Fyzikální a matematické základy hudby
|
|
- Ladislava Machová
- před 8 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Konzervatoř P. J. Vejvanovského Kroměříž Materiály pro výuku IKT v hudbě (01/016) Fyzikální a matematické základy hudby Adam Šiška 1 Stojaté vlnění na struně Již staří Babyloňané, Sumerové a Číňané1 desítky století př. n. l. znali zákonitosti mezi tónem a délkou struny, která ho vydává. Nelze si nepovšimnout zvláštní podobnosti tónů vydávaných strunami, z nichž jedna má poloviční délku než druhá (toho nejsnáze docílíme tak, že delší strunu uprostřed přidržíme). Tyto tóny dnes pojmenováváme stejně, liší se o oktávu. Dalšími libozvučnými intervaly jsou kvinta a kvarta, na nichž je založeno pythagorejské ladění. Ukazuje se, že jednoduché poměry délek strun dávají jednoduché (čisté, přirozené) souzvuky, z těchto poznatků vychází didymické ladění. V novověku a moderní době se ukazuje komplexnost vlnění struny v podobě vyšších harmonických frekvencí, nebo symetrie Chladniho 4 obrazců vytvářených vlněním desky. Pro frekvenci f kmitání struny délky l platí: f = n F l ρ F je síla napnutí struny, ρ je hustota materiálu struny a n je parametr vyšší harmonické frekvence. Pro základní frekvenci bereme n = 1. 1 např. Lihui Yang and Deming An, with Jessica Anderson Turner, Handbook of Chinese Mythology. Santa Barbara, California: ABC CLIO, 00, strana. 7 (viz heslo Ling Lung v encyklopedii Wikipedia). Pythagoras ze Samu řec. Πυθαγόρας ο Σάμιος (70 10 př. n. l) Didymos řec. Δίδυμος (1. stol. př. n. l.) 4 Ernst Chladni (176 17) 1
2 Zjednodušeně vidíme nepřímou úměru mezi délkou struny a frekvencí tónu, který vydává: f 1 l Dále vidíme, že struna nekmitá pouze s jednou frekvencí, ale jako součet mnoha různých kmitání (tzv. alikvotních tónů, vyšších harmonických frekvencí), které jsou n-násobky základní frekvence. Například pro základní frekvenci 110 Hz dostáváme frekvence: 110 Hz, 0 Hz, 0 Hz, 440 Hz, 0 Hz, 660 Hz, 770 Hz, 0 Hz, atd... Což jsou alikvotní tóny od A, tj. postupně: A, a, e, a, cis, e, g, a, atd... Chladniho vzorce Stojaté vlnění je charakteristické přítomností nehybných sedlových bodů. V případě chvějících se ploch tyto sedlové body tvoří nejrůznější křivky. Obrazce vytvářené těmito křivkami lze vytvořit právě díky nehybnosti určitých částí plochy (např. na zadní stěně kytary), protože pouze v těchto místech bude mít možnost udržet se jemný prášek, kterým plochu před daným kmitáním posypeme. Je vhodné plochu rozeznívat digitálním tónovým generátorem, než smyčcem jako v případě původního Chladniho experimentu. Kromě toho že touto metodou jistým způsobem vizualizujeme zvuk, lze ji například využít ke kontrole správného chování částí hudebních nástrojů při jejich výrobě. Obrázek 1: Obrazce (angl. patterns nebo figures) jsou překvapivě složité a přitom symetrické a pravidelné. Die Akustik. Lepzig html (cit )
3 Efekt chybějícího základního tónu Při reproduczi zvuku lze velmi vhodně využít faktu, že lidské ucho vnímá sadu alikvótních tónů (i když v nich některé chybí) jako tón určité barvy o základní (nejnižší) frekvenci. Většina nástrojů umožňuje ovlivňovat zastoupení alikvót v tónu pomocí různých technik a barvu tónu tak upravovat. Digitálně lze ale vytvořit zvuk sestavený z libovolných alikvót, třeba bez první (nejnižší).to jak hluboký tón může reproduktor generovat je dáno mimo jiné i jeho průměrem. V úvodu zmíněná výhoda pak spočívá v tom, že lze sestavit reproduktor o malém průměru a pro generování hlubokých tónů používat modifikované tóny bez základní frekvence, které lidské ucho vnímá jako tón o základní frekvenci (i když opravdu není mezi produkovanými frekvencemi zastoupena 6 ). Kvintové (pythagorejské) ladění Po oktávě : 1 je nejčistším souzvukem kvinta :. Obrácená kvinta, tj. kvinta sestupná, je pak intervalem kvarty 4 :. Po kvintách a kvartách projdeme postupně všechny tóny. Nejdříve odvodíme durovou diatoniku, poté základní mollovou diatoniku a po dopočítání zbývajících tónů chromatické stupnice dojdeme k tzv. pythagorejskému komatu. První stupeň označený I je pro nás základní tón s poměrem 1 : 1. Poslední stupeň označený VIII je se základním tónem v poměru oktávy, tj. : 1. Od prvního stupně je o kvintu vzdálený pátý (V) stupeň, jeho poměr k základnímu tónu je tedy :. Další kvintou nahoru dostaneme druhý stupeň stupnice v druhé oktávě, proto musíme poměr ( : ) ( : ) = : 4 snížit o oktávu, tj. podělit dvěma. Druhý (II) stupěn diatoniky je tedy se základním tónem v poměru :. Následně můžeme pokračovat kvintou od druhého stupně. Získáme tak poměr šestého stupně k základnímu tónu ( : ) ( : ) = 7 : 16. Další kvintou se opět přesouváme do druhé oktávy, výsledný poměr tedy musíme dvakrát zmenšit. Třetí stupeň durové diatoniky (III) má tedy poměr k základnímu tónu 1 : 64, což je polovina z (7 : 16) ( : ) = 1 :. Od třetího stupně získáme pomocí kvinty sedmý stupeň (VII) v téže oktávě: (1 : 64) ( : ) = 4 : 1. Do osmi tónů durové diatoniky nám schází pouze čtvrtý stupeň. Ten nezískáme, pokud budeme postupovat tímto směrem. Jak už bylo řečeno, čtvrý stupeň s osmým svírají spolu interval kvinty (kvarta je sestupná kvinta). Poměr čtvrtého stupně (IV) tedy získáme dělením : ( : ) = 4 :. Všechny stupně jsou 6 V angličtině se hovoří o Missing fundamental. karchung/phonetics II page thirteen.htm (cit )
4 znázorněny v tabulce. I II III IV V VI VII VIII 1 : 1 : 64 4 : : 7 : 16 4 : 1 Tabulka 1: Poměry tónů v durové diatonice. Pro základní mollovou stupnici potřebujeme odvodit snížený třetí, šestý a sedmý stupeň durové diatoniky. Pokud budeme postupovat po kvintách od čtvrtého stupně durové stupnice sestupně, dostáváme: (4 : ) : ( : ) = :. Tento poměr je pod základním tónem, jeho zvýšením o oktávu získáme sedmý stupeň (VII ) v poměru k základnímu tónu 16 :. O další kvintu níže dostáváme třetí stupeň (III ) v poměru (16 : ) : ( : ) = : 7. Pokud postupujeme dále dostáváme pro šestý stupeň (VI ) poměr 1 : 1 jako dvojnásobek poměru ( : 7) : ( : ) = 64 : 1. I II III IV V VI VII VIII 1 : : 7 4 : : 1 : 1 16 : Tabulka : Poměry tónů v mollové diatonice. K odvození chromatické stupnice nám tedy zbývají dva tóny, snížený druhý a pátý stupeň. Pokračováním v odvozování mollové diatoniky dostáváme stupeň II jako (1 : 1) : ( : ) = 6 : 4. Dále stupeň V jako dvojnásobek poměru (6 : 4) : ( : ) = 1 : 7, tedy 104 : 7. Pokud se vrátíme k postupu po kvintách nahoru a poslednímu odvozenému stupni, tj. VII stupeň durové diatoniky s poměrem 4 : 1, měli bychom jako následující dostat stupeň IV s poměrem 7 : 1, což je polovina z poměru (4 : 1) ( : ) = 7 : 6. Stupeň IV je enharmonicky totožný se stupněm V. Ale jejich poměry totožné nejsou. Poměr mezi odvozenými stupni IV a V nazýváme pythagorejské koma. Přesně se jedná o číslo: = = 1441 = 1, Chromatická stupnice v pythagorejském ladění je tedy nutně nejednoznačný pojem. Přesto podáváme tabulky odvozených stupňů. 4
5 I II II III III IV V /IV V VI VI VII VII VIII Tabulka : Poměry tónů v pythagorejské chromatice. Čisté (didymické) ladění Druhé čisté ladění, které v tomto textu představíme, vychází z alikvotních tónů. Budou nás vždy zajímat poměry sousedních alikvotních tónů, jež určují čisté intervaly. Z první části textu víme, že četnost kmitání jednotlivých tónů získáme jako násobky základního tónu. Poměr mezi druhým alikvotním tónem a základním tónem je tedy : 1 a tento interval označíme jako čistou oktávu. Poměr mezi třetím a druhým alikvotním tónem je :, označíme jej jako čistou kvintu. Mezi třetím a čtvrtým alikvotním tónem je interval čisté kvarty, její poměr je 4 :. Další dva poměry : 4 a 6 : při výčtu alikvotních tónů odpovídají (čisté) velké a (čisté) malé tercii. Následuje sedmý alikvotní tón, který v odvozování přeskočíme a pokračujeme osmým až desátým alikvotním tónem. Jak mezi osmým a devátým, tak mezi devátým a desátým alikvotním tónem je rozsah celého tónu. V didymickém ladění uvažujeme oba tyto poměry : a 10 : a označíme je jako velký a malý celý tón. Interval jednoho půltónu nakonec získáme jako poměr šestnáctého a patnáctého alikvotního tónu, (čistý) půltón je tedy určen poměrem 16 : 1. Alikvota Průběh tónu Interval n = } oktáva } kvinta } kvarta } v. tercie } m. tercie } celý tón Tabulka 4: Prvních devět alikvotních tónů a odvozené intervaly. Při konstrukci didymického ladění vyjdeme od čisté oktávy, přidáme kvintu a kvartu, druhý stupeň jako velký celý tón. Podle tónorodu (dur, moll) doplníme velkou nebo malou tercii. Zbývá získat šestý a sedmý stupeň durové diatoniky,
6 které spočítáme pomocí velké tercie od čtvrtého a pátého stupně. Šestý stupeň má tedy poměr (4 : ) ( : 4) = : a sedmý stupeň má poměr ( : ) ( : 4) = 1 :. Poměry všech stupňů durové diatoniky v čistém (didymickém) ladění jsou v následující tabulce. I II III IV V VI VII VIII 1 : : 4 4 : : : 1 : Tabulka : Poměry tónů v durové diatonice. Při odvození mollové diatoniky postupujeme obdobně. Šestý stupeň získáme jako malou tercii od čtvrtého stupně (4 : ) (6 : ) = :. Sedmý stupeň mollové diatoniky je jeden (velký) celý tón pod oktávou ( : 1) : ( : ) = 16 :. Ladění mollové diatoniky shrnuje následující tabulka. I II III IV V VI VII VIII 1 : 6 : 4 : : : 16 : Tabulka 6: Poměry tónů v mollové diatonice. Pokud spočítáme poměry sousedních tónů v durové nebo mollové diatonice, vyjdou tři různé vzdálenosti a to velký celý tón, malý celý tón a půltón. V didymickém ladění lze zkonstruovat i chromatickou stupnici. Chybí nám snížený druhý stupeň a snížený pátý stupeň (teoreticky lépe zvýšený první a čtvrtý stupeň). Snížený druhý stupeň je od základního tónu stupnice vzdálený o čistý půltón 16 : 1. Stupeň mezi kvartou a kvintou získáme jako velkou tercii od druhého stupně, tj. ( : ) ( : 4) = 4 :. Tento poměr v hudbě označovaný jako tritón je nejméně znělým intervalem didymického ladění (nejde o jednoduchý poměr malých čísel, srv. s pythagorejským laděním). Poměry všech tónů chromatické stupnice ukazuje tabulka. I I II III III IV IV V VI VI VII VII VIII Tabulka 7: Poměry tónů v didymické chromatice. Pokud spočítáme poměry sousedních tónů v chromatické stupnici, získáme tři různé půltónové vzdálenosti a to čistý půltón a dva chromatické půltóny, velký 1 : 1 a malý : 4. Narozdíl od pythagorejského ladění nejsou v didymickém ladění všechny kvinty čisté. Tyto tzv. vlčí intervaly významně komplikují, ne-li znemožňují, hru v různých tóninách bez přeladění nástroje. 6
7 4 Rovnoměrné (temperované) ladění Ukazuje se, že pomocí čistých intervalů nelze vytvořit ladění, ve kterém nebudou změněny vzdálenosti mezi tóny v různých tóninách. Tento problém je způsoben tím, že žádný čistý interval nelze rozdělit přesně na polovinu tak, aby bylo možné tuto polovinu vyjádřit jako poměr dvou celých čísel (zlomek, racionální číslo). Pro úplnost výkladu si tento fakt prokážeme. Věta: není racionální. Důkaz: (Sporem) Předpokládejme opak dokazovaného tvrzení, tedy je racionální. Předpokládáme, že odmocninu ze dvou lze vyjádřit jako poměr dvou nesoudělných čísel (zlomek v základním tvaru): = p q. Umocněním obou stran rovnice dostáváme: = ( ) p = p q q Po jednoduché úpravě lze vidět, že p a tedy i p jsou sudá čísla. Prokázání faktu, že mocnina sudého (resp. lichého) čísla je vždy číslo sudé (resp. liché) ponecháváme čtenáři. p = q Jelikož je číslo p sudé, lze ho vyjádřit jako dvojnásobek jiného čísla, tj. p = r. Po dosazení do předchozí rovnice dostáváme: ( r) = q 4 r = q r = q Z poslední odvozené rovnice vidíme, že i číslo q, a tedy i q jsou čísla sudá. Máme tedy, že p i q jsou sudá čísla, to je ale ve sporu s předpokladem, že to jsou čísla nesoudělná (v poměru tvoří zlomek v základním tvaru). Podle principu důkazu sporem tedy dostáváme platnost dokazovaného tvrzení, že odmocnina ze dvou není racionální číslo. Lze tedy vidět, že nelze vytvořit ladění splňující požadavek na čistotu všech intervalů v různých tóninách. V další textu tedy slevíme z nároku na dokonalou čistotu souzvuků vycházející z vyšších harmonických frekvencí. Nové ladění odvodíme přímo z hudební teorie dvanáctitónové chromatické stupnice, složené ze stupňů oddělených vždy stejně velkým intervalem půltónu (a platí, že složením dvou půltónů dostáváme celý tón). Princip rovnoměrného ladění tedy vychází z jednoduché úvahy. Jediný čistý interval v ladění je oktáva (poměr :1), která je rozdělena na dvanáct stejných 7
8 částí. Formálně lze tento fakt vyjádřit následující rovnicí (půltónový interval označíme x): x 1 = Odmocněním dostáváme, že velikost jednoho půltónu je: x = 1 1, Rovnoměrnou kvintu od nějakého základního tónu tedy dostaneme pokud přinásobíme získané číslo x sedm krát. Přesně jde o hodnotu: ( x 7 = 1 ) 7 = 7 1 = 1, Jak je vidět z příkladu, rovnoměrná kvinta a čistá kvinta (tj. : = 1, ) se nepatrně liší. Abychom mohli tyto rozdíly nějak názorně vyjádřit, zavedeme v další části jednotku cent. Pro názornost také uvádíme frekvence tónů diatonické durové stupnice od tzv. komorního A, které má stanovenu frekcenci 440 Hz 7. A H C D E F G A 440 4, 4, 7 7, 6, 6 7, 0, 61 0 Tabulka : Frekvence tónů (v Hz) v diatonice A dur. Zbývá doplnit, odkud se v názvu kapitoly (a potažmo ladění) vzalo slovo temperované. Tento termín vznikl historicky díky vývoji, kterým ladění od pozdího středověku do novověku procházelo. Dávno před vynálezem klavíru bylo naprosto zřejmé, že k uplatnění různých tónin v hudbě (která začala nově podstatně záviset na rozlišení velké a malé tercie a odtud tónorodu dur, moll) přirozené čisté ladění nestačí. Na úvahu s dvanáctou odmocninou oktávy pro určení půltónu ale bylo také brzo. V případě didymického ladění jsme viděli, že disonantních intervalů není v základním ladění mnoho. První pokusy jak vyladit komplikovanější nástroje, tak vycházely z jemného upravování (temperování) těchto vlčích intervalů, aby se dosáhlo nejlepšího kompromisu pro všechny tóniny. Takto vzniklo mnoho nejrůznější přístupů, např. ladění Parejovo, Schlickovo, Grammateovo nebo nejrozšířenější středotónové ladění (viz encyklopedii Wikipedia). Měření intervalů v centech Pro měření a porovnávání intervalů je vhodné zavést logaritmickou jednotku cent. Označení (podobně jako u některých měn) plyne z rozdělení jednoho 7 Od konference ISO v Londýně v roce 1, dnes ISO 16:17. Fortepiano, Bartolomeo Cristofori di Francesco, začátek 1. století.
9 půltónu jako základní vzdálenosti v rovnoměrném ladění na sto stejných částí. Jeden cent je setina půltónu, sto centů je půltón. Celý tón má velikost 00 centů, rovnoměrná kvarta 00 centů, rovnoměrná kvinta 700 centů. Oktáva 100 centů, jelikož ji tvoří 1 půltónů. Vyvstává otázka, jak určit rozsah intervalu (reálného čísla) v centech obecně a následně pak určit o kolik centů se například liší čistá a rovnoměrná kvinta. Bez dalšího vysvětlení (připomeneme pouze, že díky násobení intervalů se jedná o logaritmickou škálu podobně jako v případě decibelu [db]) uvádíme vzorec pro výpočet centů z poměru frekvencí f /f 1 : ( ) f v = 100 log f 1 Poslední tabulka uvádí v centech rozměry intervalů různých ladění představených v tomto textu. Ladění Kvinta Kvarta Velká tercie Malá tercie Celý tón Pythagorejské 701,6 4,04 407, 4,1 0,1 Didymické 701,6 4,04 6,1 1,64 0,1 Rovnoměrné Tabulka : Velikosti intervalů v centech. 6 Dvakrát hlasitěji? Na závěr textu uvedeme pár zajímavých experimentu osvětlujících problém skládání (interference) zvuků. Představme si zástup stovky flétnistů 10, kteří čekají na povel k hraní, zatím je ticho (zde je vhodné upozornit na pojem práh sluchu). Rozdíl mezi tichem a tím, když kterýkoliv jeden z flétnistů nasadí libovolný tón je markantní. Když necháme nastoupit druhou flétnu na stejném tónu, je výsledný zvuk dvakrát silnější (nebo hlasitější)? Při postupném přidávání dalších fléten do souzvuku tvořeného stejnými tóny je stále jasnější, že o dvojnásobné, trojnásobné, atd. hlasitosti se mluvit nedá. Když začne hrát stý flétnista, rozdíl stěží poznáme. Přitom sám by dokázal způsobit stejnou změnu jako první v tomto pokusu. Nechceme ted primárně cílit na problematiku měření akustické hladiny tlaku v decibelech a třeba hygienické limitu hluku. Uvedeme logický a patřičně vědecky zvláštní příklad z akustiky 11. Je třeba také upozornit na to, že do objevení Při použití běžného kalkulátoru nedisponujícího obecnou funkcí logaritmování je potřeba znát metodu výpočtu, zde: log (x) = log(x)/log() pro libovolný jiný logaritmus. 10 Powell, J. Jak funguje hudba? Praha: Dokořán, 01, str.. 11 anglicky Active Noise Control
10 elektřiny nelze tento jev simulovat, či nějak uplatnit, což radikálně mění dnešní digitální technika z názvu předmětu toho času informační a komunikační technika (IKT/ICT). Komorní A má (jak bylo uvedeno výše) frekvenci 440 Hz. To znamená, že 440 krát za sekundu tlak vzduchu stoupne, klesne a stoupne na původní hladinu. Průběh tohoto výkyvu (přirozeně velmi složitého) určuje součet jednoduchých kmitání formy: y = A sin(ω x + t) Při poslechu digitálně generovaného komorního A přibližně každou milisekundu probíhá růst a druhou milisekundu klesání tlaku. Zkusme si představit, co by se stalo, pokud bychom stáli v dosahu jiného generátoru, který by byl přesně o milisekundu zpožděný? Bylo by ticho, neslyšeli bychom nic 1. 1 Tohoto nečekaného(?) efektu docílil již roku 16 pomocí obrácené fáze reproduktoru Paul Lueg, jde o U.S. Patent 04416, digitální kopie je dostupná např. na adrese 10
Akustika. Tónové systémy a ladění
Akustika Tónové systémy a ladění Harmonická řada Harmonická řada, tónový systém Harmonická řada je nerovnoměrná, záleží na volbě fundamentu, pak se ale nepotkávají alikvoty nižších pořadových čísel, hodně
VíceZvuk a jeho vlastnosti
Tematická oblast Zvuk a jeho vlastnosti Datum vytvoření 3. prosince 2012 Ročník Stručný obsah Způsob využití Autor Kód Komunikace hudebního umění se znakovými systémy uměleckých a společenských oborů 1.
VíceNázev: Studium kmitů hudebních nástrojů, barva zvuku
Název: Studium kmitů hudebních nástrojů, barva zvuku Autor: Mgr. Lucia Klimková Název školy: Gymnázium Jana Nerudy, škola hl. města Prahy Předmět (mezipředmětové vztahy) : Fyzika (Hudební výchova) Tematický
VíceAKUSTIKA. Barva tónu
AKUSTIKA Barva tónu Tón můžeme objektivně popsat pomocí těchto čtyř vlastností: 1. Výška 2. Délka 3. Barva 4. Hlasitost, hladina intenzity Nyní se budeme zabývat barvou tónu. Barva tónu Barva tónu nám
Více2.8.6 Čísla iracionální, čísla reálná
.8.6 Čísla iracionální, čísla reálná Předpoklady: 0080 Př. : Doplň tabulku (všechny sloupce je možné vypočítat bez kalkulačky). 00 x 0 0,0004 00 900,69 6 8 x 0,09 0, x 0 0,0004 00 x 0 0,0 0 6 6 900 0 00
VíceDefinice (Racionální mocnina). Buď,. Nechť, kde a a čísla jsou nesoudělná. Pak: 1. je-li a sudé, (nebo) 2. je-li liché, klademe
Úvodní opakování. Mocnina a logaritmus Definice ( -tá mocnina). Pro každé klademe a dále pro každé, definujeme indukcí Dále pro všechna klademe a pro Později budeme dokazovat následující větu: Věta (O
VíceU3V Matematika Semestr 1
U3V Matematika Semestr 1 Přednáška 0 Matematika a hudení harmonie Učíme se opět od starých Řeků Jaké prolémy z historie matematiky si dnes vyereme? Různé průměry a jejich vlastnosti Různé posloupnosti
VíceVlnění. vlnění kmitavý pohyb částic se šíří prostředím. přenos energie bez přenosu látky. druhy vlnění: 1. a. mechanické vlnění (v hmotném prostředí)
Vlnění vlnění kmitavý pohyb částic se šíří prostředím přenos energie bez přenosu látky Vázané oscilátory druhy vlnění: Druhy vlnění podélné a příčné 1. a. mechanické vlnění (v hmotném prostředí) b. elektromagnetické
VíceMocniny. Nyní si ukážeme jak je to s umocňováním záporných čísel.
Mocniny Mocnina je matematická funkce, která (jednoduše řečeno) slouží ke zkrácenému zápisu násobení. Místo toho abychom složitě psali 2 2 2 2 2, napíšeme jednoduše V množině reálných čísel budeme definovat
VíceSouth Bohemia Mathematical Letters Volume 23, (2015), No. 1, DĚLENÍ KRUHU NA OBLASTI ÚVOD
South Bohemia Mathematical Letters Volume 23, (2015), No. 1, 113-122. DĚLENÍ KRUHU NA OBLASTI MAREK VEJSADA ABSTRAKT. V textu se zabývám řešením následujícího problému: Zvolíme na kružnici určitý počet
VíceMěření hlasitosti zvuku. Tematický celek: Zvuk. Úkol:
Název: Měření hlasitosti zvuku. Tematický celek: Zvuk. Úkol: 1. Zopakuj si, co je to zvuk a ultrazvuk, jaké jsou jednotky hlasitosti zvuku. 2. Jak funguje zvukový senzor. 3. Navrhni robota pro měření hlasitosti
VíceSTUPNICE. ), jedná se o stupnici mollovou.
STUPNICE Pokud chcete zahrát jakoukoliv melodii, sólo, či improvizaci, vždy používáte určitý sled tónů, který vychází z akordového doprovodu skladby nebo naopak na základě vámi použitého sledu tónů lze
VícePomůcka -> abychom si nemuseli hledat vždy šestý stupeň, můžeme vždy kouknout o tercii níže od základního tónu.
NÁVODNÍK za 4. ročník Co musím umět do pátého ročníku! Znám všechny durové stupnice chápu princip kvartového a kvintového kruhu: U stupnic křížky odvozujeme další stupnici podle 5. stupně tedy kvinty ->
VíceJak na akordové značky
Jak na akordové značky Cíl článku: Cílem článku je naučit Vás porozumět akordovým značkám a získat schopnost najít si a posléze zahrát na kytaru jakýkoliv akord. V článku rozhodně nenajdete zobrazení všech
VícePříklad. Řešte v : takže rovnice v zadání má v tomto případě jedno řešení. Pro má rovnice tvar
Řešte v : má rovnice tvar takže rovnice v zadání má v tomto případě jedno řešení. Pro má rovnice tvar takže rovnice v zadání má v tomto případě opět jedno řešení. Sjednocením obou případů dostaneme úplné
VíceRacionální čísla. teorie řešené úlohy cvičení tipy k maturitě výsledky. Víš, že. Naučíš se
teorie řešené úlohy cvičení tipy k maturitě výsledky Víš, že racionální v matematice znamená poměrový nebo podílový, zatímco v běžné řeči ho užíváme spíše ve významu rozumový? zlomky používali již staří
VíceM - Příprava na 3. čtvrtletní písemnou práci
M - Příprava na 3. čtvrtletní písemnou práci Určeno pro třídu ODK VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase. Více informací o programu naleznete
Více, a). Zachovali jsme intervaly mezi jednotlivými prvky (akordy) harmonického celku (mezi C, Ami - velká sexta stejně jako mezi A, F #
Transponování ž dosud jsme se ve výkladu setkali pouze s akordy odvozenými od tónu a stupnicemi vycházejícími z tóniny dur. Pro výklad je tato tónina vhodná z toho důvodu, že jónský modus diatonické durové
VíceHudební nauka. přehled látky pro 1. a 2. ročník DÉLKA VÝŠKA SÍLA BARVA HLAVIČKA NOTY
Hudební nauka přehled látky pro 1. a 2. ročník Vlastnosti tónu DÉLKA VÝŠKA SÍLA BARVA Prvky notace PŘEDZNAMENÁNÍ NOTA HLAVIČKA NOTY POMOCNÉ LINKY HOUSLOVÝ KLÍČ NOTOVÁ OSNOVA (linky i mezery se číslují
VíceHudební souzvuk z pohledu zvukového spektra
Výzkumné centrum JAMU Hudební souzvuk z pohledu zvukového spektra MgA. Petr Pařízek, Výzkumné centrum JAMU Tento článek se zabývá otázkou konfrontace dvou různých pohledů na souzvuky - jednou jako na komplexní
VíceŘešení 1. série. Řešení S-I-1-1 Nejdříve si uvědomme, že platí následující vztahy. h = 1 2 v d, h = 1 2 s k,
Řešení 1. série Řešení S-I-1-1 Nejdříve si uvědomme, že platí následující vztahy h = 1 2 v d, h = 1 2 s k, kde h je počet hran, v je počet vrcholů, d je stupeň vrcholu, s je počet stěn a k je počet úhlů
VíceMechanické kmitání a vlnění
Mechanické kmitání a vlnění Pohyb tělesa, který se v určitém časovém intervalu pravidelně opakuje periodický pohyb S kmitavým pohybem se setkáváme např.: Zařízení, které volně kmitá, nazýváme mechanický
VíceHL Academy - Chata Lopata Emu (Brkos 2012) Řetězové zlomky / 27
Řetězové zlomky HL Academy - Chata Lopata 2012 13.2. 18.2.2012 Emu (Brkos 2012) Řetězové zlomky 13.2. 18.2.2012 1 / 27 Obsah 1 Úvod 2 Základní pojmy 3 Konečné řetězové zlomky Sblížené zlomky Euklidův algoritmus
VíceOBSAH. ÚVOD 21 Pojem harmonie 21
OBSAH PŘEDMLUVA 15 ÚVOD 21 Pojem harmonie 21 I. část KLASICKÁ HARMONIE 1. lekce ZÁKLADNÍ HARMONICKÝ MATERIÁL 26 1 Pojem akordu a jeho vymezení v podmínkách klasické harmonie 26 2 Třídění harmonického materiálu.
VíceVY_32_INOVACE_FY.18 ZVUKOVÉ JEVY
VY_32_INOVACE_FY.18 ZVUKOVÉ JEVY Autorem materiálu a všech jeho částí, není-li uvedeno jinak, je Jiří Kalous Základní a mateřská škola Bělá nad Radbuzou, 2011 Zvuk je mechanické vlnění v látkovém prostředí,
VíceAKUSTIKA. Tón a jeho vlastnosti
AKUSTIKA Tón a jeho vlastnosti Zvuky dělíme na dvě základní skupiny: 1. Tóny vznikají pravidelným chvěním zdroje zvuku, průběh závislosti výchylky na čase je periodický, jsou to např. zvuky hudebních nástrojů,
VíceNÁVODNÍK za 3. ročník Co musím umět do čtvrtého ročníku! Znám bezpečně noty v houslovém klíči v malé a dvoučárkované oktávě: Pomůcky:
NÁVODNÍK za 3. ročník Co musím umět do čtvrtého ročníku! Znám bezpečně noty v houslovém klíči v malé a dvoučárkované oktávě: Znám noty v basovém klíči: Pomůcky: 1. pamatuji si polohu noty c malé! 2. Představím
VíceFunkce, elementární funkce.
Kapitola 2 Funkce, elementární funkce. V této kapitole si se budeme věnovat studiu základních vlastností funkcí jako je definiční obor, obor hodnot. Připomeneme si pojmy sudá, lichá, rostoucí, klesající.
VícePříklad z učebnice matematiky pro základní školu:
Příklad z učebnice matematiky pro základní školu: Součet trojnásobku neznámého čísla zvětšeného o dva a dvojnásobku neznámého čísla zmenšeného o pět se rovná čtyřnásobku neznámého čísla zvětšeného o jedna.
Více1 Mnohočleny a algebraické rovnice
1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem
VíceNerovnice, grafy, monotonie a spojitost
Nerovnice, grafy, monotonie a spojitost text pro studenty Fakulty přírodovědně-humanitní a pedagogické TU v Liberci vzniklý za podpory fondu F Martina Šimůnková 29. prosince 2016 1 Úvod Na druhém stupni
VíceHudební intervaly základní pojmy
Hudební intervaly základní pojmy Číslo projektu Kódování materiálu Označení materiálu Název školy Autor Anotace Předmět Tematická oblast Téma Očekávané výstupy Klíčová slova Druh učebního materiálu Ročník
VícePythagorova věta a pythagorejské trojúhelníky-ondřej Zeman Asi 600 př.n.l
Pythagorova věta a pythagorejské trojúhelníky-ondřej Zeman Asi 600 př.n.l Baudhayana (kolem 800 př.n.l) Pythagoras ze Sámu (asi 580 př.n.l asi 500 př.n.l) Motivace: Tato věta mě zaujala, protože se o ní
VíceMATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY
MATURITNÍ TÉMATA Z MATEMATIKY 1. Základní poznatky z logiky a teorie množin Pojem konstanty a proměnné. Obor proměnné. Pojem výroku a jeho pravdivostní hodnota. Operace s výroky, složené výroky, logické
VíceKOMPLEXNÍ ČÍSLA INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ
KOMPLEXNÍ ČÍSLA Gymnázium Jiřího Wolkera v Prostějově Výukové materiály z matematiky pro vyšší gymnázia Autoři projektu Student na prahu 21. století - využití ICT ve vyučování matematiky na gymnáziu INVESTICE
VíceZÁKLADNÍ UMĚLECKÁ ŠKOLA MUSIC ART FAKULTNÍ ŠKOLA UNIVERZITY KARLOVY V PRAZE HUDEBNÍ NAUKA II. Otázky a odpovědi ze základů hudební teorie
HUDEBNÍ NAUKA II Otázky a odpovědi ze základů hudební teorie Josef Vondráček 9.9.2013 2 1. PŘEDZNAMENÁNÍ... 3 2. POSUVKY... 4 3. METRIKA... 5 4. RYTMUS... 7 5. PŘEDTAKTÍ... 8 6. DIATONICKÝ A CHROMATICKÝ
VíceV tomto článku popíšeme zajímavou úlohu (inspirovanou reálnou situací),
L i t e r a t u r a [1] Calábek, P. Švrček, J.: Úvod do řešení funkcionálních rovnic. MFI, roč. 10 (2000/01), č. 3. [2] Engel, A.: Problem-Solving Strategies. Springer-Verlag, New York, Inc., 1998. [3]
VíceDUM č. 14 v sadě. 10. Fy-1 Učební materiály do fyziky pro 2. ročník gymnázia
projekt GML Brno Docens DUM č. 14 v sadě 10. Fy-1 Učební materiály do fyziky pro 2. ročník gymnázia Autor: Vojtěch Beneš Datum: 04.05.2014 Ročník: 1. ročník Anotace DUMu: Mechanické vlnění, zvuk Materiály
VíceVZOROVÝ TEST PRO 1. ROČNÍK (1. A, 3. C)
VZOROVÝ TEST PRO. ROČNÍK (. A, 3. C) Zjednodušte daný příklad. (a 2 3 b 3 4) 2 (a 2 b 3 8) 3 max. 3 body 2 Ve které z následujících možností je uveden správný postup usměrnění daného zlomku a správný výsledek?
VíceMatematická olympiáda ročník (1998/1999) Komentáře k úlohám druhého kola pro kategorie Z5 až Z7. Zadání úloh Z5 II 1
1 of 9 20. 1. 2014 12:05 Matematická olympiáda - 48. ročník (1998/1999) Komentáře k úlohám druhého kola pro kategorie Z5 až Z7 Zadání úloh Z5 II 1 Do prostředního kroužku je možné zapsat pouze čísla 8
VíceAlgebraické struktury s jednou binární operací
16 Kapitola 1 Algebraické struktury s jednou binární operací 1.1 1. Grupoid, pologrupa, monoid a grupa Chtěli by jste vědět, co jsou to algebraické struktury s jednou binární operací? No tak to si musíte
VíceDruh učebního materiálu Anotace (metodický pokyn, časová náročnost, další pomůcky )
Číslo šablony III/2 Číslo materiálu VY_32_INOVACE_F.6.18 Autor Stanislav Mokrý Vytvořeno 8.12.2013 Předmět, ročník Fyzika, 2. ročník Tematický celek Fyzika 2. - Mechanické kmitání a vlnění Téma Zvuk a
VíceHudební nauka 1. ročník - čtvrtletní opakování
Hudební nauka 1. ročník - čtvrtletní opakování 1. Doplň názvy not: 2. Napiš stupnici C dur a doplň kvintakord: 3. Co patří k sobě, spoj čarou. kvintakord crescendo decrescendo ritardando zeslabovat zpomalovat
VíceBáze a dimenze vektorových prostorů
Báze a dimenze vektorových prostorů Buď (V, +, ) vektorový prostor nad tělesem (T, +, ). Nechť u 1, u 2,..., u n je konečná posloupnost vektorů z V. Existují-li prvky s 1, s 2,..., s n T, z nichž alespoň
VíceZáklady Hudební Akustiky. 1. Úvod
Základy Hudební Akustiky 1. Úvod Výuka Bude vás učit: Lubor Přikryl Výuka je za JAMU prikryl@jamu.cz prikryllubor@feec.vutbr.cz lubor@audified.com Zápočty Podmínky pro udělení zápočtu Test - splnění %
VíceMěření hlasitosti zvuku. Tematický celek: Světelné a zvukové jevy. Úkol:
Název: Měření hlasitosti zvuku. Tematický celek: Světelné a zvukové jevy. Úkol: 1. Zopakuj si, co je to zvuk a ultrazvuk, jaké jsou jednotky hlasitosti zvuku. 2. Jak funguje zvukový senzor. 3. Navrhni
VícePomocný text. Polynomy
Pomocný text Polynomy Tato série bude o polynomech a to zejména o polynomech jedné proměnné (pokud nebude uvedeno explicitně, že jde o polynom více proměnných). Formálně je někdy polynom jedné proměnné
VíceFyziologická akustika. fyziologická akustika: jak to funguje psychologická akustika: jak to na nás působí
Fyziologická akustika anatomie: jak to vypadá fyziologická akustika: jak to funguje psychologická akustika: jak to na nás působí hudební akustika: jak dosáhnout libých počitků Anatomie lidského ucha Vnější
VíceAkustika. 3.1 Teorie - spektrum
Akustika 3.1 Teorie - spektrum Rozklad kmitů do nejjednodušších harmonických Spektrum Spektrum Jedna harmonická vlna = 1 frekvence Dvě vlny = 2 frekvence Spektrum 3 vlny = 3 frekvence Spektrum Další vlny
Více55. ročník matematické olympiády
. ročník matematické olympiády! " #%$'&( *$,+ 1. Najděte všechny dvojice celých čísel x a y, pro něž platí x y = 6 10.. Je dán rovnostranný trojúhelník ABC o obsahu S a jeho vnitřní bod M. Označme po řadě
VíceMASARYKOVA UNIVERZITA V BRNĚ PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA OBECNÉ FYZIKY DIPLOMOVÁ PRÁCE AKUSTIKA PRO STUDENTY STŘEDNÍCH ŠKOL
MASARYKOVA UNIVERZITA V BRNĚ PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA OBECNÉ FYZIKY DIPLOMOVÁ PRÁCE AKUSTIKA PRO STUDENTY STŘEDNÍCH ŠKOL Vedoucí diplomové práce: RNDr. Zdeněk Bochníček, Dr. BRNO 00 Magdalena Čermáková
VíceVýfučtení: Mocniny a kvadratické rovnice
Výfučtení: Mocniny a kvadratické rovnice S čísly a základními operacemi, tedy se sčítáním, odčítáním, násobením a dělením, jsme se seznámili už dávno během prvních let naší školní docházky. Každý z nás
VícePro žáky základní umělecké školy. Michal Hanuš. Preludia
Pro žáky základní umělecké školy. Michal Hanuš Preludia 2 Preludia na následujících stranách jsou návodem, jak jednoduše zacházet s akordy. Žáci se učí tyto dovednosti: - vnímají vztahy mezi akordy a to
VíceÚlohy domácí části I. kola kategorie C
6. ročník Matematické olympiády Úlohy domácí části I. kola kategorie C 1. Určete všechny dvojice (x, y) reálných čísel, která vyhovují soustavě rovnic (x + )2 = y, (y )2 = x + 8. Řešení. Vzhledem k tomu,
VíceEVIDENCE VÝUKOVÝCH MATERIÁLŮ Pro koho je výukový materiál
číslo Název výukového u Skupina HN 1 Nácvik houslového klíče I *pracovní list PHV 1. roč. Mgr. Eva Mastíková 27.9.2013 FM, YŽ, OL, MB HN 2 Nácvik houslového klíče II pracovní list PHV 1. roč. Mgr. Eva
Více(4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74,
1. V oboru celých čísel řešte soustavu rovnic (4x) 5 + 7y = 14, (2y) 5 (3x) 7 = 74, kde (n) k značí násobek čísla k nejbližší číslu n. (P. Černek) Řešení. Z první rovnice dané soustavy plyne, že číslo
Více4 Pojem grafu, ve zkratce
Petr Hliněný, FI MU Brno, 2014 1 / 24 FI: IB000: Pojem grafu 4 Pojem grafu, ve zkratce Třebaže grafy jsou jen jednou z mnoha struktur v matematice a vlastně pouze speciálním případem binárních relací,
VícePravděpodobnost a statistika
Pravděpodobnost a statistika 1 Náhodné pokusy a náhodné jevy Činnostem, jejichž výsledek není jednoznačně určen podmínkami, za kterých probíhají, a které jsou (alespoň teoreticky) neomezeně opakovatelné,
Více1 Mnohočleny a algebraické rovnice
1 Mnohočleny a algebraické rovnice 1.1 Pojem mnohočlenu (polynomu) Připomeňme, že výrazům typu a 2 x 2 + a 1 x + a 0 říkáme kvadratický trojčlen, když a 2 0. Číslům a 0, a 1, a 2 říkáme koeficienty a písmenem
VícePŘÍTECH. Klarinet Vlastnosti zvuku
PŘÍTECH Klarinet Vlastnosti zvuku Gymnázium Cheb Vojtěch Müller Nerudova 7 4.E 2014/2015 Čestné prohlášení Prohlašuji, že jsem tuto maturitní práci vypracoval samostatně, pod vedením Mgr. Vítězslava Kubína
VíceDělitelnost čísel, nejmenší společný násobek, největší společný dělitel
Variace 1 Dělitelnost čísel, nejmenší společný násobek, největší společný dělitel Autor: Mgr. Jaromír JUŘEK Kopírování a jakékoliv další využití výukového materiálu je povoleno pouze s uvedením odkazu
Více2 Konstrukce houslového nástroje
Kořenov, 2012 PYTHAGOREJSKÉ LADĚNÍ Jan Hadrava, Jan Sixta, Martin Mirbauer Konzultant: Roman Cach 1 Úvod Púvodním cílem projektu bylo zkonstruovat jednostrunný hudební nástroj podobný houslím, na kterém
VíceAkustika pro posluchače HF JAMU
Akustika pro posluchače HF JAMU Zvukové vlny a kmity (1) 2 Vnímání zvuku (3) 2 Akustika hudebního nástroje (2) 2 Akustika při interpretaci (2) 3 Záznam hry na hudební nástroje (2) 4 Seminární a samostatné
Více7.2.1 Vektory. Předpoklady: 7104
7..1 Vektory Předpoklady: 7104 Některé fyzikální veličiny (například rychlost, síla) mají dvě charakteristiky: velikost, směr. Jak je znázornit? Jedno číslo (jako například pro hmotnost m = 55kg ) nestačí.
VíceV předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti
Kapitola 5 Vektorové prostory V předchozí kapitole jsme podstatným způsobem rozšířili naši představu o tom, co je to číslo. Nadále jsou pro nás důležité především vlastnosti operací sčítání a násobení
VíceZVUK A JEHO VLASTNOSTI
ZVUK A JEHO VLASTNOSTI Zvuk - vše co slyšíme, vzniká chvěním hmoty vlastnosti zvuku jsou čtyři délka, výška, síla a barva zvuky se rozdělují na hluky (nepravidelné chvění) a tóny (pravidelné chvění) tóny
Víceopravdu považovat za lepší aproximaci. Snížení odchylky o necelá dvě procenta
Řetězové zlomky a dobré aproximace Motivace Chceme-li znát přibližnou hodnotu nějakého iracionálního čísla, obvykle používáme jeho (nekonečný) desetinný rozvoj Z takového rozvoje, řekněme z rozvoje 345926535897932384626433832795028849769399375
VíceÚlohy klauzurní části školního kola kategorie A
6. ročník matematické olympiády Úlohy klauzurní části školního kola kategorie A. V oboru reálných čísel řešte soustavu rovnic y + 3x = 4x 3, x + 3y = 4y 3. 2. V rovině uvažujme lichoběžník ABCD se základnami
VíceVáclav Syrový: Hudební akustika, Praha 2003, s. 7
Hudební akustika Mgr. Petr Kalina 30.9.2013 Definice obecné akustiky Předmětem akustiky je zkoumání fyzikální podstaty zvuku a problémů spojených s jeho vznikem, šířením a vnímáním. Zvuk je zvláštní druh
VíceAkustika pro posluchače HF JAMU
Akustika pro posluchače HF JAMU Zvukové vlny a kmity (1)! 2 Vnímání zvuku (3)! 2 Akustika hudebního nástroje (2)! 2 Akustika při interpretaci (2)! 3 Záznam hry na hudební nástroje (2)! 4 Seminární a samostatné
Více56. ročník Matematické olympiády. tedy číslice 1, 2, a 3. Dále nám zbývají zlomky. Má-li být jejich součet co nejmenší,
6 ročník Matematické olympiády Komentáře k domácímu kolu kategorie Z8 1 Z číslic 1,2,,9 jsme vytvořili tři smíšená čísla a b c Potom jsme tato tři čísla správně sečetli Jaký nejmenší součet jsme mohli
VíceÚlohy krajského kola kategorie C
6. ročník matematické olympiády Úlohy krajského kola kategorie C. Pro libovolná reálná čísla x, y, z taková, že x < y < z, dokažte nerovnost x 2 y 2 + z 2 > (x y + z) 2. 2. Honza má tři kartičky, na každé
Více3.2.3 Podobnost trojúhelníků I
.. Podobnost trojúhelníků I Předpoklady: 01 Shodné útvary je možné je přemístěním ztotožnit, lidově řečeno jsou stejné Co splňují útvary, které jsou podobné? Mají stejný tvar, ale různou velikost. Kdybychom
VíceMnožiny, relace, zobrazení
Množiny, relace, zobrazení Množiny Množinou rozumíme každý soubor určitých objektů shrnutých v jeden celek. Zmíněné objekty pak nazýváme prvky dané množiny. Pojem množina je tedy synonymem pojmů typu soubor,
VíceMatematika III. Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská. Ústav matematiky
Matematika III Řady Miroslava Dubcová, Daniel Turzík, Drahoslava Janovská Ústav matematiky Přednášky ZS 202-203 Obsah Číselné řady. Součet nekonečné řady. Kritéria konvergence 2 Funkční řady. Bodová konvergence.
VíceNerovnice. Vypracovala: Ing. Stanislava Kaděrková
Nerovnice Vypracovala: Ing. Stanislava Kaděrková Název školy Název a číslo projektu Název modulu Obchodní akademie a Střední odborné učiliště, Veselí nad Moravou Motivace žáků ke studiu technických předmětů
Více1.5.7 Znaky dělitelnosti
1.5.7 Znaky dělitelnosti Předpoklady: 010506 Pedagogická poznámka: Příklad 1 je dořešení zadání z minulé hodiny. Je třeba se u něj nezdržovat. Př. 1: Na základní škole ses učil pravidla, podle kterých
Více9 Kolmost vektorových podprostorů
9 Kolmost vektorových podprostorů Od kolmosti dvou vektorů nyní přejdeme ke kolmosti dvou vektorových podprostorů. Budeme se zabývat otázkou, kdy jsou dva vektorové podprostory na sebe kolmé a jak to poznáme.
VíceStatistická teorie učení
Statistická teorie učení Petr Havel Marek Myslivec přednáška z 9. týdne 1 Úvod Představme si situaci výrobce a zákazníka, který si u výrobce objednal algoritmus rozpoznávání. Zákazník dodal experimentální
VíceKapitola Základní množinové pojmy Princip rovnosti. Dvě množiny S a T jsou si rovny (píšeme S = T ) prvek T je také prvkem S.
1 Kapitola 1 Množiny 11 Základní množinové pojmy Pojem množiny nedefinujeme, pouze připomínáme, že množina je souhrn, nebo soubor navzájem rozlišitelných objektů, kterým říkáme prvky 111 Princip rovnosti
VíceMetody výpočtu limit funkcí a posloupností
Metody výpočtu limit funkcí a posloupností Martina Šimůnková, 6. listopadu 205 Učební tet k předmětu Matematická analýza pro studenty FP TUL Značení a terminologie R značí množinu reálných čísel, rozšířenou
VíceZvuk a jeho vlastnosti
PEF MZLU v Brně 9. října 2008 Zvuk obecně podélné (nebo příčné) mechanické vlnění v látkovém prostředí, které je schopno vyvolat v lidském uchu sluchový vjem. frekvence leží v rozsahu přibližně 20 Hz až
VíceM - Kvadratické rovnice a kvadratické nerovnice
M - Kvadratické rovnice a kvadratické nerovnice Určeno jako učební tet pro studenty dálkového studia. VARIACE 1 Tento dokument byl kompletně vytvořen, sestaven a vytištěn v programu dosystem - EduBase.
VíceÚlohy krajského kola kategorie B
65. ročník matematické olympiády Úlohy krajského kola kategorie B 1. Určete všechny trojice celých kladných čísel k, l a m, pro které platí 3l + 1 3kl + k + 3 = lm + 1 5lm + m + 5. 2. Je dána úsečka AB,
VíceNapsali: Mgr. Michaela Jedličková; RNDr. Peter Krupka, Ph.D.; RNDr. Jana Nechvátalová Recenzenti:
Použité symboly: Motivace k probíranému učivu na praktickém příkladu Úvahové úlohy nebo otázky poukazující na další souvislosti probírané látky s běžným životem Připomenutí učiva, na které nová látka navazuje
Více. je zlomkem. Ten je smysluplný pro jakýkoli jmenovatel různý od nuly. Musí tedy platit = 0
Příklad 1 Určete definiční obor funkce: a) = b) = c) = d) = e) = 9 f) = Řešení 1a Máme určit definiční obor funkce =. Výraz je zlomkem. Ten je smysluplný pro jakýkoli jmenovatel různý od nuly. Musí tedy
VícePožadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014
Požadavky k opravným zkouškám z matematiky školní rok 2013-2014 1. ročník (první pololetí, druhé pololetí) 1) Množiny. Číselné obory N, Z, Q, I, R. 2) Absolutní hodnota reálného čísla, intervaly. 3) Procenta,
Více3.2.3 Podobnost trojúhelníků I
.. Podobnost trojúhelníků I Předpoklady: 01 Shodné útvary je možné je přemístěním ztotožnit, lidově řečeno jsou stejné Co splňují útvary, které jsou podobné? Mají stejný tvar, ale různou velikost. Kdybychom
VíceLogaritmická rovnice
Ročník:. Logaritmická rovnice (čteme: logaritmus z x o základu a) a základ logaritmu x argument logaritmu Vzorce Použití vzorců a principy počítání s logaritmy jsou stejné jako u logaritmů základních,
Více4.1.5 Jedna a jedna může být nula
4.1.5 Jedna a jedna může být nula Předpoklady: 040104 Pomůcky: reproduktory, Online tone generator, papírky s vlněním Př. 1: Ze dvou reproduktorů je puštěn jednoduchý sinusový zvukový signál a stejné frekvenci.
VíceV exponenciální rovnici se proměnná vyskytuje v exponentu. Obecně bychom mohli exponenciální rovnici zapsat takto:
Eponenciální rovnice V eponenciální rovnici se proměnná vyskytuje v eponentu. Obecně bychom mohli eponenciální rovnici zapsat takto: a ( ) f ( ) f kde a > 0, b > 0 b Příkladem velmi jednoduché eponenciální
VíceFunkce arcsin. Některé dosud probírané funkce můžeme spojit do dvojic: 4 - je číslo, které když dám na druhou tak vyjde 4.
.. Funkce arcsin Některé dosud probírané funkce můžeme spojit do dvojic: Kvadratická funkce Druhá odmocnina y =, 0; ) y = - je číslo, které když dám na druhou tak vyjde - - - - - - y = y = Eponenciální
VíceMaticí typu (m, n), kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru:
3 Maticový počet 3.1 Zavedení pojmu matice Maticí typu (m, n, kde m, n jsou přirozená čísla, se rozumí soubor mn veličin a jk zapsaných do m řádků a n sloupců tvaru: a 11 a 12... a 1k... a 1n a 21 a 22...
VíceKongruence na množině celých čísel
121 Kapitola 4 Kongruence na množině celých čísel 4.1 Relace kongruence na množině celých čísel Vraťme se k úvahám o dělení se zbytkem. Na základní škole jsme se naučili, že když podělíme číslo 11 číslem
VíceÚlohy klauzurní části školního kola kategorie B
65. ročník matematické olympiády Úlohy klauzurní části školního kola kategorie B 1. Kolika způsoby je možno vyplnit čtvercovou tabulku 3 3 čísly,, 3, 3, 3, 4, 4, 4, 4 tak, aby součet čísel v každém čtverci
VíceAritmetická posloupnost
1. Zjistěte vzorec posloupnosti 6; 3; 2; 3/2; 1,2; 1; 6/7; 3/4;... 2. V aritmetické posloupnosti z daných údajů vypočítejte naznačené hodnoty: a 4 = 11 a (a) 1 =? a 1 = 2 n =? a 5 = 14 d =? (d) d = 3 a
VíceÚlohy krajského kola kategorie A
62. ročník matematické olympiády Úlohy krajského kola kategorie A 1. Je dáno 21 různých celých čísel takových, že součet libovolných jedenácti z nich je větší než součet deseti ostatních čísel. a) Dokažte,
VíceFunkce jedné reálné proměnné. lineární kvadratická racionální exponenciální logaritmická s absolutní hodnotou
Funkce jedné reálné proměnné lineární kvadratická racionální exponenciální logaritmická s absolutní hodnotou lineární y = ax + b Průsečíky s osami: Px [-b/a; 0] Py [0; b] grafem je přímka (získá se pomocí
VíceNÁVODNÍK za 5. ročník Co musím umět, abych mohl přestat chodit do nauky! Znám bezpečně kvintový a kvartový kruh:
NÁVODNÍK za 5. ročník Co musím umět, abych mohl přestat chodit do nauky! Znám bezpečně kvintový a kvartový kruh: Pomůcky pro určování tónin: křížky: Kouknu na poslední křížek (poslední křížek zvyšuje 7.
VíceZavedení a vlastnosti reálných čísel
Zavedení a vlastnosti reálných čísel jsou základním kamenem matematické analýzy. Konstrukce reálných čísel sice není náplní matematické analýzy, ale množina reálných čísel R je pro matematickou analýzu
Více