Dvojné a trojné integrály příklad 3. x 2 y dx dy,

Rozměr: px
Začít zobrazení ze stránky:

Download "Dvojné a trojné integrály příklad 3. x 2 y dx dy,"

Transkript

1 Spočtěte = { x, y) ; 4x + y 4 }. Dvojné a trojné integrály příklad 3 x y dx dy, Řešení: Protože obor integrace je symetrický vzhledem k ose x, tj. vzhledem k substituci [x; y] [x; y], a funkce fx, y) je lichá v proměnné y, tj. fx, y) = fx, y), je nejjednodušší provést substituci x = X y = Y = J = ; 4x + y 4 4X + Y 4. Po této substituci dostaneme I = x y dx dy = X Y dx dy = I = I = = x y dx dy =. Spočtěte = { x, y) ; y x, y x 4 }. xy dx dy, Řešení: Oblast integrace lze zapsat pomocí nerovností Podle Fubiniovy věty pak je xy dx dy = 4 y x y + 4 = y y + 8 = y 4. y+4 dy xy dx = 4 y y+4) 4 y4) dy = [ ] y 4 4 y 4 + 8y y y6 = 9. 4 Spočtěte dx dy dz, = {x, y, z) ; x, y, z, x + y + z }. Řešení: Když zapíšeme integrační obor pomocí nerovností jako z x y, x, y = z x y, x, y, x y, lze použít Fubiniovu větu a psát = { x, y) R ; x, y, x + y }. Zapíšeme-li ještě množinu ve tvaru x y x y) dx dy, y x, x = y x, x, x = x a použijeme na integrál přes opět Fubiniovu větu, dostaneme dx x x y) dy = x) dx = [ 6 x)3] = 6. Typeset by MS-TEX

2 Určete těžiště tělesa v R 3, = { x, y, z) ; z x + y, x y }. Řešení: Souřadnice těžiště T = [ ] x T ; y T ; z T homogenního tělesa najdeme ze vzorce x T = x dx dy dz, y T = y dx dy dz, z T = z dx dy dz, V V V dx dy dz. Při výpočtu integrálů budeme používat Fubiniovu větu. Z rovnic popisujících množinu plyne, že platí x +y fx, y, z) dx dy fx, y, z) dz, množina = { x, y) R ; x y } = { x, y) R ; x y, x } = = { x, y) R ; x y, x }. Poslední tvar množiny je vhodný pro další použití Fubiniovy věty a vede k rovnosti x +y fx, y, z) dx dy fx, y, z) dz. Pro objem tělesa takto dostaneme dx x dy x +y [ x 3 = 3 x5 5 + x 3 x7 ] dz = = x dx x + y ) dy = x x x x6) dx = Při výpočtu souřadnice x T tělesa je nerychlejší si všimnout, že těleso je symetrické vzhledem k rovině yz, tj. vzhledem k transformaci [x; y; z] [ x; y; z]. V takovém případě vede substituce x = X, y = Y a z = Z ke vztahu x X dx dy dz = x dx dy dz x x T =. Pro výpočet souřadnice y T musíme najít integrál x +y y dx dy y dz = = Podobně dostaneme z x x + 4 x6 4 x8) dx = dx x dx y x + y ) dy = x [ x x ] 4 x7 4 x9 36 x +y dy z dz = dx x + y ) dy = x = x x + 5 x6 3 x8 5 x) dx = = [ x x3 9 + x ] 5 x7 7 x9 7 x = = 6.

3 Tedy souřadnice těžiště jsou x T =, y T =, z T = Určete objem tělesa = { x, y, z) ; z x y, x + y, x, y }. Řešení: Ze zadání oblasti integrace je zřejmé, že podle Fubiniovy věty platí x y x y) dx dy, = { x, y) R ; x y, x + y, x, y }. Lze se přesvědčit, třeba s náčrtku v rovině, že podmínka x+y je důsledkem nerovnosti x +y. Proto lze psát = { x, y) R ; x + y, x, y }. bychom našli integrál přes množinu, zavedeme polární souřadnice x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, r >, < ϕ < π, J = r. Množina je v proměnných r a ϕ dána nerovnostmi x + y = r <, x = r cos ϕ >, y = r sin ϕ > = < ϕ < π. Tedy hledaný objem je = dr / r r cos ϕ r sin ϕ) = πr r ) dr = π 3. [ r ϕ r sin ϕ + r cos ϕ ] π/ dr = Vypočtěte integrál xy dx dy, = { x, y) ; x + y ), x + y ) 4 }. Řešení: Protože obor integrace je symetrický vzhledem k ose y, tj. vzhledem k substituci [x; y] [ x; y], a funkce fx, y) je lichá v proměnné x, tj. f x, y) = fx, y), je nejjednodušší provést substituci x = X y = Y = J = ; x + y ), x + y ) 4 = X + Y ), X + Y ) 4. Po této substituci dostaneme I = xy dx dy = XY dx dy = I = I = = xy dx dy =. 3

4 Určete souřadnice těžiště obrazce = { x, y) ; x + y ) y 3}. Řešení: Souřadnice těžiště x T a y T rovinného obrazce určíme ze vztahů x T = x dx dy, y T = y dx dy, P = P P Množinu v příkladu, lze poměrně snadno popsat v polárních souřadnicích x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, r >, < ϕ < π, J = r. Když dosadíme do nerovnosti, která popisuje množinu, dostaneme dx dy. r 4 r 3 sin 3 ϕ = < r < sin 3 ϕ = sin ϕ > = < ϕ < π. Tedy podle věty o substituci a Fubiniovy věty je Z tohoto vztahu dostaneme P = dx dy = fx, y) dx dy = sin 3 ϕ jsem použil známý rekurentní vztah sin 3 ϕ r dr = sin n ϕ = n n fr cos ϕ, r sin ϕ) rdr. sin 6 ϕ = π = 5 8 π, sin n ϕ, který platí pro n. Souřadnici x T těžiště bychom mohli zjistit okamžitě, kdybychom si uvědomili, že množina je symetrická vzhledem k ose y, tj. vzhledem k transformaci [x; y] [ x; y]. Z toho ihned plyne x T =. Pomocí integrálu bychom dostali x dx dy = sin 3 ϕ r cos ϕ dr = 8 3 jsme v posledním integrálu použili substituci sin x = t. K výpočtu souřadnice y T těžiště potřebujeme najít integrál y dx dy = sin 3 ϕ r sin ϕ dr = 8 3 sin 9 ϕ cos ϕ = sin ϕ = 8 3 [ ] π 8 3 sin ϕ =, π, jsem opět využil pro výpočet posledního integrálu rekurentní vzorec. dostaneme souřadnice těžiště x T =, y T =. Z těchto vztahů už Vypočtěte obsah obrazce = { x, y) ; x + y ) x y ), x + y }. 4

5 Řešení: Danou množinu je výhodné popisovat v polárních souřadnicích x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, r >, π < ϕ < 3 π, J = r. V těchto souřadnicích jsou nerovnosti, které popisují množinu x + y ) x y ) = r cos ϕ sin ϕ ) = cos ϕ, x + y = r. Tedy množina je v polárních souřadnicích popsána nerovnostmi r cos ϕ, cos ϕ > = ϕ 6 π, 6 π) 5 6 π, 7 6 π). Obsah P množiny najdeme pomocí integrálu P = dx dy = = /6 π/6 /6 π/6 cos ϕ cos ϕ [ sin ϕ ϕ = ] π/6 π/6 r dr + 7π/6 5π/6 ) + 7π/6 5π/6 [ sin ϕ ϕ + cos ϕ cos ϕ ) = ] 7π/6 5π/6 = 3 π 3. r dr = Vypočtěte obsah obrazce a, b >. = { x, y) ; x } a + y b x + y, Řešení: Množina je elipsa, která má osy rovnoběžné s osami souřadnic. Najdeme proto její střed a poloosy. Nerovnost, která definuje množinu, je možné upravit na x a + y x x + y = b a x + y b y = a ) x a + ) b x b a + b. 4 Jedná se tedy o elipsu se středem v bodě [ a ; b] a poloosami a a + b a b a + b. Proto zavedeme souřadnice x = a + a a + b r cos ϕ, y = b + b a + b r cos ϕ, r >, < ϕ < π, J = aba + b ) 4 V těchto souřadnicích je daná elipsa určená nerovnostmi < r < a < ϕ < π. Tedy obsah P dané elipsy je P = dx dy = aba + b ) π rdr = π 4 4 aba + b ). Určete obsah obrazce = {x, y) ; x + y, x y x, x, y }. r. Řešení: Jestliže zapíšeme nerovnosti, které definují množinu, ve tvaru x + y, x y x = x + y, y x, 5

6 je zřejmé, že bude výhodné použít souřadnice u = x + y, v = y x. ) V souřadnicích u a v množina definována nerovnostmi u a v, a tedy je čtverec. Ještě musíme najít jakobián této transformace. Ten splňuje vztah Z rovnic ) plyne u J = det x v x u y v = det yx y x = u + v, y = uv + v. Jestliže tyto vztahy dosadíme do jakobiánu, dostaneme Tedy hledaný obsah P množiny je P = dx dy = J = x x + y = u + v). dv x u du + v) = 3 ) = x + y x. dv + v) = 4. Určete polární moment obrazce, tj. x + y ) dx dy, = {x, y) ; xy, x y x, x }. Řešení: Jestliže zapíšeme nerovnosti, které definují množinu, ve tvaru xy, x y x = xy, y x, je zřejmé, že bude výhodné použít souřadnice u = xy, v = y x. ) V souřadnicích u a v množina definována nerovnostmi u a v, a tedy je čtverec. Ještě musíme najít jakobián této transformace. Ten splňuje vztah u J = det x v x u y y x v = det yx y x ) = y x = v. Z rovnic ) plyne x = u v, y = uv. Proto dostaneme x + y ) dx dy = u + v ) dv v 6 du v = 3 4 v + ) dv = 9 8.

7 Určete moment setrvačnosti J z ) = x + y ) dx dy dz tělesa = { x, y, z) ; x + y z +, x + y + z 4 }. Řešení: Jestliže zapíšeme nerovnosti, které popisují množinu, ve tvaru x + y + ) z 4 x y, nabízí se použít při výpočtu integrálu Fubiniovu větu x +y ) je množina R dána nerovností 4 x y dx dy x +y ) dz = x +y ) 3 3 x +y ) ) dx dy, x +y )+ x + y ) + 4 x y. Protože integrovaná funkce i nerovnosti, které definují závisí pouze na proměnné r = x + y, zdá se výhodné použít při výpočtu integrálu polární souřadnice x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, r >, < ϕ < π, J = r. V těchto souřadnicích je množina dána nerovností x + y ) + 4 x y = r + 4 r = r = r. Podle věty o substituci a Fubiniovy věty tedy je x + y ) 3 π [ ] r r r 4 ) rdr = 3π r6 = π. 6 Určete objem tělesa = { x, y, z) ; x + y + z 9, z }. Řešení: Když zapíšeme nerovnosti, které definují množinu, ve tvaru můžeme použít Fubiniovu větu a psát z je kruh x + y 9 z, z, dz dx dy, z z = { x, y) R ; x + y 9 z }. Integrál přes kruh z najdeme nejsnáze pomocí polárních souřadnic x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, r >, < ϕ < π ; J = r. 7

8 Kruh z je v těchto souřadnicích dán nerovností < r < 9 z. Pak je Tedy hledaný objem tělesa je z dx dy = π π 9 z r dr = π 9 z ). 9 z ) dz = 3 π. Určete moment setrvačnosti J z ) = x + y ) dx dy dz tělesa = { x, y, z) ; x + y 4, x + y + z 4, z }. Řešení: Jestliže zapíšeme nerovnosti, které definují množinu, ve tvaru z 4 x y, x + y 4, je zřejmé, že můžeme k výpočtu integrálu použít Fubiniovu větu ve tvaru J z ) = x +y ) množina je určena nerovnostmi dx dy 4 x y x + y 4, 4 x y = x + y 4. x +y ) dz = x +y ) 4 x y ) dx dy, Protože integrujeme přes kruh, je výhodné použít k výpočtu polární souřadnice x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, r >, < ϕ < π ; J = r. Protože množina je v polárních souřadnicích určena nerovnostmi < r <, je podle věty o substituci J z ) = dr Určete souřadnice těžiště tělesa π = r 4 r cos ϕ r sin ϕ ) r = 8π { x, y, z) ; je-li hustota rozložení hmoty rovna jedné. x } a + y b z 4, r 3 = 3π. Řešení: Souřadnice těžiště T = [ x T ; y T ; z T ] homogenního tělesa najdeme ze vzorce x T = x dx dy dz, y T = V V dx dy dz. y dx dy dz, z T = V z dx dy dz, Protože je těleso souměrné vzhledem k rovině yz, tj. vzhledem k substituci [x; y; z] [ x; y; z], resp. vzhledem k rovině xz, tj. vzhledem k substituci [x; y; z] [x; y; z], je zřejmé, že x T = y T =. 8

9 Souřadnici z T těžiště nalezneme pomocí integrálů. Jestliže zapíšeme nerovnosti, které definují těleso v ekvivalentním tvaru x a + y b z, z 4, lze použít Fubiniovu větu ve tvaru z je elipsa x a + y b zavést souřadnice fx, y, z) 4 dz fx, y, z) dx dy, z z. Protože integrujeme přes elipsu, je při výpočtu dvojného integrálu x = ar cos ϕ, y = ar sin ϕ, r >, < ϕ < π ; J = abr. V těchto souřadnicích je elipsa z určená nerovností Proto je 4 dz r z, < ϕ < π = < r < z, < ϕ < π. z z dr π 4 dz abr = πab z dr π 4 dz z z abr = πab r dr = πab 4 4 z dz = 64 3 πab. z dz = 8πab. Tedy souřadnice těžiště jsou x T = y T =, z T = 8 3. Určete souřadnice těžiště tělesa = { x, y, z) ; je-li hustota rozložení hmoty rovna jedné x } a + y b z c, z c, Řešení: Souřadnice těžiště T = [ x T ; y T ; z T ] homogenního tělesa najdeme ze vzorce x T = x dx dy dz, y T = V V dx dy dz. y dx dy dz, z T = V z dx dy dz, Protože je těleso souměrné vzhledem k rovině yz, tj. vzhledem k substituci [x; y; z] [ x; y; z], resp. vzhledem k rovině xz, tj. vzhledem k substituci [x; y; z] [x; y; z], je zřejmé, že x T = y T =. Souřadnici z T těžiště nalezneme pomocí integrálů. Z nerovnic, které popisují těleso lze nahlédnout, že budou výhodné souřadnice x = ar cos ϕ, y = br cos ϕ, z = ch, r >, < ϕ < π, h R ; J = abcr. 9

10 Protože v těchto souřadnicích je těleso popsáno nerovnostmi jsou hledané integrály r h, h = < r < h, < h <, < ϕ < π, z π π Tedy souřadnice těžiště tělesa jsou dh dh h h abcr dr = abc ch abcr dr = abc π π h dh = 3 πabc, h 3 dh = 4 πabc. x T = y T =, z T = 3 4 c. Spočtěte x + y + z) dx dy dz, = { x, y, z) ; x + y y, z, z x + y }. Řešení: Jestliže zapíšeme nerovnosti, které definují množinu, ve tvaru z x + y, x + y y, je snadno vidět, že můžeme použít Fubiniovu větu ve tvaru je množina x +y x + y + z) dx dy x + y + z) dz = = x + y) x + y + x + y )) dx dy, = { x, y) R ; x + y y }. Integrály přes tuto množinu se často počítají pomocí polárních souřadnic x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, r >, < ϕ < π ; J = r. Množina je v souřadnicích r a ϕ určena nerovnostmi Tedy podle věty o substituce je x + y + z) < r < sin ϕ = sin ϕ > = < ϕ < π. = 4 = 4 sin ϕ cos ϕ + sin ϕ + ) r 3 dr = sin 4 ϕ cos ϕ + sin 5 ϕ + sin4 ϕ ) = [ 4 sin5 ] π [ ] π cos ϕ ) π = π 4.

11 Určete moment setrvačnosti J z ) = x + y ) dx dy dz pro těleso = { x, y, z) ; x } a + y b + z c, z. Řešení: Protože integrujeme přes polovinu elipsoidu, bude výhodné použít pro výpočet integrálu souřadnice x = ar cos θ cos ϕ, y = br cos θ sin ϕ, z = cr sin θ, r >, π < θ < π, < ϕ < π ; J = abcr cos θ. Množina je v těchto souřadnicích popsána nerovnostmi < r, sin θ, < ϕ < π = < r, < θ < π, < ϕ < π. Podle věty o substituci pak je J z ) = x + y ) = / 5 abc cos 3 θ dθ π π / dθ a cos ϕ + b sin ϕ ) = = 5 abc 3 π a + b ) = 5 πabc a + b ). r cos θ a cos ϕ + b sin ϕ ) abcr cos θ dr = Spočtěte x + y + z dx dy dz, = { x, y, z) ; x + y + z z }. Řešení: Integrály přes tuto množinu se poměrně často počítají pomocí sférických souřadnic x = r cos θ cos ϕ, y = r cos θ sin ϕ, z = r sin θ, r >, π < θ < π, < ϕ < π ; J = r cos θ. V těchto souřadnicích je množina popsána nerovnostmi < r sin θ = sin θ = < r < sin θ, < θ < π, < ϕ < π. Podle věty o substituci pak je x + y + z π / / = 8π dθ sin θ r 3 cos θ dr = [ sin 4 θ cos θ dθ = 8π 5 sin5 θ ] π/ = 8 5 π.

12 Spočtěte integrál = sinx + y) dx dy, { x, y) ; y >, x + y < π }, x y > π. Řešení: Nejprve přepíšeme nerovnosti, které definují množinu, na tvar y >, y π < x < π y = y >, y π < π y = < y < π, který je vhodný pro použití Fubiniovy věty. Z ní pak dostaneme sinx + y) dx dy = = / / dy / y y π/ sinx + y) dx = / [ cosx + y) [ ] π/ cosy π) dy = siny π) =. ] π/ y y π/ dy = Spočtěte integrál dx dy, = { x, y) ; x y) + x a }. Řešení: Z nerovnice, která definuje množinu je zřejmé, že bude výhodná substituce x y = u, x = v, u, v R ; J =, která převede množinu na kruh se středem v počátku souřadnic a poloměrem a. Podle věty o substituci je dx dy = du dv, = { u, v) R ; u + v = a }. Integrál přes množinu který je samozřejmě πa ) najdeme třeba pomocí polárních souřadnic u = r cos ϕ, v = r sin ϕ, r >, < ϕ < π ; J = r. Protože je množina v těchto souřadnicích určena nerovnostmi < r < a a < ϕ < π, je podle věty o substituci a Fubiniovy věty dx dy = π a r dr = πa. Spočtěte integrál dx dy, = {x, y) ; xy, x + y 5 }, x >, y >.

13 Řešení: Nejprve přepíšeme nerovnosti, které definují množinu, na tvar x >, x < y < 5 x = x >, x < 5 x = x >, x 5 x + < = < x <, který je vhodný pro použití Fubiniovy věty. Z ní pak dostaneme dx dy = / 5/ x 5 dx dy = /x / x ) [ 5 dx = x x ] x ln x = 5 / 8 ln. Spočtěte integrál x x dx dy, + y = { x, y) ; x y, y x }. Řešení: Nejprve přepíšeme nerovnosti, které definují množinu, na tvar x y x = x x = x. který je vhodný pro použití Fubiniovy věty. Z ní pak dostaneme x dx dy x + y = = x dx x / x dy x + y = [ π 4 x x arctg x + ln x + 4 ) [ arctg y ] x dx = x x / ] = ln. Spočtěte polární moment J ) = x + y ) dx dy množiny = { x, y) ; x y, y x }. π 4 arctg x ) dx = Řešení: Nejprve přepíšeme nerovnosti, které definují množinu, na tvar x y x = x x = x. který je vhodný pro použití Fubiniovy věty. Z ní pak dostaneme J ) = x + y ) dx dy = x dx x + y ) dy = x x 5/ + 3 x3/ x 4 3 x6) dx = Vypočtěte y 3 x dx dy, + y = {x, y) ; x y, y 4}. 3

14 Řešení: Nejprve přepíšeme nerovnosti, které definují množinu, na tvar x y, y 4 = y, y 4 = y 4. který je vhodný pro použití Fubiniovy věty. Z ní pak dostaneme y 3 dx dy 4 y x + y = y 3 dx dy x + y = 4 [ y arctg x y ] y dy = 4 π 4 y dy = 6 3 π. Vypočtěte x y dx dy, = { x, y) ; y, x + y x }. Řešení: Tato množina se při výpočtu integrálů často popisuje pomocí polárních souřadnic x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, r >, π < ϕ < π ; J = r. V souřadnicích r a ϕ pak je množina určena nerovnostmi x +y x, y = < r cos ϕ, cos ϕ, sin ϕ = < r cos ϕ, ϕ π. Podle věty o substituci a Fubiniovy věty proto je x y dx dy = / = 3 5 / cos ϕ r cos ϕ r sin ϕ r dr = cos 7 ϕ sin ϕ = 3 5 [ 8 cos8 ϕ / ] π/ = 4 5. cos ϕ r 4 cos ϕ sin ϕ dr = Vypočtěte x x dx dy, + y = {x, y) ; y x y, x }. Řešení: Nejprve přepíšeme nerovnosti, které definují množinu, na tvar x y x, x = x x, x = x. který je vhodný pro použití Fubiniovy věty. Z ní pak dostaneme x dx dy x x + y = x dy dx x/ x + y = [ arctg y ] x dx = x x/ π 4 arctg ) dx = π arctg. Vypočtěte x 3 x y) dx dy, 4

15 = { x, y) ; y x, x y }. Řešení: Nejprve přepíšeme nerovnosti, které definují množinu, na tvar x y x = x x = x. který je vhodný pro použití Fubiniovy věty. Z ní pak dostaneme x 3 x y ) dx dy = x dx x 3 x y ) dy = x x 7/ x3 x 5 + x6) dx = 54. Vypočtěte objem tělesa, = { x, y, z) ; x y, z 4 x y }. Řešení: Podle Fubiniovy věty je 4 x y 4 x y) dx dy, = { x, y) R ; x y, 4 x y }. Protože je to vidět třeba z obrázku) množina bodů, pro které je x y, je podmnožina poloroviny x + y 4, je množina určena nerovnostmi x y. Přepíšeme ještě nerovnosti, které definují množinu do tvaru, který je výhodný pro použití Fubiniovy věty, tj. na tvar x y = x = x. Pak dostaneme dx 4 x y) dy = x 4 4x x + x 3 + x4) dx = Vypočtěte objem tělesa, = {x, y, z) ; z 4 x y, x 3, y }. Řešení: Podle Fubiniovy věty je 4 x y 4 x y) dx dy, = { x, y) R ; x 3, y, 4 x y }. Přepíšeme ještě nerovnosti, které definují množinu do tvaru, který je výhodný pro použití Fubiniovy věty. Z nerovnic plyne, že platí y, y 4 x, x 3 = y min, 4 x), x 3. Protože 4 x pro x a 4 x < pro x > napíšeme množinu jako sjednocení dvou disjunktních množin =, = { x, y) R ; y, x } a = { x, y) R ; y 4 x, < x 3 }. 5

16 Pak můžeme psát 4 x y) dx dy + 4 x y) dx dy = = = dx 4 x y) dy + 3 dx [ 6x x ] + [ 6 4 x)3 ] 3 = x 4 x y) dy = 6 x) dx x) dx = Vypočtěte objem tělesa, = { x, y, z) ; x + y, x + z, x, y, z }. Řešení: Nejprve přepíšeme nerovnosti, které definují množinu, na tvar y x, y, z x, z, x = y x, z x, x. který je vhodný pro použití Fubiniovy věty. Z ní pak dostaneme x x x ) dx = 3. Vypočtěte objem tělesa, = { x, y, z) ; x, y, z x + y }. Řešení: Množina je zapsána tak, že lze přímo využít Fubiniovu větu. Podle ní je x +y dx x +y ) dy = x + 3) 8 dx = 3. Vypočtěte xy dx dy dz, = {x, y, z) ; z xy, x + y, x > }. Řešení: Nerovnosti, které popisují množinu, jsou zapsány ve tvaru, které nám umožňuje použít Fubiniovu větu a psát xy množina R je popsána nerovnostmi dx dy xy xy dz = x y dx dy, xy, x + y, x > = y x, x > = x, x > = < x. 6

17 Tedy Fubiniova věta dává xy dx x x y dy = 3 x x) 3 dx = 8. Vypočtěte obsah obrazce = {x, y) ; xy, x y x, x > }. Řešení: Protože je x >, lze zapsat nerovnosti, které popisují množinu, ve tvaru xy, x y x = xy, y x, zdá se výhodné zavést souřadnice u = xy, v = y ) x, y, v > ; y x J = det x y x = y x = v. Protože je množina v souřadnicích u, v definována nerovnostmi je podle věty o substituci a Fubiniovy věty P ) = u, v, dx dy = dv du v = ln. Vypočtěte obsah obrazce = { x, y) ; x y 4x, y x 4y }. Řešení: Nerovnosti, které popisují množinu, lze zapsat ve tvaru x y 4x, y x 4y = y x 4, x y 4, zdá se výhodné zavést souřadnice u = y x, ) v = x y, y, v > ; x J = det y x y xy x y = 3. Protože je množina v souřadnicích u, v definována nerovnostmi je podle věty o substituci a Fubiniovy věty P ) = u 4, v 4, dx dy = 4 4 dv du 3 =. 7

18 Určete objem tělesa = { x, y, z) ; z x + y +, x + y + z 4 }, Řešení: Jestliže zapíšeme nerovnosti, které popisují množinu, ve tvaru nabízí se použít Fubiniovu větu ve tvaru V ) = je množina dána nerovností x + y + ) z 4 x y, 4 x y dx dy dz = 3 3 x + y ) ) dx dy, x +y )+ x + y ) + 4 x y. Protože se v nerovnostech, které definují oblast integrace i v integrované funkci vyskytují proměnné x a y pouze v kombinaci r = x + y, je výhodné použít při výpočtu integrálu polární souřadnice x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, r >, < ϕ < π, J = r. V těchto souřadnicích má nerovnost, která popisuje množinu tvar x + y ) + 4 x y = r + 4 r = r = r. Podle věty o substituci a Fubiniovy věty tedy je V ) = 3 π r ) rdr = 3π r r 3 ) dr = 3π. Určete souřadnice těžiště homogenního tělesa = { x, y, z) ; x + y + z 9, z }. Řešení: Souřadnice těžiště homogenního tělesa lze najít pomocí integrálů x T = x dx dy dz, y T = V V dx dy dz. y dx dy dz, z T = V z dx dy dz, Protože je těleso souměrné vzhledem k rovině yz, tj. vzhledem k záměně [x; y; z] [ x; y; z], resp. vzhledem k rovině xz, tj. vzhledem k záměně [x; y; z] [x; y; z], je zřejmé, že pro souřadnice těžiště platí x T = y T =. Třetí souřadnici těžiště najdeme pomocí integrálů. Jestliže zapíšeme nerovnosti, které popisují množinu ve tvaru x + y 9 z, z, 8

19 můžeme použít Fubiniovu větu ve tvaru z je kruh fx, y, z) dz fx, y, z) dx dy, z z = { x, y) R ; x + y 9 z }. Integrál přes kruh z nalezneme pomocí polárních souřadnic x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, r >, < ϕ < π ; J = r. Protože kruh z je v souřadnicích r a ϕ dán nerovnostmi platí podle věty o substituci a Fubiniovy věty z < r < 9 z, < ϕ < π, dz dz π π 9 z 9 z r dr = π zr dr = π 9 z ) dz = 3 π, 9 z ) z dz = 39 4 π. Tedy souřadnice tělesa jsou x T = y T =, z T = 7 8. Určete souřadnice těžiště homogenního tělesa = { x, y, z) ; x + y 4, z, x + y + z 4 }. Řešení: Souřadnice těžiště homogenního tělesa lze najít pomocí integrálů x T = x dx dy dz, y T = y dx dy dz, z T = V V V dx dy dz. Přepíšeme-li nerovnosti, které popisují těleso ve tvaru z 4 x y, x + y 4, lze pro výpočet integrálů použít Fubiniovu a psát x y z 4 x y dx dy dx dy dx dy dx dy 4 x y 4 x y 4 x y 9 dz = 4 x y) dx dy x dz = y dz = z dz = x4 x y) dx dy y4 x y) dx dy z dx dy dz, 4 x y) dx dy,

20 je množina R určená nerovnostmi 4 x y, x + y 4. Snadno se lze přesvědčit třeba z náčrtku), že je kruh x +y 4 podmnožinou poloroviny x+y 4. Proto je množina kruh x + y 4. Pro integrály přes kruh se středem v počátku je velmi často výhodné použít polární souřadnice x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, r >, < ϕ < π ; J = r. Protože kruh je v souřadnicích r a ϕ dán nerovnostmi platí podle věty o substituci a Fubiniovy věty x y z = = π dr dr dr π π π dr dr Tedy souřadnice těžiště tělesa jsou < r, < ϕ < π, π π 4 r cos ϕ r sin ϕ)r = 8π 4 r cos ϕ r sin ϕ)r cos ϕ r = π 4 r cos ϕ r sin ϕ)r sin ϕ r = π 4 r cos ϕ r sin ϕ) r = r dr = 6π r dr = 8 3 π r dr = 8 3 π 6 + r 8r cos ϕ 8r sin ϕ + r cos ϕ sin ϕ ) r = 6 + r ) r dr = 36π. x T = y T = 6, z T = 9 4. Spočtěte objem tělesa = { x, y, z) ; x + y + z, x + y }. Řešení: Protože nerovnosti, které popisují těleso, obsahují proměnné x a y pouze v kombinaci x + y, jedná se o rotační těleso. Taková tělesa se většinou popisují pomocí válcových souřadnic x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, z = z, r >, < ϕ < π, z R ; J = r. Podle věty o substituci pak dostaneme množina R je dána nerovnostmi dr dz π r = π r dr dz, < r, r + z = r z r, < r.

21 Z těchto nerovností plyne, že π r dr r dz = 4π r r [ r dr = 4π 3 r ) ] 3/ = 4 ). 3 Určete objem tělesa = { x, y, z) ; x + y 4, y + z, y z }. Řešení: Nerovnice, které definují těleso, zapíšeme ve tvaru x + y 4, y z y, který je vhodný pro použití Fubiniovy věty. Z ní plyne R je dána nerovnostmi y y) dx dy, y x + y 4, y y = x + y 4, y. Snadno se přesvědčíme třeba z náčrtku), že kruh x + y 4 je podmnožinou poloroviny y. Proto je množina kruh x + y 4. bychom našli integrál přes kruh, zavedeme polární souřadnice x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, r >, < ϕ < π ; J = r. Protože v souřadnicích r a ϕ je množina popsána nerovnostmi je podle věty o substituci a Fubiniovy věty dr < r, < ϕ < π, π r sin ϕ) r = 8π r dr = 6π. Určete souřadnice těžiště tělesa = { x, y, z) ; x + y y, z, z x + y }. Řešení: Souřadnice těžiště homogenního tělesa lze najít pomocí integrálů x T = x dx dy dz, y T = y dx dy dz, z T = V V V dx dy dz. z dx dy dz, Protože je těleso symetrické vzhledem k rovině yz, tj. nemění se při záměně [x; y; z] [ x; y; z], je jeho souřadnice x T =. Jestliže zapíšeme nerovnosti, které popisují těleso ve tvaru z x + y, x + y y,

22 lze při výpočtu integrálů použít Fubiniovu větu. Ta dává M xz = M xy = y z x +y x + y dx dy x +y dx dy y dz = y x + y dx dy x +y dx dy z dz = x + y ) dx dy, R je dána nerovností x + y y. Integrály přes množinu se často počítají pomocí polárních souřadnic x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, r >, < ϕ < π ; J = r. V těchto souřadnicích je množina dána nerovnostmi r >, < ϕ < π, r r sin ϕ = < r sin ϕ, < ϕ < π = = < r sin ϕ, sin ϕ, < ϕ < π = < r sin ϕ, < ϕ < π. Podle věty o substituci a Fubiniovy věty pak platí M xz = M xy = sin ϕ sin ϕ sin ϕ Tedy souřadnice těžiště tělesa jsou r dr = 8 3 r 3 sin ϕ dr = 4 r 3 dr = sin 3 ϕ = = 3 9 x T =, y T = 6 5, z T = 7 8 π. sin 5 ϕ = = 64 3 sin 4 ϕ = 3 4 π = 3 4 π. Spočtěte x + y dx dy dz, = { x, y, z) ; x + y z, z }. Řešení: Protože nerovnosti, které popisují těleso, obsahují proměnné x a y pouze v kombinaci x + y, jedná se o rotační těleso. Taková tělesa se většinou popisují pomocí válcových souřadnic x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, z = z, r >, < ϕ < π, z R ; J = r. Nerovnosti, které popisují těleso, pak jsou r z, z, < ϕ < π.

23 Podle věty o substituci pak dostaneme x + y je množina R dána nerovnostmi Z Fubiniovy věty pak plyne dr dz π r = π r dr dz, r >, r z, z = < r z, < z. x + y π dz z r dr = 3 π z 3 dz = π 6. Spočtěte moment setrvačnosti J z ) = x + y ) dx dy dz pro těleso = { x, y, z) ; x + y + z R, z }. Řešení: Protože těleso je polokoule, je výhodné použít při výpočtu integrálu sférické souřadnice x = r cos θ cos ϕ, y = r cos θ sin ϕ, z = r sin θ, r >, π < θ < π, < ϕ < π ; J = r cos θ. V těchto souřadnicích je těleso určeno nerovnostmi r R, r sin θ = < r R, sin θ = < r R, θ < π, < ϕ < π. Tedy podle věty o substituci a Fubiniovy věty je J z ) = x + y ) R dr = π R r 4 dr / / dθ π cos 3 θ dθ = π 5 R5 3 = 4 5 πr5. r cos θ r cos θ = Spočtěte x + y + z dx dy dz, = { x, y, z) ; x + y + z, x }. Řešení: Protože těleso je polokoule, je výhodné použít při výpočtu integrálu sférické souřadnice na rozdíl od obvyklých sférických souřadnic jsem přeměnil osy, aby byla jednodušší podmínka x ) x = r sin θ, y = r cos θ cos ϕ, z = r cos θ sin ϕ, r >, π < θ < π, < ϕ < π ; J = r cos θ. V těchto souřadnicích je těleso určeno nerovnostmi r, r sin θ = < r, sin θ = < r, θ < π, < ϕ < π. 3

24 Tedy podle věty o substituci a Fubiniovy věty je x + y + z π / dθ r 3 cos θ dr = π. Spočtěte xyz dx dy dz, = { x, y, z) ; x + y + z R, x >, y >, z > }. Řešení: Protože těleso je polokoule, je výhodné použít při výpočtu integrálu sférické souřadnice x = r cos θ cos ϕ, y = r cos θ sin ϕ, z = r sin θ, r >, π < θ < π, < ϕ < π ; J = r cos θ. V těchto souřadnicích je těleso určeno nerovnostmi r R, r cos θ cos ϕ, r cos θ cos ϕ, r sin θ = = < r R, sin θ, cos ϕ, sin ϕ = < r R, θ < π, < ϕ π. Tedy podle věty o substituci a Fubiniovy věty je xyz = / / / dθ cos ϕ sin ϕ R r 3 cos θ sin θ cos ϕ sin ϕ r cos θ dr = / cos 3 θ sin θ dθ R r 5 dr = 4 R6 6 = R6 48. Spočtěte objem tělesa = { x, y, z) ; x a + y b + z c, x } a + y b z c, z. Řešení: Z tvaru nerovností, které popisují těleso, lze nahlédnout, že by mohla být, aspoň v první fázi, výhodná substituce x = ar cos ϕ, y = br sin ϕ, z = ch, r >, < ϕ < π, h R ; J = abcr. po této substituci přejdou nerovnosti, které popisují množina na nerovnosti r + h, r h, h, r >, ) které už nezávisí na ϕ ani na parametrech a, b a c. Podle věty o substituci a Fubiniovy věty pak je dr dh π abcr = πabc r dr dh, množina R je dána nerovnostmi ). Integrál přes množinu lze najít například v polárních souřadnicích r = ρ cos θ, h = ρ sin θ, ρ >, < θ < π ; J = ρ. 4

25 V souřadnicích ρ a θ mají nerovnosti ) tvar ρ, cos θ sin θ, ρ sin θ, ρ cos θ > = < ρ <, < θ 4 π. Tedy podle věty o substituci a Fubiniovy věty je πabc dρ /4 ρ cos θ ρ dθ = πabc ρ dρ /4 cos θ dθ = 3 πabc. Vypočtěte objem tělesa = { x, y, z) ; x + y + z R, x + y Rx }. Řešení: Upravíme-li nerovnosti, které určují množinu, na tvar R x y z R x y, x + y Rx, lze použít Fubiniovu větu a integrovat přes proměnnou z. Tak dostaneme Z R x y dx dy dz = R x y dx dy, R x y je množina R dána nerovností x + y Rx, x + y R. ) bychom našli integrál přes množinu, zavedeme polární souřadnice x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, r >, π < ϕ < π ; J = r. V souřadnicích r a ϕ má nerovnost ) tvar r Rr cos ϕ, r R = < r R cos ϕ = cos ϕ = π ϕ π. Podle věty o substituci a Fubiniovy věty tedy je / R cos ϕ / [ R r rdr = 3 R r ) ] 3/ R cos ϕ = π/ π/ = / 3 R3 sin 3 ϕ ) = 4 / 3 R3 sin 3 ϕ ) = 4 π 3 R3 ) = ) 3π 4 R π/ 5

y ds, z T = 1 z ds, kde S = S

y ds, z T = 1 z ds, kde S = S Plošné integrály příklad 5 Určete souřadnice těžiště části roviny xy z =, která leží v prvním oktantu x >, y >, z >. Řešení: ouřadnice těžiště x T, y T a z T homogenní plochy lze určit pomocí plošných

Více

10. cvičení z Matematické analýzy 2

10. cvičení z Matematické analýzy 2 . cvičení z Matematické analýzy 3. - 7. prosince 8. (dvojný integrál - Fubiniho věta Vhodným způsobem integrace spočítejte daný integrál a načrtněte oblast integrace (a (b (c y ds, kde : y & y 4. e ma{,y

Více

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY. x 2. 3+y 2

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY. x 2. 3+y 2 PŘÍKLADY K ATEATICE 3 - VÍCENÁSOBNÉ INTEGRÁLY ZDENĚK ŠIBRAVA.. Dvojné integrály.. Vícenásobné intergrály Příklad.. Vypočítejme dvojný integrál x 3 + y da, kde =, 3,. Řešení: Funkce f(x, y) = x je na obdélníku

Více

PŘEDNÁŠKA 6 INTEGRACE POMOCÍ SUBSTITUCE

PŘEDNÁŠKA 6 INTEGRACE POMOCÍ SUBSTITUCE PŘEDNÁŠKA 6 INTEGRACE POMOCÍ SUBSTITUCE Příklad Představme si, že máme vypočítat integrál I = f(, y) d dy, M kde M = {(, y) R 2 1 < 2 + y 2 < 4}. y M je mezikruží mezi kružnicemi o poloměru 1 a 2 a se

Více

ˇ EDNA SˇKA 9 DALS ˇ I METODY INTEGRACE

ˇ EDNA SˇKA 9 DALS ˇ I METODY INTEGRACE PŘEDNÁŠKA 9 DALŠÍ METODY INTEGRACE 1 9.1. Věta o substituci Věta 1 (O substituci) Necht je ϕ(x) prosté regulární zobrazení otevřené množiny X R n na množinu Y R n. Necht je M X, f(y) funkce definovaná

Více

Substituce ve vícenásobném integrálu verze 1.1

Substituce ve vícenásobném integrálu verze 1.1 Úvod Substituce ve vícenásobném integrálu verze. Následující text popisuje výpočet vícenásobných integrálů pomocí věty o substituci. ěl by sloužit především studentům předmětu ATEAT k přípravě na zkoušku.

Více

12 Trojný integrál - Transformace integrálů

12 Trojný integrál - Transformace integrálů Trojný integrál transformace integrálů) - řešené příklady 8 Trojný integrál - Transformace integrálů. Příklad Spočtěte x + y dxdydz, kde : z, x + y. Řešení Integrační obor určený vztahy z, x + y je válec.

Více

11. cvičení z Matematické analýzy 2

11. cvičení z Matematické analýzy 2 11. cvičení z Matematické analýzy 11. - 15. prosince 17 11.1 (trojný integrál - Fubiniho věta) Vypočtěte (i) xyz dv, kde je ohraničeno plochami y x, x y, z xy a z. (ii) y dv, kde je ohraničeno shora rovinou

Více

Řešení: Nejprve musíme napsat parametrické rovnice křivky C. Asi nejjednodušší parametrizace je. t t dt = t 1. x = A + ( B A ) t, 0 t 1,

Řešení: Nejprve musíme napsat parametrické rovnice křivky C. Asi nejjednodušší parametrizace je. t t dt = t 1. x = A + ( B A ) t, 0 t 1, Určete Křivkový integrál příklad 4 x ds, kde {x, y ; y ln x, x 3}. Řešení: Nejprve musíme napsat parametrické rovnice křivky. Asi nejjednodušší parametrizace je Tedy daný integrál je x ds x t, y ln t,

Více

MATEMATIKA III. π π π. Program - Dvojný integrál. 1. Vypočtěte dvojrozměrné integrály v obdélníku D: ( ), (, ): 0,1, 0,3, (2 4 ), (, ) : 1,3, 1,1,

MATEMATIKA III. π π π. Program - Dvojný integrál. 1. Vypočtěte dvojrozměrné integrály v obdélníku D: ( ), (, ): 0,1, 0,3, (2 4 ), (, ) : 1,3, 1,1, MATEMATIKA III Program - vojný integrál. Vpočtěte dvojrozměrné integrál v obdélníku : + dd = { < > < > } ( 3), (, ) : 0,, 0,, dd = { < > < > } ( 4 ), (, ) :,3,,, + dd = { < > < > } ( ), (, ):,0,,, + dd=

Více

1. a) Určete parciální derivace prvního řádu funkce z = z(x, y) dané rovnicí z 3 3xy 8 = 0 v

1. a) Určete parciální derivace prvního řádu funkce z = z(x, y) dané rovnicí z 3 3xy 8 = 0 v . a) Určete parciální derivace prvního řádu funkce z = z(x, y) dané rovnicí z xy 8 = v bodě A =, ]. b) e grafu funkce f najděte tečnou rovinu, která je rovnoběžná s rovinou ϱ. f(x, y) = x + y x, ϱ : x

Více

Transformujte diferenciální výraz x f x + y f do polárních souřadnic r a ϕ, které jsou definovány vztahy x = r cos ϕ a y = r sin ϕ.

Transformujte diferenciální výraz x f x + y f do polárních souřadnic r a ϕ, které jsou definovány vztahy x = r cos ϕ a y = r sin ϕ. Ukázka 1 Necht má funkce z = f(x, y) spojité parciální derivace. Napište rovnici tečné roviny ke grafu této funkce v bodě A = [ x 0, y 0, z 0 ]. Transformujte diferenciální výraz x f x + y f y do polárních

Více

Veronika Chrastinová, Oto Přibyl

Veronika Chrastinová, Oto Přibyl Integrální počet II. Příklady s nápovědou. Veronika Chrastinová, Oto Přibyl 16. září 2003 Ústav matematiky a deskriptivní geometrie FAST VUT Brno Obsah 1 Dvojný integrál 3 2 Trojný integrál 7 3 Křivkový

Více

arcsin x 2 dx. x dx 4 x 2 ln 2 x + 24 x ln 2 x + 9x dx.

arcsin x 2 dx. x dx 4 x 2 ln 2 x + 24 x ln 2 x + 9x dx. Neurčitý integrál arcsin. Integrál najdeme integrací per partes. Pomocí této metody dostaneme arcsin = arcsin 4 = arcsin + 4 + C, (,. ln + 4 ln + 9. Tento integrál lze převést substitucí ln = y na integrál

Více

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}.

1. Náhodný vektor (X, Y ) má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde. p(x, y) = a(x + y + 1), x, y {0, 1, 2}. VIII. Náhodný vektor. Náhodný vektor (X, Y má diskrétní rozdělení s pravděpodobnostní funkcí p, kde p(x, y a(x + y +, x, y {,, }. a Určete číslo a a napište tabulku pravděpodobnostní funkce p. Řešení:

Více

Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1

Příklady pro předmět Aplikovaná matematika (AMA) část 1 Příklady pro předmět plikovaná matematika (M) část 1 1. Lokální extrémy funkcí dvou a tří proměnných Nalezněte lokální extrémy funkcí: (a) f 1 : f 1 (x, y) = x 3 3x + y 2 + 2y (b) f 2 : f 2 (x, y) = 1

Více

Řešení : Těleso T je elementárním oborem integrace vzhledem k rovině (x,y) a proto lze přímo aplikovat Fubiniovu větu pro trojný integrál.

Řešení : Těleso T je elementárním oborem integrace vzhledem k rovině (x,y) a proto lze přímo aplikovat Fubiniovu větu pro trojný integrál. E. rožíková, M. Kittlerová, F. Mrá: Sbírka příkladů Matematik II (6 III.6. Aplikace trojných integrálů Příklad 6. Užitím vorce pro výpočet objemu tělesa pomocí trojného integrálu (tj.v ddd ukažte, že objem

Více

2. DVOJROZMĚRNÝ (DVOJNÝ) INTEGRÁL

2. DVOJROZMĚRNÝ (DVOJNÝ) INTEGRÁL . VOJROZMĚRNÝ (VOJNÝ) INTEGRÁL Úvodem připomenutí základních integračních vzorců, bez nichž se neobejdete: [.] d = C [.] d = + C n+ n [.] d = + C n + [4.] d = ln + C [5.] sin d = cos + C [6.] cos d = sin

Více

[obrázek γ nepotřebujeme, interval t, zřejmý, integrací polynomu a per partes vyjde: (e2 + e) + 2 ln 2. (e ln t = t) ] + y2

[obrázek γ nepotřebujeme, interval t, zřejmý, integrací polynomu a per partes vyjde: (e2 + e) + 2 ln 2. (e ln t = t) ] + y2 4.1 Křivkový integrál ve vektrovém poli přímým výpočtem 4.1 Spočítejte práci síly F = y i + z j + x k při pohybu hmotného bodu po orientované křivce, která je dána jako oblouk ABC na průnikové křivce ploch

Více

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3 PŘÍKLADY K ATEATIE 3 ZDENĚK ŠIBRAVA. Křivkové integrály.. Křivkový integrál prvního druhu. Příklad.. Vypočítejme křivkový integrál A =, ), B = 4, ). Řešení: Úsečka AB je hladká křivka. Funkce ψt) = 4t,

Více

7. Integrál přes n-rozměrný interval

7. Integrál přes n-rozměrný interval 7. Integrál přes n-rozměrný interval Studijní text 7. Integrál přes n-rozměrný interval Definice 7.1. Buď A = a 1, b 1 a n, b n R n n-rozměrný uzavřený interval a f : R n R funkce ohraničená na A Df. Definujme

Více

Funkce zadané implicitně

Funkce zadané implicitně Kapitola 8 Funkce zadané implicitně Začneme několika příklady. Prvním je známá rovnice pro jednotkovou kružnici x 2 + y 2 1 = 0. Tato rovnice popisuje křivku, kterou si však nelze představit jako graf

Více

je omezena + =,,0 1 je omezena,0 2,0 2,0 je horní polovina koule + + je omezena + =1, + + =3, =0

je omezena + =,,0 1 je omezena,0 2,0 2,0 je horní polovina koule + + je omezena + =1, + + =3, =0 Příklad 1 Vypočtěte trojné integrály transformací do cylindrických souřadnic a) b) c) d), + + +,,, je omezena + =1,++=3,=0 je omezena + =,,0 1 je omezena,0 2,0 2,0 je horní polovina koule + + Řešení 1a,

Více

VKM/IM /2015. Zintegrujte. f (x, y) dx dy = f (x, y) = (y x) 2, Ω : x 2 + y 2 4, x 0.

VKM/IM /2015. Zintegrujte. f (x, y) dx dy = f (x, y) = (y x) 2, Ω : x 2 + y 2 4, x 0. VKM/IM - 4/5 Zintegrujte f, y) d dy pro f, y) y ), : + y 4,. Řešení: S využitím postupů a výsledků použitých při řešení příkladů z předchozí části věnované dvojnému integrálu, se můžeme bez obav pustit

Více

11. cvičení z Matematické analýzy 2

11. cvičení z Matematické analýzy 2 11. cvičení z Mtemtické nlýzy 1. - 1. prosince 18 11.1 (cylindrické souřdnice) Zpište integrály pomocí cylindrických souřdnic pk je spočítejte: () x x x +y (x + y ) dz dy dx. (b) 1 1 x 1 1 x x y (x + y

Více

Kapitola 8: Dvojný integrál 1/26

Kapitola 8: Dvojný integrál 1/26 Kapitola 8: vojný integrál 1/26 vojný integrál - osnova kapitoly 2/26 dvojný integrál přes obdélník definice výpočet (Fubiniova věta pro obdélník) dvojný integrál přes standardní množinu definice výpočet

Více

+ 2y y = nf ; x 0. závisí pouze na vzdálenosti bodu (x, y) od počátku, vyhovuje rovnici. y F x x F y = 0. x y. x x + y F. y = F

+ 2y y = nf ; x 0. závisí pouze na vzdálenosti bodu (x, y) od počátku, vyhovuje rovnici. y F x x F y = 0. x y. x x + y F. y = F Příkad 1 ( y ) Dokažte, že funkce F (x, y) = x n f x 2, kde f je spojitě diferencovatelná funkce, vyhovuje vztahu x F x + 2y F y = nf ; x 0 Ukažte, že každá funkce F (x, y), která má spojité parciální

Více

1. Cvičení: Opakování derivace a integrály

1. Cvičení: Opakování derivace a integrály . Cvičení: Opakování derivace a integrál Derivace Příklad: Určete derivace následujících funkcí. f() e 5 ( 5 cos + sin ) f () 5e 5 ( 5 cos + sin ) + e 5 (5 sin + cos ) e 5 cos + 65e 5 sin. f() + ( + )

Více

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3

PŘÍKLADY K MATEMATICE 3 PŘÍKLADY K ATEATIE 3 ZDENĚK ŠIBRAVA. Funkce více proměnných.. Základní pojmy funkce více proměných. Příklad.. Určeme definiční obor funkce tří proměnných f(x, y, z) = x y + x z. Řešení: Definičním oborem

Více

+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u)

+ 2y. a y = 1 x 2. du x = nxn 1 f(u) 2x n 3 yf (u) Diferenciální počet příklad 1 Dokažte, že funkce F, = n f 2, kde f je spojitě diferencovatelná funkce, vhovuje vztahu + 2 = nf ; 0 Řešení: Označme u = 2. Pak je F, = n fu a platí Podle vět o derivaci složené

Více

, = , = , = , = Pokud primitivní funkci pro proměnnou nevidíme, pomůžeme si v tuto chvíli jednoduchou substitucí = +2 +1, =2 1 = 1 2 1

, = , = , = , = Pokud primitivní funkci pro proměnnou nevidíme, pomůžeme si v tuto chvíli jednoduchou substitucí = +2 +1, =2 1 = 1 2 1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST 7 Příklad 1 a) Vypočtěte hmotnost oblasti ohraničené přímkami =1,=3,=1,= jestliže její hustota je dána funkcí 1,= ++1 b) Vypočtěte statický moment čtverce ohraničeného přímkami

Více

13. cvičení z Matematické analýzy 2

13. cvičení z Matematické analýzy 2 . cvičení z atematické analýz 2 5. - 9. května 27. konzervativní pole, potenciál Dokažte, že následující pole jsou konzervativní a najděte jejich potenciál. i F x,, z x 2 +, 2 + x, ze z, ii F x,, z x 2

Více

Křivkové integrály prvního druhu Vypočítejte dané křivkové integrály prvního druhu v R 2.

Křivkové integrály prvního druhu Vypočítejte dané křivkové integrály prvního druhu v R 2. Křivové integrál prvního druhu Vpočítejte dané řivové integrál prvního druhu v R. Přílad. ds x, de je úseča AB, A[, ], B[4, ]. Řešení: Pro řivový integrál prvního druhu platí: fx, ) ds β α fϕt), ψt)) ϕ

Více

R β α. Obrázek 1: Zadání - profil složený ze třech elementárních obrazců: 1 - rovnoramenný pravoúhlý trojúhelník, 2 - čtverec, 3 - kruhová díra

R β α. Obrázek 1: Zadání - profil složený ze třech elementárních obrazců: 1 - rovnoramenný pravoúhlý trojúhelník, 2 - čtverec, 3 - kruhová díra Zadání: Vypočtěte polohu těžiště, momenty setrvačnosti a deviační moment k centrálním osám a dále určete hlavní centrální momenty setrvačnosti, poloměry setrvačnosti a natočení hlavních centrálních os

Více

14. cvičení z Matematické analýzy 2

14. cvičení z Matematické analýzy 2 4. cvičení z atematické analýzy 2 8. - 2. ledna 28 4. (Greenova věta) Použijte Greenovu větu k nalezení práce síly F (x, y) (2xy 3, 4x 2 y 2 ) vykonané na částici podél křivky Γ, která je hranicí oblasti

Více

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0

Příklad 1. Řešení 1a Máme určit obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z M1A ČÁST 14. a) =0, = 1, = b) =4, =0 Příklad Určete obsah rovinné plochy ohraničené křivkami: a) =0,=,= b) =4,=0 c) =,=,=3,=0 d) =+, =0 e) + )=,= f) = +4,+= g) =arcsin,=0,= h) =sin,=0, 0; i) =,=,=4,=0 j) =,= k) = 6,= +5 4 l) =4,+=5 m) = +

Více

Plošný integrál funkce

Plošný integrál funkce Kapitola 9 Plošný integrál funkce efinice a výpočet Plošný integrál funkce, kterému je věnována tato kapitola, je z jistého pohledu zobecněním integrálů dvojného a křivkového. Základním podnětem k jeho

Více

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené 2. 3. 2018 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2018) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které

Více

Nalezněte hladiny následujících funkcí. Pro které hodnoty C R jsou hladiny neprázdné

Nalezněte hladiny následujících funkcí. Pro které hodnoty C R jsou hladiny neprázdné . Definiční obor a hladiny funkce více proměnných Nalezněte a graficky znázorněte definiční obor D funkce f = f(x, y), kde a) f(x, y) = x y, b) f(x, y) = log(xy + ), c) f(x, y) = xy, d) f(x, y) = log(x

Více

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0.

Diferenciální počet 1 1. f(x) = ln arcsin 1 + x 1 x. 1 x 1 a x 1 0. f(x) = (cos x) cosh x + 3x. x 0 je derivace funkce f(x) v bodě x0. Nalezněte definiční obor funkce Diferenciální počet f = ln arcsin + Definiční obor funkce f je určen vztahy Z těchto nerovností plyne < + ln arcsin + je tedy D f =, Určete definiční obor funkce arcsin

Více

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené 22. 2. 2016 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2016) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které

Více

Diferenciální počet funkcí více proměnných

Diferenciální počet funkcí více proměnných Vysoké učení technické v Brně Fakulta strojního inženýrství Diferenciální počet funkcí více proměnných Doc RNDr Miroslav Doupovec, CSc Neřešené příklady Matematika II OBSAH Obsah I Diferenciální počet

Více

PŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU

PŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU PŘEDNÁŠKA 9 KŘIVKOVÝ A PLOŠNÝ INTEGRÁL 1. DRUHU 6.1 Křivkový integrál 1. druhu Definice 1. Množina R n se nazývá prostá regulární křivka v R n právě tehdy, když existuje vzájemně jednoznačné zobrazení

Více

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL 1 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA

FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL 1 STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA VYSOKÉ UČENÍ TECHNICKÉ V BRNĚ FAKULTA STAVEBNÍ MATEMATIKA II MODUL DVOJNÝ A TROJNÝ INTEGRÁL STUDIJNÍ OPORY PRO STUDIJNÍ PROGRAMY S KOMBINOVANOU FORMOU STUDIA Typeset by L A TEX ε c Josef Daněček, Oldřich

Více

Posloupnosti. n2 3n. lim. n4 + 2n. lim. n 1. n + n n. n! (n + 1)! n! lim. n ( 1)n! [1] lim. ln 2 n. lim. n n n sin n2 [0] lim. 2 n.

Posloupnosti. n2 3n. lim. n4 + 2n. lim. n 1. n + n n. n! (n + 1)! n! lim. n ( 1)n! [1] lim. ln 2 n. lim. n n n sin n2 [0] lim. 2 n. SBÍRKA PŘÍKLAŮ Z MATEMATICKÉ ANALÝZY III J. ANĚČEK, M. ZAHRANÍKOVÁ Symbolem jsou označeny obtížnější příklady. Posloupnosti Určete limitu posloupnosti n n + lim n n + 5n + lim n n n n4 + n lim n lim n

Více

INTEGRÁLY S PARAMETREM

INTEGRÁLY S PARAMETREM INTEGRÁLY S PARAMETREM b a V kapitole o integraci funkcí více proměnných byla potřeba funkce g(x) = f(x, y) dy proměnné x. Spojitost funkce g(x) = b a f(x, y) dy proměnné x znamená vlastně prohození limity

Více

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené

Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené 28. 2. 2017 Matematika II, úroveň A ukázkový test č. 1 (2017) 1. a) Napište postačující podmínku pro diferencovatelnost funkce n-proměnných v otevřené mn. M E n. Zapište a načrtněte množinu D, ve které

Více

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015)

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015) MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek (2015) doplněné o další úlohy 24. 2. 2015 Nalezené nesrovnalosti ve výsledcích nebo připomínky k tomuto souboru sdělte laskavě F. Mrázovi (e-mail: Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz

Více

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek ( 2015)

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek ( 2015) MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek ( 2015 doplněné o další úlohy 13. 4. 2015 Nalezené nesrovnalosti ve výsledcích nebo připomínky k tomuto souboru sdělte laskavě F. Mrázovi ( e-mail: Frantisek.Mraz@fs.cvut.cz.

Více

III.4. Fubiniova (Fubiniho) věta pro trojný integrál

III.4. Fubiniova (Fubiniho) věta pro trojný integrál E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mrá: Sbírk příkldů Mtemtik II ( III.. Fubiniov (Fubiniho vět pro trojný integrál Vpočítejte trojné integrál n dných množinách E : Příkld. I Řešení : I ( + d d d; {[,, E

Více

Hledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky

Hledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky 6. Vázané a absolutní extrémy. 01-a3b/6abs.tex Hledáme lokální extrémy funkce vzhledem k množině, která je popsána jednou či několika rovnicemi, vazebními podmínkami. Pokud jsou podmínky jednoduché, vyřešíme

Více

Integrace funkcí více proměnných, numerické metody

Integrace funkcí více proměnných, numerické metody Matematika III 6. přednáška Integrace funkcí více proměnných, numerické metody Michal Bulant Masarykova univerzita Fakulta informatiky 27. 10. 2010 Obsah přednášky 1 Literatura 2 Integrální počet více

Více

Pedagogická fakulta. Aplikovaná matematika - sbírka řešených

Pedagogická fakulta. Aplikovaná matematika - sbírka řešených Jihočeská univerzita v Českých Budějovicích Pedagogická fakulta Diplomová práce Aplikovaná matematika - sbírka řešených příkladů Autor diplomové práce: Eva Kutová Vedoucí diplomové práce: RNDr. Libuše

Více

= 0,1 1,3. je oblast ohraničená přímkami =, =, =0 :0 1, : =2, =, =1

= 0,1 1,3. je oblast ohraničená přímkami =, =, =0 :0 1, : =2, =, =1 ŘEŠENÉ PŘÍKLADY Z MB ČÁST Příklad 1 Vypočtěte integrály a) b) c) d) e) f) g) h) i) j),, = 0,1 1,3 je oblast ohraničená přímkami =,=,=0 1+, :=0,=1,=1,= +3, :=0,=,=0,=1 sin+, 3,,,, :=0,=,= : + 4 : =4+,+3=0

Více

má spojité parciální derivace druhého řádu ve všech bodech této množiny. Výpočtem postupně dostaneme: y = 9xy2 + 2,

má spojité parciální derivace druhého řádu ve všech bodech této množiny. Výpočtem postupně dostaneme: y = 9xy2 + 2, 4. Parciální derivace a diferenciál. řádu 0-a3b/4dvr.tex Příklad. Určete parciální derivace druhého řádu funkce f v obecném bodě a v daných bodech. Napište obecný tvar. diferenciálu, jeho hodnotu v daných

Více

III. Dvojný a trojný integrál

III. Dvojný a trojný integrál E. Brožíková, M. Kittlerová, F. Mráz: Sbírka příkladů z Matematik II 6 III. vojný a trojný integrál III.. Eistence Necht je měřitelná v Jordanově smslu množina v E resp. E a funkce f je omezená na. Necht

Více

1. Je dána funkce f(x, y) a g(x, y, z). Vypište symbolicky všechny 1., 2. a 3. parciální derivace funkce f a funkce g.

1. Je dána funkce f(x, y) a g(x, y, z). Vypište symbolicky všechny 1., 2. a 3. parciální derivace funkce f a funkce g. . Je dána funkce f(x, y) a g(x, y, z). Vypište symbolicky všechny.,. a 3. parciální derivace funkce f a funkce g.. Spočtěte všechny první parciální derivace funkcí: a) f(x, y) = x 4 + y 4 4x y, b) f(x,

Více

11. cvičení z Matematiky 2

11. cvičení z Matematiky 2 11. cvičení z Mateatiky. - 6. května 16 11.1 Vypočtěte 1 x + y + z dv, kde : x + y + z 1. Věta o substituci á analogický tva a podínky pouze zanedbatelné nožiny nyní zahnují i plochy, oviny atd.: f dv

Více

Kapitola List v prostoru R 3 a jeho parametrizace

Kapitola List v prostoru R 3 a jeho parametrizace Kapitola 4 Plošné integrály 4. ist v prostoru R 3 a jeho parametrizace Klíčová slova: přípustná oblast, zanedbatelná množina, list v R 3, parametrizace listu, obor parametrů, kraj listu, tečné vektorové

Více

Cvičení z AM-DI. Petr Hasil, Ph.D. Verze: 1. března 2017

Cvičení z AM-DI. Petr Hasil, Ph.D. Verze: 1. března 2017 z AM-DI Petr Hasil, Ph.D. hasil@mendelu.cz Verze: 1. března 017 Poznámka. Příklady označené na cvičení dělat nebudeme, protože jsou moc dlouhé, popř. složité (jako takové, nebo pro psaní na tabuli). V

Více

4 Integrální počet funkcí více reálných proměnných

4 Integrální počet funkcí více reálných proměnných Dvojné integrály - 61-4 ntegrální počet funkcí více reálných proměnných 4.1 Dvojné a dvojnásobné integrály Dvojné a dvojnásobné integrály na intervalech z Pod uzavřeným intervalem z rozumíme kartézský

Více

Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství MATEMATIKA 2

Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství MATEMATIKA 2 Vysoké učení technické v Brně, Fakulta strojního inženýrství MATEMATIKA 2 Požadavky ke zkoušce pro skupinu C 1. ročník 2014/15 I. Diferenciální počet funkcí více proměnných 1. Funkce více proměnných (a)

Více

Obsah Obyčejné diferenciální rovnice

Obsah Obyčejné diferenciální rovnice Obsah 1 Obyčejné diferenciální rovnice 3 1.1 Základní pojmy............................................ 3 1.2 Obyčejné diferenciální rovnice 1. řádu................................ 5 1.3 Exaktní rovnice............................................

Více

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek v letech

MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek v letech MATEMATIKA II - vybrané úlohy ze zkoušek v letech 2009 2012 doplněné o další úlohy 3. část KŘIVKOVÉ INTEGRÁLY, GREENOVA VĚTA, POTENIÁLNÍ POLE, PLOŠNÉ INTEGRÁLY, GAUSSOVA OSTROGRADSKÉHO VĚTA 7. 4. 2013

Více

Otázky k ústní zkoušce, přehled témat A. Číselné řady

Otázky k ústní zkoušce, přehled témat A. Číselné řady Otázky k ústní zkoušce, přehled témat 2003-2004 A Číselné řady Vysvětlete pojmy částečný součet řady, součet řady, řadonverguje, řada je konvergentní Formulujte nutnou podmínku konvergence řady a odvoďte

Více

Obyčejnými diferenciálními rovnicemi (ODR) budeme nazývat rovnice, ve kterých

Obyčejnými diferenciálními rovnicemi (ODR) budeme nazývat rovnice, ve kterých Obyčejné diferenciální rovnice Obyčejnými diferenciálními rovnicemi (ODR) budeme nazývat rovnice, ve kterých se vyskytují derivace neznámé funkce jedné reálné proměnné. Příklad. Bud dána funkce f : R R.

Více

EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH

EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH EXTRÉMY FUNKCÍ VÍCE PROMĚNNÝCH ÚLOHY ŘEŠITELNÉ BEZ VĚTY O MULTIPLIKÁTORECH Nalezněte absolutní extrémy funkce f na množině M. 1. f(x y) = x + y; M = {x y R 2 ; x 2 + y 2 1} 2. f(x y) = e x ; M = {x y R

Více

Matematika I (KX001) Užití derivace v geometrii, ve fyzice 3. října f (x 0 ) (x x 0) Je-li f (x 0 ) = 0, tečna: x = 3, normála: y = 0

Matematika I (KX001) Užití derivace v geometrii, ve fyzice 3. října f (x 0 ) (x x 0) Je-li f (x 0 ) = 0, tečna: x = 3, normála: y = 0 Rovnice tečny a normály Geometrický význam derivace funkce f(x) v bodě x 0 : f (x 0 ) = k t k t je směrnice tečny v bodě [x 0, y 0 = f(x 0 )] Tečna je přímka t : y = k t x + q, tj y = f (x 0 ) x + q; pokud

Více

9.1 Definice a rovnice kuželoseček

9.1 Definice a rovnice kuželoseček 9. Kuželosečky a kvadriky 9.1 Definice a rovnice kuželoseček Kuželosečka - řez na kruhovém kuželi, množina bodů splňujících kvadratickou rovnici ve dvou proměnných. Elipsa parametricky: X(t) = (a cos t,

Více

Zkouška ze Základů vyšší matematiky ZVMTA (LDF, ) 60 minut. Součet Koeficient Body

Zkouška ze Základů vyšší matematiky ZVMTA (LDF, ) 60 minut. Součet Koeficient Body Zkouška ze Základů vyšší matematiky ZVTA (LDF, 8.2.202) 60 minut 2 3 4 5 6 7 Jméno:................................. Součet Koeficient Body. [6 bodů] a) Definujte pojem primitivní funkce. Co musí platit,

Více

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014

Zimní semestr akademického roku 2014/ prosince 2014 Cvičení k předmětu BI-ZMA Tomáš Kalvoda Katedra aplikované matematiky FIT ČVUT Matěj Tušek Katedra matematiky FJFI ČVUT Obsah Cvičení Zimní semestr akademického roku 24/25 2. prosince 24 Předmluva iii

Více

Úvodní informace. 17. února 2018

Úvodní informace. 17. února 2018 Úvodní informace Funkce více proměnných Přednáška první 17. února 2018 Obsah 1 Úvodní informace. 2 Funkce více proměnných Definiční obor Limita a spojitost Derivace, diferencovatelnost, diferenciál Úvodní

Více

Matematická analýza 1, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, )

Matematická analýza 1, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, ) Matematická analýza, příklady na procvičení (Josef Tkadlec, 6.. 7) Reálná čísla. Určete maximum, minimum, supremum a infimum následujících množin: Z; b) M = (, ), 5 ; c) M =, Q; d) M = { + n : n N}; e)

Více

Petr Hasil

Petr Hasil Základy Vyšší Matematiky Petr Hasil hasil@mendelu.cz Poznámka 1. Vytvořeno s podporou projektu Průřezová inovace studijních programů Lesnické a dřevařské fakulty MENDELU v Brně (LDF) s ohledem na disciplíny

Více

1 Topologie roviny a prostoru

1 Topologie roviny a prostoru 1 Topologie roviny a prostoru 1.1 Základní pojmy množin Intervaly a okolí Intervaly v rovině nebo prostoru jsou obdélníky nebo hranoly se stranami rovnoběžnými s osami souřadnic. Podmnožiny intervalů se

Více

Derivace funkce Otázky

Derivace funkce Otázky funkce je jedním z hlavních nástrojů matematické analýzy. V příští části ukážeme, jak mnoho různorodých aplikací derivace má. Geometricky lze derivaci funkce v nějakém bodě chápat jako směrnici tečny grafu

Více

MFT - Matamatika a fyzika pro techniky

MFT - Matamatika a fyzika pro techniky MFT - Matamatika a fyzika pro techniky Pro každou přednášku by zde měl být seznam klíčových témat, odkaz na literaturu, zápočtový příklad k řešení a další příklady k procvičování převážně ze sbírky příkladů

Více

svou hloubku, eleganci i široké spektrum aplikací bývají tyto věty považovány za jedny

svou hloubku, eleganci i široké spektrum aplikací bývají tyto věty považovány za jedny Kapitola Integrální věty V této kapitole se seznámíme s hlubšími větami integrálního počtu, které vyjadřují souvislost mezi typy integrálů, s nimiž jsme se setkali během předchozího výkladu. Jedná se Gaussovu

Více

Sbírka příkladů z matematické analýzy II. Petr Tomiczek

Sbírka příkladů z matematické analýzy II. Petr Tomiczek Sbírka příkladů z matematické analýzy II Petr Tomiczek Obsah Diferenciální rovnice. řádu 3. Separace proměnných......................... 3. Přechod k separaci.......................... 4.3 Variace konstant...........................

Více

Teorie. Hinty. kunck6am

Teorie. Hinty.   kunck6am kytaristka@gmail.com www.natur.cuni.cz/ kunck6am 5. cvičení Teorie Definice. Necht funkce f je definována na neprázdném otevřeném intervalu I. Řekneme, že funkce F je primitivní funkce k f na I, jestliže

Více

Derivace funkce DERIVACE A SPOJITOST DERIVACE A KONSTRUKCE FUNKCÍ. Aritmetické operace

Derivace funkce DERIVACE A SPOJITOST DERIVACE A KONSTRUKCE FUNKCÍ. Aritmetické operace Derivace funkce Derivace je jedním z hlavních nástrojů matematické analýzy. V příští části ukážeme, jak mnoho různorodých aplikací derivace má. Geometricky lze derivaci funkce v nějakém bodě chápat jako

Více

Obsah. Aplikovaná matematika I. Gottfried Wilhelm Leibniz. Základní vlastnosti a vzorce

Obsah. Aplikovaná matematika I. Gottfried Wilhelm Leibniz. Základní vlastnosti a vzorce Neurčitý integrál Aplikovaná matematika I Dana Říhová Mendelu Brno Obsah Primitivní funkce, neurčitý integrál Základní vlastnosti a vzorce Základní integrační metody Úpravy integrandu Integrace racionálních

Více

Extrémy funkce dvou proměnných

Extrémy funkce dvou proměnných Extrémy funkce dvou proměnných 1. Stanovte rozměry pravoúhlé vodní nádrže o objemu 32 m 3 tak, aby dno a stěny měly nejmenší povrch. Označme rozměry pravoúhlé nádrže x, y, z (viz obr.). ak objem této nádrže

Více

VEKTOROVÁ POLE Otázky

VEKTOROVÁ POLE Otázky VEKTOROVÁ POLE VEKTOROVÁ POLE Je-li A podmnožina roviny a f je zobrazení A do R 2, které je dáno souřadnicemi f 1, f 2, tj., f(x, y) = (f 1 (x, y), f 2 (x, y)) pro (x, y) A, lze chápat dvojici (f 1 (x,

Více

6. a 7. března Úloha 1.1. Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného parabolou y = 1 x 2 a osou x.

6. a 7. března Úloha 1.1. Vypočtěte obsah obrazce ohraničeného parabolou y = 1 x 2 a osou x. KMA/MAT Přednášk cvičení č. 4, Určitý integrál 6. 7. březn 17 1 Aplikce určitého integrálu 1.1 Počáteční úvhy o výpočtu obshu geometrických útvrů v rovině Úloh 1.1. Vypočtěte obsh obrzce ohrničeného prbolou

Více

Implicitní funkce. 2 + arcsin(x + y2 ) = arccos(y + x 2 ), [0, 0] , 5] stacionární bod?

Implicitní funkce. 2 + arcsin(x + y2 ) = arccos(y + x 2 ), [0, 0] , 5] stacionární bod? Implicitní funkce V následujících úlohách ukažte, že uvedená rovnice určuje v jistém okolí daného bodu [ 0, y 0 ] implicitně zadanou funkci proměnné. Spočtěte první a druhou derivaci této funkce v bodě

Více

VI. Derivace složené funkce.

VI. Derivace složené funkce. VI. Derivace složené funkce. 17. Parciální derivace složené funkce Budeme uvažovat složenou funkci F = f(g, kde některá z jejich součástí může být funkcí více proměnných. Předpokládáme, že uvažujeme funkce,

Více

Diferenciální rovnice separace proměnných verze 1.1

Diferenciální rovnice separace proměnných verze 1.1 Úvod Diferenciální rovnice separace proměnných verze. Následující tet popisuje řešení diferenciálních rovnic, konkrétně metodu separace proměnných. Měl by sloužit především studentům předmětu MATEMAT na

Více

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2018

Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 2018 Přijímací zkouška na navazující magisterské studium 208 Studijní program: Studijní obory: Matematika MA, MMIT, MMFT, MSTR, MNVM, MPMSE Varianta A Řešení příkladů pečlivě odůvodněte. Věnujte pozornost ověření

Více

7. Derivace složené funkce. Budeme uvažovat složenou funkci F = f(g), kde některá z jejich součástí

7. Derivace složené funkce. Budeme uvažovat složenou funkci F = f(g), kde některá z jejich součástí 202-m3b2/cvic/7slf.tex 7. Derivace složené funkce. Budeme uvažovat složenou funkci F = fg, kde některá z jejich součástí může být funkcí více proměnných. Předpokládáme, že uvažujeme funkce, které mají

Více

Diferenciál funkce dvou proměnných. Má-li funkce f = f(x, y) spojité parciální derivace v bodě a, pak lineární formu (funkci)

Diferenciál funkce dvou proměnných. Má-li funkce f = f(x, y) spojité parciální derivace v bodě a, pak lineární formu (funkci) 2. Diferenciál funkce, tečná rovina. Diferenciál funkce dvou proměnných. Má-li funkce f = f(x, y) spojité parciální derivace v bodě a, pak lineární formu (funkci) df(a, h) = x (a)h + (a)h 2, h = (h, h

Více

Zkouška ze Aplikované matematiky pro Arboristy (AMPA), LDF, minut. Součet Koeficient Body. 4. [10 bodů] Integrální počet. 5.

Zkouška ze Aplikované matematiky pro Arboristy (AMPA), LDF, minut. Součet Koeficient Body. 4. [10 bodů] Integrální počet. 5. Zkouška ze Aplikované matematiky pro Arboristy (AMPA), LDF, 6.2.204 60 minut 2 3 4 5 6 Jméno:................................... Součet Koeficient Body. [2 bodů] V následující tabulce do každého z šesti

Více

Řešíme tedy soustavu dvou rovnic o dvou neznámých. 2a + b = 3, 6a + b = 27,

Řešíme tedy soustavu dvou rovnic o dvou neznámých. 2a + b = 3, 6a + b = 27, Přijímací řízení 2015/16 Přírodovědecká fakulta Ostravská univerzita v Ostravě Navazující magisterské studium, obor Aplikovaná matematika (1. červen 2016) Příklad 1 Určete taková a, b R, aby funkce f()

Více

Ve srovnání s křivkami, kterými jsme se zabývali v Kapitole 5, je plocha matematicky

Ve srovnání s křivkami, kterými jsme se zabývali v Kapitole 5, je plocha matematicky Kapitola 8 Plocha a její obsah 1 efinice plochy Plochu intuitivně chápeme jako útvar v prostoru, který vznikne spojitou deformací části roviny Z geometrického pohledu je plochu možno interpretovat jako

Více

(3) vnitřek čtyřúhelníka tvořeného body [0, 0], [2, 4], [4, 0] a [3, 3]. (2) těleso ohraničené rovinami x = 1, y = 0 z = x a z = y

(3) vnitřek čtyřúhelníka tvořeného body [0, 0], [2, 4], [4, 0] a [3, 3]. (2) těleso ohraničené rovinami x = 1, y = 0 z = x a z = y 3. Násobné integrály 3.. Oblasti v R. Načrtněte množinu R a najděte meze integrálů f(x, y)dxdy, kde je dána: () = {(x, y) : x, y 3} () vnitřek trojúhelníka tvořeného body [, ], [, ] a [, ]. (3) vnitřek

Více

F (x) = f(x). Je-li funkce f spojitá na intervalu I, pak existuje k funkci f primitivní funkce na intervalu I.

F (x) = f(x). Je-li funkce f spojitá na intervalu I, pak existuje k funkci f primitivní funkce na intervalu I. KAPITOLA 7: 7. Úvod Primitivní funkce [MA-6:P7.] Definice: Funkce F je primitivní funkcí k funkci f na intervalu I, jestliže pro každé I eistuje F a platí F f. Poznámky: Obsahuje-li I některý z krajních

Více

14. cvičení z Matematické analýzy 2

14. cvičení z Matematické analýzy 2 4. cvičení z temtické nlýzy 2 22. - 26. květn 27 4. Greenov vět) Použijte Greenovu větu k nlezení práce síly F x, y) 2xy, 4x 2 y 2 ) vykonné n částici podél křivky, která je hrnicí oblsti ohrničené křivkmi

Více

OBECNOSTI KONVERGENCE V R N

OBECNOSTI KONVERGENCE V R N FUNKCE VÍCE PROMĚNNÝCH V reálných situacích závisejí děje obvykle na více proměnných než jen na jedné (např. na teplotě i na tlaku), závislost na jedné proměnné je spíše výjimkou. OBECNOSTI Reálná funkce

Více

Plošný integrál Studijní text, 16. května Plošný integrál

Plošný integrál Studijní text, 16. května Plošný integrál Plošný integrál tudijní text, 16. května 2011 Plošný integrál Jednoduchý integrál jsme rozšířili zavedením křivkového integrálu. Rozlišovali jsme dva druhy integrálu, přičemž křivkový integrál 2. druhu

Více

Michal Zamboj. January 4, 2018

Michal Zamboj. January 4, 2018 Meziřádky mezi kuželosečkami - doplňkový materiál k přednášce Geometrie Michal Zamboj January 4, 018 Pozn. Najdete-li chybu, neváhejte mi napsat, může to ušetřit tápání Vašich kolegů. Pozn. v dokumentu

Více