2. Dynamika hmotného bodu

Transkript

1 . Dynamika hmotného bodu Syllabus:. Dynamika hmotného bodu. Newtonovy zákony. Síly působící při známém druhu pohybu. Pohybová rovnice hmotného bodu, vrhy, harmonický pohyb. Inerciální a neinerciální soustavy souřadné, zdánlivé síly, síla Coriolisova a odstředivá. Práce, výkon, energie kinetická a potenciální, konzervativní pole. Dynamika zkoumá příčiny pohybu a vzájemné působení těles, které vede k pohybu Nová veličina: síla, F [N], vektorová veličina, je mírou vzájemné interakce (působení) těles, která vede ke změnám pohybu nebo deformaci Síla je určena velikostí, směrem a působištěm (vektor vázaný na bod) Pokus s pružinou: Síly skutečné (pravé) vyvolané vzájemným působením těles Síly setrvačné (zdánlivé fiktivní) vyvolány zrychleným pohybem vztažných soustav

2 Síla Skládání sil princip superpozice: F = F + F + F 3 + F 4 F F 3 F F 4 F A Síla je určena velikostí, směrem a působištěm (vektor vázaný na bod)

3 Síla základní druhy silových interakcí

4 Newtonovy zákony. Zákon setrvačnosti (Galileo): Každé těleso setrvává ve stavu klidu nebo v rovnoměrném přímočarém pohybu, není-li vnějšími silami (tj. působením jiných těles) nuceno tento stav změnit.. Zákon síly: Síla působící na těleso je úměrná součinu jeho hmotnosti a zrychlení, které mu uděluje F = ma 3. Zákon akce a reakce: Vzájemná silová působení dvou různých těles jsou stejně veliká a opačně orientovaná F = F Pozn: síly akce a reakce působí mezi různými tělesy, přitom nezávisí na způsobu, jakým na sebe tělesa působí nebo zda se pohybují. Pozn. rovnice F = ma zavádí nové veličiny, F a m, a kromě toho ani nevíme, vůči jaké s.s. máme a odečítat

5 Newtonovy zákony. zákon určuje inerciální soustavy, jedná se o celou třídu s.s., vůči nimž je volný h.b. v klidu nebo se pohybuje rovnoměrně přímočaře. V těchto soustavách měříme zrychlení! 3. zákon umožňuje stanovit hmotnosti těles pro vzájemnou interakci těles musí platit m - hmota setrvačná m a ma = ma tedy pro velikosti: = m a Tímto je definována síla F na levé straně pohybové rovnice, stačí zvolit referenční hmotnost Hybnost: p = mv (charakterizuje pohybový stav tělesa) Př. Inerciálních soustav s.s. spojené se stálicemi

6 Newtonovy zákony alternativní formulace. Zákon setrvačnosti (definice ISS): Nepůsobí-li na těleso vnější fyzikální vlivy tj. pravé síly, popř. výslednice pravých sil je nulová (tzv. volná částice), pak soustava souřadná, vůči níž je těleso v klidu nebo v rovnoměrném přímočarém pohybu, je soustava inerciální.. Obecnější formulace zákona síly: časová změna hybnosti tělesa je rovna výslednici vnějších sil, které na těleso působí F dp = = dt d mv dt 3. Zákon akce a reakce: Každá akce vyvolává okamžitou reakci opačného směru Všechny inerciální soustavy jsou rovnocenné, tj. žádná s.s. není privilegovaná (žádným fyzikálním pokusem nelze najít privilegovaný systém, libovolný pokus dá ve všech i.s.s. stejný výsledek Fyzikální zákony mají ve všech i.s.s. stejný tvar. Prostor a čas jsou Newtonovské mechanice absolutní veličiny (nezávisí na pozorovateli)

7 Newtonovy zákony

8 Síly při různých druzích pohybu F = m a prp, prz: Harmonický pohyb: F = mω (x x 0 ) = k x, k = mω Rovnoměrný kruhový pohyb: F d = mω r 0 = mω Rr 0 / r 0 Nerovnoměrný kruhový pohyb: F = F t + F d = ma t + ma d Tíhová síla: G = mg, (tíhové zrychlení g = 9,80665 ms - - všechna tělesa padají se stejným zrychlením, tj. G ~ m m G - tíhová hmota: = m G (tíhová a setrvačná hmota se sobě rovnají experimentální fakt, Eötvös) Síly tření působí proti pohybu: Smykové tření: T t = f. F n f součinitel smykového tření, F n normálová síla Valivé tření: T v = µ.f n /R µ součinitel valivého tření, R poloměr válce Odpor prostředí: F V = k v v rychlost tělesa, k > 0 (pozn. F V = kv )

9 Newtonovy pohybové rovnice Pohybové rovnice: (Newtonovy) d r F = ma = m dt d xi F,,,3 i = m i = dt 3 pohybové rovnice Diferenciální rovnice. řádu Lineární rce princip superpozice F = f t x x x i dx dx dx dt dt dt 3 (,,, 3,,,,...) - určení pohybu, jsou-li známy síly (silové pole) - určení sil, je-li popsán pohyb (trajektorie) Determinismus klasické mechaniky jsou-li zadány počáteční podmínky, je pohyb h.b. v daném silovém poli jednoznačně určen.

10 Newtonovy pohybové rovnice příklady d xi Fi = m, i =,,3 dt. Pohyb v homogenním gravitačním poli (šikmé vrhy): F = (0, 0, -mg) d x d x3 0, 0, d x m = m = m = mg dt dt dt. Harmonický pohyb: F = - k x d x ( ) m = kx, Řeš.: x = Asin ωt + α, kde ω = dt k m 3. Pohyb při odporu prostředí: F = - k v = - k dr/dt k d x t mv m 0 m = kv, Řeš.: v = v 0e, x = e dt k k t m Další příklady: odpor prostředí F = - k v, Lorentzova síla kladka

11 Pohyb v inerciální a neinerciální soustavě r = r + R kde R = ut, u unášivá rychlost v = v + u (adiční teorém rychlostí) a = a + a u 3 P r r' 3'. u = konst., tj. a u = 0 potom a = a', F = F'= m a R O ' O' ' - Newtonova pohybová rce má stejný tvar ve všech i.s.s. - Zákony mechaniky jsou stejné ve všech i.s.s. (rovnice mají stejný tvar) - Všechny i.s.s. jsou rovnocenné: tj. výsledky měření jsou ve všech i.s.s. shodné, žádná i.s.s. není preferovaná! r = r + ut Galileova transformace souřadnic Pohyb je relativní (absolutní pohyb nemá smysl)

12 Pohyb v inerciální a neinerciální soustavě 3'. a u 0 potom a = a' + a u 3 r P r' F = ma = ma' + ma u = F' + m a u tedy R O' ' F' = F m a u F = F + F*, kde F* = mau O ' kde F* = m a u je setrvačná ( zdánlivá, fiktivní) síla, F* - je geometrického původu, nemá původ ve vzájemném působení těles, - neexistuje reakce k této síle Důsledky: a) v n.s.s. neplatí zákony mechaniky v základním tvaru, v n.s.s. je třeba kompenzovat zrychlení soustavy doplněním setrvačné síly b) řešení úloh: buď pracovat důsledně v i.s.s. nebo zavedením setrvačných sil přejít do n.s.s. př. kulička na pružině ve zryclené s.s. (vagon)

13 3. Pohyb v otáčivé s.s. Transformační vztahy: úpravou:

14 3. Pohyb v otáčivé s.s. - pokr. Změna polohového vektoru bodu P, pro pozorovatele v i.s.s: v = v u = v ω r kde u = ω r, tedy d r dr = ω r dt dt (tj. derivace téhož vektoru v různých s.s. se liší!) Vztahy platí pro časové změny libovolného vektoru! pro rychlost v NSS: d v dv = ω v dt dt Tedy zrychlení v n.s.s.: d v dv d a = = ω v = ( v ω dt dt v r ) ω v dt a dv dω dr = r ω ω v dt dt dt dv dω = r ω ( v + ω r ) ω v dt dt dv = ε r ω ( ω r ) ω v = a + aε + ao + a dt c r r' F = F + F + F + F Otačivá s.s. skutečná síla + 3 zdánlivé síly * * * ε o c

15 3. Pohyb v otáčivé s.s. - pokr. F = F + F + F + F * ε * o * * * ε o c síla působící v otáčivé s.s. F = ma skutečná síla v i.s.s. F F F * c = mε r = mω r n síla v důsl. zrychleného rotačního pohybu (= F odstředivá síla (= F ),(setrvačná) = m ω v Coriolisova síla, (setrvačná) d t ),(setrvačná) F* = setrvačné síly (jsou geometrického původu, nemají původ ve vzájemném působení těles) - neexistují reakce k těmto silám Účinkem setrvačných sil se pohybují všechna tělesa se stejným zrychlením Např. odstředivá síla působí v n.s.s. zatímco dostředivá síla v i.s.s.!! (formálně jsou obě stejně veliké, opačně orientované) Řešení úloh: pracujeme buď i.s.s. nebo naopak v n.s.s., pak musíme zahrnout setrvačné síly (vnější x vnitřní pozorovatel) Newtonovy zákony v základním tvaru platí jen v i.s.s.! Př.: příklady i.s.s. s.s. spojené se stálicemi, satelit na oběžné dráze? Př.: rotace h.b. na pružině/kolotoči, pohyb po Z (tíhové zrychlení, ω=7, s - ), Coriolisovy síly, Foucaultovo kyvadlo Př.: cykloida, kladka, kónické kyvadlo (regulátor otáček)

16 Př.: kónické kyvadlo (odstředivý regulátor), Coriolis.síly v atmosféře Změna tíhového zrychlení rotací Země (odstředivé zrychlení v Praze: a =, ms - = 0,006 g) Coriolisova síla je podstatná při pohybu v rychle rotujících soustavách a při pohybu rychle se pohybujících hmotných těles (střely, rakety) - Na rotující ploše (výstřel, basket ) - Na zemském povrchu - Foucaultovo kyvadlo Absolutní prostor v klasické mechanice A co výlevka umyvadla?

17 Hybnost: Momenty: síly p = mv hybnosti Impuls síly: (časový účinek síly) Další veličiny (charakterizuje pohybový stav tělesa) M = r F = r r F L = r p = r mv = r r mv ( B A ) ( ) B n t t t dp I = F t F t Fdt = dt = dp = p p = p i i i= dt t t t A O O r A A r r r B F r' - rameno F B B - působiště I = p změna hybnosti h.b.= impulsu síly vykonaného na h.b.: I t p v F = = Fdt = = m = m a t t t t Průměrná síla: (např. stření nárazová síla, střední zrychlení) Pozn.: platí obecně střední hodnota fyzikální veličiny v: t v = t t t t vdt

18 Další veličiny Pohybová rovnice pro h.b., působí-li moment síly ( rotační pohyb): Odvození: dl d dr dp dl dt = M = ( r p) = p + r = r F dt dt dt dt Zákon zachování hybnosti soustavy dvou h.b.: d p d p d ( p + p ) F = F, =, = 0 p + p = const dt dt dt

19 Příklad = z.z.hybnosti, impuls síly Příklad: Spočítat průměrnou sílu, s jakou ta puška kopne do ramene a jakou rychlost bude mít pažba vůči ramenu střelce, energii střely a pušky po výstřelu. Jedná se o pušku A-Square model Hannibal, do které se nabíjí náboj 577 Tyranosaur (nebo.577 T-Rex): Hmotnost pušky: 6kg Délka hlavně: 00cm Hmotnost projektilu: 49g Úsťová rychlost: 750 m/s Při výpočtu pro jednoduchost počítejte pouze se soustavou puška náboj, účinky spalin výstřelu zanedbejte.