INŽENÝRSKÁ MECHANIKA 2005

Transkript

1 INŽENÝRSKÁ MECHANIKA 2005 NÁRODNÍ KONFERENCE s meznárodní ú astí Svratka, eská republka, kv tna 2005 SIMULATION OF STABILITY LOSS OF VON MISSES TRUSS IN THE STATE OF UNSYMMETRICAL STRESS P. Frantík 1 Summary: Hypothess about dynamcal process of stablty loss of hgh symmetrcal von Msses truss n the state of unsymmetrcal stress s verfed by smulaton of dscrete nonlnear dynamcal system. Unsymmetrcal stress means possble unsymmetrcal postcrtcal shape of von Msses truss. 1. Úvod V sou asnost se m žeme ve v deckých kruzích b žn setkat s provád ním výpo t mnohdy velm komplexních nelneárních model. A kolv jsou složtost možného chování nelneárních systém do zna né míry odkryty, zanedbává se v tšnou z praktckých d vod podrobn jší analýza správnost nalezených ešení. Jednou z vlastností nelneárních systém je obecn nap. sou asný výskyt více stablních statckých stav, které jsou asto spojeny s exstencí nestablních statckých stav, jejchž rozpoznání m že být pro statcké výpo etní metody problémem. Výhodou, kterou máme k dspozc p analýze nelneárních systém, je v souvslost se znalostí jejch tzv. generckých vlastností pov domí, že složtost jejch chování lze lustrovat na velm jednoduchých modelech. Jedním z takových model je vzp radlo, známé spíše jako von Msses v nosník, vz Bažant & Cedoln (1991). Vzp radlo je jednoduchá prutová konstrukce, znázorn ná v etn užtého ozna ení na obr. 1. Obr. 1 Schematcké znázorn ní vzp radla von Mssesova nosníku 1 Ing. Petr Frantík, Ph.D.: Ústav stavební mechanky; Fakulta stavební; Vysoké u ení techncké v Brn ; Veve í 331/95; Brno; e-mal: ktnarf@centrum.cz

2 M jme vysoké, dokonale symetrcké vzp radlo, skládající se ze dvou velm štíhlých prut z pružného materálu, které vybo ují v rovn vzp radla. Pak exstuje mnoho statckých stav, kterých m že být p jeho deformac dosaženo. Tyto stavy a jejch exstence jsou podrobn popsány v publkac Frantík (2004.1), kde je ukázán výskyt v zásad dvou druh pokrtckého p sobení vzp radla: symetrcké a nesymetrcké napjatost, vz obr. 2. Obr. 2 Možné pokrtcké stavy vzp radla bez svých symetrckých prot jšk Symetrcká napjatost vzp radla je statckým stavem, jenž se vyskytuje pro vzp radla lbovolného pom ru h/l, kde h je výška vzp radla a L je délka jeho prut, p emž platí h < L. Jnak tomu je u nesymetrcké napjatost, jejíž exstence souvsí s výškou vzp radla. Mnmální výška vzp radla s výskytem nesymetrcké napjatost byla vypo tena za p edpokladu zanedbání normálového protažení prut h mn = L, vz Frantík (2004.1). Exstence nesymetrcké napjatost (ve smyslu statckého stavu) je navíc obecn omezena polohou st edního kloubu vzp radla, vz obr. 3 pro vzp radlo h = 0.8 L. Obr. 3 Závslost síly F p sobící ve st edním kloubu na jeho svslém posuvu w pro vzp radlo h = 0.8 L (F cr je krtcká síla vzp radla, tj. síla F nutná pro ztrátu stablty prut vzp radla)

3 Na obr. 3 je vd t závslost síly F, nutné pro udržení vybraného statckého stavu, na poloze st edního kloubu vzp radla (specfkované svslým posuvem w, vz obr. 1) pro vzp radlo h = 0.8 L (p evzato z Frantík (2004.1)). Z grafu je patrné, že výskyt nesymetrcké napjatost kon í p posuvu p blžn w max = h. 2. Úloha V návaznost na výše popsaná fakta se soust e me na nalezení zp sobu, jakým probíhá deformace vzp radla. Pro zjednodušení problému se v nujme pouze vzp radlu h = 0.8 L, p emž jej budeme zat žovat p ír stkem svslého posunu st edního kloubu (jedná se o pokrtckou úlohu). Pro tyto ú ely byl sestaven model schematcky znázorn ný na obr. 4. Obr. 4 Schematcké znázorn ní dskrétního modelu vzp radla Pruty vzp radla jsou rozd leny na ur tý po et stejn dlouhých dílc s vnt ní pružnou (umož ující normálové protažení) vzájemn spojených klouby s rota ním pružnam. Oba typy pružn jsou uvažovány jako lneární. Potencální energ E p, která se akumuluje v t chto pružnách lze zapsat ve tvaru: nl nf E (1) p kl dl k f d, kde n l je po et normálových pružn, n f je po et rota ních pružn, k l je tuhost normálových pružn, k f je tuhost rota ních pružn, dl je protažení -tého dílce a d je nato ení rota ní pružny (vzájemné pooto ení dílc, které pružna spojuje). Uvažujme, že deforma ní stav modelu vzp radla jednozna n ur ují polohy všech jeho kloub. Nech je poloha každého kloubu dána dvojcí sou adnc ( x, y ), kde je ndex kloubu. Pro protažení normálové pružny dl lze pak psát: 2 2 dl l l, l ( x 1 x ) ( y 1 y ), (2) kde l je p vodní délka dílce (dílec bez nap tí) a l je délka dílce po deformac. Pro pooto ení rota ní pružny d lze psát: y 1 y d 1, sn, l (3) kde je pooto ení -tého dílce. Ze vztah (2) a (3) je patrné, že je užta geometrcky p esná formulace modelu. 3. Plocha potencální energe Popsaný model lze užít k mapování rozložení potencální energe vzp radla, ze které lze zjstt jak se bude vzp radlo deformovat. Pro vykreslení energetcké plochy do rovny byl použt

4 postup prezentovaný v lánku Frantík (2004.6), založený na hledání extrému potencální energe E p pomocí Newtonovy tera ní metody: 1) Máme vzp radlo v lbovolném statckém stavu, nalezeném nap íklad pomocí Newtonovy tera ní metody. Následn zafxujeme st ední kloub vzp radla. 2) Posuneme fxovaný st ední kloub o malý krok lbovolným sm rem a nalezneme op t extrém potencální energe pomocí Newtonovy metody. 3) Bod dva opakujeme tak dlouho, dokud nedosáhneme bodu, v n mž chceme znát hodnotu potencální energe E p. Zkontrolujeme dosažený stav a zaznamenáme hodnotu potencální energe. Tímto postupem byla získána energetcká plocha znázorn ná s pomocí transformace na obr. 5. Plocha je z praktckých d vod transformována do bezrozm rného tvaru tak, aby potencální energe symetrcké napjatost (tj. kloub se posouvá pouze svsle; na obr. 5 svslá úse ka x = 0.6 m) m la hodnotu Vrstevnce plochy byly získány z rastrové sít vypo tených hodnot potencální energe s pomocí programu Gnuplot, Wllams et al. (2004). Obr. 5 Transformovaná plocha potencální energe vzp radla, znázorn ná pomocí vrstevnc, zobrazená v ploše možných poloh st edního kloubu (lbovolný bod v ploše p edstavuje polohu st edního kloubu vzp radla, pro nž byl vypo ten extrém potencální energe) Z obr. 5 je patrné, že nesymetrcká napjatost, která je na obr. 5 patrná jako kotlna p levém a pravém okraj zobrazené plochy, z ejm p edstavuje v p ípad zat žování vzp radla p ír stkem svslého posuvu w stablní statcký stav v celém ntervalu exstence této napjatost (dle grafu na obr. 3). Symetrcká napjatost, která je patrná jako svslá úse ka, je v tomto smyslu stablním statckým stavem pouze v ntervalu as w stab ( 0.48, h ), tj. y stab ( 0, 0.32 ), vz obr. 5. Ze zobrazené plochy je také vd t, že exstuje další, dosud nepopsaný, nestablní statcký stav blízko sou adnc ( 0.37, 0.35 ) a ( 0.83, 0.35 ), patrný jako lokální maxmum vrstevnce 1.01, vz obr. 5. Tvar vzp radla p dosažení tohoto stavu je zobrazen na obr. 6.

5 Exstence tohoto stavu ndkuje, že na ntervalu jeho výskytu jsou sou asn symetrcká nesymetrcká napjatost stablním statckým stavy. Obr. 6 Nalezený nový nestablní statcký stav s velm omezenou oblastí výskytu Dle plochy potencální energe vzp radla zobrazené na obr. 5 lze usoudt na následující pr b h deformace vzp radla h = 0.8 L: Máme-l vzp radlo v po áte ním nenapjatém stavu, pak malý pokles st edního kloubu zp sobí zpo átku vybo ení symetrckou napjatostí, která v d sledku lbovolné nesymetre po áte ních podmínek p ejde na nesymetrckou napjatost. Po dalším poklesu jž bude vzp radlo setrvávat v nesymetrcké napjatost až do okamžku, kdy tato p estává exstovat (tj. p blžn posuv w = 0.64 h, pop. bod y = 0.29 m). Po p ekro ení tohoto krtckého bodu nastává pád nesymetrcké napjatost na napjatost symetrckou, ve které vzp radlo setrvá až do posuvu w = h, pop. do bodu y = 0.0 m. 4. Dynamcké ešení Pro ov ení správnost výše uvedené hypotézy o pr b hu deformace vzp radla byl formulován uvedený model jako nelneární dynamcký systém. Pro jednoduchost je uvažováno, že se hmotnost prutu v modelu soust edí do hmotných kloub. Díky tomuto zjednodušení lze psát pohybové rovnce ve tvaru: dy dv x 1 v y, Rx c m v x, dt dt m (4) dx dv y 1 v x, R y c m v y, dt dt m kde R x, R y jsou akce pružn na hmotné klouby, c je koefcent útlumu, m je hmotnost hmotných kloub a v x, v y jsou rychlost hmotných kloub. Ov ení pomocí dynamckého ešení bylo provedeno následujícím zp sobem: V po áte ním stavu byl vytvo eny dva pruty (složené z 8 dílc ) ležící na ose x, spojené st edním kloubem a na okrajích uložené na kloubových neposuvných podporách. Poté byl st ední kloub zafxován prot pohybu ve svslém sm ru (nacházející se nyní na sou adncích ( 1.0, 0.0 ), vz sou adný systém na obr. 4. Následn se po malých krocích p probíhající smulac posouvala pravá kloubová podpora z polohy x = 2.0 m do polohy x = 1.2 m, ímž vznklo vzp radlo v pokrtckém tvaru. Poslední fází smulace bylo pomalé posouvání st edního kloubu (fxovaného ve svslém sm ru) vzh ru na sou adnc y = 0.8 m a zpátky dol

6 na sou adnc y = 0.0 m. Výsledek této smulace je zobrazen na obr. 7 v ploše potencální energe vzp radla. Obr. 7 Transformovaná plocha potencální energe vzp radla s vyzna ením polohy st edního kloubu v pr b hu dynamcké smulace (tu ná k vka v etn sm ru pohybu) 5. Záv r V lánku bylo prezentováno ov ení hypotézy o pr b hu ztráty stablty symetrckého vzp radla p pádu nesymetrcké napjatost pomocí dynamcké smulace. Hypotéza byla smulací potvrzena, p emž se ukázalo, že užtá metodka pr zkumu plochy potencální energe je z ejm pro tyto ú ely dob e aplkovatelná a umož uje vytvo ení p ehledného obrazu o vlastnostech jednoduchého nelneárního systému. Poznamenejme, že pro podobné ú ely lze užít analytckého ešení pomocí teore katastrof, vz Arnold et al. (1999), p emž aplkace tohoto p ístupu je p edm tem budoucím. Pod kování: P ísp vek byl vytvo en v rámc výzkumného centra CIDEAS (1M ). 6. Lteratura Arnold V. I., Afrajmovch V. S., Il`Yashenko YU. S., Shlnkov L. P. (1999) Bfurcaton Theory and Catastrophe Theory. Sprnger-Verlag, New York. Bažant Z. P. & Cedoln L. (1991) Stablty of Structures. Oxford Unversty Press, Oxford. Frantík P. (2004.1) Rozbor exstence ešení dokonalého symetrckého vzp radla. In: sborník meznárodní konference Modelování v mechance 2004, VŠB-TU Ostrava. Frantík P. (2004.6) Stablty Study of the Elastc Loop. In: proc. 5th Internatonal Ph.D. Symposum n Cvl Engneerng, vol. II, TU Delft, Netherlands. Wllams T., Kelley C. & others (2004) GNUPLOT ver