Pravdepodobnosť. Rozdelenia pravdepodobnosti

Transkript

1 Pravdepodobnosť Rozdelenia pravdepodobnosti

2 Pravdepodobnosť Teória pravdepodobnosti je matematickým základom pre odvodenie štatistických metód. Základné pojmy náhoda náhodný jav náhodná premenná pravdepodobnosť náhodný výber

3 Základné pojmy náhodné javy - javy, ktoré za určitých podmienok, v závislosti od náhody, môžu, ale nemusia nastať sa (A, B, C,...). náhodný pokus - realizácia náhodného javu Pr. hod kockou náhodné javy pri jednom hode kockou sú 1, 2, 3, 4, 5, 6. Pravdepodobnosť nejakého náhodného javu môžeme prirovnať k šanci, s akou sa daný náhodný jav stane. Výpočet pravdepodobnosti, že nastane jav A: P A = m n - pomer výsledkov, keď nastane jav A (m), k počtu všetkých možných výsledkov (n).

4 Základné pojmy Príklad: Aká je pravdepodobnosť, že pri jednom hode kockou padne číslo 4? Celkový počet výsledkov... 6 (vždy padne 1, 2, 3, 4, 5 alebo 6) Počet výsledkov, keď padne číslo Pravdepodobnosť, že padne číslo 4 (nastane jav A)je: P(A)= 1/6 Príklad: Aká je pravdepodobnosť, že pri jednom hode kockou padne párne číslo? Celkový počet javov... 6 Počet výsledkov, keď padne párne číslo... 3 (číslo 2, 4, 6) Pravdepodobnosť, že padne párne číslo (nastane jav A)je: P(A)= 3/6 = 1/2 Pozn.: Pre výpočet pravdepodobnosti náhodného javu A P(A)=m/n platí podobný princíp ako pri výpočte relatívnej početnosti nejakej hodnoty znaku x i (n i /n).

5 Základné pojmy Náhodná premenná Náhodne vyberáme štatistické jednotky (ľudia, výrobky,...) a na nich zisťujeme nejaké hodnoty (výška postavy, počet chybných výrobkov). Keď je možné priradiť číslo, môžeme zaviesť funkciu. Funkcia sa nazýva náhodná premenná. náhodné premenné: X 1, X 2, X 3,... hodnoty náhodných premenných: x 1, x 2, x 3, Diskrétna nadobúda len niektoré izolované hodnoty z určitého intervalu (počet žiakov v triede) Spojitá nadobúda všetky hodnoty z konečného alebo nekonečného intervalu (výška, hmotnosť)

6 Náhodná premenná je charakterizovaná: možnými hodnotami pravdepodobnosťami, s ktorými nastávajú možné hodnoty Rozdelenie pravdepodobnosti Úplný opis náhodnej premennej, kde je každej možnej hodnote priradená pravdepodobnosť, s ktorou možná hodnota nastane. Rozdelenie pravdepodobnosti môže byť charakterizované: tabuľkou funkciou grafom

7 Rozdelenie pravdepodobnosti diskrétnej náhodnej premennej: Hodnota náhodnej premennej x 1 x 2 x 3... x n Pravdepodobnosť p(x 1 ) p(x 2 ) p(x 3 )... p(x n ) 1 Rozdelenie pravdepodobnosti hodu kockou: Hodnota Pravdepodobnosť 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1/6 1

8 Diskrétna náhodná premenná a) Pravdepodobnostná funkcia p x i = P X = x i, i = 1,2,3,.. n n i=1 p x i = 1 b) Distribučná funkcia F(x) Popisuje pravdepodobnostné správanie náhodnej premennej. Vyjadruje pravdepodobnosť, že náhodná premenná X nadobudne hodnotu menšiu alebo rovnú x. F x = P X x n x

9 Spojitá náhodná premenná a) Hustota pravdepodobnosti NP funkcia f(x) umožňuje vypočítať pravdepodobnosť, že náhodná premenná nadobudne hodnoty z určitého intervalu b) Distribučná funkcia F(x) Popisuje pravdepodobnostné správanie náhodnej premennej. Vyjadruje pravdepodobnosť, že náhodná premenná X nadobudne hodnotu menšiu alebo rovnú x. F x = P X x = f x dx x

10 Normálne rozdelenie χ 2 - rozdelenie Studentovo t-rozdelenie

11 Normálne rozdelenie pravdepodobnosti N(μ, σ 2 ) Parametre: μ stredná hodnota hodnota, okolo ktorej očakávame, že sa budú vyskytovať hodnoty náhodných premenných, udáva, kde na osi x má krivka normálneho rozdelenia maximum σ 2 rozptyl rozptyl náhodnej premennej udáva šírku rozdelenia (kopca hustoty)

12 Normálne rozdelenie Tri normálne rozdelenia okolo strednej hodnoty =12. Ak má rozdelenie silný rozptyl ( =2) je krivka plochá a rozložená. Ak je rozptyl malý ( =0,5), je krivka strmá a vysoká. Stredná krivka vykazuje proporcie tzv. normovaného normálneho rozdelenia N(0, 1).

13 Kritická hodnota Pojem používaný pri testovaní štatistických hypotéz.

14 Normálne rozdelenie

15 χ 2 rozdelenie Máme n nezávislých náhodných premenných a každá má N(0,1). Počet náhodných premenných udáva počet stupňov voľnosti

16 χ 2 rozdelenie

17 Studentovo t-rozdelenie t(n) Pracujeme s dvoma náhodnými premennými. Prvá má normované normálne rozdelenie N(0,1), druhá má χ 2 rozdelenie s n stupňami voľnosti

18 Výpočet kritických hodnôt v Exceli