Necht na hmotný bod působí pouze pružinová síla F 1 = ky, k > 0. Podle druhého Newtonova zákona je pohyb bodu popsán diferenciální rovnicí
|
|
- Otto Ivo Hruda
- před 5 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Počáteční problémy pro ODR2 1 Lineární oscilátor. Počáteční problémy pro ODR2 Uvažujme hmotný bod o hmotnosti m, na který působí síly F 1, F 2, F 3. Síla F 1 je přitom úměrná výchylce y z rovnovážné polohy y = 0 a působí proti směru výchylky, síla F 2 je úměrná rychlosti bodu a síla F 3 je vnější periodicky se měnící síla. Určete pohybovou rovnici daného bodu. Řešení: a) Harmonické kmitání. Necht na hmotný bod působí pouze pružinová síla F 1 = ky, k > 0. Podle druhého Newtonova zákona je pohyb bodu popsán diferenciální rovnicí nebo-li mÿ = ky, ÿ + ω 2 0y = 0, ω 2 0 = k m > 0. (1) V dynamice se konstanta k nazývá tuhost pružiny a pohyb popsaný rovnicí (1) vlastní netlumené kmitání (nebo také harmonické kmitání). Rovnice (1) je homogenní LODR2, přičemž její charakteristická rovnice je tvaru λ 2 + ω 2 0 = 0. Odtud dostáváme kořeny λ 1,2 = ±iω 0. Obecné řešení rovnice (1) je pak tvaru y = C 1 cos ω 0 t + C 2 sin ω 0 t = C sin(ω 0 t + ϕ), kde C 1, C 2 R (resp. C 0, π ϕ < π) jsou konstanty dané počátečními podmínkami pohybu. Poznamenejme, že obě vyjádření obecného řešení jsou ekvivalentní, a to na základě vztahů C 1 = C sin ϕ, C 2 = C cos ϕ. Harmonický pohyb bývá obvykle popisován pomocí vztahu obsahujícího konstanty C, ϕ, přičemž C je amplituda, ϕ fázový posun a ω 0 kruhová frekvence. Veličina T = 2π/ω 0 pak udává dobu jedné periody pohybu. Je-li nyní bod na počátku pohybu v poloze y 0 a má nulovou počáteční rychlost, pak realizujeme počáteční podmínky y(0) = y 0, ẏ(0) = 0. Odpovídající partikulární řešení má tvar y = y 0 cos ω 0 t (viz obr. 1). y y 0 y = y 0 cos ω 0 t x Obr. 1
2 Počáteční problémy pro ODR2 2 b) Tlumené kmitání. Je-li pohyb hmotného bodu brzděn další silou F 2, která je úměrná rychlosti bodu (tj. F 2 = lẏ, l > 0), pak diferenciální rovnice pohybu je tj. mÿ = ky lẏ, ÿ + 2bẏ + ω 2 0y = 0, ω 2 0 = k m, b = l 2m. (2) Pohyb popsaný rovnicí (2) se nazývá vlastní tlumené kmitání. Řešení zřejmě závisí na kořenech charakteristické rovnice λ 2 + 2bλ + ω 2 0 = 0, (3) které určíme jako λ 1,2 = b± b 2 ω 2 0. Dostáváme tedy tři kvalitativně odlišné případy: i) Je-li b > ω 0, pak rovnice (3) má dva různé reálné kořeny λ 1 < 0, λ 2 < 0, a obecné řešení rovnice (2) je proto tvaru y = C 1 e λ 1t + C 2 e λ 2t (tzv. nadkritický útlum). Volíme-li počáteční podmínky y(0) = y 0, ẏ(0) = 0, pak dostáváme partikulární řešení znázorněné na obr. 2. y = y 0 λ 1 λ 2 (λ 1 e λ 2t λ 2 e λ 1t ), y y 0 y = y0 λ 1 λ 2 (λ 1 e λ 2t λ 2 e λ 1t ) t Obr. 2 ii) Je-li b = ω 0, pak obecné řešení rovnice (2) je tvaru y = e ω0t (C 1 t + C 2 ) (tzv. kritický útlum). Při počátečních podmínkách y(0) = y 0, ẏ(0) = 0 dostáváme řešení y = y 0 e ω0t (1 + ω 0 t), znázorněné na obr. 3.
3 Počáteční problémy pro ODR2 3 y y 0 y = y 0 e ω 0t (1 + ω 0 t) t Obr. 3 iii) Je-li b < ω 0 a označíme-li ω 1 = ω 2 0 b 2, je obecné řešení (2) tvaru y = e bt (C 1 cos ω 1 t + C 2 sin ω 1 t) = Ce bt sin(ω 1 t + ϕ) (tzv. oscilatorický útlum). Perioda T = 2π/ω 1 je přitom nyní delší než u netlumeného kmitání. Volíme-li opět y(0) = y 0, ẏ(0) = 0, pak dosazením těchto podmínek do obecného řešení lze konstanty C, ϕ specifikovat pomocí vztahů C cos ϕ = y 0b ω 1, C sin ϕ = y 0. Uvedené vyjádření pro y je tedy rovnicí harmonického pohybu, kde amplituda Ce bt je funkcí času a s rostoucím časem klesá (viz obr. 4). y y 0 y 1=Ce bt y = Ce bt sin(ω 1 t + ϕ) ϕ ω 1 π 2π t y 2 =sin(ω 1 t+ϕ) y 1 = Ce bt Obr. 4
4 Počáteční problémy pro ODR2 4 c) Vynucené kmitání. Působí-li nyní na pohyb hmotného bodu periodicky se měnící síla F 3 = P sin ωt, pak tento pohyb nazýváme vynuceným kmitáním. Pro netlumené vynucené kmitání tedy platí diferenciální rovnice ÿ + ω0y 2 = P sin ωt. (4) m Řešení této nehomogenní LODR2 lze nalézt snadno metodou neurčitých koeficientů. Příslušná homogenní LODR2 je rovnice (1), a odtud podle předcházející části y h = C sin(ω 0 t + ϕ). Pro ω ω 0 předpokládáme partikulární řešení y p ve tvaru Po dosazení derivací y p = A cos ωt + B sin ωt, A, B =? do (4) dostáváme ẏ p = Aω sin ωt + Bω cos ωt, ÿ p = Aω 2 cos ωt Bω 2 sin ωt Porovnání koeficientů: A( ω 2 + ω0) 2 cos ωt + B( ω 2 + ω0) 2 sin ωt = P sin ωt. m cos ωt : A( ω 2 + ω 2 0) = 0 A = 0, sin ωt : B( ω 2 + ω 2 0) = P m B = P m(ω 2 0 ω2 ). Odtud pro ω ω 0 dostáváme řešení (4) ve tvaru y = y h + y p = C sin(ω 0 t + ϕ) + B sin ωt, (5) kde konstanty C, ϕ jsou dány počátečními podmínkami a B = P m(ω 2 0 ω 2 ). (6) Pro ω = ω 0 (případ tzv. rezonance) je třeba výše navržený tvar pro y h násobit proměnnou t, a proto předpokládáme Odtud a po dosazení do (4) y p = Dt cos ω 0 t + Et sin ω 0 t, D, E =? ẏ p = (D + Eω 0 t) cos ω 0 t + ( Dω 0 t + E) sin ω 0 t, ÿ p = ( Dω0t 2 + 2Eω 0 ) cos ω 0 t + ( 2Dω 0 Eω0t) 2 sin ω 0 t ( Dω 2 0t+2Eω 0 ) cos ω 0 t+( 2Dω 0 Eω 2 0t) sin ω 0 t+ω 2 0[Dt cos ω 0 t+et sin ω 0 t] = P m sin ω 0t. Odtud úpravou a porovnáním koeficientů dostáváme E = 0, D = P /(2mω 0 ). Pro ω = ω 0 je tedy řešení tvaru y = C sin(ω 0 t + ϕ) P t cos ω 0 t. 2mω 0
5 Počáteční problémy pro ODR2 5 Všimněme si, že toto řešení (popisující případ ω = ω 0 ) je neohraničenou funkcí, a to na rozdíl od vztahu (5) (popisujícího případ ω ω 0 ). Závislost B na ω je podle vztahu (6) znázorněna na obr. 5 jako tzv. rezonanční křivka. B ω 0 ω Obr. 5 Snadno se přesvědčíme, že diferenciální rovnice pro vynucené tlumené kmitání je tvaru ÿ + 2bẏ + ω0y 2 = P sin ωt. m Analýzu řešení této rovnice lze promyslet analogicky, jak jsme učinili v předcházejících případech. Matematické kyvadlo. Mějme kuličku o hmotnosti m zavěšenou na nehmotném a neroztažitelném vlákně délky l. Popište pohyb kuličky, přičemž tento pohyb vyjádřete jako funkci okamžité úhlové výchylky ϕ v závislosti na čase t, tj. ϕ = ϕ(t). l ϕ s mg Obr. 6
6 Počáteční problémy pro ODR2 6 Řešení: Gravitační sílu rozložíme do směru tečny a normály. Její složka ve směru normály nepůsobí, protože vlákno je neroztažitelné. Složka gravitační síly ve směru tečny je mg sin ϕ (působí proti směru výchylky). Dále předpokládejme, že odpor prostředí je zanedbatelný. Podle obr. 6 je s = lϕ, tedy s = l ϕ, a odtud podle druhého Newtonova zákona platí ml ϕ = mg sin ϕ, nebo-li ϕ + g sin ϕ = 0. (7) l Tato rovnice je nelineární ODR2, a je proto třeba ji řešit numericky. Dobrou informaci o přibližném chování řešení nám však může dát i metoda rozvoje řešení do mocninné řady. Pro ilustraci této metody doplňme rovnici (7) o počáteční podmínky ϕ(0) = π, ϕ(0) = 0, 4 které zachycují skutečnost, že počáteční výchylka kyvadla je π/4 a kyvadlo je uvolněno s nulovou počáteční rychlostí. Hledejme řešení ϕ ve tvaru řady ϕ(t) = a k t k = a 0 + a 1 t + a 2 t , a k =?. k=0 Protože a k = ϕ(k) (0), dostáváme a k! 0 = π/4, a 1 = 0. Dosazením t = 0 do rovnice (7) máme ϕ(0) = g sin ϕ(0) = g sin π = g 2, tj. a l l 4 2l 2 = g 2. Derivováním rovnice (7) podle 4l t pak obdržíme vztah ϕ (3) + g (cos ϕ) ϕ = 0, tedy l ϕ(3) (0) = 0, tj. a 3 = 0. Opakovanou derivací dostáváme ϕ (4) + g [ ( sin ϕ) ϕ 2 + (cos ϕ) ϕ ] = 0, l tedy ϕ (4) (0) = g g2 (cos ϕ(0)) ϕ(0) =, tj. a l 2l 2 4 = g2. Tento postup je k dosažení větší 48l 2 přesnosti možné dále opakovat. V našem případě platí náhrada ϕ(t) π 4 g 2 t 2 + g2 4l 48l 2 t4. Poznamenejme ještě, že uvažujeme-li pouze malé výchylky ϕ od vertikální osy, lze provést tzv. linearizaci a tuto nelineární rovnici nahradit na základě vztahu (sin ϕ)/ϕ 1 pro ϕ 0 rovnicí ϕ + g l ϕ = 0, což je homogenní lineární ODR2 s konstantními koeficienty. Její obecné řešení je tvaru g g ϕ(t) = C 1 cos l t + C 2 sin l t přičemž po dosazení počátečních podmínek dostáváme C 1 = π/4, C 2 = 0, tedy ϕ(t) = π cos g t. Rozvojem tohoto řešení do mocninné řady 4 l ϕ(t) = π (1 g2l ) 4 t2 + g2 4l 2 t4... získáme bližší představu o míře přesnosti uvedené náhrady.
7 Počáteční problémy pro ODR2 7 R-L-C elektrický obvod. Najděme funkci i = i(t) popisující závislost intenzity elektrického proudu protékajícího elektrickým obvodem (viz obr. 7), který se skládá z ohmického odporu R, kondenzátoru s kapacitou C a cívky s indukčností L v sériovém zapojení, je-li tento obvod připojen na zdroj střídavého napětí u = U sin ωt (U je amplituda a ω kruhová frekvence). i R u + L C Obr. 7 Řešení: Příslušnou diferenciální rovnici lze odvodit takto: Napětí na odporu R je podle Ohmova zákona rovno Ri, napětí na kondenzátoru q/c, kde q je náboj na kondenzátoru. Podle Faradayova indukčního zákona se v cívce indukuje napětí takže podle druhého Kirchhoffova zákona U ind = L di dt, Ri + 1 C q = Ldi + U sin ωt. dt Pro proud procházející kondenzátorem platí i = dq/dt, takže derivováním poslední rovnice dostaneme R di dt + 1 dq C dt = i Ld2 + Uω cos ωt, dt2 nebo-li Li + Ri + 1 i = Uω cos ωt, C což je nehomogenní LODR2 pro hledanou funkci i = i(t). Tuto rovnici lze opět snadno řešit metodou neurčitých koeficientů.
8 Počáteční problémy pro ODR2 8 Neřešené příklady. Příklad Hmotný bod o hmotnosti m se pohybuje po přímce z bodu A do bodu B působením konstantní síly F. Odpor prostředí je úměrný vzdálenosti pohybujícího se bodu od bodu B a na začátku pohybu (v bodě A) je roven f (f < F ). Počáteční rychlost hmotného bodu je nulová. Za jakou dobu dorazí hmotný bod do bodu B, je-li vzdálenost A a B rovna l? lm [ T = ln F + f(2f f). ] f F f Příklad Je-li osa hřídele turbíny ve vodorovné poloze a neleží-li těžiště disku upevněného na hřídel na ose hřídele, pak průhyb y osy hřídele při jeho rotaci je dán diferenciální rovnicí d 2 y ( 1 ) dt + 2 mα ω2 y = g cos ωt + ω 2 e, kde m je hmotnost disku, α je konstanta závislá na způsobu upevnění konců osy hřídele, ω je úhlová rychlost rotace a e je výstřednost těžiště disku. Určete obecné řešení této diferenciální rovnice (pro 1/(mα) ω 2 ). [ Je-li 1 mα > ω2, pak y = C 1 cos kt + C 2 sin kt + g k 2 ω 2 cos ωt + eω2 k 2 = 1 mα ω2 1. Je-li kde k 2 = ω 2 1. ] mα mα < ω2, pak y = C 1 e kt + C 2 e kt R, kde, C k 2 1, C 2 g cos ωt eω2, C k 2 +ω 2 k 2 1, C 2 R, Příklad Řetěz o délce 6 m klouže se stolu, přičemž na počátku pohybu visel se stolu 1 m řetězu. Předpokládejme, že síla, která na pohyb řetězu působí, je úměrná délce visícího řetězu (tření přitom zanedbáváme). Za jakou dobu sklouzne se stolu celý řetěz? 6 [ T = ln(6 + 35). ] g
Obsah. Kmitavý pohyb. 2 Kinematika kmitavého pohybu 2. 4 Dynamika kmitavého pohybu 7. 5 Přeměny energie v mechanickém oscilátoru 9
Obsah 1 Kmitavý pohyb 1 Kinematika kmitavého pohybu 3 Skládání kmitů 6 4 Dynamika kmitavého pohybu 7 5 Přeměny energie v mechanickém oscilátoru 9 6 Nucené kmity. Rezonance 10 1 Kmitavý pohyb Typy pohybů
Více(test version, not revised) 9. prosince 2009
Mechanické kmitání (test version, not revised) Petr Pošta pposta@karlin.mff.cuni.cz 9. prosince 2009 Obsah Kmitavý pohyb Kinematika kmitavého pohybu Skládání kmitů Dynamika kmitavého pohybu Přeměny energie
Více9.7. Vybrané aplikace
Cíle V rámci témat zaměřených na lineární diferenciální rovnice a soustavy druhého řádu (kapitoly 9.1 až 9.6) jsme dosud neuváděli žádné aplikace. Je jim společně věnována tato závěrečné kapitola, v níž
VíceMECHANICKÉ KMITÁNÍ. Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - 3.A
MECHANICKÉ KMITÁNÍ Mgr. Jan Ptáčník - GJVJ - Fyzika - 3.A Kinematika kmitavého pohybu Mechanický oscilátor - volně kmitající zařízení Rovnovážná poloha Výchylka Kinematika kmitavého pohybu Veličiny charakterizující
VíceI. část - úvod. Iva Petríková
Kmitání mechanických soustav I. část - úvod Iva Petríková Katedra mechaniky, pružnosti a pevnosti Osah Úvod, základní pojmy Počet stupňů volnosti Příklady kmitavého pohyu Periodický pohy Harmonický pohy,
VíceTestovací příklady MEC2
Testovací příklady MEC2 1. Určete, jak velká práce se vykoná při stlačení pružiny nárazníku železničního vagónu o w = 5 mm, když na její stlačení o w =15 mm 1 je zapotřebí síla F = 3 kn. 2. Jaké musí být
VíceFYZIKA II. Petr Praus 9. Přednáška Elektromagnetická indukce (pokračování) Elektromagnetické kmity a střídavé proudy
FYZIKA II Petr Praus 9. Přednáška Elektromagnetická indukce (pokračování) Elektromagnetické kmity a střídavé proudy Osnova přednášky Energie magnetického pole v cívce Vzájemná indukčnost Kvazistacionární
VíceHarmonický pohyb tělesa na pružině
EVROPSKÝ SOCIÁLNÍ FOND Harmonický pohyb tělesa na pružině PRAHA & EU INVESTUJEME DO VAŠÍ BUDOUCNOSTI České vysoké učení technické v Praze, Fakulta stavební, Katedra matematiky Posílení vazby teoretických
VíceB. MECHANICKÉ KMITÁNÍ A VLNĚNÍ
B. MECHANICKÉ KMITÁNÍ A VLNĚNÍ I. MECHANICKÉ KMITÁNÍ 8.1 Kmitavý pohyb a) mechanické kmitání (kmitavý pohyb) pohyb, při kterém kmitající těleso zůstává stále v okolí určitého bodu tzv. rovnovážné polohy
VíceKMS cvičení 6. Ondřej Marek
KMS cvičení 6 Ondřej Marek NETLUMENÝ ODDAJNÝ SYSTÉM S DOF analytické řešení k k Systém se stupni volnosti popisují pohybové rovnice: x m m x m x + k + k x k x = m x k x + k x = k x m x k x x m k x x m
VíceKMITÁNÍ PRUŽINY. Pomůcky: Postup: Jaroslav Reichl, LabQuest, sonda siloměr, těleso kmitající na pružině
KMITÁNÍ PRUŽINY Pomůcky: LabQuest, sonda siloměr, těleso kmitající na pružině Postup: Těleso zavěsíme na pružinu a tu zavěsíme na pevně upevněný siloměr (viz obr. ). Sondu připojíme k LabQuestu a nastavíme
VícePříklady kmitavých pohybů. Mechanické kmitání (oscilace)
Mechanické kmitání (oscilace) pohyb, při kterém se těleso střídavě vychyluje v různých směrech od rovnovážné polohy př. kyvadlo Příklady kmitavých pohybů kyvadlo v pendlovkách struna hudebního nástroje
VíceRezonanční jevy na LC oscilátoru a závaží na pružině
Rezonanční jevy na LC oscilátoru a závaží na pružině M. Stejskal, K. Záhorová*, J. Řehák** Gymnázium Emila Holuba, Gymnázium J.K.Tyla*, SPŠ Hronov** Abstrakt Zkoumali jsme rezonanční frekvenci závaží na
VíceMechanické kmitání (oscilace)
Mechanické kmitání (oscilace) pohyb, při kterém se těleso střídavě vychyluje v různých směrech od rovnovážné polohy př. kyvadlo Příklady kmitavých pohybů kyvadlo v pendlovkách struna hudebního nástroje
VíceMECHANICKÉ KMITÁNÍ POJMY K ZOPAKOVÁNÍ. Testové úlohy varianta A
Škola: Autor: DUM: Vzdělávací obor: Tematický okruh: Téma: Masarykovo gymnázium Vsetín Mgr. Jitka Novosadová MGV_F_SS_3S3_D19_Z_OPAK_KV_Mechanicke_kmitani_T Člověk a příroda Fyzika Mechanické kmitání Opakování
Vícerovnic), Definice y + p(x)y = q(x), Je-li q(x) = 0 na M, nazývá se y + p(x)y =
Cíle Přehled základních typů diferenciálních rovnic prvního řádu zakončíme pojednáním o lineárních rovnicích, které patří v praktických úlohách k nejfrekventovanějším. Ukážeme například, že jejich řešení
VícePříklady z teoretické mechaniky pro domácí počítání
Příklady z teoretické mechaniky pro domácí počítání Doporučujeme spočítat příklady za nejméně 30 bodů. http://www.physics.muni.cz/~tomtyc/mech-prik.ps http://www.physics.muni.cz/~tomtyc/mech-prik.pdf 1.
Více1 Rozdělení mechaniky a její náplň
1 Rozdělení mechaniky a její náplň Mechanika je nauka o rovnováze a pohybu hmotných útvarů pohybujících se rychlostí podstatně menší, než je rychlost světla (v c). Vlastnosti skutečných hmotných útvarů
Více9.5. Soustavy diferenciálních rovnic
Cíle Budeme se nyní zabývat úlohami, v nichž je cílem najít dvojici funkcí y(x), z(x), pro které jsou zadány dvě lineární rovnice prvního řádu, obsahující tyto funkce a jejich derivace. Výklad Omezíme-li
VíceGraf závislosti dráhy s na počtu kyvů n 2 pro h = 0,2 m. Graf závislosti dráhy s na počtu kyvů n 2 pro h = 0,3 m
Řešení úloh 1. kola 59. ročníku fyzikální olympiády. Kategorie B Autoři úloh: J. Thomas (1,, 3, 4, 7), J. Jírů (5), P. Šedivý (6) 1.a) Je-li pohyb kuličky rovnoměrně zrychlený, bude pro uraženou dráhu
VíceFyzikální praktikum 1
Fyzikální praktikum 1 FJFI ČVUT v Praze Úloha: #10 Lineární harmonický oscilátor a Pohlovo kyvadlo Jméno: Ondřej Finke Datum měření: 10.11.2014 Kruh: FE Skupina: 4 Klasifikace: 1. Pracovní úkoly (a) Změřte
VícePřechodné děje 2. řádu v časové oblasti
Přechodné děje 2. řádu v časové oblasti EO2 Přednáška 8 Pavel Máša - Přechodné děje 2. řádu ÚVODEM Na předchozích přednáškách jsme se seznámili s obecným postupem řešení přechodných dějů, jmenovitě pak
VíceDiferenciální rovnice
Obyčejné diferenciální rovnice - studijní text pro cvičení v předmětu Matematika - 2. Studijní materiál byl připraven pracovníky katedry E. Novákovou, M. Hyánkovou a L. Průchou za podpory grantu IG ČVUT
VíceA JEJICH UŽITÍ VE FYZICE ORDINARY DIFFERENTIAL EQUATIONS AND THEIR APPLICATIONS IN PHYSICS
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA STROJNÍHO INŽENÝRSTVÍ ÚSTAV MATEMATIKY FACULTY OF MECHANICAL ENGINEERING INSTITUTE OF MATHEMATICS OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE A JEJICH
VíceMechanické kmitání a vlnění
Mechanické kmitání a vlnění Pohyb tělesa, který se v určitém časovém intervalu pravidelně opakuje periodický pohyb S kmitavým pohybem se setkáváme např.: Zařízení, které volně kmitá, nazýváme mechanický
VíceTéma 13, Úvod do dynamiky stavebních konstrukcí dynamiky
Statika staveních konstrukcí II., 3.ročník akalářského studia Téma 3, Úvod do dynamiky staveních konstrukcí dynamiky Úvod Vlastní kmitání Vynucené kmitání Tlumené kmitání Podmínky dynamické rovnováhy konstrukcí
VíceFYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM FJFI ČVUT V PRAZE. Úloha 10: Lineární harmonický oscilátor. Pohlovo torzní kyvadlo. Abstrakt
FYZIKÁLNÍ PRAKTIKUM FJFI ČVUT V PRAZE Úloha 1: Lineární harmonický oscilátor Datum měření: 4. 12. 29 Pohlovo torzní kyvadlo Jméno: Jiří Slabý Pracovní skupina: 1 Ročník a kroužek: 2. ročník, 1. kroužek,
VícePřijímací zkouška na navazující magisterské studium Studijní program Fyzika obor Učitelství fyziky matematiky pro střední školy
Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 013 Studijní program Fyzika obor Učitelství fyziky matematiky pro střední školy Studijní program Učitelství pro základní školy - obor Učitelství fyziky
VíceObyčejné diferenciální rovnice
Obyčejné diferenciální rovnice Petra Schreiberová, Petr Volný Katedra matematiky a deskriptivní geometrie, FS Katedra matematiky, FAST Vysoká škola báňská Technická Univerzita Ostrava Ostrava 2019 OBSAH
VíceFunkce komplexní proměnné a integrální transformace
Funkce komplexní proměnné a integrální transformace Fourierovy řady I. Marek Lampart Text byl vytvořen v rámci realizace projektu Matematika pro inženýry 21. století (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/07.0332), na
VícePRAKTIKUM I. Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK. Pracoval: Pavel Ševeček stud. skup.: F/F1X/11 dne:
Oddělení fyzikálních praktik při Kabinetu výuky obecné fyziky MFF UK PRAKTIKUM I. Úloha č. VII Název: Studium kmitů vázaných oscilátorů Pracoval: Pavel Ševeček stud. skup.: F/F1X/11 dne: 27. 2. 2012 Odevzdal
VíceFyzikální praktikum FJFI ČVUT v Praze. Úloha č. 10 : Harmonické oscilace, Pohlovo torzní kyvadlo
Fyzikální praktikum FJFI ČVUT v Praze Úloha č. 10 : Harmonické oscilace, Pohlovo torzní kyvadlo Jméno: Ondřej Ticháček Pracovní skupina: 6 Kruh: ZS 6 Datum měření: 9.11.2012 Klasifikace: Část I Lineární
VíceTéma: Dynamiky - Základní vztahy kmitání
Počítačová podpora statických výpočtů Téma: Dynamiky - Základní vztahy kmitání 1) Vlastnosti materiálů při dynamickém namáháni ) Základní vztahy teorie kmitání s jedním stupněm volnosti Katedra konstrukcí
VíceLaboratorní úloha č. 4 - Kmity II
Laboratorní úloha č. 4 - Kmity II Úkoly měření: 1. Seznámení s měřením na přenosném dataloggeru LabQuest 2 základní specifikace přístroje, způsob zapojení přístroje, záznam dat a práce se senzory, vyhodnocování
VíceMODIFIKOVANÝ KLIKOVÝ MECHANISMUS
MODIFIKOVANÝ KLIKOVÝ MECHANISMUS Michal HAJŽMAN Tento materiál je spolufinancován Evropským sociálním fondem a státním rozpočtem České republiky. Vyšetřování pohybu vybraných mechanismů v systému ADAMS
Více1.7.4. Skládání kmitů
.7.4. Skládání kmitů. Umět vysvětlit pojem superpozice.. Umět rozdělit různé typy skládání kmitů podle směru a frekvence. 3. Umět určit amplitudu a fázi výsledného kmitu. 4. Vysvětlit pojem fázor. 5. Znát
VíceNelineární obvody. V nelineárních obvodech však platí Kirchhoffovy zákony.
Nelineární obvody Dosud jsme se zabývali analýzou lineárních elektrických obvodů, pasivní lineární prvky měly zpravidla konstantní parametr, v těchto obvodech platil princip superpozice a pro analýzu harmonického
VíceZadání programu z předmětu Dynamika I pro posluchače kombinovaného studia v Ostravě a Uherském Brodu vyučuje Ing. Zdeněk Poruba, Ph.D.
Zadání programu z předmětu Dynamika I pro posluchače kombinovaného studia v Ostravě a Uherském Brodu vyučuje Ing. Zdeněk Poruba, Ph.D. Ze zadaných třinácti příkladů vypracuje každý posluchač samostatně
Více8.6 Dynamika kmitavého pohybu, pružinový oscilátor
8.6 Dynamika kmitavého pohybu, pružinový oscilátor a) dynamika zkoumá příčiny pohybu b) velikost síly vyvolávající harmonický kmitavý pohyb F = ma = mω 2 y pohybová rovnice (II. N. z. a = ω 2 y m sin ωt
VíceFyzika 1 - rámcové příklady Kinematika a dynamika hmotného bodu, gravitační pole
Fyzika 1 - rámcové příklady Kinematika a dynamika hmotného bodu, gravitační pole 1. Určete skalární a vektorový součin dvou obecných vektorů AA a BB a popište, jak závisí výsledky těchto součinů na úhlu
VíceGE - Vyšší kvalita výuky CZ.1.07/1.5.00/
Gymnázium, Brno, Elgartova 3 GE - Vyšší kvalita výuky CZ.1.07/1.5.00/34.0925 III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Téma: Elektřina a magnetismus Autor: Název: Datum vytvoření: 25. 3. 2014
VíceVěta 12.3 : Věta 12.4 (princip superpozice) : [MA1-18:P12.7] rovnice typu y (n) + p n 1 (x)y (n 1) p 1 (x)y + p 0 (x)y = q(x) (6)
1. Lineární diferenciální rovnice řádu n [MA1-18:P1.7] rovnice typu y n) + p n 1 )y n 1) +... + p 1 )y + p 0 )y = q) 6) počáteční podmínky: y 0 ) = y 0 y 0 ) = y 1 y n 1) 0 ) = y n 1. 7) Věta 1.3 : Necht
Více2. Kmity. 2.1 Úvod. 2.2 Kmity tělesa na pružině, harmonický pohyb
2. Kmity 2.1 Úvod Kmitání stejně jako vlnění patří k typickým nestacionárním dějům s převážně periodickým průběhem. Veličiny, kterými kmitání popisujeme, se tedy s časem mění, ale mají také opakující se
VíceIntegrovaná střední škola, Sokolnice 496
Název projektu: Moderní škola Integrovaná střední škola, Sokolnice 496 Registrační číslo: CZ.1.07/1.5.00/34.0467 Název klíčové aktivity: V/2 - Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji odborných
VícePřijímací zkouška na navazující magisterské studium 2015
Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 205 Studijní program: Studijní obory: Fyzika FFUM Varianta A Řešení příkladů pečlivě odůvodněte. Příklad (25 bodů) Pro funkci f(x) := e x 2. Určete definiční
VíceZÁKLADY AUTOMATICKÉHO ŘÍZENÍ
VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TECHNICKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ ZÁKLADY AUTOMATICKÉHO ŘÍZENÍ 3. týden doc. Ing. Renata WAGNEROVÁ, Ph.D. Ostrava 3 doc. Ing. Renata WAGNEROVÁ, Ph.D. Vysoká škola báňská
VíceELEKTROMAGNETICKÉ POLE
ELEKTROMAGNETICKÉ POLE 1. Magnetická síla působící na náboj v magnetickém poli Fyzikové Lorentz a Ampér zjistili, že silové působení magnetického pole na náboj Q, závisí na: 1. velikosti náboje Q, 2. relativní
VíceNejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti.
U. 4. Goniometrie Nejprve si připomeňme z geometrie pojem orientovaného úhlu a jeho velikosti. 4.. Orientovaný úhel a jeho velikost. Orientovaným úhlem v rovině rozumíme uspořádanou dvojici polopřímek
Více1 Modelování systémů 2. řádu
OBSAH Obsah 1 Modelování systémů 2. řádu 1 2 Řešení diferenciální rovnice 3 3 Ukázka řešení č. 1 9 4 Ukázka řešení č. 2 11 5 Ukázka řešení č. 3 12 6 Ukázka řešení č. 4 14 7 Ukázka řešení č. 5 16 8 Ukázka
VíceRovnice rovnováhy: ++ =0 x : =0 y : =0 =0,83
Vypočítejte moment síly P = 4500 N k osám x, y, z, je-li a = 0,25 m, b = 0, 03 m, R = 0,06 m, β = 60. Nositelka síly P svírá s tečnou ke kružnici o poloměru R úhel α = 20.. α β P y Uvolnění: # y β! x Rovnice
Více4. OBYČEJNÉ DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE
FBI VŠB-TUO 28. března 2014 4.1. Základní pojmy Definice 4.1. Rovnice tvaru F (x, y, y, y,..., y (n) ) = 0 se nazývá obyčejná diferenciální rovnice n-tého řádu a vyjadřuje vztah mezi neznámou funkcí y
VíceLineární diferenciální rovnice n tého řádu
Kapitola 2 Lineární diferenciální rovnice n tého řádu 2.1 Cauchyova úloha pro lineární rovnici n tého řádu Klíčová slova: obyčejná lineární diferenciální rovnice n tého řádu, rovnice s konstantními koeficienty,
VíceTÍHOVÉ ZRYCHLENÍ TEORETICKÝ ÚVOD. 9, m s.
TÍHOVÉ ZRYCHLENÍ TEORETICKÝ ÚVOD Soustavu souřadnic spojenou se Zemí můžeme považovat prakticky za inerciální. Jen při několika jevech vznikají odchylky, které lze vysvětlit vlastním pohybem Země vzhledem
VíceFYZIKA. Netradiční experimenty
FYZIKA Netradiční experimenty s vázanými oscilátory OLDŘICH LEPIL ČENĚK KODEJŠKA Přírodovědecká fakulta UP, Olomouc Úvod Poznatky o dějích ve vázaných oscilátorech mají klíčový význam pro výklad zásadního
VíceFyzika 6. ročník. přesahy, vazby, mezipředmětové vztahy průřezová témata. témata / učivo. očekávané výstupy RVP. očekávané výstupy ŠVP
očekávané výstupy RVP témata / učivo 1. Časový vývoj mechanických soustav Studium konkrétních příkladů 1.1 Pohyby družic a planet Keplerovy zákony Newtonův gravitační zákon (vektorový zápis) pohyb satelitů
VíceRezistor je součástka kmitočtově nezávislá, to znamená, že se chová stejně v obvodu AC i DC proudu (platí pro ideální rezistor).
Rezistor: Pasivní elektrotechnická součástka, jejíž hlavní vlastností je schopnost bránit průchodu elektrickému proudu. Tuto vlastnost nazýváme elektrický odpor. Do obvodu se zařazuje za účelem snížení
VíceLineární rovnice prvního řádu. Máme řešit nehomogenní lineární diferenciální rovnici prvního řádu. Funkce h(t) = 2
Cvičení Lineární rovnice prvního řádu. Najděte řešení Cauchyovy úlohy x + x tg t = cos t, které vyhovuje podmínce xπ =. Máme nehomogenní lineární diferenciální rovnici prvního řádu. Funkce ht = tg t a
Více1.8. Mechanické vlnění
1.8. Mechanické vlnění 1. Umět vysvětlit princip vlnivého pohybu.. Umět srovnat a zároveň vysvětlit rozdíl mezi periodickým kmitavým pohybem jednoho bodu s periodickým vlnivým pohybem bodové řady. 3. Znát
Více5. Stanovení tíhového zrychlení reverzním kyvadlem a studium gravitačního pole
5. Stanovení tíhového zrychlení reverzním kyvadlem a studium gravitačního pole 5.1. Zadání úlohy 1. Určete velikost tíhového zrychlení pro Prahu reverzním kyvadlem.. Stanovte chybu měření tíhového zrychlení.
Více8.1. Separovatelné rovnice
8. Metody řešení diferenciálních rovnic 1. řádu Cíle V předchozí kapitole jsme poznali separovaný tvar diferenciální rovnice, který bezprostředně umožňuje nalézt řešení integrací. Eistuje široká skupina
VícePrůhyb ocelového nosníku. Nezatížený a rovnoměrně zatížený nosník
EVROPSKÝ SOCIÁLNÍ FOND Průhyb ocelového nosníku. Nezatížený a rovnoměrně zatížený nosník PRAHA & EU INVESTUJEME DO VAŠÍ BUDOUCNOSTI České vysoké učení technické v Praze, Fakulta stavební, Katedra matematiky
VícePŘECHODOVÝ JEV V RC OBVODU
PŘEHODOVÝ JEV V OBVOD Pracovní úkoly:. Odvoďte vztah popisující časovou závislost elektrického napětí na kondenzátoru při vybíjení. 2. Měřením určete nabíjecí a vybíjecí křivku kondenzátoru. 3. rčete nabíjecí
VíceMechanické kmitání a vlnění, Pohlovo kyvadlo
Fyzikální praktikum FJFI ČVUT v Praze Mechanické kmitání a vlnění, Pohlovo kyvadlo Číslo úlohy: 10 Jméno: Vojtěch HORNÝ Spolupracoval: Jaroslav Zeman Datum : 26. 10. 2009 Číslo kroužku: pondělí 13:30 Číslo
VíceSystém vykonávající tlumené kmity lze popsat obyčejnou lineární diferenciální rovnice 2. řadu s nulovou pravou stranou:
Pracovní úkol: 1. Sestavte obvod podle obr. 1 a změřte pro obvod v periodickém stavu závislost doby kmitu T na velikosti zařazené kapacity. (C = 0,5-10 µf, R = 0 Ω). Výsledky měření zpracujte graficky
VíceLaboratorní úloha č. 3 - Kmity I
Laboratorní úloha č. 3 - Kmity I Úkoly měření: 1. Seznámení se s měřením na osciloskopu nastavení a měření základních veličin ve fyzice (frekvence, perioda, amplituda, harmonické, neharmonické kmity).
Více8. Okrajový problém pro LODR2
8. Okrajový problém pro LODR2 A. Základní poznatky o soustavách ODR1 V kapitole 6 jsme zavedli pojem lineární diferenciální rovnice n-tého řádu, která je pro n = 2 tvaru A 2 (x)y + A 1 (x)y + A 0 (x)y
VíceDiferenciální rovnice 3
Diferenciální rovnice 3 Lineární diferenciální rovnice n-tého řádu Lineární diferenciální rovnice (dále jen LDR) n-tého řádu je rovnice tvaru + + + + = kde = je hledaná funkce, pravá strana a koeficienty
VíceŘešení úloh 1. kola 47. ročníku fyzikální olympiády. Kategorie B
Řešení úloh 1. kola 47. ročníku fyzikální olympiády. Kategorie B Autořiúloh:P.Šedivý(1,2,4,6,7)aM.Jarešová(3,5) 1. a) Má-li být vlákno stále napnuto, nesmí být amplituda kmitů větší než prodloužení vláknavrovnovážnépoloze.zdeplatí
VíceKLASICKÁ MECHANIKA. Předmětem mechaniky matematický popis mechanického pohybu v prostoru a v čase a jeho příčiny.
MECHANIKA 1 KLASICKÁ MECHANIKA Předmětem mechaniky matematický popis mechanického pohybu v prostoru a v čase a jeho příčiny. Klasická mechanika rychlosti těles jsou mnohem menší než rychlost světla ve
Více1.3 Pohyb hmotného nabitého bodu v homogenním magnetickém poli
Klasická mechanika analytická řešení pohybu částic a těles 1. Pohyb v odporujícím prostředí 1.1 Odporující síla je úměrná rychlosti pohybujícího se tělesa 1.2 Pohyb hmotného nabitého bodu v homogenním
VíceGE - Vyšší kvalita výuky CZ.1.07/1.5.00/
Gymnázium, Brno, Elgartova 3 GE - Vyšší kvalita výuky CZ.1.07/1.5.00/34.0925 III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Téma: Elektřina a magnetismus Autor: Název: Datum vytvoření: 3. 4. 2014
VíceDerivace goniometrických funkcí
Derivace goniometrických funkcí Shrnutí Jakub Michálek, Tomáš Kučera Odvodí se základní vztahy pro derivace funkcí sinus a cosinus za pomoci věty o třech itách, odvodí se také několik typických it pomocí
Více7. Soustavy ODR1 Studijní text. 7. Soustavy ODR1. A. Základní poznatky o soustavách ODR1
7 Soustavy ODR1 A Základní poznatky o soustavách ODR1 V inženýrské praxi se se soustavami diferenciálních rovnic setkáváme především v úlohách souvisejících s mechanikou Příkladem může být úloha popsat
VíceNauka o Kmitání Přednáška č. 4
Nauka o Kmitání Přednáška č. 4 Odezva lineárního systému na obecnou periodickou budící funkci Ing. Antonín Skarolek, Ph.D. Katedra mechaniky, pružnosti a pevnosti Technická Univerzita v Liberci 213 Ustálená
VíceGE - Vyšší kvalita výuky CZ.1.07/1.5.00/
Gymnázium, Brno, Elgartova 3 GE - Vyšší kvalita výuky CZ.1.07/1.5.00/34.0925 IV/2 Inovace a zkvalitnění výuky směřující k rozvoji matematické gramotnosti žáků středních škol Téma : Diferenciální a integrální
VíceBIOMECHANIKA KINEMATIKA
BIOMECHANIKA KINEMATIKA MECHANIKA Mechanika je nejstarším oborem fyziky (z řeckého méchané stroj). Byla původně vědou, která se zabývala konstrukcí strojů a jejich činností. Mechanika studuje zákonitosti
VíceFYZIKA. Rezonance v učivu o střídavých proudech
FYZIKA Rezonance v učivu o střídavých proudech OLDŘICH LEPIL FRANTIŠEK LÁTAL Přírodovědecká fakulta UP, Olomouc Jev rezonance patří k důležitým poznatkům učiva středoškolské fyziky, což je dáno nejen jeho
Víceω=2π/t, ω=2πf (rad/s) y=y m sin ωt okamžitá výchylka vliv má počáteční fáze ϕ 0
Kmity základní popis kmitání je periodický pohyb, při kterém těleso pravidelně prochází rovnovážnou polohou mechanický oscilátor zařízení vykonávající kmity Základní veličiny Perioda T [s], frekvence f=1/t
VíceELEKTŘINA A MAGNETIZMUS Řešené úlohy a postupy: Řízené LRC Obvody
ELEKTŘNA A MAGNETZMUS Řešené úlohy a postupy: Řízené L Obvody Peter Dourmashkin MT 6, překlad: Jan Pacák (7) Obsah 9. ŘÍZENÉ L OBODY 3 9. ÚKOLY 3 9. OBENÉ LASTNOST ŘÍZENÝH L OBODŮ 3 ÚLOHA : ŘÍZENÉ OSLAE
VíceŘešíme tedy soustavu dvou rovnic o dvou neznámých. 2a + b = 3, 6a + b = 27,
Přijímací řízení 2015/16 Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita v Ostravě Navazující magisterské studium, obor Aplikovaná matematika (1. červen 2016) Příklad 1 Určete taková a, b R, aby funkce f()
VíceElektromechanický oscilátor
- 1 - Elektromechanický oscilátor Ing. Ladislav Kopecký, 2002 V tomto článku si ukážeme jeden ze způsobů, jak využít silové účinky cívky s feromagnetickým jádrem v rezonanci. I člověk, který neoplývá technickou
VícePřehled veličin elektrických obvodů
Přehled veličin elektrických obvodů Ing. Martin Černík, Ph.D Projekt ESF CZ.1.7/2.2./28.5 Modernizace didaktických metod a inovace. Elektrický náboj - základní vlastnost některých elementárních částic
VíceMatematika 2 LS 2012/13. Prezentace vznikla na základě učebního textu, jehož autorem je doc. RNDr. Mirko Rokyta, CSc. J. Stebel Matematika 2
Matematika 2 13. přednáška Obyčejné diferenciální rovnice Jan Stebel Fakulta mechatroniky, informatiky a mezioborových studíı Technická univerzita v Liberci jan.stebel@tul.cz http://bacula.nti.tul.cz/~jan.stebel
VíceProjekty - Vybrané kapitoly z matematické fyziky
Projekty - Vybrané kapitoly z matematické fyziky Klára Švarcová klara.svarcova@tiscali.cz 1 Obsah 1 Průlet tělesa skrz Zemi 3 1.1 Zadání................................. 3 1. Řešení.................................
Více= (1.21) a t. v v. což je výraz v závorce ve vztahu (1.19). Normálové zrychlení a H jednoduše jako rozdíl = (1.20)
Tečné zrychlení získáme průmětem vektoru zrychlení a vynásobením jednotkovým vektorem ve směru rychlosti do směru rychlosti a a t v v a v v = (1.19) Podotýkáme, že vektor tečného zrychlení může být souhlasně
VíceMěření tíhového zrychlení reverzním kyvadlem
43 Kapitola 7 Měření tíhového zrychlení reverzním kyvadlem 7.1 Úvod Tíhové zrychlení je zrychlení volného pádu ve vakuu. Závisí na zeměpisné šířce a nadmořské výšce. Jako normální tíhové zrychlení g n
VíceMATEMATIKA III. Olga Majlingová. Učební text pro prezenční studium. Předběžná verze
Fakulta strojního inženýrství Univerzity J. E. Purkyně v Ústí nad Labem Pasteurova 7 Tel.: 475 285 511 400 96 Ústí nad Labem Fax: 475 285 566 Internet: www.ujep.cz E-mail: kontakt@ujep.cz MATEMATIKA III
Vícey = 1 x (y2 y), dy dx = 1 x (y2 y) dy y 2 = dx dy y 2 y y(y 4) = A y + B 5 = A(y 1) + By, tj. A = 1, B = 1. dy y 1
ODR - řešené příkla 20 5 ANALYTICKÉ A NUMERICKÉ METODY ŘEŠENÍ ODR A. Analtické meto řešení Vzorové příkla: 5.. Příklad. Řešte diferenciální rovnici = 2. Řešení: Přepišme danou rovnici na tvar = (2 ), což
Více9.2. Zkrácená lineární rovnice s konstantními koeficienty
9.2. Zkrácená lineární rovnice s konstantními koeficienty Cíle Řešíme-li konkrétní aplikace, které jsou popsány diferenciálními rovnicemi, velmi často zjistíme, že fyzikální nebo další parametry (hmotnost,
VíceZavedeme-li souřadnicový systém {0, x, y, z}, pak můžeme křivku definovat pomocí vektorové funkce.
KŘIVKY Křivka = dráha pohybujícího se bodu = = množina nekonečného počtu bodů, které závisí na parametru (čase). Proto můžeme křivku také nazvat jednoparametrickou množinou bodů. Zavedeme-li souřadnicový
VíceLDF MENDELU. Simona Fišnarová (MENDELU) LDR druhého řádu VMAT, IMT 1 / 22
Lineární diferenciální rovnice druhého řádu Vyšší matematika, Inženýrská matematika LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF)
VíceHarmonické oscilátory
Harmonické oscilátory Jakub Kákona, kaklik@mlab.cz Abstrakt Tato úloha se zabývá měřením rezonančních vlastností mechanických tlumených i netlumených oscilátorů. 1 Úvod 1. Změřte tuhost pružiny statickou
VíceMnohé problémy analýzy dynamických systémů vedou k řešení diferenciální rovnice (4.1)
4 Řešení odezev dynamických systémů ve fázové rovině 4.1 Základní pojmy teorie fázové roviny Mnohé problémy analýzy dynamických systémů vedou k řešení diferenciální rovnice ( ) x+ F x, x = (4.1) kde F(
VíceKapacita, indukčnost; kapacitor-kondenzátor, induktor-cívka
Kapacita, indukčnost; kapacitor-kondenzátor, induktor-cívka Kondenzátor je schopen uchovat energii v podobě elektrického náboje Q. Kapacita C se udává ve Faradech [F]. Kapacita je úměrná ploše elektrod
VícePřipnutí LC větví FKZ k přípojnici 27 kv trakční napájecí stanice
Vědeckotechnický sborník ČD č. /006 Doc. Ing. Karel Hlava, Sc. Ing. adovan Doleček, Ph.D. Připnutí větví FKZ k přípojnici 7 kv trakční napájecí stanice Klíčová slova: trakční proudová soustava 5 kv, 50
VíceRezonanční obvod jako zdroj volné energie
1 Rezonanční obvod jako zdroj volné energie Ing. Ladislav Kopecký, 2002 Úvod Dlouho mi vrtalo hlavou, proč Tesla pro svůj vynález přístroje pro bezdrátový přenos energie použil název zesilující vysílač
VíceSIGNÁLY A SOUSTAVY, SIGNÁLY A SYSTÉMY
SIGNÁLY A SOUSTAVY, SIGNÁLY A SYSTÉMY TEMATICKÉ OKRUHY Signály se spojitým časem Základní signály se spojitým časem (základní spojité signály) Jednotkový skok σ (t), jednotkový impuls (Diracův impuls)
VíceOkamžitý výkon P. Potenciální energie E p (x, y, z) E = x E = E = y. F y. F x. F z
5. Práce a energie 5.1. Základní poznatky Práce W jestliže se hmotný bod pohybuje po trajektorii mezi body (1) a (), je práce definována křivkovým integrálem W = () () () F dr = Fx dx + Fy dy + (1) r r
VíceTheory Česky (Czech Republic)
Q1-1 Dvě úlohy z mechaniky (10 bodíků) Než se pustíte do řešení, přečtěte si obecné pokyny ve zvláštní obálce. Část A. Ukrytý disk (3,5 bodu) Uvažujeme plný dřevěný válec o poloměru podstavy r 1 a výšce
VíceMatematika 3. m působíme silou F, uvedeme ho do pohybu a udělíme mu zrychlení a. Úkolem
Matematika 3. Ing. Marek Nikodým, Ph.D. Katedra matematiky a deskriptívní geometrie VŠB-TU Ostrava DIFERENCIÁLNÍ ROVNICE Diferenciální rovnice jsou velmi důležité a mají obrovské využití hlavně ve fyzice.
Více