Cesty ke zkvalitňování výuky geometrie. Darina Jirotková

Transkript

1 Cesty ke zkvalitňování výuky geometrie Darina Jirotková Univerzita Karlova v Praze Pedagogická fakulta Praha, 2010

2 OBSAH Úvod 7 Současný stav 8 Cíl 8 Pedagogické přesvědčení autorky 9 Adresát knihy 10 Metodologie 11 Obsah a struktura knihy 12 Kapitola 1 Teoretická východiska Procept Teorie generického modelu Hladina motivace Hladina izolovaných modelů Hladina generických modelů Hladina krystalizace Další teorie kognitivních procesů Schéma Struktura 25 Kapitola 2 Svět aritmetiky a svět geometrie: pohled didaktický Postoj učitele 1. st. ZŠ ke geometrii a její výuce Charakteristika studenta učitelství pro 1. st. ZŠ Pedagogické fakulty UK v Praze Svět aritmetiky a svět geometrie: objekty Objekty světa aritmetiky Objekty světa geometrie Svět aritmetiky a geometrie: nástroje Nástroje světa aritmetiky Nástroje světa geometrie Jazyky a jejich význam ve výuce Jazyk aritmetiky 43

3 CESTY KE ZKVALITŇOVÁNÍ VÝUKY GEOMETRIE 2.6 Jazyk geometrie Krychlové stavby a jazyky jejich popisu Krychlová tělesa a jazyky jejich popisu Přehled a doplnění jazyků pro popis krychlových těles Matematické vymezení Jazyk popisující krychlové těleso matematickým způsobem Další geometrické jazyky Svět aritmetiky a geometrie: edukační strategie Strategie vyučování aritmetice Strategie vyučování geometrie Komunikační nedorozumění Nedorozumění ve světě aritmetiky Nedorozumění ve světě geometrie Kultivace myšlení v geometrii 92 Kapitola 3 Sítě krychle Schéma pojmu síť krychle z hlediska didaktiky Komentáře k tématu sítě krychle v několika vybraných učebnicích Návrh kurikulární strategie Etapizace jazyka Budování porozumění pojmu síť krychle Etapizace jednotlivých fází porozumění pojmu síť krychle Východiska naší koncepce budování pojmu síť krychle První etapa druhé fáze: Tvorba izolovaného modelu sítě krychle Druhá etapa druhé fáze: Tvorba schémat síť krychle, korespondence 2D 3D a posílení abstrakce Třetí etapa druhé fáze: Tvorba schématu sítě krychle s prvky strukturace Úlohy a jejich implementace Seznámení se s korespondencí 2D 3D, zejména vztah čtverec stěna krychle Tvorba sítě krychle Polymino jako stavební prvek sítě krychle Skládání a rozkládání polymin chirurgie polymin Příbuznosti na množině sítí 147

4 Obsah Vazby mezi stěnami krychle a jim odpovídající vazby mezi čtverci sítě krychle Tvorba pravidel o stěnách krychle v její síti Vazba mezi vrcholem a stěnou Zákonitosti o vztazích mezi vrcholy krychle Pojmenování vrcholů sítě krychle Tvorba pravidel pro vrcholy sítě Vazby mezi hranami na krychli Vazby mezi hranami na síti krychle Význam strukturace schématu v geometrii Matematické uchopení pojmu síť krychle: formalizace jazyka Závěr 198 Kapitola 4 Role úlohy v edukačním procesu: prostředí čtverečkovaného papíru Využití prostředí čtverečkovaného papíru ve vysokoškolských kurzech Typologie úloh Didaktický základ prostředí čtverečkovaného papíru Typologie úloh z didaktického hlediska Typologie úloh z (meta)kognitivního hlediska Úloha jako edukační nástroj Úloha vhodná pro podnětné vyučování Implementace úlohy A v kurzu G Charakteristika vybraných studentek Komentovaný záznam průběhu semináře Kognitivní a metakognitivní analýza práce vybraných studentek Individuální práce Cilky Komentáře k analýzám Ilustrace Cesty objevování: Pythagorejské trojice Problémová situace 1: Měření úseček Problémová situace 2: Přesné měření Problémová situace 3: Konstrukce mřížových čtverců Problémová situace 4: Hledání mřížového rovnostranného trojúhelníku 267

5 CESTY KE ZKVALITŇOVÁNÍ VÝUKY GEOMETRIE Problémová situace 5: Hledání šikmých úseček s celočíselnou délkou Závěr Paralelní vyučování: Dva postupy při vyvození Pickovy formule Práce skupiny I Práce skupiny II Komparace Závěr Cesty objevování: Pythagorova věta Úvod Ilustrace tří postupů odhalování Pythagorovy věty Závěr 4. kapitoly 297 Závěr 298 Anotace 299 Seznam literatury 301 Index 311

6 KAPITOLA 3 SÍTĚ KRYCHLE Cílem této kapitoly je na geometrickém tématu Sítě krychle ukázat, jak lze již od mladšího školního věku budovat geometrické schéma, které lze dále strukturovat (Hejný, 2007). Experimentální materiál, který byl pro tuto studii využit, pochází především z našich 38 klinických experimentů realizovaných v rámci několika výzkumných projektů (GA ČR, VZ, FRVŠ) a jednoho mezinárodního projektu IIATM (Socrates-Comenius 2.1), ale i z našeho vlastního experimentálního vyučování na prvním stupni základní školy v průběhu několika posledních let a částečně i z vysokoškolské výuky v rámci pravidelné matematické přípravy budoucích učitelů prvního stupně základních škol. Pojem síť krychle je úzce propojen na pojem krychle a zasahuje jak do 2D (rovinné), tak do 3D (prostorové) geometrie. S oběma pojmy se žáci seznamují na prvním stupni základní školy pouze intuitivně. Poznávají různé modely krychle i dalších těles s krychlí příbuzných a celkem hojně se prostřednictvím učebnic seznamují i s jejich obrazy převážně ve volném rovnoběžném promítání v pravém nadhledu. Učitelé často využívají soubor krychlí i v aritmetických kontextech pro modelování přirozených čísel a vztahů mezi nimi, početních operací, popřípadě i pro modelování zlomků. Pojem síť krychle se objevuje v učivu matematiky prvního stupně velice okrajově a ani na úrovni druhého stupně základní školy, ani na středoškolské úrovni není tento pojem dále rozvíjen jako schéma směrem ke strukturaci. Současný stav zpracování daného tématického celku v našich učebnicích je kriticky hodnocen v první části didakticky zaměřeného odstavce Odstavec je věnován prezentaci návrhu edukační strategie schématu síť krychle. V odstavci je pak uvedena etapizace navrhované strategie, a to nejdříve na úrovni jazyka, a v odstavci 3.2 pak na úrovni porozumění. Odstavec 3.3 je věnován úlohám. Je zde uvedeno třináct nosných úloh, které přinášejí nové myšlenky, dále je nabídnuta bohatá gradovaná série obměn, mnoho věcných i didaktických komentářů a výzev pro čtenáře. 38 Používání množného čísla v celé kapitole poukazuje na týmovou spolupráci vedenou M. Hejným, v rámci které tento text vzniknul.

7 KAPITOLA 3 SÍTĚ KRYCHLE Zpracování problematiky sítě krychle formalizovaným matematickým jazykem jsem nikde ve mně známé literatuře nenašla, a proto je tomuto tématu věnována další část kapitoly. V odstavci 3.4 je nejdříve poukázáno na význam strukturace schématu nějakého pojmu a pak v odstavci 3.5 je uvedena konstrukce formalizovaného jazyka vhodného pro matematický popis sítí krychle. Řešení úloh s použitím formalizovaného jazyka značně přispívá ke strukturaci schématu sítě krychle. Tato část kapitoly je pro učitele základní školy nadstavbová, avšak jako ukázka možnosti strukturace geometrického pojmu může být i pro něj zajímavá. Přinejmenším mu může nabídnout představy o tom, jak lze dále rozvíjet ty poznatky, které on sám na prvním stupni základní školy zakládá, popřípadě v jaké etapě tvorby schématu či struktury nějakého pojmu se on se svými žáky pohybuje. Středoškolský učitel v ní může najít inspirace pro motivaci studentů, kteří rádi řeší spekulativní úlohy. Je zde uvedena celá série problémových situací, které úzce souvisí s ústředním objektem našeho zkoumání se sítí krychle. Je také ukázáno, jak je možné kultivovat geometrickou představivost žáků na druhém stupni základní školy i dále na střední škole a jak tento směr kognitivního rozvoje žáka může přispívat k jeho celkovému matematickému i intelektuálnímu rozvoji. V závěrečném odstavci 3.6 je uvedeno několik shrnujících poznámek a je nastíněna nejbližší budoucnost probíhajícího výzkumu. 3.1 Schéma pojmu síť krychle z hlediska didaktiky V dalším textu, který vychází z (Jirotková, 2007), budou použity názorné představy odpovídající úrovni dětí prvního stupně základní školy včetně příslušného jazyka, který obohatíme o jazyk metaforický Komentáře k tématu sítě krychle v několika vybraných učebnicích Ve snaze najít účinnou edukační strategii budování schématu síť krychle jako podschématu rozsáhlého schématu krychle, který lze považovat za základní sloup rozvoje prostorové inteligence ve smyslu Gardnera (1999), jsme ve stávající edukační strategii hledali ty jevy, ve kterých jsme viděli možnost změny. Jako prezentace stávající edukační strategie byl považován současný Rámcový vzdělávací program (RVP) 39 a některé sady učebnic matematiky pro první stupeň základní školy schválené MŠMT. 39 Rámcový vzdělávací program pro základní vzdělávání, 104

8 3.1 Schéma pojmu síť krychle z hlediska didaktiky Současné RVP problematiku budování schématu nějakého geometrického pojmu ani obecněji problematiku rozvíjení prostorové představivosti neřeší. V textu dokumentu pro první období se uvádí pouze toto: Žák rozezná, pojmenuje, vymodeluje a popíše základní rovinné útvary a jednoduchá tělesa; nachází v realitě jejich reprezentaci. ( ) Základní útvary v prostoru kvádr, krychle, jehlan, koule, kužel, válec, ( ) Tedy východiskem pro nás byly zejména učebnice. Vybrali jsme sady učebnic matematiky pro 1. až 5. ročník základní školy z nakladatelství MÚAV Praha, Alter, Prodos, Prometheus, neboť jsou podle statistických šetření na základních školách nejpoužívanější nebo soudě podle jejich autorů bylo možné očekávat silnější zaměření na 3D geometrii. Problematiku sítí krychle jsme nalezli vesměs v učebnicích pro 4. a 5. ročník a v jednom případě (Alter) i v učebnici pro 3. ročník. Učebnice zde nebudeme podrobně analyzovat a pouze uvedeme shrnující komentáře k několika klíčovým jevům: věk žáků, geometrický jazyk, způsob zavedení a rozsah učiva. První důležitá otázka, kterou jsme řešili, se týká věku žáků vhodného pro zahájení budování schématu síť krychle ve škole. Vycházíme z Vygotského teorie ZPD 40 (Vygotskij, 1976) a konstatujeme známý fakt, že již v předškolním věku mají děti, zejména chlapci, mnohé zkušenosti se stavebnicemi, v nichž krychle hraje hlavní roli. Jsou to spontánní senzomotorické zkušenosti, které zakládají tvorbu intuitivních představ. Tyto zkušenosti jsou však dostatečně bohaté na to, aby byly postupně zvědomovány a organizovány do klastrů (Hejný, 2007, s. 86). Jestliže se téma sítě krychle objeví až ve 4. ročníku základní školy, může být ZPD již promeškáno, a to nejen z hlediska kognitivního, ale zejména z hlediska motivačního. Jistou překážkou pro důslednější práci s geometrickými objekty, jako například s krychlí nebo dokonce se sítí krychle, již od 1. ročníku základní školy je geometrický jazyk. Pojmy jako vrchol, hrana a stěna jsou svojí abstraktností nepřiměřené věku žáka a navíc význam uvedených termínů neodpovídá každodenní zkušenosti dítěte (Jirotková, 2001b). Tedy nutným předpokladem pro práci s krychlí již v 1. ročníku základní školy je nalézt vhodný jazyk. Další jev edukační strategie aplikované v současných učebnicích, na který zaměříme i v našem návrhu pozornost, je způsob zavedení pojmu síť krychle. Téma sítě krychle je ve všech zmíněných učebnicích otevřeno instrukcemi, například: Rozstřihni krabičku (podél svislých hran) a vytvoř síť krychle (hranolu) podle obrázku. Vystřihni (danou síť krychle) a vytvoř krabičku. Sestav ze šesti kartiček pexesa síť krychle (podle obrázku). apod. Domníváme se, že není dán dostatečný prostor konstruktivistickému přístupu v tom smyslu, 40 ZPD zone of proximal development, tj. zóna bezprostředního vývoje 105

9 KAPITOLA 3 SÍTĚ KRYCHLE že hlavní objekt poznávání, síť krychle, je žákům předložen jako hotový produkt a není žáky hledán a konstruován. Činnost žáků je více zaměřena na řemeslnou práci rukou než na spekulaci a objevování. Avšak skutečnost, že žák získává manipulativní zkušenosti, je nutno hodnotit pozitivně. Celkově je v existujících učebnicích tématu síť krychle věnováno velice málo místa. Není nijak využito potenciálu, který toto obsáhlé schéma nabízí: podrobnější poznání struktury jevu krychle, tedy toho, co můžeme nazvat anatomií krychle, neboli v terminologii P. Vopěnky (1989) souborem průvodních jevů krychle a vazeb mezi nimi. Vazba mezi sítí krychle (2D objekt) a povrchem krychle (3D objekt) nabízí bohatou paletu úloh a problémů, z nichž některé překračují oblast geometrie a mohou tak zajímavým způsobem propojit geometrii s dalšími oblastmi matematiky, například s kombinatorikou, teorií pravděpodobnosti, teorií grafů aj., což odpovídá myšlence budování schémat. Didaktickým smyslem takových úloh není ani tak získávání nových poznatků z oblasti geometrie jako zejména rozvíjeních kognitivních a metakognitivních schopností, jako je například analyzování situace, abstrakce, zobecňování, tvorba vhodného formalizovaného jazyka apod. Uvedené kritické hodnocení je východiskem pro hledání naší koncepce, kterou zde prezentujeme a kterou aplikujeme při tvorbě učebnic pro první stupeň (Hejný a kol., 2007a, b, c; Hejný a kol., 2008 a, b, c, d; Hejný a kol., 2009 a, b;) Návrh kurikulární strategie 41 Pojem síť krychle patří k poměrně náročným a komplexním pojmům geometrie. Zahrnuje tři dílčí pojmy, z nichž každý je sám o sobě dosti bohatý. Jsou to: (1) Krychle (jako 3D objekt) včetně kombinatorické struktury tvořené souborem vrcholů, hran, stěn, stěnových i tělesových úhlopříček a souborem vazeb mezi těmito objekty (2) Síť krychle (jako 2D objekt), tj. jako prvek speciální třídy polymin, přesněji hexamin (3) Korespondence mezi sítí krychle a krychlí (tj. 2D 3D korespondence), jako relace mezi souborem výše uvedených prvků krychle a jim odpovídajících prvků hexamin 41 V celé kapitole při diskusích o žákovských řešeních předpokládáme, že potíže, které má žák s řešením předkládaných úloh, leží v oblasti kognice a metakognice. Žáci, jejichž problémy leží v oblasti sociální, v oblasti komunikace, v oblasti disfunkcí či sebedůvěry, nejsou v této studii uvažováni. 106

10 3.1 Schéma pojmu síť krychle z hlediska didaktiky Schéma síť krychle, jako 2D objekt, je navíc podschématem schématu: (4) Čtvercové polymino. Budovat porozumění pojmu síť krychle, tedy znamená budovat současně porozumění čtyřem pojmům. Porozumění každému pojmu je třeba budovat v posloupnosti: informace schéma strukturace struktura. (*) Tímto jsou vymezeny čtyři fáze budování pojmů ve vědomí žáka či studenta. Pro pojem síť krychle odpovídá první fáze velice zhruba předškolnímu věku a prvnímu ročníku základní školy, druhá fáze prvnímu stupni základní školy, třetí fáze druhému stupni základní školy a čtvrtá vyššímu gymnáziu. Termínem struktura zde označujeme poslední fázi poznávacího procesu, ale přesněji bychom měli mluvit o finálním stavu procesu strukturace. Je zřejmé, že proces budování pojmu krychle není závislý na pojmu síť krychle, ale naopak pojem síť krychle i pojem korespondence 2D 3D jsou na pojmu krychle závislé. V tradičním vyučování se pojem síť krychle objevuje většinou ve 4. ročníku (zřídka i ve 3. ročníku) a jeho poznávací proces zůstává pouze na úrovni izolovaných modelů, které vytvářejí jednoduché klastry. Schéma pojmu síť krychle se ve vědomí žáka na druhém stupni dále nebuduje. Pojem síť krychle zůstává na okraji geometrického poznání a do pozornosti žáka vstoupí spíše v souvislosti s vyvozením či zdůvodněním vzorce pro povrch krychle. Uvedený edukační přístup je částečně příčinou často zmiňované nedostatečné prostorové představivosti našich žáků. Za pozornost stojí skutečnost, že téma síť krychle, eventuálně hranolu, se objevuje v mnohých testech na zjišťování úrovně prostorové představivosti ať již amatérsky vytvořených pro účely jistého experimentu (např. Leišner, 2003, několik diplomových prací např. Šebrle, 2005, Durník, 2009 aj.) nebo profesionálně sestavených v rámci testů struktury inteligence (například známý Amthauerův Test struktury inteligence 42 ). Vývoj představ žáka je provázen vývojem jazyka jako organické součásti globálního vývoje žáka. Pro výzkumníka je zkoumání jazyka mnohdy dostupnější než zkoumání představ, proto dříve, než zaměříme naši pozornost na představy, se pokusíme popsat vývoj jazyka pomocí osmi etap, z nichž první etapa, zde označená jako nultá, je etapa beze slov a další 107

11 KAPITOLA 3 SÍTĚ KRYCHLE Etapizace jazyka M. Hejný v (2007) poukazuje na význam slovního doprovodu manipulativní činnosti dítěte. V ilustraci 3.9 (s. 102) popisuje, jak Soňa skládá ubrousky napodobováním matčiny činnosti. Její práce není doprovázena žádnými slovy. Slova pak přicházejí později u podobných činností ve škole. Význam slovního doprovodu manipulativních činností dětí ukotvuje Hejný ve druhé tezi tvorby matematického schématu MT2 (s. 104): Tím, že je na prvky klastru poukázáno slovy, pozornost žáka se zaměřuje na dané jevy a často je toto zaměření provázeno uzřením vazeb mezi prvky. Slovní doprovod manipulativní činnosti může mít k činnosti samotné dvě různé vazby. Může být - řídící práce dítěte je slovy učitele řízena, - průvodní práce dítěte je komentována, provázena slovy. V naší výuce nebo v našich experimentech se běžně oba typy slovního doprovodu prolínají. Inspirováni příběhem Soni se pokusíme rozložit do etap slovní doprovod, jehož charakter je převážně průvodní. Opíráme se při tom o naše mnohé experimenty a o pozorování výuky v různých třídách prvního stupně základní školy. Slovní doprovod geometrické činnosti rozdělíme do sedmi etap, přičemž hranice mezi etapami jsou velice neostré. Vstupní nultou etapu beze slov do seznamu sedmi etap nepočítáme. 0. Etapa beze slov Žák pracuje samostatně bez jakéhokoliv slovního doprovodu. Jediné, co je mu v souvislosti s jeho prací řečeno, je například tato výzva: Z těchto dílů pomocí přelepek udělej šaty na krychli. Děti pracující soustředěně bez slovního komentáře získávají informace, které nazýváme poznání v činnosti. Když dítě potřebuje své poznání v činnosti verbalizovat, používá slov běžné mluvy každodenního života, ve kterých se odrážejí jeho vlastní zkušenosti. To ilustruje následující příběh Tomáše, který je podrobně popsán v (Jirotková, 2001b) v kontextu analýz žákovských slovních popisů geometrických vlastností těles, se kterými žáci realizovali různé aktivity hra SOVA, výběr tělesa, třídění těles poslepu apod. Ilustrace 3.1 Tomáš a Bára Tomáš a Bára, žáci 4. ročníku jedné pražské základní školy, hráli v rámci našich experimentů hru SOVA s geometrickými tělesy vybranými 108

12 3.1 Schéma pojmu síť krychle z hlediska didaktiky z dostupné školní sady těles. Ve hře zůstala poslední dvě tělesa komolý rotační kužel a rotační válec. Tomáš se zeptal Báry: Když to pošlu, zatočí to? Bára otázce nerozuměla a na radu experimentátora situaci modelovala. Byla velice překvapena, že komolý kužel se kutálel do kolečka na rozdíl od válce, který se odkutálel rovně. Tomáš povzbuzen Bářiným údivem s nadšením vzal do ruky ještě kužel a ukázal jí, jak se dokonce točí kolem jednoho místa. Jeho poznání kinestetických vlastností rotačních těles bylo dosud jeho poznáním v činnosti a až v komunikaci s Bárou vyvstala potřeba popsat daný jev slovy. 1. Etapa slovesného slovního doprovodu Práce žáka je provázena slovy, v nichž podstatná jména jsou převážně nahrazena ukazovacími zájmeny. Hlavní informační zdroj přináší slovesa, případně i přídavná jména, například Toto přilep sem. Tady mi to podrž. Přelož ten horní sem. apod. Je to jazyk, jímž mluví děti při spolupráci nebo i učitel při popisu nové činnosti a který dítěti v jistých situacích pomáhá. Uvedeným slovům však lze rozumět pouze v případě, že celou situaci vidíme a známe kontext. 2. Etapa metaforického jazyka Ve slovním doprovodu se objevují metaforické popisy, které provazují činnost žáka s jeho předchozí životní zkušeností. Typickým rysem a také pozitivem metaforického jazyka je jeho obecná srozumitelnost nic není zapotřebí zvláště osvětlovat. Dalším pozitivem používání metafor (samozřejmě přiměřených životním zkušenostem dítěte) je, že se tím rozvíjí sama schopnost tvorby metafor, a tím se rozvíjí schopnost nacházet souvislosti (Gardner, 1999, s. 305). Negativem tohoto jazyka je jeho jistá vágnost, nepřesnost a jeho vázanost na kontext, což může být příčinou komunikačního nedorozumění. Ukázkou takového komunikačního nedorozumění je například v (Hejný, 2007, s. 105) příběh v ilustraci Týká se významu slova slepit. Jeden žák slovo slepit interpretoval tak, že dva slepované vystřižené trojúhelníky přiložil na sebe, čímž dostal jiné řešení úlohy než ostatní žáci, kteří si vysvětlili slovo slepit tak, že se k sobě trojúhelníky mohou přiložit podél některých stran. To vyvolalo ve třídě mohutnou diskusi a nutnost význam slova slepit upřesnit. To však již patří do třetí etapy. Nezřídka dochází k situaci, kdy komunikace mezi žáky je bezproblémová, ale učitel jejich jazyku nerozumí. To je ukázáno v následujícím příběhu. 109

13 KAPITOLA 3 SÍTĚ KRYCHLE Ilustrace 3.2 Klára a Hanka V jiném experimentu ve stejném ročníku a stejné škole jako v ilustraci 3.1 hrály hru SOVA dvě dívky, Klára a Hanka. Klára položila otázku: Bydleli v tom lidé? Hanka tomuto popisu tělesa k mému překvapení dobře rozuměla a přiměřeně reagovala. Ukázala, že ví, že Klára myslí čtyřboký jehlan. Klára měla s modelem jehlanu spojenu představu pyramidy. 3. Etapa upřesňování metaforického jazyka Konflikt, který může vyvolat nejednoznačná interpretace metaforického jazyka, vede k potřebě jeho upřesňování. Proces upřesňování jazyka je simultánně provázen procesem upřesňování představ, tj. procesem precizace rodících se termínů. Bylo to ukázáno například výše, kdy nejednoznačná interpretace termínu slepit vyvolala nutnost jasného vysvětlení a tím pádem i zavedení dalšího termínu popisující realizovanou činnost žáka, a sice přelepit. Do této etapy patří také zavádění metaforické terminologie jako například pojmy zip a šev (vymezení je uvedeno dále v odstavci 3.2.3, s. 118), nebo ustálená jména pro jisté tvary sítí krychle jako kříž, téčko, zetko, nebo vlastní jména Alexandr, Alexandra (viz ilustrace 3.8 v odstavci 3.2.4, s. 124), nebo adjektiva vykousnutý pro nekonvexní, nebo slovesa označující jisté činnosti jako obléci krychli (vymezení je uvedeno též v odstavci 3.2.3, s. 118) apod. Ilustrace 3.3 Adam a Bořek Při hře SOVA hráči často používají dvě různá slova pro tentýž objekt a také jedno slovo pro dva různé objekty. Adam a Bořek, žáci 4. ročníku základní školy, hráli hru SOVA. Každý měl před sebou svou sadu těles. Obě sady byly shodné. Adam použil slovo střecha pro označení trojbokého hranolu, který ležel na stole na své největší obdélníkové stěně. Jenže před Bořkem bylo toto těleso umístěno tak, že hranol stál na své trojúhelníkové stěně, a tedy střechu nepřipomínal. Slovo střecha přiřadil čtyřbokému jehlanu, který stál na své podstavě. Nastala z hlediska didaktiky vítaná situace došlo k nedorozumění a kolapsu hry. To zcela spontánně vyvolalo nutnost použité pojmy upřesnit. 4. Etapa nástupu matematického jazyka Přechod od metaforického jazyka k jazyku matematickému se odehrává v jistém časovém intervalu. Učitel může sledovat, jak někteří žáci velice rychle a vstřícně akceptují matematické termíny, zatímco jiní stále ještě setrvávají v jazyku metaforickém, v němž cítí větší jistotu. Jazyk učitele by pak měl být indivi- 110

14 3.1 Schéma pojmu síť krychle z hlediska didaktiky dualizován, protože příliš rychlý přechod k matematické terminologii by mohl žákům, kteří ještě nejsou připraveni na její přijetí, ztížit nebo dokonce znemožnit jejich další rozvoj poznávání příslušného pojmu. 5. Etapa nástupu znakového systému Dosti často je s nástupem matematického jazyka spojena formalizace jazyka pomocí některých prvků znakového systému. Didakticky snadné je zavedení ikonických znaků, jako jsou například trojúhelník (Δ), čtverec ( ), relace kolmost ( ) a rovnoběžnost (II). Někdy si děti samy v této etapě zavádějí vlastní znaky pro jisté geometrické objekty (například písmena I, L, T pro čtvercová tetramina ve tvaru těchto písmen) nebo dokonce pro vztahy mezi těmito objekty. 6. Etapa matematické terminologie a znakového systému Metaforický jazyk se používá výjimečně a důraz je kladen na jednoznačnou interpretaci každého matematického termínu. Hojně se zavádí jazyk znaků, který ekonomizuje zejména písemnou komunikaci. 43 Na rozdíl od aritmetiky a algebry znakový systém geometrie nevytváří kalkul. Dřívější benevolence při zaměňování termínů například kruh a kružnice je již v této etapě nepřípustná. Je ale paradoxní, že snaha o maximální přesnost přináší i další nejasnosti a potíže při porozumění pojmům. Například slovo výška trojúhelníku se v jednoduchých geometrických tvrzeních vyskytuje ve třech různých významech: (1) přímka ( Výšky trojúhelníku se protínají v jednom bodě. ), (2) úsečka ( Sestroj výšku trojúhelníka. ), (3) číslo míra úsečky ( Strana trojúhelníku krát výška děleno dvěma je obsah trojúhelníku. ). Precizace jazyka však bývá zaplacena menší srozumitelností, těžkopádností, a tudíž větší mentální zátěží. Nelze již říci, že výšky trojúhelníku se protnou v jednom bodě, ale přímky výšek.... Obsah trojúhelníku již nelze popsat jako základna krát výška., ale jako velikost základny krát velikost výšky. I používání znakového jazyka může přinést nekonzistentnosti. Například platí: Pro každé tři přímky a, b, c prostoru platí: Je-li aiib a zároveň biic, je pak také aiic. Jinými slovy: rovnoběžnost na množině všech přímek prostoru je relace tranzitivní. Avšak pro každé dvě přímky a, c a rovinu β prostoru, pro něž aiiβ a zároveň ciiβ, již nemusí platit aiic. Relace rovnoběžnost na množině všech přímek a rovin prostoru tranzitivní není. 43 Jazyk znaků by bylo možné dále klasifikovat z hlediska několika parametrů, například kdo jazyk zavádí, původ jazyka, potřeba, 111

15 KAPITOLA 3 SÍTĚ KRYCHLE Další nedůslednost je například v terminologii rozlišující kruh a kružnici. U tak frekventovaných objektů, jako jsou čtverec nebo krychle, toto terminologické rozlišení chybí. Dále například slova hrana, strana a úsečka mohou označovat týž objekt. Potom poukazují na dimenzi prostoru, v němž se vedou o objektu úvahy. Slovo vrchol tuto vlastnost nemá. Přitom si žáci, podle našich zkušeností z experimentální výuky, toto vylepšení terminologie mnohdy samy zavedli. Například navrhli používat pro vrchol tělesa termín roh, zatímco pro vrchol mnohoúhelníku přijali termín vrchol. Některé objekty, které jsou na základní škole frekventované, nejsme vůbec schopni na úrovni střední školy přesně popsat, například pojem mnohostěn. Dále žádné ze sloves, jimiž mnohé matematické objekty osvětlujeme, neumíme na úrovni střední školy popsat přesně. Proto posunutí nebo otočení je popsáno v jazyku konceptů vzor obraz, nikoliv v jazyku procesu. K tomu by bylo nutné použít jazyk homotopií. 44 Při pozorování vlastního řešení některých složitějších úloh, které jsou uvedeny v odstavci 3.5. (Matematické uchopení sítě krychle) a při nichž jsme pracovali s vykonstruovaným formalizovaným jazykem, jsme zaznamenali pravidelně se opakující jev: S nárůstem myšlenkové obtížnosti úlohy obvykle dochází k poklesu preciznosti matematického jazyka a k návratu k jazyku metaforickému. To se stává v důsledku toho, že pokud není nějaký jazyk plně interiorizován, jeho používání spotřebovává energii. Tedy uvedená negativa přesné matematické terminologie vystupují výrazněji u žáků, jejichž myšlení ještě nemá požadovaný stupeň přesnosti. Naopak u žáků, kteří již takového stupně dosáhli, přináší snaha o precizaci terminologie přinejmenším dvě pozitiva: - urychluje kultivaci jejich abstraktního myšlení, - iniciuje proces strukturace, který pomocí vhodných úloh vzájemně provazuje schémata dříve oddělená. Například v (Hejný, 2007, s. 106) je ukázáno, jak precizace pojmu mnohoúhelník vedla žáky se spekulativním myšlením k zavedení pojmu děravý mnohoúhelník, tj. k rozšíření schématu mnohoúhelník. Formule, kterou žák 44 Vysvětlení pojmu homotopie lze nalézt například na: 112

16 3.2 Budování porozumění pojmu síť krychle Zdeněk pro počet úhlů děravého mnohoúhelníku objevil a dokázal, 45 je rovinnou simplifikací Eulerovy Poincarého formule pro mnohostěny Etapa axiomatizace V sedmé etapě se vybuduje jazyk, kterým je daná struktura popsána důsledně axiomaticky. Tato etapa se netýká ani studentů střední školy a tím méně žáků základní školy. Je běžná pro vysokoškolskou matematiku na matematickofyzikální fakultě. Student této fakulty, který měl již na střední škole možnost o podobné problematice uvažovat, je na vysokoškolské studium připraven lépe než student, který tu možnost neměl. Podrobná analýza jazyka připravila potřebné nástroje pro analýzu porozumění pojmu síť krychle. 3.2 Budování porozumění pojmu síť krychle Podobně jako u jazyka i zde se pokusíme proces získávání porozumění rozčlenit do etap a stejně jako u jazyka i zde předpokládáme, že poznávací proces probíhá v souladu s principy konstruktivistické výuky. Každou ze čtyř fází posloupnosti (*) (s. 107), která je pro nás vedoucím principem, rozkládáme do etap Etapizace jednotlivých fází porozumění pojmu síť krychle Cílem první fáze posloupnosti (*) (s. 107) je získat první informace, první zkušenosti s daným objektem. Cílem druhé fáze je vybudovat co nejbohatší schéma daného pojmu. Cílem třetí fáze je postupně toto schéma strukturovat a nakonec cílem čtvrté fáze je ukončit strukturaci a rozvinout schopnost využít danou strukturu k řešení úloh. Zde se budeme podrobněji zabývat pouze první a druhou fází, protože jak je uvedeno výše, třetí fáze odpovídá druhému stupni základní školy a čtvrtá vyššímu gymnáziu. První fáze procesu porozumění pojmu síť krychle, informace, se odehrává převážně v předškolním věku a můžeme ji rozdělit do tří etap. 45 Zdeněk, již jako gymnazista, dokázal, že součet úhlů děravého mnohoúhelníku, který má k děr, je (n + 2k 2)π, kde n je počet všech vrcholů útvaru. 46 Eulerova-Poincarého věta je zobecněním Eulerovy věty pro konvexní mnohostěny a vyjadřuje vztah mezi různými charakteristikami mnohostěnů, podrobně lze najít například na 113

17 KAPITOLA 3 SÍTĚ KRYCHLE V první etapě dítě eviduje dění kolem sebe, například práci dospělého nebo staršího sourozence, který balí balík, otevírá krabici apod. Zde vzniká motivace, tj. zájem o danou činnost. Ve druhé etapě se dítě samo pokouší tuto aktivitu dělat napodobováním a experimentováním, jako je balení krabice, rozklad papírové krabice a manipulace s kostkami, hra se stavebnicí apod. Děvčátka oblékají panenky nebo zvířátka a i když se tato činnost týká geometricky amorfních objektů, přispívá přinejmenším motivačně k budoucí cílevědomější činnosti. Ve třetí etapě dochází k slovnímu doprovodu dospělého, který existující poznání v činnosti začíná měnit na poznání ve slovech. To už je ale vlastně začátek druhé fáze. Druhou fázi posloupnosti (*), schéma, také rozložíme do tří etap. Zde je stručně charakterizujeme a podrobněji se o nich rozepíšeme v odstavcích 3.2.3, a V první etapě se vytvářejí izolované modely pojmu síť krychle pomocí manipulativní činnosti s fyzikálními objekty, která je provázena metaforickým jazykem. Ten přemosťuje životní zkušenosti dětí a svět geometrie. Izolované modely sítí krychle ještě nejsou vzájemně provázány, ale již tvoří klastr informací. Ten je zárodkem budoucího schématu. Buduje se povědomost o společenství sítí. Ve druhé etapě postupně ubývá předmětnosti, snižuje se přítomnost fyzikálních objektů a podíl manipulativní činnosti a naopak se zvyšuje imaginace a přítomnost mentálních činností. Metaforický jazyk se mění na jazyk geometrický. Současně s tím se zvyšuje počet izolovaných modelů sítě krychle, vyvstává jejich vzájemná provázanost, která vede ke vzniku generických modelů, a to jak statických, tak i dynamických. Generické modely jsou první částí tvořícího se schématu sítě krychle. To je propojeno na další schéma čtvercové polymino (obr. 3.1). Ve třetí etapě dochází k systematickému budování schématu síť krychle. Žáci jsou schopni nalezený soubor sítí organizovat podle různých principů a vytvářet sítě slepováním různých polymin. Současně se rozvíjí kombinatorické schéma krychle, které je tvořeno souborem vrcholů, hran, stěn a jejich vzájemnými vazbami. Tato dvě schémata síť krychle a kombinatorická struktura krychle se propojují korespondencí 2D 3D, která vytváří své vlastní schéma. Metaforický jazyk ustupuje jazyku geometrickému. Hlavním výsledkem poznávacího procesu této třetí etapy je poznání, že v grupě izometrií existuje jedenáct sítí krychle a v grupě pohybů je sítí dvacet. I když toto poznání není přesně dokázáno, žák je o jeho pravdivosti přesvědčen nejen na základě 114

18 j 3.2 Budování porozumění pojmu síť krychle mnohého experimentování, ale i na základě různých organizací celého souboru sítí. Na obrázku 3.1 je uveden přehled všech hexamin, které jsou sítěmi krychlí. V dalším textu se na ně budeme odkazovat podle zde uvedeného označení. Každý znak se skládá z číslice 6 a písmene. Číslice 6 naznačuje, že se jedná o hexamino (označení pentamin, tetramin,, viz obr. 3.8). Označení osově souměrných hexamin se liší čárkou u písmene, například 6B a 6B. Třetí fázi posloupnosti (*), strukturaci, rozložíme do následujících tří etap. První etapa se odehrává již v rámci předchozí fáze, ve které se objevují klastry intuitivního poznání pravidelností, závislostí a argumentací. Druhá etapa spočívá ve slovním a znakovém uchopení vazeb a pravidelností žákem, resp. studentem. Zde žák využívá znalostí o slovním a znakovém vyjádření matematických jevů v aritmetice nebo kombinatorice a mění svoje intuitivní představy na představy ukotvené ve formalizovaných popisech. Žák je schopen využívat znakový jazyk k objevování nových závislostí a k popisu a organizaci souboru jevů (například udělat klasifikaci všech sítí krychle). Důležitým kritériem hodnocení kvality vyspělosti v rámci druhé etapy je schopnost žáka popsat jisté geometrické situace bez obrázků, pouze slovy a znaky. Obr. 3.1 Třetí etapa začíná v okamžiku, kdy žák či spíše student poprvé vytvoří a zapíše logicky korektní důkaz některého tvrzení. Důkaz tvrzení, že krychle má právě jedenáct sítí, jestliže nerozlišujeme sítě osově souměrné, je kritériem pro hodnocení: žák, resp. student dosáhl strukturální úrovně poznání pojmu síť krychle. 115

19 KAPITOLA 3 SÍTĚ KRYCHLE Čtvrtá fáze posloupnosti (*), struktura, jak bylo řečeno výše, je vlastně stavem, k němuž proces strukturace na konci dospěje. Slovo fáze zde asi není nejšťastnější, umožňuje však stručně popsat proces (*) Východiska naší koncepce budování pojmu síť krychle Naše koncepce vychází z kritického posouzení tradičního způsobu zavádění pojmu síť krychle, v němž je žákovi nabídnuta hotová síť krychle a jeho úkolem je pouze síť na krychli položit (viz odstavec 3.1.1). Takový žák má menší možnost rozvíjet ty oblasti matematiky, které nejsou bezprostředně spojeny s pojmem síť krychle. Žák, který síť krychle tvoří sám, musí překonávat různé překážky (i řemeslné, např. čtverce tvořené sítě mu nedrží u sebe), což mu přináší informace a zkušenosti přesahující oblast sítí krychle. Je pochopitelné, že tato práce vyžaduje více času i energie a z hlediska úzkého zaměření se na výukový cíl naučit žáky poznat síť krychle je neefektivní. Z hlediska globálního výchovně-vzdělávacího cíle rozvíjet žákův intelekt i jeho osobnost je ale tato cesta výrazně efektivnější. Například žák se naučí pracovat s chybou, držet ve svém vědomí jak hladinu intelektuální, tak hladinu manipulativní, synchronizovat intelektuální a manipulativní činnost, experimentálně hledat různé strategie řešení problému apod. Ve smyslu teze MT5 47 z (Hejný, 2007, s. 105) se zkušenosti s takovouto činností žáka ukládají do různých myšlenkových schémat, která se postupně propojují, a budou zužitkovány v míře připravenosti žáka v jistém poznávacím procesu, k němuž dojde v budoucnu. Klíčovým okamžikem pro celý proces budování schématu síť krychle je, podle našich zkušeností, první setkání žáka s tímto objektem, protože zde může jít o imprintingovou informaci. 48 Zvažme tyto čtyři alternativní možnosti tvorby prvního izolovaného modelu sítě krychle: (1) Žák dostává síť krychle a úlohou je síť vystřihnout a položit ji na krychli nebo slepit ze sítě krychli (viz například úloha v učebnici matematiky pro 4. roč. ZŠ, Prodos, s. 15). 47 Většina zkušeností, které žák nabývá, se může stát součástí několika různých schémat. Jestliže k tomu dojde, právě ty zkušenosti, které leží v různých schématech, budují propojení mezi schématy. 48 imprinting percepční vtištění, hluboká a trvalá senzibilizace jedince na soubor podnětů, znaků. imprinting je jakoby forma okamžitého učení. (Sillamy, 2001) 116

20 3.2 Budování porozumění pojmu síť krychle (2) Je dán papírový model krychle, žák jej rozřeže předepsaným způsobem a získá síť krychle (viz například učebnice nakladatelství Alter, zadní obal udělej si z krabiček síť kvádru a síť krychle ). (3) Žák dostane k dispozici krychli a šest čtverců shodných se stěnou krychle. Na podnět učitele je klade na krychli a přelepkami slepuje, aby vytvořil oblek. Některé přelepky pak odebere, aby z obleku vytvořil střih na oblek (síť krychle). 49 (4) Žák dostane k dispozici krychli a šest čtverců shodných se stěnou krychle a je vyzván, aby z nich vytvořil střih na oblek pro krychli. Přístupy (1) a (2) lze ještě variovat tím, že manipulativní činnost realizuje sám učitel a žáci pouze jeho postup sledují. V takovém případě je informace žáka o pojmu síť krychle ochuzena o přímou manipulativní zkušenost. Kvalitu takto získané zkušenosti lze testovat výzvou, aby žák sám rekapituloval celý proces nebo jej dokonce modifikoval, tj. aby sestrojil jinou síť, než byla ta, kterou udělal učitel. Žák, který si z této aktivity odnese představu, že existuje jediná síť krychle, si vytvořil jeden izolovaný model sítě krychle, ale ten ještě není součástí klastru. Žák, který si uvědomuje, že obdobných sítí krychle může být více, má již porozumění síti krychle na úrovni klastru. Naší koncepci vyhovují přístupy (3) a (4). Ty jsou však energeticky i časově daleko náročnější, než jsou přístupy (1) a (2). Navíc musí být realizovány samotnými žáky, jinak jsou didakticky neúčinné. Jejich pozitivum spočívá v tom, že síť krychle vytvoří sám žák, i když někdy s pomocí učitele nebo spolužáka. Dalším pozitivem je realizovatelnost postupu již ve 2. ročníku základní školy. Za pozitivní považujeme i skutečnost, že se ve třídě vždy objeví několik různých sítí, které ve vědomí žáků vytváří klastr budoucího schématu. Hlavní součástí rodícího se schématu je konstrukce, tj. proces tvořený dvěma složkami: oblékání (šití obleku) a rozepínání, tj. tvorba sítě krychle (střihu). Rozepínání je ta nejsložitější činnost přístupu (3). Vzhledem k věku žáků hraje důležitou roli metaforická prezentace celé situace. Na obrázku je ilustrován rozfázovaný proces rozepínání obleku a tvorba střihu na oblek. Obr V žádném z experimentů se nevyskytl problém s pojmem střih. 50 Obrázky byly vytvořeny programem na DVD, která je přílohou disertační práce (Leišner, 2003). 117

21 KAPITOLA 3 SÍTĚ KRYCHLE Přístup (4) je vhodný pro žáky, kteří již mají jisté zkušenosti s tvorbou nějakých sítí, například již někdy vytvořili krabičku nebo aspoň balili nebo rozložili krabici blízkou svým tvarem krychli. Žáci slepením několika čtverců přímo v rovině vytvoří aspoň část obleku, ten na krychli položí, pak rozloží zpět do roviny a zbylé čtverce (díly střihu) postupně přilepí, aby vznikla požadovaná síť krychle. V porovnání s přístupem (4) je přístup (3) náročnější na čas. Na druhé straně právě tento přístup umožní dítěti získat ty zkušenosti, které žák postupující přístupem (4) již má. Kladení jednotlivých čtverců na stěny krychle a slepování čtverců na dvou sousedních stěnách dává dítěti zkušenosti, z nichž se vyvinou informace o pojmech stěna, hrana, vrchol a dokonce i informace o vzájemné poloze stěn a hran, tedy o relaci kolmosti a rovnoběžnosti (všechny tyto informace u žáka postupujícího cestou (4) již předpokládáme) První etapa druhé fáze: Tvorba izolovaného modelu sítě krychle První etapa budování vlastního schématu síť krychle začíná podle naší koncepce již ve druhém ročníku základní školy. Očekáváme, že děti vstupující do první etapy mají jisté haptické i vizuální zkušenosti s krychlí a že mají vytvořen pojem krychle na úrovni generického modelu. To znamená, že žák už ví, že tvar krychle nezávisí ani na barvě stěn, ani na velikosti tělesa, ani na jeho poloze, a také ví, že kvádr (například krabice mléka) není krychlí (resp. modelem krychle). Žák také ví, že krychle je pravidelná (má mnoho rovin i os souměrnosti), má vrcholy, hrany, které jsou všechny stejně dlouhé, a stěny, které jsou všechny čtvercové. Dokáže krychli vymodelovat, aniž by ji viděl nebo vnímal hmatem. Tyto poznatky možná ještě nejsou provázeny terminologií, ale jsou už pevně uloženy ve zkušenostech. Úlohy o krychlových stavbách, kterých je v naší koncepci učebnic matematiky pro první stupeň základních škol v prvním ročníku hojně (Hejný, Jirotková, Slezáková, 2007), vybavují zkušenostmi s krychlemi i ty děti, které v předškolním věku neměly příliš zkušeností s krychlí či krychlovými stavbami. Úroveň poznání pojmu krychle lze diagnostikovat například úlohou: 118

22 3.2 Budování porozumění pojmu síť krychle Z daného souboru různých šestistěnů (hranoly, kvádry, komolé jehlany, krychle) vyber všechny krychle. Soubor těles je přitom dán buď přímo fyzikálními modely, nebo jejich obrazy (portrét, foto, graficky). V případě prezentace souboru fyzikálních modelů těles lze i požadovat, aby byla při výběru vyloučena vizuální percepce a povolena pouze haptická percepce. Dodejme, že navrhovaný přístup budování schématu síť krychle je možné zahájit i později, ve třetím, čtvrtém i pátém ročníku základní školy. Pak ale musí být upraven dynamismus výuky tak, aby odpovídal potřebám a možnostem žáků. Potom je vhodné použít alternativu (4). V dalším textu se zaměříme na proces budování sítě krychle ve druhém ročníku na základě alternativy (3). Učitel uvede metaforickou situaci: My všichni jsme zaměstnanci módního salonu, který se specializuje na šití obleků pro obyvatele Krychlova. 51 Dnes nás navštívil pan Krychle a my mu chceme nabídnout různé střihy na jeho oblek. Každý žák dostane model krychle a šest shodných čtverců, které jsou shodné se stěnou krychle, dále přelepky (kousky izolepy), pomocí nichž jednotlivé čtverce slepí a vytvoří pro krychli oblek a z něj pak střih na oblek. Řečeno metaforickým jazykem: je potřeba šest čtvercových dílů obleku sešít a pak vhodně rozepnout, aby bylo možno oblek z krychle sundat a rozložit jej do roviny. Tím vznikne střih na šaty pro krychli. Jestliže žák takto formulovanou úlohu neuchopí, nerozumí jí, učitel sám ukáže se dvěma čtverci, jak se pokládají na krychli a jak se přelepkou spojují. V této činnosti simultánně participují dvě složky intelektuální a řemeslná. Jestliže má žák problém se řemeslnou stránkou, učitel by měl žákovi pomoci. Pro práci s dětmi jsme vytvořili následující metaforickou terminologii, která se ve všech našich experimentech i při výuce pro studenty učitelství pro 1. stupeň základních škol dobře osvědčila. Bylo nutné zavést jedno slovo pro síť krychle rovinný útvar a jiné slovo pro síť, která je položena na krychli prostorový útvar. Dále bylo nutné zavést jedno slovo pro pevné spojení čtverců sítě a jiné pro ta spojení čtverců sítě, která vznikají až při tvoření krychle, eventuelně pro volné strany čtverců sítě krychle. Střih je 2D útvar čtvercové hexamino (obr. 3.1), z něhož lze složit krychli, 52 neboli síť krychle. 51 Nápad představit krychle jako obyvatele planety Krychlov pochází od učitelky ze ZŠ v Neratovicích J. Michnové. 52 Jsme si vědomi jisté nepřesnosti, které se dopouštíme v zájmu lepší srozumitelnosti v celém tomto textu. Například zde bychom místo krychle měli říci hranici modelu krychle 119

23 KAPITOLA 3 SÍTĚ KRYCHLE Oblek je 3D útvar to, do čeho je krychle již oblečena, neboli hranice krychle. Oblékání je změna: střih (2D) oblek (3D); ze střihu získáme oblek tak, že krychli do střihu oblečeme a zapneme (zazipujeme) všechny dosud nesešité strany čtverců to budou zipy. Zip (rozepnutý) je dvojice stran sítě, které se při oblečení krychle identifikují s jednou hranou do (zapnutého) zipu. Tedy termín zip používáme ve dvou významech a upřesňující adjektiva zapnutý či rozepnutý použijeme pouze tenkrát, když bude hrozit komunikační nedorozumění. Každá strana čtverce, která je hranicí sítě, je polovinou zipu (žáci v jednom našem experimentu použili termíny půlzip a půlhrana.) Svlékání je změna: oblek (3D) střih (2D); z obleku získáme střih tak, že zazipované zipy rozepneme a oblek rozložíme do roviny. Šev je společná strana dvou čtverců v síti. Ta zůstane švem i na obleku, tedy po oblečení sítě na krychli. Hrana krychle má v této metaforické terminologii dvě jména: šev, nebo zazipovaný zip. V dalším textu používáme metaforická slova již jako termíny. Žák postupně krychli obleče. Učitel jej požádá, aby oblek na některých místech rozlepil a celý pak v jednom kuse položil na stůl. Důsledně je používán metaforický jazyk. Proces rozlepování je náročnější, než byl proces slepování, protože je nutné stále hledat, které spoje je možné a rozumné zrušit. Pomoc učitele je i zde mnohdy potřebná. Nakonec každý žák svůj střih překreslí na papír. Důležité je, aby celá akce byla provázena slovy, nikoliv geometrickou terminologií, ale metaforami. Vytvořená síť je prvním izolovaným modelem budoucího schématu, prvním shlukem informací rodícího se klastru. Žáci vidí i střihy svých spolužáků. Pro některé to může být překvapení, že úloha vytvořit střih má více řešení. Pro jiné je právě toto poznání zrodem klastru, kterým začíná budování schématu. Nakonec učitel vyzve žáky, aby svoji krychli do připraveného obleku zase oblékli. Ti žáci, kteří při oblékání zjistí, že jejich řešení nebylo dobré, mohou svůj střih opravit přelepením některého dílu. Ti žáci, kteří žádný dobrý střih nevytvořili, obvykle mají potřebu dalšího pokusu. Učitel jim pomůže dojít k úspěchu a získat první zkušenost s pojmem střih. I když žák ve druhém pokusu pouze kopíruje počínání učitele, připraví se tím na opětovnou konstrukci, kterou udělá již samostatně bez intervence učitele. Zde dochází k interiorizaci předchozího imitativního postupu. Jestliže žák ani této činnosti není schopen, bude potřebovat podpůrné úlohy. Například síť, nebo alespoň model krychle. Pokud nebude hrozit nedorozumění, nebudeme rozlišovat model krychle a krychli, popřípadě hranici krychle a krychli. 120

24 3.2 Budování porozumění pojmu síť krychle kterou vytvořil imitací, nakreslí na papír, vystřihne a krychli do tohoto střihu obleče. U této činnosti je velice důležitá závěrečná fáze oblékání, tj. okamžik, kdy se dvě různé strany čtverců sítě identifikují s jednou hranou. Tento pohyb doporučujeme žákovi dělat opakovaně, aby uviděl, které přelepky na obleku krychle bude nutno později odlepit. Totéž je vhodné udělat i s jiným střihem, který udělal kamarád. V ilustraci 3.4 uvedeme jeden experiment, v němž byl tento postup testován. Experiment byl uskutečněn na základní škole v Neratovicích, v březnu Učitelky Irena Kročáková a Jitka Michnová detailně rozpracovaly scénář podle návrhu M. Hejného a D. Jirotkové. Experiment vedla učitelka Irena odpoledne po výuce v družině. Byla to pro ni první zkušenost jak s vedením experimentu, tak s žákovskou tvorbou sítí krychle. K experimentu se po výzvě přihlásily dvě kamarádky, Kamila a Kristýna z 2. ročníku. Ilustrace 3.4 Objevení sítí krychle Učitelka uvedla dívky nejdříve do situace: Rády oblékáte panenky? Vaše panenka má několik šatů a všechny jsou různé. My budeme oblékat Krychli parádnici. Dala každé dívce dřevěnou krychli, šest plastových čtverců shodných se stěnami krychle, přelepky (nastříhané kousky izolepy), velký arch papíru a pastelky (obr. 3.3). Pak dívkám ukázala na dvou plastových čtvercích, jak je mají slepovat, naznačila, jak udělat střih na šaty pro krychli a jak zkontrolovat přiložením střihu na krychli, zda je střih dobrý. Obr. 3.3 Dívky pracovaly individuálně, ale vzájemně na svoji práci viděly. Když byl střih na šaty hotov, překreslily jej na čistý papír a pak prověřily, zda tento střih krychli padne. Když střih dobře padnul, zařadily jej do katalogu střihů. Dívky pracovaly se značným zaujetím. Zpočátku jim 121

25 KAPITOLA 3 SÍTĚ KRYCHLE učitelka pomáhala s technickými problémy slepováním čtverců, ale do hledání střihů jim nezasahovala. Náhodou se stalo, že první návrh střihu obou dívek byl chybný. Učitelka je povzbudila. Řekla, že i dobrý krejčí dělá chyby. Dívky neúspěch neodradil a pokračovaly v práci. Nakonec obě dívky našly dohromady pět různých střihů. Kamilka našla tři správné a Kristýnka našla čtyři správné (obr. 3.4a, 3.4b). Nesprávné střihy byly škrtnuty zajímavým způsobem, jak vidíme na obrázcích, pečlivě třemi rovnoběžnými čárami všech tří barev, které dívky používaly k malování. Hotové střihy pak dívky vymalovaly a určily účel šatů: župan, noční košile, na nákupy, na uklízení, pyžamo (obr. 3.4a, 3.4b, 3.5). Obr. 3.4a 3.4b Stojí za zmínku, že dívky věnovaly stejnou Obr. 3.5 péči dekoraci střihů na šaty jako jejich hledání. Dekorace se skládala ze dvou činností: rozhodnutí, k jakému 122

26 3.2 Budování porozumění pojmu síť krychle účelu budou šaty používány, a pak jejich vymalování. Tato činnost se může jevit jako ztráta času. Na druhé straně právě tato činnost ukazuje, jak metaforickou situací módního salónu dívky úzce propojily svoji životní zkušenost s oblékáním panenek a budování matematického schématu. Úspěšná práce dívek působí jako trvalejší motivace pro případné další aktivity se střihy na oblek pro Krychli. Po provedení analýzy experimentu jsme nabyli přesvědčení, že experiment, ačkoliv byl uskutečněn jen jednou a jen se dvěma děvčaty, jasně ukázal, že - metaforická situace střih na šaty je pro dívky silně motivační (dívky zaujatě pracovaly po celých 50 minut), - použité pomůcky navržené učitelkami jsou dobře dostupné, finančně nenáročné a didakticky vhodné, - dívky ze 2. ročníku dokáží vytvořit pomyslné střihy a manipulací prověřit jejich správnost, - metodou pokusu a omylu žáci získávají značné zkušenosti o pojmu síť krychle. Nebylo ale jasné, zda i chlapci, pro něž metaforická situace nemusí být tak motivující, budou stejně úspěšní jako dívky. Učitelka tedy zkusila hru na oblékání pana Krychle a paní Krychle s celou třídou (květen 2004). Všichni žáci, tedy nejen dívky, ale i chlapci, pracovali se zápalem a společně odhalili během jedné vyučovací hodiny všech jedenáct sítí. Později byl podobný scénář realizován v rámci již zmíněného projektu IIATM i v dalších druhých, třetích i čtvrtých ročnících nejen v ČR, ale i v Anglii, Německu, Řecku a na Slovensku, a pokaždé velice úspěšně. Dále uvedeme dvě ilustrace z realizace v Německu. Ilustrace 3.5 Oblékání Na jednom videozáznamu z experimentu kolegy B. Wollringa z Univerzity v Kasselu (Hejný, Jirotková, 2006) je epizoda, jak dívka ze třetí třídy opakovaně obléká krychli do jedné sítě, kterou vytvořila. Důsledně se snaží o to, aby oblek přiléhal na krychli zcela přesně. Po několika pokusech, se kterými není spokojena, identifikuje spodní stěnu krychle s jiným čtvercem sítě a znovu zkouší krychli obléci tak, aby vše přesně přiléhalo, což se jí nakonec podaří. Dívka si vytváří celou sérii izolovaných modelů procesu oblékání krychle, tj. korespondence 2D 3D, které se vztahují pouze k dané síti. Pravděpodobně u jiných sítí bude také dobudovávat izolované modely. Tím, že po položení 123

27 KAPITOLA 3 SÍTĚ KRYCHLE krychle k jinému čtverci sítě krychli úspěšně oblékla, získává dívka zkušenost s tím, že proces pokládání sítě na krychli neboli oblékání závisí na první identifikaci stěny krychle se čtvercem sítě. Klastr, který se nyní vytvořil, je tvořen z deformované informace. Příčinou této deformace byl důraz na řemeslnou stránku celého procesu. Později pravděpodobně dojde ke korekci tohoto klastru, a to jak v důsledku další vlastní manipulativní zkušenosti, tak zejména v důsledku komunikace se spolužáky. Ilustrace 3.6 Fertig Chlapec (videozáznam experimentu B. Wollringa, Hejný, Jirotková, 2006a, 2007) při kontrole, zda vystřižené hexamino je sítí krychle, udělal jen jeden rychlý pokus, který ukončil rázným prohlášením fertig (hotovo). Jeho proces oblékání krychle byl jistý, evidentně mu nezáleželo na tom, se kterým čtvercem sítě identifikuje první stěnu krychle, a zjevně tvar sítě nehrál žádnou roli. Lze tedy říci, že tento proces měl žák již uchopen jako generický model činnosti oblékání krychle, což je částí schématu korespondence 2D 3D. Cílem činností oblékání střihu na krychli a svlékání obleku krychle je doplnit scházející zkušenosti o korespondenci 2D 3D. Ti žáci, kteří střih našli a jimž i kontrola střihu jeho následným oblečením na krychli dopadla dobře, mají již ve svém vědomí první izolovaný model budoucího schématu síť krychle. Tento autentický poznatek je obohacen o vědomí dalších možných řešení úlohy. Pro některé žáky může být toto vědomí výzvou k hledání dalších sítí. V našich experimentech jsme se ojediněle setkali i s žáky, kteří si již při tvorbě prvního střihu byli vědomi alternativní možnosti a pro něž je konkrétní vytvořený střih v jejich vědomí provázen jednou nebo více alternacemi. Takový model je již více než izolovaný model střihu. Reprezentuje skupinu sítí krychle, které na sebe poukazují tím, že je možné je vytvořit přilepením jednoho čtverce k několika různým stranám již vytvořené částečné sítě z pěti čtverců. To je již generický model v činnosti. To znamená, že řešitel vidí, že proces tvorby střihu má parametrický charakter Druhá etapa druhé fáze: Tvorba schémat síť krychle a korespondence 2D 3D, posílení abstrakce Přechod do další etapy, jejíž jádro v naší koncepci spočívá ve 3. ročníku, je realizován výzvou na vytvoření dalších sítí. Například se vrátíme k původní síti 124

28 3.2 Budování porozumění pojmu síť krychle vytvořené ze čtverců. Z ní žák odlepí jeden čtverec a učitel se zeptá žáka, kam jinam je možno čtverec přilepit, abychom opět dostali střih na oblek pro krychli. Žák objevuje tři další možnosti pro dolepení šesté stěny (obr. 3.6). Později, když žák uvidí všechny čtyři různé způsoby dolepení poslední stěny ve 2D prostředí sítí (obr. 3.7), začíná si vytvářet zkušenosti, z nichž se později vyvinou pravidla pro přemísťování jednotlivých dílů sítě. Těmto operacím říkáme chirurgie sítě. Obr. 3.7 Porozumění korespondence 2D 3D situací je jen velice zřídka rychlou záležitostí. Většina žáků si své představy buduje celou sérií úspěšných i neúspěšných pokusů, u nichž si třeba tužkou naznačí místa, kde je možno dolepit šestou stěnu k danému pentaminu. Opakováním popsaného procesu při hledání dalších a dalších sítí se práce žáka ekonomizuje: ubývá manipulativních činností, zvyšuje se podíl imaginativní činnosti. Poměr těchto dvou typů činností diagnostikuje, jak rychle žák buduje ve svém vědomí schéma síť krychle. 53 Dodejme, že popsané budování schématu sítě krychle je provázeno budováním dynamické složky schématu tvorby sítě krychle. Schéma síť krychle i schéma korespondence 2D 3D se rozvíjí sérií různorodých úloh, v nichž je kladen důraz na nenásilné utlumení použití 53 V aritmetice tomu odpovídá přechod od řešení = 5 pomocí prstů k řešení v představě. 125

29 KAPITOLA 3 SÍTĚ KRYCHLE fyzického modelu a na posílení řešení úloh v imaginaci. Postupně imaginace převezme rozhodující část řešení a žák využívá fyzický model krychle jen výjimečně. Někteří žáci však ani ve 3. ročníku nejsou schopni korespondenci 2D 3D realizovat bez modelu. Těm žákům je samozřejmě nutno model ponechat bez jakéhokoliv tlaku na přechod k imaginaci. Takové počínání učitele by vedlo ke zpomalení nebo úplnému zastavení procesu budování schématu síť krychle a dokonce i k demotivaci žáka. Úlohy zaměřené na budování schématu síť krychle simultánně připravují informace pro budování schématu kombinatorická struktura krychle. Klíčovými pojmy této struktury jsou objekty vrchol, hrana, stěna a série vztahů typu sousední vrcholy, dipodální vrcholy, kolmé a rovnoběžné hrany, rovnoběžné stěny, incidenční vazby atd. Podrobně je obsáhlý úlohový materiál didakticky zpracován v (Hejný, Jirotková, 2006a, 2007). Schéma korespondence 2D 3D obsahuje sérii následujících dynamických představ a poznání: - pokládání sítě na krychli, - poznání nezávislosti této činnosti na vstupní identifikaci čtverec sítě (stěny), - poznání, že není-li možné do daného hexamina obléci krychli při jedné identifikaci čtverec sítě, nebude to možné ani při žádné další identifikaci, a že takové hexamino není sítí, - chirurgie na sítích, - grupování sítí. Utlumování používání fyzického modelu a posilování imaginativní složky běžně probíhá následovně: Při tvorbě sítě z volných čtverců žák slepí část sítě v rovině a až poslední čtverec dolepuje s využitím modelu krychle. Například žák vytvoří obdélník 4 1 a ten položí na krychli jako plášť. Pak jej opět položí do roviny a k němu pak přiloží obě další stěny. Vytvořený střih pak kontroluje položením na krychli. Model krychle je zde jen pomocný a mnohé činnosti probíhají v představách. Hotová síť je na krychli položena jen pro kontrolu. Alternací postupu tvoření sítě z volných čtverců je tvorba sítě z jiných dílů než čtvercových z bimin, trimin, tetramin a pentamin (obr. 3.8). Úlohy na toto téma jsou formulovány v odstavci V ilustraci 3.7 je uveden fragment experimentu, kdy žáci tvořili sítě krychle z těchto dílů. 126

30 m 3.2 Budování porozumění pojmu síť krychle Obr. 3.8 Ilustrace 3.7 Petr V experimentu J. Michnové (2005) je žákům 4. ročníku předložena krychle a sada tetramin, trimin a bimino a v metaforické situaci (planeta Krychlov a oblékání krychlí) řeší úlohu: Vyberte si dva vhodné díly a z nich složte střih na oblek pro Krychli. Střih nakreslete na čtverečkovaný papír. Pak Krychli do obleku oblečte a ověřte, zda jste našli dobrý střih. Hledejte co nejvíce různých střihů, které můžete vytvořit z daných dílů. Žák Petr vytvořil z tetramina 4B a bimina obdélník 2 3 a nakreslil jej na čtverečkovaný papír. Pak na vytvořené hexamino přiložil krychli a pokusil se krychli do něj obléci. Pokládal krychli na různá místa, na různé čtverce a po celou jednu minutu to opakovaně zkoušel. Zjistil, že to nelze. Nakonec nakreslený obdélník přeškrtnul a napsal na něj NE (obr. 3.9). 127

31 KAPITOLA 3 SÍTĚ KRYCHLE Obr. 3.9 Uvedené poznání se opět vztahuje pouze na jeden konkrétní případ hexamina, které není sítí. Petr však na základě této zkušenosti mění strategii řešení úlohy. Oddělil tetramino od bimina a nejdříve na krychli položil tetramino. Pak na dvě zatím nepokryté stěny krychle přiložil i bimino. Opatrně to pak rozložil do roviny a získal střih, který překreslil na čtverečkovaný papír. Tato změna strategie má pravděpodobně již generický charakter, protože je posílena změnou neúspěchu na úspěch. Jeho neúspěch byl zvědoměn tím, že hexamino 2 3 na čtverečkovaném papíru škrtnul a slovo NE napsal dvakrát, na něj i nad něj. To, jakým způsobem to udělal a s jakým nasazením se pustil do další práce, svědčí o tom, že tato chyba nebyla pro Petra ničím negativním a naopak jej povzbudila k dalším pokusům. 54 V této etapě učitel upozorní na společenství všech sítí. Může to udělat například tak, že zřídí zvláštní výstavku, kam se průběžně doplňují všechny nově objevené exempláře. Jednotlivé exponáty této výstavy jsou nejdříve řazeny v tom pořadí, jak se objevovaly. Výstava sítí obvykle vyvolá ve třídě diskusi o stejnosti, resp. různosti některých sítí. Učitel na základě diskuse požádá žáky, aby výstavu nějak přeorganizovali. První hledisko organizace sítí bývá dát k sobě sítě, které jsou tvarem shodné. Žáci pochopí, že stejnou síť není nutno uvádět opakovaně, že stačí jeden její reprezentant. Zajímavý problém může vzniknout se sítěmi nepřímo shodnými, které, jsou-li nakresleny na papíře a nejsou-li vystřiženy, mohou být považovány za různé. Jsou-li ale vystřiženy, mohou být položením na sebe snadno identifikovány jako shodné. Učiteli lze doporučit, aby výstavu dělal 54 Uvědomění si vlastní chyby urychluje proces poznávání (Hejný, Michalcová, 2001, s. 56; Kulič, 1971). Učitel, který žáky vede k takovému uvědomování si chyb, napomáhá i jejich osobnostnímu rozvoji. 128

32 3.2 Budování porozumění pojmu síť krychle z vystřižených sítí a vyhnul se tak problému s nepřímo shodnými sítěmi. Tento problém je z hlediska geometrie významný, ale k jeho otevření je dosti času ve 4. nebo v 5. ročníku. Předpokládáme tedy, že na nástěnce zůstalo ne více než 11 neshodných sítí. Příkladem organizace, která vychází ze zkušeností, a to manipulativních ve 3D, může být například soubor čtyř sítí krychle na obrázku 3.10, které vznikly dolepením šestého čtverce (vyznačen bíle) k pětidílnému obleku (vyznačen šedivě), jak je již výše uvedeno. Společenství těchto čtyř sítí krychle (6G, 6H, 6K, 6J obr. 3.1) je vázáno jedním společným pentaminem 5D (obr. 3.8). Obr Tato organizace je podložena osobní zkušeností, a je tedy silně individuální. Pravděpodobně k ní nedojde při skupinové práci. Učitel může k organizaci tohoto typu žáky přímo vyzvat: Zvolte jedno takové pentamino, ze kterého lze složit krabičku bez víka. Z něj dolepením jednoho čtverce vytvořte všechny možné sítě. Příkladem organizace sítí nahlížených jako 2D objekty je soubor následujících tří sítí na obrázku Do této skupiny vybral žák všechny dosud objevené sítě, které obsahují obdélník 4 1. Všechny tři sítě na sebe vzájemně poukazují a vedou k objevení generického modelu: K obdélníku 4 1 (např. ve svislé poloze) přilepím jeden čtverec zleva a jeden zprava tím vznikne síť. V tomto případě je nové poznání nejenom skupinou k sobě patřících izolovaných modelů, ale je to generický model. Umožní totiž najít další prvky souboru (obr. 3.12) a navíc umožní nahlédnout, že jiné sítě tohoto typu krychle nemá. Obr

33 KAPITOLA 3 SÍTĚ KRYCHLE Druhé hledisko organizace může vycházet buď ze zkušeností, které žák získal při hledání sítí, nebo ze souboru sítí jako 2D objektů umístěných na jedné nástěnce. Obr Ilustrace 3.8 Organizace sítí krychle Úlohu nalézt všechny možné sítě krychle a roztřídit je řešili v rámci zmíněného mezinárodního projektu IIATM i studenti primární pedagogiky na univerzitě v Kasselu (Německo). Rozhodli se považovat dvě navzájem osově souměrné sítě za různé. Pozorovali, že tyto dvě sítě spolu souvisí, a pro vyjádření vztahu mezi nimi použili objevnou myšlenku: dali jim taková vlastní jména, která se odlišovala pouze tím, že jedno bylo ženské a druhé mužské (např. Mario, Maria, obr. 3.13). Existují právě dvě sítě 6A a 6F (obr. 3.1), které jsou samy o sobě symetrické, a tudíž 6A = 6A, 6F = 6F. Pro tyto sítě studenti z Kasselu použili jména Otto a Anna (obr. 3.13) Čtenář si jistě všiml, že i vysokoškolští studenti, budoucí učitelé, tvoří chybné sítě krychle. 130

34 3.2 Budování porozumění pojmu síť krychle Obr Malým stínem na vtipnosti tohoto metaforického pojmenovávání je fakt, že dvě odlišné zásady jsou použity pro vyjádření myšlenky symetrických párů: pro symetrický pár mužské-ženské jméno, pro symetrické individuum palindromické jméno. Žák pracuje již se všemi jedenácti sítěmi krychle (obr. 3.1) a řeší problémy, například hledá osy a středy souměrnosti, hraje hru SOVA, řeší úlohy. Hlubšími strukturačními poznatky jsou pravidla, například pravidlo, jak sestrojit všechny sítě, které obsahují obdélník 4 1. V žákově vědomí se na základě jeho předchozích zkušeností utvoří jedna nebo více skupin sítí, jejichž vnitřní provázanost lze označit termínem generický model. Soubor všech jedenácti sítí krychle je tak různorodý, že nepřipouští žádný konkrétné generický model. Připouští generický proces tvorby sítě (postupné přilepování jednotlivých čtverců), ale statický generický model zde nenajdeme. Přesto obdélník 4 1 se dvěma pohyblivými čtverci po jednom na každé straně je generickým modelem aspoň části souboru sítí. Nebo také pentamino 5D (obr. 3.8) se čtyřmi zdůrazněnými úsečkami na hranici sítě, k nimž lze přilepit poslední čtverec (obr. 3.7), je dalším generickým modelem. Generickým modelem je ale také poznání: jestliže některé hexamino není sítí při jedné identifikaci čtverec sítě stěna krychle, pak není při žádné jiné, a to znamená, že dané hexamino není sítí krychle. Z uvedené různorodosti souboru sítí vyplývá, že i další úlohy, které se k síti krychle vztahují (např. barvení hran, vrcholů a stěn, popisování vrcholů, ), 131

35 KAPITOLA 3 SÍTĚ KRYCHLE nebudou mít algoritmické řešení vhodné pro všechny sítě. Hledání obecných řešitelských strategií těchto úloh vede k hledání lokálních zákonitostí platných pro všechny sítě. Takové zákonitosti samozřejmě existují, například každá síť má pět švů a sedm dvojic zipů. Schéma pojmu síť krychle je na jedné straně rozsahem malé (pouze jedenáct jedinců), na druhé straně je svou podstatou tak různorodé, že vytváří didakticky ideální prostředí pro rozvoj (nejen) geometrické tvořivosti žáka Třetí etapa druhé fáze: Tvorba schématu sítě krychle s prvky strukturace Tato třetí etapa procesu budování schématu síť krychle probíhá podle naší koncepce ve 4. a 5. ročníku základní školy. Když hlavním představitelem schématu sítě krychle je představa generického modelu sítě (v činnosti), resp. více nebo všech jedenácti sítí (obr. 3.1) a proces oblékání krychle do obleku je pouze pod povrchem, dochází ve vědomí žáka k výrazné re-schematizaci. Mnohé úlohy formulované ve 3D vztahující se k vrcholům, hranám a stěnám krychle, které jsou projektovány do její sítě jako vrcholy čtverců sítě, strany čtverců sítě (zip a šev) a čtverce, nejsou řešeny v kontextu 3D, ale v kontextu 2D. Rozpracováním schématu 2D 3D korespondence je možné žáky již na základní škole pozvolna vést ke strukturálnímu porozumění pojmu síť krychle. To znamená, že žák dokáže řešit i náročnější úlohy, například ty, které jsou uvedeny v (Hejný, Jirotková, 2006a, 2007) pro úroveň C (žáci ve věku let). Někteří žáci zvládají tyto úlohy bez použití modelu krychle, to znamená, že kromě kvalitního geometrického myšlení mají i rozvinutou geometrickou představivost (Jirotková, 1990). 3.3 Úlohy a jejich implementace Předchozí úvahy, v nichž jsme popisovali návrh kurikulární strategie vývoje geometrického jazyka a geometrického porozumění, byly úzce zaměřeny na pojmy krychle, síť krychle a jejich 2D 3D korespondenci. Zúžený rozsah geometrických objektů nám umožnil efektivně popsat obecnější zákonitosti. Na druhé straně nebyl dán prostor pro bohatost dalších geometrických jevů. Uvedený nedostatek odstraníme v tomto odstavci tím, že ve třinácti tématech a v početné řadě úloh představíme další geometrické objekty, vztahy a situace. Následující soubor třinácti příkladů a řady úloh nepředstavuje tradiční sbírku úloh s didaktickými komentáři, ale materiál, který umožní učiteli tvůrčím 132

36 3.3 Úlohy a jejich implementace způsobem proniknout jak do geometrické, tak didaktické hladiny příslušné problematiky. Bohatost nabídky umožní učiteli volit takové konkrétní úlohy, které jsou blízké jeho geometrickému vkusu. Po organizační stránce je kapitola zpracována tak, že nová myšlenka je uvedena v řešené úloze, což zde uvádíme jako příklad, 56 a je doplněna početnou řadou úloh. Příklady i další úlohy jsou doprovozeny mnoha věcnými i didaktickými komentáři, občas jsou uvedeny i výzvy pro čtenáře, které jej orientují k samostatné tvůrčí případně i výzkumné práci, ať již matematické, nebo didaktické. Témata obsahují tyto nosné myšlenky: Téma 1: Seznámení se s korespondencí 2D 3D, zejména vztah čtverec stěna krychle Téma 2: Tvorba sítě krychle Téma 3: Pojem polymina; polymino jako stavební prvek sítě krychle Téma 4: Skládání a rozkládání polymin, tj. chirurgie polymin Téma 5: Příbuznosti na množině sítí Téma 6: Vazby mezi stěnami krychle a jim odpovídající vazby mezi čtverci sítě krychle Téma 7: Tvorba pravidel o stěnách krychle v její síti Téma 8: Vazba mezi vrcholem a stěnou Téma 9: Zákonitosti o vztazích mezi vrcholy krychle Téma 10: Pojmenování vrcholů sítě krychle Téma 11: Tvorba pravidel pro vrcholy sítě Téma 12: Vazby mezi hranami na krychli Téma 13: Vazby mezi hranami na síti krychle Seznámení se s korespondencí 2D 3D, zejména vztah čtverec stěna krychle Příklad 1 Je dán model krychle. Na každé stěně je nějaký obrázek. Obrázky jsou různé (obr. 3.14). Dále je dáno šest čtverců shodných se stěnou krychle a se 56 Někdy je potřeba se v textu odvolat pouze na zadání a nikoliv na zadání s řešením, odvoláváme se tedy např. na úlohu 2, která se nalezne pod nápisem Příklad

37 KAPITOLA 3 SÍTĚ KRYCHLE stejnými obrázky, jako jsou na stěnách krychle. Přilepte každý čtverec na odpovídající stěnu krychle, tj. na stěnu se stejným obrázkem. Obr Úloha připravuje konstrukci sítě krychle. Dítě získává zkušenosti s přiřazováním šesti čtverců k šesti stěnám tím, že čtverce lepí přesně na stěny. Jako poznání v činnosti se vytváří ve vědomí dítěte izolované modely kombinatorických vztahů průvodních jevů krychle: krychle má šest stěn; strana čtverce přesně lícuje s hranou krychle; ke každé hraně krychle přilehnou strany dvou čtverců; ke každému vrcholu přilehnou vrcholy tří čtverců; ke každé stěně existuje jedna k ní protilehlá (s ní rovnoběžná); krychle má hrany a ty jdou do tří směrů ; směry jsou navzájem kolmé; sousední stěny krychle jsou navzájem kolmé; Když sledujeme dítě při řešení této úlohy, můžeme diagnostikovat úroveň jeho myšlení například tím, jaké parametry úlohy uvažuje. V úloze musí řešitel sledovat tyto tři parametry: I. (geometrické) lepení čtverce na stěnu řemeslná stránka; II. správné přiřazení obrázku na čtverci k obrázku na stěně (nota na notu apod.); III. souhlasná orientace obou obrázků. Dítě, které správně zohlední všechny tři parametry, je připraveno řešit náročnější úlohy, například úlohy 1d) 1k) (na další straně). Dítě, které některý z parametrů nerespektuje, potřebuje buď další úlohy tohoto typu, anebo úlohy snazší, jako například úlohy 1a), 1b), 1c). Jestliže dospělý, který sleduje práci dítěte, vstupuje do jeho řešitelského procesu v dobrém úmyslu urychlit proces učení se (například tím, že upozorní dítě na potřebu souhlasně orientovat ikony na přilepovaném čtverci a na stěně), dosáhne pravděpodobně svého cíle, ale zpomalí rozvoj metakognitivních schopností dítěte, a sice hodnotit výsledky své práce a popřípadě je korigovat. Jestliže je úloha řešena se žáky ve třídě, pak vzájemná pomoc žáků nemusí být 134

38 3.3 Úlohy a jejich implementace brzdou rozvoje metakognitivních schopností jednotlivce, protože pomoc kamaráda nemívá autoritativní charakter. Při řešení úlohy získává řešitel poznání v činnosti. Je-li průběh řešení obohacen o slovní doprovod, je toto poznání posouváno k poznání v pojmech. Způsob, kterým se tak děje, významně ovlivňuje kvalitu žákova geometrického poznání jako takového i jeho komunikačních schopností. Učitelovo osvětlování termínů způsobem například: Tuto úsečku nazýváme hrana. je nejméně žádoucí. Vhodnější je, když dospělý slovně komentuje počínání dítěte například: Ten čtverec se ti povedl přilepit na stěnu velice pěkně. Hezky ti lícuje hrana krychle se stranou čtverce. Ještě lepší je, když žáci pracují ve skupině a o své práci rozmlouvají. V takové komunikaci se běžně objeví nepřesný nebo deformovaný termín. Pokud si učitel takového termínu všimne, opakuje pak žákovu větu, aniž by na chybu upozornil, ale chybný termín nahradí správným. Poslední situaci můžeme navodit tak, že jedno dítě druhému slovně popisuje, co má udělat. Tuto aktivitu známe jako hru Vysílač-Přijímač (Hurtová, 1991). 57 Je rozumné, aby za vysílače byl volen žák komunikačně i geometricky vyspělý. Tento problém buduje žákovu schopnost poznat, že nejdříve je jeden objekt čtverec a po tom, co se přilepí na stěnu krychle, se z něj stane stěna. Dítě má již zkušenosti s tím, že jedna osoba může být otcem ve vztahu k jisté osobě, synem ve vztahu k jiné osobě, manželem ve vztahu k nějaké další osobě atp. Je možné podpořit žákovu schopnost porozumět tomu, že čtverec se stane po přilepení na krychli stěnou, doprovodným komentářem: Nyní přilepíme čtverec na krychli, dobře, A teď se ten čtverec stal stěnou krychle. Úlohy První tři úlohy vycházejí z úlohy 1 (v příkladu 1) a zjednodušují podmínky pro práci řešitele. Nebudeme opakovat celou úlohu a uvedeme pouze ty podmínky úlohy, které jsou změněné. Ú1a) Na modelu krychle ani na čtvercích nejsou žádné znaky. Ú1b) Stěny krychle i čtverce jsou obarveny 6 různými barvami. Ú1c) Pět stěn krychle i pět čtverců je obarveno (barvy jsou různé). Na šesté stěně a stejně tak na šestém čtverci je obrázek, který je osově souměrný podle α) všech čtyř os stěny; β) právě dvou os stěny; γ) právě jedné osy stěny; δ) žádné osy. 57 Hra vysílač-přijímač je též rozpracována ve studijním textu Hejný, Jirotková, Slezáková, 135

39 KAPITOLA 3 SÍTĚ KRYCHLE Úlohy 1a) 1c) jsou gradovány tak, aby dovedly žáka k řešení úlohy 1 (v příkladu 1). Gradace spočívá v tom, že v každé další úloze je potřeba vzít v úvahu další parametr zmíněný v komentáři k příkladu 1. V úloze 1c) vstupuje do hry další, čtvrtý parametr, který umožní úlohu dále obměňovat a vytvářet náročnější úlohy. Je to IV. počet nesymetrických obrázků na stěnách a na odpovídajících čtvercích. Následující úlohy gradují úlohu 1 (z příkladu 1) do náročnějších obměn. Uvedeme pouze obměněný parametr. Ú1d) Model krychle je nahrazen jejím portrétem (fotografií nebo náčrtem). Obrázky na všech stěnách je nutné zobrazit pomocí tří portrétů z různých pohledů na krychli tak, jak je to připraveno v příkladu 1 na obrázku Ú1e) Jsou dány pouze dva portréty krychle, na nichž je zobrazeno pět stěn. Šestá stěna není vidět, ale šestý obrázek je dán. Pokud nebude obrázek na šesté stěně souměrný podle nějaké osy stěny, nabízí se rozšíření úlohy o otázku z kombinatoriky na počet řešení. Ú1f) Obrázek je na více než jedné stěně nějakým způsobem neurčen (obrázek je například rozmazán, krychle je zobrazena třeba jen v levém a pravém nadhledu, apod.). Ú1g) Je dán pouze jeden portrét krychle a informace o umístění dalších obrázků jsou popsány slovně. Například uvažujme levý portrét krychle z obrázku Další informace jsou: Naproti srdíčku je hvězda. Trojúhelník je na sousední stěně s notou. Nebo obtížnější formulace obsahující negaci: Sluníčko není na sousední stěně s notou. Ú1h) Žádná informace o umístění obrázků není vizuální, všechny jsou pouze slovní. Například: Nota sousedí se srdíčkem, hvězdou, trojlístkem a trojúhelníkem. Na protilehlé stěně ke hvězdě je srdíčko. 58 Poslední úlohu lze ještě gradovat používáním negace. Například: Ú1i) Sluníčko nesousedí s notou. Srdíčko není naproti trojúhelníku. 58 Termín protilehlá je zaveden v odstavci

40 3.3 Úlohy a jejich implementace Ú1j) Obrázky na stěnách mají dva parametry například barvu a tvar (číslice): 1-modrá, 1-červená, 2-modrá, 2-červená, 3-modrá, 3-červená. Umístění obrázků na stěny je dáno těmito podmínkami: protilehlé stěny mají různé barvy a součet čísel je 4. Ú1k) Obrázky na stěnách mají dva parametry, barvu (modrá, červená, zelená) a tvar (číslice 1, 2, 3). Jsou to: 1-modrá, 1-červená, 2-zelená, 2-červená, 3-modrá, 3-zelená. Umístění obrázků na stěny je dáno těmito podmínkami: Žádné dvě stejné barvy ani žádná dvě stejná čísla nejsou proti sobě. Tyto obměny přenáší těžiště problémů z oblasti geometrie do oblasti logiky i do oblasti kombinatoriky, resp. pravděpodobnosti, jestliže se ptáme na počet všech řešení. Řešení těchto úloh však není z hlediska geometrie ztrátové, neboť si žáci interiorizují informace uvedené v komentáři k příkladu 1. Tyto úlohy nelze zařadit do první etapy. Výzva Zvolte jistý malý počet úloh z dané oblasti a vytvořte seznam: - chyb, jichž se žáci dopouští při řešení těchto úloh. Hledejte příčiny chyb a reedukační postupy, jimiž žák vlastní chybu objeví, najde její příčinu a způsob odstranění této příčiny. - řešitelských strategií, které žáci při řešení těchto úloh používají Tvorba sítě krychle Příklad 2 Navrhněte síť krychle, máte-li k dispozici model krychle, šest čtverců shodných se stěnou modelu krychle a pomocný materiál (přelepky v dostatečném množství, rýsovací potřeby a nůžky). Příklad 2 je formulován v geometrickém jazyku. Pro žáky je vhodnější formulovat tuto úlohu v jazyku metaforickém, který je popsán v odstavci Příklad 2 je vstupní úlohou, která otevírá pojem síť krychle způsobem zmíněným již v alternaci (3) v odstavci a rozepsaným v odstavci Detailně je postup dvou dívek, které společně vytvořily pět různých střihů na šaty pro Krychli, popsán v ilustraci 3.4 (s. 121). 137

41 KAPITOLA 3 SÍTĚ KRYCHLE V následujících obměnách úlohy 2 budeme mluvit o objektech, které lze vnímat jako neúplné krychle. Zvolíme pro ně opět takové metaforické názvy, které by tyto geometrické objekty propojovaly se životními zkušenostmi žáka. Jsou to například kout na obrázku 3.15a, jeviště na obrázku 3.15b a pokojíček nebo krabice bez víka na obrázku 3.15c. Učitel zvolí způsob, jak s těmito objekty žáky postupně seznámit. Například vytvoří model prázdné krychle, z níž může jednotlivé stěny postupně odebírat, nebo může použít místnost, ve které se vyučuje, a na ní modelovat jednotlivé objekty, nebo může objekty nakreslit tak, jak jsou uvedené na obrázcích 3.15a, b, c. Obr. 3.15a 3.15b 3.15c Uvedeme čtyři parametry umožňující obměny úlohy 2 (v příkladu 2): I. Co se má vyrobit: (a) střih na kout (b) střih na jeviště (c) střih na pokojíček (d) střih na šaty pro krychli, tj. síť krychle II. Materiál, který má žák k dispozici (kromě materiálu pomocného): (a) odpovídající počet shodných čtverců z pevného materiálu (karton, plast) (b) větší množství různě velkých čtverců, z nichž alespoň odpovídající počet je shodných (c) arch tvrdého papíru, na němž jsou vyznačeny čtverce v příslušné velikosti (d) arch tvrdého čistého papíru III. V jaké formě je cílový objekt přítomen: (a) taktilně dostupný model objektu (b) vizuálně dostupný, ale taktilně nedostupný model objektu (c) portrét objektu (d) nic IV. Jaký počet řešení je požadován: (a) jedno řešení 138

42 3.3 Úlohy a jejich implementace (b) více řešení (c) co nejvíce řešení (d) všechna řešení Každý z uvedených parametrů má čtyři náročností odstupňované položky. Položka (a) je vždy nejsnazší a položka (d) je nejnáročnější. Parametry úlohy 2 (v příkladu 2) jsou I(d), II(a), III(a), IV(b). Jestliže v úloze 2 obměňujeme čtyři uvedené parametry, můžeme teoreticky vzato vytvořit celkem 256 úloh. Jejich obtížnost je určena součtem obtížností všech tří parametrů. Tato variabilita umožňuje učiteli individuální přístup k žákům odlišné úrovně geometrického myšlení. Motivačně je možné parametry I(b), resp. I(c) úlohy 2 propojit s konstrukcí pokojíčku pro panenku (pro dívky), do kterého pak žáci dokreslí vybavení jako například koberec na podlahu, obraz na stěnu, lampu na strop,., nebo spací vak pro pana Krychli. Na obrázku 3.16 vidíme jeden výsledek práce žáků 4. ročníku základní školy v Neratovicích vedených naší spolupracující učitelkou J. Michnovou, kdy si žáci zařizovali pokojíčky. Obr Učitelka navíc opatřila střihy na pokojíky provázky tak, aby se po zatažení provázku střih složil na pokojík. Takto připravená práce byla pro žáky velice motivující. Náročnější varianta úlohy, kterou žáci řešili, je úloha Ú6e) na s Parametry II(a) a II(b) lze dále diferencovat. Například: - Všechny čtverce, z nichž budou žáci tvořit sítě, má učitel na svém stolku. Učitel vyzve žáky: Vezměte si tolik čtverců, kolik nutně potřebujete, ale pamatujte, aby se dostalo na každého. Tato sociálně orientovaná výzva 139

43 KAPITOLA 3 SÍTĚ KRYCHLE nutí žáky, aby si uvědomili, že na výrobu sítě krychle potřebují právě šest čtverců, na výrobu pokojíku pouze pět čtverců atd. - Učitel navíc může nabízet takovýmto způsobem čtverce různých velikostí a vést žáky k tomu, aby si uvědomili význam shodnosti čtverců, s nimiž pracují. - Použije-li učitel různobarevné čtverce, může tím některým žákům úlohu dále komplikovat, protože tito se při výběru budou spíše orientovat podle barvy než podle velikosti. - Je-li žákům dán k dispozici model krychle (resp. koutu, jeviště, pokojíčku), pak dalším prvkem, kterým lze variovat náročnost, je poměr velikostí modelu a nabízených čtverců. Když řešíme úlohu 2 (v příkladu 2) ve třídě, najdou žáci zcela pochopitelně více řešení. Když pak jednotlivá řešení překreslíme na tabuli nebo je vystřižená z papíru vystavíme na nástěnku, vyvolá tato skutečnost u většiny žáků potřebu hledat další sítě. Z hlediska parametru IV proběhne gradace od (a) do (c) zcela spontánně. Když pracujeme ve 2. nebo ve 3. ročníku, objeví se nakonec na nástěnce všech jedenáct sítí (viz ilustrace 3.4 z odstavce 3.2.3, s. 121). Neúspěšné hledání dalších sítí vede pak některé žáky k přesvědčení, že více sítí krychle neexistuje. To je intuitivní úroveň parametru IV(d). Ve 3. ročníku je možné aspoň některé žáky dovést k poznání, jak uvedené intuitivní tvrzení lépe argumentačně zdůvodnit. O tom bude diskutováno dále u příkladu 4 v odstavci Žák, který tvoří síť krychle svlékáním obleku z krychle, získává zkušenost s tím, že síť lze položit na krychli. Záhy zjistí, že je mnoho způsobů, jak síť na krychli položit. U některých úloh ale záleží na tom, který způsob položení je použit. To se týká úloh o barvení ať již stěn krychle a odpovídajících čtverců sítě, nebo vrcholů krychle a jim odpovídajících vrcholů čtverců sítě, nebo hran krychle a jim odpovídajících stran čtverců sítě. Budeme-li potřebovat vyjádřit, že mezi krychlí a její sítí je pevně dáno jedno přiřazení stěn krychle čtvercům sítě, řekneme, že je dáno přiřazení sítě krychli. Když je takové přiřazení dáno, je každému vrcholu čtverce sítě jednoznačně přiřazen vrchol krychle, každé straně čtverce sítě je jednoznačně přiřazena hrana krychle a každému čtverci sítě je jednoznačně přiřazena stěna krychle. Úlohy První tři úlohy mají žákovi umožnit vhled do dané problematiky tak, aby byl schopen samostatně řešit úlohu 2. Žák má vždy k dispozici potřebný pomocný 140

44 3.3 Úlohy a jejich implementace materiál. Za textem úlohy je uvedena charakteristika úlohy z hlediska parametrů I IV. Ú2a) Navrhněte jeden nebo více střihů na jeviště, máte-li k dispozici model krychle a čtyři čtverce shodné se stěnou krychle. (I(b), II(a), III(a), IV(b)) Ú2b) Vytvořte střih na kout, máte-li k dispozici vizuálně dostupný a taktilně nedostupný model krychle, tři malé a dva velké čtverce. (I(a), II(b), III(b)) Ú2c) Vytvořte jeden nebo více střihů na pokojík, máte-li k dispozici pouze portrét pokojíku a čtvercový papír s 3 3 čtverci. (I(c), II(c), III(c), IV(b)) Následující úlohy gradují příklad 2 do náročnějších obměn: Ú2d) Vytvořte jeden nebo více střihů na pokojík, máte-li k dispozici pouze čistý papír. (I(c), II(d), III(c), IV(b)) Ú2e) Vytvořte jeden nebo více střihů na šaty pro krychli, máte-li k dispozici pouze portrét krychle a čtvercový papír s 3 4 čtverci. (I(d), II(c), III(c), IV(b)) Úloha 2a) má tři řešení 4B, 4C a 4D. Úloha 2b) má jediné řešení 3B. Úloha 2c) i 2d) má osm řešení 5B, 5C, 5D, 5E, 5F, 5G, 5K, 5L (obr. 3.8). Úloha 2e) má jedenáct řešení (obr. 3.1, s. 115) Polymino jako stavební prvek sítě krychle Předpokládáme, že žáci již mají (například na nástěnce) seznam všech jedenácti sítí 6A 6K z obrázku 3.1. Zatím ale neobjevili důkaz toho, že další sítě neexistují. Metodu důkazu neexistence dalších řešení začneme připravovat již v tomto odstavci. O hlavním nástroji důkazu metoda vyčerpávání všech možností budeme diskutovat až v odstavci Příklad 3 Zjistěte, které ze sítí krychle 6A 6K (obr. 3.1) je možné vytvořit slepením tří bimin 2A. Je dán model krychle a tři bimina 2A (obr. 3.8). (Řešení je uvedeno níže.) Připomínáme, že polymino je rovinný útvar, který je vytvořen slepováním shodných čtverců tak, že se slepují vždy celé strany k sobě a čtverce se 141

45 KAPITOLA 3 SÍTĚ KRYCHLE nepřekrývají. Slepením k čtverců vytvoříme k-mino. Didaktické úvahy o slově slepování jsou uvedeny v odstavci a matematicky přesně jej vymezuje definice 4 v odstavci 3.5. Jak vidíme na obrázku 3.8, existuje jedno monomino (1A), jedno bimino (2A), dvě trimina (3A, 3B), pět tetramin (4A, 4B, 4C, 4D, 4E) a dvanáct pentamin (5A,, 5L). Jako v příkladu 2 je vhodné pro žáky formulovat tuto úlohu v metaforickém jazyku. Jednotlivá bimina budou opět díly hledaného střihu na šaty pro paní Krychli. Jsou dvě různé řešitelské strategie této úlohy: Přímá žák pokládá daná bimina na krychli a vytvoří jejich slepením oblek. Ten pak vhodně rozlepí, aby jej bylo možné rozložit do roviny. Strategie je přímo propojena s předchozí činností žáka, ve které model krychle hraje klíčovou roli. Touto strategií je však obtížné najít všechny požadované sítě krychle. S využitím souboru sítí krychle žák k práci nepotřebuje model krychle a pohybuje se pouze v prostředí 2D. Postupně bere sítě 6A,, 6K (obr. 3.1) a každou se snaží pokrýt trojicí bimin na způsob tangramů. Tato strategie umožňuje argumentačně zdůvodnit, že byla nalezena všechna řešení. Je-li úloha 3 řešena ve třídě, je skoro jisté, že žáci najdou sítě 6B, 6D, 6G, 6I, 6J a 6K. Někteří dodají, že další sítě tak vytvořit nelze. V této větě žák informuje o svých předchozích neúspěšných pokusech vytvořit sítě 6A, 6F, 6H ze tří bimin. Vyspělejší žák má potřebu zdůvodnit poslední tvrzení. Lze očekávat, že žák bude formulovat svůj argument slovy: Když to bimino položím takto (ukazuje na dva čtverce sítě na obrázku 3.17 šedivý a čtverec označený u), tak tento čtverec (ukazuje na čtverec označený v) již pokrýt nemohu. Když ale to bimino položím takto (ukazuje na čtverce šedivý a v), tak tento čtverec (ukazuje na čtverec u) zůstane nepokryt. Těmito slovy žák verbalizuje své právě získané manipulativní zkušenosti, a tím mění své poznání v činnosti na poznání ve slovech. Student s vysokou kulturou matematického myšlení (vysokoškolák), který s pojmy polymino a síť pracuje na formalizované úrovni (odstavec 3.5), podá přesný důkaz sporem: Předpokládejme, že síť 6A lze pokrýt třemi biminy. Čtverec označený u (obr. 3.17) musí být tedy pokryt. Bimino, které jej pokrývá, pokrývá nutně i šedivý čtverec. V tomto případě čtverec označený v nebude možné pokrýt. 142

46 3.3 Úlohy a jejich implementace u v Obr V prvním komentáři k příkladu 3 byla vymezena operace slepování čtverců. Obdobně budeme mluvit o slepování dvou polymin. Slepením dvou polymin (m-mina a n-mina) vznikne polymino ((m+n)-mino). Alternativně budeme v textu používat idiomy typu pentamino 5B doplníme monominem na hexamino 6A, k pentaminu 5B přilepíme monomino, slepením trimin 3A a 3B vytvoříme hexamino 6D apod. Určíme pět parametrů, které umožňují obměnu úlohy 3. I. Co se má vyrobit: (stejné jako u příkladu 2) II. Materiál, který má žák k dispozici: (a) odpovídající počet dílů (b) větší množství dílů složených ze stejných čtverců, z nichž žák vybírá (c) sada různě velkých eventuelně různě barevných dílů III. V jaké formě je cílový objekt přítomen (stejné jako v příkladu 2). IV. Jaký počet řešení je požadován (stejné jako v příkladu 2). V. Jaké díly jsou žákovi předloženy: (a) monomino + příslušné polymino (bimino pro případ koutu, trimino pro případ jeviště, tetramino pro případ pokojíku a pentamino pro případ sítě) (b) bimino + příslušné polymino (c) trimino + příslušné polymino Kombinací uvedených parametrů lze opět vytvořit velké množství úloh. Každá z nich navíc může požadovat, aby řešitel našel alespoň jedno řešení, nebo všechna řešení. To umožní učiteli individualizovat přístup k žákům. Další variace je možné dostat tím, že buď nabídneme žákům k dispozici soubor všech sítí krychle, který si před tím vytvořili, nebo nenabídneme. Jinými slovy to znamená, že žák může řešit úlohu spíše jako 2D úlohu, nebo jako 3D úlohu. Řešení úlohy 3 a obdobných úloh vedou někdy k dalším zajímavým vhledům do sítí krychle a dokonce i do společenství polymin, k objevům vztahů příbuznosti mezi některými sítěmi, a tím také k možné klasifikaci souboru sítí. Relacemi na množině jistých polymin se zabývají úlohy v odstavci 3.3.5, s V našich experimentech s dětmi prvního stupně základní školy jsme se ještě nesetkali s takovým řešením úlohy tohoto typu, kdy soubor sítí není 143

47 KAPITOLA 3 SÍTĚ KRYCHLE nabídnut, že by si žák sám nejdříve načrtnul všechny sítě krychle a pak zkoumal, které z nich může z daných polymin sestavit. Některé úlohy, například úloha 3d), dobře diagnostikují vhled žáka do situace metodou předvídání. O nižším vhledu žáka bude svědčit, začne-li experimentovat například i s polyminy 4B a 3A. Vyšší vhled prokáže žák, vezme-li do ruky rovnou například dvě trimina 3B. Úlohy Otevřít myšlenku skládání jistého polymina ze dvou menších polymin nebo tvoření střihu na šaty pro krychli (eventuelně střihu na kout, jeviště, pokojíček) lze tím, že budeme nejdříve polymina rozkládat. První tři úlohy jsou gradovány tak, aby dovedly žáka k úspěšnému řešení úlohy 3 (v příkladu 3). Obrázky příslušných polymin viz obr. 3.8 (s. 127). Ú3a) Vytvořte co nejvíce střihů na jeviště. K dispozici je taktilně dostupný model krychle, jedno monomino a trimino 3A. (III(a),V(a)) Ú3b) Vytvořte co nejvíce střihů na pokojíček. K dispozici je taktilně nedostupný, ale vizuálně dostupný model krychle, bimino 2A a trimino 3A. (III(b),V(b)) Ú3c) Vytvořte co nejvíce střihů na krychli. K dispozici je portrét krychle, monomino a pentamino 5B. (III(c),V(a)) Další úlohy gradují úlohu 3 do náročnějších obměn. Všechny úlohy používají parametr IV(c). Ú3d) Vytvořte co nejvíce sítí krychle. K dispozici je model krychle a sada polymin, např. 4A, 4B, 3A, 3B, 3B. (III(a)) Ú3e) Vytvořte co nejvíce sítí pokojíčku. K dispozici je portrét pokojíčku a trimino 3B a bimino. (III(c)) Ú3f 1 3 ) Vytvořte co nejvíce sítí krychle. K dispozici je portrét krychle a f 1 ) dvě trimina 3A, f 2 ) dvě trimina 3B, f 3 ) jedno trimino 3A a jedno 3B. (III(c)) Ú3g) Vytvořte co nejvíce sítí krychle. K dispozici jsou polymina 3A, 2A a 1A. Ú3h) Vytvořte co nejvíce sítí krychle. K dispozici jsou polymina 2A, 4B a 4E. 144

48 3.3 Úlohy a jejich implementace Výzva Vytvořte úlohu, která bude kombinovat myšlenku dílů střihu z úlohy 3 s myšlenkou obarvování stěn z úlohy Skládání a rozkládání polymin chirurgie polymin Příklad 4 Najděte všechna pentamina, která mohou být vytvořena slepením monomina a tetramina 4C. (Řešení je níže ve druhém komentáři.) Tato úloha nerozvíjí korespondenci 2D 3D, ale rozvíjí důležitou dovednost organizovat nepřehledný soubor objektů do dobře uspořádaného přehledu. Náročný je případ v úloze 4d) (viz níže), kde výsledný seznam obsahuje devět pentamin. Zde žáci obvykle nějaké řešení zapomínají a díky chaosu, který mají na papíře, se mnohdy od řešení odchylují a uvedou do výsledku i hexamina. Když žák 3. ročníku základní školy vytváří pentamina náhodně, je pro něj obtížné nakreslit jako výsledek všechna pentamina. Obvykle uvede některá pentamina vícekrát v různých polohách nebo některá vynechá. Pro úspěšnost řešení hraje důležitou roli organizace žákových pokusů. Řešitelskou strategii jdi okolo považujeme za nejefektivnější. Tuto strategii dále ilustrujeme, čímž dostaneme také úplné řešení úlohy 4. Postup má čtyři kroky: 1. Tetramino 4C umístíme do čtvercové mříže (obr. 3.18). 2. Jdeme okolo hranice tetramina 4C a očíslujeme všech osm čtverců sousedících s nějakým čtvercem tetramina. 3. Každému očíslovanému čtverci odpovídá jedno pentamino (obr. 3.8). Přilepením monomina na čtverec 1 získáme pentamino 5C. To zapíšeme takto: 1 5C. Další možnosti jsou: 2 5I, 3 5E, 4 5I, 5 5C, 6 5F, 7 5K, 8 5F. 4. Tímto způsobem obdržíme úplný seznam všech pentamin, které lze vytvořit slepením tetramina 4C s monominem. 145

49 KAPITOLA 3 SÍTĚ KRYCHLE Řešení: Slepením 1A a 4C lze dostat pentamina 5C, 5E, 5F, 5I a 5K (obr. 3.8). Ze zkušenosti víme, že žák 3. ročníku základní školy je schopen sám objevit strategii jdi okolo, jestliže mu necháme dostatek času. V našem experimentálním vyučování tuto strategii našli žáci zcela samostatně, když organizovali soubor všech pentamin složených z monomina a tetramina 4B. Měli soubor uspořádat takovým způsobem, aby jej bylo možné popsat slovy. Krátce nato dokázali, že existuje právě 11 sítí krychle. Ve třetím bodu postupu jsme evidovali, že některým z čísel 1, 2,, 8 jsou přiřazena stejná pentamina, konkrétně pentamino 5C je přiřazeno číslům 1 a 5, pentamino 5I číslům 1 a 4 a pentamino 5F číslům 6 a 8. Tato skutečnost je důsledkem osové souměrnosti tetramina 4C. I když žáci někdy dva vzájemně osově souměrné útvary považují za různé (např. ilustrace 3.8 v 3.2.4, s. 127), my je považujeme za stejné. Jestliže si žáci oba tvary vystřihnou, zjistí, že je lze položit přesně na sebe, a tím se o shodnosti útvaru přesvědčí. Žák, který jevu symetrie dobře rozumí, může úlohu 4 řešit efektivněji, v obrázku 3.18 neočísluje všechny čtverce, ale pouze ty s čísly 1, 2, 3, 6 a 7. Úlohy Ú4a) Najděte všechna pentamina, která mohou být vytvořena slepením jednoho monomina 1A a jednoho tetramina 4A. Ú4b) Řešte úlohu 4a) pro tetramino 4B. Ú4c) Řešte úlohu 4a) pro tetramino 4D. Ú4d) Řešte úlohu 4a) pro tetramino 4E. Ú4e) Najděte všechna pentamina, z nichž lze ustřižením jednoho monomina získat tetramino 4A. Ú4f) Řešte úlohu 4e) pro tetramino 4B. Ú4g) Řešte úlohu 4e) pro tetramino 4C. Ú4h) Řešte úlohu 4e) pro tetramino 4D. Ú4i) Řešte úlohu 4e) pro tetramino 4E. Ú4j) Rozstřihněte tetramino 4B na dvě bimina a složte z nich jiné tetramino. 146

50 3.3 Úlohy a jejich implementace Ú4k) Rozstřihněte pentamino 5B na bimino a trimino a složte z nich jiné pentamino. Úlohy 4a) 4i) jsou věnovány vztahu mezi tetraminem a pentaminem. V úlohách 4j) a 4k) je tento vztah rozšířen na vztah mezi různými polyminy. Úloha 4g) je jen jiná formulace úlohy 4, která je vyřešena výše. Činnost přilepit monomino k tetraminu tak, aby vzniklo pentamino, je činnost inverzní k činnosti ustřihnout monomino z pentamina, aby vzniklo tetramino. Tyto dvě vzájemně inverzní činnosti jsou realizovány ve dvojicích úloh: 4a) a 4e), 4b) a 4f), 4d) a 4i). Dvojice vzájemně inverzních operací přilepení a ustřižení je úzce propojena na další myšlenku, kterou je podmnožina. Tetramino, které lze položit na pentamino tak, že pouze jeden čtverec pentamina zůstane nepokryt, je konceptuální reprezentace obou předchozích navzájem inverzních procesuálních reprezentací. Uvedený trojí pohled na stejnou geometrickou situaci je didakticky užitečný. Ukazuje učiteli, že různí žáci mohou stejnou situaci vnímat různě podle jejich kognitivního typu. Samozřejmě žák, pro kterého jsou všechny tři reprezentace zcela jasné a jasná je i jejich vzájemná transformace, je na vyšší úrovni než ten, který některou z reprezentací považuje za méně jasnou. Výzvy Úloha 4 (v příkladu 4) a její obměny jsou různé úrovně. Uspořádejte je podle náročnosti od nejméně k nejvíce náročné. Pak zkontrolujte své řešení experimentem se žáky. Vytvořte gradovanou sérii úloh k úloze 4. Při řešení první výzvy jsem nedospěla k jednoznačnému výsledku. Různým žákům se náročnost úloh jevila různě. Přesto byly tyto pokusy didakticky užitečné, protože mně přinesly poznání o spektru žákovských přístupů Příbuznosti na množině sítí Zavedeme následující označení: Soubor všech sítí krychle, které lze vytvořit slepením monomina 1A a pentamina 5B, budeme označovat jako 1A 5B. Obdobně budeme používat symbol 2A 4Y, resp. 3U 3V, kde 3U a 3V jsou jistá trimina a 4Y je jisté tetramino (obr. 3.8). 147

51 KAPITOLA 3 SÍTĚ KRYCHLE Zdůrazňujeme, že znak je použit pouze pro označení takového slepení, jehož výsledkem je síť krychle. Zobecnění této operace lze nalézt v definici 10 v odstavci 3.5. Pro vytvoření gradované série úloh vidíme dvě možnosti. Jedna možnost je založena na zjednodušení úlohy. Místo tetramina 4C bude použito například trimino 3A nebo 3B. Druhá možnost je založena na inverzním postupu. Příklad 5 Najděte všechny sítě krychle, které lze vytvořit slepením monomina 1A a pentamina 5B. Úlohu lze řešit podobně jako úlohu 4 řešitelskou strategií jdi okolo. Řešením úlohy jsou sítě 6A, 6B, 6C, 6D. Použitím množinové symboliky zapíšeme výsledek takto: 1A 5B = {6A, 6B, 6C, 6D}. Alternativní strategie řešení této úlohy je založena na inverzním postupu popsaném výše. Úlohy Úlohu 5 (z příkladu 5) lze obměňovat změnou pentamina 5B. To nám dává 11 dalších obměn. Ú5a 1 11 ) Najděte všechny sítě krychle, které lze vytvořit slepením monomina 1A a pentamina a 1 ) 5A, a 2 ) 5C,, a 11 ) 5L. Ú5b 1 5 ) Najděte všechny sítě, které náleží do souboru b 1 ) 2A 4A, b 2 ) 2A 4B, b 3 ) 2A 4C, b 4 ) 2A 4D a b 5 ) 2A 4E. Ú5c 1 3 ) Najděte všechny sítě, které náleží do souborů c 1 ) 3A 3A, c 2 ) 3B 3B a c 3 ) 3A 3B. Uvedeme řešení některých úloh. Řešení 5a 1 11 ): V souboru 1A 5A není žádná síť; to znamená, že žádná síť krychle neobsahuje pentamino 5A. Podobně ani pentamina 5H, 5I a 5J nejsou součástí žádné sítě krychle. Tedy množiny 1A 5A, 1A 5H, 1A 5I a 1A 5J jsou prázdné. Dále 1A 5C = {6B, 6C, 6E, 6F}; 1A 5D = {6G, 6H, 6J, 6K}; 148

52 3.3 Úlohy a jejich implementace 1A 5E = {6A, 6F, 6K}; 1A 5F = {6B, 6E, 6H, 6K}; 1A 5G = {6C, 6G}; 1A 5K = {6F}; 1A 5L = {6H, 6I}. Řešení Ú5c 1 3 ): V souboru 3A 3B není žádná síť, to znamená, že množina 3A 3B je prázdná. Množina 3A 3A má dva prvky 6A a 6J, tedy 3A 3A = {6A, 6J}. Konečně 3B 3B = {6C, 6D, 6E, 6G, 6H, 6I}. Získané zkušenosti nás vedou k zavedení pojmu, který jistým způsobem organizuje množinu všech sítí. Je to pojem příbuznosti. Dvě sítě krychle jsou 1+5-příbuzné, právě když obě patří do souboru 1A 5X, kde 5X je pentamino. Jinými slovy dvě sítě krychle nazýváme 1+5-příbuzné, jestliže jedna z nich může být rozstřižena na jedno monomino a na jedno pentamino, z nichž lze slepit druhou síť. Například sítě 6A a 6B jsou 1+5-příbuzné, neboť čtverec sítě 6A, který je na obrázku 3.19 vybarven šedivě, lze odstřihnout a přilepit na jiné místo tak, že obdržíme síť 6B. Avšak například sítě 6A a 6E (obr. 3.1) 1+5-příbuzné nejsou, neboť žádný čtverec jedné sítě nelze přemístit tak, abychom dostali druhou síť. 6A 6B Obr Obdobně řekneme, že dvě sítě jsou 2+4-příbuzné, právě když obě patří do souboru 2A 4X, kde 4X je jisté tetramino, a že dvě sítě jsou 3+3-příbuzné, právě když obě patří do souboru 3U 3V, kde 3U a 3V jsou jistá trimina. Každý ze vztahů 1+5-příbuznost, 2+4-příbuznost i 3+3-příbuznost je vztah symetrický. To přímo plyne ze zavedení těchto vztahů. Ú5d 1 ) Najděte všechna pentamina 5X taková, že síť 6A patří do množiny 1A 5X. 149

53 KAPITOLA 3 SÍTĚ KRYCHLE Ú5d 2 11 ) Řešte úlohu 5d 1 ) pro síť d 2 ) 6B, d 3 ) 6C,, d 11 ) 6K. Ú5e 1 ) Najděte všechna tetramina 4X taková, že síť 6A patří do množiny 2A 4X. Ú5e 2 11 ) Řešte úlohu 5e 1 ) pro síť e 2 ) 6B, e 3 ) 6C,, e 11 ) 6K. Ú5f 1 ) Najděte všechna trimina 3X a 3Y taková, že síť 6A patří do množiny 3X 3Y. Ú5f 2 11 ) Řešte úlohu 5f 1 ) pro síť f 2 ) 6B, f 3 ) 6C,, f 11 ) 6K. Ú5g) Dokažte, že pro každou síť 6X platí, že je 2+4-příbuzná sama se sebou. Ú5h) Najděte všechny sítě 6X, které nejsou 3+3-příbuzné samy se sebou. Ú5i 1 3 ) Pomocí tabulky popište příbuznost 5i 1 ) 1+5, 5i 2 ) 2+4, 5i 3 ) 3+3. Řešení úlohy 5d) lehce získáme z výsledků úlohy 5a). Řešení úlohy 5e) získáme z výsledků úlohy 5b) a řešení úlohy 5f) získáme z výsledků úlohy 5c). Řešení úlohy 5h): Síť 6B nelze rozložit na dvě trimina, to znamená, že tato síť nemůže být sama se sebou 3+3-příbuzná. Stejně to platí pro sítě 6F a 6K. Všech zbylých osm sítí krychle již lze rozložit na dvě trimina. Ty jsou tedy samy se sebou 3+3-příbuzné. Řešení úlohy 5 i1 ): Výsledky úlohy Ú5a) uspořádejme do následující tabulky. Tabulka 3.1 Legenda k tabulce 3.1: V řádku 6A a sloupci 6D je pentamino 5B. To znamená, že obě sítě 6A a 6D patří do souboru 1A 5B, a tudíž jsou 1+5-příbuzné. V řádku 6B a sloupci 150

54 3.3 Úlohy a jejich implementace 6E jsou dvě pentamina 5C a 5F. To znamená, že sítě 6B a 6E patří do souboru 1A 5C a také do souboru 1A 5F. Proto jsou sítě 6B a 6E také 1+5-příbuzné, dokonce dvěma různými způsoby mají společná dvě pentamina, 5C i 5F. Sítě 6D a 6E nejsou 1+5-příbuzné, protože neexistuje žádné pentamino, které by bylou částí obou těchto sítí. To je vyznačeno prázdným políčkem v řádku 6D a sloupci 6E. Znaky + v polích na diagonále (v řádku 6X a sloupci 6X) znamenají, že do příslušného políčka patří všechna pentamina z řádku 6X a sloupce 6X. Například v poli, které leží v řádku a sloupci 6H, znak + označuje pentamina 5D, 5F, 5L. Mezi jedenácti poli diagonály je jedno pole výjimečné, to je to, které je v řádku a sloupci 6F. Zde, kromě znaku +, který označuje pentamina 5C a 5E, je ještě pentamino 5K. Levá dolní část tabulky pod diagonálou je nevyplněna, neboť tabulka je symetrická podle diagonály v důsledku symetrie vztahu 1+5-příbuznost. Z tabulky lze snadno vyčíst, že vztah 1+5-příbuznost není tranzitivní. Například sítě 6A a 6B jsou 1+5-příbuzné, sítě 6B a 6E jsou též 1+5-příbuzné, ale sítě 6A a 6E již 1+5-příbuzné nejsou. Existuje 11 sítí krychle, a tudíž existuje 55 dvojic sítí. Z tabulky vidíme, že 26 z nich jsou 1+5-příbuzné. Nabízíme další sérii úloh týkajících se příbuzenských vztahů mezi sítěmi. K jejich řešení lze využít tabulky 3.1 a tabulek, které jsou řešením úloh 5 i2 ) a 5 i3 ). Jejich řešení je uvedeno níže. Ú5j) Najděte všechna pentamina, která lze doplnit jedním monominem čtyřmi způsoby na čtyři různé sítě. Ú5k) Najděte pentamino, které nemůže být doplněno jedním monominem Ú5l) na síť krychle. Najděte pentamino, které může být doplněno jedním monominem pouze jedním způsobem na síť krychle. Ú5m) Najděte dvě sítě, které jsou 1+5-příbuzné dvěma různými způsoby. Jinými slovy, najděte dvě sítě a dvě různá pentamina tak, že z každého z nich může být utvořena každá z daných dvou sítí doplněním jednoho monomina. Ú5n) Posuďte pravdivost tohoto tvrzení: Když 6X a 6Y jsou dvě sítě krychle, které nejsou 1+5-příbuzné, nezbytně existuje třetí síť 6Z tak, že jak sítě 6X a 6Z, tak sítě 6Z a 6Y jsou 1+5-příbuzné. Ú5o) Ukažte, že bimino 2A může být slepeno s tetraminem 4D dvěma různými způsoby tak, že vznikne síť α) 6B, β) 6G, γ) 6I. Jak toto tvrzení souvisí s faktem, že tetramino 4D je středově souměrné? 151

55 KAPITOLA 3 SÍTĚ KRYCHLE Ú5p) Ukažte, že bimino 2A může být slepeno s tetraminem 4C dvěma různými způsoby tak, že vznikne síť α) 6C, β) 6H. Jak toto tvrzení souvisí s faktem, že tetramino 4C je osově souměrné? Ú5q) Ukažte, že bimino 2A může být slepeno s tetraminem 4C pouze jedním způsobem tak, že vznikne síť α) 6A, β) 6F. Jak toto tvrzení souvisí s faktem, že tetramino 4C je osově souměrné? Uvedeme řešení úloh 5j) 5q). Úloha 5j): 5B, 5C, 5D, 5F; Úloha 5k): 5A, 5H, 5I, 5J; Úloha 5l): 6K; Úloha 5m): Takové páry sítí krychle jsou tři: {6B, 6C}, {6B, 6E}, {6K, 6H}; Úloha 5n): Nepravdivé. Pro X = I a Y = A žádná síť Z neexistuje. Úloha 5o): Jestliže přilepíme bimino ke dvěma stranám tetramina 4D, které si odpovídají ve středové souměrnosti, pak dostaneme shodné sítě. Úloha 5q): Strana tetramina 4C, ke které může být bimino 2A přilepeno, je sama osově souměrná podle osy souměrnosti tetramina, tudíž bimino může být přilepeno pouze jedním způsobem. Výzva Slovo příbuznost znají žáci ze života. Slova jako bratr, matka, švagrová nebo vnuk jsou slova označující vztahy v jisté množině lidí. Z těchto vztahů lze vytvářet zajímavé úlohy, například: Eva a Dana mají právě jednu společnou babičku. Jaký je vztah mezi Evou a Danou? [Jsou to sestřenice.] Vytvořte gradovanou sérii úloh na toto téma pro vaše žáky Vazby mezi stěnami krychle a jim odpovídající vazby mezi čtverci sítě krychle Zavedeme termíny, které budeme používat při úvahách o vzájemné poloze stěn krychle a odpovídají poloze čtverců sítě. Stěny a, b krychle nazýváme: sousední, jestliže mají společnou hranu, protilehlé, jestliže nemají společný žádný bod. 59 Na vztahy v rodině je zaměřeno prostředí Rodina rozpracované v učebnicích Hejný a kol. 2008,

56 3.3 Úlohy a jejich implementace Sousední stěny jsou na sebe kolmé a protilehlé stěny jsou navzájem rovnoběžné. Termíny kolmý a rovnoběžný zde nepoužíváme proto, že pro žáky v prvních dvou ročnících jsou termíny sousední a protilehlé srozumitelnější. Navíc pro přenos vzájemné polohy stěn na polohu čtverců sítě by slova kolmý a rovnoběžný vedla k zavádějícím představám. Čtverce a, b sítě krychle nazýváme protilehlé, jestliže po položení sítě na krychli budou příslušné stěny protilehlé. O protilehlých čtvercích budeme mluvit i v případě, jestliže náleží polyminu, které je jen částí sítě, například náleží pentaminu 5E nebo tetraminu 4B. U pentamina 5J nebo tetramina 4E o protilehlých čtvercích nemůžeme mluvit, protože žádné z těchto polymin není částí sítě krychle, a tedy jej nelze položit na krychli. Termín sousední čtverce sítě neodpovídá termínu sousední stěny krychle. Například na obrázku 3.20 čtverce a, d sítě krychle 6J nejsou sousední, ale jim odpovídající stěny na krychli sousední jsou. Uvedenou polohu čtverců sítě budeme popisovat slovy čtverce a a d nejsou protilehlé. Speciální terminologii nezavádíme, protože jsme v českém jazyku nenašli žádné vhodné slovo. Příklad 6 Na obrázku 3.20 je zobrazena síť krychle 6J. Čtverce sítě jsou označeny písmeny a, b,, f. Najděte všechny dvojice protilehlých čtverců. Model krychle není k dispozici. Obr Řešení: Položením sítě na krychli bychom snadno našli následující dvojice protilehlých čtverců: a c, b e, d f. Bez modelu krychle můžeme uvažovat, že dva protilehlé čtverce nemají žádný společný bod a že jsou oddělené jedním čtvercem, který je sousední s oběma. Při práci s krychlemi a jejich sítěmi nás zajímají dvě základní polohy dvou rovin ve 3D: rovnoběžné a kolmé. Oba tyto typy rovin jsou v úlohách tohoto odstavce uvažovány a identifikovány pomocí písmen. Při práci s dětmi je vhodné nahradit písmena barvami. Barvy pomáhají žákům být pozorní zejména při zkoumání jevu rovnoběžnost. Tento přístup k oběma relacím (rovnoběžnost 153

57 KAPITOLA 3 SÍTĚ KRYCHLE a kolmost) bude použit též ve vztahu k hranám krychle. Tím se budeme zabývat v odstavcích a Úloha 6 je jednoduchá, výrazně jednodušší, než byly úlohy 4, 5. Žák, který má již se sítěmi jisté zkušenosti, dokáže tuto úlohu vyřešit bez pomoci krychle. Žák, který má zatím málo zkušeností se sítěmi, vyřeší úlohu modelováním. Vystřiženou síť 6J přiloží na krychli a najde hledaný čtverec. Úlohy Ú6a 1 3 ) Najděte čtverec sítě krychle 6F, který je protilehlý k vyznačenému čtverci této sítě na obrázku a 1 ) 3.21a, a 2 ) 3.21b, a 3 ) 3.21c. Model krychle je k dispozici. Obr. 3.21a 3.21b 3.21c Ú6b 1,2 ) Je dáno šest barevných čtverců dva jsou barvy a, dva jsou barvy b a dva barvy c. Z těchto šesti čtverců sestrojte síť 6H tak, že každá dvojice protilehlých čtverců je stejné barvy. Přitom model krychle b 1 ) je k dispozici, b 2 ) není k dispozici. Ú6c) Načrtněte tetramino 4A. Každou dvojici protilehlých čtverců obarvěte stejnou barvou. Model krychle není k dispozici. Ú6d 1 3 ) Řešte úlohu 6c) pro tetramino d 1 ) 4B, d 2 ) 4C a d 3 ) 4D (obr. 3.8, s. 127). Model krychle není k dispozici. Ú6e) Oblečte krychli do bílého obleku a pak na bílý oblek nalepte obrázek 3.23a. Oblek z krychle sundejte a popište, jaké obrázky jsou na jednotlivých čtvercích střihu. Na obrázcích 3.22a, b je vidět práce 11-12letých žáků na úloze obdobné úloze 6b) z experimentů, které pro nás realizovali naši kolegové v Řecku. Na druhém obrázku 3.22b vidíme dvoukrokovou řešitelskou strategii. V prvním kroku žák zvolil nebo vytvořil jednobarevnou síť krychle a ve druhém kroku pak položil dva červené, dva žluté a dva modré čtverce tak, aby byla splněna daná podmínka o protilehlých čtvercích. 154

58 3.3 Úlohy a jejich implementace Obr. 3.22b Obr. 3.22a Ú6f) Na obrázku 3.23b je částečně dekorovaný střih na oblek krychle. Dokreslete dekor. Položením střihu na krychli prověřte své řešení. Ú6g 1,2 ) Řešte úlohu 6e) pro částečně dekorovaný střih na oblek krychle na obrázku g 1 ) 3.23c, g 2 ) 3.23d. 60 Ú6h) Je dáno bimino, jehož čtverce jsou označeny písmeny b, c. Slepením tohoto bimina a tetramina 4D z obrázku 3.25b vytvořte síť krychle, ve které protilehlé čtverce jsou označeny stejným písmenem. Obr. 3.23a 3.23b 3.23c 3.23d 60 Na obrázcích 3.23a d je uveden návrh dekorů, které použily naše spolupracující učitelky ze ZŠ Neratovice pro práci se žáky 2. a 4. ročníku. 155

59 KAPITOLA 3 SÍTĚ KRYCHLE Již v odstavci jsme upozornili na možnost dokreslovat na stěny pokojíčku vybavení nábytkem, koberci, okny apod. Úlohy 6e), 6f) a 6g) rozšiřují zkušenosti žáků o využití dekorace krychle k poznání vztahů 2D 3D. Jestliže v úloze 6e), která žáka uvádí do problematiky dekorace, zdůrazníme komunikaci, pak ve vědomí komunikujících žáků dochází k posunu od poznání v činnosti k poznání ve slovech. V experimentálním vyučování ve čtvrtém ročníku jsme na konci jedné vyučovací hodiny, ve které žáci tvořili střihy na šaty pro pana Krychli, zadali následující úkol: Pokreslete papírovou krychli tak, aby na jedné stěně byl obličej pana Krychle, na jiné vlasy, dále boty, ruce a košile. Pak odpovídajícím způsobem pokreslete jednu síť krychle. Při kontrole správnosti pokreslení sítě vznikaly humorné situace, jako například, že pan Krychle stál na vlasech, ruce mu šly dozadu apod. Tato situace se ukázala pro většinu žáků silně motivační. Ukázky jejich práce jsou na obrázku Obr Výzvy Vytvořte gradovanou sérii problémů následujícího typu: Je dán model krychle a 6 dekorovaných čtverců. Úlohou žáka je slepit čtverce do sítě krychle tak, aby po oblečení krychle vznikl na krychli smysluplný obrázek. Úlohy, které vytvoříte, rozdělte tak, aby jednotliví žáci vaší třídy mohli dostat úlohy přiměřené náročnosti. Odhadněte, které sítě krychle budou nejsnadnější a které nejobtížnější na určování protilehlých čtverců. Ověřte váš odhad se žáky. 156

60 3.3 Úlohy a jejich implementace Vytvořte několik problémů stejného typu, jako je úloha 6h) Tvorba pravidel o stěnách krychle v její síti Příklad 7 Najděte pravidla, pomocí nichž lze ke každému čtverci libovolné sítě krychle najít čtverec k němu protilehlý. Řešení: Pravidla jsou tři: 1. Je-li trimino 3A částí sítě, pak jeho krajní čtverce jsou protilehlé (obr 3.25a). 2. Je-li tetramino 4D částí sítě, pak dva krajní čtverce tetramina jsou protilehlé (obr. 3.25b). 3. Jsou-li již dvě dvojice čtverců označeny jako protilehlé, je zbylá dvojice čtverců též protilehlá. Pravidla prověříme položením trimina 3A a tetramina 4D na krychli. Obr. 3.25a Obr. 3.25b Úlohy, ve kterých se mají formulovat pravidla nebo obecné vztahy, patří k náročnějším. Vedou žáky k tvorbě generických modelů. Jisté pravidlo již není vázáno na konkrétní objekt, konkrétní síť, ale platí pro skupinu sítí. Proto řešení těchto úloh vyžaduje dostatek času. Výzvy učitele, aby žáci tvořili pravidla neboli hledali vztahy platné pro skupinu objektů, jsou spíše vhodné pro žáky, kteří jsou již na úrovni tvorby generických modelů. Proto nelze vyžadovat řešení takového úkolu během jedné vyučovací hodiny. Vhodný je takový způsob práce, který individualizuje přístup, například nástěnková komunikace. Učitel vyvěšuje žákovská tvrzení na nástěnku a žáci mají dostatek času o nich přemýšlet, zkoumat je, tvořit další tvrzení a pak zase písemně vyjádřit svá hodnocení. Výhodou takovéhoto způsobu komunikace je, že se do něj obvykle zapojí nejdříve žáci, které problém oslovuje a kterým to tudíž z kognitivního hlediska něco přináší. Z našich zkušeností víme, že se do nástěnkových diskusí postupně zapojí i ti žáci, kteří zpočátku nejeví z různých důvodů zájem. 157

61 KAPITOLA 3 SÍTĚ KRYCHLE Úlohy Zavedeme jeden pomocný pojem, který budeme používat v obměněných úlohách. Na krychli jsou tři dvojice rovnoběžných stěn. Předpokládejme, že každá stěna krychle (každý čtverec její sítě) je obarven. Řekneme, že toto obarvení je typu 3, 2, 1, nebo 0, jestliže právě 3, 2, 1, nebo 0 dvojic rovnoběžných stěn je obarveno stejnou barvou. Ú7a) Jsou dána tři bimina s následujícím obarvením čtverců: (a,a), (a,b), (b,b), jako je na obrázku Z těchto tří bimin zkonstruujte síť 6B (obr. 3.1) tak, že její obarvení je typu 3, nebo 2, nebo 1, nebo 0 (to znamená, že počet dvojic rovnoběžných stěn stejně obarvených je 3, 2, 1, 0). Obr Ú7b 1-10 ) Řešte úlohu 7a) pro síť b 1 ) 6A, b 2 ) 6C, b 3 ) 6D, b 4 ) 6E, b 5 ) 6F, b 6 ) 6G, b 7 ) 6H, b 8 ) 6I, b 9 ) 6J a b 10 ) 6K (obr. 3.1). Ú7c) Všechny výsledky předchozích dvou úloh zapište do tabulky. Úlohy 7a) a 7b) mohou být řešeny žákem 2. ročníku jednoduchou procedurou skládající se ze tří kroků: 1. Sestrojit síť krychle ze tří daných bimin; 2. Položit sestrojenou síť na krychli; 3. Určit typ tohoto obarvení. Řešitelský proces žáka 4. ročníku může být více systematický: Nejdříve žák zjistí, že některé sítě nelze ze tří bimin sestavit. Pak najde všechny možnosti, jak daná nebo vybraná síť (např. síť 6I nebo 6K) může být obarvena a jakého typu obarvení tímto způsobem může dostat. Úplné řešení úlohy je možné požadovat od žáků 7., 8. ročníku. Uvedeme řešení úlohy 7c) jako vzor pro řešení dalších úloh. Řešení 7c): Řešení je zapsáno tabulkou 3.2. Z prvního řádku označeného 3 vyčteme, že žádná síť nemůže být z daných tří bimin vytvořena tak, aby všechny tři dvojice rovnoběžných stěn byly obarveny stejnou barvou. Stejná situace je v případě obarvení typu 1 třetí řádek. Z daných bimin nelze obarvit pouze jednu dvojici rovnoběžných stěn stejnou barvou. Řádky pro typ obarvení 2 a 0 jsou stejné. To znamená, že označené sítě můžeme danými biminy obarvit 158

62 3.3 Úlohy a jejich implementace tak, že stejnou barvou jsou obarveny buď dvě dvojice stěn, nebo žádná. Dále z tabulky 3.2 vidíme, že sítě 6A, 6C, 6E, 6F a 6H vůbec nelze z bimin složit. Tabulka 3.2 Další obměny úloh získáme variováním daných polymin a jejich obarvením. Ú7d) Řešte stejný problém pro tři různá domina (a, b), (a, c), (b, c) na obrázku Obr Ú7e) Řešte stejný problém pro dvojici obdélníkových trimin (a, b, c), (a, b, c) na obrázku Obr Ú7f) Řešte stejný problém pro dvojici obdélníkových trimin (a, b, c), (c, a, b) na obrázku Obr

63 KAPITOLA 3 SÍTĚ KRYCHLE Ú7g) Řešte stejný problém pro dvojici stejně obarvených trimin 3B na obrázku Uvažujme, že trimina jsou obarvena α) pouze na jedné straně, β) na obou stranách. Obr Žák, který řešením úloh 7a), b), c) získal do problematiky jistý vhled, bude úlohu 7d) řešit efektivněji. Především se nebude zabývat sítěmi 6A, 6C, 6E, 6F a 6H, o kterých již ví, že se třemi biminy pokrýt nedají. Dále si uvědomí, že není možné získat barvení typu 2. Jsou-li totiž dvě dvojice protilehlých čtverců obarveny stejnou barvou, musí být stejnou barvou obarvena i poslední dvojice protilehlých čtverců. Protože každou ze sítí, kterou lze pokrýt třemi biminy, lze pokrýt jediným způsobem, není těžké u každé sítě najít barvení typu 3. Když pak v tomto barvení jedno bimino otočíme o 180, dostaneme barvení typu 1. Konečně barvení typu 0 vytvoříme tak, že nejprve jakkoli položíme bimino (a,b). Pak položíme bimino (b,c) tak, aby čtverce a (z prvního bimina) a b (z druhého bimina) byly protilehlé. Nakonec položíme bimino (a,c) tak, aby jeho čtverce c nebyl protilehlý ke čtverci c (z druhého bimina). Úlohu 7d) lze řešit i tak, že se vůbec nedíváme na sítě, které máme barvit, ale pouze na krychli. Na ni položíme tři daná bimina tak, aby zde vzniklo obarvení typu 3. Pak řekneme, že když se teď takto obarvený oblek rozloží do sítě (kterékoli), bude její obarvení také typu 3. Totéž platí pro obarvení typu 2, 1 a 0. Z této úvahy plyne důležité obecné tvrzení: Jestliže se některá ze sítí 6B, 6D, 6G, 6I, 6J, 6K dá vytvořit pomocí tří bimin obarvených jistým způsobem tak, že vznikne barvení typu 3 (nebo 2, nebo 1, nebo 0), pak se tak dá vytvořit každá z uvedených sítí. Výzvy Sledujte tři různé žáky vaší třídy při řešení těchto úloh a snažte se porovnat jejich postupy. Co z pozorování můžete usoudit o způsobu myšlení jednotlivých žáků? Odhadněte na základě těchto analýz, která úloha bude pro kterého ze sledovaných žáků přiměřeně náročná. Pak svůj odhad prověřte. 160

64 3.3 Úlohy a jejich implementace První komentář pod obrázkem 3.30 je věnován úloze 7c). Napište stejný komentář k některým z úloh 7d) 7g). Druhý komentář pod obrázkem 3.30 je věnován pokrývání krychle třemi biminy. Napište stejný komentář pro pokrývání dvěma triminy 3A nebo dvěma triminy 3B Vazba mezi vrcholem a stěnou Příklad 8 Na obrázcích 3.31a 3.31f je dáno šest stěn standardně pojmenované krychle ABCDEFGH. Ze všech 24 vrcholů je právě 10 pojmenováno. Určete, která stěna je spodní, horní, přední, zadní, levá a pravá. Řešení: Nejdříve si všimneme, že: čtverec DE (obr. 3.31a) je určitě levá stěna, protože to je jediná stěna s oběma vrcholy D a E; čtverec C (3.31b) je buď spodní, nebo pravá, nebo zadní stěna; jen tyto stěny obsahují vrchol C; čtverec A (3.31c) je buď spodní, nebo přední, nebo levá stěna; jen tyto stěny obsahují vrchol A; čtverec BF (3.31d) je buď přední, nebo pravá stěna; jen tyto stěny obsahují vrcholy B, F; čtverec EG (3.31e) je jedině horní stěna, protože je to je jediná stěna s vrcholy E a G; čtverec AD (3.31f) je buď spodní, nebo levá stěna, protože jen tyto stěny obsahují vrcholy A, D. Všech šest popsaných podmínek sepíšeme do tabulky 3.3a. Znak v řádku b a sloupci zadní znamená, že čtverec na obrázku 3.31b může být zadní stěnou krychle. 161

65 KAPITOLA 3 SÍTĚ KRYCHLE Jestliže teď ze dvanácti polí tabulky 3.3a označených znakem vybereme takových šest, že v každém řádku i každém sloupci bude právě jedno vybrané pole, pak máme řešení úlohy 8. Tabulka 3.3a Tabulka 3.3b Tímto způsobem je geometrický problém převeden na kombinatorický. Ten řešíme ve třech krocích pomocí dvou pravidel: (a) Je-li v některém sloupci nebo řádku jen jediné pole označené, pak toto pole musí být vybráno. (b) Je-li některé pole vybráno, pak všechna další pole v příslušném řádku i sloupci být vybrána nemohou. 1. V řádcích a a e a ve sloupci zadní je pouze jedno. To znamená, že tato tři musí být vybrána. V tabulce 3.3b jsou označena číslem Ve sloupci pravá i v řádku f zbylo jediné. Ta jsou vybrána a v tabulce 3.3b jsou označena číslem 2. 3.V řádku c zbylo jediné, to je vybráno a v tabulce 3.3b je označeno číslem 3. Výsledek je dán v tabulce 3.3b. Stěna na obrázku 3.31a je tedy levá, na obrázku 3.31b je zadní, na 3.31c je přední, na 3.31d je pravá, na 3.31e je horní a na 3.31f je spodní. Čtverec na obrázku 3.31a může být zapsán i takto: DXEX. Písmeno X zde znamená neznámý vrchol. Podobně lze zapsat i další čtverce na obrázcích 3.31b f: CXXX, AXXX, FBXX, EXGX a DAXX. Když všechna písmena X z těchto kódů vymažeme, žádná informace se neztratí. Tedy čtverce na obrázcích 3.31a f lze stručněji popsat DE, C, A, BF, GE, AD. Tento způsob kódování stěn krychle nebo čtverců sítě, který byl již použit v předchozím 162

66 3.3 Úlohy a jejich implementace řešení, nutně vyžaduje, aby u kódu bylo uvedeno slovo stěna, resp. čtverec. Takto budou zadávány další úlohy. Příklad 8, tak jak je výše řešen, spadá spíše do oblasti kombinatoriky než do geometrie. V procesu řešení jsme geometrické poznatky téměř nevyužili a jádro úvah leželo v kombinatorice. Jeden z nejdůležitějších znaků konstruktivistického přístupu je stále přítomný cíl učitele posilovat strukturování poznatků studenta. To znamená, že každý nový poznatek by měl být provázán na již existující kognitivní síť studenta. Zejména důležité jsou ty nové poznatky, které budují most mezi různými oblastmi matematiky. Příklad 8 ukazuje takový most mezi 3D geometrií a kombinatorikou. Formalizace 3D situace realizované tabulkami 3.3a a 3.3b je pro toto přemostění nástrojem. Na příkladu 8 je pozoruhodné to, že geometrická metoda řešení je nutně odkázána na poměrně primitivní nástroj pokus-omyl. Řešitel, který chce použít účinnější, sofistikovanější metodu, nutně musí sáhnout k nástrojům kombinaoriky. Dodejme, že k takové situaci nedochází běžně. Například tvrzení, že tři těžnice trojúhelníka se protínají v jednom bodě, lze dokázat nástroji syntetické geometrie, Descartovou metodou souřadnic i pomocí vektorů. Každá z těchto metod je sofistikovaná, ale používá jiné nástroje i jiné myšlenkové postupy. Žák, který aspoň částečně samostatně objeví řešení úlohy 8 (z příkladu 8) pomocí tabulek, získá něco, co přesahuje oblast geometrie. Tím právě je způsob, jak zorganizovat vstupní data a jak s nimi zacházet. Učitel může žákovi tento nový prostor jeho poznání otevřít vhodnou úlohou například úlohou 8a). Úlohy Ú8a) Dispečer cestovní kanceláře má na daný den zajistit průvodce pro šest zahraničních turistických skupin v šesti různých jazycích: anglicky, francouzsky, italsky, německy, rusky a španělsky. Má k dispozici šest průvodkyň: Alenu, ta mluví pouze rusky, Bertu, která mluví anglicky, německy a španělsky, Cecílii, ta mluví anglicky, italsky a rusky, Danu, ta mluví italsky a španělsky, Evu, která mluví jen francouzsky, a Františku, ta mluví anglicky a rusky. Jak má dispečer přiřadit průvodkyně ke skupinám turistů? Ú8b) Je dán model krychle ABCDEFGH. Její rohy (vrcholy) jsou obarveny následovně: A modrý (m), B hnědý (h), C zelený (z), D oranžový (o), E růžový (r ), F červený (č ), G fialový (f ), H žlutý (ž) (obr. 3.32). Dále je na obrázku 3.33 dáno šest čtverců s obarvenými vrcholy. Úlohou je přilepit každý čtverec na stěnu krychle tak, aby se zachovala barva vrcholů. 163

67 KAPITOLA 3 SÍTĚ KRYCHLE Obr Obr Ú8c) Na obrázku 3.34 je dáno 6 čtverců s obarvenými vrcholy. Najděte takové obarvení vrcholů krychle ABCDEFGH, že vrchol A je žlutý a že je možné dané čtverce přiložit na stěny krychle tak, že se zachovají barvy. Najděte, kolik různých obarvení krychle existuje. Obr Úloha 8a) se vůbec nevztahuje ke geometrii. Ilustruje řešitelskou metodu, kterou žák s pomocí učitele objeví při řešení geometrických úloh. Tabulková metoda je výbornou ilustrací té skutečnosti, že některé myšlenky objevené v geometrii lze dobře použít i v jiných oblastech matematiky, například v logice a kombinatorice. Řešení úlohy 8a) je vlastně již uděláno v tabulce 3.3a. Stačí, abychom v ní sloupce spodní, horní,, pravá vyměnili za jazyky: anglický, francouzský,..., španělský a řádky nadepsané a, b,, f změnili na jména Alena, Berta,, Františka. Křížek v řádku Dana a sloupci italsky znamená, že Dana mluví italsky. Tabulka 3b pak dává řešení, k němuž dispečer musí dojít: Alena bude provázet Rusy, Berta Němce, Cecílie Italy, Dana Španěly, Eva Francouze a Františka Angličany. 164

68 3.3 Úlohy a jejich implementace Tabulky 3.3a a 3.3b bez označení sloupců a řádků představují abstraktní situaci. Když k nim přidáme názvy sloupců i řádků, vznikne situace konkrétní. Obě dvě konkrétní situace, které jsme zde zkoumali geometrická v úloze 8 (příklad 8) a logicko-kombinatorická v úloze 8a), jsou svojí podstatou stejné. Řečeno matematickou terminologií jsou izomorfní. Jejich stejnost je kotvena abstraktními tabulkami. Schopnost odhalovat a používat izomorfizmus patří k základním nástrojům lidského intelektu. Vždyť i poznání, že = 5, je vlastně abstrakcí konkrétních zkušeností, jimiž jsou zjištění, že 2 jablka + 3 jablka = 5 jablek, 2 autíčka + 3 autíčka = 5 autíček, 2 prsty + 3 prsty = 5 prstů apod. (podrobně v Hejný, Kuřina, 2001). Podobně na podstatně vyšší úrovni matematického myšlení se stejností operace sčítání (v oboru celých čísel) a operace násobení (v oboru racionálních kladných čísel) vytvoří abstraktní pojem Abelovy grupy. V obou případech je operace komutativní (a b = b a) i asociativní (a (b c) = (a b) c), v obou případech existuje neutrální prvek (a n = a, pro všechna a), v obou případech ke každému prvku p existuje prvek inverzní p (p p = n). Uvidět stejnost obou operací je pro maturanta stejně náročné jako pro šestileté dítě uvidět stejnost situace mezi jablíčky a autíčky uvedené výše. To, co pro šestileté dítě představuje abstraktní zápis = 5, pro maturanta představuje zápis p p = n. Metafora, s níž jsme se setkali při popisu sítě krychle (v odstavci 3.1.3, 2. etapa), je velice příbuzná izomorfizmu, ale mezi významy těchto slov je důležitý rozdíl. Izomorfizmus mluví o dokonalé stejnosti dvou jevů nahlížených z vyššího abstraktního pohledu. Metafora mluví o stejnosti, která připouští určité nepřesnosti, například pojmy šev a zip v jazyku módního salonu nemají v geometrickém jazyku přesný překlad. Metafora vzájemně propojuje dvě situace, z nichž jedna je uživateli dobře známá, například leží v jeho životní zkušenosti, a druhá je pomocí první poznávána. Izomorfizmus obvykle propojí dvě situace, které jsou pro uživatele stejně známé. Metafora otevírá poukazy, ale nemůže být použita jako metoda důkazu. Naopak izomorfizmus tak použit může být. Například tabulka 3b byla sestrojena logickou úvahou vycházející z tabulky 3.3a. Vše probíhalo v rámci řešení geometrické úlohy. Když jsme pak dospěli k tabulce 3.3a při řešení logicko-kombinatorické úlohy, nebylo již nutno tabulku 3.3b sestrojovat, stačilo pomocí izomorfizmu přenést výsledek ze situace geometrické do situace logicko-kombinatorické. Metaforické myšlení je vlastní dětskému věku, děti si běžně hrávají na obchod, na školu,. Proto použití metafory je na jedné straně pro dítě zcela přirozené, na druhé straně učitel, který ji používá, nemusí usilovat o to, aby metaforu odhalily děti samy. Schopnost používat izomorfizmus ale nepatří 165

69 KAPITOLA 3 SÍTĚ KRYCHLE k běžným intelektuálním schopnostem dítěte a dítě tuto schopnost musí budovat. Proto učitel, který žákům izomorfizmus ukáže, jim znemožňuje, aby objevem izomorfizmu rozvíjeli svou schopnost izomorfizmus odhalovat. Tuto schopnost si žák vytváří tak, že v konkrétních případech uvidí stejnost izomorfních situací. K tomu je někdy zapotřebí ne dvou, ale celé série různých situací navzájem stejných, které se v žákovském vědomí ukládají delší dobu, někdy i více let (například u pojmu grupa). Popis obarvení vrcholů jednotlivých stěn můžeme zavést podobným způsobem jako v příkladu 8. Uvedeme čtveřici písmen, která označují použité barvy k obarvení vrcholů jedné stěny. Dodržíme domluvu a budeme vyjmenovávat barvy ve směru pohybu hodinových ručiček. Tedy čtverce z obrázku 3.33 můžeme popsat takto v pořadí zleva doprava: (m,o,z,h), (r,ž,o,m), (ž,f,z,o), (h,č,r,m), (z,f,č,h), (r,č,f,ž), nebo zkráceně mozh, ržom, žfzo, hčrm, zfčh, rčfž. Úlohy 8b), c) připravují konstrukci sítě krychle. Cílem je, aby dítě získalo zkušenosti s přiřazováním šesti čtverců k šesti stěnám tím, že čtverce bude lepit přesně na stěny. V tomto případě je přiřazování poněkud složitější než v příkladu 1, protože je určeno čtveřicí barev vrcholů. Tato úloha rozvíjí schopost navzájem přiřadit dvě množiny, je-li dáno více než jedno kriterium. Úlohy 8b) a 8c) zaměřují žákovu pozornost na pojem vrchol. Ten se vyskytuje ve dvou kontextech: jako vrchol krychle (žáci používají mnohdy jiné termíny jako například roh 3D objekt) a jako vrchol čtverce (2D objekt). Řešitel úlohy získá důležité zkušenosti s tím, že tři vrcholy tří různých čtverců odpovídají jedinému vrcholu krychle. V rámci experimentálního vyučování v 1. ročníku jsme úlohu 8b) úspěšně odzkoušeli. Učitelky ohodnotily úlohu jako pro žáky velmi atraktivní a vhodnou i pro žáky pomalejší. Výzvy V úloze 8b) je každý vrchol obarven jinou barvou. V úloze 8c) jsou čtyři vrcholy obarveny stejnou barvou, žlutou (ž). Vytvořte gradovanou sérii úloh, v nichž bude použito méně než 8 barev. Rada: Velmi jednoduchá úloha je tato: sedm vrcholů krychle je modrých a jen jeden je červený. Tato úloha je přiměřená úrovni prvního ročníku. Vytvořte seznam chyb a způsobů, jak žáci přilepují čtverce, když řeší úlohu 8b). 166

70 3.3 Úlohy a jejich implementace Vytvořte sérii úloh typu 8a), pomocí nichž se žák seznámí s tabulkovou technikou použitou v řešení příkladu Další úlohy jsou obtížnějšími obměnami úlohy 8: Ú8d) Řešte stejný problém jako v příkladu 8 pro šest čtverců, jejichž stručný zápis je DE, C, A, FB, HE, E. Najděte, kolik různých řešení existuje. Ú8e) Řešte stejný problém jako v příkladu 8 pro šest čtverců, jejichž stručný zápis je DE, C, A, FB, HE, F. Najděte, kolik různých řešení existuje. Úloha 8d) má jediné řešení: DE levá, C zadní, A spodní, FB pravá, HE horní, E přední. Úloha 8e) má dvě možná řešení: 1. DE levá, C zadní, A spodní, FB přední, HE horní, E pravá; 2. DE levá, C zadní, A spodní, FB pravá, HE horní, E přední Zákonitosti o vztazích mezi vrcholy krychle Nejdříve rozšíříme náš slovníček o nové termíny. Vrcholy X, Y krychle se nazývají: - sousední, jestliže úsečka XY je hranou krychle (např. A, B na obr. 3.35), - diagonální, jestliže úsečka XY je úhlopříčkou stěny (např. F, H na obr. 3.35), - dipodální, jestliže úsečka XY je tělesovou úhlopříčkou krychle (např. E, C na obr. 3.35). Obr Příklad 9 Rozhodněte, zda je následující tvrzení pravdivé: 61 Existuje hezká knížka, která obsahuje řadu vhodných problémů tohoto typu: G. Bizam, J. Herczeg: Igra I logika (v ruštině, 1975). 167

71 KAPITOLA 3 SÍTĚ KRYCHLE Jsou-li X a Y dva diagonální vrcholy krychle, pak existuje třetí vrchol Z, který je diagonální k oběma. Jestliže tvrzení není pravdivé, ukažte protipříklad. Jestliže tvrzení je pravdivé, podejte důkaz. Řešení: Použijeme standardní označení krychle a bod X umístíme do vrcholu A. Bod Y je diagonální k X, umístíme jej do vrcholu C. Tímto umístěním nic neměníme na obecnosti zadání. Tvrzení je pravdivé. Důkaz: Vrchol F (a stejně tak i vrchol H) je diagonální jak k vrcholu X = A, tak i k vrcholu Y = C. V úloze 9 na rozdíl od ostatních předchozích úloh má řešitel rozhodnout, zda nějaké tvrzení je či není pravdivé. Nicméně i toto tvrzení lze chápat jako výzvu k experimentální činnosti a intuitivnímu rozhodování. Na této úrovni může danou úlohu řešit i žák 3. ročníku. Budeme-li tuto i další obměněné úlohy formulovat precizně jako výroky s kvantifikátory (pro každé, pro žádné, pro všechny, existuje apod.), pak by úroveň řešitele měla být vyšší 8. ročník. Podobně jako ve fylogenezi i v ontogenezi tvrzení s kvantifikátory představují hlubší úroveň matematického myšlení. Velký kvantifikátor je jedním ze sloupů vzniku matematiky. Pythagorejské tvrzení o tom, že součet jakýchkoliv dvou sudých čísel je číslo sudé, je myšlenka, ke které žádná z předřeckých civilizací nedospěla. [Mathé v řečtině znamená všechno a tímto slovem je ve slově matematika velký kvantifikátor přítomen.] Fylogenetický poznatek má zřetelnou ontogenetickou projekci. Osmi- nebo devítiletý žák, jehož myšlení ještě nedospělo k úrovni řecké abstrakce, rozumí slovům všechna a každý pouze v obzoru malého počtu jevů, v rozsahu svých životních zkušeností. Předřecké civilizace, Sumerové, Babylóňané, Egypťané byli zaměřeni na otázku JAK? Jak vypočítat, jak sestrojit, jak najít,? Starověké Řecko tento přístup zásadně změnilo. Byl to Pythagoras ze Samu (?580?500), kdo poprvé přišel s myšlenkou obecného tvrzení a jeho důkazu. Ve skutečnosti toto byl začátek matematiky jako vědy, jak ji chápeme dnes. Je pravděpodobné, že první obecná tvrzení, která byla dokázána, byla ta, která se týkají sudých a lichých čísel, například: Součet kterýchkoli dvou lichých čísel je číslo sudé; součin kterýchkoliv dvou lichých čísel je číslo liché atd. Úlohy Rozhodněte, zda je následující tvrzení pravdivé: 168

72 3.3 Úlohy a jejich implementace Ú9a) Každé dva různé vrcholy, které jsou sousední s vrcholem X, jsou navzájem diagonální. Ú9b) Každé dva různé vrcholy, které jsou diagonální s vrcholem X, jsou navzájem diagonální. Ú9c) Každé dva vrcholy dipodální s vrcholem X jsou navzájem diagonální. Ú9d) Jsou-li X a Y navzájem diagonální, pak existuje vrchol, který je s oběma sousední. Ú9e) Jsou-li X a Y navzájem diagonální, pak každý vrchol sousední s X je Ú9f) sousední i s Y. Jsou-li X a Y navzájem diagonální, pak každý vrchol diagonální s X je diagonální i s Y. Ú9g) Jsou-li X a Y navzájem dipodální, pak každý vrchol sousední s X je diagonální i s Y. Ú9h) Vrcholy X, Y jsou diagonální vrcholy krychle, právě když existuje aspoň jeden vrchol krychle k oběma sousední. Řešení úloh 9a) h): Pravdivé: a, b, d, g, h; nepravdivé: c, e, f. Uvedené úlohy jsou náročné zejména z hlediska logiky. Ještě i žáci pátého ročníku chápou obrat X a Y navzájem diagonální jako výzvu k prověřování všech dvojic vzájemně diagonálních vrcholů. Je pochopitelné, že tato interpretace vyvolává v jejich vědomí představu úlohy rozsáhlé a náročné. Na druhé straně některým žákům třetího ročníku je jasné, že krychle je tak symetrická, že stačí vzít jediný konkrétní případ a všechny další případy jsou jen jeho obměnou. K tomuto poznání musí dospět žák sám právě tím, že stejnou situaci opakuje pro různé polohy bodů X a Y. Vyjádření, ve kterém se použije slovo každý jako součást tvrzení ve tvaru implikace (z A plyne B), je pro žáky prvního stupně náročné. Existuje ale způsob, jak formulovat tyto úlohy v jazyku, kterému dobře rozumějí již žáci třetího ročníku. Nová formulace spočívá v přenesení matematického textu do hádankového klimatu. Na úlohách 9a) a 9d) ilustrujeme zmíněný jazyk. Ú9a ) Myslím si jeden vrchol krychle a pak další dva k němu sousední. Jsou tyto dva vrcholy diagonální? Marek tvrdí, že tyto vrcholy jsou vždy diagonální, Nora tvrdí, že jen někdy, a Olda, že nikdy. Kdo z nich má pravdu? 169

73 KAPITOLA 3 SÍTĚ KRYCHLE Ú9d ) Petr tvrdí, že když mu někdo na krychli ukáže dva navzájem diagonální vrcholy, on vždycky najde třetí vrchol, který je s oběma sousední. Má Petr pravdu? Zamysleme se nad tím, v čem je hlavní různost i shodnost úloh 9a) a 9a ). Na první pohled je jasné, že dikce úloh je různá. Úloha 9a) je formulována striktně matematickým jazykem a používá pro označení klíčového vrcholu jméno X. Úloha 9a ) je formulována spíše hovorovým jazykem a žádné jméno pro označení vrcholu nepoužívá. Myšlenková podstata i náročnost geometrické situace, k níž se úlohy vztahují, je u obou úloh stejná. Z didaktického hlediska je popsaný rozdíl významný. Mnohdy žák nebo i student VŠ neuspěje při řešení úlohy ne proto, že je úloha pro něj myšlenkově náročná, ale proto, že rigidní matematický jazyk nedokáže interpretovat na úrovni svého matematického myšlení. Ú9i 1-4 ) V následující větě doplňte do rámečků některá ze slov: sousední, diagonální, dipodální tak, aby vzniklo pravdivé tvrzení. i 1 ) Jsou-li vrcholy X, Y navzájem. a vrcholy Y, Z navzájem., pak vrcholy X, Z jsou navzájem.. i 2 ) Jsou-li vrcholy X, Y navzájem. a vrcholy Y, Z navzájem., pak jsou vrcholy X, Z nejsou navzájem.. i 3 ) Jsou-li vrcholy X, Y navzájem. a nejsou-li vrcholy Y, Z navzájem., pak vrcholy X, Z jsou navzájem.. i 4 ) Jsou-li vrcholy X, Y navzájem. a nejsou-li vrcholy Y, Z navzájem., pak vrcholy X, Z nejsou navzájem.. Výzvy V úloze 9h) je v podstatě dána definice diagonálních vrcholů pomocí vrcholů sousedních. Vytvořte úlohy podobného typu, v nichž bude dána definice dipodálních vrcholů krychle pomocí sousedních a sousedních vrcholů pomocí vrcholů diagonálních. Vytvořte další úlohy podobné úlohám 9a) 9h). Každou z úloh 9b), 9c), 9e) 9g) přeformulujte v duchu formulace úloh 9a ), 9d ). Z úlohy 9i 1 ) lze vytvořit sérii výrazně jednodušších úloh. Jestliže do dvou rámečků textu vložíme dvě vhodná slova, dostaneme úlohu, ve které se 170

74 3.3 Úlohy a jejich implementace hledá jenom jedno slovo. Jestliže do jednoho rámečku textu vložíme jedno slovo, dostaneme úlohu náročnější, ve které se hledají již dvě slova. Vytvořte gradovanou sérii úloh uvedeného typu. Do série zařaďte i takové úlohy, které nemají řešení. Jestliže například do prvního rámečku dáme slovo sousední a do druhého diagonální, pak ve třetím rámečku může být jak slovo sousední, tak slovo dipodální. Úvahy o úloze 9i 1 ) motivované předchozí výzvou modifikujte pro úlohy 9i 2 ), 9i 3 ), 9i 4 ). Tyto tři úlohy se z geometrického hlediska od úlohy 9i 1 ) neliší. Liší se ale z hlediska logiky, protože obsahují negaci. Je zřejmé, že pomocí negace je možné z úlohy 9i 1 ) vytvořit další modifikace. Další modifikace vzniknou, když budeme moci do rámečků psát nápisy typu buď sousední, nebo dipodální apod. Uvažujte velikost hrany krychle jako jednotku délky. Formulujte pojmy sousední, diagonální a dipodální vrcholy krychle použitím míry Pojmenování vrcholů sítě krychle Příklad 10 Na obrázku 3.36 je síť krychle 6G a její tři vrcholy jsou pojmenovány D, H a G. Předpokládáme, že pracujeme se standardně pojmenovanou krychlí ABCDEFGH z obrázku Pojmenujte zbylé vrcholy dané sítě krychle. Obr Obr. 3.36a Řešení je dáno na obrázku 3.36a. Nejnázornější způsob řešení je založen na manipulaci. Síť na obrázku 3.36 vystřihneme, písmena D, H a G napíšeme dovnitř sítě, tu přiložíme vhodně na krychli a doplníme jména ostatních vrcholů. 171

75 KAPITOLA 3 SÍTĚ KRYCHLE Uvedeme tři parametry umožňující obměnu zadání příkladu 10. I. Počet zadaných vrcholů sítě a) 13, b) 12,.i) 5, j) 4, k) 3. II. Typ sítě (nedokážeme určit pořadí sítí krychle podle náročnosti). III. Rozložení zadaných vrcholů na síti. Tento parametr vyžaduje hlubší zkoumání. Když řešíme úlohu tak, že danou síť pokládáme na krychli s popsanými vrcholy (obr. 3.35), je úloha v podstatě vyřešena, přiložíme-li na krychli správně jednu stěnu. To lze udělat, jakmile jsou popsány aspoň tři vrcholy aspoň jednoho čtverce sítě. Tento případ je tedy nejsnadnější. Trochu náročnější je případ, kdy síť umíme přiložit jen k hraně krychle nebo jen ke stěnové úhlopříčce. V každém z těchto případů musí řešitel zkoušet dvě možnosti, jak položit síť na krychli jednou přikládá síť na krychli lícem navrch a podruhé rubem navrch. Nejsložitější případ je ten, když síť umíme ke krychli přiložit jen v jednotlivých vrcholech. V takovém případě je nutné zkoušet až šest možných položení sítě na krychli. 62 Úlohy Následujících osmnáct úloh se vztahuje ke třem sítím krychle 6A, 6D a 6G. U každé z těchto sítí očíslujeme všech čtrnáct vrcholů čtverců sítě. Úlohu pak zadáme tak, že některé z těchto čtrnáct vrcholů pojmenujeme písmenem. To lze stručně udělat tabulkovou formou. Začněme se sítí 6A. Na obrázku 3.37 jsou očíslované vrcholy sítě 6A a v tabulce 3.4 je uvedeno, které vrcholy jsou jak pojmenovány. Na obrázku 3.37a 1 je ukázáno, jak si úlohu 10a 1 ) druhý řádek tabulky 3.4 řešitel překreslí do geometrické podoby. Na obrázku 3.37a 2 je totéž uděláno pro úlohu 10a 2 ) třetí řádek tabulky Když řešíme úlohu jiným než výše uvedeným postupem, pak je dosti složité klasifikovat míru náročnosti té nebo oné úlohy. Problémem jsme se zatím hlouběji nezabývali a uvítáme, když čtenář zde projeví iniciativu a o výsledcích svého bádání nás bude informovat. 172

76 3.3 Úlohy a jejich implementace Obr Obr. 3.37a 1 Obr. 3.37a 2 Ú10a 1-6 ) Vrcholy sítě krychle na obrázku 3.37 jsou očíslovány. Známe jména a 1 ) deseti, a 2 ) osmi, a 3 ) šesti, a 4 ) pěti, a 5 ) čtyř, a 6 ) tří vrcholů (tabulka 3.4). Pojmenujte další vrcholy sítě. Tabulka 3.4 Série úloh a 1 ) a 6 ) je gradována z hlediska parametru I i III. Z hlediska parametru II jsou všechny úlohy stejné, neboť se vztahují ke stejné síti. Gradování podle parametru I je dáno počtem pojmenovaných vrcholů. Toto číslo ubývá v posloupnosti 10, 8, 6, 5, 4, 3. Z hlediska parametru III jsou první tři úlohy nejsnazší, protože u každé je možné na pojmenovanou krychli ihned položit jeden čtverec sítě. V případě a 1 ) je to čtverec ABCD, v případě a 2 ) je to čtverec EFGH a v případě a 3 ) je to čtverec ADHE. Úlohy a 4 ) a a 5 ) mají střední obtížnost. V úloze a 4 ) jsou známy dokonce tři stěnové úhlopříčky AH, CH, CF. V úloze a 5 ) jsou známy dvě hrany BC a DG. Úloha a 6 ) je nejobtížnější. Ú10b 1-6 ) Vrcholy sítě krychle na obrázku 3.38 jsou očíslovány. Známe jména b 1 ) osmi, a 2 ) sedmi, a 3 ) šesti, a 4 ) pěti, a 5 ) čtyř, a 6 ) tří vrcholů (tabulka 3.5). Pojmenujte další vrcholy sítě. 173

77 KAPITOLA 3 SÍTĚ KRYCHLE Obr c 1-6 ) Vrcholy sítě krychle na obrázku 3.39 jsou očíslovány. Známe jména tří vrcholů (tabulka 3.6). Pojmenujte další vrcholy sítě. Obr

78 3.3 Úlohy a jejich implementace Příklad 10 a úlohy 10a 1-6 ), 10b 1-6 ) a 10c 1-6 ) sledují dva cíle. První je geometrický. Žák si vytváří vlastní geometrickou metodu řešení těchto úloh. Pro většinu žáků spočívá nejúčinnější metoda ve vystřižení sítě, popsání všech jejích známých vrcholů, položení sítě na krychli, popsání dosud neznámých vrcholů a porovnání takto doplněné sítě s tou s čísly. Druhý cíl směřuje do komunikace. Tabulkový záznam řešení problému i jeho zadání je úsporný a přehledný, ale málo názorný a srozumitelný, proto učitel pomůže těm žákům, kteří mají potíže s převedením zadání úlohy do geometrické podoby. Šest případů z úlohy 10b 1-6 ) tvoří promyšlenou sérii úloh. V případě úlohy 10b 1 ) je pojmenováno osm vrcholů: 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10 a 11. V případě 10b 2 ) jsou dány všechny tyto vrcholy kromě jednoho (vrchol číslo 4). V případě 10b 3 ) mizí vrchol 9 a známe již jména jen šesti vrcholů. Proces ztráty dalšího jména u následující úlohy pokračuje ještě u dalších tří případů. Nakonec v případě 10b 6 ) jsou známa jména pouze tří vrcholů (jsou to 5, 6 a 10). U všech těchto případů existuje jediné řešení. To znamená, že ztráta informace v každém kroku byla nepodstatná. Byla pouze fiktivní. Nakonec tedy žáci vidí, že když u této sítě známe pouze vrcholy 5, 6 a 10, všechny další vrcholy jsou tím jednoznačně dány. Tedy znalost jmen dalších vrcholů je nadbytečná, redundantní. Z matematického pohledu je redundance vnímána jako něco neopodstatněného. Proč zadávat čtyři vrcholy, když stačí uvést tři? Z didaktického hlediska však redundance může být využita jako vhodný výukový nástroj. Jeho použití bylo ukázáno v úloze Ú10b 1-6 ), kde se začínalo se silně redundantní informací a postupně se přicházelo k méně redundantní informaci, a tedy náročnější úloze. Redundantní informaci lze použít i v práci se třídou. Nejprve všichni žáci dostanou pouze jména vrcholů 5, 6 a 10. Pak pojmenují všechny vrcholy, které pojmenovat umí. Pokud zbudou nějaké vrcholy nepojmenované, může žák žádat učitele o další jména podle vlastní volby. Tak žáci mohou ohodnotit svoji vlastní schopnost řešení těchto úloh a učitel získá přehled o schopnostech jednotlivých žáků. Ve všech případech úlohy 10c 1-6 ) jsou dány pouze tři vrcholy. Tedy v těchto zadáních není nadbytečný údaj. Když se na uvedené případy podíváme blíže, vidíme, že jsou zde jen tři různé typy trojic vrcholů. Buď všechny tři vrcholy náleží jedné stěně krychle (10c 1, 10c 4 ), nebo jsou každé dva vrcholy navzájem diagonální (10c 2, 10c 3, 10c 5 ), nebo leží v rovině souměrnosti krychle (10c 6 ). Ze všech osmnácti úloh uvedených v 10a), 10b) a 10c) pouze jediná připouští více než jedno řešení. Je to úloha 10c 6 ). Jestliže najdeme jedno řešení této úlohy a v něm uděláme záměnu jmen vrcholů B D a F H, dostaneme druhé řešení. Tato skutečnost vyplývá z toho, že krychle je souměrná mimo jiné 175

79 KAPITOLA 3 SÍTĚ KRYCHLE také podle roviny AEG, do které náleží i vrchol C. Nejednoznačnost řešení je důsledkem toho, že v zadání byly de facto dány vrcholy dva A, E. Tím, že bod G je dipodální s bodem A, je informace o bodu G v úloze 10c 6 ) redundantní. Je nutné uvědomit si, že termín vrchol sítě může být chápán dvěma různými způsoby: jako průvodní jev mnohoúhelníku na obrázku 3.37b je síť 6A nakreslena jako osmiúhelník. V tom případě lze mluvit jen o osmi vrcholech 1, 2, 4, 7, 9, 12, 13, 14. jako průvodní jev hexamina (obr. 3.37). V tom případě všech čtrnáct bodů, které jsou pojmenovány čísly 1 14, jsou vrcholy. Obr. 3.37b V celé kapitole budeme uvažovat pouze druhý z uvedených způsobů. Tedy každá síť krychle má přesně čtrnáct vrcholů. Například na obrázku 3.39 má každý vrchol své vlastní jméno, a sice číslo 1, 2, 14. Jestliže položíme síť na krychli, některé z vrcholů sítě padnou do stejného vrcholu krychle, například vrcholy 4, 9, 14 padnou do téhož vrcholu, který v případě úlohy 10c 1 má jméno B (obr. 3.39c 1 ). Toto označení může vést k nedorozumění, protože vyjádření vrchol B sítě 6G na obrázku 3.39c 1 není jednoznačné. Bylo by tedy žádoucí odlišit všechny tři vrcholy například pomocí indexu a psát B 1, B 2, B 3. Takové upřesnění ale výrazně zatíží jak komunikaci, tak i porozumění pojmu síť Obr. 3.39c 1 176

80 3.3 Úlohy a jejich implementace krychle. Naše zkušenosti ukazují, že zmíněná nejasnost nevede k nedorozumění zejména proto, že komunikace o sítích je obvykle provázena obrázkem a ukazovací zájmena hrozbu možného nedorozumění snižují. Při práci se žáky je možné popsaný jev zpřístupnit pomocí slov trojčata, dvojčata eventuelně i jedináček. Tato slova vysvětlíme v následující ilustraci. Ilustrace 3.9 Jména vrcholů sítě krychle Když síť na obrázku 3.39 položíme na krychli, tři vrcholy označené čísly 4, 9, 14 padnou do jednoho vrcholu krychle. Tuto skutečnost vyjádříme obratem: Vrcholy 4, 9, 14 jsou trojčata. Všechny tyto vrcholy dostanou při popisu sítě stejné jméno jako příslušný vrchol krychle. Například v úloze 10c 1 jsou trojčata 4, 9, 14 pojmenována písmenem B. Dále dva vrcholy sítě 1 a 12 také padnou při oblékání krychle do jednoho vrcholu krychle. Tuto skutečnost vyjádříme obratem: Vrcholy 1 a 12 jsou dvojčata. Oba vrcholy dostanou při popisu sítě stejné jméno jako příslušný vrchol krychle. V úloze 10c 1 jsou dvojčata 1 a 12 pojmenována písmenem C. Dalšími dvojčaty jsou vrcholy sítě 2 a 8 jejich společné jméno je G; 3 a 7 jejich společné jméno je H; 10 a 13 a jejich společné jméno je A. Vrchol 5 není ani jeden z trojčat, ani jeden z dvojčat, a proto jej nazveme jedináček. V úloze 10c 1 má jméno F. Toto písmeno se vyskytuje v tabulce se správným řešením pouze jednou. Pouze jednou se vyskytují i písmena E a D. I toto jsou jedináčci. Slova trojčata, dvojčata a jedináček budeme v dalším textu již používat jako termíny. Jejich zavedení prostřednictvím ilustrace považujeme za dostatečně jasné, i když z hlediska matematické stavby nepostačující Tvorba pravidel pro vrcholy sítě Příklad 11 Na síti krychle jsou pojmenovány čtyři vrcholy jednoho čtverce. Najděte pravidlo, pomocí něhož popíšete všechny další vrcholy sítě. Řešení: Je-li XY úhlopříčka bimina, které je částí sítě, jsou body X, Y dipodální vrcholy. Toto poznání nazveme pravidlo dipodálních vrcholů. Důkaz: Čtverce bimina po položení na krychli splynou se dvěma sousedními stěnami, které jsou navzájem kolmé, a úsečka XY je pak tělesovou úhlopříčkou krychle. 177

81 KAPITOLA 3 SÍTĚ KRYCHLE Pravidlo dipodálních vrcholů je silné tvrzení a jeho odhalení není pro studenta, a tím méně pro žáka snadné. Proto je vhodné vést žáka nejprve k odhalení jiných evidentnějších pravidel. K tomu jsou zaměřeny úlohy 11a) 11e). Jestliže úlohy 11a) 11e) řešíme ve třídě, budeme povzbuzovat všechny žáky, kteří přichází s obecnější myšlenkou. Ve vzájemné komunikaci žáků se pak obě pravidla, k nimž dané úlohy vedou, objeví nejprve v intuitivní formě a po jistém úsilí, s případnou pomocí učitele, i v dobře formulovaném tvrzení. Úlohy Ú11a) Na obrázku 3.40 je trimino 3B, které je střihem pro kout a jehož čtyři vrcholy jsou pojmenovány písmeny B, C, D, F. Pojmenujte další čtyři vrcholy trimina, které jsou označeny čísly 1, 2, 3, 4. Lze tuto úlohu řešit bez pokládání trimina na krychli? Obr Ú11b) Na síti na obrázku 3.39 je popsáno osm vrcholů: 1 = F, 4 = B, 5 = A, 6 = D, 10 = C, 11 = G, 12 = F, 14 = B. Bez pokládání sítě na krychli popište dalších šest vrcholů sítě. Svůj popis zdůvodněte. Ú11c 1-3 ) Na síti krychle na obrázku 3.36a se písmena A, B, D a G vyskytují dvakrát a písmeno H dokonce třikrát. Najděte, které vrcholy sítě na obrázku c 1 ) 3.37, c 2 ) 3.38, c 3 ) 3.39 mají stejné jméno. Ú11d) Najděte pravidla, pomocí nichž je možné řešit úlohu 11c) přímo na síti bez použití modelu krychle. Ú11e 1-4 ) Známe jméno jednoho vrcholu sítě krychle. Najděte všechna jména dalších vrcholů sítě. Řešte pro e 1 ) síť na obrázku 3.37, známý vrchol je 1 = A, e 2 ) síť na obrázku 3.37, známý vrchol je 4 = A, e 3 ) síť na obrázku 3.38, známý vrchol je 10 = A, e 4 ) síť na obrázku 3.39, známý vrchol je 14 = A. U prvního řešení úlohy 11a) žáci zřejmě použijí model krychle. Když učitel zdůrazní závěrečnou otázku úlohy, je pravděpodobné, že žáci odhalí, že 4 = A, protože čtverec s vrcholy B, C, D musí obsahovat i vrchol A. Je možné, že některý žák odhalí i rovnost 3 = B, protože obě úsečky vycházející z vrcholu 178

82 3.3 Úlohy a jejich implementace 4 = A tvoří jeden zip. Pak ovšem u dalšího čtverce známe tři vrcholy, jsou to A, B, F. Tedy daný čtverec je přední stěnou krychle, a proto 1 = E. Nakonec i u třetího čtverce trimina známe tři vrcholy: A = 4, E = 1, D. Jsou to vrcholy levé stěny, a proto 2 = H. Je pravděpodobné, že někteří žáci již v průběhu řešení této úlohy odhalí pravidlo čtvrtého vrcholu: Známe-li jména tří vrcholů některého čtverce sítě krychle, pak známe i stěnu krychle, na kterou tento čtverec padne, a tedy známe i jméno čtvrtého vrcholu tohoto čtverce. Žáci, kteří již u předchozí úlohy odhalili pravidlo čtvrtého vrcholu, mohou úlohu 11b) přeskočit. Pro ostatní žáky je to úloha, která je má k pravidlu dovést. Žáci postupně odhalí stěny: přední ABFE, levou ADHE, spodní ABCD, zadní CDHG, horní EFGH a pravou BCGF. Podtržené písmeno je jméno toho vrcholu, který je odhalen pomocí pravidla čtvrtého vrcholu. Domníváme se, že po vyřešení této úlohy již bude pro většinu žáků pravidlo čtvrtého vrcholu jasné. Asi nejvhodnější způsob řešení úlohy 11c) je položit danou síť na krychli a pak, třeba barevně, vyznačit každý vrchol jako například na obrázku Po opětovném rozbalení sítě nám stejné barvy ukáží odpověď na otázku úlohy. Žáci s velkou pravděpodobností odhalí pravidla samostatně, ale s jejich formulacemi jim pomůže učitel. Jedná se o následující pravidla. Pravidlo zipu: Jsou-li úsečky XY a XZ dvě strany téhož zipu, tj. jsou na sebe kolmé a leží na hranici sítě, pak Y = Z. Pravidlo dlouhého obdélníku: Je-li tetramino 4A součástí sítě krychle, pak koncové vrcholy delší strany tohoto obdélníku mají stejné jméno. Použitím těchto pravidel lze na obrázku 3.37 najít tyto rovnosti: 2 = 5, 3 = 7, 8 = 12, 10 = 14. Rovnosti 1 = 6 a 11 = 13 takto najít neumíme. Na obrázku 3.38 lze najít rovnosti: 2 = 5, 3 = 7, 8 = 12, 10 = 13. Rovnosti 1 = 6 a 9 = 14 takto najít neumíme. Na obrázku 3.39 lze najít rovnosti: 3 = 7, 4 = 9, 10 = 13. Rovnosti 1 = 12, 2 = 8 a 4 = 9 =14 takto najít neumíme. U úlohy 11e 1 ) najdeme, že vrchol 2 může být pojmenován kterýmkoliv z písmen B, D, nebo E. Stejně tak i vrcholy 3, 5, 7, 11 a 13. Samozřejmě, že když už je jeden z těchto vrcholů pojmenován, je pro další vrcholy již volba omezena. Vrchol 4 může být pojmenován kterýmkoliv z písmen C, F, nebo H. Stejně tak i vrcholy 10, 12 a 14. Samozřejmě, že když už je jeden z těchto vrcholů pojmenován, je pro další vrcholy volba omezena. Konečně vrchol 6 musí být vždy označen pouze A a vrchol 9 musí být vždy označen G. 179

83 KAPITOLA 3 SÍTĚ KRYCHLE Podobně i u dalších úloh 11e 2-4 ) žáci zjistí, že kromě vrcholu A, který je pevně dán, je s ním pokaždé pevně dán i k němu dipodální vrchol G. Toto zjištění pomůže aspoň některým žákům odhalit pravidlo dipodálních vrcholů. U dalších úloh se vrátíme k pojmům trojčata, dvojčata, jedináček, které byly zavedeny v ilustraci 3.9 v odstavci Ú11f 1-11 ) V každé z jedenácti sítí vyznačte vrcholy, které jsou trojčata, dvojčata i jedináčci. Pokuste se najít alespoň některá pravidla, jak lze tyto body poznat. Ú11g) Označíme j X počet jedináčků sítě 6X, d X počet dvojčat sítě 6X a t X počet trojčat sítě 6X. Pro každou síť krychle najděte všechna tři čísla j X, d X a t X a zapište je do tabulky. Ú11h) Najděte takové vztahy mezi čísly j X, d X a t X, z nichž lze z podmínky, že jedno z čísel je dáno, zjistit zbylá dvě čísla. Ú11i) U každé z jedenácti sítí rozhodněte, o jaký mnohoúhelník se jedná. Ú11j) Síť krychle 6X je uvažovaná jako rovinný n-úhelník. Číslo n známe, najděte čísla j X, d X a t X. Gradovaná série úloh 11f 1-11 ) 11h) vede žáky k vybudování mini-teorie o číslech n, j X, d X a t X. Nejprve v úlohách 11f 1-11 ) žáci získají vhled do vyhledávání jedináčků, dvojčat i trojčat. Zjistí, že nejrychleji najdou jedináčky a že nejnáročnější je hledání trojčat. V úloze 11g) zaměří pozornost na počty těchto vrcholů a zjistí, že všechny sítě lze rozdělit do tří skupin. V první skupině, kam patří sítě 6A, 6D a 6J, je j X = 2, d X = 6 a t X = 0. Do druhé skupiny patří sítě 6B, 6C, 6G a 6K a platí pro ně j X = 3, d X = 4 a t X = 1. Do třetí skupiny patří sítě 6E, 6F, 6H a 6I a platí pro ně j X = 4, d X = 2 a t X = 2. Tyto údaje mají žáci uvedeny jako výsledky v tabulce. Poslední úloha této série, úloha 11h), je náročná. K jejímu řešení nestačí standardní počítání, zde se vyžaduje odhalování vztahů mezi čísly. Zkoumáním čísel v tabulce žáci asi odhalí nejprve vztahy j X = t X + 2 a j X + d X + t X = 8. Náročnější je odhalit vztahy d X + 2t X = 6, d X + 2j X = 10 a j X + 2d X + 3t X = 14. K odhalení posledního vztahu učitel může žákům napovědět otázkou: Jak lze z čísel j X, d X, t X najít počet vrcholů všech šesti čtverců sítě? Vztah j X + d X + t X = 8, k němuž žáci dospěli zkoumáním tabulky, je možné odhalit i čistě geometricky. Jeho geometrický význam zní jednoduše: Krychle má osm vrcholů. Je na učiteli, jakým způsobem své žáky na tento hluboký vztah 2D 3D upozorní. 180

84 3.3 Úlohy a jejich implementace Odhalením výše uvedených vztahů není ještě úloha 11h) úplně vyřešena. Je ještě zapotřebí napsat vztahy, jak lze ze znalostí jednoho z čísel j X, d X, t X určit zbylá dvě čísla. Úlohy 11i) a 11j) vedou k obohacení mini-teorie, kterou jsme právě vybudovali. Úloha 11i) zaměří pozornost žáků na nový údaj číslo n. Když ale tento údaj doplní do již vytvořené tabulky v řešení úlohy 11g), zjistí, že číslo n je provázáno s dalšími čísly této tabulky. Možná již samostatně bez výzvy, kterou přináší úloha 11j), odhalí žáci jeden ze vztahů: n = 2j X + 4, n = 2t + 8, n = 14 d X.. Následují úlohy se již netýkají sítí krychle, ale rozvíjejí myšlenku vlastností mnohoúhelníků. Ú11k) Najděte septamino (7-mino), které uvažované jako rovinný obrazec má devět vrcholů a deset stran (tedy není mnohoúhelníkem). Ú11l) Najděte oktamino (8-mino), které uvažované jako rovinný obrazec má osm vrcholů a osm stran, a přesto není mnohoúhelníkem. Výzvy Na síti 6A na obrázku 3.37 lze pozorovat toto: Když vyjdeme od vrcholu 4 na obě strany, po jednom kroku dospějeme k vrcholům 2 a 5, které jsou označeny stejným písmenem. Po dalším kroku dojdeme k vrcholům 1 a 6, které jsou též označeny stejným písmenem. Po třetím kroku dojdeme k vrcholům 3 a 7, které jsou též označeny stejným písmenem, atd. Tento jev nazveme jev symetrie. Zkoumejte tento jev pro jednotlivé sítě krychle. Souvisí tento jev se (středovou, osovou) souměrností sítě? Zjistěte, zda pomocí čtyř výše uvedených pravidel (pravidlo dipodálních vrcholů, pravidlo čtvrtého vrcholu, pravidlo zipu a pravidlo dlouhého obdélníku) lze vyřešit všech šest úloh 10c). Zjistěte, zda k vyřešení všech úloh stačí i menší počet těchto pravidel. Jestliže ano, která to jsou? Matematické poznání, k němuž jste dospěli v předchozí výzvě, zpracujte didakticky tak, aby aspoň k jeho části dospěli i vaši žáci. 181

85 KAPITOLA 3 SÍTĚ KRYCHLE Vazby mezi hranami na krychli Příklad 12 Obarvěte každou hranu krychle jednou ze tří barev a, b, c tak, že každé dvě hrany stejné barvy jsou rovnoběžné. Jaká je vzájemná poloha hran různých barev? Řešení: Každé dvě hrany různých barev jsou navzájem kolmé (obr. 3.41). Obr Dvanáct hran krychle tvoří složitou kombinatorickou strukturu. Je náročnější než struktura šesti stěn i než struktura osmi vrcholů krychle. Snad nejlepší způsob, jak dítě získá vhled do kombinatorické struktury krychle, je modelování. Když s poznáváním této struktury začínáme ve třetí nebo dokonce ve druhé třídě, je vhodné mít k dispozici větší model krychle a sadu různobarevných špejlí, které budou sloužit pro modelování hran krychle. Krychli můžeme modelovat ze dvanácti špejlí a osmi malých kuliček (jako vrcholů). Při takovémto přístupu k problematice je rozumné žáky nejdříve seznámit s pojmy rovnoběžnost a kolmost. Přitom je důležité vycházet ze životních zkušeností žáků. Vzhledem k tomu, že životní zkušenosti žáků s jevy rovnoběžnosti a kolmosti jsou do značné míry vázány na směr vodorovný a svislý, je potřebné systematicky obohacovat toto chápání o rovnoběžnost a kolmost i v jiných směrech. Například když krychli, která leží na stole, zvedneme do prostoru a pootočíme, nezmění se tím vztahy kolmosti a rovnoběžnosti hran a stěn, jen se změní jejich poloha vzhledem k horizontálnímu a svislému směru. Příklad 12 je možné formulovat v názornějším jazyku asi takto: Je dáno dvanáct stejně dlouhých špejlí. Čtyři špejle jsou barvy a, čtyři jsou barvy b a čtyři jsou barvy c. Nalepte těchto dvanáct špejlí k hranám krychle 182

86 3.3 Úlohy a jejich implementace tak, že každé dvě špejle stejné barvy jsou rovnoběžné. Jaká je vzájemná poloha špejlí různých barev? Úlohy První čtyři úlohy jsou snazší, než je úloha 12 (v příkladu 12). Další úlohy jsou náročnější a jazyk špejlí je nahrazen geometrickou terminologií. Ú12a) Vyznačte na modelu krychle všechny hrany vycházející z jednoho vrcholu. Kolik hran je vyznačeno? Ú12b) Vyznačte na modelu krychle jednu hranu a pak všechny hrany krychle s touto hranou rovnoběžné. Kolik hran celkem je vyznačeno? Ú12c) Na modelu krychle zvolte jednu stěnu a na ní vyznačte všechny hrany. Kolik hran je vyznačeno? Ú12d) Přilepte ke každé hraně modelu krychle špejli a zjistěte, kolik špejlí je potřeba. Ú12e) Obarvěte každou hranu krychle jednou ze tří barev a, b, c tak, že z každého vrcholu vycházejí hrany tří různých barev. Ú12f) Obarvěte každou hranu krychle jednou ze tří barev a, b, c tak, že z každého vrcholu vycházejí hrany tří různých barev a navíc existuje dvojice hran barvy c, které nejsou rovnoběžné. Ú12g) Řešte úlohu 12e) pro případ, že máme tři hrany barvy a, tři hrany barvy b, tři hrany barvy c a tři hrany barvy d. Ú12h) Řešte úlohu 12f) pro případ, že máme tři hrany barvy a, tři hrany barvy b, tři hrany barvy c a tři hrany barvy d. Ú12i) Řešte úlohu 12e) pro tři hrany barvy a, tři hrany barvy b, tři hrany barvy c a tři hrany barvy d a podmínku, že v každé stěně krychle jsou hrany všech čtyř barev. Ú12j) Řešte úlohu 12e) pro tři hrany barvy a, tři hrany barvy b, tři hrany barvy c a tři hrany barvy d a podmínku, že každé dvě rovnoběžné hrany jsou různé barvy. Pro nás je jasné, že odpověď tři v úloze 12a) nezávisí na volbě vyznačeného vrcholu. Pro dítě to ale není vždy jasné. Proto je žádoucí nechat dítě řešit tuto úlohu opakovaně s různou volbou vrcholů. Až když dítě samo řekne to je pokaždé tři nebo něco podobného, je zřejmé, že u této konfigurace chápe symetrii krychle. Stejně tak bychom měli opakovaně řešit i úlohy 12b) a 12c). Řešení úlohy 12e) je na obrázku 3.41 i 3.42, úlohy 12f) je na obrázku 3.42, úlohy 12g), 12h), 12i) na obrázku 3.43 a úlohy 12j) na obrázku 3.43 i

87 KAPITOLA 3 SÍTĚ KRYCHLE Obr Obr Obr Výzvy Je zajímavé všimnout si středů čtyř hran jedné barvy na krychlích, které jsou řešením příkladu 12 a úloh 12e), 12f) (například na obrázku 3.41). Středy všech červených hran na obrázku 3.45 jsou vrcholy čtverce. Nazvěme tento čtverec červený. Stejně vytvoříme zelený a modrý čtverec. Tyto tři čtverce jsou navzájem kolmé. Obsah každého čtverce je 1, jestliže uvažujeme jednotkovou krychli. Zkoumejte, jak je to v případě úloh 12e) a 12f). Využijte popsaný přístup ke krychli a vytvořte sérii úloh pro nadané žáky. Obdobně zkoumejte trojúhelníky, které mají vrcholy ve středech stejnobarevných hran například na obrázku 3.43 i Popište, jaké jsou to trojúhelníky, určete jejich obsah, určete polohu barevných trojúhelníků například vzhledem k tělesovým úhlopříčkám krychle, všimněte si jejich těžišť, popište těleso, jehož vrcholy jsou právě tato barevná těžiště, určete objem toho tělesa atp. Obr Obr Čtyři jednobarevné vrcholy krychle na obrázku 3.44 jsou vrcholy tetraedru. Vytvořte sérii úloh pro své studenty (2. ročník střední školy), které je přivedou k objevu tohoto tetraedru a jeho dalších charakteristik. 184

88 3.3 Úlohy a jejich implementace Těžiště jednobarevných trojúhelníků na obrázku 3.46 jsou rovněž vrcholy tetraedru. Navrhněte sérii úloh pro své studenty (2. ročník střední školy), která je přivede k objevu tohoto tetraedru a jeho dalších charakteristik. Poslední čtyři výzvy jsou výletem do stereometrie a týkají se chirurgie krychle a vazeb na příbuzná tělesa, jako je tetraedr, který je určen čtyřmi navzájem diagonálními vrcholy krychle, a oktaedru, který je určen středy stěn krychle. Jestliže učitel vhodně upozorní žáky v nižších ročnících na existenci zmíněného tetraedru a oktaedru, usnadní jim v budoucnu analytické uchopení tetraedru zavedením souřadného systému pomocí krychle. Krychle, která je dobře známá a dobře popsatelná, je lešením pro celou sérii dalších tetraedrů Vazby mezi hranami na síti krychle Zavedeme termín, který budeme používat při úvahách o vzájemné poloze hran krychle a jim odpovídajících stran čtverců sítě. Je dána krychle, jejíž každá hrana je obarvena jednou barvou. Dále je dána síť krychle a každá strana každého čtverce sítě je obarvena jednou barvou. Konečně je dáno přiřazení sítě krychle na krychli. Řekneme, že krychle a její síť jsou souhlasně obarveny, jestliže barva každé strany každého čtverce sítě je stejná jako barva hrany, které je tato strana přiřazena. Náročné vymezení pojmu souhlasného barvení lze formulovat pro žáky metaforicky: Každá hrana krychle neboli každý šev a každý zip obleku krychle má nějakou barvu. Vytvoříme z obleku střih na šaty pro krychli a švy i zipy si svou barvu ponechají. Budeme stručně říkat, že krychle a její střih jsou souhlasně obarveny. Příklad 13 Na obrázku 3.47a je krychle, jejíž každá hrana je obarvena jednou ze tří barev a, b, c (černá plná tenká čára, červená plná tlustá a zelená tečkovaná čára). Na obrázku 3.47b je šest čtverců a každá strana každého čtverce je také obarvena jednou ze tří barev a, b, c. Sestrojte z daných čtverců síť krychle tak, aby byla s krychlí souhlasně obarvena. Obr. 3.47a Obr. 3.47b 185

89 KAPITOLA 3 SÍTĚ KRYCHLE Existují dvě systematické strategie řešení této úlohy. 1) Strategie 3D 2D: Jednotlivé čtverce se přiloží k příslušným stěnám tak, aby si barvy odpovídaly. Tím vznikne oblek a jeho svléknutím se vytvoří síť. Při přiřazování čtverců ke stěnám krychle se rozvíjí schopnost přiřazovat dvě množiny na základě kritéria, které je dáno více informacemi. 2) Strategie 2D: Nejdříve se sestrojí síť přikládáním stejně obarvených stran čtverců k sobě. Lze začít tím čtvercem, který má všechny strany obarvené jednou barvou, a k němu pak přilepovat další čtverce. Správnost řešení se pak ověří oblečením sítě na krychli. Obarvení stran jednotlivých čtverců lze popsat pomocí čtveřice písmen. Například obarvení čtverců na obrázku 3.47b odpovídají po řadě zleva doprava tyto čtveřice: (a,a,a,a); (a,a,a,b); (a,a,b,b); (b,b,b,b); (b,c,a,a); (b,c,a,b). Dohoda: Stejně jako při popisu vrcholů budeme barvy stran popisovat ve směru pohybu hodinových ručiček a první písmeno jenom pro usnadnění komunikace označuje barvu horní strany. Uvedený způsob popisu barev budeme dále používat. Úlohy V následujících úlohách je dáno vždy šest čtverců a každá strana každého čtverce je obarvena jednou ze tří barev a, b, c. Sestrojte z daných čtverců síť krychle. Jestliže budou dva čtverce obarveny stejně například (a,b,a,b), budeme to zapisovat takto: 2 (a,b,a,b). Ú13a) (a,a,a,a), 4 (a,a,a,b), (b,b,b,b) Ú13b) 2 (a,a,a,a), 4 (a,b,a,b) Ú13c) 4 (a,a,a,b), (a,b,a,b), (b,b,b,b) Ú13d) 4 (a,a,a,b), 2 (a,b,a,b) Ú13e) 6 (b,a,a,b) Ú13f) 6 (a,a,a,b) Ú13g) 3 (b,a,a,b), 3 (c,a,a,c) Ú13h) 2 (a,b,a,b), 2 (a,c,a,c), 2 (b,c,b,c) Ú13i) (a,b,c,d) (a,b,d,c), (a,c,b,d), (a,c,d,b), (a,d,b,c), (a,d,c,b) Ú13j 1,2,3 ) Je dána síť krychle na obrázku j 1 ) 3.37, j 2 ) 3.38, j 3 ) Najděte všechny dvojice úseček (zipů), které po položení sítě na krychli splynou. 186

90 3.3 Úlohy a jejich implementace Obr. 3.48a Obr. 3.48b Obr. 3.48c Obr. 3.48d Obr. 3.48e (+2 další řešení) Obr. 3.48f Obr. 3.48g Obr. 3.48h Obr. 3.48i Na obrázcích 3.48a i jsou řešení úloh 13a) i). Výzva Je-li některá stěna krychle popsána čtveřicí (a,b,a,b), pak je zřejmé, že na krychli budou aspoň dvě rovnoběžné hrany obarveny barvou a a aspoň dvě rovnoběžné hrany budou obarveny barvou b. Úvahy podobného typu, na základě kterých ze znalosti barvení některých nebo všech stran čtverců, můžeme něco říci o barvení hran, nebo dokonce vrcholů krychle, mohou vést k zajímavým výsledkům. Například ze zadání úlohy 13a) můžeme vyvodit, že čtyři vrcholy krychle mají barvu a, to znamená, že všechny tři hrany vycházející z toho vrcholu mají barvu a. Pokuste se najít obdobné závěry vztahující se k dalším výše uvedeným úlohám, popřípadě formulovat obecná tvrzení tohoto typu. Až dosud jsme uvažovali o schématu sítě krychle z hlediska didaktického. Nyní v odstavci 3.4 zaměříme pozornost na vytvoření struktury pojmu sítě krychle. To znamená, že zavedeme formalizovaný jazyk, pomocí něhož je možné matematicky přesně definovat pojmy, s nimiž jsme dosud pracovali na úrovni schématu. Připomínáme, že tato část je pro učitele, zejména učitele prvního stupně základní školy, nadstavbová a že ji ve své praxi nejspíše nevyužije. 187

91 KAPITOLA 3 SÍTĚ KRYCHLE 3.4 Význam strukturace schématu v geometrii Geometrické objekty a situace jsou v našem vědomí uchovávány prostřednictvím vizuálních, někdy i taktilních představ. Sugestivní síla tohoto poznání mnohdy tlumí potřebu dané poznatky formalizovat. Nedomníváme se, že formalizace geometrických schémat je tak důležitá jako formalizace aritmetických a algebraických schémat, přesto považujeme za rozumné v této studii jednu z možných formalizací sestrojit. Formalizovaný jazyk, který v následujícím odstavci představujeme, na úrovni základní školy spíše nelze použít nebo jen ve velice omezeném rozsahu. Ve větší míře jej lze použít až na vyšší úrovni, kdy jsou již studenti připraveni na strukturaci poznatků ve smyslu (Hejný, 2007). Učitel může pomocí formalizovaného uchopení problematiky získat matematický nadhled nad didakticky zpracovaným učivem. Jeho práce pak bude z hlediska didaktiky účinnější zejména při individualizovaném přístupu k žákům a formulaci úloh pro žáky nadanější. Ty může učitel motivovat k potřebě upřesňování nebo dokonce strukturování geometrického schématu založeného na intuitivních představách. Matematicky zdatní studenti obvykle vítají podněty k abstrakčně náročnějším úlohám, které otevírají přechod od schématického vnímání situace ke strukturálnímu, a práci, která jim nepřipadá objevná, považují často za zbytečnou. Následující ilustrace popisují situace, ve kterých bylo možné žáky dále rozvíjet směrem ke strukturaci poznatků o sítích těles, avšak učitel na to nebyl připraven. Ilustrace 3.10 Objev vzorce pro povrch válce Učitelka J. Hanušová ve své disertační práci (Hanušová, 2007) popisuje situaci z vlastního vyučování v kvartě osmiletého gymnázia, které vedla v duchu konstruktivizmu. Nechala žáky ve skupinách objevovat vzorec pro povrch válce. Jednu skupinu tvořili dva žáci, kteří v matematice byli nejzdatnější ze třídy. Ti vyřešili úlohu velice rychle a vzorec našli vhledem. Učitelka však na nich požadovala, aby síť válce vystřihli, geometrické údaje změřili a povrch vypočetli. Žáci její úkol s nelibostí splnili. V komentáři k této situaci J. Hanušová kriticky hodnotí své počínání a vysvětluje jeho příčinu tím, že nebyla připravena na tak rychlé vyřešení úlohy.dále uvádí vhodnější řešení situace, než jaké realizovala. Uvažuje, že úloha, která by byla intelektuálně náročnější, by žáky motivovala k efektivnější aktivitě. Schéma výpočet povrchu tělesa by žáci obohatili o další případy izolovaných 188

92 3.4 Význam strukturace schématu v geometrii modelů. J. Hanušová připouští, že měla žáky vyzvat k hledání povrchu příbuzných těles, například kužele či komolého kužele. Ilustrace 3.11 Nepřímá shodnost I Při realizaci experimentu ve 2. ročníku základní školy v Neratovicích žáci pracovali ve skupinách na úkolu najít co nejvíce střihů na oblek pro pana Krychli. Každá skupina pak prezentovala své střihy na tabuli. Samozřejmě, že se některé tvary střihů objevily na tabuli vícekrát, proto bylo dalším úkolem žáků zjistit, kolik různých střihů našli. Dávali na jednu hromádku shodné střihy a při tom vznikla diskuse, zda střihy, které jsou nepřímo shodné, jsou stejné nebo ne. Učitelka byla touto diskusí zaskočena. Problematiku sítí krychle, stejně tak jako problematiku nepřímých shodností neměla dostatečně promyšlenu. Nakonec s rozpaky přijala žákovský argument pro odlišení nepřímo shodných sítí: Přece záleží na tom, jestli mám levý nebo pravý rukáv dlouhý. Žáky, kteří byli připraveni hlouběji situaci promýšlet, neuměla učitelka podnítit otázkou, která by je vedla k úvahám o slově stejný s využitím jejich životních zkušeností. Její vedení žáka mohlo mířit na odhalení dvou různých způsobů zavedení pojmu stejné sítě. Mohla se například zeptat: Když si svetr s kratším pravým rukávem oblečeš naruby, který rukáv pak budeš mít kratší? nebo Když máš dvě osově souměrné sítě krychle obarvené na líci červenou a na rubu modrou barvou, můžeš kteroukoliv z těchto sítí položit na krychli tak, aby byla modrá? Ilustrace 3.12 Nepřímá shodnost II Učitelka Carol 63 předvedla svým žákům následující argument na podporu tvrzení, že nepřímo shodné sítě krychle nejsou stejné : Označila čtverce každé sítě 6G a 6G (obr. 3.1) čísly 1-6 tak, že čtverce se stejnými čísly si odpovídaly v osové souměrnosti. Položila krychli na stěnu s číslem 1 sítě 6G a začala krychli do sítě oblékat. Totéž udělala s druhou sítí 6G. Pak žákům demonstrovala, že čtverec s číslem 2 se na síti 6G identifikuje s jinou stěnou krychle než čtverec s číslem 2 na síti 6G. 63 Ilustrace pochází z experimentu, který byl realizován v Derby, UK, v rámci projektu Socrates-Comenius 2.1., IIATM, v roce 2005 se žáky 4. ročníku základní školy. 189

93 KAPITOLA 3 SÍTĚ KRYCHLE Tato argumentace učitelky nebyla podepřená dobrou znalostí schématu shodnost rovinných útvarů. Její nejistota vyvolala pravděpodobně strach z další diskuse se žáky, a proto diskusi autoritativně ukončila. Domníváme se, že vhodnější by asi bylo dát výzvu, aby žáci zkusili druhou síť obléci na krychli tak, aby se čtverce sítě identifikovaly se stejnými stěnami jako u první sítě. 3.5 Matematické uchopení pojmu síť krychle: formalizace jazyka Postupně definujeme pojmy krychle, polymino, síť krychle a další pojmy s těmito související a uvedeme o nich několik tvrzení. Některá z nich dokážeme a některé důkazy přenecháme čtenáři. Dále zde uvádíme několik úloh. Definice 1 V trojrozměrném Eukleidovském prostoru E 3 je dáno osm různých bodů A, B, C, D, E, F, G, H tak, že úsečky AB, AD, AE, BC, BF, CD, CG, DH, EF, EH, FG, GH jsou navzájem shodné a každé dvě jsou buď navzájem rovnoběžné, nebo kolmé. Konvexní obal bodů A,, H 64 se nazývá krychle. Body A,, H se nazývají vrcholy krychle, dvanáct výše vyjmenovaných úseček se nazývají hrany krychle. Tvrzení 1 Body A, B, C, D leží v rovině a tvoří vrcholy čtverce. Důkaz: Protože body A, B, C jsou navzájem různé a úsečky AB a BC musí být na sebe kolmé, nebo navzájem rovnoběžné, nastávají pouze dvě možnosti: a) bod B je středem úsečky AC, b) body A, B, C tvoří vrcholy rovnoramenného pravoúhlého trojúhelníka s přeponou AC. Případ a) není možný, protože z podmínky, že úsečky CD, DA a AB jsou shodné, plyne, že D = B, což je spor s předpokladem, že D B. V případě b) leží bod D v rovině souměrnosti úsečky AC a jeho vzdálenost od bodů A a C je shodná s úsečkou AB. Tedy bod D leží na kružnici se středem v bodě S, kde S je středem úsečky AC (S = A C), a poloměrem SB. Úsečka DC tedy nemůže být kolmá na úsečku AB, proto je s ní rovnoběžná. Tedy ABCD je čtverec. 64 Konvexní obal konečné množiny bodů A 1,, A k prostoru E 3 se nazývá nejmenší konvexní těleso, které všechny body A 1,, A k obsahuje. 190

94 3.5 Matematické uchopení pojmu síť krychle: formalizace jazyka Stejně se dokáže, že každý ze čtyřúhelníků ABFE, BCGF, CGHD, HGFE, HEAD je čtverec. Definice 2 Každý ze šesti čtverců uvedených v předchozím důkaze se nazývá stěnou krychle. Dvě stěny se nazývají sousední, mají-li společnou hranu. V opačném případě se nazývají protější. Tvrzení 2 Každé dvě sousední stěny jsou na sebe kolmé, každé dvě protější stěny jsou navzájem rovnoběžné. Důkaz přenecháváme čtenáři. Nyní přejdeme do dvojrozměrného Eukleidovského prostoru E 2 a budeme definovat další klíčový pojem síť krychle. K tomu nejdříve zavedeme na množině všech čtverců v E 2 relaci být sousední, která umožní definovat pojem čtvercové polymino a pak síť krychle. Definice 3 Dva různé čtverce v E 2 nazveme sousední, právě když mají společnou jednu stranu. Definice 4 Nechť je dána množina k čtverců, kde k N, k 0 a kterou označíme P*. Nechť pro každé dva různé čtverce X, Y P* existuje v P* posloupnost čtverců Z 1 = X, Z 2,, Z n = Y taková, že každé dva sousední prvky této posloupnosti jsou sousedními čtverci. Pak sjednocení všech čtverců z P* nazýváme čtvercovým polyminem, přesněji čtvercovým k-minem a označujeme jej P(k). Dodatek: Je-li k = 1, 2, 8,, n, mluvíme o monominu, biminu, triminu,, oktaminu,, n-minu. V této kapitole budou pro nás zvláště důležitá hexamina. V případě potřeby zkoumání struktury všech čtvercových polymin je možné do této množiny zahrnout i 0-mino P(0), které je prázdnou množinou. V našich úvahách však taková potřeba nenastane. Nyní budeme definovat pojem síť krychle. Definice 5 Čtvercové hexamino nazveme sítí krychle, jestliže existuje bijekce f mezi čtverci hexamina a stěnami krychle, která sousedním čtvercům přiřadí sousední 191

95 KAPITOLA 3 SÍTĚ KRYCHLE stěny, neboli relace být sousedním čtvercem se při zobrazení f zachová. Bijekci f budeme nazývat oblékání krychle do její sítě. Tvrzení 3 a) Existuje právě jedenáct různých sítí krychle, jestliže sítě nepřímo shodné považujeme za stejné. (Jedná se o sítě 6A,., 6K z obrázku 3.1.) b) Existuje právě dvacet různých sítí krychle, jestliže sítě nepřímo shodné považujeme za různé. (Jedná se o všechny sítě z obrázku 3.1.) Důkaz tohoto i následujících tvrzení přenecháváme čtenáři. Tvrzení 4 Je-li hexamino sítí krychle, pak existuje 24 různých bijekcí zavedených v definici 5. Ukončili jsme formalizovaný popis pojmů krychle, vrchol, hrana, stěna, sousední stěny, sousední čtverce, čtvercové polymino, síť krychle a pojem oblékání krychle do sítě. Hlubší pochopení práce s uvedeným formalizovaným jazykem získá čtenář, jestliže podá formální důkaz každého z následujících čtyř tvrzení a vyřeší úlohy 14 a 15. Tvrzení 5 Každé dvě sousední hrany krychle jsou na sebe kolmé. Tvrzení 6 Ke každé hraně existují právě tři další hrany s ní rovnoběžné. Tvrzení 7 Jsou-li dvě hrany krychle mimoběžné, pak jsou na sebe kolmé. Tvrzení 8 Obvod každé sítě je roven 14a, kde a je délka strany čtverce sítě. Úloha 14 Nechť jedna stěna krychle je přiřazena jednomu konkrétnímu čtverci sítě. Určete počet různých výše zmíněných bijekcí. Úloha 15 V popsaném formalizovaném jazyku definujte pojmy zip, šev, sousední, resp. diagonální, resp. dipodální vrcholy krychle. 192

96 3.5 Matematické uchopení pojmu síť krychle: formalizace jazyka Dále uvedeme několik ukázek, jak je možné rozvíjet problematiku polymin spolu s formalizovaným jazykem, a tím přispívat k tvorbě struktury pojmu síť krychle. Na množině všech k-min definujeme relace být potomkem a být předkem. Definice 6 Nechť P(m) a P(n) jsou dvě polymina taková, že P(m) P(n), P(m) P(n). Pak řekneme, že polymino P(n) je potomkem polymina P(m) v (n m)té generaci a také že polymino P(m) je předkem polymina P(n) v (n m)té generaci. Je-li (n m) = 1, mluvíme o přímém potomku, resp. o přímém předku. Didaktická poznámka: Výše uvedená definice je konceptuální, vychází z vazby předek je vlastní podmnožinou svého potomka. Z hlediska didaktiky matematiky je vhodné pracovat s pojmy procesuálně. To více odpovídá způsobu poznávání pojmů u většiny žáků. Proto uvádíme ještě definici procesuální, která je založena na pojmu slepení čtvercového k-mina s monominem. Definice 7 Proces, který ze čtvercového k-mina a monomina udělá (k + 1)-mino, nazveme slepení. Definice 8. K-mino P(k) je přímý potomek (k 1)-mina P(k 1), právě když P(k) vzniklo slepením jednoho monomina a jednoho (k 1)-mina P(k 1). V takovém případě říkáme, že (k 1)-mino P(k 1) je předkem k-mina P(k). Definice 9. Nechť je dáno (m+n)-mino P(m+n). Jestliže m-mino P(m) je vlastní podmnožinou P(m+n) (P(m) P(m+n)) a n-mino P(n) je komplementem m-mina P(m) vzhledem k P(m+n), pak trojici [P(m+n); P(m); P(n)] nazveme rozkladem (m+n)-mina P(m+n) na polymina P(m) a P(n). Potom polymino P(m+n) nazveme slepením polymin P(m) a P(n). Budeme používat běžnější zápis P(m+n) = P(m) P(n). Definice 10 Množinu všech polymin P(m+n), které vznikly slepením polymin P(m) a P(n), označíme P(m) P(n). Jestliže m + n = 6, pak symbolem P(m) + P(n) označíme všechna hexamina P(m) P(n), která jsou sítí krychle. 193

97 KAPITOLA 3 SÍTĚ KRYCHLE Poznámka: V úvahách o rozkladu nebudeme zohledňovat, jakým způsobem jsou polymina P(m) a P(n) vložena do (m+n)-mina P(m+n). Stejně nebudeme rozlišovat mezi polyminem P(m) jako takovým a polyminem P(m), které je již součástí polymina P(m+n). Ilustrace 3.13 Na obrázku 3.49 je vidět, že dané hexamino P(6) vzniklo dvěma různými slepeními tetramina P(4) a bimina P(2). Obr Trojicí [P(6); P(4); P(2)] označujeme třídu všech takových rozkladů. V uvedeném případě má tato třída právě dva prvky. Následující úloha je o vazbě polymina a jeho přímého potomku, resp jeho přímého předku. Úloha 16 Vytvořte orientovaný graf, jehož vrcholy jsou všechna k-mina, pro k = 1, 2,, n a jehož orientované hrany jsou všechny uspořádané dvojice [polymino; jeho přímý potomek]. Řešení: Požadovaný graf pro n = 5 je vytvořen na obrázku Meta-úloha V prostředí orientovaného grafu vytvořte gradovanou sérii úloh, kterou přivedete žáka k důkazu, že existuje právě jedenáct různých sítí krychle. Při tvorbě grafu a při řešení úloh z tohoto prostředí se schéma pojmu síť krychle rozvíjí v dalším kontextu, a sice v kontextu kombinatoriky a v kontextu grafů. Poznávají se přitom nové vnitřní zákonitosti schématu síť krychle. Žáci druhého 194

98 3.5 Matematické uchopení pojmu síť krychle: formalizace jazyka stupně mohou strategií vyčerpání všech možností dokázat, že více než jedenáct sítí krychle neexistuje. Podle teze MT12 65 (Hejný, 2007, s. 111) použití zmíněné strategie, pomocí níž žáci argumentovali neexistenci více sítí než jedenáct, představuje vyšší hladinu poznávání schématu síť krychle. Tato myšlenka již částečně náleží do etapy strukturace pojmu síť krychle. 3A 3B Obr Pomůckou pro řešitele meta-úlohy může být zavedení pojmů valence a řád k-mina. Tyto termíny jsou zde voleny pouze pro naše účely jako pracovní. 65 MT12. S budováním schématu prostřednictvím mnoha různorodých modelů a kontextů se buduje i poznávání vnitřních zákonitostí, které schéma obsahuje. S tím se začíná rozvíjet i argumentace, která představuje vyšší hladinu poznávání schématu a částečně již patří do strukturace. 195