ÈA SO VÉ ØADY MÌ SÍÈ NÍ A ROÈ NÍ MÍRY IN FLA CE A JE JICH VLASTNOSTI

Transkript

1 Konzulace ÈA O VÉ ØADY MÌ ÍÈ NÍ A ROÈ NÍ MÍRY N FLA CE A JE JCH VLATNOT Jo se Arl Mi lan Baš a Vy so ká ško la eko no mic ká v Praze* 1. Úvod Jed ním z nej používa nìj ších er mí nù eko no mic ké e o rie a pra xe je in la ce. Je vše o bec nì zná mé že zá kla dem Èes kým sa is ic kým úøa dem pu b li ko va ných mìr in la ce je in dex spo øe bi el ských cen de i no va ný jako Laspeyresùv cenový index ve ormì p q p q B B B (1) kde p je cena zboží (služby) ve sle do va ném (bìžném) mì sí ci p B je cena zboží (služby) v zá klad ním ob do bí p B q B jsou vý da je za zboží (službu) v zá klad ním ob do bí. n dex spo - øe bi el ských cen cha rak e ri zu je vývoj cenové úrovnì. Èas o jsou v pra xi používa né mì síè ní a roè ní míra in la ce. Mì síè ní míru in la ce cha - rak e ri zu jí cí pøí rùs ek in de xu spo øe bi el ských cen k pøed cho zí mu mì sí ci lze vy já d øi jako zv. me zi mì síè ní ko e i ci en rùs u øady j. M m 1. () Roè ní míru in la ce cha rak e ri zu jí cí pøí rùs ek in de xu spo øe bi el ských cen ke sej né - mu mì sí ci mi nu lé ho roku lze vy já d øi jako zv. me zi roè ní ko e i ci en rùs u øady j. M r 1. (3) Roè ní míra in la ce je klouza vým úhr nem mì síè ních mìr in la ce a lze ji vy já d øi vzahem kde ozna èu je sou èin. M 11 M r m i i0 (4) * u die vznik la za pod po ry gran u GA ÈR 40/06/ PO L TC KÁ EKO NO ME 4 008

2 Mì síè ní a roè ní míru in la ce lze chá pa jako míry dy na mi ky zá klad ní ho uka za e le ce no vé úrov nì j. in de xu spo øe bi el ských cen. Tyo míry zna me na jí mo di i ka ci pù vod - ní in or ma ce. Podle na še ho ná zo ru je dùležié vì dì ja kou mají yo mo di i ka ce or mu zda do chá zí ke zrá ì in or ma ce èi k její de or ma ci. V ná sle du jí cích èás ech bu de me ana ly zo va od liš nos i èa so vých øad in de xu spo øe bi el ských cen mì síè ní a roè ní míry in la ce z hle dis ka je jich rek venè ní ho ob sa hu a vzá jem né ho zpoždìní. K éo ana lý ze použije me e o rii li ne ár ní il ra ce a její re pre zen a ci ve rek venè ní do mé nì. Jed ná se o san dard ní re la iv nì zná mou me o do lo gii kerá je v lierauøe dobøe popsaná. V omo èlánku budeme vycháze zejména z práce Percival Walden (000). pomocí výše uvedené meodologie budeme analyzova následující: 1. Pøíspìvek rùzných rekvencí do èasových øad M m a M r. Pøiom uvidíme jak jsou posupnì pøi pøechodu M m M r modiikovány rend a sezónnos.. Zpoždìní inormace pøi pøechodu od èasové øady M m k èasové øadì M r. Proože èasové øady M m a M r nesou jinou inormaci než èasová øada nemá jejich porovnání z hlediska zpoždìní inormace prakickou inerpreaci akže ho nebudeme provádì. Zavedeme však øadu zv. okamžié míry inlace a posoudíme zpoždìní inormace pøi pøechodu od éo øady k øadám M m a M r.. ndex spoøebielských cen mìsíèní a roèní míra inlace.1 Transormace logarimováním a lineární ilrace Èasové øady M m a M r obsahují kladné hodnoy akže exisuje jejich logarimus Plaí rovnìž L 1n (5) LM m 1n M m = L C - L C -1 (6) LM r 1n M r = 1n M LM i0 11 m i m i i0. (7) LM r = ( L i L i ) L L. (8) 1 1 i0 Pøechod od èasové øady k èasové øadì M m je ekvivalenní posloupnosi ransormací: logarimování lineární ilrace 1) na základì rovnice (6) a aplikace inverzního logarimu (exponenciely). ymbolicky lze edy psá 1n L ransormace 1 M m exp lin. ilrace 1 LM m. (9) 1 Lineární ilrace èasové øady h ilrem g je deinována jako cyklická konvoluce N1 N g h h g 1 g mhm mod N = N 1. Operace m mod N * m0 m m mod N m0 pøesavuje zbyek po celoèíselném dìlení èísla m èíslem N. PO L TC KÁ EKO NO ME

3 Lineární ilrace 1 je zprosøedkována ilrem a jinak. Pøechod od èasové øady M m k èasové øadì M r je ekvivalenní posloupnosi ransormací: logarimování lineární ilrace na základì rovnice (7) a aplikace inverzního logarimu (exponenciely). ymbolicky M 1n LM M ransormace m r m Lineární ilrace je zprosøedkována ilrem b exp lin. ilrace LM r jinak. Pøechod od èasové øady k èasové øadì M r je ekvivalenní posloupnosi ransormací: logarimování lineární ilrace na základì rovnice (8) a aplikace inverzního logarimu (exponenciely). ymbolicky 1n L ransormace 3 M r exp lin. ilrace 3 LM r. Lineární ilrace 3 je zprosøedkována konvolucí ilrù a a b j. c a b jinak.. Frekvenèní odezvy lineárních ilrù a jejich vlasnosi V éo èási budou uvedeny ormy a vlasnosi rekvenèních odezev A() B() C() a ampliudových odezev A() B() C() (napø. Percival Walden 000 s. 0 40) ilrù a b a c daných rovnicemi (10) (1) a (14). (10) (11) (1) (13) (14) 538 PO L TC KÁ EKO NO ME 4 008

4 Filr a A() = a exp( i ) a exp( i ) 1exp( i ) (15) 1 0 A() = 1 exp( i) = sin( ) (16) A() = 4sin () (17) Prùbìh A() je zachycen na obrázku 1. Tao unkce je nulová v bodì = 0 a pro vyšší hodnoy monoónnì rose. Filr a edy propouší pøedevším vysoké rekvence. Filr b 11 exp( i1 ) 1 B() = exp( i ) exp( i ) (18) exp( i1 ) 1 B( ) = 1 cos( 1 ) exp( i ) 1 1cos( ) 1/ (19) B( ) 1 cos( 1 ) 1cos( ) (0) Prùbìh B() je zachycen na obrázku. Tao unkce je nulová v bodech = k/1 k = 1 6. Filr b edy polaèuje komponeny ve rekvenci 1/1 a v jejích harmonických rekvencích. Vzhledem k omu že hodnoy B() jsou výraznì vyšší pro nízké rekvence eno ilr éž propouší a výraznì zesiluje nízké rekvence. Filr c 1 1 C() A()B() = 1 exp( ) exp( i i ) (1) exp( i ) 1 C( ) = A( ) B( ) = sin() 1 cos( 1 ) 1/ 1cos( ) = cos( 1 ) () C( ) = A( ) B 1/ ( ) = cos( 1 ) (3) Prùbìh C() je zachycen na obrázku 3. Tao unkce je nulová v bodech = k/1 k = Filr c edy polaèuje komponeny ve rekvenci 1/1 a v jejích harmonických rekvencích. PO L TC KÁ EKO NO ME

5 Ob rá zek 1 Ampliudová odezva A() C( C() ) B( B() ) A( A() ) Obrázek Ampliudová odezva B() Obrázek 3 Ampliudová odezva C() PO L TC KÁ EKO NO ME 4 008

6 .3 Model a eek logarimické ransormace Budeme uvažova následující dva modely sochasického procesu { }: mo del : mo del : exp( L ) L c L 1 u (4) exp( L ) L c L 1 u. (5) V obou pøípadech mùže {u } pøedsavova proces bílého šumu MA AR ARMA nebo ARMA s nulovou søední hodnoou c je konsana. Po logarimování se sochasický proces (4) nazývá inegrovaným procesem a oznaèuje se jako (1) (inegrovaný øádu jedna). Pomocí operáoru zpoždìní lze eno model za pøedpokladu že c = 0 vyjádøi ve ormì (1 B)L = u. (6) Jedná se o nesacionární proces obsahující sochasický rend (deailnìji viz napø. Arl Arlová 007). Logarimovaný model (5) se nazývá sezónnì inegrovaným procesem. Pomocí operáoru zpoždìní lze eno model za pøedpokladu že c = 0 vyjádøi jako Polynom ve ormì (1 B 1 )L = u. (7) (1 B 1 ) = (1 B)(B) = = (1 B)(1 + B)(1 + B )(1 + B + B )(1 B + B )(1 + 3B + B )(1 3B + B ) (8) ukazuje že eno proces obsahuje sochasický rend ale aké sezónnos nesacionární ormy. Oznaèuje se jako (11) první jednièka znamená pøíomnos sochasického rendu druhá jednièka znamená zv. sezónní inegraci prvního øádu (deailnìji viz napø. Arl 1999; Arlová 1999). Oba výše uvedené modely jsou dosaeènì obecné pro zachycení dynamiky indexu spoøebielských cen. Proces (4) lze rovnìž chápa jako sezónnì oèišìný proces (5). Pro ilusraci dùsledkù aplikace mezimìsíèního resp. meziroèního koeicienu rùsu budeme pro zjednodušení a bez zráy obecnosi dále pøedpokláda že c = 0. Jedním z cílù práce je sudium významu ransormací M m resp. M m M r resp. M r. Budeme ho sudova skrze ransormace L LM m resp. LM m LM r resp. L LM r ve rekvenèní doménì j. skrze lineární ilraci ve rekvenèní doménì. Pøedpokládáme edy že dílèí ransormace odpovídající logarimování a inverznímu logarimování (viz diagramy (9) (11) a (13)) nehrají v aspekech analýzy celé ransormace zásadní roli a že vše dùležié se odehrává bìhem lineární ilrace. Podpoøme eno pøedpoklad následující analýzou. Pøi planosi modelu M m = 1 = exp( L ) = exp(l L 1 ) = exp(u ). (9) exp( L ) 1 Vzhledem k omu že proces {u } je sacionární s nulovou nepodmínìnou søední hodnoou a konsanním rozpylem je proces {M m } rovnìž sacionární s jednokovou PO L TC KÁ EKO NO ME

7 nepodmínìnou søední hodnoou a konsanním rozpylem. Je rovnìž zøejmé že pøi planosi modelu plaí vzah LM m = 1n 1 = L L 1 = u (30) což znamená že proces {LM m } je sacionární s nulovou nepodmínìnou søední hodnoou a konsanním rozpylem. Pro c/d = 1+ (kde je blízké nule s omezením <1) plaí 1n(c/d) = 1n(1 + ) = 1/ + 1/ (31) Proože pro malé hodnoy je možné èleny vyššího øádu zanedba lze psá 1n(c/d) = 1n(1 + ). Za pøedpokladu modelu pøi dosaeènì malém rozpylu procesu {u } edy Dále plaí LM m = 1n 1 = 1n 1exp( ) 1 (3) u exp( u ) 1 M m 1. (33) M r = exp( L L ) = 1 1 = exp ( L L 1 ) ( L 1 L )... ( L 11 L 1 ) = exp( u u1 u... u11 ). (34) Proces {M r } lze edy chápa jako klouzavý úhrn procesu {M m } délky 1. Jedná se sále o sacionární proces kerý má jednokovou nepodmínìnou søední hodnou a konsanní rozpyl. Teno rozpyl je však výraznì vyšší než u procesu (9) (napø. Arl Arlová 007 s. 39). Logarimovanou roèní míru inlace lze za sejného pøedpokladu modelu vyjádøi jako LM r = 1n 1 = 1n 1exp( u u 1... u 11 ) 1. (35) Proože však hodnoy procesu exp( u u1... u11 ) 1 mohou bý výraznì odlišné od nuly není možné pøedpokláda že pro roèní míru inlace plaí vzah analogický vzahu (33) j. že logarimus roèní míry inlace lze vyjádøi pøibližnì jako roèní míru inlace minus 1. Z uvedených akù vyplývá že za pøedpokladu modelu pøechod od nesacionární ke sacionární èasové øadì pøi ransormaci M m resp. M r nemùže nasa bìhem dílèí ransormace odpovídající logarimování nebo èasová øada L je sále nesacionární (viz rovnice (4)) ani v dílèí ransormaci odpovídající inverznímu logarimování kerá již jen pøevádí sacionární øadu LM m resp. LM r na sacionární øadu M m resp. M r. Je o edy dílèí èás ransormace odpovídající lineární ilraci ve keré musí nasa odsranìní nesacionariy v èasové øadì. V pøípadì ransormace M m M r za pøedpokladu modelu lze uvažova následujícím zpùsobem: pokud by 54 PO L TC KÁ EKO NO ME 4 008

8 hypoeicky hodnoy procesu exp( u u1... u11 ) 1 byly blízké nule bylo by možné pro roèní míru inlace psá vzah analogický vzahu (33). Za ìcho okolnosí by rekvenèní obsah èasových øad M m a M r byl oožný s rekvenèním obsahem èasových øad LM m a LM r a sudium ransormace M m M r ve rekvenèní doménì by bylo ekvivalenní sudiu ransormace LM m LM r. Vzhledem k omu že hodnoy procesu exp( u u1... u11 ) 1 se mohou výraznì liši od nuly (ale budou vždy koneèné) je ao rovnos rekvenèních obsahù pouze pøibližná. Pøi planosi modelu plaí M m = 1 = exp( L L ) = exp 1 1 B L = exp B u ( ) 1. (36) Analogicky jako pøi podmínce modelu má proces {M m } jednièkovou nepodmínìnou søední hodnou není však sacionární proože obsahuje jednokové koøeny v sezónních rekvencích. Jeho nepodmínìný rozpyl je unkcí èasové promìnné. Logarimovanou mìsíèní míru inlace lze za pøedpokladu modelu vyjádøi jako LM m = 1n 1 = 1n{1 + [exp((b) 1 u ) 1]}. (37) Vzhledem k omu že hodnoy procesu {[exp((b) 1 u ) 1]} jsou výraznì odlišné od nuly není možné pøedpokláda že pøi planosi modelu plaí vzah (33). V pøípadì modelu M r = 1 = exp( L ) = exp(l L 1 ) exp( u ). (38) exp( L ) 1 Proože proces {u } je sacionární s nulovou nepodmínìnou søední hodnoou proces {M r } je éž sacionární s jednokovou nepodmínìnou søední hodnoou. Za pøedpokladu modelu pøi dosaeènì malém rozpylu procesu {u } lze vzhledem ke vzahùm (31) a (3) psá LM r = 1n 1 = 1n 1exp( ) 1 u exp( u ) 1 M r 1. (39) Pøi planosi modelu je edy èasová øada LM m nesacionární obdobný charaker nesacionariy bude vykazova i èasová øada M m. Lze konsaova že dílèí ransormace logarimování a inverzního logarimování nemìní v omo pøípadì charaker nesacionariy v èasové øadì. Odsranìní nesacionariy pøi ransormacích M r a M m M r musí nasa v èási lineární ilrace. Je-li proces sacionární pak i logarimus resp. inverzní logarimus ohoo procesu je sacionární obsahuje-li proces urèié singulariy (nesacionariy v rùzných rekvencích j. napø. sezónnos inegrovaného ypu) poom logarimovaný resp. inverznì logarimovaný proces je bude obsahova aké. Lze edy shrnou že rozhodující roli v kvaliaivní zmìnì pøíslušných procesù hraje eek lineární ilrace. Navíc PO L TC KÁ EKO NO ME

9 logarimickou ransormaci bez ohledu na pøedpoklad modelu indexu spoøebielských cen je vhodné použí proo že jako linearizující ransormace usnadní další úvahy. 3. Odlišnosi a zpoždìní indexu spoøebielských cen a mìr inlace 3.1 pekrum procesu L Abychom mohli posupova dále je øeba analyzova spekrum výchozího procesu {L }. Jak bylo výše uvedeno pøi planosi modelu vede první dierence procesu {L } k procesu {u }. pekrum procesu {L } lze deinova jako spekrum procesu {u } dìlené kvadráem ampliudové odezvy ilru a ) j. L u ( ) ( ). (40) A( ) A( ) je dáno vzahem (17). pekrum ( u ) je koneèné v libovolné rekvenci a spekrum ( ) je nekoneèné ve rekvenci = 0 proože v omo bodì je unkce L A( ) nulová (obrázek 1). pøihlédnuím k rovnici (17) lze psá Poom edy A( ) = 4sin ( ) ~ pro malé. (41) L uvážením vzahu (4) je zøejmé že ( ) ~ pro malé. (4) L ( ) d (43) 0 kde je libovolné èíslo vìší než nula. Výsledek (43) lze inerpreova ak že nepodmínìný rozpyl procesu {L } rose s èasem do nekoneèna. Teno závìr je v souladu s klasicky odvozenými vlasnosmi procesu {L } za podmínky modelu. Pøi planosi modelu je zøejmé že meziroèní dierence procesu {L } vede rovnìž k procesu {u }. pekrum procesu {L } je možné v omo pøípadì deinova jako spekrum procesu {u } dìlené kvadráem ampliudové odezvy C( ) ilru roèní dierence c = a b j. L u ( ) ( ). (44) C( ) Lineární ilrací sacionárního procesu {h } ilrem g s rekvenèní odezvou G() se spekrum ohoo procesu h () mìní do ormy G h ( ) ( ) (napø. Percival Walden 000 s. 68). 544 PO L TC KÁ EKO NO ME 4 008

10 C( ) je dáno vzahem (3). pekrum ( u ) je v libovolné rekvenci koneèné a spekrum L ( ) je v bodech v nichž je unkce C( ) nulová (obrázek 3) j. ve rekvencích = k/1 k = nekoneèné. Na základì rovnice (3) a Taylorova rozvoje pøíslušné unkce lze psá C( ) = cos( 1 ) ~ ( k / 1) pro blíz ké k/1 k = (45) akže L uvážením vzahu (46) je zøejmé že ( ) ~ ( k / 1) pro blíz ké k/1 k = (46) k/ 1 L k/ 1 ( ) d k = (47) kde je libovolné èíslo vìší než nula. Výsledek (47) je možné inerpreova ak že rozpyl procesu {L } rose s èasem do nekoneèna což je v souladu s klasickou analýzou procesu {L } pøi planosi modelu. 3. Odlišnos indexu spoøebielských cen a mìsíèní míry inlace ve rekvenèní doménì Pøedpokládejme planos modelu. Diagram (9) ukazuje že proces {L } pøechází v proces {LM m } prosøednicvím ilru (10). pekrum procesu {L } se pøi ilraci mìní na spekrum procesu {LM m } ve ormì LM m ohledem na rovnici (40) lze vzah (48) upravi na LM m ( ) L ( ) A( ). (48) ( ) = L ( ) A( ) = ( ) u A( ) = ( ). (49) A( ) u Aplikace ilru a vede edy zpì ke spekru ( u ). Teno výsledek není nic pøekvapivého proože samoný proces {L } byl za pøedpokladu modelu deinován jako kumulace procesu {u } a je edy zøejmé že mezimìsíèní dierencí se získá zpì proces {u }. Ve rekvenèní doménì je eno posup analogický spekrum procesu ( ) bylo nejprve deinováno jako spekrum procesu ) dìlené unkcí A ( ) L u ( posléze se násobením sejnou unkcí rekonsruovalo výchozí spekrum ( u ). negrál spekra výchozího procesu {L } je nekoneèný na libovolném inervalu obsahujícím nulu (rovnice (43)). To však již neplaí pro spekrum LM m ( ) = ( u ). Teno výsledek lze inerpreova ak že aplikací ilru a byl z procesu {L } odsranìn jednokový koøen v nesezonní (j. nulové) rekvenci. PO L TC KÁ EKO NO ME

11 Pøedpokládejme model poom LM m ( ) L ( ) A( ). (50) Úprava rovnice (50) s uvážením (3) a (44) vede ke vzahu LM m ( ) = L ( ) A( ) = u ( ) A( ) = ( ) A( ) = ( ) u. (51) C( ) u A( ) B( ) B( ) pekrum LM m ( ) bude edy nabýva nekoneèných hodno ve rekvencích v nichž je nulová unkce B( ) j. = k/1 k = Navíc plaí B( ) = 1 cos( 1 ) ~ ( k / 1) pro blízké k/1 k = (5) 1 cos( ) z èehož plyne LM m ~ ( k / 1) pro blízké k/1 k = (53) negrál unkce LM m ( ) na libovolném inervalu obsahujícím alespoò jednu z rekvencí = k/1 k = je edy nekoneèný. Ze vzahu (47) plyne že spekrum procesu {L } po inegraci na libovolném inervalu obsahujícím alespoò jednu z rekvencí = k/1 k = (vèenì rekvence nulové) je nekoneèné. Pro spekrum LM m ( ) zùsává ao vlasnos v planosi pro všechny jmenované rekvence kromì rekvence nulové. Teno výsledek lze inerpreova ak že proces {LM m } pøi planosi pøedpokladu modelu není sacionární. Jeho rozpyl rose s èasem do nekoneèna a o díky komponenám v roèní rekvenci a odpovídajícím harmonickým rekvencím. Teno výsledek je v souladu s výsledky klasického pøísupu kdy se aplikací nesezónní dierence odsraòuje jednokový koøen v nulové rekvenci ale jednokové koøeny v sezónních rekvencích zùsávají zachovány. 3.3 Odlišnos indexu spoøebielských cen a roèní míry inlace ve rekvenèní doménì Za pøedpokladu modelu lze s uvážením rovnic (40) a (3) vyjádøi spekrum sochasického procesu {LM r } ve varu ( ) L ( ) C( ) = ( ) u C( ) = ( A( ) u LM r ) B( ). (54) Teno výsledek je možné inerpreova ak že aplikace roèní dierence na proces {L } vede k procesu kerý má nulové komponeny ve rekvencích = k/1 k = viz obrázek. Na omo obrázku je vidì že ve spekru procesu {u } dochází k zesílení nízkých rekvencí a k polaèení vysokých rekvencí keré však není 546 PO L TC KÁ EKO NO ME 4 008

12 dokonalé nebo B( ) není nulové pro všechny vysoké rekvence. V èasové øadì LM r se zároveò mohou vyskynou alešné cykly a vysokorekvenèní pohyby. V pøípadì modelu je možné na základì rovnice (44) psá LM r ( ) L ( ) C( ) = ( ) u C( ) = ( ). (55) C( ) u Bylo edy exrahováno pøímo spekrum procesu {u }. Rovnìž výsledky éo sekce jsou v souladu s výsledky klasických posupù. 3.4 Odlišnos mìsíèní a roèní míry inlace ve rekvenèní doménì V sekci 3. bylo ukázáno (vzah (49)) že za pøedpokladu modelu má proces {LM m } spekrum LM m = ( u ). (56) V omo pøípadì je edy z procesu {L } odsranìn zdroj nesacionariy j. sochasický rend. Pøechod od procesu {LM m } k procesu {LM r } je uskueènìn pomocí ilru b (1). pekrum procesu {LM r } je edy spjao se spekrem procesu {LM m } vzahem LM r ( ) = LM m ( ) B( ) = ( u ) B( ). (57) nerpreace vzahu (57) je analogická inerpreaci vzahu (54). Za pøedpokladu modelu je spekrum procesu {LM m } dáno vzahem (51) j. LM m ( ) = ( ) u. (58) B( ) Pøe chod od pro ce su {LM m } k pro ce su {LM r } edy vede k ná sle du jí cí zmì nì spekra LM r ( ) = LM m ( ) B( ) = ( u ). (59) 3.5 Zpoždìní mìsíèní a roèní míry inlace Je dùležié posoudi zda pøi ransormaci M m M r dochází ke zpoždìní inormace. Too zpoždìní je vhodné analyzova prosøednicvím ransormace LM m LM r skrze ázovou odezvu ilru b (1). normace obsažená v logarimovaných øadách je ekvivalenní inormaci obsažené v nelogarimovaných øadách nebo oba ypy øad jsou mezi sebou jednoznaènì pøevodielné. Exisuje-li edy jisé zpoždìní inormace mezi logarimovanými øadami míry inlace musí se oo zpoždìní projevi i mezi øadami nelogarimovanými. Fázová odezva B () ilru b je argumenem (ází) komplexní unkce (18) (napø. Percival Walden 000 s. 5). Pro ázovou odezvu ve rekvencích v nichž je B() PO L TC KÁ EKO NO ME

13 nenulová lze psá (real[b()] pøedsavuje reálnou èás B() imag[b()] pøedsavuje imaginární èás B()) imag B( ) sin B ( ) B ( ) (60) B( ) cos B real B( ) ( ) B ( ). (61) B( ) Prùbìh ázové odezvy B () zachycuje obrázek 4. Je vidì že je nulová ve rekvencích = k/11 k = Limiy v bodech nespojiosi mají ormu Obrázek 4 Fázová odezva B () k lim ( ) 1 k B k = (6) 1 1 k lim ( ) k B k = (63) 1 1 B() B ( ) Fázová odezva udává ázové zpoždìní pouze v inervalu ( ; proože jsou však sinusovky nekoneèné nelze rozliši jesli nasalo posunuí o ázi B ( ) nebo o ázi B ( ) + n n je celé èíslo. (64) Aby bylo možné konverova ázovou odezvu na ázové (èasové) zpoždìní je øeba uvažova pøípadné celoèíselné násobky pøièené k éo odezvì. Pro ilr d deinovaný jako 548 PO L TC KÁ EKO NO ME 4 008

14 plaí d jinak lim 1 lim 0 d d b p kde p je ilr s nulovým èasovým posunem. Pro libovolnou hodnou 0 1 a libovolnou rekvenci nedosáhne ázová odezva ilru b hodnoy nebo. Je-li možné ázovou odezvu ilru b vypoèía jako limiu B (65) ( ) lim D ( ) (66) 1 kde D ( ) je ázová odezva ilru d pro danou hodnou a pokud D ( ) se pro 0 1 mìní spojiì (v promìnné ) poom je n ve vzahu (64) nulové pro libovolné. (Obdobnou argumenaci lze provés i pøi pøevodu dalších ázových odezev uvedených níže na ázové zpoždìní proo ji již dále neuvádíme.) Pokud by hodnoa ázové odezvy ve rekvenci byla rovna poom by se áze sinusovky o éo rekvenci zmìnila právì o. inusovka s rekvencí má periodu 1/. Vzhledem k omu že zmìna áze o pøedsavuje posun v èase o pùl periody mùžeme pro ázové zpoždìní keré nás inormuje o èasovém posunuí rekvenèních komponen pøi ilraci psá B ( ) B Jeho prùbìh je zachycen na obrázku 5. Ob rá zek 5 Fázové zpoždìní B () ( ) 0 < < 05. (67) () B( ) B PO L TC KÁ EKO NO ME

15 Proože v inervalu rekvencí 0 < < 1/1 plaí B ( ) = (68) jsou rekvenèní komponeny (sinusovky) pøi ilraci zpoždìny o pì a pùl mìsíce. Too zpoždìní je v daném rozsahu rekvencí sejné pro libovolnou rekvenci a lze ho udíž inerpreova ak že nízkorekvenèní (j. pomalu se mìnící) složky (pøesnìji øeèeno jednolivé sinusovky Fourierova rozkladu) èasové øady LM m jsou ilrací nejen zesíleny ale aké opoždìny o pì a pùl mìsíce. Vzhledem k omu že ampliudová odezva B() ilru b (viz rovnice (19) a obrázek ) není ve rekvenèním inervalu 0 < < 1/1 konsanní dochází pøi ilraci (i pøes konsannos ázového zpoždìní) v omo inervalu k disorzi inegrální (úhrnné) nízkorekvenèní èási èasové øady LM m (úhrnnou nízkorekvenèní èás èasové øady LM m nelze pøesnì rekonsruova posunuím úhrnné nízkorekvenèní èási èasové øady LM r o 55 mìsíce dozadu lze ji rekonsruova pouze pøibližnì). Na obrázku 5 dále vidíme že pro rekvence vyšší než 1/1 není ázové zpoždìní již konsanní ale mìní se. Pro vysoké rekvence blízké 05 je blízké nule. 3.6 Okamžiá míra inlace a zpoždìní mìsíèní a roèní míry inlace Mìsíèní èasová øada obsahuje hodnoy v diskréních èasových bodech oddìlených jedním mìsícem. Oznaème nyní jako unkci () index spoøebielských cen daný v libovolném èase. Èasová øada je poom dána hodnoami unkce () v bodech = N 1 lze edy psá ( = N 1). V logarimické škále je možné unkci () vyjádøi jako L() 1n (). Èasová øada logarimu indexu spoøebielských cen L není edy nic jiného než unkce L() vyhodnocená v diskréních èasových bodech = N 1 akže L L( = N 1). Pøedpokládejme že unkce L() má v každém bodì derivaci LM() j. LM() dl ( ). (69) d Funkce LM() má následující vlasnosi: 1. Udává okamžiou zmìnu indexu spoøebielských cen L() v libovolném èasovém okamžiku.. Je-li èasová øada L jemnìji vzorkována j. je-li unkce L() vyhodnocována nikoliv v èase = N 1 ale v èase = 0... K kde K je celé èíslo < 1 (K = N 1) a míra inlace (v logarimické škále) je v èase j poèíána jako L j L ( j1) (70) 550 PO L TC KÁ EKO NO ME 4 008

16 poom unkce LM() je limiou ako poèíané míry inlace pro 0. V rovnici (70) je ve jmenovaeli výraz proo aby mohla bý ako vypoèená míra inlace vyjádøena ve supnici mezimìsíèní míry inlace. 3. Mìsíèní èasovou øadu logarimù mìsíèní resp. roèní míry inlace j. LM m resp. LM r lze z unkce LM() získa jako Proože plaí vzah LM m = LM ( ) d L() L( 1) (71) 1 LM r = LM ( ) d L() L( 1). (7) 1 1 LM m = LM ( ) d ( 1) 1 1 LM ( ) d (73) je mìsíèní míra inlace LM m søední hodnoou unkce LM() na inervalu (-1 ). Je zøejmé že mezi unkcí L() a LM() plaí éž následující konverze (kerá je jen jiným zápisem rovnice (69)) L() = LM ( ) d L( 0 ). (74) 0 Mìsíèní èasovou øadu LM LM ( 0... N 1 ) zn. øadu vyhodnocenou v èasových okamžicích = N 1 lze nazva okamžiou mírou inlace (v logarimické škále). Je øeba poznamena že hypoeická èasová øada LM není oožná s èasovou øadou LM m. Zaímco hodnoa LM (pro dané ) vyjadøuje míru inlace v daném èasovém okamžiku hodnoa LM m (pro dané ) pøedsavuje søední hodnou okamžié míry inlace v inervalu ( 1 ). Èasový posun inormace o inlaci obsažené v èasových øadách LM m a LM r oproi akuální skueèné inormaci o inlaci lze edy posoudi jejich porovnáním s øadou okamžié míry inlace LM. Tuo øadu však neznáme. Aby bylo možné z èasové øady L jednoznaènì rekonsruova unkci L() a udíž i její derivaci LM() je øeba aby byla splnìna podmínka (viz vzorkovací eorém Weissein E. W. (a)) FT L( ) (75) Tao podmínka má následující inerpreaci: spojiá unkce L() nesmí obsahova rekvence vyšší než 05 j. rekvence odpovídající periodì mìsíce jinak by se yo rekvence saly ve spekru sochasického procesu {L } nerozlišielné od rekvencí nižších než 05 (zv. aliasing eek viz napø. Weissein E. W. (b)) což by znemožnilo rekonsrukci pùvodní unkce L(). PO L TC KÁ EKO NO ME

17 Pøi splnìní podmínky (75) plaí DFTLM exp( i ) DFTL. (76) Vzah (76) plyne z následujících dvou úvah: 1. Na pùvodní unkci L() lze (na omezeném inervalu) pohlíže jako na nekoneènou øadu sinù a kosinù. Derivace unkce L() j. unkce LM() má rekvenèní komponeny posunué o / vzhledem k pùvodní unkci L() nebo derivace mìní ázi sinu resp. kosinu o /.. Vzhledem k podmínce (75) nedochází pøi pøechodu od spojié unkce k èasové øadì k aliasing eeku zn. že rekvenèní komponeny unkcí L() a LM() jsou ve spekru procesù {L } a {LM } správnì inerpreovány. Je-li splnìna podmínka (75) lze na základì vzahu (76) zmìnu áze pøi pøechodu mezi èasovou øadou LM a èasovými øadami LM m a LM r urèi jako zmìnu áze pøi pøechodu mezi èasovou øadou L a èasovými øadami LM m a LM r opravenou o / (nebo èasové øady LM a L jsou vùèi sobì posunuy o / v každé rekvenci). Ke zjišìní zmìny áze pøi pøechodu mezi èasovou øadou L a èasovými øadami LM m a LM r saèí uvažova ázovou odezvu ilrù rovnic (10) a (14). Výpoèe ázové odezvy A () ilru a (10) vychází z rekvenèní odezvy ohoo ilru (15). V bodech kde je A() nenulová plaí (real[a()] pøedsavuje reálnou èás A() imag[a()] pøedsavuje imaginární èás A())) pøièemž sin cos A A imag A( ) ( ) = cos( ) 0 < 05 (77) A( ) real A( ) ( ) = sin( ) 0 < 05 (78) A( ) lim ( ). (79) A 0 Z (76) (77) a (78) plyne že zmìna áze pøi pøechodu mezi øadou okamžié míry inlace LM a øadou mìsíèní míry inlace LM m je rovna ( ) A /. (80) Je zachycena na obrázku 6. Fázové zpoždìní èasové øady LM m oproi okamžié míøe inlace LM v inervalu rekvencí 0 < 05 je poom (LM m LM ) = A ( ) = 05. (81) 55 PO L TC KÁ EKO NO ME 4 008

18 Logarimus mìsíèní míry inlace edy zaosává za akuální inlací charakerizovanou okamžiou mírou inlace v logarimické škále o pùl mìsíce ve všech rekvencích. Ob rá zek 6 Fázová odezva A ()/ A( )/ / ()- A Pro ázovou odezvu ilru c (14) plaí C ( ) = ( ) ( ) (8) A kde B ( ) je ázová odezva ilru b (1) kerá byla poèíána v první èási sekce 3.5 (obrázek 4). Funkce C ( ) má následující vlasnosi: C B ( ) = 0 1/ 4 k / 1 k = (83) lim ( ) k C k = (84) 1 lim ( ) k C k = (85) 1 Funkce C ( ) / odpovídající zmìnì áze pøi pøechodu od èasové øady LM k øadì roèní míry inlace LM r je zachycena na obrázku 7. Fázové zpoždìní èasové øady LM r oproi okamžié míøe inlace LM v inervalu rekvencí 0 < < 1/1 je poom (LM r LM ) = C ( ) 1 6. (86) PO L TC KÁ EKO NO ME

19 Nízkorekvenèní komponeny mìsíèní èasové øady logarimu roèní míry inlace LM r edy zaosávají za akuální inlací LM o pùl roku. Ob rá zek 7 Fázová odezva C () / / ()- ( ) / C C Závìr Mìsíèní a roèní míra inlace jsou všeobecnì známé uznávané a nezpochybnìné ukazaele používané pro mìøení dynamiky vývoje cenové úrovnì. V našem èlánku sudujeme vlasnosi ìcho ukazaelù pomocí spekrální analýzy èasových øad a lineárních ilrù keré oba ypy ukazaelù svazují. Abychom mohli pro posouzení vlasnosí ransormace indexu spoøebielských cen na mìsíèní resp. roèní míru inlace použí meodu lineární ilrace ve rekvenèní doménì je øeba nejprve posoudi význam ransormace èasových øad logarimováním. V éo souvislosi docházíme k závìru že je-li analyzovaná èasová øada sacionární pak i logarimus éo øady je sacionární obsahuje-li èasová øada urèié singulariy (nesacionariy v rùzných rekvencích j. napø. sezónnos inegrovaného ypu) poom logarimovaná èasová øada je obsahuje aké. Logarimická ransormace èasových øad edy nemodiikuje závìry získané sudiem lineární ilrace ve rekvenèní doménì. Vlasnosi mìsíèní a roèní míry inlace jsou dány charakerem èasové øady indexu spoøebielských cen. Pøi posuzování vlasnosí mìr inlace vycházíme ze dvou modelù indexu spoøebielských cen keré lze chápa jako dvì mezní siuace. První model pøedpokládá pøíomnos pouze sochasického rendu druhý model 554 PO L TC KÁ EKO NO ME 4 008

20 pøedpokládá pøíomnos sochasického rendu a inegrované sezónnosi j. pøíomnos všech sezónních jednokových koøenù. Jedním z poznakù je že v pøípadì modelu indexu spoøebielských cen bez sezónní složky lineární ilr vedoucí k roèní míøe inlace zesiluje pohyby v nízkých rekvencích a zeslabuje (nerovnomìrnì) pohyby ve vysokých rekvencích. Roèní míra inlace se poom jeví jako relaivnì hladká resp. ménì variabilní èasová øada s cyklickým prùbìhem. Tyo cykly jakož i charaker vysokorekvenèní variabiliy jsou však pouze zdánlivé. Jak jsou yo deormace významné závisí na skueèném modelu reálného indexu spoøebielských cen. Dalším poznakem je že ransormací pøi keré z mìsíèní míry inlace získáváme roèní míru inlace dochází v nízkorekvenèní èási ke zpoždìní 55 mìsíce. K posouzení zpoždìní mìsíèní a roèní míry inlace oproi indexu spoøebielských cen je øeba zavés ikivní ukazael zv. okamžié míry inlace kerý inormaci z indexu spoøebielských cen nezpožïuje. Jeho porovnáním s mìsíèní resp. roèní mírou inlace docházíme k závìru že mìsíèní míra inlace zpožïuje inormaci z indexu spoøebielských cen o 05 mìsíce ve všech rekvencích a roèní míra inlace o 6 mìsícù v nízkých rekvencích bez ohledu na var modelu indexu spoøebielských cen. V pøípade mìsíèní míry inlace je v mìsíèních èasových øadách oo zpoždìní nerozlišielné. To však neplaí pro èasovou øadu roèní míry inlace. Význam ohoo pùlroèního zpoždìní se zvyšuje zejména v ménì sabilních obdobích. Vzhledem ke znaènì širokému použií ukazaele roèní míry inlace považujeme zjišìní o jeho zpoždìní za zásadní poznaek. Lieraura ARLT J Pro blém krá ko do bé a dlou ho do bé míry in la ce. Po li ic ká eko no mie 1998 roè. 46 è. 5 s ARLT J Moderní meody modelování ekonomických èasových øad. Praha : Grada Publishing s. BN ARLT J.; ARLTOVÁ M Ekonomické èasové øady. Praha : Grada Publishing s. BN ARLTOVÁ M Analýza sezónnosi ekonomických èasových øad [Dokorská diseraèní práce]. Praha PERCVAL D.; WALDEN A Wavele mehods or ime series analysis. Cambridge : Cambridge Universiy Press s. BN WE TEN E. W. (a). am pling The o rem. From Ma hworld A Wolram Web Re sour ce. Do sup ný z WWW: hp://ma hworld.wolram.com/am plingthe o rem.hml. WE TEN E. W. (b). Ali a sing. From Ma hworld A Wolram Web Re sour ce. Do sup ný z WWW: hp://ma hworld.wolram.com/ali a sing.hml. PO L TC KÁ EKO NO ME

21 TME E RE OF MON TH LY AND YEAR LY N FLAT ON RA TE AND THER PRO PER TE Jose Arl Milan Baša Universiy o Economics nám. W. Churchilla 4 CZ Praha 3 (arl@vse.cz milan.basa@vse.cz) Absrac Monhly and yearly inlaion raes can be undersood as raes o dynamics o he basic inlaion indicaor i.e. he consumer price index. These indicaors modiy he original inlaion inormaion. is imporan o analyze he dierence o he consumer price index monhly and yearly inlaion raes rom he viewpoin o heir requency conen ime lag and deormaions. The heory o linear ilraion and is represenaion in he requency domain is used. Under paricular assumpions in he ime series o yearly inlaion rae here can be spurious cycles and high-requency moions. The ime series o yearly inlaion rae lags behind he ime series o insananeous inlaion rae abou six monhs in low requencies and he ime series o monhly inlaion rae lags behind he ime series o insananeous inlaion rae abou hal o he monh in all requencies. Keywords consumer price index inlaion rae linear ilraion requency analysis specrum phase lag JEL Classiicaion E31 C C0 556 PO L TC KÁ EKO NO ME 4 008