MODELOVÁNÍ A SIMULACE (analogové počítače) pro obor Aplikovaná fyzika

Transkript

1 Mderní technlgie ve studiu aplikvané fyziky MODELOVÁNÍ A SIMULACE (analgvé pčítače) pr br Aplikvaná fyzika Luděk Bartněk 2

2 OBSAH INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Mderní technlgie ve studiu aplikvané fyziky. Analgvé pčítače...4. Histrie vzniku hybridní výpčetní techniky Rzdělení analgvých pčítačů Základní principy analgvéh mdelvání Mechanický systém Elektrický systém Elektrnický systém Analgvé zbrazení Základní lineární perační prvky a jedntky Ptencimetry Stejnsměrný perační zesilvač Lineární aktivní perační jedntky - becná lineární perační jedntka Invertr Sumátr Integrátr Ovládání peračních stavů integrátru Sumační integrátr Derivátr Implikátr Pužití ptencimetrů Ptencimetr ve vstupu invertru násbení knstantu Ptencimetr na výstupu invertru dělení knstantu Příklad pr analgvý pčítač Základy prgramvání na analgvých pčítačích Výpčet přímý Výpčet nepřímý Výpčet implicitní Metda snižvání řádu derivace Sumátr pr řešení rvnice

3 Mderní technlgie ve studiu aplikvané fyziky 9.2 Optimalizace zapjení Ukázky řešení nejjedndušších dif. rvnic Diferenciální rvnice y ' b z y.2 Diferenciální rvnice y '' b z y ' y '.3 Diferenciální rvnice ; ; ; ; ; y a y y y '.4 Diferenciální rvnice ; y a y y y Diferenciální rvnice y ' a y b z y.6 Mdel ve tvaru dx t ;... 4 k. xt... 4 dt.7 Mdel nitržilní injekce Závěr Literatura

4 . Analgvé pčítače INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Mderní technlgie ve studiu aplikvané fyziky Analgvý signál, na rzdíl d digitálníh, je signál spjitý v čase i amplitudě. Základní bvdy pr analgvé zpracvání elektrických signálů jsu perační zesilvače, funkční měniče, kmparátry, spínače atd. a jsu kmerčně vyráběny a sestaveny v ucelený systém - analgvý pčítač, cž je frma pčítače, který pužívá spjité signály k mdelvání a simulaci fyzikálních dějů. Úlhy, které se pmcí analgvých pčítačů řeší, jsu většinu frmulvány tak, že studujeme dezvu chvání určitéh fyzikálníh systému, na který půsbíme vnějšími vlivy. Pr studium vlastnstí a chvání systému na analgvém pčítači je třeba jej nejprve matematicky ppsat, tj. vytvřit matematický mdel systému. Mdel pak řešíme na analgvém pčítači. Řešit matematicku úlhu na analgvém pčítači znamená rzlžit je na příslušné základní perace, stanvit pslupnst základních elektrnických bvdů a určit pčítací síť, tj. vzájemné prpjení základních bvdů. Prgramvání na analgvém pčítači spčívá tedy v sestavení pčítací sítě, pmcí které lze zadanu úlhu řešit. Užití analgvých pčítačů je nejčastěji při řešení matematických úlh, řízení technlgických prcesů a vyhdncvání měření. V sučasné dbě existují tři základní skupiny pčítačů.. Číslicvé (ČP) zbrazení diskrétními fyzikálními veličinami (U, I, stav mag. prvků). 2. Analgvé (AP) pracují se spjitě měnícími se fyzikálními veličinami (U, I, hřídele). 3. Hybridní spjení a 2. Číslicvé a analgvé pčítače reprezentují dva samstatné principy (různý způsb zbrazení), nezávislé systémy (vývj každý samstatně), specialisté dvjíh druhu, každý na svém řešil všechn. Prblém netkví v tm, že řešený prblém je na ČP neb AP, ale v tm, že každý systém pracuje na jiném principu zbrazení. Snahu byl spjení ČP a AP a vytvřit hybridní výpčetní systém (HVS), který se skládá z AP dplněnéh číslicvé a hybridní perační jedntky číslicvéh pčítače a spjvacíh zařízení. 4

5 Mderní technlgie ve studiu aplikvané fyziky Obr.. Hybridní výpčetní systém Hybridní analgvý pčítač (HAP) má všechny analgvé perační jedntky diferenciálníh analyzátru a mim t má ptřebné číslicvé a lgické perační jedntky a hybridní perační jedntky. Spjvací díl (interface) je vybaven A/Č a Č/A převdníky, číslicvý díl bývá realizvaný řídícím pčítačem, který může splupracvat se zařízením pracujícím v reálném čase. Na tmt číslicvém p čítači se generuje řídící prces celéh hybridníh výpčetníh systému, využívá se paměti. Někdy je t speciální ČP.. Histrie vzniku hybridní výpčetní techniky 67 J. Napier násbení pmcí tyčí se stupnicemi 654 R. Bissaker lgaritmické pravítk s phyblivými stupnicemi 876 W. Thmsn mechanický talířvý integrátr Lrd Kelvin s bratrem James Thmsnem naznačili řešení diferenciálních rvnic zpětnvazební techniku 94 A. N. Krylv návrh diferenciálníh analyzátru 99 A. Rait elektrnické zařízení na sčítání a dečítání (pmcí dprů) 95 H. Frd pužití mechanickéh integrátru v přístrjích pr řízení palby ldních děl První pkusy pužití analgvých a číslicvých pčítačů byly kncem padesátých let pr vjenské využití. Iterační AP jedntky jak AP, číslicvé lgické bvdy - mžnst práce v repetičním režimu s mžnstí zapamatvat si numerické hdnty během jednh krku a 5

6 Mderní technlgie ve studiu aplikvané fyziky pužít je pří výpčtu následujícíh krku. Krmě klasickéh ČP je nutn uvést skupinu ČP vybavených analgvu techniku neb analgvými prvky v prgramvání. Velmi důležitu kmbinací bu výpčetních technik ve skupině číslicvě rientvaných pčítačů je číslicvý diferenciální analyzátr. Jedná se v pdstatě zvláštní typ číslicvéh pčítače, který bsahuje perační jedntky pracující s čísly, jak ČP. Tyt perační jedntky mají předem stanvený prgram, daný jejich elektrnicku realizací a mhu s čísly prvádět perace realizvatelné na AP. Jak specializvané případy analgvých pčítačů můžeme uvést: Mdely ptenciálvéh ple (vdivý papír, pružná blána) Mdely elektrvdné sítě Letvé a autmbilní simulátry Mdely bilgických systémů Průsečíky analgvé a digitální techniky: Hybridní pčítače Numerické diferenciální analyzátry Simulační jazyky pr číslicvé pčítače zalžené na mdelvání analgvéh pčítače (např. CSMP) Způsb prgramvání: Prpjení pčítacích blků šňůrami, nastavení keficientů a pčátečních pdmínek ptencimetry. Výstup: Dluhdsvitvá brazvka, registrační vltmetr, suřadnicvý zapisvač Obr. 2. a) Analgvý mdel I. P. Pavlvvých reflexů Umělý pes Katedra fyziky PřF UP Olmuc 957, b) AP DIPOS-A sestavený na Katedře kybernetiky PřF UP Olmuc (965) 6

7 Mderní technlgie ve studiu aplikvané fyziky Obr. 3. AP MEDA a detail servnásbičky SEANS 2/ Obr. 4. API, API2 VUT Brn.2 Rzdělení analgvých pčítačů Pdle struktury: Přím mdelující, nepřím mdelující. Pdle peračních mžnstí: Jednúčelvé, víceúčelvé. Pdle analgie: Mechanické, elektrmechanické, elektrické, elektrnické, ptické, hydraulické, pneumatické atd. Pdle funkce: Matematické strje, simulátry, trenažéry, řídicí systémy. Pdle druhu řešené úlhy: Diferenciální analyzátry, lineární analyzátry, analyzátry plynmů, parciální diferenciální analyzátry. Pdle druhu výpčtu: Jednrázvý výpčet, iterační výpčet. 7

8 Mderní technlgie ve studiu aplikvané fyziky 2. Základní principy analgvéh mdelvání AP jsu zalženy na pdbnsti (analgii) fyzikálních jevů. V principu jde mdelvání na základě znalsti matematických analgií. Využíváme tedy vlastnstí analgických sustav mdelů, v nichž prbíhající děje a děje prbíhající v řešené fyzikální sustavě jsu ppsány pdbnými matematickými rvnicemi. Analgvé pčítače jsu tedy v principu fyzikální mdely. Mdel je však pjem širší než analgvý pčítač. Fyzikálních mdelů se zcela běžně užívá při vyšetřvání vlastnstí různých fyzikálních sustav a jsu v pdstatě dvjíh druhu: a) Mdely prvéh druhu - vyšetřvaná sustava je ve stejné fyzikální sustavě a liší se puze měřítkem (např. mdel letadla v aerdynamickém tunelu, mdel přehrady, mdel ldi atd.). Takvé mdely nepvažujeme za analgvé pčítače. b) Mdely druhéh druhu vyšetřvaná sustava je v jiné fyzikální sustavě než mdel, má však pdbný matematický ppis (ptický prvek el. zapjení, mat. příklad el. zapjení). Existuje-li však takvé vzájemné přiřazení parametrů dvu sustav které se chvají pdle stejnéh matematickéh ppisu říkáme, že jde sustavy vzájemně izmrfní neb hmmrfní a můžeme prt tyt fyzikální mdely nazvat analgvými pčítači (iss ttžný, hms stejný, mrfé braz, frma). 2. Mechanický systém Obr. 5. Mechanický systém (kmity) Systém lze ppsat diferenciální rvnicí '' ' My By Ky, y y () 8

9 Mderní technlgie ve studiu aplikvané fyziky Kde M je hmtnst, B je tlumení, K je knstanta pružiny a y je plha M v čase t =. Rvnici můžeme pdělit hdntu M a získáme tvar B K M M. (2) '' ' y y y, y y Vzhledem k tmu, že B, M, K jsu reálná čísla, můžeme jejich pměr vyjádřit keficienty a, a. B K Dsadíme-li za a, a bdržíme rvnici systému ve tvaru: M M '' ' y a y a y, y y (3) 2.2 Elektrický systém Obr. 6. Elektrický systém (reznanční bvd) Systém lze ppsat diferenciální rvnicí '' ' C Lu Ru u, UC U (4) C Kde L je indukčnst UC UC R je dpr, C je kapacita, U C je napětí na C v čase t = Pdělíme-li rvnici L dstaneme: '' R ' u u u, UC UC L LC (5) dsadíme-li za R a, a, u y, U y C L LC bdržíme: '' ' y a y a y, y y. (6) 9

10 Mderní technlgie ve studiu aplikvané fyziky 2.3 Elektrnický systém Obr. 7. Elektrnický systém Elektrnický systém lze ppsat diferenciální rvnicí kteru můžeme upravit: '' ' y a y a y ; y y (7) '' ' y a y a y, y y. (8) Je patrn, že ba mdely (2. mechanický i 2.2 elektrický) lze vyšetřvat na mdelu sestaveném na AP (2.3). Pznatky: a) Snadn vytvřitelný mdel b) Snadné dměřvání hdnt na jedntlivých místech mdelu Charakter AP = analgie fyzikálních jevů a vzrvých sustav. y a y a y, y y y a y a y (9) '' ' '' ' Obr. 8. Mdel pr rvnici (9) sestavený z jedntek AP

11 Mderní technlgie ve studiu aplikvané fyziky n k n k k k k k t a y t b z z a y () Rvnice ppisuje typické tvary diferenciálních rvnic vhdné pr výpčty na AP. Obr. 9. a) Analgvý pčítač (MEDA), b) ukázka výstupu přízenéh suřadnicvým zapisvačem (BAK) při řešení rvnice (9) 3. Analgvé zbrazení Jak byl uveden, nahrazujeme vyšetřvanu sustavu sustavu nvu (mdelem), v níž se úlha řeší. V analgvých výpčtech budeme tedy rzeznávat sustavu fyzikální, tj. sustavu, v níž je řešený prblém, a sustavu analgvu, tj. sustavu, v níž se prblém řeší. Pdbně i veličiny v těcht sustavách budeme nazývat veličinami fyzikálními a veličinami analgvými. Fyzikální veličinu může být např. délka psuv hmty M z bdu y d bdu y. Pužijeme-li k řešení elektrnický diferenciální analyzátr, pak veličinu analgvu bude napětí U, na které musíme délku převést. Vzájemné přiřazení analgvé veličiny k veličině fyzikální nám udává tzv. zbrazvací rvnice: X M x () x.

12 Mderní technlgie ve studiu aplikvané fyziky X analgvá veličina (strjvá), např. elektrické napětí, psuv, úhel natčení atd. x fyzikální veličina, např. délka, rychlst, prud, úhel, matematická veličina apd. M x knstanta úměrnsti, která se nazývá měřítkem. Zbrazení bývá nejčastěji lineární, ale vyskytuje se i kvadratické X M x x 2, lgaritmické X M lg x atd. Při vzájemném přiřazení bu veličin je velmi důležité si uvědmit, že x jde veličiny spjité v celém intervalu, v němž se vyskytují. Mění-li se fyzikální veličina xi spjitě v intervalu xmin xi xmax, musíme ji přiřadit analgvu veličinu X i tak, aby se mhla měnit spjitě v intervalu xmin xi xmax. T je charakteristickým rysem všech analgvých pčítačů. Naší snahu bude vlit měřítk c největší, aby chyba vzniklá vlivem nastavení hdnt byla c nejmenší. Jsme však mezeni maximální hdntu analgvé veličiny, která je dána knstrukčním řešením analgvéh pčítače. 4. Základní lineární perační prvky a jedntky Pd pjmem lineární perační prvky rzumíme R (rezistr), C (capacitr) a ptencimetry a pd pjmem lineární perační jedntky zapjení slžené z něklika peračních prvků, neb perační jedntky slžené z peračníh zesilvače a peračních prvků. Pčítací dpry jsu přesné, drátvé, vinuté dpry s minimální indukčnstí (L) a kapacitu (C). Jak kapacitry se pužívají přesné kndenzátry s kvalitním dielektrikem (např. styrflex). 4. Ptencimetry Ptencimetry jsu elektrmechanické prvky převádějící mechanický phyb (ptčení, psunutí) na změnu elektrickéh napětí (dpru). Pužívá se jich k násbení knstantu, k nastavení keficientů, k vytváření sučinů pmcí servmechanismů, k převdu fyzikálních veličin na elektrické a rvněž i k vytváření funkčních závislstí. U AP jsu nárky vyské speciální ptencimetry kruhvé a šrubvicvé (vícetáčkvé), u nichž je dprvá dráha vybřena přesným drátem. Kvalitu ptencimetrů lze hdntit pdle vlastnstí: 2

13 Mderní technlgie ve studiu aplikvané fyziky a) Ohmický dpr v rzmezí k až k. b) Rzlišvací schpnst plynulst výstupníh U udává přesnst, s jaku je mžn nastavit pžadvanu hdntu. Prtže běžec ptencimetru se dtýká jedntlivých částí závitů dprvéh vinutí, mění se výstupní napětí p skcích, jejichž velikst dpvídá napětí na jednm závitu. Aby tyt skkvé změny napětí byly c nejmenší, musí být celkvý pčet závitů c největší, cž knstrukčně nejlépe splňují ptencimetry šrubvicvé. c) Přesnst průběhu linearita ptencimetru udává maximální dchylku výstupníh napětí nastavenéh na ptencimetru d teretickéh lineárníh neb funkčníh průběhu. Chyba přesnsti průběhu bývá asi d,% d %. d) Rušivá napětí, vznikající při phybu běžce, tvří šum ptencimetru, který způsbuje prměnný dpr mezi běžcem a dprvu dráhu (nečistty, změna přítlačné síly, galvanická a termelektrická napětí). Šum musí být c nejmenší, zvláště u ptencimetrů v pčítacích servmechanismech. e) Mechanické prvedení vyrbeny tak, aby měly malý zatěžvací mment, velku živtnst a stálst nastavení dělícíh pměru. Pdle způsbu připjení vstupníh napětí rzlišujeme dvě základní zapjení ptencimetrů: Obr.. Asymetricky napájený - běžec se phybuje v mezích x. 3

14 Mderní technlgie ve studiu aplikvané fyziky Obr.. Symetricky napájený běžec se phybuje v mezích x. Při zapjvání ptencimetrů d bvdu musíme brát d úvahy jejich prměnný vstupní a výstupní dpr a výstupní napětí lineárníh ptencimetru. Vstupním dprem ptencimetru nazýváme dpr, který můžeme měřit mezi začátkem a kncem vinutí ptencimetru. Vstupní dpr ptencimetru asymetricky napájenéh je R.. x R R z vst R x. R. x R z (2) Průběh vstupníh dpru v závislsti na veliksti zatěžvacíh dpru R z a plze běžce x je uveden na br. 2a. Obr. 2. Průběh dpru a) vstupníh, b) výstupníh, pdle plhy běžce 4

15 Mderní technlgie ve studiu aplikvané fyziky Výstupním dprem ptencimetru nazýváme dpr, který můžeme měřit na výstupních svrkách ptencimetru, tj. mezi běžcem a kncem ptencimetru při neknečně velkém zatěžvacím dpru R. Výstupní dpr ptencimetru pdle br. je dán vztahem z R výst R. x R x Ri. R. x R x Ri (3) Průběh výstupníh dpru v závislsti na veliksti zatěžvacíh dpru R i a plze běžce x je zbrazen na br. 2b. Mění-li se vstupní a výstupní dpr, mění se i výstupní napětí ptencimetru. Výstupní napětí ptencimetru zapjenéh pdle br. při nulvém vnitřním dpru Ri je dán vztahem u e 2 R.. x Rz R. x R R.. x Rz R. x R Průběh výstupníh napětí je závislý na plze běžce x a veliksti zatěžvacíh dpru R z. Grafické znázrnění je na br. 3a. Maximální chyba je asi ve dvu třetinách rzsahu. z z. (4) Obr. 3. a) Průběh výstupníh napětí b) Schéma ptencimetru a zátěže Abychm zjedndušili další vztahy, budeme předpkládat, že ptencimetr je zatížený dprem r a že měříme elektrnickým vltmetrem neb kmparátrem. Nebudeme tedy uvažvat mechanický psuv běžce x, ale elektrický přens napětí k, který je dán vztahem 5

16 kde k 4a. resp. sym. INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Mderní technlgie ve studiu aplikvané fyziky u2 k (5) u k. Zapjení ptencimetru a jeh schématická značka br. Obr. 4. a) Zapjení ptencimetru, b) schématická značka ptencimetru 4.2 Stejnsměrný perační zesilvač Operační zesilvač (OZ) musí splňvat následující pžadavky: a) Velká šířka kmitčtvéh pásma, stejné zesílení v c nejkratším kmitčtvém pásmu, stejné zesílení i pr nízké kmitčty (šířka pásma něklika set khz). b) Zanedbatelné klísání nuly (drift) - malé dluhdbé změny výstupníh napětí. Klísání nuly vlivem nežáducích změn parametrů peračníh zesilvače a rušivých signálů se suhrnně značuje jak drift. Půsbením driftu dchází ke změnám výstupníh napětí peračníh zesilvače i při nulvé hdntě vstupníh napětí (vstup zkratván) a tím i k zmenšení přesnsti matematických perací. Zdrje driftu nestálst napětí napájecích zdrjů, změny teplty, mechanické třesy, změny klidvéh stavu tranzistrů, změny v plze pracvníh bdu, tepelný šum rezistrů, vliv vnějších elektrmagnetických a elektrstatických plí, změny izlačních dprů vlivem teplty a vlhksti atd. Velikst driftu se phybuje v rzmezí V 8 hdin při zapjení jak invertr a v rzmezí mv / s při zapjení jak integrátr. c) Zesílení (Au) - max., ideál Au, běžně

17 Mderní technlgie ve studiu aplikvané fyziky d) Změna plarity signálu - bracet fázi 8 při všech přenášených kmitčtech. Za těcht předpkladů lze pak u OZ zavést záprnu zpětnu vazbu, ptřebnu k vytvření peračních jedntek. e) Vstupní a výstupní dpr OZ jsu parametry perační jedntky (OJ), které je nutn spjvat. Ideál výst Rvst max, R min. V reálu se Rvst rvná dpru vstupní impedance, výstupní se phybuje ve stvkách. f) Vstupní prud malý, zanedbatelná chyba při 9 i g A. g) Vstupní amplituda - rzsah strjvé jedntky (SJ) dpvídá V, 5 V h) Dluhdbá stabilita - výběr, umělé stárnutí, stabilizace atd. 5. Lineární aktivní perační jedntky - becná lineární perační jedntka Obr. 5. a) Operační zesilvač, b) schématická značka Zesilvač má zesílení A. Všechna napájecí napětí jsu vztažena k bdu nulvéh ptenciálu AP pčítací zemi. Pužijeme-li skutečnéh zesilvače (knečné zesílení A, knečná vstupní a výstupní impedance, knečný vstupní prud, ekvivalentní driftvé napětí) a zapjíme-li d vstupu a d zpětné vazby becné impedance tak, jak je uveden na br. 6, bdržíme skutečnu lineární perační jedntku [4]. 7

18 Mderní technlgie ve studiu aplikvané fyziky Obr. 6. Skutečná lineární perační jedntka uj t vstupní napětí j-téh vstupu ig u t vstupní napětí zesilvače g ua t fiktivní výstupní napětí bez zátěže ii u t výstupní napětí při zatížení i ud t ekvivalentní driftvé napětí z j ij t prud j-téh vstupu z i z i becná výstupní impedance z i t záprný řídící prud i t vstupní prud t výstupní prud t prud ve zpětné vazbě becná impedance j-té-h vstupu becná vstupní impedance becná impedance zpětnvazební z z becná zatěžvací impedance A zesílení peračníh zesilvače Pr zjedndušení dvzení lze psát brazy v Laplacevě transfrmaci puze velkými písmeny. Přensvá funkce peračníh zesilvače bez zatížení, čili zesílení je dán vztahem (6) Pr sučet prudů v bdě g platí pdmínka: n j A U U a (6) g U j Ug U Ug Ug Ig (7) Z Z Z j i uj t vstupní napětí j-téh vstupu braz Uj s a pd. 8

19 Mderní technlgie ve studiu aplikvané fyziky Obraz výstupníh napětí bez zátěže je: a g d U A U U (8) Obraz výstupníh prudu kncvéh zesilvače je: Ua U I i (9) Zi Pužitím rvnice (8) a (9) lze bdržet braz výstupníh napětí: Dsadíme-li rvnici (2) d rvnice (7) bdržíme vztah U g U ZiI U i d (2) A n n n Z ZiIi Z Z Z Z Ud IgZ Z j j A Z j i Zi Z j j Z i U (2) n Z Z A Z j j Z j Tent vztah platí pr skutečný perační zesilvač. Budeme-li předpkládat ideální perační zesilvač, jehž parametry jsu Pak se vztah (2) zjednduší na tvar A, U, I, Z. (22) d g i U n Z U j Z (23) j j Obr. 7. Ideální becná lineární perační jedntka 9

20 Mderní technlgie ve studiu aplikvané fyziky Vztah pr prudy v bdě g kde pr prudy platí n I j I, (24) j I j U j U ; I Z Z. (25) j Dsadíme-li vztahy (25) d rvnice (24), dstaneme vztah pr přens ideální becné lineární perační jedntky ve stejném tvaru jak v rvnici (23) a pužijeme-li jednu vstupní impedanci, bdržíme vztah s Z. (26) U s U s Z s 5. Invertr Zapjíme-li d vstupu jeden dpr Z s R a d zpětné vazby dpr Z s R dstaneme lineární perační jedntku invertr - zvláštní případ becné lineární perační jedntky. Obr. 8. Invertr a) Schéma zapjení, b) schématická značka, c) průběh vstupníh a výstupníh napětí Invertr můžeme ppsat vztahem: neb-li R (27) U s U s R R U výst s Uvst s. (28) R 2

21 Mderní technlgie ve studiu aplikvané fyziky Při pužití zpětné Laplacevy transfrmace dstaneme kde R u t u t ku t (29) R R k R. (3) k značujeme jak zisk invertru. Invertr tedy násbí knstantu k a brací znaménk. Knstantu píšeme ke vstupu invertru na schématické značce, je-li k = R nepíšeme. R, tak ji bvykle 5.2 Sumátr Zapjíme-li d vstupu n dprů j a d zpětné vazby rvněž dpr Z s R j Z s R, bdržíme lineární perační jedntku nazývanu sumátr. Obr. 9. a) Schéma zapjení sumátru, b) schématická značka sumátru Sumátr můžeme ppsat rvnicí n j s U j Us R R (3) j Jestliže prvedeme zpětnu Laplacevu transfrmaci, dstaneme 2

22 kde INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Mderní technlgie ve studiu aplikvané fyziky n u n j t u t R k ju j t R j j j (32) R k j R. (33) j k j je zisk j-té vstupní cesty sumátru. Sumátr násbí vstupní napětí prvede jejich sučet a brátí znaménk výsledku. uj t knstantami k j, 5.3 Integrátr Integrátr je lineární perační jedntka s jedním vstupem. Vstupní impedance je tvřena dprem a zpětnvazební impedance je tvřena kndenzátrem Z s z s R. sc Obr. 2. a) Zapjení integrátru, b) schematická značka, c) průběh vstupníh a výstupníh U Integrátr můžeme ppsat vztahem. (34) U s U s sc R Prvedeme-li zpětnu Laplacevu transfrmaci, dstaneme kde t u t u tdt CR (35) 22

23 k je zisk integrátru. Mderní technlgie ve studiu aplikvané fyziky k, RC T CR. (36) Převrácená hdnta zisku je časvá knstanta T. Bude-li k =, znamená t, že za jednu sekundu bude napětí na výstupu stejné veliksti jak na vstupu, ale pačné plarity (br. 2c). Zisk integrátru má rzměr s. Znamená t tedy, že integrátr násbí knstantu a tut veličinu integruje, přičemž brací znaménk. Jestliže v čase t = byl na kndenzátru C ve zpětné vazbě napětí u c U, pak platí u. (37) Napětí na kndenzátru ve zpětné vazbě integrátru (tj. v čase t = ) představuje nenulvu pčáteční pdmínku. Nulvá pčáteční pdmínka se v blkvých schématech neznačuje. Za předpkladu nenulvé pčáteční pdmínky lze přepsat rvnici (35) d tvaru c t ut u u tdt CR. (38) Obr. 2. a) Zapjení integrátru s pčáteční pdmínku, b) schématická značka integrátru Pr jedndušší zápis můžeme pužít diferenciálníh perátru t d du p ; dt; pu ; u u dt dt p dt p. (39) 23 t

24 Mderní technlgie ve studiu aplikvané fyziky Rvnice (38) bude mít tedy tvar 5.3. Ovládání peračních stavů integrátru u t u u t C R p. (4) Každý analgvý pčítač musí mít tři základní pracvní režimy Příprava, Řešení, Paměť, které se vlí přepínači. Obr. 22. Pracvní stavy analgvéh pčítače Obr. 23. Stavy integrátru a) Příprava (pčáteční pdmínky), b) Řešení, c) Paměť (zastavení) Mim základní pracvní režimy mají některé analgvé pčítače další pracvní režimy. Např. řešení pakváním (repetice), statická kntrla pčítacích jedntek, dynamická kntrla jedntek atd. Důležitá je plarita při zavádění pčátečních pdmínek. 24

25 Mderní technlgie ve studiu aplikvané fyziky Režim PŘÍPRAVA POČÁTEČNÍ PODMÍNKY Obr. 24. Zadávání pčátečních pdmínek Režim ŘEŠENÍ Obr. 25. Různé plarity pčátečních pdmínek 5.4 Sumační integrátr Zapjení je vlastně integrátr s n vstupy. Vstupní impedance jsu tvřeny dpry j j a zpětnvazební impedance je tvřena kndenzátrem Z s Z s R. sc Obr. 26. Sumační integrátr a) Schéma, b) Schématická značka 25

26 Mderní technlgie ve studiu aplikvané fyziky Sumační integrátr můžeme ppsat vztahem: U s Prvedeme-li zpětnu Laplacevu transfrmaci Bude-li pčáteční pdmínka nenulvá kde n s U j sc R (4) n j j t j ut u jtdt CR (42) j u t u k u t dt j j j n t (43) k j ; CR j T. (44) j CR j Přepíšeme-li rvnici pmcí diferenciálníh perátru, dstaneme n u t u u t (45) j j CR j p Sumační integrátr násbí vstupní napětí knstantu k j, tyt veličiny sečte a integruje, přičemž brátí znaménk výsledku. Integraci prvádí se zadanu pčáteční pdmínku. Zisk má rzměr s. k j 5.5 Derivátr Derivátr je lineární perační jedntka s jedním vstupem. Vstupní impedance je tvřena kndenzátrem Z s a zpětnvazební impedance je tvřena dprem br. 27. sc 26

27 Mderní technlgie ve studiu aplikvané fyziky Obr. 27. a) Schéma zapjení derivátru, b) schématická značka Derivátr lze ppsat vztahem: U s sc R U s (46) Prvedeme-li zpětnu Laplacevu transfrmaci, bdržíme du du u t CR k dt dt (47) kde k C R. (48) k je zisk derivátru. Přepíšeme-li rvnici pmcí diferenciálníh perátru, dstaneme u t C R p u k p u. (49) Derivátr násbí vstupní napětí knstantu k, derivuje a brací znaménk výsledku. Zisk derivátru má rzměr s. U analgvých pčítačů se derivátrů v tmt zapjení nepužívá, prtže derivují všechny šumy a pruchvé signály. Prtže šumy a pruchy bsahují spektrum mnhem vyšších kmitčtů než užitečný signál, dsahují na výstupu mnhem větší amplitudy než užitečný signál. Je-li na vstupu derivátru pruchvý signál ru pruchvý signál ' y Asint je na výstupu derivát- y Acst. (5) 27

28 5.6 Implikátr Mderní technlgie ve studiu aplikvané fyziky Implikátr je lineární perační jedntka bez zpětné vazby s jedním neb více vstupy viz br. 28. Vstupní impedance jsu tvřeny dpry. Obr. 28. a) Schéma implikátru b) schématická značka Inplikátr můžeme ppsat n j s Prvedeme-li zpětnu Laplacevu transfrmaci, bdržíme U j. (5) R j kde n u n j t ; k ju jt (52) R j n j k j. (53) R Implikátr není mžn pužít jak samstatnu perační jedntku. Důvdem je vliv nenulvéh driftu a šumvých napětí, který se prjevuje jak u každéh ss zesilvače a vzhledem k velkým hdntám zisku způsbuje zahlcení zesilvače. Zpětná vazba implikátru je tvřena například vlastní pčítací sítí, znázrněnu na br. 29 jak systém F. Pr lepší stabilitu se dává d zpětné vazby malý kndenzátr asi nf. j 28

29 Mderní technlgie ve studiu aplikvané fyziky Obr. 29. Implikátr se systémem F ve zpětné vazbě Pužití implikátru při dělení knstantu je na br. 3. Přens je dán výrazem z čeh vyplývá Obr. 3. Implikátr v zapjení pr dělení u t u t ku t (54) 2 u t u t u t k 2. (55) 6. Pužití ptencimetrů Prtže nemáme většinu k dispzici dstatečný výběr zpětnvazebních dprů pr realizaci necelistvé hdnty přensu, pužíváme ptencimetrů. Zapjením ptencimetrů d vstupu neb na výstup můžeme plynule měnit přens v širkých mezích. 29

30 Mderní technlgie ve studiu aplikvané fyziky Obr. 3. a) Zapjení ptencimetru, b) schématická značka Přivádíme-li na vstup ptencimetru napětí u, bdržíme na výstupu napětí plynule prměnné v závislsti na plze běžce. Nesmíme však zapmínat na vlastnsti ptencimetru. Napětí na ptencimetru lze ppsat rvnicí u2 ku, kde k (56) Keficient k nazýváme přensem ptencimetru. Při nezatíženém lineárním ptencimetru je přens k lineární. Zatížíme-li lineární ptencimetr, nebude již přens lineární. Musíme prt při pužívání ptencimetrů měřit přens vždy při zatíženém ptencimetru, abychm se nedpustili chyby. 6. Ptencimetr ve vstupu invertru násbení knstantu Zapjme ptencimetr ve vstupu tak, že vstupní napětí přivádíme na asymetrický uzemněný ptencimetr a z běžce ptencimetru debíráme napětí pr invertr. Získáme bvd, jímž můžeme plynule zisk invertru měnit d nuly d veliksti dané pměrem zpětnvazebníh dpru R a vstupníh dpru R invertru viz br. 32. Tt zapjení lze užít i u integrátru. Obr. 32. a) Zapjení invertru s ptencimetrem na vstupu, b) schématická značka 3

31 Přens je dán výrazem kde INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Mderní technlgie ve studiu aplikvané fyziky u t R 2 u t u t uk k2 u t R k 2 2, k u t R, (57) u t R. (58) 6.2 Ptencimetr na výstupu invertru dělení knstantu Pdbným způsbem lze zapjit asymetrický uzemněný ptencimetr na výstup invertru a z běžce debírat napětí pr zpětnu vazbu. Tímt bvdem můžeme zvyšvat přens invetru nad úrveň danu pměrem zpětnvazebníh a vstupníh dpru invertru, nebli můžeme dělit knstantu. Tht zapjení lze užít i u integrátru. Obr. 33. a) Zapjení invertru s ptencimetrem na výstupu b) schématická značka Přens je dán vztahem kde P úpravě dstaneme kde ' R u t u t (59) R ' 3 u t k u t 2. (6) R u t u t u t k (6) R k2 k2, k2 ' t R u k. (62) R u t

32 Mderní technlgie ve studiu aplikvané fyziky 7. Příklad pr analgvý pčítač Uvažujme případ - máme vytvřit mdel rvnice yt xt sin xt. (63) Předpkládejme, že máme k dispzici elektrnicku stavebnici slženu z prvků, které lze mezi sebu spjvat. Každý z těcht prvků umí prvádět určitu matematicku peraci. Výsledek y t dstaneme tak, že v naší elektrnické stavebnici pužijeme prvky, které umí realizvat funkce sinus a funkce sčítání a prpjíme je mezi sebu. Obr. 34. Schéma zapjení elektrnických prvků Řešení mdelu je velmi jednduché a není k němu třeba speciálních znalsti z matematiky. Stačí mít k dispzici prvky a navzájem je mezi sebu pdle řešenéh prblému prpjit (analgvý pčítač elektrnická stavebnice). Vstupními a výstupními veličinami jsu elektrická napětí. Výsledky získané na analgvém pčítači ve frmě křivek se registrují pmcí scilskpu (OPD scilskp pmalběžných dějů) neb se zapisují na suřadnicvém zapisvači. Krmě základních peračních jedntek bsahuje analgvý pčítač prvky, které umžňují matematické perace - násbení, dělení, umcňvání, dmcňvání, lgaritmvání, funkce sinus, csinus atd. 8. Základy prgramvání na analgvých pčítačích Zadání řešenéh prblému je nutn rzlžit (mat. vztahy dif. rvnice, sustava dif. rvnic, algebraické rvnice) na takvé základní perace, které mhu být řešeny pmcí peračních jedntek, neb blkvým schématem a ppisem blku např. přensvé funkce blků - metda mdelvání přensů či vlastnstmi a chváním celéh systému systém ppsán svým chváním (výstupní signál), identifikace systému zpětný ppis vztahů. Způsby prgram- 32

33 Mderní technlgie ve studiu aplikvané fyziky vání dpvídají klasickému způsbu prgramvání pmcí symblických prgramvacích schémat (prgramvání pdle Krna). Vzájemné vztahy mezi peračními jedntkami se vyjadřují prgramvým schématem, které může být strukturní (becné), kde OJ jsu ppsány schématickými značkami s vazbami, pdrbné (úplné), kde OJ jsu rzkresleny na jedntlivé prvky a maticvé (tabulkvé), kde je využit k ppisu vzájemných vazeb tabulky. Výpčet pak může prbíhat přím, nepřím neb implicitně. 8. Výpčet přímý Zapjená síť se nikdy nevrací zpět. Viz rvnice (64). 2 y ax bx c (64) Obr. 35. Prgramvé schéma příméh výpčtu 8.2 Výpčet nepřímý Hlavní znak je vznik zpětných vazeb mezi OJ. Nejdůležitější druh výpčtu. '' ' ' y ay ay ; y ; y (65) Obr. 36. Prgramvé schéma nepříméh výpčtu 33

34 Mderní technlgie ve studiu aplikvané fyziky 8.3 Výpčet implicitní Výpčet, kde pčítací bvd vypčítává neznámu z implicitní anulvané rvnice pmcí peračníh zesilvače s velmi vyským zesílením (implikátru) a vhdnými zpětnými vazbami (ZV) se vyznačuje tím, že zisk ve smyčce ZV je velmi vyský, tereticky v limitě neknečný. x yz (66) Obr. 37. Prgramvé schéma implicitníh výpčtu 9. Metda snižvání řádu derivace V literatuře analgvéh prgramvání je nejvíce rzšířená. Název vyplynul z th, že se za sebu spjují perační jedntky (integrátry), které snižují řád derivace. Tat metda je pužitelná pr rvnice typu () uvedené v textu výše a pr rvnice s derivacemi na pravé straně, je-li tat pravá strana již k dispzici na pčítači. Jak příklad lze uveďme rvnici (67) ''' '' ' y ( t),8 y ( t) 2,6 y ( t),8 y (t) =,5 u( t). (67) Předpkládejme, že pčáteční pdmínky jsu nulvé. Úklem je tedy dvdit blkvé prgramvé schéma řešení byčejné lineární diferenciální rvnice s knstantními keficienty. y a y a y a y a y b z (68) IV III II I 3 2 Ze vztahu (68) samstatníme nejvyšší derivaci na levé straně a všechny statní členy převedeme na pravu stranu. 34

35 Mderní technlgie ve studiu aplikvané fyziky IV III II I y a y a y a y a y b z. (69) 3 2 Rvnici můžeme realizvat sumátrem. Znaménk ( ) před závrku dpvídá brácení znaménka sumátrem. Sumátr na br. 38 řeší rvnici (69). 9. Sumátr pr řešení rvnice Obr. 38. Sumátr k řešení vztahu (69). Každu rvnici upravenu pr kreslení prgramvéh schéma si značíme číslem, které bude sučasně číslem dpvídající perační jedntky. Bude-li rvnice upravena tímt způsbem, vynikne nám i názrnst, nebť levá strana rvnice je výstup perační jedntky a pravá strana jsu vstupy perační jedntky. Vstupní veličiny přivádíme se stejnými znaménky, nebť znaménk ( ) před závrku respektuje vlastnst aktivní perační jedntky sumátru, tj. bracení znaménka. Nyní ptřebujeme získat veličiny, které je třeba přivádět na vstup sumátru z br. 38. Víme, že integrátr prvádí integraci vstupní veličiny, že snižuje řád derivace. Nesmíme však zapmínat, že brací znaménk. Napíšeme další rvnice tak, abychm je mhli realizvat řetězcem integrátrů tak, jak je t nakreslen na br. 39. Obr. 39. Řetězec integrátrů v metdě snižvání řádu derivace. 35

36 Matematické dvzení k br. 39. INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Mderní technlgie ve studiu aplikvané fyziky t III IV y y dt II I t t t I II III y y dt y y dt y y dt Nyní lze řetězec integrátrů připjit na výstup sumátru. Obr. 4. Sestavení řetězce pr výpčet příkladu Chceme-li přivést dpvídající veličiny na vstup sumátru, musíme prvést vynásbení knstantami a až a 3. Vynásbení prvedeme pmcí ptencimetrů. Dále zjistíme, zda dpvídá ptřebné znaménk prměnné na výstupu z integrátrů 2 a 4. K bracení znaménka můžeme pužít invertrů, které lze ppsat rvnicemi (7), (7). III 3 3 a y III a y (7) I a y I a y (7) P vzájemném prpjení peračních jedntek bdržíme prgramvé schéma uvedené na br. 4. Pčáteční pdmínky =. 36

37 Mderní technlgie ve studiu aplikvané fyziky Obr. 4. Blkvé prgramvé schéma pr řešení rvnice Pužijeme-li zápis pmcí diferenciálníh perátru p, můžeme situaci zapsat rvnicemi ve tvaru (72) a (73). IV III II 3 2 p y a p y a p y a py a y b z (72) IV III II I 3 2 y a y a y a y a y b z. (73) 9.2 Optimalizace zapjení Neptřebujeme-li znát hdntu Obr. 42. Náhrada dvu invertrů jedním sumátrem IV y, můžeme sumátr nahradit sumačním integrátrem 37

38 Mderní technlgie ve studiu aplikvané fyziky Obr. 43. Náhrada sumátru sumačním integrátrem. Ukázky řešení nejjedndušších dif. rvnic. Diferenciální rvnice y ' b z y ; Máme řešit diferenciální rvnici prvéh řádu ve tvaru y ' b z; y. (74) ' Rvnici y b z (75) upravíme metdu snížení řádu derivace na tvar t ;. (76) y b z dt y Předpkládejme, že z je knstantní a v našem případě t bude SJ. Abychm dstali na výstupu integrátru +y přivedeme na vstup (-SJ). Obr. 44. a) Prgramvé schéma pr řešení rvnice (74), b) průběh y f t bt c Užití např. jak zdrj času. Při k = bude U na výstupu dpvídat U na vstupu za s. 38

39 Mderní technlgie ve studiu aplikvané fyziky.2 Diferenciální rvnice y '' b z y ' y ; ; ; Máme řešit rvnici druhéh řádu y '' ; y ' ; y ; (77) Snížením řádu derivace upravíme na tvar a ' t ' ; (78) y b z dt y y t '. (79) y y dt Obr. 45. a) Prgramvé schéma pr řešení (78), b) průběh y f t viz (8) '.3 Diferenciální rvnice ; 2 2 y f t b t C. (8) y a y y y ' ; (8) y a y y y ' ; (82) t ;. (83) y a y y y y a y dt y y Obr. 46. a) Prgramvé schéma rvnice (8), b) průběh y f t viz (84) 39

40 '.4 Diferenciální rvnice ; INVESTICE DO ROZVOJE VZDĚLÁVÁNÍ Mderní technlgie ve studiu aplikvané fyziky y f t y e at y a y y y. (84) Upravíme ' ; (85) y a y y y ' y ay; y y (86) t ; (87) y y. (88) y a y dt y y Obr. 47. a) Prgramvé schéma rvnice (87), b) průběh y f t viz (89) y f t y e at. (89).5 Diferenciální rvnice y ' a y b z y ; ', (9) y a y b z; y ', (9) y ay b z ; y t ;. (92) y a y b z dt y 4

41 Mderní technlgie ve studiu aplikvané fyziky Obr. 48. a) Prgramvé schéma (92), b) průběh y f t viz (93) b at e f t. (93) a.6 Mdel ve tvaru dx t dt k. x t Řešme rvnici dx t dt k. x t. (94) Mdel ppisuje např. eliminaci látky x z krevníh běhu. Předpkládáme-li, že na vstupu integrátru je hdnta veličiny / xt. Pužitím prvku dx t dt, bude na výstupu hdnta násbení knstantu (ptencimetr) dstáváme hdntu kxt. Prtže kxt dx t / dt, prpjíme výstup ptencimetru se vstupem integrátru viz br. 49. se rvná Obr. 49. Naprgramvání rvnice (94) na analgvém pčítači 4

42 Mderní technlgie ve studiu aplikvané fyziky.7 Mdel nitržilní injekce Příklad rychlé nitržilní injekce, která se distribuuje d dvukmpartmentvéh systému. Obr. 5. Dvukmpartmentvý systém rychlé nitržilní injekce Intraverózním pdáním ml farmaka se vytvří kmpartment Q t. Krmě vlastníh vylučvání farmaka, které prbíhá s rychlstní knstantu,, se farmakn mění s rychlstní knstantu,2 t, která vytvří jiný kmpartment. Tat změna je však reverzibilní, prtže frma k na frmu Q2 Q2 t se mění s rychlstní knstantu k2, pět na půvdní frmu Q t k. Matematický mdel uvedenéh kmpartmentvéh systému je ve tvaru dq t dt dq k Q t k Q t k Q t (95) 2 dt t 2, 2,2, 2, 2,2 k Q t k Q t (96) Ke každé z bu rvnic definujeme pčáteční pdmínky. Před zapčetím dynamickéh děje byl kmpartment Q naplněn intraverózní injekcí bsahu ml farmaka. Kmparment Q 2 byl prázdný. Odpvídající pčáteční pdmínky jsu Rvnicím (95) - (98) dpvídá zapjení na br. 5. Q (97) Q 2 (98) 42

43 Mderní technlgie ve studiu aplikvané fyziky Obr. 5. Zapjení analgvéh pčítače pr řešení dvukmpartmentvéh systému. Prtže se ba kmpartmenty při dynamickém ději navzájem vlivňují, musíme i bě diferenciální rvnice řešit sučasně.. Závěr Výhdu analgvých pčítačů je velmi vyská výpčetní rychlst, nevýhdu je větší chyba výpčtu. Literatura [] Haška, J.: Hybridní systémy. Praha: Nakladatelství techn. lit., 986. Učeb. texty VUT, f. Elektrtechnická. [2] Rábvá, Z., Češka, M.: Mdelvání a simulace. VUT Brn, SNTL, 982. [3] Haška, J., Serba, I., Lukeš, M.: Analgvé pčítače, SNTL Praha 982. [4] Vůjtek, M.: Aplikvaná elektrnika pr aplikvanu fyziku. Přírdvědecká fakulta UP v Olmuci. Dstupné: [5] Beneš, K.: Analgvé pčítače, Pkrky matematiky, fyziky, astrnmie, sv. (966), č. 4, s [6] Beneš, K.: Pužití analgvéh pčítače při vyučvání v matematice a fyzice. Pkrky matematiky, fyziky, astrnmie, sv. (966), čísl 5, s

44 Mderní technlgie ve studiu aplikvané fyziky Dc. Ing. Luděk Bartněk, Ph.D. Mdelvání a simulace. Analgvé pčítače Výknný redaktr: Prf. RNDr. Tmáš Opatrný, Dr. Odbrný redaktr: Dc. RNDr. Rman Kubínek, CSc. Odpvědná redaktrka: Mgr. Jana Kreiselvá Technický redaktr: Dc. Ing. Luděk Bartněk, Ph.D. Určen pr studenty, dbrnu veřejnst a další zájemce. Vydala Univerzita Palackéh v Olmuci Křížkvskéh 8, Olmuc vup@upl.cz Olmuc 22. vydání Opnent: Dc. Ing. Jiří Salinger, CSc. Tat publikace nepršla redakční jazykvu úpravu. Luděk Bartněk, 22 Ediční řada Skripta Online publikace ISBN