Bezkontextové jazyky. Bezkontextové jazyky 1 p.1/39
|
|
- Nela Beranová
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Bezkontextové jazyky Bezkontextové jazyky 1 p.1/39
2 Jazyky typu 2 Definice 4.1 Gramatika G = (N, Σ, P, S) si nazývá bezkontextovou gramatikou, jestliže všechna pravidla z P mají tvar A α, A N, α (N Σ) Lemma 4.1 Každý regulární jazyk je jazykem bezkontextovým. Proč studujeme bezkontextové jazyky? Příklad 4.1 Jazyk L = {a n b n n 0}, jak víme, není jazykem regulárním, je však jazykem bezkontextovým: L = L(G) kde G = ({S}, {a, b}, {S asb, S ε}, S) Bezkontextové jazyky 1 p.2/39
3 Příklad bezkontextové gramatiky Pro účely demonstrace vysvětlovaných pojmů budeme v následujících příkladech používat následující gramatiku. Příklad 4.2 Gramatika G = ({S,A, B}, {a, b, c}, P,S), kde P obsahuje pravidla S AB A aab ab B bbc bc generuje bezkontextový jazyk L(G) = {a m b m+n c n n 1,m 1} Bezkontextové jazyky 1 p.3/39
4 Derivační strom Důležitým prostředkem pro grafické vyjádření struktury věty (její derivace) je strom, který se nazývá derivačním nebo syntaktickým stromem. Definice 4.2 Necht δ je věta nebo větná forma generovaná v gramatice G = (N, Σ, P, S) a necht S = v 0 v 1... v k = δ její derivace v G. Derivační strom příslušející této derivaci je vrcholově ohodnocený strom s těmito vlastnostmi: 1. Vrcholy derivačního stromu jsou ohodnoceny symboly z množiny N Σ; kořen stromu je označen výchozím symbolem S. 2. Přímé derivaci v i 1 v i, i = 0,1,...,k kde v i 1 = µaλ, µ, λ (N Σ), A N v i = µαλ A α, α = X 1... X n je pravidlo z P, odpovídá právě n hran (A, X j ),j = 1,...,n vycházejících z uzlu A, jež jsou uspořádány zleva doprava v pořadí (A, X 1 ), (A, X 2 ),...,(A, X n ). 3. Ohodnocení koncových uzlů derivačního stromu vytváří zleva doprava větnou formu nebo větu δ (plyne z 1. a 2.). Bezkontextové jazyky 1 p.4/39
5 Příklad derivačního stromu Příklad 4.3 derivací: V gramatice z příkladu 4.2 můžeme generovat řetězec aabbbbcc např. S AB aabb aabbbc aabbbcc aabbbbcc Derivační strom odpovídající této derivaci vypadá takto (po stranách jsou uvedena použitá pravidla): S S AB A aab a A b b B c B bbc A ab a A b b B c B bc Bezkontextové jazyky 1 p.5/39
6 Levá a pravá derivace Ukažme si i jiné derivace věty aabbbbcc, které se liší v pořadí, v němž byly vybírány nonterminály pro přímé derivace. 1. S AB aabb aabbb aabbbbc aabbbbcc 2. S AB AbBc Abbcc aabbbc aabbbbcc Definice 4.3 Necht S α 1 α 2... α n = α je derivace větné formy α. Jestliže byl v každém řetězci α i, i = 1,...,n 1 přepsán nejlevější (nejpravější) nonterminál, pak tuto derivaci nazýváme levou (pravou) derivací větné formy α. Výše uvedené příklady derivací představují levou (1.) a pravou (2.) derivaci. Lemma 4.2 Je-li S α 0 α 1... α n w levá, resp. pravá derivace věty w, pak každá z větných forem α i, i = 1, 2,...,n 1 má tvar: x i A i β i kde x i Σ,A i N, β i (N Σ) resp. γ i B i y i kde y i Σ, B i N, γ i (N Σ) t.j. větné formy levé, resp. pravé derivace mají terminální prefixy, resp. sufixy. Bezkontextové jazyky 1 p.6/39
7 Fráze větné formy Definice 4.4 Necht G = (N, Σ, P, S) je gramatika a necht řetězec λ = αβγ je větná forma. Podřetězec β se nazývá frází větné formy vzhledem k nonterminálu A z N, jestliže platí: S αaγ A + β Podřetězec β je jednoduchou frází větné formy, jestliže platí: S αaγ A β Nejlevější jednoduchá fráze se nazývá l-frází. Bezkontextové jazyky 1 p.7/39
8 Příklad 4.4 V gramatice z příkladu 4.1 nalezněte fráze věty aabbbbcc. Nejdříve vytvořme libovolnou derivaci této věty (Příklad 4.2). Na základě této derivace získáme následující fráze k příslušným nonterminálům: Fráze aabbbbcc S aabb A 1 ab A 2 bbcc B 1 bc B 2 Nonterminál Fráze ab a bc jsou jednoduché, ab je l-fráze. Bezkontextové jazyky 1 p.8/39
9 Vztah fráze a derivačního stromu Podstrom derivačního stromu odpovídá frázi příslušné větné formy. Fráze je tvořena koncovými uzly podstromu. Jednoduchá fráze odpovídá podstromu, jenž je výsledkem přímé derivace A β, a jeho hloubka je rovna jedné. Situaci ilustruje následující obrázek. S A α β γ Bezkontextové jazyky 1 p.9/39
10 Příklad 4.5 Podstromy derivačního stromu věty aabbbbcc (příklad 4.3) jsou následující stromy odpovídající též frázím z předchozího příkladu. A B S a A b b B c a b b c A B a A b b B c a b b c S a A b b B c A B a b b c a A b b B c Bezkontextové jazyky 1 p.10/39
11 Víceznačnost gramatik Definice 4.5 Necht G je gramatika. Říkáme, že věta w generovaná gramatikou G je víceznačná, existují-li alespoň dva různé derivační stromy s koncovými uzly tvořícími větu w. Gramatika G je víceznačná, pokud generuje alespoň jednu víceznačnou větu. V opačném případě mluvíme o jednoznačné gramatice. Jazyky, které lze generovat víceznačnou gramatikou, ale které nelze generovat jednoznačnou gramatikou, se nazývají jazyky s inherentní víceznačností. Problém víceznačnosti gramatik je nerozhodnutelný, tj. neexistuje algoritmus, který by byl schopen v konečném čase rozhodnout, zda daná gramatika je nebo není víceznačná. Víceznačnost gramatiky je pokládána za negativní rys (vede k větám, které mají několik interpretací). Na druhé straně může být víceznačná gramatika jednodušší než odpovídající jednoznačná gramatika. Bezkontextové jazyky 1 p.11/39
12 Víceznačnost gramatik Příklad 4.6 pravidel Uvažujme gramatiku G = ({E}, {+,,,/, (, ),P, E), kde P je množina E E + E E E E E E/E ( E ) i Jazyk L(G) je tvořen aritmetickými výrazy s binárními operacemi. Gramatika G je na rozdíl od gramatiky z příkladu 4.2 víceznačná. Vezměme například větu i + i i a uvažujme všechny možné derivační stromy. E E E + E E * E i E * E E + E i i Není jasné, zda první operací bude násobení (derivační strom vlevo), nebo sčítání (derivační strom vpravo). i i i Bezkontextové jazyky 1 p.12/39
13 Příklad 4.7 Jednoznačnou gramatikou generující tentýž jazyk je gramatika G = ({E,T, F }, {+,,,/,(, ), i},p, E) s množinou přepisovacích pravidel P definovanou následujícím způsobem: E T E + T E T T F T F T/F F ( E ) i Bezkontextové jazyky 1 p.13/39
14 Transformace bezkontextových gramatik Bezkontextové jazyky 1 p.14/39
15 Ekvivalentní gramatiky Definice 4.6 Necht G 1 a G 2 jsou gramatiky libovolného typu Chomského klasifikace. G 1 a G 2 jsou ekvivalentní, pokud L(G 1 ) = L(G 2 ). Věta 4.1 Necht G = (N, Σ,P, S) je gramatika, A αbβ, B N, α, β (N Σ) je pravidlo z P a necht B γ 1 γ 2... γ n jsou všechna B-pravidla z P. Pak gramatika G = (N, Σ, P, S) kde P = P \ {A αbβ} {A αγ 1 β, A αγ 2 β,...,a αγ n β} je ekvivalentní s gramatikou G. Důkaz. Na cvičení. Bezkontextové jazyky 1 p.15/39
16 Příklad 4.8 Gramatiky s pravidly E E E + T T T T F F F (E) i E + T resp. E E + T F E + F T T T F F F (E) i E T * F jsou ekvivalentní. E + T * F Bezkontextové jazyky 1 p.16/39
17 Nedostupné a zbytečné symboly Definice 4.7 Necht G = (N, Σ, P, S) je gramatika a X N Σ symbol. Říkáme, že symbol X je nedostupný v G, jestliže v G neexistuje derivace S αxβ pro nějaké α, β (N Σ). Symbol X nazýváme zbytečný v G, jestliže v G neexistuje derivace tvaru S αxβ zxy pro nějaké α, β (N Σ) a zxy Σ. Příklad 4.9 Uvažujme gramatiku G = ({S, A, B}, {a, b}, P, S) s pravidly: S SB a A b B Ba Symboly A, B,b jsou zbytečné. Symboly A, b jsou nedostupné. Poznámka 4.1 G = ({S}, {a}, {S a},s) je ekvivalentní s G. Bezkontextové jazyky 1 p.17/39
18 Nonterminály generující terminální řetězce Algoritmus 4.1 Výpočet množiny nonterminálů generujících terminální řetězce Vstup: Gramatika G = (N, Σ, P, S). Výstup: Množina N t = {A A + w, w Σ }. Metoda: Počítáme množiny N 0, N 1, N 2,... rekurentně takto: 1. N 0 :=,i = 1 2. N i := {A A α je v P a α (N i 1 Σ) } 3. Je-li N i N i 1, i := i + 1 a vrat se k (2). Je-li N i = N i 1, polož N t = N i a skonči. Bezkontextové jazyky 1 p.18/39
19 Dostupné symboly Algoritmus 4.2 Výpočet množiny dostupných symbolů Vstup: Gramatika G = (N, Σ, P, S). Výstup: Množina V = {X S αxβ,α, β (N Σ) }. Metoda: 1. V 0 := {S},i = 1 2. V i := {X A αxβ je v P a A V i 1 } V i 1 3. Je-li V i V i 1, i := i + 1 a vrat se k (2). Je-li V i = V i 1, polož V = V i a skonči. Bezkontextové jazyky 1 p.19/39
20 Odstranění zbytečných symbolů Algoritmus 4.3 Odstranění zbytečných symbolů Vstup: Gramatika G = (N, Σ, P, S). Výstup: Gramatika G = (N,Σ, P,S) bez zbytečných symbolů, L(G) = L(G ). Metoda: 1. Aplikací algoritmu 4.1 na G vypočti množinu N t. 2. Polož G = (N t {S},Σ, P, S), kde P = {A α (A α) P A N t α (N t Σ) }. 3. Aplikací algoritmu 4.2 na G vypočti množinu V. 4. Výslednou gramatiku G sestroj takto: (a) (b) N = N t V Σ = Σ V (c) P = {A α (A α) P A N α V } Poznámka: Sjednocení N t {S} v bodě 2 řeší případ, kdy L(G) = a N t =, ovšem gramatika musí mít svůj startovací symbol. Bezkontextové jazyky 1 p.20/39
21 Příklad 4.10 Uvažujme gramatiku G = ({S, A, B}, {a, b}, {S a, S A, A AB,B b}, S). 1. N 0 =, N 1 = {S,B}, N 2 = N 1 = N t = {S,B} 2. G = ({S, B}, {a, b}, {S a, B b}, S) 3. V 0 = {S}, V 1 = {S, a}, V 2 = V 1 = V = {S, a} 4. G = ({S}, {a}, {S a}, S). Poznámka 4.2 Pořadí kroků 2. a 4. je významné. Bezkontextové jazyky 1 p.21/39
22 Odstranění ε-pravidel Definice 4.8 G je gramatikou bez ε-pravidel, jestliže neobsahuje žádné ε-pravidlo (pravidlo tvaru A ε), nebo, pokud ε L(G), potom obsahuje jediné ε-pravidlo S ε a S se pak nevyskytuje na pravé straně žádného přepisovacího pravidla. Algoritmus 4.4 Transformace na gramatiku bez ε-pravidel Vstup: Gramatika G = (N, Σ, P, S). Výstup: Gramatika G = (N,Σ, P,S ) bez ε-pravidel ekvivalentní s G. Metoda: 1. Vypočítej množinu N ε = {A A + ε} 2. Každé pravidlo z P, které není ε-pravidlem, uvažuj ve tvaru A α 0 B 1 α 1 B 2...B k α k, kde B i N ε, α i (N \ N ε Σ) pro i = 1,...,k Toto pravidlo nahrad množinou pravidel, které vzniknou všemi možnými substitucemi B i B i a B i ε pro i = 1,...,k (to jest substitucemi, kdy nonterminály z N ε jsou alternativně ponechávány a vypouštěny). Počet těchto substitucí (nových pravidel) je zřejmě 2 k. 3. Všechna ε-pravidla vypust. 4. Pokud S N ε, pak N = N {S }, kde S je nový nonterminální symbol, a přidej pravidla S ε S, v opačném případě N = N, S = S Bezkontextové jazyky 1 p.22/39
23 Příklad 4.11 Uvažujme gramatiku G = ({A, B,C}, {a, b, c},p, A) s pravidly: A AbAcBC ε a B b ε C c ε 1. N ε = {A, B,C} 2. A AbAcBC A bacbc A Ab cbc A b cbc. A bc A a B b C c 3. A ε A A A je nový startovací symbol. Bezkontextové jazyky 1 p.23/39
24 Odstranění jednoduchých pravidel Definice 4.9 Pravidlo tvaru A B, kde A, B N nazýváme jednoduché pravidlo. Algoritmus 4.5 Transformace na gramatiku bez jednoduchých pravidel Vstup: Gramatika G = (N, Σ, P, S) bez ε-pravidel. Výstup: Gramatika G = (N, Σ, P, S) bez jednoduchých pravidel ekvivalentní s G. Metoda: 1. Pro všechny A N vypočítej množinu N A = {B A B}, polož P :=. 2. Necht B α, α / N je pravidlo z P. Potom k P přidej nová pravidla A i α pro všechny A i, kde B N Ai. 3. Výsledná množina pravidel P tvoří všechna pravidla gramatiky G (neobsahuje jednoduchá pravidla). N A1 N A2 N A3 N Ak B B Nová pravidla: A 1 α A 3 α Bezkontextové jazyky 1 p.24/39
25 Příklad 4.12 Uvažujme gramatiku G = ({E, T,F }, {i,+,, (,)}, P, E) s pravidly: E E + T T T T F F F (E) i 1. Nalezneme množiny N A pro všechny A N: N E = {E, T, F } N T = {T, F } N F = {F } 2. Doplňujeme nová pravidla a vypouštíme jednoduchá pravidla: E E + T T F (E) i T T F (E) i F (E) i Bezkontextové jazyky 1 p.25/39
26 Cyklus Definice 4.10 Necht G = (N, Σ, P, S) je gramatika, A N. Gramatika G obsahuje cyklus, jestliže A + A. Věta 4.2 Jestliže gramatika G = (N, Σ, P, S) obsahuje cyklus v nonterminálu A, A N a jestliže existuje derivace S αaβ + w, w Σ, α, β (N Σ) pak G je víceznačná. Důkaz. Existuje-li derivace S αaβ + w pak vzhledem k existenci cyklu A + existuje i derivace S αaβ αγ 1 β αγ 2 β... αaβ + w Těmto derivacím přísluší různé derivační stromy. Bezkontextové jazyky 1 p.26/39
27 Zdroje cyklu Jednoduchá pravidla (tvaru A B), např. A B C A v důsledku pravidel A B, B C, C A ε-pravidla, např. A AB A v důsledku pravidla B ε Bezkontextové jazyky 1 p.27/39
28 Vlastní gramatika Definice 4.11 Gramatika bez zbytečných symbolů, ε-pravidel a bez cyklů se nazývá vlastní gramatikou. Věta 4.3 Každá bezkontextová gramatika má ekvivalentní vlastní gramatiku. Důkaz. Aplikací algoritmů 4.3 a 4.4 odstraníme zbytečné symboly a ε-pravidla. Jestliže po této transformaci existuje v G derivace A A, tj. cyklus, pak jeho příčinou mohou být pouze jednoduchá pravidla a ty lze odstranit aplikací algoritmu 4.5. Bezkontextové jazyky 1 p.28/39
29 Odstranění levé rekurze Základem algoritmu je odstranění přímé levé rekurze, tj. levě rekurzivních pravidel, podle následující transformace: Věta 4.4 Necht gramatika G má levě rekurzivní pravidla v nonterminálu A a necht A Aα 1 Aα 2... Aα m β 1 β 2... β n jsou všechna její A-pravidla, přičemž řetězce β i nezačínají symbolem A. Pak gramatika G, ve které budou tato pravidla nahrazena pravidly: A β 1 β 2... β n β 1 A β 2 A... β n A A α 1 α 2... α 1 A α 2 A... α m A kde A je nový nonterminál, je ekvivalentní s G. Bezkontextové jazyky 1 p.29/39
30 Důkaz. Uvedená transformace nahrazuje pravidla rekurzivní zleva pravidly, které jsou rekurzivní zprava. Označíme-li jazyky L 1 = {β 1, β 2,...,β n } a L 2 = {α 1, α 2,...,α m }, vidíme, že v G lze z nonterminálu A derivovat řetězce tvořící jazyk L 1 L 2. Právě tyto řetězce můžeme však derivovat z A také v gramatice G. Efekt popisované transformace ilustruje následující obrázek. A A A α i1 β j A A α i2 α ik A A α i3 α ik-1 A A α ik α i2 A β j α i1 Bezkontextové jazyky 1 p.30/39
31 Příklad 4.13 Uvažujme gramatiku G = ({E, T,F }, {i,+,, (,)}, P, E) s pravidly: E E + T T T T F F F ( E ) i E E + T T E T TE α 1 = +T, β 1 = T E +T + TE T T F F T F FT α 1 = F,β 1 = F T F FT F ( E ) i Bezkontextové jazyky 1 p.31/39
32 Odstranění nepřímé levé rekurze Odstranění nepřímé levé rekurze spočívá v opakovaném aplikování transformace podle věty 4.1 a transformačních vzorců pro odstranění přímé levé rekurze (věta 4.4). Příklad 4.14 S AB A BS b B SA a Uvažujme gramatiku G = ({S, A, B}, {a,b}, P, S) s pravidly: Na pravidlo B SA aplikujeme dvakrát větu 4.1: B ABA B BSBA bba Na všechna B-pravidla B BSBA bba a aplikujme transformaci věty 4.4: B bba a bbab ab B SBA SBAB Bezkontextové jazyky 1 p.32/39
33 Normální formy bezkontextových gramatik Bezkontextové jazyky 1 p.33/39
34 Chomského normální forma (CNF) Definice 4.12 Bezkontextová gramatika G = (N, Σ, P, S) je v Chomského normální formě, má-li každé pravidlo z P jeden z těchto tvarů: 1. A BC, kde A, B,C N 2. A a, kde a Σ 3. je-li ε L(G), pak S ε je jediné ε-pravidlo a S se nevyskytuje na pravé straně žádného přepisovacího pravidla. Problém: Necht G = (N, Σ, P, S) je bezkontextová gramatika v CNF a necht w L(G) a S p G w. Jaká je délka řetězce w? Řešení: Označme w = n. Zřejmě platí p = n + (n 1) = 2n 1 w = p Bezkontextové jazyky 1 p.34/39
35 Věta 4.5 Necht G je bezkontextová gramatika. Pak existuje gramatika G v Chomského normální formě taková, že L(G ) = L(G). Důkaz. (Hlavní myšlenka) Gramatiku G převedeme na ekvivalentní vlastní gramatiku bez jednoduchých pravidel. 1. Pravidla tvaru (1), (2) a (3) ponecháme. 2. Pravidla tvaru A X 1 X 2... X n, kde X i (N Σ) pro i = 1,...,n, n > 2, transformujeme na A X 1 X 2 X 3... X n, kde X 2 X 3...X n je nový nonterminál a X 1 je nový nonterminál pokud X 1 Σ, nebo X 1 = X 1 v opačném případě. 3. Pravidla tvaru A X 1 X 2 transformujeme na pravidla A X 1X 2, kde X i je nový nonterminál pokud X i Σ, nebo X i = X i v opačném případě pro i {1,2} 4. Pro nové nonterminály tvaru X 1 X 2...X n, n 2, zavedeme pravidla X 1 X 2...X n X 1 X 2...X n pro n > 2 a X 1 X 2 X 1X 2 pro n = 2, kde X 2...X n je nový nonterminál a X i je nový nonterminál pokud X i Σ, nebo X i = X i v opačném případě pro i {1,2}. 5. Pro nové nonterminály tvaru X i, kde X i Σ přidáme pravidla tvaru X i X i. Bezkontextové jazyky 1 p.35/39
36 Příklad 4.15 Uvažujme gramatiku G = ({A, B}, {a,b, c}, P, A) s pravidly: A BAB Ba bc B AB a BBB Po aplikaci transformací (1.)-(4.) získáme CNF ve tvaru: A B AB Ba b c B AB a B BB AB AB BB BB a a b b c c Bezkontextové jazyky 1 p.36/39
37 Greibachové normální forma (GNF) Definice 4.13 Bezkontextová gramatika G = (N, Σ, P, S) je v Greibachové normální formě, je-li G gramatikou bez ε-pravidel a každé pravidlo z P (vyjma případného pravidla S ε) má tvar: A aα, kde a Σ, α N Lemma 4.3 Necht G = (N, Σ, P, S) je bezkontextová gramatika bez levé rekurze. Pak na N existuje lineární uspořádání takové, že je-li A Bα pravidlo z P, pak A B. Důkaz. Definujme relaci R na N: R = {(A, B) A Bα,A, B N, α (N Σ) } Lze ukázat, že R je částečné uspořádání. Každé částečné uspořádání lze rozšířit na lineární uspořádání. Bezkontextové jazyky 1 p.37/39
38 Věta 4.6 Ke každé bezkontextové gramatice existuje Greibachové normální forma této gramatiky. Důkaz. (Hlavní myšlenka) Nalezení GNF gramatiky G předpokládá: 1. Odstranění levé rekurze a ε-pravidel. 2. Nalezení lineárního uspořádání na množině nonterminálů. 3. Aplikace substitucí v pořadí opačném k danému uspořádání tak, aby všechna pravidla byla tvaru A aβ, A N, a Σ, β (N Σ). 4. Převod všech pravidel A aβ, A N, β (N Σ) na pravidla tvaru A aα, A N, a Σ, α N. Bezkontextové jazyky 1 p.38/39
39 Příklad 4.16 Uvažujme gramatiku, jež vznikne odstraněním levé rekurze z typické gramatiky pro aritmetický výraz G = ({E,T, F }, {i,+,, (,)}, P, E) s pravidly: E T TE E +T + TE T F FT T F FT F ( E ) i Nalezneme lineární uspořádání: E E T T F E ( E ) i ( E ) T it ( E ) E ie ( E ) T E it E E +T + TE T ( E ) i ( E ) T it T F FT F i ( E ) Přidáno pravidlo ) ). Bezkontextové jazyky 1 p.39/39
Bezkontextové jazyky 2/3. Bezkontextové jazyky 2 p.1/27
Bezkontextové jazyky 2/3 Bezkontextové jazyky 2 p.1/27 Transformace bezkontextových gramatik Bezkontextové jazyky 2 p.2/27 Ekvivalentní gramatiky Definice 6.1 Necht G 1 a G 2 jsou gramatiky libovolného
VíceJednoznačné a nejednoznačné gramatiky
BI-AAG (2011/2012) J. Holub: 11. Bezkontextové gramatiky p. 2/36 Jednoznačné a nejednoznačné gramatiky BI-AAG (2011/2012) J. Holub: 11. Bezkontextové gramatiky p. 4/36 Automaty a gramatiky(bi-aag) 11.
VíceBezkontextové jazyky. Bezkontextové jazyky 1 p.1/31
Bezkontextové jazyky Bezkontextové jazyky 1 p.1/31 Jazyky typu 2 Definice 4.1 Gramatika G = (N, Σ, P, S) si nazývá bezkontextovou gramatikou, jestliže všechna pravidla z P mají tvar A α, A N, α (N Σ) Lemma
VíceFormální jazyky a gramatiky Teorie programovacích jazyků
Formální jazyky a gramatiky Teorie programovacích jazyků doc. Ing. Jiří Rybička, Dr. ústav informatiky PEF MENDELU v Brně rybicka@mendelu.cz Připomenutí základních pojmů ABECEDA jazyk je libovolná podmnožina
VíceAutomaty a gramatiky(bi-aag) Motivace. 1. Základní pojmy. 2 domácí úkoly po 6 bodech 3 testy za bodů celkem 40 bodů
BI-AAG (2011/2012) J. Holub: 1. Základní pojmy p. 2/29 Hodnocení předmětu BI-AAG (2011/2012) J. Holub: 1. Základní pojmy p. 4/29 Automaty a gramatiky(bi-aag) 1. Základní pojmy Jan Holub Katedra teoretické
Vícedoplněk, zřetězení, Kleeneho operaci a reverzi. Ukážeme ještě další operace s jazyky, na které je
28 [181105-1236 ] 2.7 Další uzávěrové vlastnosti třídy regulárních jazyků Z předchozích přednášek víme, že třída regulárních jazyků je uzavřena na sjednocení, průnik, doplněk, zřetězení, Kleeneho operaci
VíceVlastnosti Derivační strom Metody Metoda shora dolů Metoda zdola nahoru Pomocné množiny. Syntaktická analýza. Metody a nástroje syntaktické analýzy
Metody a nástroje syntaktické analýzy Šárka Vavrečková Ústav informatiky, FPF SU Opava sarka.vavreckova@fpf.slu.cz Poslední aktualizace: 14. října 2011 Vlastnosti syntaktické analýzy Úkoly syntaktické
VíceTuringovy stroje. Teoretická informatika Tomáš Foltýnek
Turingovy stroje Teoretická informatika Tomáš Foltýnek foltynek@pef.mendelu.cz Teoretická informatika strana 2 Opakování z minulé přednášky Jaké znáte algebraické struktury s jednou operací? Co je to okruh,
Více/1: Teoretická informatika(ti) přednáška 4
456-330/1: Teoretická informatika(ti) přednáška 4 prof. RNDr Petr Jančar, CSc. katedra informatiky FI VŠB-TUO www.cs.vsb.cz/jancar LS 2009/2010 Petr Jančar (FI VŠB-TU) Teoretická informatika(ti) LS 2009/2010
VíceTeoretická informatika - Úkol č.1
Teoretická informatika - Úkol č.1 Lukáš Sztefek, xsztef01 18. října 2012 Příklad 1 (a) Gramatika G 1 je čtveřice G 1 = (N, Σ, P, S) kde, N je konečná množina nonterminálních symbolů N = {A, B, C} Σ je
VíceVztah jazyků Chomskeho hierarchie a jazyků TS
Vztah jazyků Chomskeho hierarchie a jazyků TS Jan Konečný; (přednáší Lukáš Havrlant) 15. října 2013 Jan Konečný; (přednáší Lukáš Havrlant) Chomskeho hierarchie a jazyky TS 15. října 2013 1 / 23 Rychlé
VíceKapitola 6. LL gramatiky. 6.1 Definice LL(k) gramatik. Definice 6.3. Necht G = (N, Σ, P, S) je CFG, k 1 je celé číslo.
Kapitola 6 LL gramatiky 6.1 Definice LL(k) gramatik Definice 6.1. Necht G = (N, Σ, P, S) je CFG, k 1 je celé číslo. Definujme funkci FIRST G k : (N Σ) + P({w Σ w k}) předpisem FIRST G k (α) = {w Σ (α w
VíceUČEBNÍ TEXTY VYSOKÝCH ŠKOL. Prof. RNDr. Milan Češka, CSc. Gramatiky a jazyky
UČEBNÍ TEXTY VYSOKÝCH ŠKOL Vysoké učení technické v Brně Fakulta elektrotechniky a informatiky Prof. RNDr. Milan Češka, CSc. Gramatiky a jazyky Tato skripta jsou určena pro kurs Základy matematické informatiky
VíceAutomaty a gramatiky
Automaty a gramatiky Roman Barták, KTIML bartak@ktiml.mff.cuni.cz http://ktiml.mff.cuni.cz/~bartak Co bylo minule Úvod do formálních gramatik produkční systémy generativní gramatika G=(V N,V T,,P) G =
VíceVysoké učení technické v Brně Fakulta informačních technologií. Gramatiky nad volnými grupami Petr Blatný
Vysoké učení technické v Brně Fakulta informačních technologií Gramatiky nad volnými grupami 2005 Petr Blatný Abstrakt Tento dokument zavádí pojmy bezkontextové gramatiky nad volnou grupou a E0L gramatiky
VíceBezkontextové gramatiky nad volnými grupami
Vysoké učení technické v Brně Fakulta informačních technologií Bezkontextové gramatiky nad volnými grupami 2004 Radek Bidlo Abstrakt Tento dokument zavádí pojem bezkontextové gramatiky nad volnou grupou
VícePROGRAMOVACÍ JAZYKY A PŘEKLADAČE LL SYNTAKTICKÁ ANALÝZA DOKONČENÍ, IMPLEMENTACE.
PROGRAMOVACÍ JAZYKY A PŘEKLADAČE LL SYNAKICKÁ ANALÝZA DOKONČENÍ, IMPLEMENACE. VLASNOSI LL GRAMAIK A JAZYKŮ. 2011 Jan Janoušek BI-PJP Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti Gramatika
Více2 Formální jazyky a gramatiky
2 Formální jazyky a gramatiky 2.1 Úvod Teorie formálních gramatik a jazyků je důležitou součástí informatiky. Její využití je hlavně v oblasti tvorby překladačů, kompilátorů. Vznik teorie se datuje přibližně
VíceTeoretická informatika TIN 2013/2014
Teoretická informatika TIN 2013/2014 prof. RNDr. Milan Češka, CSc. ceska@fit.vutbr.cz doc.ing. Tomáš Vojnar, Ph.D. vojnar@fit.vutbr.cz sazba Ing. A. Smrčka, Ing. P. Erlebach, Ing. P. Novosad Vysoké učení
VíceLineární algebra : Násobení matic a inverzní matice
Lineární algebra : Násobení matic a inverzní matice (8. přednáška) František Štampach, Karel Klouda frantisek.stampach@fit.cvut.cz, karel.klouda@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních
VíceZ. Sawa (VŠB-TUO) Teoretická informatika 5. listopadu / 43
Zásobníkové automaty Z. Sawa (VŠB-TUO) Teoretická informatika 5. listopadu 2018 1/ 43 Zásobníkový automat Chtěli bychom rozpoznávat jazyk L = {a i b i i 1} Snažíme se navrhnout zařízení (podobné konečným
VíceLineární algebra : Násobení matic a inverzní matice
Lineární algebra : Násobení matic a inverzní matice (8. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 17. března 2014, 12:42 1 2 0.1 Násobení matic Definice 1. Buďte m, n, p N, A
VíceVýpočetní modely pro rozpoznávání bezkontextových jazyků zásobníkové automaty LL(k) a LR(k) analyzátory
Plán přednášky Výpočetní modely pro rozpoznávání bezkontextových jazyků zásobníkové automaty LL(k) a LR(k) analyzátory Obecný algoritmus pro parsování bezkontextových jazyků dynamické programování 1 Zásobníkový
VíceRegulární výrazy. Definice Množina regulárních výrazů nad abecedou Σ, označovaná RE(Σ), je definována induktivně takto:
IB102 Automaty, gramatiky a složitost, 6. 10. 2014 1/29 Regulární výrazy Definice 2.58. Množina regulárních výrazů nad abecedou Σ, označovaná RE(Σ), je definována induktivně takto: 1 ε, a a pro každé a
VíceVI. Maticový počet. VI.1. Základní operace s maticemi. Definice. Tabulku
VI Maticový počet VI1 Základní operace s maticemi Definice Tabulku a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n, a m1 a m2 a mn kde a ij R, i = 1,, m, j = 1,, n, nazýváme maticí typu m n Zkráceně zapisujeme (a ij i=1m
VíceMnožinu všech slov nad abecedou Σ značíme Σ * Množinu všech neprázdných slov Σ + Jazyk nad abecedou Σ je libovolná množina slov nad Σ
Abecedou se rozumí libovolná konečná množina Σ. Prvky abecedy nazýváme znaky (symboly) Slovo (řetězec) v nad abecedou Σ je libovolná konečná posloupnost znaků této abecedy. Prázdné posloupnosti znaků odpovídá
VíceBezkontextové jazyky 3/3. Bezkontextové jazyky 3 p.1/27
Bezkontextové jazyky 3/3 Bezkontextové jazyky 3 p.1/27 Vlastnosti bezkontextových jazyků Bezkontextové jazyky 3 p.2/27 Pumping teorém pro BJ Věta 6.1 Necht L je bezkontextový jazyk. Pak existuje konstanta
VíceMaticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:
3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...
Více/01: Teoretická informatika(ti) přednáška 5
460-4005/01: Teoretická informatika(ti) přednáška 5 prof. RNDr Petr Jančar, CSc. katedra informatiky FEI VŠB-TUO www.cs.vsb.cz/jancar LS 2010/2011 Petr Jančar (FEI VŠB-TU) Teoretická informatika(ti) LS
VícePřekladač sestrojující k regulárnímu výrazu ekvivalentní konečný automat Připomeňme si jednoznačnou gramatiku G pro jazyk RV({a, b})
Teoretická informatika průběh výuky v semestru 1 Týden 4 Přednáška Ukázali jsme jednoduchý převod konečného automatu na bezkontextovou gramatiku, čímž jsme prokázali, že každý regulární jazyk je bezkontextovým
VíceStrukturální rozpoznávání
Strukturální rozpoznávání 1 Strukturální rozpoznávání obsah hierarchický strukturální popis systém strukturálního rozpoznávání teorie gramatik volba popisu výběr primitiv výběr gramatiky syntaktická analýza
VíceTeoretická informatika
Teoretická informatika TIN 2017/2018 prof. RNDr. Milan Češka, CSc. ceska@fit.vutbr.cz prof. Ing. Tomáš Vojnar, Ph.D. vojnar@fit.vutbr.cz sazba dr. A. Smrčka, Ing. P. Erlebach, Ing. P. Novosad Vysoké učení
VíceBezkontextové gramatiky. Z. Sawa (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informatiky 6. května / 49
Bezkontextové gramatiky Z. Sawa (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informatiky 6. května 2018 1/ 49 Bezkontextové gramatiky Příklad: Chtěli bychom popsat jazyk aritmetických výrazů obsahující výrazy jako například:
VíceOperace s maticemi. 19. února 2018
Operace s maticemi Přednáška druhá 19. února 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice (opakování) 3 Regulární matice 4 Inverzní matice 5 Determinant matice Matice Definice (Matice). Reálná matice
VíceMATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]
MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě
Více1 Determinanty a inverzní matice
Determinanty a inverzní matice Definice Necht A = (a ij ) je matice typu (n, n), n 2 Subdeterminantem A ij matice A příslušným pozici (i, j) nazýváme determinant matice, která vznikne z A vypuštěním i-tého
VíceVýroková a predikátová logika - IV
Výroková a predikátová logika - IV Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2018/2019 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - IV ZS 2018/2019 1 / 17 Tablo metoda Tablo Tablo - příklady F (((p q)
VíceInterpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura
Interpolace, ortogonální polynomy, Gaussova kvadratura Petr Tichý 20. listopadu 2013 1 Úloha Lagrangeovy interpolace Dán omezený uzavřený interval [a, b] a v něm n + 1 různých bodů x 0, x 1,..., x n. Nechť
VíceNecht tedy máme přirozená čísla n, k pod pojmem systém lineárních rovnic rozumíme rovnice ve tvaru
2. Systémy lineárních rovnic V této kapitole se budeme zabývat soustavami lineárních rovnic s koeficienty z pole reálných případně komplexních čísel. Uvádíme podmínku pro existenci řešení systému lineárních
VíceBRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FACULTY OF INFORMATION TECHNOLOGY DEPARTMENT OF INTELLIGENT SYSTEMS MASTER S THESIS AUTHOR
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA INFORMAČNÍCH TECHNOLOGIÍ ÚSTAV INTELIGENTNÍCH SYSTÉMŮ FACULTY OF INFORMATION TECHNOLOGY DEPARTMENT OF INTELLIGENT SYSTEMS SYSTÉMY FORMÁLNÍCH
VíceLineární algebra : Polynomy
Lineární algebra : Polynomy (2. přednáška) František Štampach, Karel Klouda frantisek.stampach@fit.cvut.cz, karel.klouda@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních technologií České
VíceREDUKCE VELIKOSTI GRAMATIKY V SILNÉ GREIBACHOVÉ NORMÁLNÍ FORMĚ
REDUKCE VELIKOSTI GRAMATIKY V SILNÉ GREIBACHOVÉ NORMÁLNÍ FORMĚ Jaroslav SUCHÁNEK, Mgr. (5) Dept. of Information Systems, FIT, BUT E-mail: xsucha07@stud.fit.vutbr.cz Supervised by: Dr. Dušan Kolář ABSTRACT
VíceTeoretická informatika TIN
Teoretická informatika TIN Studijní opora M. Češka, T. Vojnar, A. Smrčka 20. srpna 2014 Tento učební text vznikl za podpory projektu "Zvýšení konkurenceschopnosti IT odborníků absolventů pro Evropský trh
Více1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1
1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější
Více(Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice)
KMA/MAT1 Přednáška a cvičení, Lineární algebra 2 Řešení soustav lineárních rovnic se čtvercovou maticí soustavy (Cramerovo pravidlo, determinanty, inverzní matice) 16 a 21 října 2014 V dnešní přednášce
VíceGrafy. doc. Mgr. Jiří Dvorský, Ph.D. Katedra informatiky Fakulta elektrotechniky a informatiky VŠB TU Ostrava. Prezentace ke dni 13.
Grafy doc. Mgr. Jiří Dvorský, Ph.D. Katedra informatiky Fakulta elektrotechniky a informatiky VŠB TU Ostrava Prezentace ke dni 13. března 2017 Jiří Dvorský (VŠB TUO) Grafy 104 / 309 Osnova přednášky Grafy
VíceTeoretická informatika
Teoretická informatika Ladislav Lhotka lhotka@cesnet.cz 2011-12 Zdroje LINZ, P. Formal Languages and Automata, Fourth Edition. Sudbury: Jones and Bartlett, 2006, 415+xiii s. ISBN 07-63-73798-4. CHYTIL,
VíceModely Herbrandovské interpretace
Modely Herbrandovské interpretace Petr Štěpánek S využitím materialu Krysztofa R. Apta 2006 Logické programování 8 1 Uvedli jsme termové interpretace a termové modely pro logické programy a také nejmenší
VíceÚvod do lineární algebry
Úvod do lineární algebry 1 Aritmetické vektory Definice 11 Mějme n N a utvořme kartézský součin R n R R R Každou uspořádanou n tici x 1 x 2 x, x n budeme nazývat n rozměrným aritmetickým vektorem Prvky
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Lineární rovnice o 2 neznámých Definice 011 Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je rovnice, která může být vyjádřena ve tvaru ax + by = c, kde
VíceMatematika (CŽV Kadaň) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic
Přednáška třetí (a pravděpodobně i čtvrtá) aneb Úvod do lineární algebry Matice a soustavy rovnic Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o 2 neznámých Lineární rovnice o dvou neznámých x, y je
VíceAutomaty a gramatiky(bi-aag) Formální překlady. 5. Překladové konečné automaty. h(ε) = ε, h(xa) = h(x)h(a), x, x T, a T.
BI-AAG (2011/2012) J. Holub: 5. Překladové konečné automaty p. 2/41 Formální překlady BI-AAG (2011/2012) J. Holub: 5. Překladové konečné automaty p. 4/41 Automaty a gramatiky(bi-aag) 5. Překladové konečné
VíceSymetrické a kvadratické formy
Symetrické a kvadratické formy Aplikace: klasifikace kvadrik(r 2 ) a kvadratických ploch(r 3 ), optimalizace(mpi) BI-LIN (Symetrické a kvadratické formy) 1 / 20 V celé přednášce uvažujeme číselné těleso
VíceFormální jazyky. Z. Sawa (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informatiky 2. března / 32
Formální jazyky Z. Sawa (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informatiky 2. března 2017 1/ 32 Abeceda a slovo Definice Abeceda je libovolná neprázdná konečná množina symbolů(znaků). Poznámka: Abeceda se často
VíceVektory a matice. Obsah. Aplikovaná matematika I. Carl Friedrich Gauss. Základní pojmy a operace
Vektory a matice Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah 1 Vektory Základní pojmy a operace Lineární závislost a nezávislost vektorů 2 Matice Základní pojmy, druhy matic Operace s maticemi
VíceAUTOMATY A GRAMATIKY. Pavel Surynek. Kontextové uzávěrové vlastnosti Turingův stroj Rekurzivně spočetné jazyky Kódování, enumerace
AUTOMATY A 11 GRAMATIKY Pavel Surynek Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta Katedra teoretické informatiky a matematické logiky Kontextové uzávěrové vlastnosti Turingův stroj Rekurzivně
VíceVýroková a predikátová logika - II
Výroková a predikátová logika - II Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2017/2018 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - II ZS 2017/2018 1 / 17 Předběžnosti Základní pojmy n-ární relace a funkce
VíceRegulární výrazy. M. Kot, Z. Sawa (VŠB-TU Ostrava) Úvod do teoretické informatiky 14. března / 20
Regulární výrazy M. Kot, Z. Sawa (VŠB-TU Ostrava) Úvod do teoretické informatiky 14. března 2007 1/ 20 Regulární výrazy Jako například v aritmetice můžeme pomocí operátorů + a vytvářet výrazy jako (5+3)
VíceLineární algebra Kapitola 1 - Základní matematické pojmy
Lineární algebra Kapitola 1 - Základní matematické pojmy 1.1 Relace a funkce V celém textu budeme používat následující označení pro číselné množiny: N množina všech přirozených čísel bez nuly, N={1, 2,
VíceLimita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné
Přednáška 4 Limita a spojitost funkce a zobrazení jedné reálné proměnné V několika následujících přednáškách budeme studovat zobrazení jedné reálné proměnné f : X Y, kde X R a Y R k. Protože pro každé
VíceFormální jazyky a automaty Petr Šimeček
Formální jazyky a automaty Petr Šimeček Úvod Formální jazyky a automaty jsou základním kamenem teoretické informatiky. Na počátku se zmíníme o Chomského klasifikaci gramatik, nástroje, který lze aplikovat
VíceZáklady maticového počtu Matice, determinant, definitnost
Základy maticového počtu Matice, determinant, definitnost Petr Liška Masarykova univerzita 18.9.2014 Matice a vektory Matice Matice typu m n je pravoúhlé (nebo obdélníkové) schéma, které má m řádků a n
VíceZáklady teoretické informatiky Formální jazyky a automaty
Základy teoretické informatiky Formální jazyky a automaty Petr Osička KATEDRA INFORMATIKY UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI Outline Literatura Obsah J.E. Hopcroft, R. Motwani, J.D. Ullman Introduction to
VíceOperace s maticemi
Operace s maticemi Seminář druhý 17.10. 2018 Obsah 1 Operace s maticemi 2 Hodnost matice 3 Regulární matice 4 Inverzní matice Matice Definice (Matice). Reálná matice typu m n je obdélníkové schema A =
Více15 Maticový a vektorový počet II
M. Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika III kap. 15: Maticový a vektorový počet II 1 15 Maticový a vektorový počet II 15.1 Úvod Opakování z 1. ročníku (z kapitoly 8) Označení. Množinu všech reálných resp.
VíceLimita a spojitost funkce
Přednáška 5 Limita a spojitost funkce V této přednášce se konečně dostaneme k diferenciálnímu počtu funkce jedné reálné proměnné. Diferenciální počet se v podstatě zabývá lokálním chováním funkce v daném
VíceVlastní čísla a vlastní vektory
Vlastní čísla a vlastní vektory 1 Motivace Uvažujme lineární prostor všech vázaných vektorů v rovině, které procházejí počátkem, a lineární zobrazení tohoto prostoru do sebe(lineární transformaci, endomorfismus)
VíceAnalýza Petriho sítí. Analýza Petriho sítí p.1/28
Analýza Petriho sítí Analýza Petriho sítí p.1/28 1. Základní pojmy Základní problémy analýzy bezpečnost (safeness) omezenost (boundness) konzervativnost (conservation) živost (liveness) Definice 1: Místo
Více0.1 Úvod do lineární algebry
Matematika KMI/PMATE 1 01 Úvod do lineární algebry 011 Vektory Definice 011 Vektorem aritmetického prostorur n budeme rozumět uspořádanou n-tici reálných čísel x 1, x 2,, x n Definice 012 Definice sčítání
VíceLineární algebra - I. část (vektory, matice a jejich využití)
Lineární algebra - I. část (vektory, matice a jejich využití) Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 2. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 40 Obsah 1 Vektory
VíceMatice. Předpokládejme, že A = (a ij ) je matice typu m n: diagonálou jsou rovny nule.
Matice Definice. Maticí typu m n nazýváme obdélníkové pole, tvořené z m n reálných čísel (tzv. prvků matice), zapsaných v m řádcích a n sloupcích. Značíme např. A = (a ij ), kde i = 1,..., m, j = 1,...,
VíceIB112 Základy matematiky
IB112 Základy matematiky Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory Jan Strejček IB112 Základy matematiky: Řešení soustavy lineárních rovnic, matice, vektory 2/53 Obsah Soustava lineárních rovnic
VíceMatice. Je dána matice A R m,n, pak máme zobrazení A : R n R m.
Matice lineárních zobrazení [1] Připomenutí Zobrazení A : L 1 L 2 je lineární, když A( x + y ) = A( x ) + A( y ), A(α x ) = α A( x ). Což je ekvivalentní s principem superpozice: A(α 1 x 1 + + α n x n
VíceAutomaty a gramatiky. Roman Barták, KTIML. Separované gramatiky. Kontextové gramatiky. Chomského hierarchie
Chomského hierarchie Automaty a gramatiky Roman Barták, KTIML bartak@ktiml.mff.cuni.cz http://ktiml.mff.cuni.cz/~bartak gramatiky typu 0 (rekurzivně spočetné jazyky L 0 ) pravidla v obecné formě gramatiky
VíceVYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ
VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ BRNO UNIVERSITY OF TECHNOLOGY FAKULTA INFORMAČNÍCH TECHNOLOGIÍ ÚSTAV INFORMAČNÍCH SYSTÉMŮ FACULTY OF INFORMATION TECHNOLOGY DEPARTMENT OF INFORMATION SYSTEMS GRAMATICKÉ SYSTÉMY
VíceZákladní datové struktury III: Stromy, haldy
Základní datové struktury III: Stromy, haldy prof. Ing. Pavel Tvrdík CSc. Katedra počítačových systémů Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze c Pavel Tvrdík, 2010 Efektivní
VíceČíselné vektory, matice, determinanty
Číselné vektory, matice, determinanty Základy vyšší matematiky LDF MENDELU Podpořeno projektem Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipĺıny
VíceÚlohy nejmenších čtverců
Úlohy nejmenších čtverců Petr Tichý 7. listopadu 2012 1 Problémy nejmenších čtverců Ax b Řešení Ax = b nemusí existovat, a pokud existuje, nemusí být jednoznačné. Často má smysl hledat x tak, že Ax b.
VíceAutomaty a gramatiky. Uzávěrové vlastnosti v kostce R J BKJ DBKJ. Roman Barták, KTIML. Kvocienty s regulárním jazykem
11 Automaty a gramatiky Roman Barták, KTIML bartak@ktiml.mff.cuni.cz http://ktiml.mff.cuni.cz/~bartak Uzávěrové vlastnosti v kostce Sjednocení Průnik Průnik s RJ Doplněk Substituce/ homomorfismus Inverzní
Více10. Soustavy lineárních rovnic, determinanty, Cramerovo pravidlo
0. Soustavy lineárních rovnic, determinanty, Cramerovo pravidlo (PEF PaA) Petr Gurka aktualizováno 9. prosince 202 Obsah Základní pojmy. Motivace.................................2 Aritmetický vektorový
VíceDEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY
DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. definice Vektorovým prostorem rozumíme neprázdnou množinu prvků V, na které
VícePro každé formule α, β, γ, δ platí: Pro každé formule α, β, γ platí: Poznámka: Platí právě tehdy, když je tautologie.
Zpracoval: hypspave@fel.cvut.cz 5. Výroková logika, formule výrokové logiky a jejich pravdivostní ohodnocení, splnitelné formule, tautologie, kontradikce, sémantický důsledek, tautologicky ekvivalentní
VíceVlastnosti regulárních jazyků
Vlastnosti regulárních jazyků Podobně jako u dalších tříd jazyků budeme nyní zkoumat následující vlastnosti regulárních jazyků: vlastnosti strukturální, vlastnosti uzávěrové a rozhodnutelné problémy pro
VíceNávrh algoritmů pro sémantické akce při výstavbě interpretu metodou rekurzivního sestupu
Mendelova zemědělská a lesnická univerzita v Brně Provozně ekonomická fakulta Návrh algoritmů pro sémantické akce při výstavbě interpretu metodou rekurzivního sestupu Diplomová práce Vedoucí práce: RNDr.
VíceLineární algebra : Lineární prostor
Lineární algebra : Lineární prostor (3. přednáška) František Štampach, Karel Klouda LS 2013/2014 vytvořeno: 17. dubna 2014, 14:43 1 2 3.1 Aximotické zavedení lineárního prostoru Číselné těleso Celou lineární
VíceÚvod do informatiky. Miroslav Kolařík
Úvod do informatiky přednáška pátá Miroslav Kolařík Zpracováno dle učebního textu R. Bělohlávka: Úvod do informatiky, KMI UPOL, Olomouc 2008 a dle učebního textu R. Bělohlávka a V. Vychodila: Diskrétní
Víceα β ) právě tehdy, když pro jednotlivé hodnoty platí β1 αn βn. Danou relaci nazýváme relace
Monotónní a Lineární Funkce 1. Relace předcházení a to Uvažujme dva vektory hodnot proměnných α = α,, 1 αn ( ) a β = ( β β ) 1,, n x,, 1 xn. Říkáme, že vekto r hodnot α předchází vektor hodnot β (značíme
VíceLineární zobrazení. 1. A(x y) = A(x) A(y) (vlastnost aditivity) 2. A(α x) = α A(x) (vlastnost homogenity)
4 Lineární zobrazení Definice: Nechť V a W jsou vektorové prostory Zobrazení A : V W (zobrazení z V do W nazýváme lineárním zobrazením, pokud pro všechna x V, y V a α R platí 1 A(x y = A(x A(y (vlastnost
VíceHypergrafové removal lemma a Szemérediho
Hypergrafové removal lemma a Szemérediho věta Zdeněk Dvořák 7. prosince 207 Hypergrafové removal lemma a jeho důsledek Definice. Dvojice (V, E) je k-uniformní hypergraf, je-li E množina neuspořádaných
Více1. Matice a maticové operace. 1. Matice a maticové operace p. 1/35
1. Matice a maticové operace 1. Matice a maticové operace p. 1/35 1. Matice a maticové operace p. 2/35 Matice a maticové operace 1. Aritmetické vektory 2. Operace s aritmetickými vektory 3. Nulový a opačný
Více(2) [B] Nechť G je konečná grupa tvořena celočíselnými maticemi roměru 2 2 s operací násobení. Nalezněte všechny takové grupy až na izomorfizmus.
(1 [B] Nechť A : R 6 R 6 je lineární zobrazební takové, že A 26 = I. Najděte lineární prostory V 1, V 2 a V 3 takové, že R 6 = V 1 V 2 V 3 dim V 1 = dim V 2 = dim V 3 AV 1 V 1, AV 2 V 2 a AV 3 V 3 (2 [B]
Více1 Soustavy lineárních rovnic
1 Soustavy lineárních rovnic 1.1 Základní pojmy Budeme uvažovat soustavu m lineárních rovnic o n neznámých s koeficienty z tělesa T (potom hovoříme o soustavě m lineárních rovnic o n neznámých nad tělesem
VíceZáklady matematické analýzy
Základy matematické analýzy Spojitost funkce Ing. Tomáš Kalvoda, Ph.D. 1, Ing. Daniel Vašata 2 1 tomas.kalvoda@fit.cvut.cz 2 daniel.vasata@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních
VíceStromy, haldy, prioritní fronty
Stromy, haldy, prioritní fronty prof. Ing. Pavel Tvrdík CSc. Katedra počítačů FEL České vysoké učení technické DSA, ZS 2008/9, Přednáška 6 http://service.felk.cvut.cz/courses/x36dsa/ prof. Pavel Tvrdík
VíceKapitola 1. Úvod. 1.1 Značení. 1.2 Výroky - opakování. N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) R...
Kapitola 1 Úvod 1.1 Značení N... přirozená čísla (1, 2, 3,...). Z... celá čísla ( 3, 2, 1, 0, 1, 2,...). Q... racionální čísla ( p, kde p Z a q N) q R... reálná čísla C... komplexní čísla 1.2 Výroky -
VíceVýroková a predikátová logika - V
Výroková a predikátová logika - V Petr Gregor KTIML MFF UK ZS 2015/2016 Petr Gregor (KTIML MFF UK) Výroková a predikátová logika - V ZS 2015/2016 1 / 21 Dokazovací systémy VL Hilbertovský kalkul Hilbertovský
Více5 Orientované grafy, Toky v sítích
Petr Hliněný, FI MU Brno, 205 / 9 FI: IB000: Toky v sítích 5 Orientované grafy, Toky v sítích Nyní se budeme zabývat typem sít ových úloh, ve kterých není podstatná délka hran a spojení, nýbž jejich propustnost
VíceGenerující kořeny cyklických kódů. Generující kořeny. Alena Gollová, TIK Generující kořeny 1/30
Generující kořeny cyklických kódů 6. přednáška z algebraického kódování Alena Gollová, TIK Generující kořeny 1/30 Obsah 1 Alena Gollová, TIK Generující kořeny 2/30 Hammingovy kódy Hammingovy kódy jsou
VícePRIMITIVNÍ FUNKCE DEFINICE A MOTIVACE
PIMITIVNÍ FUNKCE V předchozích částech byly zkoumány derivace funkcí a hlavním tématem byly funkce, které derivace mají. V této kapitole se budou zkoumat funkce, které naopak jsou derivacemi jiných funkcí
VíceUnární je také spojka negace. pro je operace binární - příkladem může být funkce se signaturou. Binární je velká většina logických spojek
Otázka 06 - Y01MLO Zadání Predikátová logika, formule predikátové logiky, sentence, interpretace jazyka predikátové logiky, splnitelné sentence, tautologie, kontradikce, tautologicky ekvivalentní formule.
Více