4. Výčtem prvků f: {[2,0],[3,1],[4,2],[5,3]}

Transkript

1 1/27 FUNKCE Základní pojmy: Funkce, definiční obor, obor hodnot funkce Kartézská soustava souřadnic, graf funkce Opakování: Číselné množiny, úpravy výrazů, zobrazení čísel na reálné ose Funkce: Zápis: Funkce f je zobrazení, které každému prvku x přiřazuje nejvýše jedno reálné číslo y f: y = f(x) Rozhodni, zda jde o funkci: A = {[3,0],[-3,0],[-2,-1],[0,3],[-2,0]} B = {[π,0],[-π,π],[-2,-1],[-1,-2]} C = {[0,0],[-1,-1],[-2,-2],[1,1]} D = {[-1,1],[-2,2],[2,-2],[-1,-2]} Kartézská soustava souřadnic: Zakresli body: A [3,2], B[0,-4], C[1,1], D[-5,-5], E[3,-1], F[-4,0], G[1/4,-1], H[3,1] Graf funkce: je v kartézské soustavě souřadnic množina všech bodů roviny [x,f(x)] na vodorovnou osu x se nanáší proměnná x na svislou osu y se nanáší funkční hodnoty f(x)=y Rozhodni, které z grafů jsou funkce:

2 Funkce - úvod 2/27 Určení funkce: 1. Rovnicí: f: y = x-2 2. Grafem 3. Tabulkou x y Výčtem prvků f: {[2,0],[3,1],[4,2],[5,3]} Funkční hodnota: f(x) Je dána funkce f: y = 2x+3 Vypočti funkční hodnoty: Vypočti hodnoty x: f ( 3 ) = f ( ) = 3 f ( -1) = f ( ) = 1 f ( 0 ) = f ( ) = 5 f ( 2 ) = f ( ) = -3 f (-4) = f ( ) = 0 Definiční obor funkce: D(f) množina všech reálných čísel, pro které je fce definována (které můžeme za x dosadit) Obor hodnot funkce: H(f) množina všech reálných čísel y, která jsou danou funkcí přiřazena prvkům jejího def. oboru Urči, zda se jedná o funkci a napiš definiční obor a obor hodnot:

3 Funkce - úvod 3/27 Načrtni grafy funkcí, které mají D(f): a) D(f) = R - {1} b) D(f) = <-3;8> c) D(f) = (0; 5) Načrtni grafy funkcí, které mají H(f): a) H(f) = R - {1} b) H(f) = <-3;8> c) H(f) = (0; 5) Monotónnost funkce: Funkce f je rostoucí, jestliže platí x 1, x2 R : x1 < x2 y1 < y2 Funkce f je klesající, jestliže platí x1, x2 R : x1 < x2 y1 > y2 Funkce f je konstantní, jestliže platí x 1, x2 R : y1 = y2 rostoucí klesající konstantní

4 4/27 LINEÁRNÍ FUNKCE Základní pojmy: Lineární funkce, konstantní funkce, monotónnost funkce, přímá úměrnost Opakování: Funkce, graf Lineární funkce: Každá funkce daná rovnicí y = ax + b, kde a, b R. Grafem každé lineární funkce je přímka. K sestrojení grafu funkce stačí znát 2 body. 1. a = 0, b 0... y = b 2. a 0, b = 0... y = ax konstantní funkce přímá úměrnost 3. a > 0 4. a < 0 rostoucí funkce klesající funkce

5 Lineární funkce 5/27 Příklady: 1. Sestrojte graf funkce, urči D, H a) y = 2x, x ( 3, 2 1 b) y = x, x 2,7) 2 c) y = 2x + 1, x (, 0 2. Určete, zda body [ 1,3 ], B[ 0,5 ], C[ 1,4] d) y = 5x 2, x 2, e) y = 5, x 1,6) f) y = 2, x 2, ) A leží na grafu funkce f : y = x Urči průsečíky s osou x a y: a) b) f1 : y = 4x + 1 f : y = x 1 2 c) f : y 3x 3 = d) f4 : y = 2 4. Napište rovnici přímé úměrnosti, jejíž graf prochází bodem: a) A[3,-2] b) B[1, 1 / 2 ] c) C[-5,-2] 5. Určete rovnice funkce, jejíž graf prochází body: A 1,3, B 2, 1 a) [ ] [ ] b) A [ 2, 4 ], B[ 5,7] c) A [ 3,5 ], B[ 1,0] d) A[ 4, 4 ], B[ 5, 5] 6. Pro lineární funkci f platí f (-2) = 2 a f (3) = -1. Hodnota f (1) je rovna: A/ - B/ C/ D/ E/ Lineární funkce f nabývá pro x = -2 hodnoty -14, pro x = 5 hodnoty 14. Hodnoty 28 nabývá pro: A/ x = 12 B/ x = C/ x = 14 D/ x = E/ x = Určete rovnice funkcí znázorněných grafy na obrázku. f3 f1 f 2

6 Lineární funkce 6/27 9. Na kterém obrázku je graf funkce, která je pro x < 0 dána předpisem y = -x a pro x 0 předpisem y = 0? 10. Je dána funkce y= -3x. Její graf posuneme o jednu jednotku délky ve směru kladné poloosy x. Získáme tak graf funkce. A/ y = -3x+1 B/ y = -3x+1 C/ y = -3x+3 D/ y = x+3 E/ y = x Graf lineární funkce f prochází body K [ 3, 2], L [ 1, 4]. a) Sestavte předpis pro funkci f. b) Zjistěte, zda bod M[6, 1 / 2 ] leží na grafu funkce f. c) Určete průsečíky grafu funkce f s osami souřadnic. d) Určete, pro které hodnoty nezávislé proměnné jsou hodnoty funkce f větší než Pro lineární funkci f: y = -2x + 5 určete: a) f(5), f(2), f(0), f(-3). b) hodnoty proměnné x 1, x 2, pro něž je f(x 1 ) = 1, f(x 2 ) = -8. c) souřadnice průsečíků grafu funkce f se souřadnicovými osami x, y.

7 7/27 LINEÁRNÍ ROVNICE, NEROVNICE Základní pojmy: Lineární rovnice, lineární nerovnice Lineární rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou Opakování: Lineární funkce, řešení základních rovnic, graf funkce, úpravy výrazů Lineární rovnice: rovnice ax + b = 0, kde a, b R, a 0, x je neznámá lineární se nazývají i další rovnice, které lze na rovnici ve tvaru ax + b = 0 převést množina všech řešení (obor pravdivosti) P (např. P={6}) nebo K (např. K={6}) Ekvivalentní úpravy: výměna levé a pravé strany rovnice přičtení (odečtení) téhož čísla k oběma stranám rovnice vynásobení (vydělení) obou stran rovnice stejným nenulovým číslem Řešení rovnice: členy s neznámou převedeme na jednu stranu rovnice a členy bez neznámé na druhou stranu Možné výsledky řešení: rovnice má 1 řešení: ( 5x - 4) -x = 2(x+4) P = { } rovnice má nekonečně mnoho řešení: ( 5x - 4) -x = -4(1- x) P = rovnice nemá řešení: -x - ( 4-5x) = 4(-2+ x) P = { } Příklad:

8 Lineární rovnice, nerovnice 8/27 Speciální rovnice: rovnice se zlomky - obě strany vynásobíme nejmenším společným jmenovatelem lomených výrazů 2( x 4) 3x (2x 3) + = 7 P = { 49} rovnice s desetinnými čísly vynásobit a přejít na počítání s přirozenými čísly P = { 2} 0,8(3x 5) 0,5(2x 8) = 2 + 0, 4x neznámá ve jmenovateli vynásobíme obě strany rovnice nejmenším společným jmenovatelem s neznámou určíme podmínky řešitelnosti 3 + 4x 3 x 1 = P = R { 0, 1} 2 x + x x x + 1 rovnice v součinovém tvaru - součin dvou nebo více lineárních dvojčlenů rovná se nule ( x 2).( x + 5) = 0 P= ( x rovnice v podílovém tvaru - zlomek, v jehož čitateli i jmenovateli je lineární dvojčlen nebo součin několika lineárních dvojčlenů se rovná nule 2).( x + 5) = 0 x + 4 P=

9 Lineární rovnice, nerovnice 9/27 Lineární nerovnice: nerovnice ax + b < 0 (ax+b > 0, ax+b 0, ax+b 0), kde a, b R, a 0, x je neznámá platí ekvivalentní úpravy pro řešení rovnic při násobení obou stran rovnice záporným výrazem je nutno obrátit znak nerovnosti množina všech řešení (obor pravdivosti) P, K (např. P = (6, ) nebo K = (6, )) Možné výsledky řešení: neomezený interval: -(5x - 4) + x < -2(x + 4) P = (6, ) množina všech čísel z D: (5x - 4) - x < 4(2 + x) P = R rovnice nemá řešení: (5x - 4) - x > 4(2 + x) P = { } Příklad:... P = { 1,2,3,4 }

10 10/27 LINEÁRNÍ FUNKCE, ROVNICE, NEROVNICE S ABSOLUTNÍ HODNOTOU Základní pojmy: Lineární funkce, rovnice a nerovnice s abs. hodnotou Opakování: Lineární funkce, rovnice a nerovnice Definice absolutní hodnoty Lineární funkce s absolutní hodnotou: určíme nulový bod - intervaly a řešíme samostatně v jednotlivých intervalech výsledek je sjednocení obou řešení Je-li v úloze více absolutních hodnot, zvýší se počet nulových bodů a tím i počet intervalů v tabulce. Pro x 0 je x = x Pro x 0 je x = -x f: y = x g: y = x -2 h: y = x-3 f: y = x + s získáme posunutím grafu funkce y = x o s jednotek nahoru po ose y. f: y = x - t získáme posunutím grafu funkce y = x o t jednotek doprava po ose x.

11 Lineární funkce, rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou 11/27 Příklad: y = 2 x Příklad: y = x + 2 x Příklad: y = x 3 x x

12 Lineární funkce, rovnice a nerovnice s absolutní hodnotou 12/27 Lineární rovnice s absolutní hodnotou: jednoduché rovnice řešíme pomocí definice abs. hodnoty Příklad: x 2 = 3 P = P = P = P = P = P = rovnice s více abs. hodnotami vyřešíme v jednotlivých intervalech a ověříme, zda výsledek padne do daného intervalu obor pravdivosti je sjednocení daných výsledků Příklad: x 4 = 3x 2 nulový bod... x=4 P = Lineární nerovnice s absolutní hodnotou: řešíme jako rovnice obor pravdivosti je sjednocení daných intervalů Příklad: x 2 3 x 4 < 3x 2 P= P=

13 13/27 SOUSTAVY ROVNIC Základní pojmy: Soustavy rovnic o 2 a více neznámých Opakování: Řešení rovnic, úpravy výrazů, grafy lin. fcí Soustavy 2 rovnic o 2 neznámých:, kde a 1,a 2,b 1,b 2,c 1, c 2 jsou R, x, y je neznámá množina všech řešení uspořádaná dvojice P (např. P={[6,4]}) Metody řešení: dosazovací metoda P={[1,2]} sčítací metoda P = {[1,-2]}

14 Soustavy rovnic 14/27 srovnávací metoda P = {[1,2]} x + 3y = 7 x = x + y = 1 x = grafické řešení vyjádřit rovnice ve tvaru y = kx + q

15 Soustavy rovnic 15/27 Možné výsledky řešení: uspořádaná dvojice: 2x + y = 3 2x y = 3 P = {[, ]} nekonečně mnoho řešení: 2x y = 3 4x + 2y = 6 (0.x = 0) P ={[x, y] RxR; y = 2x + 3} soustava nemá řešení: (0.x = c) 4x + 2y = 6 8x 4y = 4 P = { }

16 Soustavy rovnic 16/27 Soustavy lineárních rovnic o 3 neznámých: Dosazovací metoda (z jedné rovnice vyjádříme neznámou, dosadíme do zbylých dvou) a potom řešíme soustavu 2 rovnic o 2 neznámých x + y + 2z = -1 2x - y + 2z = - 4 4x + y + 4z = - 2 x = 1 y 2z P = {[1,2,-2]} Sčítací metoda (Vybereme libovolné dvě rovnice a eliminujeme z nich jednu neznámou, poté vybereme jiné dvě rovnice a eliminujeme stejnou neznámou. Pak řešíme soustavu 2 rovnic o 2 neznámých.) x + y + 2z = -1 2x - y + 2z = - 4 4x + y + 4z = - 2 x + y + 2z = -1 2x - y + 2z = - 4 2x - y + 2z = - 4 4x + y + 4z = - 2

17 17/27 SOUSTAVY NEROVNIC Základní pojmy: Soustavy nerovnic o 1 neznámé Součinový a podílový tvar Opakování: Řešení rovnic, nerovnice, množinové operace, úpravy výrazů 2 základní typy úloh: řešíme 2 nerovnice o 1 neznámé výsledek průnik 2 intervalů Znázorníme graficky: součin 2 výrazů stanovíme podmínky, kdy je součin + či (nulové body) podílový tvar řešíme stejně, nesmíme zapomenout na podmínky řešitelnosti!!!

18 18/27 Základní pojmy: Kvadratická rovnice, diskriminant KVADRATICKÁ ROVNICE Rozklad kvadratického trojčlenu na součin Opakování: Kvadratická funkce, řešení základních rovnic, graf funkce, úpravy výrazů, vzorce pro 2. mocninu Kvadratická rovnice: rovnice, kde a, b, c R, a 0, x je neznámá Řešení rovnice: členy s neznámou převedeme na jednu stranu rovnice a členy bez neznámé na druhou stranu Řešení po úpravě kvadratické rovnice: tvar, b = 0 ryze kvadratická rovnice (kořeny opačná čísla) př. P = {3,-3} tvar, c = 0 kvadratická rovnice bez absolutního členu (jeden z kořenů je roven 0) př. P = {0,9} tvar dvojnásobný kořen př. P = {-3 } tvar úplná kvadratická rovnice, řešení pomocí vzorce diskriminant: (vzorec použitelný pro každou kvadratickou rovnici) D = b 2-4ac D = 0 D > 0 D < 0 jeden dvojnásobný kořen dva kořeny v R rovnice nemá řešení P = {x 1,x 2 } př.

19 19/27 KVADRATICKÁ FUNKCE Základní pojmy: Kvadratická funkce, parabola, vrchol paraboly Opakování: Funkce, graf Kvadratická funkce: Každá funkce daná rovnicí y = ax 2 + bx + c, kde a 0, a,b,c R. Grafem každé kvadratické funkce je parabola. K sestrojení grafu funkce určíme vrchol, průsečíky s osami. ax 2... kvadratický člen bx... lineární člen c... absolutní člen a > 0 konvexní funkce a < 0 konkávní funkce y = x 2 y = - x 2 Graf funkce y = x 2 + n V [0, n] Graf funkce y = (x-m) 2 V [m, 0] posun po ose y posun po ose x y = x 2-2 y = (x+1) 2 V [0, -2] V [-1, 0] Každá kvadratická funkce lze upravit na tvar: y = ax 2 + bx + c = a(x-m) 2 + n Vrchol paraboly: V [m, n]

20 Kvadratická funkce 20/27 Určete vrchol paraboly Přiřaďte funkce ke grafům: Graf funkce y = (x - m) 2 + n V [m, n] posun po ose x i y Y = ( x - 4 ) 2-2 V [4, -2] Zjištění vrcholu paraboly: doplnění na čtverec y = a( x m ) 2 + n y = x 2 + 4x + 3 = (x 2 + 4x ) = =( x + 2) 2 1 V[-2, -1]

21 Kvadratická funkce 21/27 1) Určete vrchol paraboly a) f(x) = x 2 + 2x + 1= b) f(x) = x 2 + 4x + 5= c) f(x) = -x 2-4x = d) f(x) = -2x 2 + 4x + 1= e) f(x) =2 x 2 + 2x + 4= f) f(x) = 3x 2 +6x + 3= g) f(x) = x 2 +6x + 10= h) f(x) = -x 2 +x 2,25= i) f(x) = 5x 2-10x + 9= j) f(x) = 3+2x-x 2 = k) f(x) = 2x 2-8x + 14= 2) Oborem hodnot funkce f: y = (1 x) (1 + x) + 2x je interval: A/ (-, 0) B/ (-,2 > C/ <0, ) D/< -1, ) E/ <-2, ) 3) Největší hodnota funkce f: y = (5 + x) (3 - x) -1 je: A/ 13 B/ 14 C/ 15 D/16 E/ 17

22 Kvadratická funkce 22/27 4) Funkce f: y = -x 2 + 4x + 1 je: A/ rostoucí v intervalu (, 5 > a klesající v intervalu ( 5, ) B/ klesající v intervalu (,5> a rostoucí v intervalu < 5, ) C/ rostoucí v intervalu (,2> a klesající v intervalu < 2, ) D/ klesající v intervalu (,2> a rostoucí v intervalu < 2, ) 5) Průsečíky grafu funkce f: y = x 2-2x - 2 s osami souřadnic jsou body: B/[ 1,0 ], [ 1+ 3,0 ], [ 0,2 C/[ ] ] 1 3,0, [ 0,1] D/ [ 1 3,0 ], [ 1+ 3,0 ], [ 0, 2] E/ [ 1 3,0 ], [ 1+ 3,0 ], [ 0, 2] A/ [ 1,0 ], [ 0,2] 6) Graf funkce f: y = x(4-x) je na obrázku: 7) Kvadratické funkce f, jejímž grafem je parabola s vrcholem V [ 0, 5] a pro niž platí f(-2) = -3, je dána předpisem: A/ f: y = x B/ f: y = -x C/ f: y = -2x D/ f: y = 2x E/ f: y = -2x ) Je dána funkce g : y = 4x x, x 4,1 ) a) Sestroj její graf. b) Určete obor hodnot H, funkce g. c) Vypočtěte souřadnice průsečíků grafu funkce g s osami souřadnic. d) Určete, pro která reálná čísla x platí g(x) 3. 9) a) Napište předpis pro kvadratickou funkci f, jejíž graf protíná osy souřadnic v bodech [0,-5], [-1,0], [5,0]. b) Napište předpis pro kvadratickou funkci g, jejíž graf je souměrný s grafem funkce f z bodu a) podle: α) osy x β) osy y γ)počátku soustavy souřadnic 2 10) Do funkčního předpisu y = x * 4x * 5 dosaďte na místa hvězdiček všemi možnými způsoby znaménka + a -. Pro každý získaný předpis určete vrchol a průsečíky s osami souřadnic paraboly, která je grafem příslušné funkce; parabolu načrtněte.

23 23/27 KVADRATICKÁ NEROVNICE Př. x 2-5x Početní způsob: Grafický způsob: x 2-5x + 6 > 0 K= Př. -x 2 +4x - 4 < 0 Početní způsob: Grafický způsob: -x 2 +4x - 4 > 0 K= -x 2 +4x K= Př. x 2 + 6x +10 < 0 Početní způsob: Grafický způsob: x 2 + 6x +10 > 0 K=

24 24/27 IRACIONÁLNÍ ROVNICE Základní pojmy: Iracionální rovnice, podmínky řešitelnosti, zkouška Opakování: Kvadratická rovnice, úprava rovnic, vzorce pro 2. mocninu Iracionální rovnice: rovnice, ve které se vyskytuje odmocnina z výrazů obsahujících neznámou - nutné podmínky řeší se odstraňováním odmocnin (umocňováním) ve výrazech s neznámou (neekvivalentní úprava) -nutná zkouška Využijeme vzorce pro druhou mocninu: Řešení rovnice s 1 odmocninou: Podmínky: výraz s odmocninou převedeme na 1 stranu rovnice umocníme obě strany výrazu rovnici dořešíme a provedeme zkoušku Zk: P(14) = Příklady:

25 Iracionální rovnice 25/27 Řešení rovnice s 2 odmocninami: x 1 + x + 4 = 5 Podmínky: ( x 1 = 5 x 1) 2 = (5 x + 4 / 2 x + 4) 2 kvůli jednoduchosti necháme na každé straně rovnice 1 odmocninu a umocníme podle vzorce ( a b) 2 = x 1 = x x + 4 výraz s odmocninou převedeme na 1 stranu rovnice 30 = 10. x + 4 / : ( 10) 3 = x / opět umocníme, rovnici dořešíme, zjistíme, zda řešení padne do def. oboru, a provedeme zkoušku Příklady: x x + 7 = 4 10 x + x 10 = 2

26 26/27 ROVNICE S PARAMETREM Základní pojmy: Parametr, řešení rovnice s parametrem, diskuse Opakování: Rovnice, úprava rovnic Příklady: 6a - ax + 3x = 11 x -2 - ax + 1 = a - 1

27 Rovnice s parametrem 27/27 x 2 + ax + 9 = 0 x 2 + 4ax - a = 0 ax a = x (x - 5)(a - 3) = 2x x 2 + ax + 1 = 0