Syntéza aktivních filtrů vázaných pásmových propustí

Transkript

1 Rok / Year: Svazek / Volume: Číslo / Number: Syntéza aktivních filtrů vázaných pásmových propustí The synthesis of the coupled BP active filters Martin Friedl, Jiří Sedláček friedl@feec.vutbr.cz,sedlacj@feec.vutbr.cz Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně. Abstrakt: V oblasti kmitočtové filtrace signálů jsou často využívány kmitočtové filtry pásmových propustí (PP) vyšších řádů. Místo příčkových struktur, které vykazují větší rozsah hodnot stavebních prvků a značnou citlivost filtru na parazitní prvky, jsou využívány s výhodou vázané rezonanční obvody. Moderní aktivní prvky (jako např. napěťové operační zesilo-vače s velkou šířkou pásma) umožňují realizovat tyto filtry jako aktivní ARC filtry pracující i do kmitočtůjednotek až desítek MHz. Tento příspěvek se zabývá syntézou aktivních filtrůvycházejících z LCR prototypůvázaných rezonančních obvodů. Ukazuje možnosti využití jednoduchých aktivních funkčních bloků ztrátových dvojných kapacitorů(fdnr) a syntetických induktorů(si) pro realizaci optimalizovaných struktur těchto obvodů. Abstract: This paper deals with the synthesis of active filters based on the LCR prototype coupled resonant circuits. It shows the possibility of active use of simple functional blocks - double loss capacitors (FDNR) and synthetic inducers (SI) for the implementation of optimized structures of these circuits.

2 Syntéza aktivních filtrů vázaných pásmových propustí Martin Friedl 1, Jiří Sedláček 1 Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně, UTEE friedl@feec.vutbr.cz Fakulta elektrotechniky a komunikačních technologií VUT v Brně, UTEE sedlacj@feec.vutbr.cz Abstrakt V oblasti kmitočtové filtrace signálů jsou často využívány kmitočtové filtry pásmových propustí (PP) vyšších řádů. Místo příčkových struktur, které vykazují větší rozsah hodnot stavebních prvků a značnou citlivost filtru na parazitní prvky, jsou využívány s výhodou vázané rezonanční obvody. Moderní aktivní prvky (jako např. napěťové operační zesilovače s velkou šířkou pásma) umožňují realizovat tyto filtry jako aktivní ARC filtry pracující i do kmitočtů jednotek až desítek MHz. Tento příspěvek se zabývá syntézou aktivních filtrů vycházejících z LCR prototypů vázaných rezonančních obvodů. Ukazuje možnosti využití jednoduchých aktivních funkčních bloků ztrátových dvojných kapacitorů (FDNR) a syntetických induktorů (SI) pro realizaci optimalizovaných struktur těchto obvodů. 1 Úvod Při realizaci kmitočtových filtrů LCR jsou největší problémy s kvalitou, rozměry a cenou cívek. Proto se pro nízké a střední kmitočty s výhodou nahrazují LCR filtry aktivními filtry RC (ARC). Jejich základní princip spočívá v náhradě cívky pomocí zapojení aktivního prvku s rezistory a kapacitory [5]. V oblasti návrhu ARC filtrů převažují dvě hlavní metody řešení. První spočívá ve vytvoření ARC obvodu s přenosovou funkcí. řádu, která je ekvivalentní přenosové funkci LCR obvodu, přičemž nemusí být přímá náhrada cívky v obvodu na první pohled zřejmá. Typickým příkladem tohoto řešení je často používaný Sallenův - Keyův obvod a řada zapojení aktivních filtrů s dvojnými kapacitory [4]. Dvojný kapacitor v těchto filtrech představuje aktivní stavební blok vykazující speciální vstupní impedanci a je znám také jako prvek FDNR (freqeuency depended negative resistor). Druhá metoda řešení využívá aktivní ARC stavební prvky, které vykazují na určitých vstupních svorkách obvodu přímo impedanci induktivního charakteru. Tyto obvody nazývané též syntetickými induktory (SI) se v zapojení filtrů potom užívají v LCR filtrech jako přímé náhrady indukčností. Ztrátové a bezeztrátové FDNR obvody Filtry s dvojnými kapacitory nahrazují cívky nepřímo za pomocí Brutonovy transformace [6], která transformuje výchozí LCR obvod (obr. 1) na ekvivalentně se chovající strukturu RCD (obr. ). Tato nová struktura prvek induktivního charakteru neobsahuje, ale využívá vlastností syntetického prvku FDNR se vstupní impedancí 1 Z =. (1) p. D Brutonova transformace využívá toho, že napěťový přenos obvodu jako bezrozměrná funkce je určen poměrem impedancí příslušných prvků obvodu, a proto se při násobení všech impedancí obvodu stejným koeficientem přenos nemění. Při Brutonově impedanční transformaci se dělí impedance komplexním kmitočtem p podle vztahu kt ZT = Z, () p kde k T je volitelný transformační koeficient. Touto transformací se změní charakter impedancí a tím i funkcí jednotlivých prvků. Induktor L přechází na kmitočtově nezávislý prvek - tedy rezistor R, kapacitor C se změní na nový syntetický prvek (kmitočtově závislý záporný rezistor) s parametrem D označovaný jako dvojná kapacita. Ztrátový prvek obvodu LCR rezistor R se transformuje na nový ztrátový prvek kapacitor C. Obrázek 1: Zapojení LCR prototypu filtru DP 5.řádu. Obrázek : Zapojení RCD filtru DP s obvody FDNR. Praktická zapojení aktivních obvodů realizujících dvojné kapacitory (FDNR) lze rozdělit na jednotlivé typy podle jejich základních obvodových vlastností. Určující je obvykle velikost, zapojení ztrátového prvku obvodu (kapacitoru C) a zapojení aktivního bloku vzhledem ke společnému (zemnímu) uzlu. Pomocí jednoho aktivního prvku (operačního zesilovače) OZ lze například realizovat ztrátový uzemněný obvod FDNR se sériovým ztrátovým prvkem C (obr. 3). Vstupní impedance 38 1

3 tohoto ztrátového obvodu FDNR se sériovým ztrátovým prvkem může být popsána jako: 1 1 Z = +. (3) pc p D Obrázek 3: Uzemněný sériový ztrátový FDNR. Obrázek 4: Uzemněný bezeztrátový FDNR. S jedním OZ je možné realizovat odlišným obvodovým zapojením i ztrátový obvod FDNR, ve kterém je ztrátový prvek C zapojený paralelně k funkčnímu prvku s parametrem D (obr. 5) [4]. cívku jako dvojpól. Hodnota ekvivalentní indukčnosti je určena obvykle součinem hodnot dvou základních funkčních prvků (R a C). Praktické případy realizace těchto obvodů lze rozdělit na jednotlivé typy, podobně jako u obvodů FDNR, podle velikosti a způsobu zapojení ekvivalentního ztrátového rezistoru a vztahu aktivního bloku ke společnému (zemnímu) uzlu. Příklad zapojení uzemněného ztrátového syntetického induktoru s jedním aktivním prvkem (OZ) a paralelním zapojením ztrátového prvku je uveden na obr. 6. Jeho vstupní admitance je potom: 1 Y = G +. (5) pl Složitější obvody se dvěma aktivními prvky umožňují realizovat teoreticky ideální bezeztrátové uzemněné syntetické induktory. Příkladem takového obvodu je zapojení SI využívající tzv. Antoniův obvod [6], který představuje zobecněný impedanční konvertor - GIC (General Impedance Converter) (obr. 7). Vstupní impedance uvedené varianty zapojení je: Z = pl. (6) Zapojením využívajícím dvojice bezeztrátových obvodů SI je možné realizovat i plovoucí (neuzemněné) obvody syntetických induktorů [6]. Obrázek 6: Uzemněný paralelní ztrátový SI. Obrázek 5: Uzemněný paralelní ztrátový FDNR. Jeho vstupní admitanci lze vyjádřit jako: Y (4) = pc + p D. Obvodem se dvěma OZ lze vytvořit teoreticky ideální bezeztrátový uzemněný obvod FDNR (obr. 4), jehož vstupní impedance je dána rovnicí (1). Využitím dvou těchto uzemněných obvodů lze realizovat i zapojení neuzemněných (plovoucích) FDNR obvodů [6]. Typická aplikace Brutonovy transformace pro realizaci ARC filtru dolní propusti je zachycena na obr. 1 a. Aktivní bloky dvojných kapacitorů D 1, D mohou být realizovány např. bezeztrátovým zapojením FDNR z obr. 4., nebo ztrátovými obvody FDNR z obr. 3. a 5. 3 SI ztrátové a bezeztrátové obvody Druhou základní metodou nahrazení pasivní indukčnosti je použití syntetického induktoru SI, který vykazuje mezi určitými svorkami příslušnou indukčnost a přímo nahrazuje Obrázek 7: Uzemněný bezeztrátový SI. 4 Filtry PP vyšších řádů Pro splnění náročnějších požadavků na strmost modulové charakteristiky se v praxi využívá filtrů pásmových propustí (PP) vyšších řádů. Požadované strmosti modulové charakteristiky a tím i potřebného řádu přenosové funkce se u pasivních RLC prototypů dosahuje odpovídajícím zvyšováním počtu stavebních prvků (rezonančních obvodů) příčkové struktury. Nevýhodou těchto filtrů je větší rozptyl hodnot jednotlivých stavebních prvků a větší citlivost obvodu na parazitní prvky, která velmi rychle vzrůstá s požadovanou vzrůstající strmostí a zvyšujícím se řádem filtru [4], [5]. Problémy při praktické realizaci činí i dosažení potřebné jakosti stavebních prvků a obtížné dostavování parametrů filtru. Jedna z možností, jak určitým způsobem řešit uvedený problém, spočívá ve využití struktury vázaných rezonančních obvodů, které vykazují pod- 38

4 statně menší poměr stavebních prvků, než je tomu u příčkových struktur filtrů. 4.1 Pásmové propusti s vázanými obvody Pasivní filtry RLC jsou tvořeny rezonančními obvody zapojenými tak, aby část signálu primárního obvodu pronikala do sekundárního a naopak [1], [],[3]. Vazby mezi těmito rezonančními obvody jsou nejčastěji u těchto obvodů používané buď induktivní (obr. 8) nebo kapacitní (obr. 1). Návrh filtru může vycházet z polynomiálních aproximačních funkcí, z důvodu charakteru vazebních prvků však výsledné charakteristiky neodpovídají přesně charakteristikám standardních pásmových propustí získaných transformací z prototypu dolní propusti, proto je nazýváme také kvazipolynomiální PP. V praxi je obvykle zcela zanedbatelný fakt, že realizace PP s vázanými obvody je vlastně horní propust (HP) při kapacitní vazbě, nebo DP (dolní propust) při induktivní vazbě. Je-li totiž relativní šířka PP dostatečně malá (B/F <,1), převládá charakter přenosu PP a projev vazebního prvku (tvarující přenos na charakter HP či DP) je dostatečně potlačen. Obrázek 1: Kapacitně vázaný RLC filtr. Obrázek 11: Kapacitně vázaný ARC filtr se SI. 4. Realizace aktivních vázaných pásmových propustí Pro ověření vlastností aktivních vázaných propustí byly navrženy ARC filtry typu PP s cíleně ztrátovými funkčními bloky obou výše uvedených typů (FDNR a SI). Pásmové propusti byly navrženy pro frekvenci f = 57 khz, šířku pásma B = 5,7 khz a zakončovací rezistory R 1, = 1kΩ. Obrázek 8: Induktivně vázaný RLC filtr. C1 Rv OUT Vac FDNR R1 FDNR R C Obrázek 9: Rezistivně vázaný ARC filtr s FDNR. Moderní aktivní prvky (jako jsou např. soudobé napěťové operační zesilovače s velkou šířkou pracovního pásma) umožňují realizaci aktivních ARC bezinduktorových struktur těchto vázaných propustí i na kmitočtech řádů jednotek až desítek MHz. Při menších požadavcích na strmost filtrů, nebo rozptyl parametrů součástek lze dokonce s výhodou realizovat tyto obvody za použití jednoduchých ztrátových aktivních funkčních bloků- dvojných kapacitorů (FDNR) a syntetických induktorů (SI). Princip těchto aktivních vázaných obvodů spočívá v myšlence náhrady ideálních cívek s tlumícími rezistory (R 1,R ) pomocí cíleně ztrátových aktivních funkčních bloků (FDNR nebo SI). Ideální strukturu vázaného filtru RLC z obr. 8 lze přetransformovat pomocí Brutonovy transformace [6] na strukturu z obr. 9 se ztrátovými bloky FDNR a výsledným neobvyklým využitím rezistivní vazby mezi oběma obvody. Pokud nahradíme ideální cívky s tlumícími rezistory v kapacitně vázané RLC pásmové propusti (obr.1) cíleně ztrátovými bloky ARC syntetických induktorů, získáme bezinduktorové zapojení kapacitně vázaných pásmových propustí (obr. 11). Obrázek 1: Zapojení ARC rezistivně vázané PP s FDNR (OPA355) a realizovaný vzorek. Výsledné schéma vázané pásmové propusti s aktivními ztrátovými bloky FDNR navržené pomocí postupu uvedeného v lit. [5] je na obr. 1. Její napěťový přenos (pro zvolené podmínky C = C3 = C4 = C5 = C, 6 RA = R3 = R, 4 CZ = C1 = C, R = R1 = R ) je možno vyjádřit obecně vztahem: kde K u = s. A 4 3 s. B + s. C + s. D + s. E + F, (7) 38 3

5 A = R. C z, (8) 4 B = C R. RA. RV, (9) C = Rv. R. C. RA. (. CZ + 4. C ), (1) D = 4. C. RV. R +. C. RA. R +. R. RA. RV. C + 4. RV. R. C. CZ, (11) E =. Rv. R. CZ +. R. CZ + 4. R. C + 4. R. RV. C, (1) F =. R + R V. (13) Pro vypočtené parametry uvedeného obvodu je napěťový přenos obvodu dán vztahem: 5 s., 47.1 Ku = s.1, s.4, s.9, s.1, (14) Výsledné schéma vázané propusti s aktivními bloky ztrátových syntetických induktorů SI je na obr. 13. Detailní postup obou typů návrhů návrhu vázaných kmitočtových RLC filtrů je popsán v literatuře [5]. Realizace zkušebních vzorků byly vyhotoveny na oboustranné desce plošného spoje (obr. 1 a obr. 13). Měření bylo provedeno vektorovým analyzátorem Bode 1 od firmy OMICRON Lab [7]. Při ověřování parametrů navržených obvodů byl podrobně zkoumán i vliv vlastností reálných aktivních prvků a měření bylo provedeno pro celou řadu jednotlivých typů moderních napěťových operačních zesilovačů (OZ). Jak ukazují výsledky zkoumání výsledných vlastností filtrů, je zejména dostatečná šířka pásma OZ jedním z klíčových předpokladů nezkreslené funkce filtru v požadovaném kmitočtovém pásmu a je nutné ji volit s ohledem na mezní kmitočet filtru s dostatečnou rezervou (minimálně jeden až dva řády) [9].Velmi dobré výsledky vykazovaly v tomto směru například OZ firmy Texas Instrument [8] OPA355, které jsou určeny mimo jiné i pro aktivní filtry a disponují dostatečně velkou šířkou pásma (GBW MHz). S těmito OZ budou realizovány v další etapě prací aktivní filtry pro mezní kmitočty řádů jednotek MHz. Pro ověření správnosti návrhu bylo provedeno v první fázi počítačové modelování pro vázané RLC pásmové propusti, vázané ARC filtry s ideálními OZ a s reálnými OZ (OPA355) [1]. Výsledné průběhy zachycují obr. 14 a obr. 15. Standardní výstup filtru je ve schématu označen jako V OUT1. Modelováním i pozdějšími experimenty bylo potvrzeno, že je možno výstupní signál odebírat i na modifikovaném výstupu ( výstup druhého OZ obvodu) označeném V OUT. Zde je možné, díky aktivnímu prvku, dosáhnout vyššího přenosu než jedna (přenos +18 db). Aby však bylo možné porovnat shodu tvaru přenosových charakteristik na obou výstupech, je tato charakteristika o tuto úroveň v uvedených grafech charakteristik (obr. 14 a obr. 15) posunuta. V grafech na obr. 14 a obr. 15 jsou vyneseny pro porovnání výsledné modulové kmitočtové charakteristiky všech zkoumaných obvodů. Červený průběh odpovídá přenosové charakteristice ideální vázané RLC PP. Modrý průběh (posunutý o 18 db) odpovídá ideální vázané ARC PP na výstupu V OUT a zelený průběh ideální vázané ARC PP na výstupu V OUT Frequency dependent negative resistors ideal RLC ideal ARC (out_) ideal ARC (out_1) Obrázek 14: Ideální RLC a ARC induktivně - rezistivně vázaná PP (simulace). Srovnání průběhů ideální RLC a aktivní propusti na výstupu V OUT1 (obr.14) dokládá velmi dobrou tvarovou shodu modulových charakteristik. ARC propust pouze vykazuje na výstupu vzhledem ke konečné vstupní impedanci reálného ztrátového aktivního bloku dodatečný útlum - posun modulové charakteristiky zhruba o -3 db. V případě, kdy požadujeme větší výstupní napětí, je možno využít výstup V OUT. U něho sice dochází od útlumu -3 db k určité odchylce od ideální charakteristiky, ale ta není podstatná. Jak je z průběhu patrné, umožňuje však tento výstup V OUT také (za cenu mírného zmenšení strmosti na vyšších kmitočtech) výraznější potlačení charakteru DP induktivně vázaných filtrů (zvětšení strmosti na nižších kmitočtech) než RLC prototyp. Obrázek 13: Zapojení ARC kapacitně vázané PP se SI (OPA355) a realizovaný vzorek. 38 4

6 Synthetic inductors Naměřené průběhy realizovaných filtrů se prakticky shodují s charakteristikami získanými počítačovým modelováním. Na obr. 16 je zachycena přenosová charakteristika ARC rezistivně vázané pásmové propusti s bloky FDNR (obr. 1). Červený průběh odpovídá simulaci s OPA355 a modrý průběh odpovídá naměřeným hodnotám rovněž s OPA355. Z grafu je patrné, že parazitní nula přenosu, která se vyskytuje v oblasti charakteristiky až při potlačení pod db, je u realizovaného obvodu patrně vlivem dalších parazitních kapacit (nezahrnutých do modelování) na poněkud nižším kmitočtu, než u obvodu modelovaného. - ideal RLC ideal ARC (out_) ideal ARC (out_1) Synthetic inductors - OPA 355 ARC measured OPA 355 ARC simulated Obrázek 15: Ideální RLC a ARC kap. vázaná PP (simulace). Podobně jako u pásmových propustí s výše uvedenými bloky FDNR byly získány výsledné přenosy i u aktivních PP s bloky SI (obr.13). Standardní výstup filtru je opět ve schématu označen jako V OUT1. Modifikovaný výstup z výstupu druhého OZ je označen V OUT. Na něm je možné, díky aktivnímu prvku stejně jako v předchozím zapojení, dosáhnout vyššího přenosu než jedna (+18 db). Pro lepší možnost porovnání charakteristik je i v tomto grafu charakteristika zakreslena s posunutím úrovně o 18 db. Z průběhů výsledných modulových kmitočtových charakteristik na výstupu V OUT1 i V OUT (obr. 15) modelovaných obvodů PP se SI vyplývají podobné závěry jako u předchozích obvodů. I zde dochází oproti ideálnímu RLC prototypu na výstupu V OUT k potlačení charakteru HP kapacitně vázaných filtrů - zvětšení strmosti na nižších kmitočtech, za cenu mírného zmenšení strmosti na nižších kmitočtech, což může být s výhodou využito. - Frequency dependent negative resistors OPA 355 ARC measured OPA 355 ARC simulated -1 Obrázek 17: Porovnání naměřeného a odsimulovaného průběhu ARC kapacitně vázané PP. Na obr. 17 je přenosová charakteristika ARC kapacitně vázané pásmové propusti se SI (obr. 13). Červený průběh odpovídá simulaci s OPA355 a modrý průběh odpovídá změřeným hodnotám rovněž s OPA355. Mírná odchylka střední frekvence filtru je způsobena v tomto případě pravděpodobně větší tolerancí hodnot použitých součástek. Ty byly vybrané a skládané z běžně dostupných tolerančních řad tak, aby se jejich hodnoty oproti teoreticky vypočteným hodnotám uvedeným ve schématech nelišily více než o %. U navržených zapojení PP byly využity cíleně ztrátové funkční bloky FDNR a SI, které umožňují optimalizovat výsledné filtry z hlediska počtu aktivních prvků - operačních zesilovačů. Oproti návrhu využívajícího bezeztrátové funkčními bloky (např. zapojení podle obr. 4 a obr. 7), je počet OZ v uvedených filtrech zredukován na polovinu. Cenou za tuto výhodu je však zvýšení rozsahu hodnot parametrů navrženého filtru, což je typické pro zapojení ztrátových funkčních bloků. To v tomto směru poněkud eliminuje prvotní teoretickou výhodu vázaných PP. Pokud tedy bude prioritou při optimalizaci filtru malý rozsah hodnot součástí, bude nutno realizovat návrh filtru s bezeztrátovými funkčními bloky a cenou za to bude dvojnásobný počet nutných aktivních prvků (OZ). -1 Obrázek 16: Porovnání naměřeného a odsimulovaného průběhu ARC rezistivně vázané PP. 5 Závěr V tomto příspěvku byly popsány současné možnosti syntézy aktivních vázaných pásmových propustí s využitím cíleně ztrátových aktivních bloků (FDNR a SI). Na základě naznačeného postupu syntézy byly pro navržené obvody PP realizovány vzorky filtrů a jejich vlastnosti byly podrobně prověřeny praktickým měřením. Výsledky plně potvrdily správnost teoretických závěrů. Ukázaly výhodné možnosti realizace optimalizovaných struktur PP s těmito aktivními funkčními bloky, využitelných v perspektivních oblastech, kam se zaměřuje současná pozornost v syntéze moderních struktur obvodů. Perspektivní je oblast kmitočtů filtrů do 1 MHz, neboť pasivní filtry v této oblasti jsou relativně velké a číslicové 38 5

7 v současné době nerealizovatelné [4]. Rychlý rozvoj moderních technologií umožňuje realizaci moderních struktur analogových kmitočtových filtrů i v této požadované oblasti. V souvislosti s tím je však třeba propracovat metody syntézy a optimalizace těchto struktur s ohledem na možnosti současných moderních aktivních prvků (napěťové OZ s GBW řádově jednotky GHz, proudové OZ, konvejory, transimpedanční OZ). V další práci bude tedy pozornost zaměřena na optimalizaci základních stavebních bloků. řádu a jejich vlastností s moderními aktivními prvky. Budou analyzovány z hlediska jejich využití v obvodech vyšších řádů a oblasti vyšších kmitočtů. [11] DOSTÁL, T. Elektrické filtry. Brno, VUT, 4, 136 stran, ISBN X. [1] MITRA, S. K. Analysis and synthesis of linear active networks. USA : Library of Congress Catalog, s. ISBN [13] DARYANANI, G. Principles of active network synthesis and design. Canada : Library of Congess Cataloging in Publication Data, s. ISBN Literatura [1] FRIEDL, M. Active band-pass coupled filters. In Proceedings of 15th Konference and Competition STUDENT EEICT 9. Brno: 9. p ISBN [] SEDLÁČEK, J.; FRIEDL, M.; FRÖHLICH, L.; HA- DEC, M. ARC coupled band-pass filters. In AM- TEE 9 proceedings. Plzeň: 9. p ISBN [3] FRIEDL, M.; FRÖHLICH, L.; SEDLÁČEK, J. Modified Approximation Types for Lossy Building Blocks. In Progress In Electromagnetic Research Symposium, Progress In Electromagnetics. Cambridge, The Electromagnetic Academy. 1. p ISSN [4] PACTITIS, S. Active filters: theory and design. USA: CRC Press, str. ISBN [5] HÁJEK, K.; SEDLÁČEK, J. Kmitočtové filtry. 1. vydání. Praha : BEN - technická literatura,. 535 s. ISBN [6] BRUTON, L. T. RC-Active Circuits Theory and Design, New Jersey: Prentice-Hall, 198. p. 58. ISBN [7] Omicron-lab [online]. 1 [cit ]. Vector Network Analyzer - Bode 1 Extended frequency range 1 Hz - 4 MHz. Dostupné z WWW: < [8] Focus.ti [online]. 1 [cit ]. OPA355. Dostupné z WWW: < /lit/ds/sbos195d/sbos195d.pdf>. [9] BAKER, C. Chyba zisku u operačních zesilovačů. : Elektrotechnický magazín. [online]. 1, [cit ]. Dostupný z WWW: < ch_zesilovacu>. [1] VLACH, J.; SGHAL, K. Computer Methods for Circuit Analysis and Design.. vydání. USA : Van Nostrand Reinhold, s. ISBN