Intuitivní pojem pravděpodobnosti
|
|
- Zuzana Dvořáková
- před 7 lety
- Počet zobrazení:
Transkript
1 Pravděpodobnost
2 Intuitivní pojem pravděpodobnosti
3 Intuitivní pojem pravděpodobnosti Pravděpodobnost zkoumaného jevu vyjadřuje míru naděje, že tento jev nastane. Řekneme-li, že má nějaký jev pravděpodobnost 1/3 (neboli 33,33 %), znamená to, že lze očekávat, že při velkém počtu opakování daného pokusu tento jev nastane zhruba ve třetině případů. Nic nemůže mít pravděpodobnost větší než 1 (100 %)!!!
4 Klasická pravděpodobnost
5 Klasická pravděpodobnost Základní prostor Provádíme pokus, který má n možných výsledků, přičemž všechny tyto výsledky jsou stejně pravděpodobné. Označíme Ω množinu všech možných výsledků tohoto pokusu. Pak Ω = n (symbolem značíme počet prvků množiny). Jednotlivé prvky množiny Ω budeme značit ω 1, ω 2,..., ω n.
6 Klasická pravděpodobnost Náhodný jev a jeho pravděpodobnost Náhodným jevem nazveme jakoukoli podmnožinu množiny Ω. Náhodné jevy budeme zpravidla značit velkými písmeny (A, B,... ). Ω A Pravděpodobnost jevu A označíme P(A) a definujeme ji jako P(A) = počet možností příznivých jevu A počet všech možností = A Ω.
7 Klasická pravděpodobnost Operace s jevy jev opačný Jev opačný k jevu A označíme A. A nastane právě tehdy, když nenastane jev A. Ω A A P(A) = 1 P(A)
8 Klasická pravděpodobnost Operace s jevy průnik Průnik jevů A, B označíme A B. A B nastane právě tehdy, když nastanou oba jevy A, B. Ω A B A B
9 Klasická pravděpodobnost Závislost a nezávislost náhodných jevů Intuitivní pojem nezávislosti Jevy A, B jsou navzájem nezávislé, jestliže to, že nastal jev A, nijak neovlivní pravděpodobnost toho, že nastane jev B. Příklad Nezávislé jevy jsou například: Hodíme dvěma kostkami: A... na první kostce padla šestka, B... na druhé kostce padla jednička Ve Sportce: A... vyhrajeme v 1. tahu, B... vyhrajeme ve 2. tahu (ne tak zřejmé) Z balíčku 52 karet (dvojka až eso, vše ve čtyřech barvách) vytáhneme jednu kartu: A... vytáhli jsme eso, B... vytáhli jsme pikovou kartu
10 Klasická pravděpodobnost Příklad (pokračování) Závislé jevy: Hodíme dvěma kostkami: A... na první kostce padla šestka, B... padl součet 12 Z balíčku 52 karet (dvojka až eso, vše ve čtyřech barvách) vytáhneme dvě karty: A... první karta je eso, B... druhá karta je eso
11 Klasická pravděpodobnost Pravděpodobnost průniku dvou nezávislých jevů Pro jevy A, B, které jsou navzájem nezávislé, platí P(A B) = P(A) P(B). Pro závislé jevy tento vztah neplatí!!
12 Klasická pravděpodobnost Operace s jevy sjednocení Sjednocení jevů A, B označíme A B. A B nastane právě tehdy, když nastane alespoň jeden z jevů A, B. Ω A B A B
13 Klasická pravděpodobnost Pravděpodobnost sjednocení jevů P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) Jevy neslučitelné Jevy A, B, které nemohou nastat současně (tj. A B = ), se nazývají neslučitelné. Pro neslučitelné jevy platí P(A B) = P(A) + P(B).
14 Klasická pravděpodobnost Podmíněná pravděpodobnost Víme, že jev A nastal. Zajímá nás pravděpodobnost, že za této podmínky nastal jev B. Tuto pravděpodobnost označíme P(B A)... pravděpodobnost jevu B za podmínky, že nastal jev A P(B A) = P(A B) P(A) Odtud plyne P(A B) = P(A) P(B A)
15 Obecná definice pravděpodobnosti
16 Obecná definice pravděpodobnosti Jevové pole Ω... neprázdná množina všech možných výsledků prováděného pokusu (základní prostor) Systém S podmnožin základního prostoru Ω, který má tyto vlastnosti 1. Ω S, 2. jestliže A S, pak také A = Ω \ A S, 3. jestliže A k S, k = 1, 2,..., pak také k=1 A k S, nazveme množinovou σ-algebrou a dvojici (Ω, S) nazveme jevovým polem. Množinu A Ω nazveme náhodným jevem, jestliže A A. Pro naše potřeby však dál postačí zjednodušená (ač nepřesná) představa, že náhodný jev je libovolná podmnožina základního prostoru Ω.
17 Obecná definice pravděpodobnosti Další vlastnosti σ-algebry S: S, jestliže A, B S, pak také A B S (axiom je pro sjednocení nekonečné posloupnosti) jestliže A, B S, pak také A B S
18 Obecná definice pravděpodobnosti Axiomatická definice pravděpodobnosti Nechť (Ω, S) je jevové pole. Pak zobrazení P : S R nazveme pravděpodobností, jestliže splňuje následující tři axiomy: 1. P(Ω) = 1, 2. P(A) 0 pro každé A S, 3. jestliže A k S, k = 1, 2,..., jsou navzájem disjunktní jevy, A i A j = pro i j, pak P(A 1 A 2 ) = P(A 1 ) + P(A 2 ) +. Pro libovolný náhodný jev A číslo P(A) nazveme pravděpodobností jevu A. Trojice (Ω, S, P) se nazývá pravděpodobnostní prostor.
19 Obecná definice pravděpodobnosti Další vlastnosti pravděpodobnosti 4. P( ) = 0 5. P(A) 1 6. Jestliže A B, pak P(A) P(B) 7. Jestliže A B =, pak P(A B) = P(A) + P(B) 8. P(A B) = P(A) + P(B) P(A B) 9. P(A) = 1 P(A)
20 Obecná definice pravděpodobnosti Nezávislost matematická definice Řekneme, že náhodné jevy A, B jsou nezávislé, jestliže P(A B) = P(A) P(B)
21 Speciální případy pravděpodobnosti
22 Speciální případy pravděpodobnosti Klasická pravděpodobnost Diskrétní pravděpodobnost Geometrická pravděpodobnost
23 Speciální případy pravděpodobnosti Diskrétní pravděpodobnost Množina Ω = {ω 1, ω 2,... } je konečná nebo spočetná (její prvky lze uspořádat do posloupnosti), Ω = n, n může být i. Jednotlivé elementární jevy {ω i } nemusejí nutně nastávat se stejnou pravděpodobností, ale platí n P({ω i }) = 1. i=1 Pravděpodobnost jevu A počítáme jako P(A) = ω A P({ω}).
24 Speciální případy pravděpodobnosti Příklad Lojza jde na zkoušku. Svoje šance vidí takto: Pravděpodobnost, že dostane jedničku, je 0,01. Pravděpodobnost, že dostane dvojku, je třikrát menší než pravděpodobnost, že dostane trojku. Pravděpodobnost, že dostane trojku, je dvakrát menší než pravděpodobnost, že ho vyhodí. Jsou-li Lojzovy úvahy správné, jaká je pravděpodobnost, že zkoušku udělá? Jaká je pravděpodobnost, že dostane lepší známku než trojku? Další příklad viz skripta, str. 134.
25 Speciální případy pravděpodobnosti Geometrická pravděpodobnost Množinu Ω tvoří oblast v n-rozměrném prostoru, 0 < µ(ω) < (µ( ) je míra množiny něco jako obsah). Všechny možné výsledky pokusu jsou stejně pravděpodobné. Pravděpodobnost jevu A počítáme jako P(A) = µ(a) µ(ω).
26 Speciální případy pravděpodobnosti Příklad (Buffonova úloha o jehle) Máme linkovaný papír, rozestup linek je d. Na papír hodíme jehlu délky l, l < d. Jaká je pravděpodobnost, že jehla protne některou z linek? Další příklad viz skripta, str. 131.
27 Podmíněná pravděpodobnost
28 Podmíněná pravděpodobnost Definice podmíněné pravděpodobnosti U klasické pravděpodobnosti viz 14. Je-li A náhodný jev s nenulovou pravděpodobností, pak pro každý náhodný jev B definujeme podmíněnou pravděpodobnost vzorcem P(B A) = P(A B) P(A). Odtud plyne P(A B) = P(A) P(B A).
29 Podmíněná pravděpodobnost Příklad V Kocourkově je 60 % obyvatel obézních a 50 % má vysoký tlak. Náhodně vybereme jednoho kocourkovského občana. a) Jaká je pravděpodobnost, že je obézní? b) Jaká je pravděpodobnost, že má vysoký tlak? c) Jaká je pravděpodobnost, že je obézní a má vysoký tlak? Na otázku c) zatím nejsme schopni odpovědět. K zadání přidáme: Z těch, kdo jsou obézní, mají tři čtvrtiny vysoký tlak.
30 Úplná pravděpodobnost, Bayesův vzorec
31 Úplná pravděpodobnost, Bayesův vzorec Příklad Adam, Boris a Cyril šli na houby. Adam našel 20 hub, z toho 1/5 byly jedovaté houby. Boris našel 50 hub, z toho 1/10 byly jedovaté houby. Cyril našel 30 hub, z toho 1/6 byly jedovaté houby. Když se vrátili, všechny houby dali na jednu hromadu. Náhodně vybereme jednu houbu. a) Jaká je pravděpodobnost, že je jedovatá? b) Vybraná houba je jedovatá. Jaká je pravděpodobnost, že ji našel Adam?
32 Úplná pravděpodobnost, Bayesův vzorec Příklad (mírná změna zadání) Adam, Boris a Cyril šli na houby. Adam našel 20 % hub, z toho 1/5 byly jedovaté houby. Boris našel 50 % hub, z toho 1/10 byly jedovaté houby. Cyril našel 30 % hub, z toho 1/6 byly jedovaté houby. Když se vrátili, všechny houby dali na jednu hromadu. Náhodně vybereme jednu houbu. a) Jaká je pravděpodobnost, že je jedovatá? b) Vybraná houba je jedovatá. Jaká je pravděpodobnost, že ji našel Adam?
33 Úplná pravděpodobnost, Bayesův vzorec Věta o úplné pravděpodobnosti začátek Nechť H 1, H 2,..., H n jsou navzájem disjunktní náhodné jevy takové, že P(H i ) > 0 pro i = 1,..., n a že H 1 H 2 H n = Ω. (Jevy H 1,..., H n nazýváme hypotézy.) Ω H 1 H 2... H n
34 Úplná pravděpodobnost, Bayesův vzorec Věta o úplné pravděpodobnosti dokončení Pak pro každý náhodný jev A platí P(A)=P(H 1 ) P(A H 1 ) + P(H 2 ) P(A H 2 ) + + P(H n ) P(A H n ) n = P(H i ) P(A H i ) i=1 Ω H 1 H 2... H n A
35 Úplná pravděpodobnost, Bayesův vzorec Bayesův vzorec Jestliže P(A) > 0, pak pro každé j = 1,..., n platí P(H j A)= P(H j A) P(A) = P(H j) P(A H j ) P(A) = = P(H j) P(A H j ). n P(H i ) P(A H i ) i=1
Úvod do teorie pravděpodobnosti
Úvod do teorie pravděpodobnosti Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 9. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 33 Obsah 1 Náhodné jevy 2 Pravděpodobnost 3 Podmíněná
VíceZáklady teorie pravděpodobnosti
Základy teorie pravděpodobnosti Náhodný jev Pravděpodobnost náhodného jevu Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi ;-) roman.biskup(at)email.cz 15. srpna 2012 Statistika
Více2. přednáška - PRAVDĚPODOBNOST
2. přednáška - PRAVDĚPODOBNOST NÁHODNÝ POKUS A JEV Každá opakovatelná činnost prováděná za stejných nebo přibližně stejných podmínek, jejíž výsledek je nejistý a závisí na náhodě, se nazývá náhodný pokus.
VícePravděpodobnost a její vlastnosti
Pravděpodobnost a její vlastnosti 1 Pravděpodobnost a její vlastnosti Náhodné jevy Náhodný jev je výsledek pokusu (tj. realizace určitého systému podmínek) a jeho charakteristickým rysem je, že může, ale
VíceNáhodné jevy. Teorie pravděpodobnosti. Náhodné jevy. Operace s náhodnými jevy
Teorie pravděpodobnosti Náhodný pokus skončí jedním z řady možných výsledků předem nevíme, jak skončí (náhoda) příklad: hod kostkou, zítřejší počasí,... Pravděpodobnost zkoumá náhodné jevy (mohou, ale
Vícepravděpodobnosti Pravděpodobnost je teorií statistiky a statistika je praxí teorie pravděpodobnosti.
3.1 Základy teorie pravděpodobnosti Pravděpodobnost je teorií statistiky a statistika je praxí teorie pravděpodobnosti. Co se dozvíte Náhodný pokus a náhodný jev. Pravděpodobnost, počítání s pravděpodobnostmi.
VíceObsah. Základy teorie pravděpodobnosti Náhodný jev Pravděpodobnost náhodného jevu Pravděpodobnost. Pravděpodobnost. Děj pokus jev
Obsah Základy teorie pravděpodobnosti Náhodný jev Pravděpodobnost náhodného jevu Definice pojmů Náhodný jev Pravděpodobnost Roman Biskup (zapálený) statistik ve výslužbě, aktuálně analytik v praxi;-) roman.biskup(at)email.cz
VíceDiskrétní matematika. DiM /01, zimní semestr 2016/2017
Diskrétní matematika Petr Kovář petr.kovar@vsb.cz Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava DiM 470-2301/01, zimní semestr 2016/2017 O tomto souboru Tento soubor je zamýšlen především jako pomůcka
VíceDiskrétní matematika. DiM /01, zimní semestr 2018/2019
Diskrétní matematika Petr Kovář petr.kovar@vsb.cz Vysoká škola báňská Technická univerzita Ostrava DiM 470-2301/01, zimní semestr 2018/2019 O tomto souboru Tento soubor je zamýšlen především jako pomůcka
VícePravděpodobnost a statistika
Pravděpodobnost a statistika 1 Náhodné pokusy a náhodné jevy Činnostem, jejichž výsledek není jednoznačně určen podmínkami, za kterých probíhají, a které jsou (alespoň teoreticky) neomezeně opakovatelné,
VíceIB112 Základy matematiky
IB112 Základy matematiky Základy kombinatoriky a kombinatorická pravděpodobnost Jan Strejček Obsah IB112 Základy matematiky: Základy kombinatoriky a kombinatorická pravděpodobnost 2/57 Výběry prvků bez
VíceMatematika III. 27. září Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava. Matematika III
Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava 27. září 2018 Teorie pravděpodobnosti Teorie pravděpodobnosti je odvětvím matematiky, které studuje matematické modely náhodných pokusu, tedy zabývá se
VícePravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 2
Pravděpodobnost a statistika (BI-PST) Cvičení č. 2 J. Hrabáková, I. Petr, F. Štampach, D. Vašata Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních technologií České vysoké učení technické v Praze ZS 2014/2015
VíceMatematika III. 4. října Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava. Matematika III
Vysoká škola báňská - Technická univerzita Ostrava 4. října 2018 Podmíněná pravděpodobnost Při počítání pravděpodobnosti můžeme k náhodnému pokusu přidat i nějakou dodatečnou podmínku. Podmíněná pravděpodobnost
VíceTeorie pravěpodobnosti 1
Teorie pravěpodobnosti 1 1 Tyto materiály byly vytvořeny za pomoci grantu FRVŠ číslo 1145/2004. Náhodný jev a pravděpodobnost Každou zákonitost sledovanou v přírodě lze zjednodušeně charakterizovat jako
VíceNěkdy lze výsledek pokusu popsat jediným číslem, které označíme X (nebo jiným velkým písmenem). Hodíme dvěma kostkami jaký padl součet?
Náhodné veličiny Náhodné veličiny Někdy lze výsledek pokusu popsat jediným číslem, které označíme X (nebo jiným velkým písmenem). Příklad Vytáhneme tři karty z balíčku zajímá nás, kolik je mezi nimi es.
Více5.1. Klasická pravděpodobnst
5. Pravděpodobnost Uvažujme množinu Ω všech možných výsledků náhodného pokusu, například hodu mincí, hodu kostkou, výběru karty z balíčku a podobně. Tato množina se nazývá základní prostor a její prvky
VíceNáhodný pokus Náhodným pokusem (stručněji pokusem) rozumíme každé uskutečnění určitého systému podmínek resp. pravidel.
Základy teorie pravděpodobnosti Náhodný pokus Náhodným pokusem (stručněji pokusem) rozumíme každé uskutečnění určitého systému podmínek resp. pravidel. Poznámka: Výsledek pokusu není předem znám (výsledek
VícePravděpodobnost a statistika
Pravděpodobnost a statistika Teorie pravděpodobnosti popisuje vznik náhodných dat, zatímco matematická statistika usuzuje z dat na charakter procesů, jimiž data vznikla. NÁHODNOST - forma existence látky,
VíceMatematika I 2a Konečná pravděpodobnost
Matematika I 2a Konečná pravděpodobnost Jan Slovák Masarykova univerzita Fakulta informatiky 24. 9. 2012 Obsah přednášky 1 Pravděpodobnost 2 Nezávislé jevy 3 Geometrická pravděpodobnost Viděli jsme už
VíceJiří Neubauer. Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel
Katedra ekonometrie, FVL, UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz Definice P(A/B) pravděpodobnost nastoupení jevu A za předpokladu, že nastal jev B (P(B) > 0) definujeme vztahem
VíceNMAI059 Pravděpodobnost a statistika
NMAI059 Pravděpodobnost a statistika podle přednášky Daniela Hlubinky (hlubinka@karlin.mff.cuni.cz) zapsal Pavel Obdržálek (pobdr@matfyz.cz) 205/20 poslední změna: 4. prosince 205 . přednáška. 0. 205 )
Vícepravděpodobnosti a Bayesova věta
NMUMP0 (Pravděpodobnost a matematická statistika I) Nezávislost, podmíněná pravděpodobnost, věta o úplné pravděpodobnosti a Bayesova věta. Házíme dvěma pravidelnými kostkami. (a) Jaká je pravděpodobnost,
VícePravděpodobnost a aplikovaná statistika
Pravděpodobnost a aplikovaná statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 1. KAPITOLA - PRAVDĚPODOBNOST 2.10.2017 Kontakt Mgr. Jana Sekničková, Ph.D. jana.seknickova@vse.cz Katedra softwarového inženýrství Fakulta
Více3. Podmíněná pravděpodobnost a Bayesův vzorec
3. Podmíněná pravděpodobnost a Bayesův vzorec Poznámka: V některých úlohách řešíme situaci, kdy zkoumáme pravděpodobnost náhodného jevu za dalších omezujících podmínek. Nejčastěji má omezující podmínka
Více2. Definice pravděpodobnosti
2. Definice pravděpodobnosti 2.1. Úvod: V přírodě se setkáváme a v přírodních vědách studujeme pomocí matematických struktur a algoritmů procesy dvojího druhu. Jednodušší jsou deterministické procesy,
VícePoznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 1. téma
Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 1. téma Motivace Na otázku, při jaké teplotě vře voda, nejspíš neodpovíte. Budete chtít znát podmínky, které máte uvažovat. Víme, že za normálního tlaku, tj.
VíceLékařská biofyzika, výpočetní technika I. Biostatistika Josef Tvrdík (doc. Ing. CSc.)
Lékařská biofyzika, výpočetní technika I Biostatistika Josef Tvrdík (doc. Ing. CSc.) Přírodovědecká fakulta, katedra informatiky josef.tvrdik@osu.cz konzultace úterý 14.10 až 15.40 hod. http://www1.osu.cz/~tvrdik
VíceMotivace. 1. Náhodné jevy. Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 1. téma
Poznámky k předmětu Aplikovaná statistika, 1. téma Motivace Na otázku, při jaké teplotě vře voda, nejspíš neodpovíte. Budete chtít znát podmínky, které máte uvažovat. Víme, že za normálního tlaku, tj.
VíceJevy, které za daných podmínek mohou, ale nemusí nastat, nazýváme náhodnými jevy. Příklad: při hodu hrací kostkou padne trojka
Náhodný jev Mějme určitý soubor podmínek. Provedeme pokus, který budeme chtít zopakovat. Pokud opakování pokusu při zachování nám známých podmínek nevede k jednoznačnému výsledku, můžeme se domnívat, že
VícePodmíněná pravděpodobnost
odmíněná pravděpodobnost 5. odmíněná pravděpodobnost 5.. Motivace: Opakovaně nezávisle provádíme týž náhodný pokus a sledujeme nastoupení jevu A v těch pokusech, v nichž nastoupil jev H. odmíněnou relativní
VícePravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium. Jan Kracík
Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium Letní semestr 2016/2017 Tutoriál č. 1: Kombinatorika, úvod do teorie pravděpodobnosti Jan Kracík jan.kracik@vsb.cz Kombinatorika Kombinatorika
VíceInženýrská statistika pak představuje soubor postupů a aplikací teoretických principů v oblasti inženýrské činnosti.
Přednáška č. 1 Úvod do statistiky a počtu pravděpodobnosti Statistika Statistika je věda a postup jak rozvíjet lidské znalosti použitím empirických dat. Je založena na matematické statistice, která je
VícePravděpodobnost Podmíněná p. Úplná p. III. Pravděpodobnost. III. Pravděpodobnost Statistika A (ZS 2015)
III Pravděpodobnost Pravděpodobnost Podmíněná p. Úplná p. Odkud se bere pravděpodobnost? 1. Pravděpodobnost, že z balíčku zamíchaných karet vytáhmene dvě esa je přibližně 0:012. Modely a teorie. 2. Pravděpodobnost,
Víceletní semestr Katedra pravděpodobnosti a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy Matematická statistika
Šárka Hudecová Katedra i a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy letní semestr 2012 1 1 Založeno na materiálech doc. Michala Kulicha Organizační pokyny k přednášce přednáškové
VíceNáhodný jev. Jevy, které za daných podmínek mohou, ale nemusí nastat, nazýváme náhodnými jevy.
Náhodný jev Mějme určitý soubor podmínek. Provedeme pokus, který budeme chtít zopakovat. Pokud opakování pokusu při zachování nám známých podmínek nevede k jednoznačnému výsledku, můžeme se domnívat, že
Více5. Náhodná veličina. 2. Házíme hrací kostkou dokud nepadne šestka. Náhodná veličina nabývá hodnot z posloupnosti {1, 2, 3,...}.
5. Náhodná veličina Poznámka: Pro popis náhodného pokusu jsme zavedli pojem jevového pole S jako množiny všech možných výsledků a pravděpodobnost náhodných jevů P jako míru výskytů jednotlivých výsledků.
Více5 Pravděpodobnost. Sestavíme pravděpodobnostní prostor, který modeluje vytažení dvou ponožek ze šuplíku. Elementární jevy
Typické příklady pro zápočtové písemky DiM 70-30 (Kovář, Kovářová, Kubesa) (verze: November 5, 08) 5 Pravděpodobnost 5.. Jiří má v šuplíku rozházených osm párů ponožek, dva páry jsou černé, dva páry modré,
VíceTEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI. 2. cvičení
TEORIE RAVDĚODONOSTI 2. cvičení Základní pojmy Klasická def. Statistická def. Geometrická def. odmíněná prav. ayesův teorém Test Základní pojmy Náhodný pokus - je každý konečný děj, jehož výsledek není
Více1. Statistická analýza dat Jak vznikají informace Rozložení dat
1. Statistická analýza dat Jak vznikají informace Rozložení dat J. Jarkovský, L. Dušek, S. Littnerová, J. Kalina Význam statistické analýzy dat Sběr a vyhodnocování dat je způsobem k uchopení a pochopení
VíceJevy A a B jsou nezávislé, jestliže uskutečnění jednoho jevu nemá vliv na uskutečnění nebo neuskutečnění jevu druhého
8. Základy teorie pravděpodobnosti 8. ročník 8. Základy teorie pravděpodobnosti Pravděpodobnost se zabývá matematickými zákonitostmi, které se projevují v náhodných pokusech. Tyto zákonitosti mají opodstatnění
VícePravděpodobnost a aplikovaná statistika
Pravděpodobnost a aplikovaná statistika MGR. JANA SEKNIČKOVÁ, PH.D. 2. KAPITOLA PODMÍNĚNÁ PRAVDĚPODOBNOST 3. KAPITOLA NÁHODNÁ VELIČINA 9.11.2017 Opakování Uveďte příklad aplikace geometrické definice pravděpodobnosti
VícePravděpodobnost je. Martina Litschmannová Katedra aplikované matematiky, FEI, VŠB-TU Ostrava
Pravděpodobnost je Martina Litschmannová Katedra aplikované matematiky, FEI, VŠB-TU Ostrava ŠKOMAM, 24. 1. 2017 Čím se zabývá teorie pravděpodobnosti? Pokus děj, který probíhá, resp. nastává opakovaně
VíceIII/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT
Název školy Gymnázium, Šternberk, Horní nám. 5 Číslo projektu CZ.1.07/1.5.00/34.0218 Šablona III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Označení materiálu VY_32_INOVACE_Hor016 Vypracoval(a),
VíceNáhodný jev a definice pravděpodobnosti
Náhodný jev a definice pravděpodobnosti Obsah kapitoly Náhodný jev. Vztahy mezi náhodnými jevy. Pravidla pro počítání s pravděpodobnostmi. Formule úplné pravděpodobnosti a Bayesův vzorec. Studijní cíle
VíceTeorie pravděpodobnosti
Teorie pravděpodobnosti Petra Schreiberová, Viktor Dubovský Katedra matematiky a deskriptivní geometrie Vysoká škola báňská Technická Univerzita Ostrava Ostrava 2018 OBSAH 1 Jevy 3 1.1 Základní pojmy...................................
Vícea způsoby jejího popisu Ing. Michael Rost, Ph.D.
Podmíněná pravděpodobnost, náhodná veličina a způsoby jejího popisu Ing. Michael Rost, Ph.D. Podmíněná pravděpodobnost Pokud je jev A vázán na uskutečnění jevu B, pak tento jev nazýváme jevem podmíněným
VíceMatematika B101MA1, B101MA2
Matematika B101MA1, B101MA2 Zařazení předmětu: povinný předmět 1.ročníku bc studia 2 semestry Rozsah předmětu: prezenční studium 2 + 2 kombinované studium 16 + 0 / semestr Zakončení předmětu: ZS zápočet
VíceUNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE
UNIVERZITA PALACKÉHO V OLOMOUCI PŘÍRODOVĚDECKÁ FAKULTA KATEDRA MATEMATICKÉ ANALÝZY A APLIKACÍ MATEMATIKY BAKALÁŘSKÁ PRÁCE Sbírka řešených příkladů z pravděpodobnosti: náhodný jev Vedoucí bakalářské práce:
VíceCvičení ze statistiky - 5. Filip Děchtěrenko
Cvičení ze statistiky - 5 Filip Děchtěrenko Minule bylo.. Začali jsme pravděpodobnost Klasická a statistická definice pravděpodobnosti Náhodný jev Doplněk, průnik, sjednocení Podmíněná pravděpodobnost
VíceKOMBINATORIKA. 1. cvičení
KOMBINATORIKA 1. cvičení Co to je kombinatorika Kombinatorika je vstupní branou do teorie pravděpodobnosti. Zabývá se různými způsoby výběru prvků z daného souboru. 2011 Ing. Janurová Kateřina, FEI VŠB-TU
VíceMatematická analýza 1
Matematická analýza 1 ZS 2019-20 Miroslav Zelený 1. Logika, množiny a základní číselné obory 2. Limita posloupnosti 3. Limita a spojitost funkce 4. Elementární funkce 5. Derivace 6. Taylorův polynom Návod
VíceMETRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY
PŘEDNÁŠKA 1 METRICKÉ A NORMOVANÉ PROSTORY 1.1 Prostor R n a jeho podmnožiny Připomeňme, že prostorem R n rozumíme množinu uspořádaných n tic reálných čísel, tj. R n = R } R {{ R }. n krát Prvky R n budeme
VícePravděpodobnost (pracovní verze)
Pravděpodobnost (pracovní verze) 1. Definice pojmů Jednoduchý/náhodný pokus (simple experiment) Akt vedoucí k jednomu výsledku - např. hod kostkou, zatočení ruletou, vytažení karty z balíčku, výběr osoby
VícePRAVDĚPODOBNOST Náhodné pokusy. Náhodný jev
RAVDĚODOBNOST Náhodné pokusy okusy ve fyzice, chemii při splnění stanov. podmínek vždy stejný výsledek ř. Změna skupenství vody při 00 C a tlaku 00 ka okusy v praxi, vědě, výzkumu při dodržení stejných
VícePopulace vs. data. popisná (deskriptivní) popis konkrétních dat. letní semestr 2012 1
? Šárka Hudecová Katedra i a matematické statistiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy letní semestr 2012 1? Statistika = věda o získávání, zpracování a interpretaci informace obsažené v
VíceStatistika (KMI/PSTAT)
Statistika (KMI/PSTAT) Cvičení šesté aneb Podmíněná pravděpodobnost Statistika (KMI/PSTAT) 1 / 13 Pravděpodobnost náhodných jevů Po dnešní hodině byste měli být schopni: rozumět pojmu podmíněná pravděpodobnost
VíceTomáš Karel LS 2012/2013
Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není
VíceNáhodný pokus každá opakovatelná činnost, prováděná za stejných nebo přibližně stejných podmínek, jejíž výsledek je nejistý a závisí na náhodě.
Základy teorie pravděpodobnosti Náhodný pokus každá opakovatelná činnost, prováděná za stejných nebo přibližně stejných podmínek, jejíž výsledek je nejistý a závisí na náhodě. Náhodný jev jakékoli tvrzení
VíceZákladní pojmy teorie množin Vektorové prostory
Základní pojmy teorie množin Přednáška MATEMATIKA č. 1 Katedra ekonometrie FEM UO Brno kancelář 69a, tel. 973 442029 email:jiri.neubauer@unob.cz 7. 10. 2010 Základní pojmy teorie množin Základní pojmy
VícePříklad 0.1. Máme balíček karet na Kanastu: celkem 56 karet, z toho čtyři žolíci. Jak často při sejmutí
0.1 Pravděpodobnost 1 0.1 Pravděpodobnost V příkladech, na kterých budeme základní pojmy vysvětlovat, se většinou setkáme s možná poněkud neprakticky vyhlížejícím házením kostkami, vytahováním barevných
VícePRAVDĚPODOBNOST A JEJÍ UŽITÍ
PRAVDĚPODOBNOST A JEJÍ UŽITÍ Základním pojmem teorie pravděpodobnosti je náhodný jev. náhodný jev : výsledek nějaké činnosti nebo pokusu, o němž má smysl prohlásit že nastal nebo ne. Náhodné jevy se označují
VíceUrčeno studentům středního vzdělávání s maturitní zkouškou, 4. ročník, okruh Základy počtu pravděpodobnosti
PRAVDĚPODOBNOST anotace Určeno studentům středního vzdělávání s maturitní zkouškou, 4. ročník, okruh Základy počtu pravděpodobnosti VM vytvořil: Mgr. Marie Zapadlová Období vytvoření VM: září 2013 Klíčová
VíceMinikurz aplikované statistiky. Minikurz aplikované statistiky p.1
Minikurz aplikované statistiky Marie Šimečková, Petr Šimeček Minikurz aplikované statistiky p.1 Program kurzu základy statistiky a pravděpodobnosti regrese (klasická, robustní, s náhodnými efekty, ev.
VíceKaždé formuli výrokového počtu přiřadíme hodnotu 0, půjde-li o formuli nepravdivou, a hodnotu 1, půjde-li. α neplatí. β je nutná podmínka pro α
1. JAZYK ATEATIKY 1.1 nožiny nožina je souhrn objektů určitých vlastností, které chápeme jako celek. ZNAČENÍ. x A x A θ A = { { a, b a A = B A B 0, 1 2 a, a,..., a n x patří do množiny A x nepatří do množiny
Vícenáhodný jev je podmnožinou
Pravděpodobnost Dovednosti a cíle - Chápat jev A jako podmnožinu množiny, která značí množinu všech výsledků náhodného děje. - Umět zapsat jevy pomocí množinových operací a obráceně umět z množinového
VícePRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA
PRAVDĚPODOBNOST A STATISTIKA Náhodná proměnná Náhodná veličina slouží k popisu výsledku pokusu. Před provedením pokusu jeho výsledek a tedy ani sledovanou hodnotu neznáme. Přesto bychom chtěli tento pokus
Více1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1
1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 Báze a dimenze vektorového prostoru 1 2 Aritmetické vektorové prostory 7 3 Eukleidovské vektorové prostory 9 Levá vnější operace Definice 5.1 Necht A B. Levou vnější
VíceŘešené příklady z pravděpodobnosti:
Řešené příklady z pravděpodobnosti: 1. Honza se ze šedesáti maturitních otázek 10 nenaučil. Při zkoušce si losuje dvě otázky. a. Určete pravděpodobnost jevu A, že si vylosuje pouze otázky, které se naučil.
VíceDobývání znalostí. Doc. RNDr. Iveta Mrázová, CSc. Katedra teoretické informatiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy v Praze
Dobývání znalostí Doc. RNDr. Iveta Mrázová, CSc. Katedra teoretické informatiky Matematicko-fyzikální fakulta Univerzity Karlovy v Praze Dobývání znalostí Pravděpodobnost a učení Doc. RNDr. Iveta Mrázová,
VíceCZ.1.07/1.5.00/34.0619 CZ.1.07/1.5.00/34.0619 Zvyšování vzdělanosti pomocí e-prostoru OP Vzdělávání pro konkurenceschopnost
CZ.1.07/1.5.00/34.0619 CZ.1.07/1.5.00/34.0619 Zvyšování vzdělanosti pomocí e-prostoru OP Vzdělávání pro konkurenceschopnost Soukromá střední škola a jazyková škola s právem státní jazykové zkoušky Č. Budějovice,
VíceTEORIE MÍRY V některých předchozích kapitolách jste se setkali s měřením velikostí množin a víte, jaké byly těžkosti s měřením množin i na reálné ose.
TEORIE MÍRY V některých předchozích kapitolách jste se setkali s měřením velikostí množin a víte, jaké byly těžkosti s měřením množin i na reálné ose. Kvůli těmto těžkostem se měření zúžilo jen na délku
Více1 Pravděpodobnostní prostor
PaS 1.-10. přednáška 1 Pravděpodobnostní prostor Náhodný pokus je takový pokus, jehož výsledek nelze s jistotou předpovědět. Pokud jsme schopni pokus za stále stejných podmínek opakovat (například házíme
Více0. ÚVOD - matematické symboly, značení,
0. ÚVOD - matematické symboly, značení, číselné množiny Výroky Výrok je každé sdělení, u kterého lze jednoznačně rozhodnout, zda je či není pravdivé. Každému výroku lze proto přiřadit jedinou pravdivostní
VíceZáklady teorie množin
1 Základy teorie množin Z minula: 1. Cantorovu větu (x P(x)) 2. základní vlastnosti disjunktního sjednocení, kartézského součinu a množinové mocniny (z hlediska relací, ) 3. vztah P(a) a 2 4. větu (2 a
VíceNáhodná veličina. Michal Fusek. 10. přednáška z ESMAT. Ústav matematiky FEKT VUT, Michal Fusek
Náhodná veličina Michal Fusek Ústav matematiky FEKT VUT, fusekmi@feec.vutbr.cz 10. přednáška z ESMAT Michal Fusek (fusekmi@feec.vutbr.cz) 1 / 71 Obsah 1 Náhodná veličina 2 Diskrétní náhodná veličina 3
VíceIV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel
Matematická analýza IV. Základní pojmy matematické analýzy IV.1. Rozšíření množiny reálných čísel na množině R je definováno: velikost (absolutní hodnota), uspořádání, aritmetické operace; znázornění:
VíceDEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY
DEFINICE Z LINEÁRNÍ ALGEBRY Skripta Matematické metody pro statistiku a operační výzkum (Nešetřilová, H., Šařecová, P., 2009). 1. definice Vektorovým prostorem rozumíme neprázdnou množinu prvků V, na které
Více( ) ( ) 9.2.7 Nezávislé jevy I. Předpoklady: 9204
9.2.7 Nezávislé jevy I Předpoklady: 9204 Př. : Předpokládej, že pravděpodobnost narození chlapce je stejná jako pravděpodobnost narození dívky (a tedy v obou případech rovna 0,5) a není ovlivněna genetickými
VíceMETODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání
METODICKÉ LISTY Z MATEMATIKY pro gymnázia a základní vzdělávání Jaroslav Švrček a kolektiv Rámcový vzdělávací program pro gymnázia Vzdělávací oblast: Matematika a její aplikace Tematický okruh: Práce s
Více1 Kardinální čísla. množin. Tvrzení: Necht X Cn. Pak: 1. X Cn a je to nejmenší prvek třídy X v uspořádání (Cn, ),
Pracovní text k přednášce Logika a teorie množin 4.1.2007 1 1 Kardinální čísla 2 Ukázali jsme, že ordinální čísla reprezentují typy dobrých uspořádání Základy teorie množin Z minula: 1. Věta o ordinálních
VíceZákladní pojmy a úvod do teorie pravděpodobnosti. Ing. Michael Rost, Ph.D.
Základní pojmy a úvod do teorie pravděpodobnosti Ing. Michael Rost, Ph.D. Co je to Statistika? Statistiku lze definovat jako vědní obor, zabývající se hromadnými jevy a procesy. Statistika zahrnuje jak
Vícea) 7! 5! b) 12! b) 6! 2! d) 3! Kombinatorika
Kombinatorika Kombinatorika se zabývá vytvářením navzájem různých skupin z daných prvků a určováním počtu takových skupin. Kombinatorika se zabývá pouze konečnými množinami. Při určování počtu výběrů skupin
VíceTomáš Karel LS 2012/2013
Tomáš Karel LS 2012/2013 Doplňkový materiál ke cvičení z předmětu 4ST201. Na případné faktické chyby v této presentaci mě prosím upozorněte. Děkuji. Tyto slidy berte pouze jako doplňkový materiál není
VíceZÁKLADY TEORIE PRAVDĚPODOBNOSTI
ZÁKLDY TEORIE RVDĚODOBNOSTI 1 Vytvořeno s podporou projektu růřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na discipliny společného základu (reg. č. CZ.1.07/2.2.00/28.0021)
VícePŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI
PŘEDNÁŠKA 2 POSLOUPNOSTI 2.1 Zobrazení 2 Definice 1. Uvažujme libovolné neprázdné množiny A, B. Zobrazení množiny A do množiny B je definováno jako množina F uspořádaných dvojic (x, y A B, kde ke každému
VíceZnačení 1.1 (posloupnost výsledků pokusu). Mějme posloupnost opakovaných (i závislých) pokusů,
Rekurentní jevy Značení. (posloupnost výsledků pokusu). Mějme posloupnost opakovaných (i závislých) pokusů, kde každý má tutéž konečnou nebo spočetnou množinu výsledků E, E,...}. Pak E j,..., E jn } značí
VíceProjekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/ Matematika pro všechny. Univerzita Palackého v Olomouci
Projekt OPVK - CZ.1.07/1.1.00/26.0047 Matematika pro všechny Univerzita Palackého v Olomouci Tematický okruh: Práce s daty, kombinatorika a pravděpodobnost Gradovaný řetězec úloh Téma: Pravděpodobnost
VíceInformační a znalostní systémy
Informační a znalostní systémy Teorie pravděpodobnosti není v podstatě nic jiného než vyjádření obecného povědomí počítáním. P. S. de Laplace Pravděpodobnost a relativní četnost Pokusy, výsledky nejsou
VíceMatematická statistika
Matematická statistika Tomáš Hobza 2. února 2011 Obsah Literatura 3 1 Úvod 4 1.1 Klasická definice pravděpodobnosti..................... 4 1.1.1 Základní kombinatorické vzorce................... 5 1.2
VícePravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium. Jan Kracík
Pravděpodobnost a statistika, Biostatistika pro kombinované studium Letní semestr 2017/2018 Tutoriál č. 2:, náhodný vektor Jan Kracík jan.kracik@vsb.cz náhodná veličina rozdělení pravděpodobnosti náhodné
VíceVektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice
Vektorové podprostory, lineární nezávislost, báze, dimenze a souřadnice Vektorové podprostory K množina reálných nebo komplexních čísel, U vektorový prostor nad K. Lineární kombinace vektorů u 1, u 2,...,u
VíceCílem kapitoly je opakování a rozšíření středoškolských znalostí v oblasti teorie množin.
1.2. Cíle Cílem kapitoly je opakování a rozšíření středoškolských znalostí v oblasti teorie množin. Průvodce studiem Množina je jedním ze základních pojmů moderní matematiky. Teorii množin je možno budovat
VíceMnožiny, relace, zobrazení
Množiny, relace, zobrazení Množiny Množinou rozumíme každý soubor určitých objektů shrnutých v jeden celek. Zmíněné objekty pak nazýváme prvky dané množiny. Pojem množina je tedy synonymem pojmů typu soubor,
VíceDefinice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují
Definice. Vektorový prostor V nad tělesem T je množina s operacemi + : V V V, tj. u, v V : u + v V : T V V, tj. ( u V )( a T ) : a u V které splňují 1. u + v = v + u, u, v V 2. (u + v) + w = u + (v + w),
VíceŠkola: Gymnázium, Brno, Slovanské náměstí 7 III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Název projektu: Inovace výuky na GSN
Škola: Gymnázium, Brno, Slovanské náměstí 7 Šablona: III/2 Inovace a zkvalitnění výuky prostřednictvím ICT Název projektu: Inovace výuky na GSN prostřednictvím ICT Číslo projektu: CZ.1.07/1.5.00/34.0940
VíceAproximace binomického rozdělení normálním
Aproximace binomického rozdělení normálním Aproximace binomického rozdělení normálním Příklad Sybilla a Kassandra tvrdí, že mají telepatické schopnosti, a chtějí to dokázat následujícím pokusem: V jedné
VíceLineární algebra : Lineární (ne)závislost
Lineární algebra : Lineární (ne)závislost (4. přednáška) František Štampach, Karel Klouda frantisek.stampach@fit.cvut.cz, karel.klouda@fit.cvut.cz Katedra aplikované matematiky Fakulta informačních technologií
VíceNÁHODNÁ VELIČINA. 3. cvičení
NÁHODNÁ VELIČINA 3. cvičení Náhodná veličina Náhodná veličina funkce, která každému výsledku náhodného pokusu přiřadí reálné číslo. Je to matematický model popisující více či méně dobře realitu, který
Více