Tělesa Geometrické těleso je prostorový omezený geometrický útvar. Jeho hranicí neboli povrchem je uzavřená plocha. Geometrická tělesa dělíme na

Transkript

1 Tělesa Geometrické těleso je prostorový omezený geometrický útvar. Jeho hranicí neboli povrchem je uzavřená plocha. Geometrická tělesa dělíme na mnohostěny a rotační tělesa. - Mnohostěny mají stěny, hrany a vrcholy např. krychle, jehlan, atd. - Rotační tělesa vznikají rotací rovinného útvaru, nemají stěny, hrany a vrcholy např. válec, koule, atd. Mnohostěny Mnohostěn je část prostoru, která je ohraničena několika mnohoúhelníky = stěny mnohostěnu, jejich vrcholy jsou vrcholy mnohostěnu a jejich strany jsou hrany mnohostěnu.

2 Konvexní mnohostěn obsahuje s každými dvěma svými body X, Y i celou úsečku XY. Pro nekonvexní mnohostěny to neplatí. Nekonvexní mnohostěn Konvexní mnohostěn Pro konvexní mnohostěny platí Eulerova věta: V konvexním mnohostěnu je součet počtu stěn a počtu vrcholů roven počtu hran zvětšeném o dvě, tj. platí: s + v = h + 2. Př. Ověřte platnost E. věty pro tato tělesa: Těleso s v h s+v h+2 Krychle Čtyřboký jehlan Čtyřstěn

3 Platónská tělesa (pravidelné mnohostěny) Pravidelné (platónské) těleso je konvexní mnohostěn, jehož všechny stěny jsou navzájem shodné pravidelné mnohoúhelníky. Pravidelný čtyřstěn (je to těleso s nejmenším možným počtem stěn), pravidelný šestistěn (krychle), pravidelný osmistěn, pravidelný dvanáctistěn a pravidelný dvacetistěn. Pravidelná tělesa: Čtyřstěn (tetraedr), Šestistěn (hexaedr), Osmistěn (oktaedr), Dvanáctistěn (dodekaedr), Dvacetistěn (ikosaedr).

4

5 Hranoly: Základní pojmy: -podstavy 2 shodné mnohoúhelníky -boční stěny hranolu - ostatní stěny hranolu, které nejsou jeho podstavami -plášť hranolu - sjednocení všech bočních stěn -výška hranolu - vzdálenost rovin podstav -vrcholy hranolu - vrcholy stěn hranolu -podstavné hrany - strany podstav hranolu -boční hrany - ostatní hrany hranolu -stěnová výška - vzdálenost podstavných hran v téže boční stěně -tělesové úhlopříčky - úsečky, jejichž krajní body jsou vrcholy hranolu, které neleží v téže stěně

6 Druhy hranolů: kolmý hranol - hranol, jehož boční hrany jsou kolmé k rovinám podstav kosý hranol - hranol, jehož boční hrany nejsou kolmé k rovinám podstav pravidelný n-boký hranol - kolmý hranol, jehož podstavami jsou pravidelné n-úhelníky Rovnoběžnostěn Je ohraničen třemi dvojicemi navzájem rovnoběžných a shodných rovnoběžníků. Kvádr, krychle, klenec jsou zvláštní případy rovnoběžnostěnu. Klenec je rovnoběžnostěn omezený 6 kosočtverci. (kalcit)

7 Př. Krychli vepište těleso, jehož vrcholy jsou středy stěn dané krychle. Příklad 1: Načrtněte daná tělesa: a) pravidelný trojboký hranol b) kosý čtyřboký hranol c) rovnoběžnostěn d) kolmý šestiboký hranol Příklad 2: Určete počet tělesových úhlopříček n bokého hranolu. Příklad 3: Vypočtěte délky tělesových úhlopříček pravid. šestibokého hranolu výšky 14 cm s podstavnou hranou délky 10 cm.

8 n-boký jehlan Základní pojmy: -podstava mnohoúhelník její vrcholy = vrcholy podstavy její strany = podstavné hrany -hlavní vrchol bod, který neleží v rovině podstavy -výška jehlanu vzdálenost hlavního vrcholu od roviny podstavy -plášť jehlanu sjednoceni všech bočních stěn -boční stěny - trojúhelníky obsahující hlavní vrchol -boční hrany - spojnice hlavního vrcholu jehlanu a vrcholů podstavy

9 Druhy jehlanů: -kolmý spojnice středu podstavy a vrcholu kolmá k podstavě -kosý jehlan, který není kolmý -pravidelný n-boký kolmý, jehož podstavou je pravidelný n-úhelník boční stěny jsou shodné rovnoramenné trojúhelníky všechny boční stěny mají stejnou odchylku od podstavy

10 -čtyřstěn těleso ohraničené 4 trojúhelníkovými stěnami -pravidelný čtyřstěn - jeho stěny jsou shodné rovnostranné trojúhelníky Spojnice libovolného vrcholu čtyřstěnu s těžištěm protější stěny se nazývá těžnice čtyřstěnu. Všechny čtyři těžnice čtyřstěnu procházejí jedním bodem, těžištěm. D A T S 1 S 2 C S 1 = T 1, S 2 = T 2, B

11 Příklady: 132/5.3 Odvoďte vzorec pro výpočet výšky pravidelného n-bokého jehlanu, je-li délka podstavné hrany a a délka boční hrany b. 133/5.14, 5.16, 5.18,