ALGORITMUS SILOVÉ METODY

Transkript

1 ALGORITMUS SILOVÉ METODY CONSISTENT DEFORMATION METHOD ALGORITHM Petr Frantík 1, Mchal Štafa, Tomáš Pal 3 Abstrakt Příspěvek se věnuje popsu algortmzace slové metody sloužící pro výpočet statcky neurčtých prutových konstrukcí. Algortmus je koncpován tak, aby v co největší míře odpovídal postupu př výpočtu konstrukce člověkem. Klíčová slova slová metoda, algortmus, automatzace. Abstract The paper presents the algorthm for automaton of the method of consstent deformatons, or sometmes referred to as the force or flexblty method for solvng of statcally ndetermnate bar structures. The algorthm s desgned to reflect the solvng procedure used by a man. Keywords force method, consstent deformaton method, flexblty method, algorthm, automaton. 1 Slová metoda Pojmem slová metoda je zde myšlen výpočetní postup pro řešení rovnných, statcky neurčtých, prutových konstrukcí ve formě užívané pro obvykle neautomatzovaný výpočet prováděný člověkem. Má tř fáze: vytvoření fktvní statcky určté konstrukce modfkací řešené konstrukce pomocí odebrání vnějších a/nebo vntřních redundantních vazeb, přdání neznámého zatížení odpovídajícího odstraněným vazbám, a řešení deformačních podmínek, kterým musí vytvořená statcky určtá konstrukce (tzv. základní) podléhat, aby svým chováním odpovídala původní konstrukc. Obr. 1: Otevřený tuhý celek 1 Ing. Petr Frantík, Ph.D., Vysoké učení techncké v Brně, Fakulta stavební, Ústav stavební mechanky, Veveří 95, Brno, e-mal: ktnarf@centrum.cz, Ing. Mchal Štafa, dtto., e-mal: stafa.m@fce.vutbr.cz, 3 Ing. Tomáš Pal, dtto., e-mal: pal.t@fce.vutbr.cz. 1

2 Samotné řešení deformačních podmínek vyžaduje analýzu funkcí vntřních sl zvolené statcky určté konstrukce. Tato analýza se provádí rovněž v několka krocích: Nejprve se konstrukce uvolní z vnějších vazeb, které se nahradí neznámým slam. Poté se konstrukce rozdělí pomocí řezů na souvslé monoltcké část bez uzavření (nazveme otevřené celky), vz obr. 1. Poznamenejme, že ve smyslu teore grafů se jedná o tzv. stromy. Jsou souvslé a neobsahují uzavřené čast. Bez vnějších vazeb má každý takový tuhý celek v rovně právě tř stupně volnost. V místech řezů se vzájemné působení částí rovněž nahradí neznámým slam. Nakonec se pro každý otevřený celek sepíšou tř podmínky rovnováhy: F F x y M 0, 0, 0, (1) kde F x, F y jsou složky působící síly s ndexem, M je moment této síly ke zvolenému bodu. Výsledkem soupsu podmínek rovnováhy je soustava 3m lneárních rovnc o stejném počtu neznámých vazebných sl, kde m je počet otevřených tuhých celků. Získání skupny otevřených celků vyžaduje správnou volbu řezů konstrukce. Tyto se provádí v místech, kde jsou do konstrukce umístěny např. vntřní klouby č jné způsoby uvolnění vntřních vazeb. Pro účely souhrnného popsu nazývejme tato uvolnění separátory, jelkož oddělují (přerušují) souvslé část konstrukce. Jakmle vyřešíme neznámé vazebné síly, lze pro lbovolný bod zvoleného otevřeného celku určt vntřní síly z podmínek rovnováhy (1). Deformační podmínky Deformační podmínky zapsujeme pro každou ze složek redundantních vazeb, které byly odstraněny pro vytvoření základní statcky určté konstrukce. Obecná deformační podmínka má tvar: 0, () kde δ je deformace (tj. pootočení nebo posunutí) v místě odstraněné složky vazby ve směru této složky. Index označuje pořadí deformace. Počet deformačních podmínek n je roven stupn statcké neurčtost původní konstrukce. Řešíme-l lneární úlohu, pak je deformace lneárně závslá na zatížení a neznámých slách redundantních vazeb. Díky tomu můžeme provést její rozklad: ( F, X, X 1 ( F) ( X,..., X 1 n ) 0, ) ( X )... ( X n ) 0, (3) kde F zastupuje veškeré vnější zatížení respektve zatížení od vzájemného spolupůsobení otevřených celků a X označuje neznámé síly redundantních vazeb. Výpočet lze dále praktcky zjednodušt řešením deformací od jednotkových sl redundantních vazeb upravením výrazu (3) na tvar:

3 X X... X 0, (4) n n kde δ 0 = δ (F) je deformace δ od vnějšího zatížení a δ j označuje deformac δ od jednotkové redundantní vazebné síly X j. Výpočet dané deformace δ se provede pomocí tzv. Castglanovy metody (metoda jednotkových sl, vz např. [1]) mající tvar: NN j VV j M M j j dx dx dx, (5) EA GA EI l l l kde N, V, M jsou funkce vntřních sl na základní statcky určté konstrukc od vnějšího zatížení ( = 0) respektve od jednotkové redundantní vazebné síly ( = 1,,, n). Integruje se po délce prutů celé konstrukce, přčemž EA je obecně funkce normálové tuhost, GA κ smykové a EI ohybové tuhost průřezů prutů. Závěrem získáme soustavu (lneárních) rovnc, jejímž řešením obdržíme neznámé hodnoty sl redundantních vazeb. 3 Elementy konstrukce Z hledska popsu algortmu rozdělíme model konstrukce na pruty a styčníky, vz obr.. Styčník slouží ke spojení prutů a zároveň pruty ukončuje. Vnější vazby (okrajové podmínky) lze zadat pouze na styčnících. Obr. : Elementy modelu konstrukce Prut může mít na svých koncích umístěné separátory se třem složkam: dvě vzájemně kolmá posunutí a pootočení. Na obr. 3 je vdět znázornění všech kombnací separátorů. Ačkolv je separátor umístěn na konc prutu, jeho poloha je chápána jako totožná s polohou přlehlého styčníku. Obr. 3: Mechancké znázornění možných separátorů (1 vazba odstraněna, 0 vazba ponechána) Orentac separátorů budeme dále uvažovat shodnou s orentací prutu. Každá složka separátoru tak bude odpovídat jedné z vntřních sl. 3

4 4 Algortmus rozkladu Jádrem výpočtu je řešení statcky určté konstrukce. Z daného modelu, jenž může tvořt uzavřené celky a nemusí být souvslý, je třeba určt množnu otevřených celků, pro které se budou psát statcké podmínky rovnováhy. Pro vytvoření této množny jsou navrženy dvě metody prohledávající graf konstrukce, startovací metoda a rekurzvní metoda. Vezměme lbovolný prut modelu (startovací). Tento prut nechť spojuje dva styčníky (alas uzly grafu), z nchž první budeme nazývat levý a druhý pravý. Každý uzel grafu s bude pamatovat dvě celá čísla: počet návštěv a počet přímých návštěv (vz dále). Pak má startovací metoda následující strukturu: Incalzace průzkumu (nastavení počtu návštěv uzlu grafu na nulu a vymazání seznamu navštívených prutů). Spuštění rekurzvní metody průzkumu: směrem doleva, tj. pro startovací prut a pravý uzel (vz dále), směrem doprava, tj. pro startovací prut a levý uzel. Přdání startovacího prutu do seznamu navštívených prutů. Rekurzvní metoda se volá pro výchozí prut a výchozí uzel (styčník) a má následující tvar: Pokud byl výchozí uzel jž navštíven, přdej prut do seznamu navštívených prutů. Nalezení protějšího uzlu výchozího prutu vzhledem k výchozímu uzlu. Navštívení protějšího uzlu. Tj. spuštění metody, která zajstí zvýšení počtu návštěv uzlu. Zjštění, zda-l je protější uzel: separován od výchozího prutu separátorem, poprvé navštíven (nezáleží jestl přes separátor nebo přímo), poprvé přímo navštíven (pouze přímo, tj. ne přes separátor). Pokud je protější uzel poprvé přímo navštíven, potom ber postupně všechny pruty jdoucí do protějšího uzlu vyjma výchozího prutu: pokud nebyl prut dosud navštíven (nenachází se v seznamu navštívených prutů) a zároveň platí, že tento prut není separován od protějšího uzlu, pak spusť rekurzvní metodu pro tento prut a protější uzel. Spuštěním startovací metody dojde k sestavení seznamu navštívených prutů, který určuje otevřený celek pro daný startovací prut. Tedy sestavení množny otevřených celků startovací metodou vyžaduje nalezení množny startovacích prutů. Poznamenejme, že rekurzvní metoda průzkumu je orentovaná, a proto j lze bez dalších úprav rovněž použít pro určování koncových sl prutu, ze kterých lze posléze stanovt funkce vntřních sl. 5 Algortmus sestavení podmínek rovnováhy Nyní, když máme určenou množnu otevřených celků, můžeme začít sepsovat podmínky rovnováhy. Z dříve uvedeného (kaptola 1) víme, že počet podmínek je trojnásobkem počtu otevřených celků. Soustavu sestavíme následujícím postupem: 4

5 Ověření statcké určtost. Tj. počet podmínek rovnováhy se musí rovnat počtu neznámých (vnějších a vntřních) vazebných sl. Nastav ukazatel aktuálního sloupce v matc levých stran na nulu. Nastav ukazatel aktuálního řádku v soustavě na nulu. Pro každý otevřený celek: Spusť startovací metodu průzkumu celku. Projd všechny uzly modelu: Urč, zda je daný uzel od celku separovaný. Nastav snus a kosnus transformačního úhlu na hodnoty snα = 0 a cosα = 1 (kvůl obecnost, vz dále). Nastav znaménko s na hodnotu 1 (rovněž kvůl obecnost). Urč počet neznámých vnějších vazeb na daném uzlu (pozn.: pro nezapočtatelný uzel). Nastav ndkátor započtatelnost. Daný uzel je započtatelný, pokud byl př průzkumu celku přímo navštíven. Je-l uzel započtatelný, spusť metodu nastavení levé strany. Posuň ukazatel aktuálního sloupce o počet neznámých vnějších vazeb uzlu (pozn.: pro nezapočtatelný uzel). Projd všechny pruty modelu: Urč snus a kosnus úhlu prutu pro transformac do globálního souřadného systému (označíme snα a cosα). Má-l prut na levém uzlu separátor, pak: Nastav znaménko s na hodnotu 1, jestlže je levý uzel od prutu separovaný, jnak s = 1. Urč počet neznámých vnějších vazeb na daném separátoru (pozn.: pro nezapočtatelný separátor). Nastav ndkátor započtatelnost. Daný separátor je započtatelný, pokud je daný prut součástí celku, nebo pokud je levý uzel přímo navštívený (př průzkumu celku). Je-l separátor započtatelný, spusť metodu nastavení levé strany. Posuň ukazatel aktuálního sloupce o počet neznámých vnějších vazeb separátoru. Má-l prut na pravém uzlu separátor, pak proveď analogcky totéž co pro levý separátor. Projd všechna uzlová zatížení modelu. Pokud není uzel od celku separovaný, pak přdej záporně vzaté složky výslednce zatížení do vektoru pravých stran (pozn.: samozřejmě s ohledem na aktuální řádek). Projd všechna prutová zatížení modelu. Pokud je prut součástí celku, pak přdej záporně vzaté složky výslednce zatížení do vektoru pravých stran. Posuň ukazatel aktuálního řádku o tř. Metoda nastavení levé strany (volaná ve výše popsané metodě), která dostává nformac o aktuálním řádku r a sloupc c, referenčním bodě (uzel č přlehlý uzel), transformačním snu a kosnu a znaménku s, má tvar: Jestlže má daný uzel nebo separátor neznámou: X * -- zapš vektor {s cosα, s snα, s (x snα-y cosα) } T, 5

6 6 Příklad Y * -- zapš vektor {-s snα, s cosα, s (x cosα+y snα) } T, M -- zapš vektor {0, 0, s} T, Abychom s ujasnl průběh popsaného algortmu k řešení základní statcky určté konstrukce, sestavíme soustavu podmínek rovnováhy pro model znázorněný na obr. 4. Model konstrukce je složen ze šest prutů a šest styčníků. Zatížen vodorovnou slou F = 10 N na styčníku c. Obsahuje jeden vntřní kloub a jeden separátor s vazbou ve vodorovném směru. Model je tak složen ze dvou otevřených celků. První celek je tvořen styčníky abcd s přímým napojením. Druhý celek určují styčníky bdef, z nchž styčníky bd jsou napojeny nepřímo (přes separátor). Obr. 4: Model řešené konstrukce Nyní model rozdělíme a uvolníme z vazeb, vz obr. 5. Dostáváme šest neznámých vazebných sl. Tř vnější X a, Y a, Y f a tř vntřní X * be, Y * be, Y * de (hvězdčkou je označen lokální souřadný systém). Transformační koefcenty pro prut de a be jsou uvedeny v tab. 1: prut snα cosα de -1 0 be Tab. 1: Transformační koefcenty Obr. 5: Rozklad modelu a uvolnění z vazeb 6

7 Nyní sestavíme soustavu podmínek rovnováhy nejprve pro celek abcd a poté pro celek bdef, tj. celkem šest rovnc, vz tab.. Řešení je vypsáno v tabulce 3. celek podmínka X a Y a Y f Y de * X be * Y be * F abcd ΣF x ΣF y ΣM bdef ΣF x ΣF y ΣM Tab. : Soustava podmínek rovnováhy (zaokrouhleno) X a Y a Y f Y de * X be * Y be * Tab. 3: Řešení soustavy (zaokrouhleno) 7 Shrnutí V článku byla popsána algortmzace výpočtu rovnné prutové konstrukce pomocí slové metody. Větší pozornost byla věnována způsobu rozkladu obecné prutové konstrukce a algortmu sestavení podmínek rovnováhy. Uvedený postup předpokládá danou, statcky určtou, respektve statcky neurčtou, konstrukc včetně označení redundantních vazeb. V případě statcky neurčté konstrukce se provede její modfkace na základní statcky určtou konstrukc, pro kterou se posléze provede výpočet jednotlvých složek deformací a sestaví se deformační podmínky. Algortmus je mplementován do balíku EngneerngStructure v jazyce Java, publkovaném pod lcencí GNU GPL s otevřeným zdrojovým kódem, vz []. Dále je k dspozc volně stažtelná aplkace ForMet s grafckým užvatelským rozhraním [3], jenž tento balík využívá. Poděkování Projekt byl realzován za fnanční podpory ze státních prostředků prostřednctvím projektu ADVASOFT CZ.1.07/..00/15.014: Pokročlé softwarové nástroje ve stavebním nženýrství. Některé teoretcké výsledky byly získány př řešení projektu GA ČR P104/11/0833: Odezva cementových kompoztů na únavové zatěžování: pokročlé numercké modelování a expermenty. Lteratura [1] KADLČÁK, J., KYTÝR, J. Statka stavebních konstrukcí II. Nakladatelství VUTIUM, Brno 001. ISBN [] FRANTÍK, P. Java package EngneerngStructure, [3] ŠTAFA, M., PAIL, T., FRANTÍK, P., Aplkace ForMet,