Aplikace matematiky. František Kroupa Napětí a deformace v nekonečném pásu, způsobené hranovou dislokací

Transkript

1 Aplikace matematiky František Krupa Napětí a defrmace v neknečném pásu, způsbené hranvu dislkací Aplikace matematiky, Vl. 4 (1959), N. 5, 239 (339)--254 (354) Persistent URL: Terms f use: Institute f Mathematics AS CR, 1959 Institute f Mathematics f the Academy f Sciences f the Czech Republic prvides access t digitized dcuments strictly fr persnal use. Each cpy f any part f this dcument must cntain these Terms f use. This paper has been digitized, ptimized fr electrnic delivery and stamped with digital signature within the prject DML-CZ: The Czech Digital Mathematics Library

2 SVAZEK 4 (1959) APLIKACE MATEMATIKY ČÍSLO 5 NAPĚTÍ A DEFORMACE V NEKONEČNÉM PÁSU, ZPŮSOBENÉ HRANOVOU DISLOKACÍ FRANTIŠEK KROUPA (Dšl dne 25. září 1958.) ЮT ; Je pdán řešení základních rvnic klasické matematické terie pružnsti pr neknečný pás s hranvu dislkací v centrální rvině. Řešení je prveden pmcí Furiervých integrálů. Je upzrněn na význam tht řešení pr studium defrmace tenkých mnkrystalických vláken (whiskerů) s hranvu dislkací a pr studium defrmace pásu s vnitřními pnutími p lkálním hřevu. Budeme řešit tent prblém: 1. FORMULACE PROBLÉMU, UVOĎ Prblém 1. Určit napětí a psunutí v neknečném pásu výšky 2h a tluštky a (br. 1), bsahuje-li v centrální rvině hranvu dislkaci s Burgersvým vektrem h. Dislkační čára je klmá k rvině pásu xy, Burgersův vektr má směr sy pásu x. Vznik hranvé dislkace si můžeme názrně představit tak, jak by p rzříznutí pásu v rvině yz až k se z byla d vznikléh řezu vsunuta tenká deska tluštky b z téhž materiálu a prveden pět spjení. Z hlediska matematické terie pružnsti je dislkacích pjednán např. v [1], [2], z hlediska pruch v krystalvé mříži v [3], [4]. V pásu vzniknu vnitřní pnutí a tedy i defrmace, přičemž pás je bez vnějších zatížení, na pvrchu zůstávají nrmální a smykvá napětí nulvá. Kdybychm chtěli, aby napětí, defrmace a psunutí byla v celém pásu knečná, musili bychm z tělesa pásu vyříznut (malý) válec klem sy z, Pr jednduchst řešení tak Obr. 1. Pás s hranvu dislkací v centrální rvině. 28!)

3 neučiníme, řešení pak bude mít A se z, t je v dislkační čáře, singularitu, v které vypčtená napětí, defrmace a psunutí nabývají neknečných hdnt. V nejbližším klí sy z tedy řešení nedpvídá skutečnsti. Při řešení vyjdeme z předpkladů klasické matematické terie pružnsti a značíme: slžky napětí v pravúhlých suřadnicích a x, a y,.a z, r xy, r yzi r xz, slžky defrmace s x, e y, e z, e xv, e yz, e xz, slžky vektru psunutí u, v, w a Laméh elastické knstanty X, JU. S Pissnvu knstantu v suvisí Laméh knstanty vztahem v = ^ - -, knstanta [x má význam ve smyku. mdulu pružnsti Při řešení budeme pkládat prblém za rvinnu defrmaci, tedy platí w 0, e z = s xz = E VZ = 0, a z = v(a x + a y ), r xz = r yz = 0, a x, a y, r xy jsu funkcemi puze x, y. Pak, jak znám, je mžn převést řešení rvinnéh statickéh prblému terie pružnsti na řešení jediné biharmnické rvnice pr tak zvanu Airyh funkci napětí F(x, y), AAF(x,y) = Q, \l) při čemž slžky napětí suvisí s Airyh funkcí vztahy d 2 F c 2 F d 2 F x = W "* ^ ~~" ' T - = ~ a~"y" Krajvé pdmínky pr napětí případně psunutí můžeme pak vyjádřit přím pr funkci F(x, y), užijeme-li rvnic (2) a případně ještě Hkva zákna. Matematicky můžeme nyní prblém 1 frmulvat takt: Prblém 1': Určit Airyh funkci F(x,y), která splňuje rvnici (1) v pásu c < a; < c, h < y < h s výjimku bdu x 0, y 0 a pr kteru a) je splněna krajvá pdmínka: pr y ± h je d 2 F " = I - ~ ' d 2 F T - ~ ~ Ixty = b) psunutí v jsu jednznačnu funkcí x, y, pr psunutí u plynucí z F(x, y) však platí pdmínka pr dislkaci ' (2) (3) kde uzavřená křivka s je vedena uvnitř pásu tak, že bepíná bd x = 0, y = 0; integrační cestu vlíme prti směru ručiček hdinvých. Vzhledem k předpkladům klasické matematické terie pružnsti musí být b <^.h. Jak plyne z becných vět terie pružnsti, řešení tht prblému V existuje a ppisuje jediné rzlžení napětí. 240

4 Případ rvinné defrmace nastane přesně, je-li pás neknečný i ve směru sy z (tedy pr a -> ). Pr knečné dstatečně velké a(a^>h) můžeme s pstačující přesnstí předpkládat uvnitř pásu rvinnu defrmaci, blízk bu čel má však řešení jen přibližnu platnst. Pr tenku desku (a < 2h) můžeme prblém pkládat za rvinnu napjatst. V tmt případě je mžn, jak znám, pužít pr výpčet průměrných hdnt (průměry jsu brány přes tlušfku desky, tedy ve směru sy z) napětí 0X5 V> r xy a psunutí u, v stejných vzrců jak pr rvinnu defrmaci, puze se změněnu hdntu prvé Laméh knstanty A* - " {neb se změněnu hdntu Pissnvy knstanty * = Pr a <^ h je mžn čekávat prstrvé vybčení tenké desky, při kterém nastane zmenšení defrmační energie dislkace. V tét práci nebudeme tent případ vyšetřvat. 2, ŘEŠENÍ Řešení prblému 1' prvedeme ve 4 krcích. Uvedeme nejprve v dstavci 2,0 známé řešení pr hranvu dislkaci umístěnu v nemezeném prstru a vypčteme nrmální a smykvá napětí na rvinách y = + h. Pdáme pak řešení neknečnéh pásu zatíženéh na krajích spjitě rzlženými nrmálními (v dstavci 2,1) a tečnými (v dstavci 2,2) napětími stejné veliksti jak jjříslušná napětí z dstavce 2,0, ale pačnéh znaménka. Řešení značíme v těcht případech indexy 0, 1, 2. Řešení v 2,1 a v 2,2 nemají v pčátku singularitu a vedu k jednznačným psunutím. Superpsicí řešení z části 2,0, 2,1, 2,2 získáme pak v dstavci 2,3 řešení (značen bez indexu) pr neknečný pás s nezatíženým krajem a s hranvu dislkací v se z, tedy řešení našeh prblému 1 resp. 1'. Pmcí Airyh funkce F(x, y) pak vypčteme slžky napětí (v dstavci 2,4) a slžky defrmace případně psunutí (v dstavci 2,5). 2,0 Hranvá dislkace v neknečné rvině Řešení pr hranvu dislkaci v neknečné rvině x, y, umístěnu v pčátku suřadnic, s Burgersvým vektrem ve směru sy x (analgicky k br. 1) je dán (např. pdle [4]) Airyh funkcí F 0 (x, y), F 0 (x, y)~~dy ln )jx* + y*, (5) 241

5 kde Slžky napětí jsu pak dány výrazy D = -J^- (6) 2-r(l - v) ' - _ D yj^±f) (X 2 + y 2 ) 2 ' y(x 2 y 2 ) «n - D *, І ', (7) T n xv0 a slžky psunutí (viz např. [3]) -Ł' V + Ӯ x(x 2 y 2 ) (^ + 2/ 2 ) 2 Ď f W 1 Xí/ 1, - - ^ - j [(1-2,) In (* + И ) + * («) Na přímkách y = ±h jsu napětí nrmální (v naší neknečné rvině jde přímky myšlené) a napětí smykvá «{x, ± h) = ± N(x) =±D h ^ ^ r (9) u^^ад^l^. (ю) 2,1 Airyh funkce pr pás s pmcným nrmálním vnějším zatížením Vyřešíme nyní tent první pmcný prblém: určit Airyh funkci F x (x^y) v neknečném pásu, jsu-h krajvé hdnty napětí y=- ±h... a Vi (x, ± h) =-. + N(x), r XVi (x, ±h) = 0. (11) Odpvídá t zatížení pásu vnějším puze nrmálním specifickým zatížením pr y - h... p(x) = - A» = - L> ^r+t^ ' 7 // X T.T/ V 7^ MX 2 li 2 ) pr ^ = h... rvněž p (x) JSí(x) 1) -~~ - -. (x + h') Průběh tht pmcnéh vnějšíh zatížení na krajích y ± h je znázrněn na br. 2; pás je tímt spjitým zatížením hýbán. K řešení biharmnickéh prblému v neknečném pásu při daných kraj-

6 vých pdmínkách pr napětí je vypracván něklik metd, které jsu uvedeny v P r áci [5]. Užijeme metdy, zalžené na Furiervě transfrmaci, vycvané v [6], [7], [8], [9]., pra Obr. 2. Pmcné nrmální vnější zatížení na hrním a dlním kraji páau. Hledáme Airyh funkci takvu, aby napětí a yl jí určená byla sudu funkcí x a lichu funkcí y a aby pr y -^h napětí t xvl jí určená byla rvna nule. Takvu Airyh funkcí je pdle [6], [7] funkce typu kde (x, y) = Ф Xl x (m, y) cs mx, Ф г (m, y) == my ch mh ch my mh sh mh sh my ch mh sh my. (12) Dsazením se můžeme přesvědčit, že (x, y) splňuje biharmnicku rvnici a že její příslušné druhé derivace vyjadřující a yl Xl a t xyl mají pžadvané vlastnsti, a t pr libvlné m. Obecněji můžeme psát Airyh funkci pr náš prblém ve tvaru Furierva integrálu (x, y) = J Ф (m, y) f (m) cs mx åm, x x r ;iз) která zřejmě zachvává vlastnsti funkce (x, y). Zatím neznámu funkci Xl fi(m) určíme z krajvé pdmínky (II), tedy z pžadavku <Mя, h) - - N(x) = (dh Pl (x, y)?x* V~h l Ф г (m, h) f г (m) m 2 cs mx d m. (14) 243

7 Jelikž pr sudu funkci N(x) platí pdle Furierva terému dstáváme p srvnání s rvnicí (14) N(x) = I cs mx dm I N(t) cs mt dt, c 0 x (m, h) f x (m)m 2 2 f = I N(t) cs mtdt KJ a tedy pr funkci f x (m) dstáváme p dsazení za N(t) c = 7t0 x (m, h) m*j lp±w C S mt P výpčtu tht Furierva integrálu (při užití (10)) a p dsazení za 0 x (m, h) z (12) dstáváme pr f x (m) analytický výraz h { m ) 2Dhe~ mh ~ m (sh2mj - 2mh) " Tím je frmálně Airyh funkce y x (x, y) dána, nebť ve výrazu (13) pr ^j známe jak 0 x (m, y) pdle rvnice (12), tak i f x (m) pdle rvnice (15). Je třeba nyní zjistit, zda integrál (13) pr y) x knverguje. Integrand, t je funkce 0 x (m, y) f x (m) cs mx, se blíží pr m -» nule jak funkce e~ ctm, (c 3 pstačující rychlstí. Pr m -> O se však blíží integrand neknečnu jak Dy, ~r±~ (y 2 3/i 2 ). Vlíme prt funkci Airyh F x (x, y) v tvaru (v ffv I F^x, y) = / 0 x (m, y) f x (m) cs mx ± - -J-- (3/i 2. y 2 ) e~ m dm. (16) ntegrand tét funkce má již pr m = O knečnu hdntu a integrál (16) d 2 F x je knvergentní. Přidaný člen je biharmnicku funkcí, nemá vliv na d 2 F a -= -p a nemění tedy hdnty cr^ a r xux. Napětí daná Airyh funkcí F x (x, y) dt [i&} splňují tudíž krajvu pdmínku (11) a Airyh funkce F x (x,y) našeh prvéh pmcnéh prblému. je řešením, ;lir/h funkce pr pás s pmcným tečným vnš ším zatížením Pdáme dále řešení druhéh pmcnéh prblému: Určit Airyh funkci F 2 (x, y) v neknečném pásu, jsu-li krajvé hdnty napětí pr y = ±h... a y2 (x, ±h) = 0, r xu2 (x, ± h) = - T(x). i (17) 244

8 Odpvídá t zatížení pásu vnějším puze tečným napětím pr y = h... г(x) - T(x) - x(x 2 h 2 ) (x 2 + h 2 f P~-»=-*...T(-) = T(-) = i)^ ng. Průběh tht pmcnéh vnějšíh zatížení je vynesen na br. 3. Vidíme, že pr ttéž x mají vnější tečná napětí na bu krajích pačný smysl, půsbí tedy mmentem a jejich účinkem je pět nsník hýbán. Obr. 3. Pmcné teené vnější zatížení na hrním a dlním kraji pásu. Hledáme njmí Airyh funkci takvu, aby napětí r xy2 byla lichu funkcí x a sudu funkcí y a aby napětí a y2 jí určená byla pr y = + & rvna nule. Takvu Airyh funkcí je funkce typu kde neb becněji X 2 (x y) = 0 2 (m, y) cs mx, 0 2 (TO, y) = h ch mh sh my y sh mh ch my, (18) ip 2 (x, y) = I <X> 2 (m, y) f 2 (m) cs mx ám. Funkci f 2 (m) určíme z krajvé pdmínky (17), tedy ze vztahu (19) Ur h\ T(r\ i ^ ^ y) \ Íi ^ a ( m ' y) \ n^ m(x, h)= 1 (x) = I d x d y --J h= J I g- I _h(m)msmmxdm. (20)

9 Pdbně jak v předchzím dstavci, dstaneme p srvnání (20) s Furiervým terémem pr lichu funkci T(x) a p výpčtu h { m ) 2L>(1 -mh)e~ mh ~ m (sh 2mh~ 2mh) ' ( L) Tím je pět frmálně určen výraz pr ip 2 (x, y). Pdbně jak v předchzím dstavci je mžn ukázat, že integrál v (19) neknverguje. Aby měl integrand pr m = 0 knečnu hdntu, musíme vlit Airyh funkci F 2 (x, y) = I 0 2 (m, y) f 2 (m) cs mx + y (Í/ 2 A 2 ) er m dm. (22) Tat funkce je biharmnická, splňuje krajvu pdmínku (17) a je tedy řešením druhéh pmcnéh prblému. 2,3 Airyh funkce pr pás s hranvu dislkací Pdle výše naznačenéh pstupu řeší náš prblém 1', t je prblém neknečnéh pásu s hranvu dislkací, Airyh funkce F(x, y), F(x, y) = F 0 (x, y) + F t (x, y) + F 2 (x, y). (23) P výpčtu dstaneme pr F(x, y) 00 F(x, y) Dy ln ]/x 2 + y ) / &(m, y) f(m) cs mx + -~ er m dm, kde 0 " (24) * mh. f(m) = m (sh 2mh 2mh) a 0(m, y) = [(ma 1) sh ma + ma ch ma] ^/ ch my ma 2 (sh ma + ch ma) sh my. (26) Integrand v (24) je pr m O mezený a interál knverguje. Funkce F(x, y) splňuje v neknečném pásu (s výjimku bdů x O, y = 0) biharmnicku rvnici, napětí určená tut funkcí splňují, jak plyne z její knstrukce, krajvu pdmínku (3) a psunutí splňují pdmínku pr hranvu dislkaci (4). Je mžn se tm přím přesvědčit dsazením d výrazů pr napětí a psunutí, uvedených v dalších dstavcích 2,4 a 2,5. 246

10 2,4 Slžky napětí Pr slžky napětí dstáváme z rvnic (2), (24) n y(3* 2 ± íň, 9n fd*0(m, y),.., a x = - D - ^ - ^ + 2L> J tyt- f(' ln ) cs mx ám > t» w T 2 _ -2\ r - w = D?\ * ; 273 I 0(w, y) /(m) m 2 cs mx ám, (27) ( i y ) J T» = /J TO? + s*/^ /(»)» - «- dm, kde <7j(m, y) j dán rvnicí (26), f(m) rvnicí (25) a derivace - a -= - výrazy dy dy 2 ' d ( P(m y) ^p-^ = [(wfca 1) sh mh -f m/\ ch wa] (ch my 4- í/m sh my) m 2 /i 2 (sh ma + ch mh) ch my, (28) d 2 (p(m y) =-j = [(mh 1) sh mh 4- ma ch ma] (2m sh my + ym 2 ch my) m 3 A 2 (sh ma + ch mh) sh my. (29) P dsazení d krajvé pdmínky (3) se výrazy za integrálem pr y = + h pr a v a r xy tak zjednduší, že integrace vede na elementární funkce a je mžn se přesvědčit tm, že nabývají tat napětí na kraji nulvých hdnt. Snadn se dále přesvědčíme, že pr y = 0 je a x (x, 0) = a y (x, 0) = 0. Napětí a x, a v jsu v x sudé, v y liché funkce, r xy je v x lichu a v y sudu funkcí. Pr statní hdnty vypčteme integrály v (27) numericky. Jak příklad uvedeme výsledky výpčtu pr a x (x, h) a r xy (x, 0). Pr výpčet zavedeme bezrzměrné veličiny vztahy a p úpravě dstáváme f = j, i = mh (30) ^^---^+-/^te^-'*-.«.í,-. (a, ^(r.u=i +/- (i sh v-~ 2 r v «*** < M > 0 Vztahy (31) a (32) jsu p numerickém výpčtu znázrněny na br '

11 2,5 Slžky defrmace a psunutí Slžky defrmace můžeme vypčítat z Hkva zákna дu_ Å + 2ţi à x ' ~ dx ~ 4 f t{x + (i) \ x X + 2[x v _1 + 2/i E ' J z ~ d y ~ *p{x + r) \ Uy ~ _ du dv 1 E * v = ~~J + dx ~ ~ Ta (33) Pr rvinnu napjatst je v těcht rvnicích A* míst X. Je dále! e xz = = e yz = 0. Při rvinné defrmaci je e z = 0, při rvinné napjatsti e 2 = Obr. 4a. Průběh nrmálníh napětí ( x ) y - h - 2/i Výrazy (33) jsu p dsazení z (27) vyjádřeny pmcí známých funkcí a jejich Furiervých integrálů. Obr, 4b. Průběh smykvéh napětí (T^),. 0 (čárkvaně vyznačena rvnsá hyperbla). 248

12 Slžky psunutí bychm mhli získat dalšími integracemi rvnic (33). Vzhledem k tmu, že psunutí způsbená pmcným zatížením pásu jsu jednznačnu funkcí x, y, mají zřejmě výrazy pr psunutí tvar u ( x, V) = 7f- arctg^ + u*(x,y), ZTt X v(x, y) v*(x, y), kde hvězdičku jsu značeny jednznačné funkce x, y. Je mžn čekávat, že vlivem hranvé dislkace se pás prhne pdle br. 5. Přímka y = c v nedefrmvaném pásu přejde p defrmaci v křivku, která svírá v místě x s su x úhel a, dv(x, c) OÍ(X, c) дx (34) Celkvé prhnutí (3 (viz br. 5) je dán výrazem Obr. 5. Prhnutí pásu vlivem hranvé dislkace. 2 lim x-^<x> dv(x, c) tat limita zřejmě nezávisí na hdntě c (pr \c\ ^ h), dv Při výpčtu - vyjdeme z výrazu (viz např. [7]) д F 9 2џv = ^ dy ÇX Я + 2џ, дгp ' 2(X + fji) dx' kde pmcná funkce ip(x, y) suvisí s Airyh funkcí F(x, y) vztahem dhp _ d 2 F d 2 F dx dy dx 2 a je harmnická, tedy splňuje rvnici &ip(x, y) = 0. "W i P dvjí derivaci výrazu (36) pdle x, užití vztahu (38), (37) a jedné integraci přes x dstáváme p úpravě kde öv cx a, = a л %ч 1 ЗЯ + 4//, 2џ 2(Я + /0 1 Я + 2џ 2џ 2(1 + fл) 'д*ғ ГLa 2 J ^Ғ дif àx, 2 - v 1 v (35) (3(5) (37) (38) (39) (40) 249

13 dv d 3 F j - je tedy znám, nebť x xv je dán rvnicí (27) a -^ plyne z (24). dv V dalším se mezíme na výpčet pr y = h, zajímáme se tedy prhnutí i cx hrníh kraje pásu. Výraz (39) se zjednduší, nebť pr y h je r xy n= 0. P dsazení za F a p delším výpčtu a úpravách dstaneme s pužitím bezrzměrných veličin pdle (30) 'dv dxf y^h 1 j I, ft(t- 1) +ích 2 í _ 6/A?r [(P + l) ~" sh2ř e Sin ^ d^ 2 J 2í - 2í 3v(cc, /?.) TTV..,., Snadn vypčteme lim. Užijeme k tmu tht terému pr a- >-0 OX Furiervy integrály (viz [8]): Splňuje-li funkce g(t) Dirichletvu pdmínku v intervalu (0, ), pak pr blížící se libvlně neknečnu kladnými hdntami je Pr naši funkci dstáváme limitu a tedy 0 1 Ј ^(í) ~ sh 2ř - 2ř *(+0)---f Эv(a;, A).. Эг>(æ, /г) 3 6 lim V - = lim 8a; f^ ca? 8 /i Pdle (35) je pak celkvé prhnutí pásu dán jednduchým výrazem "II Průběh =+ jsme pdle (41) vypčetli numericky, graficky je znázrněn na br. Ga. Na br. 6b je znázrněn průběh v(x, h), získaný graficku integrací. 3. DISKUSE V psledních letech nabyl pjem dislkace, zavedený již dříve v terii pružnsti, nebyčejnéh významu ve fysice pevných látek. Ukázal se, že atmvá mřížka krystalů bsahuje velké mnžství pruch a že jejich přítmnst závažně 250

14 vlivňuje některé vlastnsti krystalů; pr některé vlastnsti jsu pruchy přím rzhdující. Jednu z nejdůležitějších pruch jsu právě dislkace, které hrají rzhdující úlhu při plastické defrmaci. Jejich zvláštním případem je dislkace hranvá. Má mezi dvě atmvé rviny vlženu část další atmvé rviny (neb něklik rvin), jejíž hraničení (na br. I sa z) je dislkační čára, klem které je atmvá mřížka silně defrmvána. Burgersův vektr dislkace v krystalvé mřížce je pak rven nejkratší vzdálensti dvu atmů neb celistvému násbku tét vzdálensti. % m, л Obr. 6a. Průběh úhlu, který svírá hrana pásu s su x. Obr. 6b. Psunutí ve směru sy y na hraně pásu (udává tvar hrany pásu p defrmaci). Pr studium některých vlastnstí dislkace v krystalvé mřížce vystačíme s představu dislkace ve spjitém prstředí; takvé prstředí je mžn pkládat za anistrpní a tak se více přiblížit vlastnstem skutečných krystalů, aneb pr jednduchst výpčtu za istrpní. Velku pzrnst vzbudila dále v psledních letech ve fysice tenká mnkry statická vlákna (whiskery), která mají délku až něklik cm, příčné rzměry však puze řádvě klem mikrnu. Jejich vlastnsti se blíží vlastnstem ideální krystalvé mřížky, nebť bsahují velmi mál pruch. Mají např. velmi vysku mez skluzu a pevnst. Whiskery nemusí bsahvat dislkaci neb bsahují jednu neb něklik dislkaci. Vzhledem k tmu, že jeden jejich rzměr značně převládá, může defrmace způsbená i jedinu dislkací být u whiskerů již značná. Ukázal t např. ESHELBY [11] pr whisker bsahující tzv. šrubvu dislkaci v se whiskerů. Z našeh řešení pak můžeme udělat závěry pr de- 251

15 frmaci whiskeru s hranvu dislkací klmu k jeh se. K srvnání se skutečnstí může nejlépe služit celkvé prhnutí /?, které pdle (42) je řádvě rvn b/h. Pr velký Burgersův vektr (např. jde-li skupinu hranvých dislkací téhž znaménka) neb pr extrémně tenké whiskery by byl mžn již tt prhnutí pzrvat. Pdrbnější diskuse je prvedena v článku [12], kde jsme pdali přibližně řešení téhž prblému, Defr- I mace pásu vlivem dislkace je zde určena z defrmace tenkéh nsníku, zatěžvanéh spjitě rzlženým nrmálním napětím a spjitě rzlženým U_ÍLJ mmentem, dpvídajícím ú- * *- činkům napětí a y0, r xy0 na Obr. 7. K vzniku dislkace p hřevu. krajích nsníku (viz naše rvnice (9), (10)). Uvedené výsledky je však mžn aplikvat i v jiných brech. Představme si (velmi schematicky), že bdélníkvá blast pásu vyčárkvaná na br. 7 byla zahřátá na tepltu T, klní materiál ma tepltu 0. Půvdní šířka blasti byla IQ, zahřátím se zvětšila na l = l 0 (l -f- ct), kde a je keficient tepltní rztažnsti. V případě, kdy xt > ^, kde a T je mez průtažnsti pii vyšší tepltě, ti E mdul pružnsti, nemůže hrní část sledvat elasticky defrmaci spdní části a djde k prkluzu v rvině xz. Za předpkladu, že při nižší tepltě nemůže k pačnému prkluzu djít, je p vychladnutí spjena délka l 0 v dlní části s délku l 0 \l + xt ~p\ v hrní části a vytvří se hranvá dislkace pdle br. 1 s Burgersvým vektrem b l 0 \xt 1 a nastane defrmace pdle br, 5. I když naše úvaha má puze kvalitativní platnst, (uvažuje nespjité rzdělení teplty a neuvažuje tepltní vdivst, zjedndušuje značně plastické chvání), vystihuje dbře charakter vzniklé defrmace. Dmníváme se, že zavedení pjmu dislkace ke studiu vnitřních pnutí a defrmace p hřevu by byl velmi užitečné zvláště při pužití pjmů spjitéh rzlžení dislkací [13]. Závěrem ještě pznamenejme, že jednduchým i když pracným zbecněním našeh pstupu je mžn řešit becnější případ, kdy dislkace není umístěna právě v centrální rvině, ale má d krajů pásu vzdálensti h x, h 2. Velikst prhnutí /? pak závisí na plze dislkace a je maximální právě tehdy, je-li dislkace umístěna v centrální rvině. Za cennu diskusi děkuji sudruhům Iv BABUŠKOVI a JANU KACZÉROVI, za prvedení numerických výpčtů s. MARII HONEGRQVÉ a s. JANU VAŇKOVI. 252

16 Lлteratura [1] Vlterra V.: Ann. Éc Nrm., Ser. 3, 24 (1.907), 401. [2] Mycxeлшuвuлu H. И.: Hcктpыe cнвныe зaдaчи мaтeмaтичecк тepии yпpyгcти. Mcквa [3] Read W. T.: Dislcatinә in Crystals. Lndn [4] Cttrell A. H.: Dislcatins and Plastie Flw in Crystals. Oxfrd [5] Babuška I.: Aplikace matematiky 1 (1956), 34. [6] Filn L. N. G.: Phil. Trans. Ry. Sc. A 201 (1903), 63. [7] Gker E. G. Filn L. N. G.: A Treatise n Phtelaзticity. Cambridge [8] Sneddn I. N.: Fuгier Transfгms. Kew Yгk [9] Hwland R. C. J.: Prc. By. Sc A 124 (1929), 89. [10] Pыжшк И. M., Гpaдшmeйн И. C.: Taблицы интeгpaлв, cyмм, pндв и пpизвeдeний. Mcквa [11] EshelЪy J. D.: Phil. Mag. 3 (1958), 440. [12] Krupa F.: Čs. čas. fys. 9 (1959), 1.17 [13] Kröner E.: Kntinuumstherie der Versetzungen. Berlin Резюме НАПРЯЖЕНИЕ И ДЕФОРМАЦИЯ В БЕСКОНЕЧНОЙ ПОЛОСЕ, ОБУСЛОВЛЕННЫЕ ЛИНЕЙНОЙ ДИСЛОКАЦИЕЙ ФРАНТИШЕК КРОУПА (ЕгапЬтек Кгоира) (Поступило в редакцию 25/1Х 1958.) В статье дастся точное решение следующей плоской задачи математической теории упругости: определить напряжение и смещение в бесконечной полосе, содержащей в центральной плоскости линейную дислокацию (по рис. 1). Решение производится при помощи функции Эри путем суперпозиции трех решений: решения лдя случая линейной дислокации, расположенной в неограниченном пространстве (отд. 2,0) и решения для случая бесконечной полосы при отсутствии дислокации, нагруженной по краям непрерывно распределенными внешними нормальными (отд. 2,1) и касательными напряжениями (отд. 2,2), удобно выбранными с расчетом, чтобы решение, полученное в результате суперпозиции, соответствовало краям бе:? нагрузки. Решение для полосы нолуистю при помощи интегралов Фурье. При помощи функции Эри получены формулы для напряжений и смещений а также простая формула для прогиба полосы; некоторые результаты отмечены графичееки. Затем автор обращает внимание на значение дислокаций в кристаллической решетке и на возможность применения полученных результатов 253

17 к объяснению деформации тонких монокристаллических волокон (юызкег) под влиянием линейной дислокации. В последнем замечании указана возможность применения понятия дислокации при изучении внутреннего напряжения после нагрева./ \ Summary STRESS AND DEFORMATION OF AN INFINITE STRIP, CAUSED BY AN EDGE DISLOCATION FRANTISEK KROUPA (Becived September 25th, 1958.) The subject f this paper is the precise slutin f the fllwing prblem in the thery f plane elasticity t determine the stress and displacement f an infinite strip caused by an edge dislcatin. The prblem is slved by use f Airy's functin, by the superpsitin f the fllwing three slutins: that fr the edge dislcatin in unbunded space (sectin 2.0), that fr an infinite strip withut dislcatin, whse bundary is laded with cntinusly distributed nrmal stresses (sectin 2.1), and tangential stresses (sectin 2.2); these are chsen in such a manner that the resulting superpsed slutin crrespnds t free bundaries. The slutins fr the strip are btained by means f the Furier integrals. Expressins fr the stress, the displacement and the deflectin are then btained, using Airy's functin; sme f the results are treated graphically. In a discussin f these results, the effect f dislcatins in a crystalline lattice is nted, and als the pssibility f using the results t explain the defrmatin f thin mncrystallic fibers (whiskers) by edge dislcatin. A final remark ntes the pssibility f using dislcatins in discussing thermal stresses. 254