Témata ke státní závěrečné zkoušce z matematiky ARITMETIKA

Transkript

1 Státní zkouška aritmetika Témata ke státní závěrečné zkoušce z matematiky ARITMETIKA Teoretická aritmetika 1. Prvky výrokové logiky - výrok, skládání výroků, abeceda výrokové logiky, výrokové formule, příklady tautologií. Ilustrace 2. Prvky predikátové logiky - výroková forma a její obory, skládání výrokových forem a jejich obory pravdivosti. Ilustrace 3. Kvantifikované výrokové formy obecný a existenční výrok. Ilustrace 4. Prvky teorie množin množina, množinové vztahy, operace s množinami a jejich vlastnosti. Ilustrace 5. Kartézský součin dvou množin, uspořádaná dvojice, distributivnost kartézského součinu ke sjednocení a průniku, grafické znázornění kartézského součinu. Ilustrace 6. Binární relace z množiny do množiny, binární relace v množině, obory relací, relace doplňková a inverzní, grafické znázornění binárních relací. Ilustrace 7. Vlastnosti binární relace v množině, relace ekvivalence a rozklad množiny, dichotomické třídění. Ilustrace 8. Relace lineárního uspořádání, lineárně uspořádaná množina, první a poslední prvek lineárně uspořádané množiny, dobře uspořádaná množina. Ilustrace 9. Relace zobrazení z množiny do množiny, typy zobrazení, prosté zobrazení množiny na množinu a jeho vlastnosti, zobrazení v množině, grafické znázornění. Ilustrace 10. Podobné zobrazení lineárně uspořádaných množin, grafické znázornění, vlastnosti podobnosti lineárně uspořádaných množin. Ilustrace 11. Konečné a nekonečné množiny, jejich modely a vlastnosti. Ilustrace 12. Binární operace v množině a její vlastnosti, inverzní operace v množině. Ilustrace 13. Algebraické struktury s jednou operací (grupoid, pologrupa, monoid, grupa). Ilustrace 14. Algebraické struktury se dvěma operacemi (polookruh, okruh, obor integrity, těleso), zbytkové třídy podle modulu m. Ilustrace 15. Izomorfismus algebraických struktur a jeho význam pro zavedení přirozených čísel. Ilustrace příklady nulového a jednotkového prvku. 16. Kardinální čísla, vztahy mezi kardinálními čísly, sčítání a násobení kardinálních čísel, komutativní polookruh kardinálních čísel s nulovým a jednotkovým prvkem. 17. Ordinální čísla, vztahy mezi ordinálními čísly, operace sčítání a násobení ordinálních čísel. 18. Peanova množina, přirozené uspořádání Peanovy množiny, grafický model a příklady vhodných číselných množin. 19. Úsek Peanovy množiny příslušný prvku a, grafický model, souvislosti mezi Peanovou množinou a úsekem Peanovy množiny. 20. Přirozená čísla jako čísla kardinální, ordinální a prvky Peanovy množiny, izomorfní ztotožnění příslušných komutativních polookruhů. 21. Vyjádření přirozeného čísla v číselné soustavě o základu z, porovnávání čísel v z-adické číselné soustavě. Ilustrace 22. Vyjádření přirozeného čísla v dekadické soustavě, porovnávání čísel, ilustrace 23. Dělitelnost celých čísel, samozřejmí a nesamozřejmí dělitelé, sdružení dělitelé, znaky dělitelnosti. Ilustrace 24. D(a,b) a n(a,b) přirozených čísel, věty pro jejich výpočet, prvočísla a prvočíselný rozklad přirozeného čísla. Ilustrace 25. Motivace rozšiřování komutativního polookruhu přirozených čísel na obor integrity celých čísel a komutativní těleso racionálních čísel.

2 Státní zkouška aritmetika Didaktika aritmetiky 1) Numerace a její úkoly, ilustrace vhodnými 2) Binární operace v učivu matematiky na 1.st.ZŠ a její vlastnosti. Ilustrace 3) Sčítání přirozených čísel, metodika výuky. Ilustrace vhodným motivačním příkladem pro 1.ročník ZŠ. 4) Odčítání přirozených čísel, metodika výuky. Ilustrace vhodným motivačním příkladem pro 1.ročník ZŠ. 5) Násobení přirozených čísel jako vnitřní operace, metodika výuky, ilustrace motivačním příkladem kombinatorického charakteru. 6) Násobení přirozených čísel jako vnější operace, metodika výuky. Ilustrace motivačním příkladem pro 2.ročník ZŠ. 7) Úskalí zavádění násobení jako vnitřní a vnější operace, ilustrace vhodnými 8) Dělení přirozených čísel na stejné části, jeho charakteristika, metodika výuky. Ilustrace motivačním příkladem pro 2.ročník ZŠ. 9) Dělení přirozených čísel po částech, jeho charakteristika, metodika výuky. Ilustrace motivačním příkladem pro 2.ročník ZŠ. 10) Zavádění přirozených čísel a nuly jako čísel kardinálních, teoretický základ, motivace vhodnými 11) Zavádění přirozených čísel a nuly jako čísel ordinálních, teoretický základ, motivace vhodnými 12) Zavádění přirozených čísel a nuly jako prvky Peanovy množiny, teoretický základ, motivace vhodnými 13) Numerace a porovnávání přirozených čísel v 1. a 2.ročníku ZŠ, metodika výuky, ilustrace 14) Numerace a porovnávání přirozených čísel v 3. až 5.ročníku ZŠ, metodika výuky, ilustrace 15) Prvky výrokové logiky v učivu matematiky na 1.st.ZŠ. Ilustrace příklady v jednotlivých ročnících. 16) Prvky predikátové logiky v učivu matematiky na 1.st.ZŠ. Ilustrace příklady v jednotlivých ročnících. 17) Využití kalkulátoru v matematice na 1.st.ZŠ (pomůcka výpočetní, motivační a experimentální). Ilustrace 18) Jednoduchá slovní úloha a její postavení v matematice, metody řešení. 19) Jednoduchá slovní úloha aditivního typu, klasifikace. Ilustrace 20) Jednoduchá slovní úloha multiplikativního typu, klasifikace. Ilustrace 21) Složená slovní úloha a její postavení v matematice, metody řešení. 22) Zlomek v učivu matematiky na 1.st.ZŠ, metodika zavádění zlomků. Ilustrace 23) Racionální číslo v učivu matematiky na 1.st.ZŠ, metodika výuky. Ilustrace 24) Poziční a nepoziční číselné soustavy v matematice na 1.st.ZŠ, jejich charakteristika, metodika výuky. Ilustrace vhodnými 25) Relace zobrazení a podobné zobrazení v učivu matematiky na 1.st.ZŠ, přímá úměrnost, metodika výuky. Ilustrace

3 Témata ke státní závěrečné zkoušce z matematiky GEOMETRIE 1. Axiomatická výstavba geometrie počátky geometrie jako vědy princip axiomatické výstavby vědecké disciplíny axiomatická výstavba eukleidovské geometrie (Eukleides, Hilbert) neeukleidovské geometrie (Lobačevského, Riemannova) axiomy v učivu 1. ZŠ 2. Přímka a její části, vzájemná poloha přímek v rovině úsečka, polopřímka, lomená čára vzájemná poloha dvou přímek v E 2 relace rovnoběžnost v E 2 a její vlastnosti relace kolmost v E 2 a její vlastnosti 3. Polorovina, konvexní množina bodů, úhel polorovina, hraniční přímka, opačné poloroviny rovinný pás konvexní, nekonvexní množina bodů úhel, velikost úhlu, klasifikace úhlů podle velikosti úhly styčné, vedlejší, vrcholové, souhlasné, střídavé 4. Trojúhelník trojúhelník a jeho základní prvky vnější úhly, těžnice, těžiště, výška, ortocentrum, střední příčka kružnice trojúhelníku vepsaná a opsaná klasifikace trojúhelníků shodnost a podobnost trojúhelníků 5. Mnohoúhelník mnohoúhelník, konvexní mnohoúhelník, pravidelný mnohoúhelník čtyřúhelníky a jejich klasifikace lichoběžníky a jejich vlastnosti rovnoběžníky a jejich vlastnosti tečnový a tětivový čtyřúhelník 6. Kružnice, kruh kružnice, tětiva kružnice, oblouk kružnice středový, obvodový, úsekový úhel, Thaletova věta vzájemná poloha přímky a kružnice vzájemná poloha dvou kružnic kruh, kruhová výseč, kruhová úseč 7. Grafické porovnávání, sčítání, odčítání, násobení úseček a úhlů grafické přenášení úseček a úhlů grafické porovnávání úseček a úhlů grafické sčítání a odčítání úseček a úhlů grafické násobení úsečky a úhlu přirozeným číslem využití redukčního úhlu pro dělení úsečky v daném poměru 8. Polohové vlastnosti přímek a rovin v prostoru poloprostor, hraniční rovina, opačné poloprostory vrstva vzájemná poloha dvou přímek, přímky a roviny, dvou rovin, tří rovin relace rovnoběžnost v E 3 a její vlastnosti relace kolmost v E 3 a její vlastnosti 9. Volné rovnoběžné promítání rovnoběžné promítání, průmětna, směr promítání, rovnoběžný průmět geometrického útvaru průčelné přímky a roviny, hloubkové přímky a roviny zobrazení těles ve volném rovnoběžném promítání, průčelná poloha, nadhled a podhled 10. Mnohostěny a jejich sítě mnohostěn a jeho základní prvky, síť mnohostěnu konvexní mnohostěny, Eulerova věta pravidelné mnohostěny (platónská tělesa) 11. Mnohostěny hranolového typu a jejich sítě n-boká hranolová plocha, směrová přímka, směrová rovina n-boký hranolový prostor n-boký hranol a jeho základní prvky

4 pravidelný n-boký hranol, kolmý hranol, kosý hranol, rovnoběžnostěn, kvádr, krychle sítě těles hranolového typu 12. Mnohostěny jehlanového typu a jejich sítě n-boká jehlanová plocha, vrcholová přímka, vrcholová rovina n-boký jehlanový prostor n-boký jehlan a jeho základní prvky pravidelný n-boký jehlan, čtyřstěn, pravidelný čtyřstěn, komolý jehlan sítě těles jehlanového typu 13. Rotační tělesa rotační těleso, osa rotačního tělesa, směrová a vrcholová rovina rotační válec a jeho základní prvky, rotační válcová plocha, rotační válcový prostor rotační kužel a jeho základní prvky, rotační kuželová plocha, rotační kuželový prostor, komolý rotační kužel koule a její základní prvky, kulová plocha 14. Shodná geometrická zobrazení v E 2 shodné geometrické zobrazení, shodné geometrické útvary, věty o shodnosti trojúhelníků přehled shodných geometrických zobrazení grupy shodných zobrazení vzhledem k operaci skládání zobrazení, grupy symetrií rovinných obrazců 15. Identita a osová souměrnost v E 2 skládání osových souměrností, význam pro klasifikaci shodností roviny (přímé a nepřímé shodnosti) 16. Rotace a středová souměrnost v E 2 konstrukce složením osových souměrností význam středové souměrnosti pro zavedení pojmu rovnoběžník (kosočtverec, čtverec, kosodélník, obdélník) 17. Translace a posunutá souměrnost v E 2 konstrukce složením osových souměrností 18. Shodná geometrická zobrazení v E 3 shodné geometrické zobrazení, shodné geometrické útvary rovinová souměrnost, rovina souměrnosti, rovinově souměrné geometrické útvary skládání rovinových souměrností (rotace, osová souměrnost, translace, středová souměrnost) středová souměrnost, střed souměrnosti, středově souměrné geometrické útvary 19. Podobná geometrická zobrazení v E 2 podobné geometrické zobrazení, podobné geometrické útvary, věty o podobnosti trojúhelníků homotetie (definice, jednoznačná určenost, značení, ) homotetie kružnic 20. Okolí bodu a odvozené pojmy okolí bodu omezený a neomezený geometrický útvar vnitřní, vnější a hraniční bod geometrického útvaru vnitřek, vnějšek a hranice geometrického útvaru uzavřený a otevřený geometrický útvar překrývající se a nepřekrývající se geometrické útvary 21. Míra geometrického útvaru obecná definice míry geometrického útvaru základní měřitelný geometrický útvar, měřitelný geometrický útvar aplikace pojmu míra do E 1, E 2, E 3 (délka úsečky, obsah obrazce, objem tělesa) 22. Míra geometrického útvaru v E 1 aplikace pojmu míra do E 1 (délka úsečky) Archimedův axiom

5 algoritmus měření délky úsečky, souměřitelné a nesouměřitelné úsečky, jednotky délky vzdálenost dvou bodů, vzdálenost bodu od geometrického útvaru, vzdálenost dvou geometrických útvarů 23. Míra geometrického útvaru v E 2 aplikace pojmu míra do E 2 (obsah rovinného obrazce) jednotky obsahu a převody mezi nimi věty o výpočtu obsahu čtverce, obdélníka, rovnoběžníka, trojúhelníka, lichoběžníka 24. Míra geometrického útvaru v E 3 aplikace pojmu míra do E 3 (objem tělesa) jednotky objemu a převody mezi nimi věty o výpočtu objemu hranolu, jehlanu, rotačního válce, rotačního kužele, koule 25. Jordanova teorie míry Jordanova teorie míry v E 2, výpočet obsahů obrazců Jordanova teorie míry v E 3, výpočet objemů těles