Od zlatého řezu přes kvazikrystaly až po velký třesk

Transkript

1 Od zlatého řezu přes kvazikrystaly až po velký třesk aneb o jednom z nejpodivuhodnějších čísel na světě, o nejslavnější posloupnosti vůbec a jak obojí souvisí s moderní fyzikou Fyzikální čtvrtky, ČVUT FEL Ing. Martin Žáček, Ph.D.

2 Od zlatého řezu přes kvazikrystaly až po velký třesk Členění přednášky: Úvod, teoretické a historické souvislosti:. ukázka dvou geometrických konstrukcí zlatého řezu, 2. historické poznámky, 3. některé pozoruhodné vlastnosti zlatého čísla, 4. fibonacciho posloupnost a vztah k zlatému číslu, Aplikace: 5. příroda, 6. kvazikrystaly, 7. Vesmír, 8. závěr.

3 Úvod: co je zlatý řez? Jazykem přirozeným: Zlatý řez je poměr délek úseků na úsečce takový, že větší úsek ke kratšímu se má jako celá úsečka k delšímu úseku. Jazykem matematickým: a a b ; a, b ; a, b 0. b a a a b 2 2,, 0,,2 5, 2 Definujme a vyřešme předchozí rovnici vzhledem k φ : b S ohledem na podmínky položme 5, φ se nazývá zlatý řez nebo také zlaté číslo.

4 Lze zlatý řez zkonstruovat geometricky? Pro další výklad předběhneme a uvedeme jednu vlastnost φ: 5 2. Ověříme výpočtem: Q.E.D.

5 Lze zlatý řez zkonstruovat geometricky? Matematicky přesnější tvrzení: Lze číslo φ najít za pomocí pravítka a kružítka? Odpověď: lze a a a b b a b

6 Lze zlatý řez zkonstruovat geometricky? Kontrukce metodou origami : Metoda: překládání papíru jako simulace pravítka a kružítka. Použité pomůcky: list papíru formátu A3, nůžky. Teoretický rozbor: viz předchozí slajd. Výsledek měření: a b m a délka žlutého a červeného úsek na přeponě trojúhelníku b délka červeného úseku na přeponě trojúhelníku 297 mm 83 mm a,623 0,04 b Závěr: Odchylka od tabulkové hodnoty je o 0,004 9 větší, což je o 0,3%, chybový interval má pološířku 0,87%, naměřená hodnota tedy leží uvnitř chybového intervalu a tedy se shoduje s hodnotou tabulkovou.

7 Historické poznámky První přesnou definici zlatého řezu podal kolem roku 300 př. n. l. Euklides, objevuje se v jeho Základech. Od té doby se zlatým řezem zaobírali nejvýznačnější vědci (Leonard Pisánský, Johaness Kepler, Roger Penrose, ), zlatý řez však zasahoval daleko za hranice matematiky, zabývali se jím biologové, výtvarníci, psychologové, hudebníci, historikové, architekti a i mystikové. Zlatý řez tak pravděpodobně inspiroval myslitele všech oborů víc než jakékoliv jiné číslo. Matematici používají pro zlaté číslo symbol τ z řeckého τομν (řez, díl). Poč. 20. stol Mark Barr označil φ, podle Feidia, velkého řeckého sochaře, žijícího zhruba od r. 490 do r. 430 př. n. l. Název zlatý pravděpodobně zavedl Martin Ohm, v roce 835 ve druhém vydání své knihy Die Reine Elementar-Mathematik. φ bylo předmětem rozsáhlého historického výzkumu (Roger Herz- Fischler: Mathematical History of the Golden Number).

8 Všední i pozoruhodné zajímavosti o zlatém čísle. φ je iracionální číslo (důkaz lze převést na důkaz iracionality 5) 2. φ je z hlediska aproximace nejiracionálnější číslo (viz dále), 3. φ je algebraické číslo (je totiž řešením algebraické rovnice).

9 Všední i pozoruhodné zajímavosti o zlatém čísle. φ je iracionální číslo. Říká se, že řecký matematik Hippasos z Metapontu v 5. století př. n. l. zjistit, že zlaté číslo je iracionální číslo. To bylo v rozporu s představou Pythagorejců a tehdejším filosofickým názorem, že svět je postaven na arithmos, tj. na vlastnostech celých čísel. Poznámka: historicky však takovéto legendy nepůsobí příliš věrohodně.

10 Všední i pozoruhodné zajímavosti o zlatém čísle 2. φ je z hlediska aproximace nejiracionálnější číslo. Napíšeme-li totiž φ ve tvaru řetězového zlomku, obdržíme.... Skutečně, všimněte si, že jmenovatel hlavního zlomku se rovná celému výrazu vpravo a tedy i zlatému číslu vlevo, tj. což je ale jinak zapsaná výchozí rovnice, z níž jsme číslo φ odvodili. Koeficienty jsou všechny rovny, kromě toho, že tento vzorec dává číslu φ zajímavé a výsadní postavení, říká nám také, že φ je nejhůře aproximovatelné iracionální číslo číslem racionálním.,

11 Všední i pozoruhodné zajímavosti o zlatém čísle Porovnejme aproximace zlatého čísla a např. čísla π ; chyba 23% 3 ; chyba 7,2% 2 5 ; chyba 3,0% 3 8 ; chyba,% 5 3 ; chyba 0,4% ; chyba 0,04% ; chyba 0,0026% ; chyba 0, % ; chyba 0, % 3302

12 Všední i pozoruhodné zajímavosti o zlatém čísle Vyjádření pomocí odmocnin Zlaté číslo lze například vyjádřit pomocí odmocnin:.... Opravdu, převedeme-li jedničku doleva a umocníme-li rovnici, máme 2..., kde vpravo je opět týž výraz. Porovnáním dostaneme 2 2 ; 0, Což je původní rovnice.

13 Všední i pozoruhodné zajímavosti o zlatém čísle Další zajímavé vztahy: Zkusme vyjádřit mocniny zlatého čísla: ( ) (2 ) atd. Obecný vzorec pak bude n a n jsou členy Fibonacciho posloupnosti. a n =,, 2, 3, 5, 8, 3, 2, 34, 55, 89, Platí vztah an an, kde an2 an an; a, a2. lim n a a n n (všiml si ho r. 6 Johannes Kepler).. (má svůj vlastní vědecký časopis, Fibonacci Quaterly.)

14 Odbočka k Fibonacciho posloupnosti Leonardo Pisánský, známý pod jménem Leonardo Fibonacci, cca Liber Abaci (Kniha o abaku). V knize se objevuje tato úloha: Jeden muž umístil pár králíků do prostoru obehnaného ze všech stran zdí. Kolik párů králíků vznikne z tohoto páru, předpokládáme-li, že každý pár zplodí každý měsíc nový pár, který začne plodit potomky druhý měsíc po narození? Řešení: Počty králíků po měsících jsou:,, 2, 3, 5, 8, 3, 2, 34, Název Fibonacciho posloupnost zavedl až v 9. století francouzský matematik Edouard Lucas (842-89). Existuje mnoho úloh, při jejímž řešení se uplatní Fibonacciho posloupnost.

15 Jedna úloha z optiky: Kolika možnými cestami cest může projít paprsek, prodělá-li n vnitřních reflexí?

16 Odbočka k Fibonacciho posloupnosti Lichý součet součinů sousedních Fibonacciho čísel dá druhou mocninu. Například = 9

17 Odbočka k Fibonacciho posloupnosti Přímý vzorec pro k-tý člen Fibonacciho posloupnosti: n n n an V polovině 9. století znovuobjevil Jacques Philippe Marie Binet, v 8. století již znali Leonard Euler a Abraham de Moivre. n 2 perličky na závěr k Fibonacciho posloupnosti: Součet libovolných deseti po sobě jdoucích členů je dělitelný jedenácti. 666 číslic má Fibonacciho číslo (zjistil Clifford A. Pickover, všechna čísla s nějakým vztahem k 666 nazývá apokalyptická).

18 Zlatý řez a geometrie Zlatý obdélník b a b Kde. a b b b a-b

19 Zlatý řez a geometrie Zlatý trojúhelník, zlatý gnómon a pentagram Zlatý trojúhelník Po stranách zlaté gnómony Nekonečná posloupnost pentagramů

20 Všední i pozoruhodné zajímavosti o zlatém řezu Platónská tělesa a jejich vztah ke zlatému řezu Do pravidelného dvacetistěnu lze vepsat tři navzájem kolmé zlaté obdélníky.

21 Zlatý řez Trochu záhadologie: Souvislost zlatého řezu s egyptskými pyramidami? Řada autorů tvrdí, že základem rozměrů Velké pyramidy je zlatý řez. Mohli znát Egypťané zlatý řez? Je krajně nepravděpodobné, že by zlatý řez a jeho vlastnosti objevili starověcí Babyloňané nebo Egypťané, tento úkol zůstal na řeckých matematicích. (Mario Livio: Zlatý řez, Argo/Dokořán, český překlad 2006)

22 Zlatý řez, příroda a umění Salvador Dalí Poslední večeře formát 05,5 67,75 palců je s chybou 0,84% zlatý obdélník

23 Zlatý řez, příroda a umění Filotaxe (z řeckého uspořádání listů) Termín zavedl v roce 754 Charles Bonnet, Listy na stonku se řadí určitým schématem, nejsou přesně nad sebou, aby si nestínily. Fylotaktický poměr: počet listů na jednu otočku spirály. Odpozorované poměry: ½, /3, 2/5, 3/8, Systematický výzkum filotaxe prováděl poprvé Leonardo da Vinci, Johannes Kepler první intuitivně objevil vztah mezi filotaxí a Fibonacciho čísly. Ananas: každý dílek je součástí tří spirál, 8 řad s mírným sklonem, 3 strmějších řad a 2 velmi příkrých řad. Čísla vpravo propojuje tzv. genetická spirála. Důležitým znakem je úhel mezi sousedními listy. 837 bratři Bravaisové zjistili, že je to 37, ,5 Tzv. zlatý úhel.

24 Zlatý řez, příroda a umění Filotaxe Slunečnice: Nejobvyklejší vzor: 34 spirál v jednom směru a 55 spirál v druhém směru. Byly však nalezeny i poměry 89/55, 44/89 a dokonce 233/44. Podobně se řadí okvětní lístky růží apod. Proč zrovna 37,5? Přelomové práce pojaté geometricky: pupeny jsou seskupeny nejefektivněji, jsou-li odděleny zlatým úhlem. Pokud by poměr byl racionální číslo, listy by se řadily paprskovitě. Zlatý řez mezi všemi ostatními iracionálními čísly proto, protože má od racionálních čísel nejdál. Tým fyziků N. Riviera ukáza ve studii uveřejněné v r. 984 v Journal de Physique matematický algoritmus, který ukázal, že v případě zlatého úhlu, vznikají struktury podobné slunečnicím a požadavky na homogenitu a soběpodobnost počet možných struktur razantně omezují.

25 Zlatý řez, příroda a umění Zlatá spirála Měkýši: jak rostou, vytvářejí si další větší komůrky ve schránce, staré uzavřou a nepoužívají.

26 Zlatý řez, příroda a umění Spirálová struktura galaxií Proč si galaxie udrží spirálový tvar, když v různých vzdálenostech od jádra rotují různou rychlostí? Denzitní vlny, podobné vlnám v hustém dálničním provozu. Spirálová galaxie M5

27 Zlatý řez, dláždění, kvazikrystaly Dláždění v rovině Rovinu lze periodicky pokrýt pouze dlaždicemi s tříčetnou, čtyřčetnou a šestičetnou symetrií. Alhambra,Granada

28 Zlatý řez, dláždění, kvazikrystaly Dláždění v rovině Pětiúhelník se na periodické dláždění nehodí. Avšak: 974 Roger Penrose objevil dvě základní sady dlaždic, které pokryjí rovinu a zároveň budou vykazovat pětičetnou symetrii. Jak je to možné? Penroseovy dlaždice: šipka a drak. Penrose a Conway ukázali, že dlaždice pokryjí rovinu neperiodicky a to nekonečně mnoha způsoby. Přitom počet draků je,68 větší než počet šipek.

29 Zlatý řez, dláždění, kvazikrystaly Dláždění v rovině Další pár penroseových dlaždic: Tlustý a tenký kosočtverec. Na velkých plochách se podobně blíží poměr tlustých a tenkých kosočtverců číslu,68.

30 Zlatý řez, dláždění, kvazikrystaly Dláždění v rovině Penroseovo dláždění vykazující symetrii vůči otočení:

31 Zlatý řez, dláždění, kvazikrystaly Kvazikrystaly Trojrozměrná analogie: Robert Ammann nalezl tzv. Ammannovy romboedry. Jejich stěny jsou přitom shodné s Penroseovými dlaždicemi. 984 překvapivý objev: Dany Schectman se spolupracovníky zjistil, že krystaly hliníko-manganové slitiny vykazují pětičetnou symetrii. Pro krystalografy to byl šok! Bourá se tím tradiční rozdělení krystalické a amorfní látky. Kvazikrystaly: nejsou ani amorfní ani periodické, mají však těsné uspořádání jako dosavadní známé krystaly. Předefinování krystalu: krystal je jakákoli pevná látka, jejíž difrakční diagram je bodový.

32 Zlatý řez, dláždění, kvazikrystaly Kvazikrystaly Další práce (Sergej E. Burkov z Landauova institutu teoretické fyziky,, Petra Gummeltová z Greifswaldu) vedly na teorii překrývajících se desetiúhelníků. Steinhardt a Čong: experimentální výzkum a koncept kvazielementární buňky. Kvazielementární buňka: shluk atomů, vytvářející kvaziperiodickou strukturu. Model kvazikrystalu Ag-Al.

33 Zlatý řez, volnější souvislost s kosmologií Roger Penrose (Oxford) a Paul Steinhardt (Princeton) učinili významné práce v oboru kvazikrstalů a přitom jsou oba výzmamní astrofyzici. Je zde nějaká souvislost? Roger Penrose: studoval matematiku, algebraickou geometrii, věnoval se ale také relativistické fyzice, v obecné teorii objevil teoreticky singulární struktury, které mají v reálném světě podobu černých děr. Paul Steinhardt: Jedním z klíčových postav inflačního modelu, vytvořeného Alanem Guthem z MIT, 200 přišel se svým týmem s ekpyrotickým modelem velkého třesku. Otázka, kterou si položil Mario Livio ve své knize o zlatém řezu: Proč se dva vynikající kosmologové rozhodli, že se budou zabývat zábavnou matematikou a studovat kvazikrystaly? Livio se jich jednoduše zeptal a odpovědi nejsou nezajímave:

34 Zlatý řez, volnější souvislost s kosmologií Odpověď Penroseho: Nevím, zda na to mám nějakou hlubokou odpověď, jak víte, matematika je něco, co většina matematiků dělá pro potěšení. Od dětství se bavím vzájemným spojováním různých tvarů; některé mé práce na dlaždicích tak předcházely tomu, co jsem dělal v kosmologii. Tehdy ale byla moje aktivita v zábavné matematice minimálně zčásti motivována kosmologickým výzkumem. Přemýšlel jsem o velkoprostorových strukturách vesmíru a hledal jsem modely hraček s jednoduchými základními pravidly, které by přitom mohly vytvořit komplikované struktury na velkých plochách. Livio: Jenomže co Vás vlastně přimělo, abyste na tomto problému dál pracoval? Penrose: Jak víte, vždycky jsem se zajímal o geometrii a ten problém mě zkrátka zaujal. A kromě toho, tušil jsem, že takové struktury se mohly v přírodě vyskytovat, nebylo mi ale jasné, jak by je příroda mohla sestavit známým způsobem růstu krystalů, který má lokální povahu. Úplně jasné mi to není pořád. Odpověď Steinhardta: Dobrá otázka! Jako vysokoškolá jsem opravdu nevěděl, co vlastně chci dělat. Na postgraduálním studiu jsem hledal nějakou duševní úlevu od namáhavého studia fyziky elementárních částic a našel jsem ji v oblasti uspořádání a symetrie pevných látek. Jakmile jsem narazil na problém kvaziperiodických krystalů, nemohl jsem mu odolat a už pořád jsem se k němu vracel.

35 Na závěr: co se nestihlo Zlatý řez a hudba, fraktální struktury, pyramidologie a mnoho mýtů kolem zlatého řezu, spousta zajímavých historických souvislostí, konstrukce pravítkem a kružítkem, Fibonacciho posloupnost a finanční trhy, aplikace v numerických metodách a mnoho dalšího.

36 Literatura Mario Livio: Zlatý řez. New York 2002, český překlad Argo/Dokořán 2006 Karel Čupr: Matematické zábavy a hry, Praha, ČSAV 953 Vlasta Chmelíková: Zlatý řez. Bákalářská práce, MFF UK, 2006, katedra didaktiky matematiky Adam Spencer: Kniha čísel, Albatros, Praha 2005, Magická čísla a bludné hvězdy, Roger Penrose: Shadows of the Mind, Oxford University Press 995, Použité zkratky: Q.E.D. quod erat demonstrandum (což jsme měli dokázat)