VYBRANÉ APLIKACE RIEMANNOVA INTEGRÁLU I. OBSAH A DÉLKA. (f(x) g(x)) dx.

Rozměr: px

Začít zobrazení ze stránky:

Download "VYBRANÉ APLIKACE RIEMANNOVA INTEGRÁLU I. OBSAH A DÉLKA. (f(x) g(x)) dx."

Luboš Říha
před 7 lety
Počet zobrazení:

1 VYBRANÉ APLIKACE RIEMANNOVA INTEGRÁLU I. OBSAH A DÉLKA. Výpo et obsahu rovinných ploch a) Plocha ohrani ená k ivkami zadanými v kartézských sou adnicích. Obsah S rovinné plochy ohrani ené dv ma spojitými k ivkami y = fx) a y = gx), kde gx) fx) pro x a, b), a < b, a dv ma p ímkami x = a a x = b je dán vztahem.) ˆb a fx) gx)) dx. P íklad. Vypo t te obsah rovinné plochy, kterou ohrani ují k ivky zadané v kartézských sou adnicích takto: y = x x, x + y =. e²ení: Nalezneme nejprve pr se íky paraboly y = x x s p ímkou y = x. e²ením rovnice x x = x snadno nalezneme, ºe dané k ivky se protínají v bodech [, ] a [3, 3]. Gracky znázorn no: Podle.) dostáváme pro hledaný obsah x x x) ) dx = 3x x ) dx = [ 3 x ] 3 3 x3 = 9. P íklad. Vypo t te obsah rovinné plochy, kterou ohrani ují k ivky zadané v kartézských sou adnicích takto: y = x, y = a x =. e²ení: Oblast v rovin, kterou ohrani ují exponenciální funkce y = x, konstantní funkce y = a osa O y, je patrná z obrázku

2 VYBRANÉ APLIKACE RIEMANNOVA INTEGRÁLU I. OBSAH A DÉLKA a její plo²ný obsah je op t dán integrálem.), s dolní mezí a horní mezí. Tudíº ˆ x ) dx = ] [x x = ln ln ) = ln ln. P íklad 3. Vypo t te obsah rovinné plochy ohrani ené elipsou, která je zadána v kartézských sou adnicích rovnicí x 5 + y 9 =. e²ení: Zadaná elipsa má st ed v bod [, ], a poloosy délek 5 a 3 rovnob ºné s osami O x a O y, Hledaný obsah S tedy vypo teme jako S, kde S je obsah plochy ohrani ené osou O x a funkcí y = x. Dostáváme S = ˆ x dx = ˆ5 5 5 x dx, a po substituci x = 5 sin t, dx = 5 cos t dt, v tomto ur itém integrálu srv. V ta o substituci pro ur itý R-integrál), kterou se interval 5, 5) zobrazuje na interval π, π ), S = 3 5 ˆπ/ π/ 5 5 sin t) 5 cos t dt = 3 5 ˆπ/ π/ a pon vadº funkce cos t je na intervalu π, π ) kladná, máme S = 3 5 = 5 ˆπ/ π/ 5 cos t dt = 5 π + sin π ˆπ/ π/ + cos t π + sin π) )) dt = 5 5 cos t cos t dt, = 5 π, [t + sin t ] π/ π/

3 VYBRANÉ APLIKACE RIEMANNOVA INTEGRÁLU I. OBSAH A DÉLKA 3 a odtud 5π. Výsledek tedy odpovídá známému vzorci pro výpo et obsahu elipsy πab, kde a = 5, b = 3. b) Plocha ohrani ená k ivkou zadanou parametricky. Nech je dána k ivka v rovin grafem spojité funkce y = fx), fx) pro x < a, b >, a rovn º je dána parametrickými rovnicemi x = ϕt), y = ψt), kde t t, kde ψt), ϕ ) = a, ϕt ) = b. Potom obsah S plochy v rovin vymezený grafem dané k ivky, sou adnicovou osou O x, a p ímkami x = a, x = b, je dán vztahem.) ˆb a fx)dx = ˆt ψt)ϕ t)dt. P íklad 4. Vypo t te obsah plochy v rovin ohrani ené grafem k ivky, která je zadána parametricky: x = t sin t), y = cos t), t π, tzv. cykloida, viz. nap. a osou O x : y =. e²ení: Plocha v rovin, jejíº obsah po ítáme, je patrná z obrázku: P ímým pouºitím vzorce.), kde ϕt) = t sin t), ψt) = cos t), obdrºíme ˆ π ˆπ cos t) cos t)dt = 4 cos t) dt ˆπ ˆπ ˆπ = 4 dt cos tdt + cos tdt = 4 [t] π [ t [sin t]π + + ] ) π 4 cos t = π. ƒíslo v parametrickém zadání k ivky je zvolený parametr cykloidy. Jaký bude plo²ný obsah, budeme-li uvaºovat obecn cykloidu s parametrem a a > )? P edpokládejme nyní, ºe je dána uzav ená k ivka v rovin, orientovaná proti sm ru hodinových ru i ek, která zleva ohrani uje plochu o obsahu S. Nech tato k ivka je dána parametrickými rovnicemi x = ϕt), y = ψt), kde t t. Potom platí.3) ˆt ˆt ϕt)ψ t)dt = ψt)ϕ t)dt. P íklad 5. Napi²te parametrické rovnice elipsy z P íkladu 3. a ov te výpo et uºitím vzorce.3). e²ení: Obecné parametrické rovnice elipsy o st edu v po átku [, ] a poloosami rovnob ºnými se sou adnicovými osami O x a O y ) jsou tvaru x = a cos t, y = b sin t,

4 VYBRANÉ APLIKACE RIEMANNOVA INTEGRÁLU I. OBSAH A DÉLKA 4 t < π, kde a je hlavní a b vedlej²í poloosa elipsy. V na²em p ípad je a = 5, b = 3. Výpo et obsahu S dokon ete podle vzorce.3). P íklad 6. Vypo t te obsah plochy v rovin, kterou ohrani uje uzav ená k ivka s parametrickými rovnicemi x = t t, y = t t 3, t. e²ení: Aplikujeme vztah.3), p i emº ϕt) = t t, ψt) = t t 3, a obdrºíme = ˆ t t ) 4t 3t ) dt = [ 8 3 t3 5 t t5 ] = 8 5. K ivka vymezující tento plo²ný obsah vypadá následovn : ˆ 8t t 3 + 3t 4) dt c) Plocha ohrani ená k ivkou zadanou v polárních sou adnicích. Uvaºujme nyní k ivku v rovin, která je zadána v polárních sou adnicích r, ϕ), tzn. sou adnicích daných transformací: x = r cos ϕ, y = r sin ϕ, kde x, y) ozna ují kartézské sou adnice. Obsah S rovinné plochy ohrani ené danou k ivkou r = rϕ) a polop ímkami ϕ = α, ϕ = β α < β) je dán vztahem.4) ˆβ α r ϕ)dϕ. r β) r ϕ) S β r α) α P íklad 7. Vypo t te obsah rovinné plochy ohrani ené k ivkou r = sin 3ϕ, kde ϕ π. e²ení: Uvaºovaná k ivka v polárních sou adnicích trojlístek) má tento graf

5 VYBRANÉ APLIKACE RIEMANNOVA INTEGRÁLU I. OBSAH A DÉLKA 5 Pro obsah S, který tato k ivka ohrani uje tedy podle.4) platí ˆπ sin 3ϕ)dϕ = ˆπ cos6ϕ) dϕ = [ ϕ ] π 4 6 sin6ϕ) = π 4. P íklad 8. Vypo t te obsah rovinné plochy ohrani ené k ivkou r = cos ϕ. e²ení: Uvaºovaná k ivka v polárních sou adnicích Bernoulliova lemniskata) má tento graf Vzhledem k soum rnosti grafu vypo teme obsah plochy, který tato k ivka ohrani uje, jakoºto 4S, kde S zna í obsah plochy ohrani ené obloukem k ivky v prvním kvadrantu, tj. ástí k ivky pro ϕ π/4 modrá ást k ivky v grafu). Podle.4) dostáváme S = ˆπ/4 cosϕ)dϕ = 4 [sinϕ)]π/4 = 4, tedy.. Výpo et délky rovinných k ivek Bu dána spojit diferencovatelná k ivka v rovin, zadaná a) grafem funkce y = fx), a x b, v kartézských sou adnicích, b) parametricky x = ϕt), y = ψt), t t, c) v polárních sou adnicích r = rϕ), α ϕ β, r. Potom délka l této k ivky je dána vzorci:.) l =.) l = ˆt ˆb a + f x)) dx, ϕ t)) + ψ t)) dt,.3) l = ˆβ α r ϕ) + r ϕ)) dϕ, p i emº uvedené formule odpovídají popo ad zadání k ivky grafem funkce.), parametricky.) a v polárních sou adnicích.3). P íklad 9. Vypo t te délku k ivky y = x 3 na intervalu x 4.

6 VYBRANÉ APLIKACE RIEMANNOVA INTEGRÁLU I. OBSAH A DÉLKA 6 e²ení: P ímo aplikujeme vzorec.) pro fx) = x 3, f x) = 3 x. Dostáváme l = ˆ xdx. K výpo tu uvedeného integrálu pouºijme substituci pro ur itý integrál tvaru x = t, 9 4dx = dt, a obrºíme l = 4 9 ˆ 4 [ tdt = t 3] 9 3 = 8 7 ). P íklad. Vypo t te délku k ivky y = e x na intervalu x 3. e²ení: Postupujeme analogicky jako v p edchozím p íkladu. Podle.) máme l = + e x ) ) dx = + e x dx = + e x ex dx, ex a po substituci v tomto ur itém integrálu, t = + e x, dt = e x dx, obdrºíme l = +e ˆ 6 t t dt. Poslední integrál je tzv. binomický a pouºijeme zde vhodnou substituci t = u, dt = u du. Tedy ˆ ˆ ˆ t t dt = u u ) u u du = u du ˆ ˆ ) = du + u du = u + ˆ u u + = u + ) ln u u + + const. = t + ln t + const., t + ) ) du a odtud l = [ ] t + ln t +e 6 t + = + e 6 ) + e6 + ln + e6 + ln, + a po úprav posledního výrazu obdrºíme l = e 6 ln + + e 6 +. P íklad. Vypo t te délku k ivky zadané parametrickými rovnicemi x = cos t + t sin t, y = sin t t cos t, t π.

7 VYBRANÉ APLIKACE RIEMANNOVA INTEGRÁLU I. OBSAH A DÉLKA 7 e²ení: Této k ivce íkáme závitnice, zde je její graf erven je ást grafu pro t π) Pro výpo et délky ásti této k ivky pouºijeme nyní vzorec.), kde ϕt) = cos t + t sin t, ψt) = sin t t cos t. Potom ϕ t) = t cos t, ψ t) = t sin t, a dostáváme ˆ l = π t cos t + t sin tdt = ˆ π t dt = [ t ] π = π. P íklad. Vypo t te délku k ivky zadané v polárních sou adnicích p edpisem r = + cos ϕ, ϕ π. e²ení: Graf zadané k ivky je tzv. kardioida). Pro výpo et délky l pouºijeme vzorec.3), kde rϕ) = + cos ϕ, r ϕ) = sin ϕ. Pon vadº na²e k ivka je soum rná podle osy O x, sta í vypo ítat její délku pro ϕ π a násobit dv ma. Tedy l = ˆπ = + cos ϕ) + sin ϕdϕ = ˆπ ˆπ + cos ϕdϕ ) cos ϕ + cos ϕ dϕ = ˆπ sin ϕ dϕ, cos ϕ cos ϕ a po substituci θ = cos ϕ, dθ = sin ϕdϕ, odtud obdrºíme l = ˆ dθ = [ ] θ = 8. θ

Podobné dokumenty

Skalární sou in. Úvod. Denice skalárního sou inu

Skalární sou in. Úvod. Denice skalárního sou inu Skalární sou in Jedním ze zp sob, jak m ºeme dva vektory kombinovat, je skalární sou in. Výsledkem skalárního sou inu dvou vektor, jak jiº název napovídá, je skalár. V tomto letáku se nau íte, jak vypo