Strukturální rozpoznávání

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Strukturální rozpoznávání"

Transkript

1 Strukturální rozpoznávání 1

2 Strukturální rozpoznávání obsah hierarchický strukturální popis systém strukturálního rozpoznávání teorie gramatik volba popisu výběr primitiv výběr gramatiky syntaktická analýza inference gramatik inference kanonické regulární gramatiky inference kanonické gramatiky formálních derivací stochastické gramatiky vliv syntaktických deformací syntaktická analýza s opravou chyb 2

3 Metody rozpoznávání příznakové rozpoznávání vzor/obraz bod x = (x 1,..., x n ) v n-dimenzionálním příznakovém prostoru klasifikace rozdělení prostoru na části (1 část = 1 třída) při minimalizaci kriteriální funkce strukturální rozpoznávání Pavlidis: identifikace ideálního, podle kterého byl analyzovaný obraz stvořen obraz/vzor popsán pomocí primitiv a vztahů mezi nimi primitiva = základní popisné elementy rozpoznávání 1. klasifikace do tříd 2. popis obrazů pomocí jeho částí a vztahů mezi nimi 3

4 Hierarchický strukturální popis 4

5 Hierarchický strukturální popis obraz hierarchická struktura 5

6 Hierarchický strukturální popis příklad příklad primitiva hierarchický strukturální popis číslice devět 6

7 Hierarchický strukturální popis hierarchická strukturální informace = primitiva + syntaktická pravidla primitiva = minimální kvalitivní charakteristiky pravidla dekompozice = přípustné dekompozice složitých obrazů teorie formálních jazyků gramatika S BC C mn B DE E EE D lt E xyz co všechno generuje tato gramatika? 7

8 Systém strukturálního rozpoznávání 8

9 Strukturální rozpoznávání idea idea strukturálního rozpoznávání 1. detekce primitiv a vztahů mezi nimi 2. vytvoření reprezentace vzoru řetězec primitiv 3. syntaktická analýza řetězce vzor generován gramatikou? ANO strukturální popis vzoru klasifikační třídy 1 třída = 1 gramatika 9

10 Systém strukturálního rozpoznávání 10

11 Teorie gramatik 11

12 Teorie gramatik připomenutí (1) gramatika G= (V N, V T, S, P) V N... množina neterminálů V T... množina terminálů S... počáteční neterminál P... množina přepisovacích pravidel α β α, β (V N V T ) α obsahuje alespoň jeden neterminál gramatiky a strukturální popis terminály primitiva neterminály strukturálně jednodušší části vzoru/obrazu počáteční neterminál analyzovaný vzor 12

13 Teorie gramatik připomenutí (2) Chomského hierarchie bez omezení kontextové gramatiky: α 1 Aα 2 α 1 βα 2 A V N α 1, α 2, β (V N V T )* β λ bezkontextové gramatiky: A β A V N β (V N V T ) + regulární gramatiky: A αb, A α A, B V N α V T jazyk generovaný gramatikou G L(G) = {x x V* T :S * x} 13

14 Volba primitiv pro popis vzorů 14

15 Výběr primitiv (1) požadavky 1. požadovaný popis pomocí primitiv 2. snadná detekovatelnost a rozpoznatelnost primitiv ve vzorech příklad 1 odlišit rovnostranné trojúhelníky od ostatních obrazů primitiva x... horizontální jednotkový segment y... jednotkový segment se sklonem 120 z... jednotkový segment se sklonem -120 rovnostranné trojúhelníky L = {x n y n z n, n=1,2...} 15

16 Výběr primitiv (2) Freemanův řetězový kód popis čárových obrazců, obrysů,... segment oktalové číslo podle na sklonu segmentu výhody otáčení obrazu o 45 přičtení násobku oktalových čísel ke každému číslu řetězce umožňuje měření délek použití Freemanova kódu popis strukturálních vztahů v ručně psaných písmenech 16

17 Výběr primitiv (2) použití Freemanova řetězového kódu popis strukturálních vztahů v ručně psaných písmenech řetězec počáteční uzel koncový uzel 0110 Q R R S S R 7707 T S 17

18 Detekce primitiv detekce primitiv typicky se používají příznakové metody příklad: Giese analýza elektroencefalogramů (EEG) 100-sekundové záznamy aktivity mozku ve 4 kanálech segmentace křivky po sekundě úsek = primitivum v úseku extrahováno 17 příznaků dominantní frekvence, střední hodnota signálu v pásmu 0-4Hz, střední hodnota signálu v pásmu 5-7Hz,... shluková analýza zjištěno 7 tříd primitiv reprezentace EEG pomocí 4 řetězců po 100 primitivech 18

19 Výběr gramatiky 19

20 Výběr gramatiky (1) jednodimenzionální gramatiky čím složitější jazyk silnější vyjadřovací prostředek (+) složitější automat delší doba klasifikace (-) gramatiky typu 0 Turingův stroj halting problem kompromis: vyjadřovací síla jazyka efektivnost analýzy jazyka vícedimenzionální gramatiky pavučinové gramatiky generují orientované grafy (uzly = terminály) stromové gramatiky generují stromy 20

21 Výběr gramatiky (2) příklad pavučinové gramatiky G = ({A}, {a,b,c}, A, P) jazyk generovaný pavučinovou gramatikou? 21

22 Výběr gramatiky (3) příklad stromové gramatiky G = ({S, A, B}, {a,b,$}, S, P) vygenerované stromy 22

23 Syntaktická analýza 23

24 Syntaktická analýza (1) klasifikace do tříd ω 1,..., ω c třída ω i = gramatika G i řetězce generované G i = vzory třídy ω i předpoklad L(G i ) L(G k ) = Ø pro i k klasifikace neznámého vzoru x hledání gramatiky G i* : x L(G i* ) 24

25 Syntaktická analýza (2) regulární gramatika konstrukce konečného automatu snadná syntaktická analýza bezkontextová gramatika syntaktická analýza shora dolů nebo zdola nahoru kontextová gramatika velmi složité typicky náhrada kontextové gramatiky bezkontextové gramatiky s řízeným přepisováním 25

26 Syntaktická analýza (3) příklad L = { t n u n v n w n, n N } kontextový jazyk bezkontextová gramatika s řízeným přepisováním 26

27 Inference gramatik 27

28 Inference gramatik inference gramatik odvození gramatik na základě trénovacích dat vstup trénovací množina S t S t = S + S - = {y 1+,..., y t++ } {y 1-,..., y t-- } S + vzory patřící do L S vzory nepatřící do L gramatická inference 28

29 Inference gramatik odvozená gramatika G t kompatibilní pro každý y + S + y + L(G t ) pro každý y - S - y - L(G t ) množina S + strukturálně úplná každé pravidlo z neznámé zdrojové gramatiky použito při generování alespoň jednoho vzoru z S + automatická inference gramatik otevřený problém automatické odvození existuje pro nejjednodušší regulární a bezkontextové gramatiky obecná metoda není zatím známa 1. inference kanonické regulární gramatiky 2. inference kanonické gramatiky formálních derivací 29

30 Inference kanonické regulární gramatiky 30

31 Inference kanonické regulární gramatiky inference kanonické regulární gramatiky vstup: S + = {x 1,..., x t } výstup: regulární gramatika G C = (V NC, V TC, S, P C ) Krok 1 najít všechny různé terminály v S + vytvoří V TC Krok 2 pro každý vzor x i = a i1...a in (x i S + ) vytvořit pravidla S a i1 Z i1 Z i1 a i2 Z i2... Z i,n-2 a i,n-1 Z i,n-1 Z i,n-1 a in každé Z ij představuje nový neterminál 31

32 Inference kanonické regulární gramatiky příklad (1) regulární gramatika G... neznámá G = ({S,A,B,C}, {a,b}, S, P) pravidla S aa A a B b C ab S bb A as B bs C ba A bc B ac konečný automat této gramatiky G trénovací množina S + = {abab, bbaa, baba, aabb} S + strukturálně úplná 32

33 Inference kanonické regulární gramatiky příklad (2) odvozená kanonická gramatika G C = (V NC, V TC, S, P C ) V NC = {S, Z 1, Z 2, Z 3, Z 4, Z 5, Z 6, Z 7, Z 8, Z 9, Z 10, Z 11, Z 12 } V NC = {a,b} P C S az 1 Z 1 bz 2 S bz 4 Z 4 bz 5 S bz 7 Z 7 az 8 S az 10 Z 10 az 11 Z 2 az 3 Z 5 az 6 Z 8 bz 9 Z 11 bz 12 Z 3 b Z 6 a Z 9 a Z 12 b 33

34 Inference kanonické regulární gramatiky příklad (3) porovnání původní (neznámé) a odvozené gramatiky G G C obě popisují jiný jazyk L(G) nekonečný L(G C ) konečný generuje jen řetězce z trénovací množiny obecně platí L(G C ) = S + S + L(G) 34

35 Inference kanonické regulární gramatiky kanonická regulární gramatika velké množství neterminálů (-) některé neterminály ekvivalentní (-) nevíme ale které to jsou řešení hledat skupiny vzájemně ekvivalentních neterminálů skupinu nahradit jediným neterminálem redukce neterminálů a počtu pravidel generuje výhradně řetězce z S + a žádné jiné (-) syntaktická analýze odmítne vzory strukturálně podobné trénovacím vzorům gramatika neumí zobecňovat řešení syntaktická analýza s opravou chyb 35

36 Inference kanonické gramatiky formálních derivací 36

37 Inference kanonické gramatiky formálních derivací inference kanonické gramatiky formálních derivací jiný algoritmus odvození gramatiky formální derivace množiny řetězců A pro symbol a D λ A = A D a A = {x ax A, x V T *} vstup množina řetězců S + výstup gramatika G CD 37

38 Inference kanonické gramatiky formálních derivací algoritmus Krok 1 vytvoření množiny U = {U 2,..., U r } různých formálních derivací z S +, které nejsou rovny λ nebo Ø navíc do U přidána U 1 = D λ S + = S + Krok 2 vytvoření počátečního symbolu S = U 1 Krok 3 vytvoření množiny terminálů V T z trénovací množiny řetězců S + Krok 4 vytvoření množiny neterminálů V N = U Krok 5 vytvoření pravidel pro všechna a V T, U i,u k V N U i au k pokud D a U i = U k U i a pokud D a U i = {λ} 38

39 Inference kanonické gramatiky formálních derivací příklad (1) vytvořit gramatiku podle trénovací množiny S + S + = {abab, baba, aaabba, bbabab, aaabab, bbbaba} algoritmus inference kanonické regulární gramatiky gramatika G C 27 neterminálů! algoritmus kanonické gramatiky formálních derivací konstrukce gramatiky G CD po konstrukci 13 neterminálů 39

40 Inference kanonické gramatiky formálních derivací příklad (2) Krok 1 vytvoření množin formálních derivací D λ S + = S + = {abab, baba, aaabba, bbabab, aaabab, bbbaba} = U 1 D a U 1 = {bab, aabba, aabab} = U 2 D b U 1 = {aba, babab, bbaba} = U 3 D a U 2 = {abba, abab} = U 4 D a U 3 = {ba} = U 5 D b U 2 = {ab} = U 6 D b U 3 = {abab, baba} = U 7 D a U 4 = {bba, bab} = U 8 D b U 5 = {a} = U 9 D a U 6 = {b} = U 10 D a U 7 = {bab} = U 11 D b U 8 = {ba, ab} = U 12 D a U 12 = {b} = U 10 D b U 7 = {aba} = U 13 D a U 13 = {ba} = U 5 D b U 10 = {λ} D b U 12 = {a} = U 9 D a U 9 = {λ} D b U 11 = {ab} = U 6 40

41 Inference kanonické gramatiky formálních derivací příklad (3) Krok 2 počáteční symbol S = U 1 Krok 3 množina terminálů V T = {a, b} Krok 4 množina neterminálů V N = {S=U 1, U 2,..., U 13 } Krok 5 množina pravidel pro všechna a V T, U i,u k V N U i au k pokud D a U i = U k U i a pokud D a U i = {λ} S au 2 S bu 3 U 2 au 4 U 3 au 5 U 2 au 6 U 3 bu 7 U 4 au 8 U 5 bu 9 U 6 au 10 U 7 au 11 U 8 bu 12 U 7 bu 13 U 10 b U 9 a U 12 au 10 U 13 au 5 U 12 bu 9 U 11 bu 6 41

42 Inference kanonické gramatiky formálních derivací kanonická gramatika G CD formálních derivací generuje právě množinu S + obsahuje méně neterminálů než kanonická regulární gramatika množina odvozených gramatik nemusí obsahovat zdrojovou (neznámou) gramatiku 42

43 Inference gramatik shrnutí metod inference gramatik inference kanonické regulární gramatiky inference kanonické gramatiky formálních derivací gramatická inference založená na k- koncích řetězců využívá kanonické gramatiky formálních derivací inference gramatik s informátorem využívá dodatečných informací od člověka heuristické metody... 43

44 Stochastické gramatiky 44

45 Stochastické gramatiky problém v praxi vzor lze generovat gramatikami různých tříd L(G i ) L(G k ) Ø příčiny strukturální podobnost vzorů z různých tříd šum nepřesnost ve předzpracování (detekce primitiv,...) nepřesnost při konstrukci gramatik stochastické gramatiky G= (V N, V T, S, P) přepisovací pravidla p α ik β i α i, β ik (V N V T ) α i obsahuje alespoň jeden neterminál p ik... pravděpodobnost spojená s aplikací pravidla 0 pik 1 pik = 1 k ik pravď. odvození řetězce = součin pravď. použitých pravidel v odvození 45

46 Stochastické gramatiky příklad příklad stochastická gramatika G = ({S,A,B}, {a,b}, S, P) přepisovací pravidla S 1 aa A 0.7 bb A 0.3 a B 0.4 b B 0.6 as pravděpodobnost odvození řetězce abaabb S aa abb abas abaaa abaabb abaabb p(abaabb) = 1 0,7 0,6 1 0,7 0,4 = 0,

47 Klasifikace pomocí stochastických gramatik klasifikace v určité třídě se vzory vyskytují častěji nechtěné řetězce malé pravděpodobnosti řešení problému nejednoznačnosti vybrán derivační strom s největší pravděpodobností stochastický klasifikátor 47

48 Stanovení pravděpodobností pravidel vstup trénovací množina vzorů S t = { (x 1,f 1 ),..., (x t,f t )} výstup (odhady) pravděpodobnosti jednotlivých pravidel postup pro bezkontextovou gramatiku bezkontextová gramatika G s pravidly p A ik γ i ik f L... pravď. výskytu vzoru x L ve třídě A i V N a γ k (V N V T ) + Krok 1 syntaktická analýza všech vzorů x L z S t Krok 2 pro vzor x L a pravidlo A i γ k zjištění absolutní četnosti N ik (x L ) pravidla při derivaci x L Krok 3 očekávaná absolutní četnost výskytu pravidla A i γ k při analýze celé S t n ik = f k x k S t N ik ( x ) k Krok 4 odhad pravděpodobnosti p ik pravidla A i γ k nik pˆ ik = n j ij 48

49 Stanovení pravděpodobností pravidel systém pro odvození pravděpodobností jednotlivých pravidel platí pˆ ik p ik pro S t L( G) 49

50 Stanovení pravděpodobností pravidel příklad (1) určit pravděpodobnosti stochastické gramatiky G = ({S,X}, {a,b,c,d}, S, P) přepisovací pravidla S p11 axs S p12 cx X p21 d X p22 bx trénovací data 100 vzorů vygenerovaných gramatikou 50

51 Stanovení pravděpodobností pravidel příklad (2) Krok 1 syntaktická analýza všech vzorů Krok 2 absolutní četnosti N ik (x L ) výskytu pravidel při odvození řetězců 51

52 Stanovení pravděpodobnosti pravidel příklad (3) Krok 3 absolutní četnosti výskytu pravidel při generování celé S t př. S axs = 22 výsledné četnosti pravidel Krok 4 odhady pravděpodobností pˆ pˆ = = = = pˆ 12= = pˆ 12= =

53 Stochastická syntaktická analýza stochastická syntaktická analýza možnost volby z více pravidel volba pravidla s největší pravděpodobností snížení pravděpodobnosti chybné klasifikace existují speciální algoritmy na urychlení procesu stochastické syntaktické analýzy 53

54 Vliv syntaktických deformací 54

55 Řešení vlivu syntaktických deformací deformace ve struktuře vzorů vliv nepřesností/poruch vzor x reprezentován vzorem x (x x ) deformace řetězců vložení symbolu (terminálu) vynechání symbolu (terminálu) záměna symbolu míra podobnosti x a x editační vzdálenost problém při syntaktické analýze odmítnuty deformované vzory i když strukturálně podobné trénovacím vzorům řešení syntaktická analýza s opravou chyb 55

56 Syntaktická analýza s opravou chyb vstup gramatika G třídy deformovaný vzor y výstup deformace: vložení/vypuštění/záměna symbolu nalezení nejpravděpodobnější reprezentace (opravy) deformovaného vzoru y nalezení x L(G) kde edit(x,y) = min {edit(z,y), z L(G)} Krok 1 rozšíření gramatiky G o deformační pravidla G G generuje L(G) + deformované řetězce Krok 2 syntaktický analyzátor s opravou chyb pracuje s G hledání derivace deformovaného vzoru y s nejmenším počtem deformačních pravidel Krok 3 řetězec x (= nejlepší oprava y) se získá z derivace y vypuštěním deformačních pravidel 56

57 Konstrukce rozšířené gramatiky konstrukce rozšířené gramatiky G vstup: bezkontextová G = (V N, V T, S, P) výstup: rozšířená G = (V N, V T, S, P ) Krok 1 V T = V T Krok 2 V N = V N {S } {E b pro b V T } α i V N * b i V T v P pravidlo A α 0 b 1 α 1... b m α m do P se přidá pravidlo A α 0 E b1 α 1...E bm α m Krok 3 do P se přidají nová pravidla (D deformační pravidlo) S S (D) S Sa pro a V T E a a pro a V T (D) E a b pro a V T, b V T, b a (D) E a λ pro a V T (D) E a be a pro a V T, b V T 57

58 Syntaktická analýza s opravou chyb syntaktická analýza podle rozšířené gramatiky G více pravidel nejednoznačná deformovaný řetězec lze odvodit více způsoby klasické algoritmy syntaktické analýzy typicky neefektivní 58

59 Syntaktická analýza s opravou chyb praxe velká a dostatečně reprezentovaná trénovací množina trénovací množina musí obsahovat i zašuměná data stochastická gramatika dostatečně spolehlivě reprezentuje vzory syntaktická analýza bez opravy chyb trénovací množina málo reprezentativní gramatika necharakterizuje i deformované vzory syntaktická analýza bez opravy chyb nepřijme deformované vzory nutná syntaktická analýza s opravou chyb syntaktická analýza s opravou chyb rozpozná i zašuměné vzory (+) výrazně delší doba na zpracování (-) vylepšení paralelizace speciální algoritmy stochastické syntaktické analýzy 59

Formální jazyky a gramatiky Teorie programovacích jazyků

Formální jazyky a gramatiky Teorie programovacích jazyků Formální jazyky a gramatiky Teorie programovacích jazyků doc. Ing. Jiří Rybička, Dr. ústav informatiky PEF MENDELU v Brně rybicka@mendelu.cz Připomenutí základních pojmů ABECEDA jazyk je libovolná podmnožina

Více

B A B A B A B A A B A B B

B A B A B A B A A B A B B AB ABA BA BABA B AB A B B A A B A B AB A A B B B B ABA B A B A A A A A B A A B A A B A A B A BA B A BA B D A BC A B C A B A B C C ABA B D D ABC D A A B A B C D C B B A A B A B A B A A AB B A AB A B A A

Více

Bezkontextové jazyky. Bezkontextové jazyky 1 p.1/39

Bezkontextové jazyky. Bezkontextové jazyky 1 p.1/39 Bezkontextové jazyky Bezkontextové jazyky 1 p.1/39 Jazyky typu 2 Definice 4.1 Gramatika G = (N, Σ, P, S) si nazývá bezkontextovou gramatikou, jestliže všechna pravidla z P mají tvar A α, A N, α (N Σ) Lemma

Více

Jednoznačné a nejednoznačné gramatiky

Jednoznačné a nejednoznačné gramatiky BI-AAG (2011/2012) J. Holub: 11. Bezkontextové gramatiky p. 2/36 Jednoznačné a nejednoznačné gramatiky BI-AAG (2011/2012) J. Holub: 11. Bezkontextové gramatiky p. 4/36 Automaty a gramatiky(bi-aag) 11.

Více

2 Formální jazyky a gramatiky

2 Formální jazyky a gramatiky 2 Formální jazyky a gramatiky 2.1 Úvod Teorie formálních gramatik a jazyků je důležitou součástí informatiky. Její využití je hlavně v oblasti tvorby překladačů, kompilátorů. Vznik teorie se datuje přibližně

Více

Čísla značí použité pravidlo, šipka směr postupu Analýza shora. Analýza zdola A 2 B 3 B * C 2 C ( A ) 1 a A + B. A Derivace zleva:

Čísla značí použité pravidlo, šipka směr postupu Analýza shora. Analýza zdola A 2 B 3 B * C 2 C ( A ) 1 a A + B. A Derivace zleva: 1) Syntaktická analýza shora a zdola, derivační strom, kanonická derivace ezkontextová gramatika gramatika typu 2 Nechť G = je gramatika typu 1. Řekneme, že je gramatikou typu 2, platí-li: y

Více

Teoretická informatika - Úkol č.1

Teoretická informatika - Úkol č.1 Teoretická informatika - Úkol č.1 Lukáš Sztefek, xsztef01 18. října 2012 Příklad 1 (a) Gramatika G 1 je čtveřice G 1 = (N, Σ, P, S) kde, N je konečná množina nonterminálních symbolů N = {A, B, C} Σ je

Více

Vztah jazyků Chomskeho hierarchie a jazyků TS

Vztah jazyků Chomskeho hierarchie a jazyků TS Vztah jazyků Chomskeho hierarchie a jazyků TS Jan Konečný; (přednáší Lukáš Havrlant) 15. října 2013 Jan Konečný; (přednáší Lukáš Havrlant) Chomskeho hierarchie a jazyky TS 15. října 2013 1 / 23 Rychlé

Více

1) Sekvenční a paralelní gramatiky

1) Sekvenční a paralelní gramatiky A. Kapitoly z teorie formálních jazyků a automatů c Milan Schwarz (006) ) Sekvenční a paralelní gramatiky Derivace v gramatikách: Sekvenční postup sekvenční gramatiky (např. gramatiky v Chomského hierarchii)

Více

Formální jazyky a automaty Petr Šimeček

Formální jazyky a automaty Petr Šimeček Formální jazyky a automaty Petr Šimeček Úvod Formální jazyky a automaty jsou základním kamenem teoretické informatiky. Na počátku se zmíníme o Chomského klasifikaci gramatik, nástroje, který lze aplikovat

Více

Teoretická informatika

Teoretická informatika Teoretická informatika Ladislav Lhotka lhotka@cesnet.cz 2011-12 Zdroje LINZ, P. Formal Languages and Automata, Fourth Edition. Sudbury: Jones and Bartlett, 2006, 415+xiii s. ISBN 07-63-73798-4. CHYTIL,

Více

Syntaxí řízený překlad

Syntaxí řízený překlad Syntaxí řízený překlad Překladový automat Šárka Vavrečková Ústav informatiky, FPF SU Opava sarka.vavreckova@fpf.slu.cz Poslední aktualizace: 27. listopadu 2008 Zobecněný překladový automat Překladový automat

Více

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij]

MATICE. a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] MATICE Matice typu m/n nad tělesem T je soubor m n prvků z tělesa T uspořádaných do m řádků a n sloupců: a 11 a 12 a 1n a 21 a 22 a 2n A = = [a ij] a m1 a m2 a mn Prvek a i,j je prvek matice A na místě

Více

Virtuální počítač. Uživatelský program Překladač programovacího jazyka Operační systém Interpret makroinstrukcí Procesor. PGS K.

Virtuální počítač. Uživatelský program Překladač programovacího jazyka Operační systém Interpret makroinstrukcí Procesor. PGS K. Virtuální počítač Uživatelský program Překladač programovacího jazyka Operační systém Interpret makroinstrukcí Procesor Virtuální počítač Překladač Překladač : Zdrojový jazyk Cílový jazyk Analytická část:

Více

UČEBNÍ TEXTY VYSOKÝCH ŠKOL. Prof. RNDr. Milan Češka, CSc. Gramatiky a jazyky

UČEBNÍ TEXTY VYSOKÝCH ŠKOL. Prof. RNDr. Milan Češka, CSc. Gramatiky a jazyky UČEBNÍ TEXTY VYSOKÝCH ŠKOL Vysoké učení technické v Brně Fakulta elektrotechniky a informatiky Prof. RNDr. Milan Češka, CSc. Gramatiky a jazyky Tato skripta jsou určena pro kurs Základy matematické informatiky

Více

Strukturální metody identifikace objektů pro řízení průmyslového robotu

Strukturální metody identifikace objektů pro řízení průmyslového robotu Vysoké učení technické v Brně Fakulta strojního inženýrství Ústav automatizace a informatiky Strukturální metody identifikace objektů pro řízení průmyslového robotu Dizertační práce Vypracoval: Ing. Martin

Více

AUTOMATY A GRAMATIKY. Pavel Surynek. Kontextové uzávěrové vlastnosti Turingův stroj Rekurzivně spočetné jazyky Kódování, enumerace

AUTOMATY A GRAMATIKY. Pavel Surynek. Kontextové uzávěrové vlastnosti Turingův stroj Rekurzivně spočetné jazyky Kódování, enumerace AUTOMATY A 11 GRAMATIKY Pavel Surynek Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta Katedra teoretické informatiky a matematické logiky Kontextové uzávěrové vlastnosti Turingův stroj Rekurzivně

Více

Užití stejnolehlosti v konstrukčních úlohách

Užití stejnolehlosti v konstrukčních úlohách Užití stejnolehlosti v konstrukčních úlohách Příklad 1: Je dána kružnice k(o,r) a bod M ležící uvnitř kružnice k. Bodem M veďte tětivu AB, jejíž délka je bodem M rozdělena v poměru 2 : 1. Sestrojte obraz

Více

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:

Maticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: 3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...

Více

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz

A[a 1 ; a 2 ; a 3 ] souřadnice bodu A v kartézské soustavě souřadnic O xyz 1/15 ANALYTICKÁ GEOMETRIE Základní pojmy: Soustava souřadnic v rovině a prostoru Vzdálenost bodů, střed úsečky Vektory, operace s vektory, velikost vektoru, skalární součin Rovnice přímky Geometrie v rovině

Více

Kybernetika a umělá inteligence, cvičení 10/11

Kybernetika a umělá inteligence, cvičení 10/11 Kybernetika a umělá inteligence, cvičení 10/11 Program 1. seminární cvičení: základní typy klasifikátorů a jejich princip 2. počítačové cvičení: procvičení na problému rozpoznávání číslic... body za aktivitu

Více

- shodnost trojúhelníků. Věta SSS: Věta SUS: Věta USU:

- shodnost trojúhelníků. Věta SSS: Věta SUS: Věta USU: 1/12 PLANIMETRIE Základní pojmy: Shodnost, podobnost trojúhelníků Středová souměrnost, osová souměrnost, posunutí, otočení shodná zobrazení Středový a obvodový úhel Obsahy a obvody rovinných obrazců 1.

Více

Teoretická informatika TIN 2013/2014

Teoretická informatika TIN 2013/2014 Teoretická informatika TIN 2013/2014 prof. RNDr. Milan Češka, CSc. ceska@fit.vutbr.cz doc.ing. Tomáš Vojnar, Ph.D. vojnar@fit.vutbr.cz sazba Ing. A. Smrčka, Ing. P. Erlebach, Ing. P. Novosad Vysoké učení

Více

Naproti tomu gramatika je vlastně soupis pravidel, jak

Naproti tomu gramatika je vlastně soupis pravidel, jak 1 Kapitola 1 Úvod V přednášce se zaměříme hlavně na konečný popis obecně nekonečných množin řetězců symbolů dané množiny A. Prvkům množiny A budeme říkat písmena, řetězcům (konečným posloupnostem) písmen

Více

14 Porovnání přístupů

14 Porovnání přístupů 14 Porovnání přístupů Komplexní řešení jakékoliv úlohy, jakéhokoliv problému - ať již člověkem či technickým systémem (řešitelem) - má-li se jevit jako inteligentní, se musí nutně skládat ze dvou částí

Více

Pokročilé operace s obrazem

Pokročilé operace s obrazem Získávání a analýza obrazové informace Pokročilé operace s obrazem Biofyzikální ústav Lékařské fakulty Masarykovy univerzity Brno prezentace je součástí projektu FRVŠ č.2487/2011 (BFÚ LF MU) Získávání

Více

Referát z předmětu Teoretická informatika

Referát z předmětu Teoretická informatika Referát z předmětu Téma: Algoritmus Coke-Younger-Kasami pro rozpoznávání bezkontextových jazyků VŠB-TU Ostrava:Fakulta Elektrotechniky a informatiky jaro 2011 Martin Dočkal doc068 dockal.martin@gmail.com

Více

Automatická detekce anomálií při geofyzikálním průzkumu. Lenka Kosková Třísková NTI TUL Doktorandský seminář, 8. 6. 2011

Automatická detekce anomálií při geofyzikálním průzkumu. Lenka Kosková Třísková NTI TUL Doktorandský seminář, 8. 6. 2011 Automatická detekce anomálií při geofyzikálním průzkumu Lenka Kosková Třísková NTI TUL Doktorandský seminář, 8. 6. 2011 Cíle doktorandské práce Seminář 10. 11. 2010 Najít, implementovat, ověřit a do praxe

Více

Dobývání znalostí. Doc. RNDr. Iveta Mrázová, CSc. Katedra teoretické informatiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy v Praze

Dobývání znalostí. Doc. RNDr. Iveta Mrázová, CSc. Katedra teoretické informatiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy v Praze Dobývání znalostí Doc. RNDr. Iveta Mrázová, CSc. Katedra teoretické informatiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy v Praze Dobývání znalostí Pravděpodobnost a učení Doc. RNDr. Iveta Mrázová,

Více

Množinu všech slov nad abecedou Σ značíme Σ * Množinu všech neprázdných slov Σ + Jazyk nad abecedou Σ je libovolná množina slov nad Σ

Množinu všech slov nad abecedou Σ značíme Σ * Množinu všech neprázdných slov Σ + Jazyk nad abecedou Σ je libovolná množina slov nad Σ Abecedou se rozumí libovolná konečná množina Σ. Prvky abecedy nazýváme znaky (symboly) Slovo (řetězec) v nad abecedou Σ je libovolná konečná posloupnost znaků této abecedy. Prázdné posloupnosti znaků odpovídá

Více

Návody k domácí části I. kola kategorie C

Návody k domácí části I. kola kategorie C Návody k domácí části I. kola kategorie C 1. Dokažte, že pro libovolné reálné číslo a platí nerovnost Určete, kdy nastane rovnost. a 2 + 1 a 2 a + 1 a + 1. 1. Dokažte, že pro libovolná reálná čísla x,

Více

Programování. Bc. Veronika Tomsová

Programování. Bc. Veronika Tomsová Programování Bc. Veronika Tomsová Regulární výrazy Regulární výrazy slouží k porovnání a zpracovaní textu PHP podporuje syntaxi POSIX-Extended Regulární výrazy jsou velice vhodné například k ověření emailové

Více

Fakulta informačních technologií. Teoretická informatika

Fakulta informačních technologií. Teoretická informatika Vysoké učení technické v Brně Fakulta informačních technologií Teoretická informatika Třetí úkol 2 Jan Trávníček . Tato úloha je řešena Turingovým strojem, který je zobrazen na obrázku, který si můžeme

Více

Matice. Je dána matice A R m,n, pak máme zobrazení A : R n R m.

Matice. Je dána matice A R m,n, pak máme zobrazení A : R n R m. Matice lineárních zobrazení [1] Připomenutí Zobrazení A : L 1 L 2 je lineární, když A( x + y ) = A( x ) + A( y ), A(α x ) = α A( x ). Což je ekvivalentní s principem superpozice: A(α 1 x 1 + + α n x n

Více

VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY

VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY VYBRANÉ PARTIE Z NUMERICKÉ MATEMATIKY Jan Krejčí 31. srpna 2006 jkrejci@physics.ujep.cz http://physics.ujep.cz/~jkrejci Obsah 1 Přímé metody řešení soustav lineárních rovnic 3 1.1 Gaussova eliminace...............................

Více

Klasifikace předmětů a jevů

Klasifikace předmětů a jevů Klasifikace předmětů a jevů 1. Úvod Rozpoznávání neboli klasifikace je základní znak lidské činnosti. Rozpoznávání (klasifikace) předmětů a jevů spočívá v jejich zařazování do jednotlivých tříd. Třídou

Více

Teoretická informatika TIN

Teoretická informatika TIN Teoretická informatika TIN Studijní opora M. Češka, T. Vojnar, A. Smrčka 20. srpna 2014 Tento učební text vznikl za podpory projektu "Zvýšení konkurenceschopnosti IT odborníků absolventů pro Evropský trh

Více

Úloha - rozpoznávání číslic

Úloha - rozpoznávání číslic Úloha - rozpoznávání číslic Vojtěch Franc, Tomáš Pajdla a Tomáš Svoboda http://cmp.felk.cvut.cz 27. listopadu 26 Abstrakt Podpůrný text pro cvičení předmětu X33KUI. Vysvětluje tři způsoby rozpoznávání

Více

/01: Teoretická informatika(ti) přednáška 5

/01: Teoretická informatika(ti) přednáška 5 460-4005/01: Teoretická informatika(ti) přednáška 5 prof. RNDr Petr Jančar, CSc. katedra informatiky FEI VŠB-TUO www.cs.vsb.cz/jancar LS 2010/2011 Petr Jančar (FEI VŠB-TU) Teoretická informatika(ti) LS

Více

METODY DOLOVÁNÍ V DATECH DATOVÉ SKLADY TEREZA HYNČICOVÁ H2IGE1

METODY DOLOVÁNÍ V DATECH DATOVÉ SKLADY TEREZA HYNČICOVÁ H2IGE1 METODY DOLOVÁNÍ V DATECH DATOVÉ SKLADY TEREZA HYNČICOVÁ H2IGE1 DOLOVÁNÍ V DATECH (DATA MINING) OBJEVUJE SE JIŽ OD 60. LET 20. ST. S ROZVOJEM POČÍTAČOVÉ TECHNIKY DEFINICE PROCES VÝBĚRU, PROHLEDÁVÁNÍ A MODELOVÁNÍ

Více

Regulární výrazy. Definice Množina regulárních výrazů nad abecedou Σ, označovaná RE(Σ), je definována induktivně takto:

Regulární výrazy. Definice Množina regulárních výrazů nad abecedou Σ, označovaná RE(Σ), je definována induktivně takto: IB102 Automaty, gramatiky a složitost, 6. 10. 2014 1/29 Regulární výrazy Definice 2.58. Množina regulárních výrazů nad abecedou Σ, označovaná RE(Σ), je definována induktivně takto: 1 ε, a a pro každé a

Více

ANALÝZA A KLASIFIKACE DAT

ANALÝZA A KLASIFIKACE DAT ANALÝZA A KLASIFIKACE DAT prof. Ing. Jiří Holčík, CSc. INVESTICE Institut DO biostatistiky ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ a analýz III. PŘÍZNAKOVÁ KLASIFIKACE - ÚVOD PŘÍZNAKOVÝ POPIS Příznakový obraz x zpracovávaných

Více

8 Matice a determinanty

8 Matice a determinanty M Rokyta, MFF UK: Aplikovaná matematika II kap 8: Matice a determinanty 1 8 Matice a determinanty 81 Matice - definice a základní vlastnosti Definice Reálnou resp komplexní maticí A typu m n nazveme obdélníkovou

Více

Syntaxí řízený překlad

Syntaxí řízený překlad Syntaxí řízený překlad Šárka Vavrečková Ústav informatiky, FPF SU Opava sarka.vavreckova@fpf.slu.cz Poslední aktualizace: 27. listopadu 2008 Definice Překlad z jazyka L 1 do jazyka L 2 je definován množinou

Více

4.3.2 Koeficient podobnosti

4.3.2 Koeficient podobnosti 4.. Koeficient podobnosti Předpoklady: 04001 Př. 1: Která z následujících tvrzení jsou správná? a) Každé dvě úsečky jsou podobné. b) Každé dva pravoúhlé trojúhelníky jsou podobné. c) Každé dva rovnostranné

Více

Rovinná úloha v MKP. (mohou být i jejich derivace!): rovinná napjatost a r. deformace (stěny,... ): u, v. prostorové úlohy: u, v, w

Rovinná úloha v MKP. (mohou být i jejich derivace!): rovinná napjatost a r. deformace (stěny,... ): u, v. prostorové úlohy: u, v, w Rovinná úloha v MKP Hledané deformační veličiny viz klasická teorie pružnosti (mohou být i jejich derivace!): rovinná napjatost a r. deformace (stěny,... ): u, v desky: w, ϕ x, ϕ y prostorové úlohy: u,

Více

Shodná zobrazení. bodu B ležet na na zobrazené množině b. Proto otočíme kružnici b kolem

Shodná zobrazení. bodu B ležet na na zobrazené množině b. Proto otočíme kružnici b kolem Shodná zobrazení Otočení Příklad 1. Jsou dány tři různé soustředné kružnice a, b a c. Sestrojte rovnostranný trojúhelník ABC tak, aby A ležel na a, B ležel na b a C ležel na c. Řešení. Zvolíme vrchol A

Více

UČENÍ BEZ UČITELE. Václav Hlaváč

UČENÍ BEZ UČITELE. Václav Hlaváč UČENÍ BEZ UČITELE Václav Hlaváč Fakulta elektrotechnická ČVUT v Praze katedra kybernetiky, Centrum strojového vnímání hlavac@fel.cvut.cz, http://cmp.felk.cvut.cz/~hlavac 1/22 OBSAH PŘEDNÁŠKY ÚVOD Učení

Více

ZÁKLADY TEORETICKÉ INFORMATIKY

ZÁKLADY TEORETICKÉ INFORMATIKY KATEDRA INFORMATIKY PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA UNIVERZITA PALACKÉHO ZÁKLADY TEORETICKÉ INFORMATIKY PAVEL MARTINEK VÝVOJ TOHOTO UČEBNÍHO TEXTU JE SPOLUFINANCOVÁN EVROPSKÝM SOCIÁLNÍM FONDEM A STÁTNÍM ROZPOČTEM

Více

Matematika IV 9. týden Vytvořující funkce

Matematika IV 9. týden Vytvořující funkce Matematika IV 9. týden Vytvořující funkce Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky jaro 2015 Obsah přednášky 1 Vytvořující funkce a Fibonacciho čísla 2 Vytvořující funkce - připomenutí 3 Řešení

Více

Konstrukční úlohy. Růžena Blažková, Irena Budínová. Milé studentky, milí studenti,

Konstrukční úlohy. Růžena Blažková, Irena Budínová. Milé studentky, milí studenti, Konstrukční úlohy Růžena Blažková, Irena Budínová Milé studentky, milí studenti, zadání konstrukčních úloh si vylosujete v semináři nebo na přednášce, u každé konstrukční úlohy proveďte: - rozbor obsahuje

Více

Návrh algoritmů pro sémantické akce při výstavbě interpretu metodou rekurzivního sestupu

Návrh algoritmů pro sémantické akce při výstavbě interpretu metodou rekurzivního sestupu Mendelova zemědělská a lesnická univerzita v Brně Provozně ekonomická fakulta Návrh algoritmů pro sémantické akce při výstavbě interpretu metodou rekurzivního sestupu Diplomová práce Vedoucí práce: RNDr.

Více

KŘIVKY A PLOCHY. Obrázky (popř. slajdy) převzaty od

KŘIVKY A PLOCHY. Obrázky (popř. slajdy) převzaty od KŘIVKY A PLOCHY JANA ŠTANCLOVÁ jana.stanclova@ruk.cuni.cz Obrázky (popř. slajdy) převzaty od RNDr. Josef Pelikán, CSc., KSVI MFF UK Obsah matematický popis křivek a ploch křivky v rovině implicitní tvar

Více

Poznámka. Kezkoušcejemožnojítjenposplněnípožadavkůkzápočtu. Kromě čistého papíru a psacích potřeb není povoleno používat žádné další pomůcky.

Poznámka. Kezkoušcejemožnojítjenposplněnípožadavkůkzápočtu. Kromě čistého papíru a psacích potřeb není povoleno používat žádné další pomůcky. PŘÍJMENÍ a JMÉNO: Login studenta: DATUM: Písemná zkouška z předmětu Teoretická informatika (UKÁZKA struktury) Doba trvání: 90 minut Max. zisk: 62 bodů Minimální bodový zisk nutný k uznání: 25 bodů jealenutnétakédocílitalespoňminima11bodůseparátněukaždézedvoučástípísemky

Více

Vysoké učení technické v Brně Fakulta informačních technologií. Gramatiky nad volnými grupami Petr Blatný

Vysoké učení technické v Brně Fakulta informačních technologií. Gramatiky nad volnými grupami Petr Blatný Vysoké učení technické v Brně Fakulta informačních technologií Gramatiky nad volnými grupami 2005 Petr Blatný Abstrakt Tento dokument zavádí pojmy bezkontextové gramatiky nad volnou grupou a E0L gramatiky

Více

Lexikální analýza Teorie programovacích jazyků

Lexikální analýza Teorie programovacích jazyků Lexikální analýza Teorie programovacích jazyků doc. Ing. Jiří Rybička, Dr. ústav informatiky PEF MENDELU v Brně rybicka@mendelu.cz Osnova dnešní přednášky 1 Úvod do teorie překladačů kompilátor a interpret

Více

uvedení do problematiky i Bezpečnostní kódy: detekční kódy = kódy zjišťující chyby samoopravné kódy = kódy opravující chyby příklady kódů:

uvedení do problematiky i Bezpečnostní kódy: detekční kódy = kódy zjišťující chyby samoopravné kódy = kódy opravující chyby příklady kódů: I. Bezpečnostníkódy úvod základní pojmy počet zjistitelných a opravitelných chyb 2prvkové těleso a lineární prostor jednoduché bezpečnostní kódy lineární kódy Hammingův kód smysluplnost bezpečnostních

Více

Operace s obrazem II

Operace s obrazem II Operace s obrazem II Biofyzikální ústav Lékařské fakulty Masarykovy univerzity Brno prezentace je součástí projektu FRVŠ č.2487/2011 Osnova Matematická morfologie Segmentace obrazu Klasifikace objektů

Více

MATEMATIKA 8. ročník II. pololetí

MATEMATIKA 8. ročník II. pololetí MATEMATIKA 8. ročník II. pololetí Úpravy algebraických výrazů: Sčítání a odčítání celistvých výrazů: 1.A a) 5a + ( 3a + 7 ) b) (-3a 4b ) - ( 12a + 6 ) c) ( -8a + 3 ) ( -15a 4 ) 1.B a) 4x + ( 4x + 7 ) b)

Více

Chybějící atributy a postupy pro jejich náhradu

Chybějící atributy a postupy pro jejich náhradu Chybějící atributy a postupy pro jejich náhradu Jedná se o součást čištění dat Čistota dat je velmi důležitá, neboť kvalita dat zásadně ovlivňuje kvalitu výsledků, které DM vyprodukuje, neboť platí Garbage

Více

AUTOMATY A GRAMATIKY

AUTOMATY A GRAMATIKY AUTOMATY A 1 GRAMATIKY Pavel Surynek Univerzita Karlova v Praze Matematicko-fyzikální fakulta Katedra teoretické informatiky a matematické logiky Stručný přehled přednášky Automaty Formální jazyky, operace

Více

66. ročníku MO (kategorie A, B, C)

66. ročníku MO (kategorie A, B, C) Příloha časopisu MATEMATIKA FYZIKA INFORMATIKA Ročník 25 (2016), číslo 3 Úlohy I. kola (domácí část) 66. ročníku MO (kategorie A, B, C) KATEGORIE A A I 1 Najděte všechna prvočísla p, pro něž existuje přirozené

Více

Kapitola 11: Vektory a matice 1/19

Kapitola 11: Vektory a matice 1/19 Kapitola 11: Vektory a matice 1/19 2/19 Prostor R n R n = {(x 1,..., x n ) x i R, i = 1,..., n}, n N x = (x 1,..., x n ) R n se nazývá vektor x i je i-tá souřadnice vektoru x rovnost vektorů: x = y i =

Více

Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j.

Součin matice A a čísla α definujeme jako matici αa = (d ij ) typu m n, kde d ij = αa ij pro libovolné indexy i, j. Kapitola 3 Počítání s maticemi Matice stejného typu můžeme sčítat a násobit reálným číslem podobně jako vektory téže dimenze. Definice 3.1 Jsou-li A (a ij ) a B (b ij ) dvě matice stejného typu m n, pak

Více

4. Trojúhelníkový rozklad p. 1/20

4. Trojúhelníkový rozklad p. 1/20 4. Trojúhelníkový rozklad 4. Trojúhelníkový rozklad p. 1/20 4. Trojúhelníkový rozklad p. 2/20 Trojúhelníkový rozklad 1. Permutační matice 2. Trojúhelníkové matice 3. Trojúhelníkový (LU) rozklad 4. Výpočet

Více

Formální jazyky. Z. Sawa (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informatiky 2. března / 32

Formální jazyky. Z. Sawa (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informatiky 2. března / 32 Formální jazyky Z. Sawa (VŠB-TUO) Úvod do teoretické informatiky 2. března 2017 1/ 32 Abeceda a slovo Definice Abeceda je libovolná neprázdná konečná množina symbolů(znaků). Poznámka: Abeceda se často

Více

Poznámka. Kezkoušcejemožnojítjenposplněnípožadavkůkzápočtu. Kromě čistého papíru a psacích potřeb není povoleno používat žádné další pomůcky.

Poznámka. Kezkoušcejemožnojítjenposplněnípožadavkůkzápočtu. Kromě čistého papíru a psacích potřeb není povoleno používat žádné další pomůcky. PŘÍJMENÍ a JMÉNO: Login studenta: DATUM: Písemná zkouška z předmětu Teoretická informatika (UKÁZKA) Doba trvání: 90 minut Max. zisk: 65 bodů Minimální bodový zisk nutný k uznání: 25 bodů (jak je ovšem

Více

Čas potřebný k prostudování učiva kapitoly: 1,25 hodiny

Čas potřebný k prostudování učiva kapitoly: 1,25 hodiny Fyzikální praktikum III 15 3. PROTOKOL O MĚŘENÍ V této kapitole se dozvíte: jak má vypadat a jaké náležitosti má splňovat protokol o měření; jak stanovit chybu měřené veličiny; jak vyhodnotit úspěšnost

Více

Rozhraní pro práci s XML dokumenty. Roman Malo

Rozhraní pro práci s XML dokumenty. Roman Malo Rozhraní pro práci s XML dokumenty Roman Malo Práce s XML dokumenty Datově a dokumentově orientované XML dokumenty Problém preference elementů a atributů Strom elementů Strom uzlů Základní zpracování dokumentů

Více

ROZPOZNÁNÍ TITULU GRAMOFONOVÉ DESKY PODLE KRÁTKÉ UKÁZKY

ROZPOZNÁNÍ TITULU GRAMOFONOVÉ DESKY PODLE KRÁTKÉ UKÁZKY ROZPOZNÁNÍ TITULU GRAMOFONOVÉ DESKY PODLE KRÁTKÉ UKÁZKY V. Moldan, F. Rund Katedra radioelektroniky, fakulta elektrotechnická České vysoké učení technické v Praze, Česká republika Abstrakt Tento článek

Více

Cvičení 5 - Inverzní matice

Cvičení 5 - Inverzní matice Cvičení 5 - Inverzní matice Pojem Inverzní matice Buď A R n n. A je inverzní maticí k A, pokud platí, AA = A A = I n. Matice A, pokud existuje, je jednoznačná. A stačí nám jen jedna rovnost, aby platilo,

Více

8) Jaké jsou důvody pro použití víceprůchodového překladače Dříve hlavně kvůli úspoře paměti, dnes spíše z důvodu optimalizace

8) Jaké jsou důvody pro použití víceprůchodového překladače Dříve hlavně kvůli úspoře paměti, dnes spíše z důvodu optimalizace 1) Charakterizujte křížový překladač Překlad programu probíhá na jiném procesoru, než exekuce. Hlavním důvodem je náročnost překladače na cílovém stroji by ho nemuselo být možné rozběhnout. 2. Objasněte

Více

Popište a na příkladu ilustrujte(rychlý) algoritmus testující, zda dané dva automaty jsou izomorfní.

Popište a na příkladu ilustrujte(rychlý) algoritmus testující, zda dané dva automaty jsou izomorfní. Teoretická informatika referáty 1 Referátč.1 Vysvětlete, co znamená tvrzení, že operace levého kvocientu je asociativní. Pak toto tvrzení pečlivě dokažte či vyvraťte. Dálevysvětlete,pročprokonečnýautomat

Více

Matematika B101MA1, B101MA2

Matematika B101MA1, B101MA2 Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet

Více

7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice

7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice 7. Rozdělení pravděpodobnosti ve statistice Statistika nuda je, má však cenné údaje, neklesejte na mysli, ona nám to vyčíslí Jednou z úloh statistiky je odhad (výpočet) hodnot statistického znaku x i,

Více

PROGRAMOVACÍ JAZYKY A PŘEKLADAČE LEXIKÁLNÍ ANALÝZA

PROGRAMOVACÍ JAZYKY A PŘEKLADAČE LEXIKÁLNÍ ANALÝZA PROGRAMOVACÍ JAZYKY A PŘEKLADAČE LEXIKÁLNÍ ANALÝZA 2011 Jan Janoušek BI-PJP Evropský sociální fond Praha & EU: Investujeme do vaší budoucnosti LEXIKÁLNÍ ANALÝZA Kód ve vstupním jazyku Lexikální analyzátor

Více

Testování a spolehlivost. 6. Laboratoř Ostatní spolehlivostní modely

Testování a spolehlivost. 6. Laboratoř Ostatní spolehlivostní modely Testování a spolehlivost ZS 2011/2012 6. Laboratoř Ostatní spolehlivostní modely Martin Daňhel Katedra číslicového návrhu Fakulta informačních technologií ČVUT v Praze Příprava studijního programu Informatika

Více

Detekce a rozpoznávání mincí v obraze

Detekce a rozpoznávání mincí v obraze POV prezentace projektu Projekt pro předmět POV, ZS 2012 Varianta projektu č. 12: Detekce a rozpoznávání mincí v obraze Autoři: Adam Crha, xcrhaa00 Jan Matyáš, xmatya02 Strana 1 z 11 Řešený problém a cíl

Více

12. Booleova algebra, logická funkce určitá a neurčitá, realizace logických funkcí, binární kódy pro algebraické operace.

12. Booleova algebra, logická funkce určitá a neurčitá, realizace logických funkcí, binární kódy pro algebraické operace. 12. Booleova algebra, logická funkce určitá a neurčitá, realizace logických funkcí, binární kódy pro algebraické operace. Logická proměnná - proměnná nesoucí logickou hodnotu Logická funkce - funkce přiřazující

Více

4.2.5 Orientovaný úhel II

4.2.5 Orientovaný úhel II .2.5 Orientovaný úhel II Předpoklady: 20 Minulá hodina Orientovaný úhel rozlišujeme: směr otáčení (proti směru hodinových ručiček je kladný směr), počáteční rameno. Každý úhel má nekonečně mnoho velikostí:...,

Více

= 8 25 + 19 12 = 32 43 32 = 11. 2 : 1 k > 0. x k + (1 x) 4k = 2k x + 4 4x = 2 x = 2 3. 1 x = 3 1 2 = 2 : 1.

= 8 25 + 19 12 = 32 43 32 = 11. 2 : 1 k > 0. x k + (1 x) 4k = 2k x + 4 4x = 2 x = 2 3. 1 x = 3 1 2 = 2 : 1. 4 4 = 8 8 8 = 5 + 19 1 = 4 = 11 : 1 k > 0 k 4k x 1 x x k + (1 x) 4k = k x + 4 4x = x = x 1 x = 1 = : 1. v h h s 75 v 50 h s v v 50 s h 75 180 v h 90 v 50 h 180 90 50 = 40 s 65 v 80 60 80 80 65 v 50 s 50

Více

Matice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n

Matice. Modifikace matic eliminační metodou. α A = α a 2,1, α a 2,2,..., α a 2,n α a m,1, α a m,2,..., α a m,n [1] Základní pojmy [2] Matice mezi sebou sčítáme a násobíme konstantou (lineární prostor) měníme je na jiné matice eliminační metodou násobíme je mezi sebou... Matice je tabulka čísel s konečným počtem

Více

Betonové konstrukce (S) Přednáška 3

Betonové konstrukce (S) Přednáška 3 Betonové konstrukce (S) Přednáška 3 Obsah Účinky předpětí na betonové prvky a konstrukce Silové působení kabelu na beton Ekvivalentní zatížení Staticky neurčité účinky předpětí Konkordantní kabel, Lineární

Více

Automaty a gramatiky. Roman Barták, KTIML. Chomského normální forma

Automaty a gramatiky. Roman Barták, KTIML. Chomského normální forma 10 Automaty a gramatiky Roman Barták, KTIML bartak@ktiml.mff.cuni.cz http://ktiml.mff.cuni.cz/~bartak Chomského normální forma Podívejme se nyní na derivační stromy. Jak odhadnout výšku stromu podle délky

Více

MATEMATIKA PRO PŘÍRODNÍ VĚDY LINEÁRNÍ ALGEBRA, DIFERENCIÁLNÍ POČET MPV, LADP TUL, ZS 2009/10

MATEMATIKA PRO PŘÍRODNÍ VĚDY LINEÁRNÍ ALGEBRA, DIFERENCIÁLNÍ POČET MPV, LADP TUL, ZS 2009/10 1 MATEMATIKA PRO PŘÍRODNÍ VĚDY LINEÁRNÍ ALGEBRA, DIFERENCIÁLNÍ POČET 2 koncepce/slides: Jan Picek přednášející: Jiří Veselý KAP, tel. 485352290, budova H konzul. hodiny: dle úmluvy e-mail: jvesely@karlin.mff.cuni.cz

Více

č č ň Ž ť ň Ž č Í č Ž Í č Í ň č ň Ž č č Ď ň Í Š č ň č Ž ň ň ň ň ň č Ž č ť Ů č ň ň č Í č ň Ó č č ň č Í č č ň Ď ň č č ň ň Í č č č Ž Ž č Ž Ž ň Ž ň ň Ó č ň ň Ž č č č ň ď Ž ň Íč ť č Ů Ž č č č Í ň Í ň č č ň

Více

USNESENÍ RADY PARDUBICKÉHO KRAJE R/1471/ jednání konané dne

USNESENÍ RADY PARDUBICKÉHO KRAJE R/1471/ jednání konané dne R/1471/10 Informace hejtmana a radních o činnosti Rada Pk projednala předloženou zprávu a 1. b ere na vědomí přednesené informace hejtmana a radních o činnosti od posledního jednání rady v. r. R/1472/10

Více

Syntetická geometrie I

Syntetická geometrie I Shodnost Pedagogická fakulta 2016 www.karlin.mff.cuni.cz/~zamboj/ Vzdálenost dvou bodů Necht A, B, C ρ. Vzdálenost dvou bodů A, B v rovině je číslo AB a platí AB 0 AB = 0 A = B AB = BA pozitivně definitní

Více

Automatické vyhledávání informace a znalosti v elektronických textových datech

Automatické vyhledávání informace a znalosti v elektronických textových datech Automatické vyhledávání informace a znalosti v elektronických textových datech Jan Žižka Ústav informatiky & SoNet RC PEF, Mendelova universita Brno (Text Mining) Data, informace, znalost Elektronická

Více

Modely datové. Další úrovní je logická úroveň Databázové modely Relační, Síťový, Hierarchický. Na fyzické úrovni se jedná o množinu souborů.

Modely datové. Další úrovní je logická úroveň Databázové modely Relační, Síťový, Hierarchický. Na fyzické úrovni se jedná o množinu souborů. Modely datové Existují různé úrovně pohledu na data. Nejvyšší úroveň je úroveň, která zachycuje pouze vztahy a struktury dat samotných. Konceptuální model - E-R model. Další úrovní je logická úroveň Databázové

Více

1. Vlastnosti diskretních a číslicových metod zpracování signálů... 15

1. Vlastnosti diskretních a číslicových metod zpracování signálů... 15 Úvodní poznámky... 11 1. Vlastnosti diskretních a číslicových metod zpracování signálů... 15 1.1 Základní pojmy... 15 1.2 Aplikační oblasti a etapy zpracování signálů... 17 1.3 Klasifikace diskretních

Více

Autor: Mgr. Lukáš Saulich Název školy: Gymnázium Jana Nerudy, škola hl. města Prahy. Předmět, mezipředmětové vztahy: matematika a její aplikace

Autor: Mgr. Lukáš Saulich Název školy: Gymnázium Jana Nerudy, škola hl. města Prahy. Předmět, mezipředmětové vztahy: matematika a její aplikace Název: Rotace Autor: Mgr. Lukáš Saulich Název školy: Gymnázium Jana Nerudy, škola hl. města Prahy Předmět, mezipředmětové vztahy: matematika a její aplikace Ročník: 3. (1. ročník vyššího gymnázia) Tématický

Více

Implementace LL(1) překladů

Implementace LL(1) překladů Překladače, přednáška č. 6 Ústav informatiky, FPF SU Opava sarka.vavreckova@fpf.slu.cz Poslední aktualizace: 30. října 2007 Postup Programujeme syntaktickou analýzu: 1 Navrhneme vhodnou LL(1) gramatiku

Více

Kapitola 11: Vektory a matice:

Kapitola 11: Vektory a matice: Kapitola 11: Vektory a matice: Prostor R n R n = {(x 1,, x n ) x i R, i = 1,, n}, n N x = (x 1,, x n ) R n se nazývá vektor x i je i-tá souřadnice vektoru x rovnost vektorů: x = y i = 1,, n : x i = y i

Více

OSTRAVSKÁ UNIVERZITA V OSTRAVĚ

OSTRAVSKÁ UNIVERZITA V OSTRAVĚ OSTRAVSKÁ UNIVERZITA V OSTRAVĚ TEORETICKÉ ZÁKLADY INFORMATIKY II HASHIM HABIBALLA OSTRAVA 2003 Tento projekt byl spolufinancován Evropskou unií a českým státním rozpočtem Recenzenti: Doc. Ing. Miroslav

Více

Soustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová.

Soustavy. Terminologie. Dva pohledy na soustavu lin. rovnic. Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová. [1] Terminologie [2] Soustavy lineárních rovnic vlastnosti množin řešení metody hledání řešení nejednoznačnost zápisu řešení Definice: Necht A = (a i,j ) R m,n je matice, b R m,1 je jednosloupcová matice.

Více

Co je obsahem numerických metod?

Co je obsahem numerických metod? Numerické metody Úvod Úvod Co je obsahem numerických metod? Numerické metody slouží k přibližnému výpočtu věcí, které se přesně vypočítat bud nedají vůbec, nebo by byl výpočet neúměrně pracný. Obsahem

Více

OSTRAVSKÁ UNIVERZITA V OSTRAVĚ

OSTRAVSKÁ UNIVERZITA V OSTRAVĚ OSTRAVSKÁ UNIVERZITA V OSTRAVĚ REGULÁRNÍ A BEZKONTEXTOVÉ JAZYKY II HASHIM HABIBALLA OSTRAVA 2005 Recenzenti: RNDr. PaedDr. Eva Volná, PhD. Mgr. Rostislav Fojtík Název: Regulární a bezkontextové jazyky

Více

CVIČNÝ TEST 35. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17

CVIČNÝ TEST 35. OBSAH I. Cvičný test 2. Mgr. Tomáš Kotler. II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 CVIČNÝ TEST 35 Mgr. Tomáš Kotler OBSAH I. Cvičný test II. Autorské řešení 6 III. Klíč 15 IV. Záznamový list 17 I. CVIČNÝ TEST 1 Vypočtěte [( 3 3 ) ( 1 4 5 3 0,5 ) ] : 1 6 1. 1 bod VÝCHOZÍ TEXT K ÚLOZE

Více

11 Vzdálenost podprostorů

11 Vzdálenost podprostorů 11 Vzdálenost podprostorů 11.1 Vzdálenost bodů Eukleidovský bodový prostor E n = afinní bodový prostor, na jehož zaměření je definován skalární součin. (Pech:AGLÚ/str.126) Definováním skalárního součinu

Více