, hybnost, moment hybnosti, výslednou sílu, výsledný moment sil, tíhovou sílu, elektrostatickou sílu, odpor prostředí, kinetickou energii, gravitační potenciál, atd. Je přirozené, že u každého modelu můžeme obměňovat jeho počáteční podmínky a můžeme tak simulovat průběh reálného experimentu v jeho mnoha podobách

56 5. Modelování pomocí programu Interactive Physics Dalším mocným nástrojem tohoto programu je možnost exportu výsledků každého modelu. Výsledky je možno exportovat jednak jako tabulku číselných hodnot příslušných zvolených fyzikálních veličin a jednak samotný děj na monitoru jako videosekvenci ve standardním formátu *.avi. Takovouto videosekvenci lze pak dál využívat k jiným formám výuky nebo dále zpracovávat např. pro potřeby videoanalýzy, aj. Rozsah různých variant a nastavení tohoto software přesahuje možnosti tohoto výukového textu, proto v této kapitole upozorním pouze na nejzásadnější dialogy a nastavení. Použití tohoto software pak bude ukázáno na několika konkrétních modelech. Na závěr úvodní části této kapitoly je třeba uvést, že na webu na stránce lze po zaregistrování stáhnout tzv. evaluation verzi. Jedná se v podstatě o demoverzi, která má jistá omezení. Co do modelování je sice plně funkční, ovšem k zásadním omezením patří zejména nemožnost uložení vytvořeného modelu, nemožnost exportu do formátu *.avi a nemožnost spuštění modelů získaných z internetu. Po bezproblémové instalaci a spuštění se objeví na monitoru následující rozložení:

57 5. Modelování pomocí programu Interactive Physics Popis nejdůležitějších nastavení programu: Nastavení pracovního prostředí Toto nastavení provádíme z hlavního menu volbou položek View Workspace Po volbě se objeví následující dialog: Volbou položky Coordinates zajistíme zobrazení aktuálních souřadnic vybraného objektu ve spodní části okna. Volbou položky Rulers se na okraji okna zobrazí pravítka. Položka Grid Lines umožní vložit na pozadí pracovní plochy pomocnou mřížku a položka X, Y Axes souřadnicové osy. Ostatní položky doporučujeme ponechat nastavené podle obrázku. Nastavení gravitačního (tíhového) pole Toto nastavení provádíme z hlavního menu volbou položek World Gravity Po volbě se objeví následující dialog: Volbou None gravitační působení vypneme (např. při simulaci chování určitého modelu v beztížném stavu), Volbou Vertical nastavíme homogenní gravitační (tíhové) pole. Tuto volbu využíváme při modelování pohybů těles v tíhovém poli Země. Poslední položka Planetary umožňuje nastavit centrální gravitační pole. Toto nastavení využíváme např. při demonstraci pohybu těles v centrálním gravitačním poli Země (planet, družic, ). U posledních dvou položek je možné také měnit hodnotu gravitačního (tíhového) zrychlení, resp. gravitační konstanty. Nastavení odporu vzduchu Toto nastavení provádíme z hlavního menu volbou položek World Air resistance Po volbě se objeví následující dialog: