Téma 8, Nelineární chování materiálů, podmínky plasticity.

Transkript

1 Pružnst a plasticita II.,.rčník bakalářské studia, přednášky Janas, éma 8, elineární cvání materiálů, pdmínky plasticity. Úvd Pružně-plastický materiál Pdmínky plasticity ezní únsnst knstrukce Jednducé pružně-plastické úly Katedra stavební mecaniky Fakulta stavební, VŠB - ecnická univerzita Ostrava

2 Úvd, základní pjmy erie plasticity se zabývá studiem stavu napjatsti a defrmace těles, které se zcela neb z části nacázejí v plastickém stavu. Plastický stav je carakterizván vznikem nepružnýc (nevratnýc defrmací). ěkteré látky se cvají pružně téměř až d prušení, nevznikají v nic při zatěžvání trvalé defrmace a prušují se při zatěžvání nále, bez předczí vzniku trvalýc defrmací (např. železniční klejnice). at vlastnst je velmi studvána. Je např. u celi velmi závislá na cemickém slžení, ale také na stavvýc pdmínkác (teplta). Velká část látek se ale plasticky přetváří. Platí t kvec, zeminác i jinýc materiálec.

3 Úvd, základní pjmy Pružnstí tělesa rzumíme vlastnst spjité tělesa defrmvat se půsbením vnější zatížení (síly, změna teplty atd.) a p deznění těct zatížení nabýt pět půvdní tvar br. a), b). Vzta mezi napětím a defrmací může být přitm lineární br. a), neb nelineární br. b). Plasticitu tělesa rzumíme vlastnst spjité tělesa defrmvat se půsbením vnější zatížení (síly, změna teplty atd.) a p deznění těct zatížení nenabýt půvdní tvar br. c).

4 Úvd, základní pjmy Plastické cvání tělesa je pdstatně slžitější, než cvání pružné. Jedné dntě napětí A dpvídají na br. dvě různé dnty defrmace ε A a ε A. Jedné dntě defrmace ε C pak dvě dnty napětí, a t C a. Pr ε f ε je ε ε ε A Pr pružnu defrmaci je Pr plasticku defrmaci je E je pčáteční mdul pružnsti Při dlečení je defrmace Při dlečení je napětí el ε ε ε ε ε B E B pl el pl E ε ε ε ε ( ) B B ( ε ε ) B el E / E 4

5 Ideální pružně-plastický materiál Ve výczím stavu se předpkládá, že materiál je bez napětí Při zatěžvání se cvá dle Hkva zákna (je v pružném stavu) až d dsažení mezní dnty napětí Pr < platí ε/e P dsažení napětí je materiál v plastickém stavu. u vznikat libvlné přírůstky plastickýc defrmací, musí mít všem stejný smysl jak půsbící napětí Odlečení prbíá pružně, při < je dε el d/e V becném případě (bd C) je prtažení tvřen pružnu a plasticku částí Velikst plastické defrmace není jednznačně daná. Je výsledkem istrie zatěžvání 5

6 Ideální pružnplastický materiál, střídavé zplastizvání v tlaku a v tau Při střídavém zplastizvání v tau a v tlaku dcází k disipaci energie (přeměně vyknané práce v tepl) cyklus EBCD Důsledkem může být zlm materiálu vlivem tzv. málcyklvé únavy am, kde je tt nebezpečí, je nutn vylučit využití plasticity 6

7 u-plastický materiál u-plastický materiál je limitním případem ideálně pružně-plastické materiálu U tt materiálu je pružná část defrmace tělesa nulvá neb nevýznamná pružné defrmace se zanedbávají delvě se vlí E 7

8 8 Pdmínky plasticity Pdmínky plasticity definují přecd z pružné d plastické stavu Huber-ises-Hencky pdmínka plasticity: Při becném stavu napjatsti dcází k plastickému přetvření v klí bdu tělesa v případě, když měrná dnta ptenciální energie dpvídající změně tvaru dsáne stálé dnty, která se rvná dntě měrné ptenciální energie při prstém tau na mezi kluzu at pdmínka zapsaná pr becnu napjatst v lavníc napětíc má tvar Pr jednsu napjatst: ( ) ( ) ( ) f f

9 9 Pdmínky plasticity Huber-ises-Hencky pdmínka plasticity: Pr rvinnu napjatst: Pr čistý smyk ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 6 τ τ τ τ τ τ τ τ f f f f

10 Pdmínky plasticity reskca- de Saint Venantva pdmínka plasticity: Při becném stavu napjatsti djde v klí bdu tělesa k plastickému přetvření, když maximální smykvé napětí dsáne smykvé napětí při prstém tau na mezi kluzu Při prstrvém stavu napjatsti djde k plastické defrmaci při splnění některé ze vztaů: Při rvinném stavu napjatsti (např. ) se vztay zjednduší: Případně ve slžkác tenzru napětí ( ) ( ) 4 y x τ τ τ xy f Pr čistý smyk

11 Pdmínky plasticity, grafické znázrnění pr rvinnu napjatst Význam funkce f: Pr f< je látka v pružném stavu Pr f je látka v plastickém stavu Pr f> je stav fyzikálně nemžný Krmě uvedenýc pdmínek plasticity existuje celá řada dalšíc

12 Plasticita, vzta mezi přírůstky napětí a defrmací ent vzta lze vyjádřit rvnicí v přírůstkvém tvaru { d} [ D ] { d } EP [ D ] EP ε je pružně-plastická matice tusti narazuje pružnu matici Výsledný stav nelze získat přím, je dán celu istrií zatěžvání Úla je velmi slžitá,vztay mezi napětími a defrmacemi jsu nelineární, nelze využít principu superpzice

13 ezní únsnst knstrukce Při zvyšvání zatížení knstrukce může nastat stav, kdy se knstrukce, neb její část, defrmuje bez růstu zatížení Knstrukce (její část) se stává tvarvě neurčitu, až djde k klapsu knstrukce Stav knstrukce (vnitřní síly, napětí, defrmace) dpvídající meznímu zatížení nazýváme mezní stav knstrukce

14 ezní únsnst knstrukce Analýza mezní stavu únsnsti knstrukce představuje: výpčet mezní zatížení výpčet dpvídajícíc vnitřníc sil stanvení mezní mecanizmu knstrukce ezní stav únsnsti knstrukce lze určit: pružně-plasticku analýzu knstrukce analýzu vzniku mecanizmu knstrukce 4

15 5 Jednducé úly pružně-plastické rvnváy, pružně-plastický ta Prutvá sustava je x staticky neurčitá Pruty mají stejnu tust EA ezní napětí každé prutu je Určete mezní únsnst knstrukce Pdmínka rvnváy v uzle O: Defrmační pdmínka: ( ) P P X X X P EA Xl EA l X P s s s s s X X P P cs cs6 cs6, cs6 cs6 α

16 Jednducé úly pružně-plastické rvnváy, pružně-plastický ta, pkračvání ejvětší nrmálvá síla vznikne v prutu Při dsažení napětí se prut zplastizuje při zatížení P X 4 5 P P 5 4 pl 5 A 4 V prutec a budu přitm své síly P X 5 A A 4 A 4 Při dalším zatěžvání už svá síla v prutu neprste, pruty a však mají ještě 75% rezervu únsnsti pr dsažení plastické stavu celé knstrukce. ezní únsnst knstrukce je: m (,5,5 ) A, P P 6 cs6 cs6 A m m m 6

17 Jednducé úly pružně-plastické rvnváy, pružně-plastický yb Pr vnitřní síly platí známé vztay: Uvažujme pružně-plastický yb nsníku se dvěma sami symetrie zatížený rvnměrným pstupně rstucím zatížením y ( x) 4 4 b( z) zdz V τ b( z) dz x xz ejexpnvanější průřez prcází při zatěžvání pstupně stavem: pružným pružněplastickým plastickým (p vytvření plastické klubu) 7

18 Jednducé úly pružně-plastické rvnváy, pružně-plastický yb Stav pružný: p x x I y y z y EI y d w dx pr z ± ( z ) x ± W y y kde W y I y Stav pružně-plastický: Část I pr Část II pr y S ( ξ p z p ) χ ( ± ) ( z p ξ ) χ ( χ pr z ξ ) I II ξ x x z ξ S I statický mment části I k se y I II mment setrvačnsti části II k se y x 8

19 Jednducé úly pružně-plastické rvnváy, pružně-plastický yb Stav plastický: x y p χ z S x χ Pr bdélníkvý průřez výšce a šířce b je: S b / b y yel W el W pl F W yel W W pl el pl b 4 b 6 4,5 9

20 sník namáaný ybem a svu silu Pdmínka rvnváy sil a mmentů: d d d r r Pr vnitřní nrmálvé síly platí a d a pr ramena r a r d platí: ( ) ( ) ( ) ( ) 4 / / 4 / / η η η η z r b z b z z r b z b d z η

21 sník namáaný ybem a svu silu Pr kladnu svu sílu ybvý mment platí: ( ) ( ) b b 4 η η η η Pr záprnu svu sílu ybvý mmenty platí: ( ) η η η Úpravu výše uvedenýc vztaů lze dvdit:

22 sník namáaný ybem a svu silu Gemetrická interpretace vztau: Φ ( p, f)

23 ezní únsnst nsníků

24 ezní únsnst rámvýc knstrukcí Statické řešení Při statické řešení ledáme největší dntu P s P m (P m je mezní zatížení), které vyvlává statický mžný průbě mmentů a splňuje pdmínky vnitřní a vnější rvnváy knstrukce, a při němž se v žádném průřezu nepřestupuje velikst mezní mmentu Při statickém řešení se přibližujeme statické dntě mezní zatížení zdla a určujeme dlní mez únsnsti knstrukce 4

25 ezní únsnst rámvýc knstrukcí Kinematické řešení Při kinematickém prvádíme rzbr kinematicky přípustnýc mecanizmů a ledáme nejnižší dntu zatížení P k P m (P m je mezní zatížení), při němž se v žádném průřezu nepřestupuje velikst mezní mmentu. Kinematicky přípustný mecanizmus vyvlaný zatížením P k musí bsavat takvý pčet plastickýc klubů, aby byl umžněn virtuální pyb celé knstrukce neb její části. Virtuální práce vnějšíc sil musí být kladná Při kinematickém řešení se přibližujeme skutečné dntě mezní zatížení sra a určujeme rní mez únsnsti knstrukce 5

26 Pužitá literatura [] Dický, J., istríkvá, Z., Sumec, J., Pružnsť a plasticita v stavebníctve, Slvenská tecnická univerzita v Bratislavě, 6. [] eplý, B., Šmiřák, S., Pružnst a plasticita II. akladatelství VU Brn, 99. 6