CVIČNÝ TEST 25. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15

Transkript

1 CVIČNÝ TEST 25 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test 2 II. Autorské řešení 6 III. Klíč 13 IV. Záznamový list 15

2 I. CVIČNÝ TEST VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 V lidové výkupně barevných kovů vykoupili od zákazníka 100 m dlouhý nelakovaný měděný drát o hustotě 8,96 g cm 3, který měl 0,5 cm v průměru. Odpovídající výkupní cenu určil zaměstnanec výkupny podle následujícího ceníku: index materiálu typ materiálu cena za 1 kg Cu001 Měď plech, kusový 115 Kč Cu002 Měď třísky bez příměsí železa 105 Kč Cu003 Měď drát lakovaný 135 Kč Cu004 Měď drát nelakovaný, průměr méně jak 1 mm 105 Kč Cu005 Měď drát nelakovaný, průměr 1 mm 2,5 mm 110 Kč Cu006 Měď drát nelakovaný, průměr více jak 2,5 mm 125 Kč Cu007 Měď granulát 115 Kč Cu008 Měď karmy, chladiče 100 Kč max. 3 body 1.1 Jaká výkupní cena za 1 kg odpovídá danému typu drátu dle uvedeného ceníku? 1.2 Kolik Kč zaplatila výkupna barevných kovů zákazníkovi za výše uvedené množství drátu v souladu s uvedeným ceníkem? (Výsledek zaokrouhlete na celé Kč.) VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 2 Následující obrázek zobrazuje vzor prvních sedmi sloupců na začátku křížkové výšivky. Na zbytku výšivky se opakuje stejný vzor. 2 Kolik křížků bude v 75. sloupci? 1 bod 2 Maturita z matematiky 04

3 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 3 V nové stupňovité konferenční místnosti bude v hledišti umístěno dvacet řad sedadel tak, že v nejvyšší řadě bude 50 a v každé další řadě vždy o 1 místo méně než v řadě vyšší. max. 3 body 3.1 Jakou maximální kapacitu míst k sezení bude hlediště mít? V záznamovém listu uveďte celý postup řešení. 3.2 Kolik řad nejméně by muselo v hledišti být, aby maximální kapacita byla alespoň 999 míst? 1 bod 4 Pro kolik různých reálných čísel p je řešením rovnice x 2 px = 9 s neznámou x R jeden tzv. dvojnásobný reálný kořen? 1 bod 5 Určete všechny průsečíky grafu funkce f: y = 3 x x ; x R se souřadnicovou osou x. VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 6 Jsou dány vektory u, v a body A, B tak, jak ukazuje obrázek. 6 Určete reálné číslo x tak, aby platilo: A + xu + (x + 1) v = B. 1 bod Maturita z matematiky 04 3

4 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 7 V trojúhelníku ABC platí, že vnější úhel α u vrcholu A je ostrý. 7 Který z trojúhelníků A E tuto vlastnost může splňovat? A) rovnostranný trojúhelník B) pravoúhlý trojúhelník s přeponou c C) pravoúhlý trojúhelník s přeponou a D) rovnoramenný trojúhelník se základnou c E) rovnoramenný trojúhelník se základnou a 2 body 2 body 8 Zkušenější pracovní tým vyhloubí jámu pro položení vodovodu za t hodin, méně zkušený za tým za m hodin. Který z výrazů A E vyjadřuje, za kolik hodin vyhloubí jámu oba týmy společně? A) t + m 1 B) + 1 t m C) tm D) tm t + m tm E) 1 + t + m VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 9 Kamarádi hrají hru s třemi klasickými hracími kostkami s čísly 1 až 6. Jedno kolo hry probíhá tak, že napřed hodí první hráč všemi kostkami najednou, poté totéž provede druhý hráč. Vítězem kola je ten, kdo hodí větší součet na všech třech hozených kostkách dohromady. (Předpokládejte vždy situaci, kdy všechna čísla na kostkách lze po hodu dobře a jednoznačně přečíst.) max. 2 body 9 Rozhodněte o každém tvrzení ( ), zda je pravdivé (ANO), či nikoli (NE): 9.1 Pravděpodobnost, že prvnímu hráči padne na každé kostce sudé číslo, je 12,5 %. 9.2 Pravděpodobnost, že prvnímu hráči padne na všech kostkách šestka, je vyšší než 1 %. 9.3 Pravděpodobnost, že druhému hráči padnou právě dvě trojky, je menší, než že mu na žádné kostce trojka nepadne. 9.4 Pravděpodobnost, že v jednom kole zvítězí první hráč, je 50 %. ANO NE 4 Maturita z matematiky 04

5 max. 4 body 10 Přiřaďte každému z výrazů ( ) množinu (A F), která určuje jeho definiční obor x x + 3 x x 3 x x 3 x + 3 A) (3; + ) B) ( ; 3) C) 3; 3 D) ( ; 3) 3; + ) E) ( ; 3 3; + ) F) ( ; 3) ( 3; 3) (3; + ) KONEC TESTU Maturita z matematiky 04 5

6 II. AUTORSKÉ ŘEŠENÍ VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 1 V lidové výkupně barevných kovů vykoupili od zákazníka 100 m dlouhý nelakovaný měděný drát o hustotě 8,96 g cm 3, který měl 0,5 cm v průměru. Odpovídající výkupní cenu určil zaměstnanec výkupny podle následujícího ceníku: index materiálu typ materiálu cena za 1 kg Cu001 Měď plech, kusový 115 Kč Cu002 Měď třísky bez příměsí železa 105 Kč Cu003 Měď drát lakovaný 135 Kč Cu004 Měď drát nelakovaný, průměr méně jak 1 mm 105 Kč Cu005 Měď drát nelakovaný, průměr 1 mm 2,5 mm 110 Kč Cu006 Měď drát nelakovaný, průměr více jak 2,5 mm 125 Kč Cu007 Měď granulát 115 Kč Cu008 Měď karmy, chladiče 100 Kč max. 3 body 1.1 Jaká výkupní cena za 1 kg odpovídá danému typu drátu dle uvedeného ceníku? Jedná se o materiál s indexem Cu006, neboť se jedná o nelakovaný měděný drát s průměrem 5 mm, tj. více jak 2,5 mm. Odpovídající cena je 125 Kč za 1 kg materiálu. Řešení: 125 Kč 1.2 Kolik Kč zaplatila výkupna barevných kovů zákazníkovi za výše uvedené množství drátu v souladu s uvedeným ceníkem? (Výsledek zaokrouhlete na celé Kč.) Protože hustota materiálu je v g cm 3, určíme objem drátu v cm 3. Drát je válec o poloměru r = 0,25 cm a výšce v = 100 m = cm. Objem V válce vypočteme následovně: V = πr 2 v = (0,25 cm) 2 ( cm) π = 625π cm 3 Určíme hmotnost drátu s hustotou ρ = 8,96 g cm 3 = 0,00896 kg cm 3. m = ρ V = (0,00896 kg cm 3 ) 625π cm 3 = 5,6π kg Protože výkupní cena je 125 Kč za 1 kg, byla celková cena: (125 Kč kg 1 ) (5,6π kg) = Kč. Řešení: Kč 6 Maturita z matematiky 04

7 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 2 Následující obrázek zobrazuje vzor prvních sedmi sloupců na začátku křížkové výšivky. Na zbytku výšivky se opakuje stejný vzor. 2 Kolik křížků bude v 75. sloupci? 1 bod Protože sloupců v základním vzoru je 7, určuje vzor ve sloupci zbytek po vydělení 7. Je-li zbytek 1, půjde o vzor v prvním sloupci, bude-li zbytek 2, bude se jednat o vzor ve sloupci druhém atd = Protože zbytek je 5, jedná se v 75. sloupci o stejný vzor jako ve sloupci pátém. V 75. sloupci tak bude 6 křížků. Řešení: 6 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 3 V nové stupňovité konferenční místnosti bude v hledišti umístěno dvacet řad sedadel tak, že v nejvyšší řadě bude 50 a v každé další řadě vždy o 1 místo méně než v řadě vyšší. max. 3 body 3.1 Jakou maximální kapacitu míst k sezení bude hlediště mít? V záznamovém listu uveďte celý postup řešení. Problém převedeme na otázku, jaký je součet s 20 prvních dvaceti po sobě jdoucích členů (n = 20) klesající aritmetické posloupnosti, v níž a 1 = 50, d = 1. Pro výpočet využijeme následující vzorce pro aritmetickou posloupnost: s n = (a 1 + a n ) n 2 a n = a 1 + (n 1)d s n = [a 1 + a 1 + (n 1)d] n s 2 n = [2a 1 + (n 1)d ] n 2 s n = [ ( 1)] 10 = 810 V hledišti je maximální kapacita 810 míst k sezení. Řešení: 810 míst Maturita z matematiky 04 7

8 3.2 Kolik nejméně řad by muselo v hledišti být, aby maximální kapacita byla alespoň 999 míst? Jedná se o tutéž posloupnost jen s tím rozdílem, že s n = 999. s n = [2a 1 + (n 1)d ] n = = [100 n + 1] n = (101 n) n n 2 101n = 0 2 (n 74)(n 27) = 0 n = 27 n = 74 Provedeme zkoušku řešení výpočtem a n. a 27 = ( 1) = 23 a 74 = ( 1) = 23 < 0 V hledišti musí být nejméně 27 řad, aby maximální kapacita byla alespoň 999 míst. Řešení: 27 řad 1 bod 4 Pro kolik různých reálných čísel p je řešením rovnice x 2 px = 9 s neznámou x R jeden tzv. dvojnásobný reálný kořen? Jeden tzv. dvojnásobný reálný kořen má kvadratická rovnice právě tehdy, když její diskriminant D je roven 0. Určíme D pro zadanou rovnici, kterou upravíme do normovaného tvaru x 2 px 9 = 0. D = ( p) ( 9) = p > 0 Protože diskriminant D je kladný, žádné takové p neexistuje. Řešení: 0 (žádný) 1 bod 5 Určete všechny průsečíky grafu funkce f: y = 3 x x ; x R se souřadnicovou osou x. Průsečík grafu P[x; 0] funkce f se souřadnicovou osou x určíme tak, že řešíme rovnici 3 x x = 0 3 x 2 = 3 4 5x x 2 = 4 5x 6x = 6 x = 1 P[1; 0] Graf funkce f protíná souřadnicovou osu x v bodě [1; 0]. Řešení: [1; 0] 8 Maturita z matematiky 04

9 VÝCHOZÍ TEXT A OBRÁZEK K ÚLOZE 6 Jsou dány vektory u, v a body A, B tak, jak ukazuje obrázek. 6 Určete reálné číslo x tak, aby platilo: A + xu + (x + 1) v = B. 1 bod Z kartézské soustavy souřadnic na obrázku vyčteme, že u = ( 2; 2), v =(3; 1), A[ 2; 1], B[3; 6]. Získané údaje dosadíme do vztahu. [ 2; 1] + x( 2; 2) + (x + 1)(3; 1) = [3; 6] Porovnáme první (I.) a druhé (II.) souřadnice: I: 2 2x + 3x + 3 = 3 II: 1 + 2x + x + 1 = 6 Aby měla soustava řešení, musí hledané x být řešením obou rovnic (I. a II.). Takovým řešením je x = 2. Řešení lze nalézt i z obrázku: Řešení: x = 2 Maturita z matematiky 04 9

10 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 7 V trojúhelníku ABC platí, že vnější úhel α u vrcholu A je ostrý. 7 Který z trojúhelníků A E tuto vlastnost může splňovat? A) rovnostranný trojúhelník B) pravoúhlý trojúhelník s přeponou c C) pravoúhlý trojúhelník s přeponou a D) rovnoramenný trojúhelník se základnou c E) rovnoramenný trojúhelník se základnou a 2 body Jestliže vnější úhel α u vrcholu A je ostrý, je vnitřní úhel α u vrcholu A tupý. Tupoúhlý trojúhelník nemůže mít všechny strany stejně dlouhé (všechny vnitřní úhly mají velikost 60 ) ani nemůže být pravoúhlý, neboť největší vnitřní úhel se nachází proti přeponě a je pravý, žádný jiný vnitřní úhel už nemůže mít proto větší velikost. V úvahu přichází pouze rovnoramenné trojúhelníky. Protože vnitřní úhly při základně takového trojúhelníku jsou shodné a hlavně ostré, tupý může být pouze vnitřní úhel proti základně. Základnou tak musí být strana proti úhlu α, tedy strana a. Správná je možnost E. Řešení: E 2 body 8 Zkušenější pracovní tým vyhloubí jámu pro položení vodovodu za t hodin, méně zkušený za tým za m hodin. Který z výrazů A E vyjadřuje, za kolik hodin vyhloubí jámu oba týmy společně? A) t + m 1 B) + 1 t m C) tm D) tm t + m tm E) 1 + t + m Dle zadání sestavíme orientační tabulku: tým doba práce díl práce za 1 hodinu díl práce za x hodin zkušenější t hodin t 1 t x méně zkušený m hodin 1 m x m společně x hodin 1 Z posledního sloupce určíme rovnici: x + x = 1 xm + xt = tm x(m + t) = tm x = tm t m t + m Správná je tedy možnost D. Řešení: D 10 Maturita z matematiky 04

11 VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE 9 Kamarádi hrají hru s třemi klasickými hracími kostkami s čísly 1 až 6. Jedno kolo hry probíhá tak, že napřed hodí první hráč všemi kostkami najednou, poté totéž provede druhý hráč. Vítězem kola je ten, kdo hodí větší součet na všech třech hozených kostkách dohromady. (Předpokládejte vždy situaci, kdy všechna čísla na kostkách lze po hodu dobře a jednoznačně přečíst.) max. 2 body 9 Rozhodněte o každém tvrzení ( ), zda je pravdivé (ANO), či nikoli (NE): 9.1 Pravděpodobnost, že prvnímu hráči padne na každé kostce sudé číslo, je 12,5 %. 9.2 Pravděpodobnost, že prvnímu hráči padne na všech kostkách šestka, je vyšší než 1 %. 9.3 Pravděpodobnost, že druhému hráči padnou právě dvě trojky, je menší, než že mu na žádné kostce trojka nepadne. 9.4 Pravděpodobnost, že v jednom kole zvítězí první hráč, je 50 %. ANO NE 9.1 Celkový počet možností, že padne na jedné kostce sudé číslo je 0,5, pravděpodobnost, že padne na všech třech kostkách je P = 0,5 3 = 0,125, tj. 12,5 %. Tvrzení je pravdivé. 9.2 Pravděpodobnost, že padne hráči šestka na jedné kostce je 1, pravděpodobnost, že padne na všech 6 kostkách je P = ( 1 6 ) 3 = 1, tj. 100 % < 1 % Tvrzení je nepravdivé. 9.3 Pravděpodobnost, že na kostce padne trojka, je 1, že trojka nepadne je Porovnáme pravděpodobnosti P 1, že hráči padnou právě dvě trojky, a P 2, že hráči na žádné kostce trojka nepadne. Aby hráči padly právě dvě trojky, musí nastat na kostkách následující situace: Trojky padnou na prvních dvou kostkách, na první a třetí, nebo na druhé a třetí. Zbylé číslo trojka být nesmí. Pravděpodobnost, že padnou právě dvě trojky, tedy spočteme jako součet tří součinů. P 1 = = Pravděpodobnost, že hráči nepadne žádná trojka, je P 2 = ( 5 6 ) 3 = Z toho vyplývá P 1 < P 2. Tvrzení je pravdivé. 9.4 Při jednom kole mohou nastat tři možnosti, vyhraje 1. hráč, vyhraje 2. hráč (oba mají stejnou pravděpodobnost, že vyhrají) a že bude remíza. Z toho plyne, že pravděpodobnost vítězství jednoho z hráčů musí být menší než 50 %. Tvrzení je nepravdivé. Řešení: ANO, NE, ANO, NE Maturita z matematiky 04 11

12 max. 4 body 10 Přiřaďte každému z výrazů ( ) množinu (A F), která určuje jeho definiční obor x x + 3 x x 3 x x 3 x + 3 A) (3; + ) B) ( ; 3) C) 3; 3 D) ( ; 3) 3; + ) E) ( ; 3 3; + ) F) ( ; 3) ( 3; 3) (3; + ) 10.1 x (x 3)(x + 3) 0 x ( ; 3 3; + ) Řešení: E 10.2 x 3 > 0 x > 3 x (3; + ) Řešení: A 10.3 x 3 x x 3 x (, 3) x ( 3, 3 x 3, + ) x 3 + x x x + 3 x ( ; 3) 3; + ) Řešení: D 10.4 x 3 0 x x 3 x 3 x ( ; 3) ( 3; 3) (3; + ) Řešení: F KONEC TESTU 12 Maturita z matematiky 04

13 III. KLÍČ 1) Maximální bodové ohodnocení je 20 bodů. Hranice úspěšnosti v testu je 7 bodů. 2) Úlohy 1 6 jsou otevřené. 3) Úlohy 7 10 jsou uzavřené s nabídkou možných odpovědí, kde u každé úlohy resp. podúlohy je právě jedna odpověď správná. Tabulka úspěšnosti Počet bodů Výsledná známka výborně chvalitebně dobře 10 7 dostatečně 6 a méně nedostatečně Úloha Správné řešení Počet bodů Kč 1 bod Kč max. 2 body bod Problém převedeme na otázku, jaký je součet s 20 prvních dvaceti po sobě jdoucích členů (n = 20) klesající aritmetické posloupnosti, v níž a 1 = 50, d = 1. Pro výpočet využijeme následující vzorce pro aritmetickou posloupnost: max. 2 body s n = (a 1 + a n ) n 2 a n = a 1 + (n 1)d s n = [a 1 + a 1 + (n 1)d] n s 2 n = [2a 1 + (n 1)d ] n 2 s n = [ ( 1)] 10 = 810 V hledišti je maximální kapacita 810 míst k sezení. Řešení: 810 míst řad 1 bod 4 0 (žádný) 1 bod 5 [1; 0] 1 bod 6 x = 2 1 bod 7 E 2 body 8 D 2 body Maturita z matematiky 04 13

14 9 max. 2 body 4 podúlohy 2 b. 9.1 ANO 3 podúlohy 1 b. 2 podúlohy 0 b. 9.2 NE 1 podúloha 0 b. 0 podúloh 0 b. 9.3 ANO 9.4 NE 10 max. 4 body 4 podúlohy 4 b E 3 podúlohy 3 b. 2 podúlohy 2 b A 1 podúloha 1 b. 0 podúloh 0 b D 10.4 F 14 Maturita z matematiky 04

15 IV. ZÁZNAMOVÝ LIST 1) Maximální bodové ohodnocení je 20 bodů. Hranice úspěšnosti v testu je 7 bodů. 2) Úlohy 1 6 jsou otevřené. Zapište výsledek. V úloze 3.1 uveďte i celý postup řešení. 3) Úlohy 7 10 jsou uzavřené s nabídkou možných odpovědí, kde u každé úlohy resp. podúlohy je právě jedna odpověď správná. Zapište vybranou možnost. Tabulka úspěšnosti Počet bodů Výsledná známka výborně chvalitebně dobře 10 7 dostatečně 6 a méně nedostatečně Úloha Správné řešení Počet bodů bod 1.2 max. 2 body 2 1 bod max. 2 body bod 4 1 bod 5 1 bod 6 1 bod 7 2 body 8 2 body Maturita z matematiky 04 15

16 9 max. 2 body 4 podúlohy 2 b podúlohy 1 b. 2 podúlohy 0 b podúloha 0 b. 0 podúloh 0 b max. 4 body 4 podúlohy 4 b podúlohy 3 b. 2 podúlohy 2 b podúloha 1 b. 0 podúloh 0 b Maturita z matematiky 04