Obsah. 4. Lorentzova transformace... 24

Transkript

1 Obsah 5 Obsah Předmluva Relativita v klasické fyzice Galileova transformace Invariantní veličiny a kovariantní vztahy Mechanický princip relativity Éterová koncepce a Michelsonův Morleyův pokus Základní postuláty teorie relativity Současnost dvou nesoumístných okamžitých událostí. Čas soustavy Lorentzova transformace Einsteinova věta o skládání rychlostí Kontrakce délek a dilatace času. Relativita v běžném životě Závislost hmotnosti tělesa na jeho rychlosti. Zákony zachování Kinetická energie Zákon vzájemné souvislosti hmotnosti a energie Maxwellovy Lorentzovy rovnice. Transformace vektorů E a H (*) Překlad Einsteinova původního textu jeho paragrafu Komentář Relativistický pohybovýzákon Transformace vektorů intenzity elektrického a magnetického pole Invariantnost elektrického náboje Kovariantnost relativistického pohybového zákona Soustavy jednotek cgs a SI v případě elektromagnetického pole Teorie aberace a Dopplerova efektu (*) Překlad Einsteinova původního textu paragrafu Komentář a podrobnějšívýklad Transformace energie světelného záření. Tlak světla na zrcadlo (*) Překlad Einsteinova původního textu paragrafu Komentář Transformace rovnic Maxwella Hertze s konvektivními toky (*) Překlad Einsteinova původního textu paragrafu Komentář Dynamika slabě urychleného elektronu (*) Překlad Einsteinova původního textu paragrafu Komentář Einsteinův vztah E = mc 2 (**) Překlad původního Einsteinova článku [2] z roku Komentář s podrobným odvozením vztahu E = mc Interval... 75

2 6 RELATIVITA DO KAPSY 19. O fotonové (čili kvantové) teorii světla Teorie relativity připouští korpuskulární pojetísvětla Vyzařování světla klidným atomem Vyzařovánísvětla pohybujícím se atomem. Dopplerův efekt Vzájemná přeměna elektronů afotonů Vektory, tenzory. Minkowského čtyřvektory Čtyřrychlost u ajejí souvislost s rychlostí u Einsteinova věta o skládání rychlostí K pojmu,,vlastní čas pohybující sečástice Čtyřvektor hybnosti energie Věta o kovariantnosti Relativistický pohybovýzákon Ještě čtyřvektory Směs ideálních plynů Čtyřvektor hybnosti-energie fotonů Dopplerův efekt a aberace Vše o Maxwellových Lorentzových rovnicích Různé transformace souřadnic. Ještě Lorentzova transformace Ortogonální soustavyvr 2 sidentickým počátkem Lorentzova transformace Obecná Lorentzova transformace Odvození Lorentzovy transformace podle G. Joose Éter a Lorentzova transformace Éter a rychlost světla v pohybující sesoustavě Literatura Kapitoly označené (*) obsahují kromě vlastního textu vždy korespondující paragraf Einsteinova článku [1] přeloženýdočeštiny. Jsou to postupně 6, 7, 8, 9 a 10. Kapitola označená (**) obsahuje překlad celého článku [2]. Poznámka k symbolům V a c, kteréoznačují rychlost světla ve vakuu: Einstein užíval ve svém článku [1] symbol V ; proto v překladech pěti elektrodynamických paragrafů článku [1] je užit symbol V. Jinak se v této knížce užívá symbol c. Překlady Einsteinových textů z[1] a [2] jsou pro lepší odlišení vysázeny kurzivou; mimo tuto kurzivu se rychlost světla ve vakuu značí symbolem c. Poznámka k užití soustavy cgs: Einstein ve svých článcích [1] a [2] užíval soustavu cgs. Proto je tato soustava v korespondujících částech knížky užívána. Kromě toho jsou v kap. 22 užity soustavy SI a cgs, protože Maxwellovy Lorentzovy rovnice znějí vtěchto soustavách odlišně alorentzova kalibrační podmínka byla formulována vcgs. Vektory na obrázcích jsou tištěny kurzivou se šipkou nahoře, kdežto vektory na odpovídajícím místě textu jako obvykle polotučně. Např. u u, r r. Poznámka: Sazbu provedl autor v programu AMS-TEX.

3 16 RELATIVITA DO KAPSY Št astlivec Newton soustavu světa je možno vytvořit jenom jedenkrát. LAGRANGE 2. Základní postuláty teorie relativity Projdeme vše velmi stručně, i když tato kapitola popisuje základy Einsteinova vkladu do filozofického nazírání světa První Newtonův pohybový zákon. Těleso setrvává v klidu nebo rovnoměrném přímočarém pohybu, pokud není nuceno vnějšími silami tento svůj pohybový stavměnit Definice (mechanicky) inerciálnívztažné soustavy. Vztažná(čili souřadnicová) soustava se nazývá mechanicky 8 inerciální, jestliže v ní platíprvnínewtonův pohybový zákon. Během těch dlouhých desítek let, které proběhly od Newtona k Einsteinovi, se vytvořil názor, že existuje absolutně klidná soustava, vůči níž je v klidu éter (jak se nazývalo hypotetické nehmotnéprostředí, které se považovalo za nositele gravitačních i elektromagnetických polí, takže mimo jiné sejím šířilo světlo; toto prostředíprostupovalo všechna hmotná tělesa a vyplňovalo i vzduchoprázdno; světlo se éterem (byl-li zdroj ve vzduchoprázdnu) šířilo rychlostí c km s 1 tato rychlost nezávisela na rychlosti zdroje). Absolutně klidná soustavabylainerciální astejnětak byly inerciální všechny vztažné soustavy,kterésevůči absolutně klidné soustavě pohybovaly rovnoměrně přímočaře. V klasické elektrodynamice základními rovnicemi byly Maxwellovy Lorentzovy rovnice, 9 které vevakuumajívsoustavěsitvar E rot H = ε 0 t, div E =0, rot E = μ H 0, div H =0; (2.1) t přitom E, resp. H je intenzita elektrického, resp. magnetického pole a ε 0 = 8, Fm 1,resp.μ 0 =4π 10 7 Hm 1 =1, Hm 1 je permitivita, resp. permeabilita vakua. Rovnice (2.1) platily v absolutně klidné soustavě (vůči nížbyléter v klidu). Hlubší rozbor rovnic (2.1) ukazuje (viz větu 22.8 v kap. 22), že ve vztažné soustavě, ve které rovnice(2.1) platí, se čelo elektromagnetické vlny(tj. isvětlo) pohybuje ve vakuu rychlostí (hodnoty převzaty z učebnice [12], str. 560) c = 1 ε0 μ 0 =(2, ± 0, ) 10 8 ms 1, (2.2) která nezávisí na rychlosti zdroje. 7 Corpus omne perseverare in statu suo quiescendi vel movendi uniformiter in directum, nissi quatenus illud a viribus impressis cogitur statum suum mutare. (Newton) 8 Toto adverbium je podle V. Foka ([9], str. 16): In pre-relativistic physics the notion of an inertial system was related only to the laws of mechanics. Newton s first law of motion is, in fact, nothing but a definition of an inertial frame. 9 Lorentz užíval tyto rovnice ve své elektronové teorii. Co se týče operátorů rot a div, viz jejich definici na str. 41.

4 2. Základní postuláty teorie relativity 17 Je to podobné, jako když se vlaštovka v letu dotkne vodní hladiny: zmísta doteku se šířívodní vlny nezávisle na rychlosti vlaštovky. V inerciálních soustavách, kterésepohybovalyvůči absolutně klidnésoustavě, byla rychlost elektromagnetické vlny, resp. světla jiná sčítala se vektorově s rychlostísoustavyvůči éteru. (Byla zde opět analogie s rychlostí vlnnavodě a pohybu pozorovatelů vůči vlnám.) Maxwellovy Lorentzovy rovnice nejsou kovariantní vůči Galileově transformaci (1.3). Lorentz na základě fyzikálních úvah vycházejících z éterové hypotézy sestavil transformaci, vůči které jsou rovnice (2.1) kovariantní akteráponěm nese jméno (viz odd. 23.5). Má tvar(uvádíme ji opět v případě, že se počátek O inerciální soustavys pohybuje po ose x rychlostí v v kladném směru této osy a y y, z z ;soustavas je přitom absolutně klidná; fyzikální úvaha, která k transformaci (2.3) vede, je v odd. 23.5; v kap. 4 tuto transformaci odvodíme pomocí Einsteinovy hypotézy o stálé rychlostisvětla): x = x vt, y = y, z = z, t t v c x = 2. (2.3) c 2 c 2 Inverzní transformace k transformaci (2.3) má tvar x = x + vt, y = y, z = z, t = c 2 t + v c 2 x c 2. (2.4) Komplikace, kterééterová koncepce fyzikům přinášela a které vyvrcholily záporným výsledkem pokusu Michelsona Morleye, jenž měl dokázat postupnou rychlost Země vůči éteru, přivedly Einsteina k následujícímu závěru: Považuje výsledek pokusů Michelsona a jemu podobných za zjištěný fakt a jeho platnost rozšiřuje z minulých pokusů i na všechny budoucí, a proto vyslovuje svůj princip relativity: 2.3. Einsteinův princip relativity (první postulát relativity). Ve všech inerciálních soustavách probíhají všechny fyzikální jevy za stejných podmínek stejně. Nebo ekvivalentní formulace: Rovnoměrnýpřímočarý pohyb inerciální soustavy jako celku neovlivňuje žádný fyzikální děj, který vníprobíhá. Einstein udělal metodickou chybu, že v 1 článku [1] formuloval svůj princip relativity bez použití pojmu,,inerciální souřadnicová soustava takto: Zákony, podle kterých se mění stav fyzikálních systémů, nezávisí na tom, vzhledem ke které ze dvou souřadnicových soustav, které se vůči sobě pohybují rovnoměrně přímočaře, se tyto změny stavu vztahují. 10 (Inerciálnost souřadnicové soustavy je skryta v pojmu,,klidná soustava, který Einstein neuvedl v souvislosti s principem relativity.) Jednodušeji se stejným významem: V (dvou) inerciálních souřadnicových soustavách probíhají všechny fyzikální jevy za stejných podmínek stejně. Na začátku 1 článku [1] Einstein předpokládá, že má k dispozici souřadnicovou soustavu, ve které platízákony Newtonovy mechaniky (v prvním přiblížení 11 ); tuto soustavu nazývá,,klidnou soustavou. Předpoklad v závorce je vágní navíc 10 Toto Einstein opakuje ve svém druhém článku [2] viz kap Tato Einsteinova poznámka byla dodatečně uvedena v [17], tj. až v roce 1923.

5 18 RELATIVITA DO KAPSY první Newtonův zákon musí vždy platit přesně. Bez dodatečné závorky je však úvodní předpoklad špatně, protože Newtonův pohybovýzákon ma = F platí pouze přibližně. Einsteinova metodická chyba: Nezopakoval v 2 před uvedením principu relativity předpoklad o,,klidné soustavě. Princip relativity činí bezpředmětnou hypotézu absolutního prostoru: Probíhají-li ve všech inerciálních soustavách všechny fyzikální jevy stejně, potom můžeme libovolnou z nich stejným právem považovat za absolutně klidnou. Současněseukazuje,že je mylný anepřirozenýnázor o absolutním klidu a absolutním pohybu. Každý pohyb je relativníamásmyslhovořit pouze o pohybu těles vzhledem k jiným tělesům. Einsteinův princip relativity popírá koncepciéteru. Ukažme to na myšleném pokusu: Necht se v homogenním izotropním prostředí pohybují vůči sobě rychlostí v dvě inerciální soustavys 1 a S 2 anecht jevpočátku každé soustavy světelný zdroj. Potom podle éterové koncepce naměří pozorovatelé v obou soustavách vzhledem ke zdroji světla různé rychlostisvětla tj. pozorovatel P 1 naměří vsoustavěs 1 vzhledem ke zdroji světla Z 1 rychlost světla c 1,kdežto pozorovatel P 2 naměřívsoustavě S 2 vzhledem ke zdroji světla Z 2 rychlost světla c 2 tytorychlosti se liší v absolutní hodnotě o relativní rychlost obou soustav c 1 c 2 = v. Podle Einsteinova principu relativity však oba pozorovatelé naměřívesvésou- stavětutéžrychlost, tedy c 1 = c 2,protože ve všech inerciálních soustavách dopadne každý fyzikální pokus za stejných podmínek stejně (a to je zde splněno: zdroj Z 1 je vůči S 1 v klidu, zdroj Z 2 je vůči S 2 v klidu). 12 Přijmeme-li Einsteinův princip relativity, musíme revidovat základní fyzikální pojmy: Podobně jako u mechanického principu relativity je matematickým vyjádřením Einsteinova principu relativity tvrzení, že každá rovnice, která vyjadřuje nějaký fyzikální zákon, musíbýt kovariantní vzhledem k transformaci spojující časoprostorovéúdaje dvou inerciálních souřadných soustav. Podle této věty nemohou Newtonovy pohybové rovnice a Maxwellovy rovnice v tom tvaru, jak je známe, platit současně, protože nejsou kovariantní vůči téže časoprostorové transformaci. I když byly Newtonovy i Maxwellovy rovnice praxískvěle ověřeny, musíme prohlásit, že jedny (alespoň jedny)platípouzepřibližně, i když svelkoupřesností. Einstein se rozhodl ponechat Maxwellovy rovnice beze změny. V rámci elektrodynamiky to znamená dát nový význam veličinám, které se vyskytují vlorentzově transformaci, vůči níž jsou Maxwellovy rovnice kovariantní. Tyto veličiny jsou prostorové souřadnice, časovéúdaje a také rychlost. Znamenalo to radikálnězměnit názory na prostor a čas. Východiskem byl Einsteinovi prostý důsledek jeho principu relativity a rovnic (2.1), podle kterých se světlo ve všech soustavách, v kterých (2.1) platí, šířírychlostí c danou vztahem (2.2) (viz větu 22.8). Tento důsledek je obsahem druhého postulátu teorie relativity: 2.4. Princip stálé rychlostisvětelné. Rychlost světla ve vakuu c je ve všech inerciálních soustavách stejná a nezávisí na tom, zda se pohybuje zdroj světla vzhledem k soustavě, nebo ne. 12 Je si třeba uvědomit, že podle éterové teoriejerychlostsvětla anisotropní vkaždé soustavě, která se pohybuje vůči éteru.

6 2. Základní postuláty teorie relativity 19 Jiná formulace, ve které jižpřímo nevystupuje pojem rychlosti světla: Existuje maximální rychlost šíření interakcí, která jerovnarychlostic světla ve vakuu. Einstein [1]: Každý světelný paprsek se pohybuje v klidné soustavě souřadnic rychlostí c, kteránezávisí na tom, je li paprsek emitován klidným nebo pohyblivým tělesem. Přitom rychlost světla = dráha paprsku z A do B/časový interval t B t A, kde časové údaje t A, t B jsou změřeny synchronizovanými hodinami, 13 které jsou trvale umístěny v bodech A, B Einsteinovy,,klidné soustavy. Nebo chceme-li měřit časovéúdaje jedněmi hodinami: c = 2AB t A t, (2.5) A kde t A je okamžik, kdy se světelnýsignál vyslanýza včase t A aodraženývbodě B navrátízpět do bodu A, aab je délka úsečky AB. (Známe-li číselnou hodnotu (2.2) rychlosti světla c, může vzorec (2.5) sloužit k měření velkých vzdáleností pomocí radaru: AB = c(t A t A)/2.) 13 Synchronizace hodin soustavy je definována v kap. 3.