Řešení lineárních a kvadratických funkcí v prostředí programu GeoGebra

Transkript

1

2 Řešení lineárních a kvadratických funkcí v prostředí programu GeoGebra Lineární a kvadratické rovnice jsou součástí velké množiny rovnic. Jejich uplatnění je často velmi praktické, a proto je pojmu rovnice třeba dobře rozumět i pro vaši budoucí profesní dráhu. V následujícím úvodu si stručně shrneme základní pojmy a poznatyky, které se váží k řešení lineárních a kvadratických rovnic. Sestavujeme-li rovnici, vlastně se tímto zápisem ptáme, pro jakou hodnotu nezávislé proměnné (obvykle x) mají dvě funkce f a g stejnou funkční hodnotu. Funkce f a g obvykle nazýváme funkcí reálné proměnné. To znamená, že definiční obor těchto funkcí je podmnožinou množiny reálných čísel. Říkáme také, že rovnici řešíme na množině M R. Formálně lze předchozí tvrzení schrnout do formule: f (x)= g( x), kde x M. Prakticky taková rovnice může vypadat takto: 2x 1 = x+2 Z porovnání obou zápisů vidíme, že funkce f je lineární funkcí s předpisem f : y=2x 1 a funkce g je opět lineární funkce s předpisem g : y = x+2. Zbývá dodat, že funkce f se nazývá levá strana rovnice a funkce g se nazývá pravá strana rovnice. Množina M, která v tomto případě není uvedena, se nazývá obor řešení rovnice.(pokud není M uvedena pokládáme ji za celou množinu R). Je-li funkce g(x) = 0, říkáme, že rovnice je v anulovaném tvaru. Pak má tento formální tvar: f (x)=0 Například: 2x 1= 0. Pozor! Termín řešení rovnice se používá nejen jako termín pro pojem kořen rovnice, ale také pro postup, kterým se tyto kořeny hledají. V jakém významu se termínu bude požívat vám bude zřejmé z kontextu úlohy. Shrnutí K řešení rovnice je třeba znát: obor řešení M označení neznámé (obvykle x, y, z ) funkce f a g, jejichž proměnnou je neznámá a jejichž funkční hodnoty si mají být rovny Teorie už bylo dost. Můžeme si vyzkoušet řešení jednoduché rovnice v GeoGebře? To samozřejmě můžeme, jenom si uvědomte, že celé řešení v GeoGebře se bude opírat o předchozí pojmy. Navíc je třeba umět alespoň základní dovednosti, které se týkají funkcí. Vraťme se k jedné z předchozích jednoduchých rovnicí: 2x 1 = 0. Vdíme, že se jedná o lineární rovnici s neznámou x v anulovaném tvaru. Obor řešení rovnice je celá R. Rovnici vyřešíme pomocí příkazu NuloveBody[<Mnohočlen>]. Nejprve vytvoříme funkci levé strany tak, že do vstupního řádku napíšeme f: y = 2x 1. V algebraickém okně vidíme nově vytvořenou funkci f a v Nákresně novou přímku graf této funkce. Víme, že když je rovnice v anulovaném tvaru, hledáme průsečík grafu funkce levé strany s osou x, ten získáme právě příkazem NuloveBody[<Mnohočlen>]. Na místo <Mnohočlen> v příkazu doplníme jméno naší funkce f. Celý příkaz má tento tvar NuloveBody[f]. V Algebraickém okně uvdíme následující výpis:

3 Vidíme, že funkce protíná osu x v bodě A = (0.5, 0). Pokud rozumíte pojmu bod funkce je vám jasné jak z daného bodu A dostanete řešení rovnice. Je to první (x ová) souřadnice bodu A. Pro tuto hodnotu nezávislé proměnné x funkce f dává funkční hodnotu rovnou 0. V GeoGebře se příkaz pro první souřadnici bodu píše x(a). Uložíme si ji třeba do proměnné resrov takto: resrov=x(a). Výpis Algebraického okna vypadá takto: Řešení můžeme dotáhnou do lepší podoby, když zneviditelníme graf funkce f, tak že klikneme na bod v Algebraickém okně u naší funkce f. Do Nákresny doplníme slovní odpověď tak, že do Vstupní řádku doplníme příkaz: Text["Řešením dané rovnice 2x 1 = 0 je x="+ resrov]. Výsledné okno GeoGebry vypadá takto:

4 Můžeme si objasnit postup na některé složitější rovnici s pravou stranou? Samozřejmě. Vrátíme se do úvodních odsrtavců, kde se vyskytla tato rovnice 2x 1= x+2. Pokusíme se její řešení v GeoGebře. Zřejmě oproti předchozímu řešení budeme potřebovat více funkcí. Pro pravou stranu rovnice vytvoříme ve Vstupním řádku funkci f: y = 2x-1 a pro levou stranu funkci g: y=x + 2. Celou rovnici převedeme do anulovaného tvaru tak, že si vytvoříme novou funkci arov = Zjednodusit[2x-1 (x + 2)]. Dostali jsme se do bodu, kdy můžeme použít postup předchozího řešení pomocí příkazu NuloveBody. Do Vstupního řádku napíšeme příkaz NuloveBody[aRov] a GeoGebra nám v Algebraickém okně i v Nákresně vytvoří bod A o souřadnicích A = (3,0). O tomto bodu již víme, že obsahuje kořen rovnice, který získáme příkazem resrov=x(a). Podobně jako v předchozí rovnici dotáhneme výsledek do konce pomocí vložení textového pole příkazem Text["Řešením dané rovnice 2x 1 = x + 2 je x="+ resrov]. Takto vypadá ukázka ze souboru GeoGebry s naším příkladem: Ze souboru, který máte před sebou vidíte i druhé možné řešení dané úlohy, tzv. grafické. Grafickým řešením je opět x-ová souřadnice průsečíku grafů funkcí f a g. V GeoGebře je to opět snadná úloha. Nejprve si vytvoříme příkazem B=Prusecik[f,g] bod, který je průsečíkem grafů funkcí. Potom příkazem resrov2=x(b) získáme jeho x-ovou souřadnici a zároveň řešení dané rovnice. Na závěr opět doplníme příkaz Text["Grafický řešením dané rovnice 2x 1 = x + 2 je x="+ resrov2]. Takto vypadá výsledný soubor:

5 Podobně jednoduché to asi bude i s kvadratickými rovnicemi? Jistě zkusme vyřešit rovnici x 2 5x+6=0. Budeme postupovat podobně jako v minulých příkladech. Vytvoříme si funkci f levé strany rovnice f: y=x 2-5x + 6. Potom použijeme příkaz NuloveBody[x 2 5x + 6]. Dojde k nalezení průsečíků s osoux A=(2,0) a B=(3,0). Víme, že jejich x-ové souřadnice představují kořeny dané kvadratické rovnice. Označíme je jako x 1 a x 2 a získáme je známým příkazem x_1=x(a) a x_2=x(b), které postupně zapíšeme do vstupního řádku. A. Vaše Algebraické okno by mělo vypadat následovně: Získané hodnoty zapíšeme pomocí textového okna a příkazu: Text["Kořeny rovnice x^2 5x + 6 = 0 jsou čísla x_1 = "+ x_1 + " a x_2" +x_2]. Výsledný soubor v GeoGebře má tento vzhled: Co se stane v případě, že kvadratická rovnice nemá žádné reálné kořeny? Například rovnice x2 + 1 = 0, žádný reálný kořen nemá. Kdybychom si při vykreslení grafu funkce nevšimli, že neprotíná osu X, pak by po vložení příkazu NuloveBody[x 2 + 1] došlo k výpisu do Algebraického okna : A nedefinovaný. Tady je výpis Algebraického okna daného příkladu:

6 Kvadratická rovnice se může řešit rozkladem na součin lineárních výrazů. Může mi v tom GeoGebra pomoci? Může, pokud nechcete sestavovat výrazy rozkladu z NulovýchBodů, můžete v GeoGebře použít příkaz, který výrazy sám vytvoří. Příkaz má následující syntaxi Rozklad[<kvadratický výraz>]. Například budeme řešit rovnici x 2 4 = 0 pomocí rozkladu. Funkci levé strany označíme jako f a zadáme ji do Vstupního řádku f: y = x^ 2 4. Graf funkce se vykreslí v Nákresně, vidíme i její nulové body, které se využívají pro vytvoření rozkladu a jsou jejími kořeny. Rozklad provedeme pomocí příkazu Rozklad[x^2 4]. V Algebraickém okně se vytvoří nová funkce g zapsaná jako součin lineárních výrazů s proměnnou x. Můžeme odečíst kořeny x 1 = -2 a x 2 = 2. Tady vidíte výpis souboru: