Konoidy přímkové plochy

Transkript

1 Knidy přímkvé plchy Knidy jsu speciální zbrcené přímkvé plchy. Opět jsu určeny třemi křivkami, v případě knidů jsu t: -křivka rvinná (kružnice, elipsa, parabla, ) či prstrvá (šrubvice, ) -vlastní přímka -nevlastní přímka, která je určena rvinu (tzv. řídící rvina). Je-li vlastní přímka klmá k řídící rvině, knid nazýváme přímý, v pačném případě šikmý (ksý). Užití knidů v architektuře: Meyersn Symphny Centre vdallasu, Texas, USA Knstrukce studentů architektury v Lynu, Francie Železniční stanice v Manchesteru, Velká Británie Tvárna na tpná tělesa v Dammarie-les-Lys, Francie

2 . Zadání: A4 na výšku KP: O [7,3], ω = 35, q = Kruhvý knid je určen těmit řídícími útvary: a) kružnice k(s, 4) v bkrysně μ(y,z), S[0,5,4], b) přímka l, L є l, l π, L[0,5,0], c) řídící rvina je půdrysna π(x,y). Zbrazte nejméně 8 tvřících přímek plchy. Určete tečnu rvinu plchy v bdě T[3;6,5;?], z T > z S, pmcí dtykvéh hyperblickéh parablidu. Zbrazte řez plchy rvinu ρ(4,, ). Pstup: ) Tvřící přímky knidu jsu přímky, které prtínají zadanu kružnici k, zadanu přímku l a jsu rvnběžné s řídící rvinu, zde s půdrysnu. Zvlíme libvlnu rvinu α rvnběžnu s půdrysnu, její průsečík s přímku l značíme, průsečíky α s kružnicí k značíme a '. Přímky a ' jsu přímky knidu. )Pr durčení bdu T pužijeme půdrys tvřící přímky t, tj. t =T L. Průsečík t s půdrysem k kružnice značme M. Durčíme bd M na kružnici k tak, aby z M > z S. Přímka t je rvnběžná s půdrysnu, tedy z T = z M. Průsečík t a l značme N. 3)Pr určení tečné rviny v bdě T pužijeme dtykvý hyperblický parablid. Tent hyp. parablid má s knidem splečnu přímku a také splečné tečné rviny v každém bdě tét přímky. V našem příkladu je splečnu přímku právě přímka t, chceme durčit tečnu rvinu knidu v jejím bdě T. Zatím umíme určit tečnu rvinu v bdě M, tat tečná rvina je určena přímku t a tečnu m kružnice k v bdě M. Dále umíme určit tečnu rvinu v bdě N, tat tečná rvina je určena přímku t a přímku l. Přímky těcht tečných rvin jsu přímkami pmcnéh hyperblickéh parablidu, rzdělme je d dvu regulů:.regulus mimběžky l a m.regulus přímka t. Pr druhý regulus nemáme další přímku, ale řídící rvina tht regulu je právě řídící rvina knidu, půdrysna π. Nyní si sestrjíme zbrcený čtyřúhelník hyperblickéh parablidu, tj. sestrjíme druhu přímku.regulu. Zvlíme lib. bd G na přímce m (kvůli přesnsti dstatečně vzdálený d bdu M), tímt bdem vedeme rvinu β rvnběžnu s π a značíme F její průsečík s přímku l. Čtyřúhelník MGFN je hledaný zbrcený čtyřúhelník. Určíme tečnu rvinu hyperblickéh parablidu (a zárveň knidu) v bdě T, tj. v bdě T sestrjíme přímku. regulu. Řídící rvina. regulu je bkrysna μ. Bdem T vedeme rvinu ψ rvnběžnu s μ. Označíme U průsečík s přímku FG. Tečná rvina v bdě T je určena přímku t a přímku u = UT. Pzn: Rvina. regulu může být v některých případech becnější než tmu je v tmt příkladě. Pak je jedndušší rzdělit úsečku FG bdem U tak, aby platil FU : UG = NT : TM, tj. bd U rzděluje úsečku FG ve stejném pměru jak bd T úsečku NM. 4)Řez přímkvé plchy sestrjíme bdvě, hledáme průsečíky přímek plchy s rvinu ρ. Řezem v našem příkladě je elipsa, jistě najdete její sy.

3 / n ρ l z k S ' m α O ' S y T p ρ n α x L=L =l=

4 / n ρ l z k M T S ' m α N O ' S M y t T p ρ n α x L=L =l= =N t

5 /3 u n ρ l z k M T S G m β m ' U m α N O ' S M G y=m n β t F T u =pψ U p ρ n α x L=L =l= =N =F t

6 /4 u n ρ l z k M T S G m β m ' U m α N O ' S M G y=m 3' 3 n β t F T 3' 3 u =pψ U p ρ n α x L=L =l= =N =F t

7 . Zadání: A4 na výšku PA: ΔXYZ, X [3,5;], XY = YZ =, XZ = 0 Parablický knid je určen těmit řídícími útvary: a) parabla v bkrysně μ(y,z), bd V[0,7,0]je vrchl parably, sa parably z, pčátek O je bdem parably, b) přímka l = KL, K[,0,4], L[,4,4], c) řídící rvina je nárysna υ(x,z). Zbrazte nejméně přímek plchy (pravidelně rzmístěných). Určete tečnu rvinu plchy v bdě T[3;?;6], y T > y V, pmcí dtykvéh hyperblickéh parablidu. Zbrazte řez plchy rvinu ρ:t є ρ, ρ μ(y,z). Pstup: )Zbrazíme parablu a přímku l. Pmcí rvin rvnběžných s řídící rvinu (α υ) sestrjíme brazy přímek knidu (). )Bd T durčíme s využitím nárysu tvřící přímky t =MN. 3)Pr tečnu rvinu využijeme dtykvý hyperblický parablid. -tečná rvina v bdě M je určena přímku t a tečnu m parably v bdě M -tečná rvina v bdě N je určena přímku t a přímku l. Zvlíme bd G na přímce m a durčíme zbrcený čtyřúhelník MGFN. Úsečku GF rzdělíme bdem U v tm pměru, ve kterém bd T rzděluje úsečku MN. Tečná rvina v bdě T je určena přímku t a přímku u = TU 4)Řez rvinu ρ sestrjíme bdvě (viz bd R).

8 / z m α Z D W V F O K X W V = Y x y K L p α L l l

9 / z m α m γ Z D W V F T M O T K t X W V = Y M K x T y N L p α N L l t p γ = t l

10 /3 z m α m m γ m β Z D W V F T M O T K t X W V = Y M K x T U m = y G=G N U u L F u p α N L F l t p γ = t p β l

11 /4 n ρ z m α m m γ m β Z D W V F T R M O T K t X R W V = Y M K x T U m = y G=G N U p ρ = u L F u p α N L F l t p γ = t p β l

12 3. Zadání: A4 na výšku (a) MP: O[7;6] (b) KP: O [7;6], ω = 35º, q = Küpperův knid je určen těmit řídícími útvary: a) kružnice k(s,5), v půdrysně π(x,y), S[6;7;0] b) přímka l, L є l, l π, L[;7;0], (L є k) c) řídící rvina φ(,, ). Zbrazte alespň tvřících přímek plchy. Určete tečnu rvinu plchy v bdě T[8;9;?], pmcí dtykvéh hyperblickéh parablidu. Zbrazte řez plchy rvinu ρ: T є ρ, ρ π a tečnu tét křivky v bdě T. (a)pstup: ) Zbrazíme kružnici k a přímku l. Pmcí rvin rvnběžných s řídící rvinu (α φ) sestrjíme brazy přímek knidu (, '). )Bd T durčíme s využitím půdrysu tvřící přímky t = MN. 3)Pr tečnu rvinu využijeme dtykvý hyperblický parablid: -tečná rvina v bdě M je určena přímku t a tečnu m kružnice k v bdě M -tečná rvina v bdě N je určena přímku t a přímku l. Zvlíme bd G na přímce m a durčíme zbrcený čtyřúhelník MGFN. Úsečku GF rzdělíme bdem U v tm pměru, ve kterém bd T rzděluje úsečku MN. Tečná rvina v bdě T je určena přímku t a přímku u = TU. 4)Řez plchy rvinu ρ sestrjujeme bdvě (viz bd 3, 3'). 5)Tečna křivky řezu leží v rvině křivky (rvina ρ) a také v tečné rvině knidu v bdě T. Tečna křivky řezu q je tedy průsečnice rviny ρ a tečné rviny τ (t, u).využili jsme přímku NU a její průsečík R s ρ, q = TR. (b)pstup: Pstupujeme stejně jak v MP.

13 3a/ l n α =α n φ =φ x, k S =' L O ' k S L =l = p α p φ

14 3a/ l t N n α =α n φ =φ T x, M k S =' L O ' k S L =l = =N T M t p α p φ

15 3a/3 l n β =β F t N n α =α u n φ =φ U T x, =m G M k S =' L O ' k G U S L =l = =N =F T M t p β m u p α p φ

16 3a/4 l n β =β F t N n α =α u n φ =φ U T 3 =3' n ρ =ρ x, =m G M k S =' L O ' k 3' G U S L =l = =N =F T M 3 t p β m u p α p φ

17 3a/5 l n β =β F t N n α =α u n φ =φ R U T 3 =3' n ρ=ρ =q x, =m G M k S =' L O ' k 3' G R U S L =l = =N =F T M 3 t p β m u p α q p φ

18 3b/ l z l m α m φ n φ y L=L =l = p φ n α '=' S =S = p α x k=k

19 3b/ l z l N m α m φ n φ y L=L =l = =N p φ n α '=' T S =S = p α T x k=k M =M t t

20 3b/3 l z l N m α F m φ n φ y L=L =l = =N =F p φ U u n α '=' T S =S = p β U G=G p α T x k=k M =M u m=m t t

21 3b/4 l z l N m α F m ρ m φ n φ y L=L =l = =N =F p φ U n ρ u T n α '=' 3 3 T S =S = p β U G=G p α n T x p M =M k=k u p =n m=m t t

22 3b/5 l z l N m α F m ρ q L=L =l = =N =F R y U r q n ρ u T n α '=' 3 3 T S =S = r R p β U G=G p α n T x p M =M k=k u p =n m=m t t

23 4. Zadání: A4 na výšku PA: ΔXYZ, X [5;], XY =, izmetrie Je dána rtační válcvá plcha s řídící kružnicí k(o; 4,5) v půdrysně π(x,y) a rvina ρ( ; 4,5; 4,5) Plückerův knid je určen těmit řídícími útvary: a) elipsa e, která je průnikem zadané válcvé plchy a rviny ρ, b) přímka l, L є l, l π, L[0;4,5;0] c) řídící rvina φ je půdrysna π(x,y). Zbrazte nejméně 3 tvřících přímek plchy. Určete tečnu rvinu plchy v bdě T[,5;;?], pmcí dtykvéh hyperblickéh parablidu. Pstup: ) Zbrazíme elipsu e a přímku l. Pmcí rvin rvnběžných s řídící rvinu (α φ) sestrjíme brazy přímek knidu (, '). ) Bd T durčíme s využitím půdrysu tvřící přímky t = MN. 3) Pr tečnu rvinu využijeme dtykvý hyperblický parablid: -tečná rvina v bdě M je určena přímku t a tečnu m elipsy v bdě M -tečná rvina v bdě N je určena přímku t a přímku l. Zvlíme bd G na přímce m a durčíme zbrcený čtyřúhelník MGFN. Úsečku GF rzdělíme bdem U v tm pměru, ve kterém bd T rzděluje úsečku MN. Tečná rvina v bdě T je určena přímku t a přímku u = TU.

24 4/ z l e Z r=α ρ m ρ ' R O ' n ρ k L=L =l= n α X Y m α y x p ρ

25 4/ z l e Z r=α ρ t M T m ρ N ' R O ' t M n ρ k T L=L =l= =N n α X Y m α y x p ρ

26 4/3 z l u m e u Z m r=α ρ t M T m ρ N ' R O ' t M n ρ k T L=L =l= =N =F =F n α X U=U Y m α G=G y x p ρ

27 5. Zadání: A4 na výšku MP: O [8;5] Kulvý knid je určen těmit řídícími útvary: a) kulvá plcha χ(s, 4), S[0;6;4], b) přímka l = KL, K[-4;0;0], L[-8;;8], c) řídící rvina φ je půdrysna π(x,y). Zbrazte nejméně 0 tvřících přímek knidu a křivku spjující dtykvé bdy těcht přímek s kulvu plchu (včetně viditelnsti v půdryse a náryse). Pstup: ) Tvřící přímky tht speciálníh knidu jsu přímky, které prtínají zadanu přímku l, dtýkají se zadané kulvé plchy a jsu rvnběžné s půdrysnu π. Zvlíme libvlnu rvinu α rvnběžnu s půdrysnu. Tat rvina prtíná přímku l v bdě a kulvu plchu v kružnici k. Přímky knidu jsu tečny kružnice k prcházející bdem, bdy dtyku značme, '. ) Spjíme dtykvé bdy přímek knidu s kulvu plchu a stanvíme viditelnst. Změna viditelnsti v půdryse: P, Q ; změna viditelnsti v náryse: U, V.

28 5/ l L χ α k n =α S x, O K L χ k S K l

29 5/ l L χ α k ' n =α S x, O K L χ k S ' K l

30 5/3 l V L χ α k ' n =α S P =Q x, O =U K L P χ k S =V =U ' Q K l

31 6. Zadání: A4 na výšku LP: Z [;0], v h = 0, d = 36 Kruhvý knid je určen těmit řídícími útvary: a) kružnice k(s,8), v základní rvině π, b) přímka a π (nad π), vzd(a, π) = 8 c) řídící rvina φ π. Zbrazte nejméně 5 tvřících přímek knidu. Pstup: ) Zbrazíme kružnici k a přímku a. Půdrysy přímek knidu jsu rvnběžné s φ, v LP se zbrazí jak přímky různběžné se splečným úběžníkem U φ. Zbrazíme přímky knidu. )Na přímce knidu zvlte bd T a durčete tečnu rvinu plchy v bdě T. Nezapmeňte, že se v LP dělící pměr nezachvává. Pr tečnu rvinu využijeme dtykvý hyperblický parablid: -tečná rvina v bdě M je určena přímku t a tečnu m kružnice v bdě M -tečná rvina v bdě N je určena přímku t a přímku l. Zvlíme bd G na přímce m a durčíme zbrcený čtyřúhelník MGFN. Úsečku GF rzdělíme bdem U, pužijeme stejný způsb jak v předešlých příkladech. Tečná rvina v bdě T je určena přímku t = a přímku u = UT.

32 6/ φ k H U φ / U φ S a S =S k =k φ Z a a d / D

33 6/ φ α ' k L = H U φ / U φ S a K ' S =S k =k φ Z a α a d / D

34 6/3 φ α ' k L = H U φ / U φ S a K L ' S =S φ Z a k =k K α a d / D

35 6/4 φ α ' k L = H U φ / U φ =N S F a K T L T =N ' S =S =M =M φ Z a U U F k =k K u G =G u m =m α a d / D