Parciální funkce a parciální derivace

Transkript

1 Parciální funkce a parciální derivace Pro sudeny FP TUL Marina Šimůnková 19. září Parciální funkce. Příklad: zvolíme-li ve funkci f : (x, y) sin(xy) pevnou hodnou y, například y = 2, dosaneme funkci g : x sin(2x), kerou budeme nazýva parciální funkcí funkce f. Na obrázku vlevo je graf funkce f pro x [ 3, 3], y [ 3, 3]. Na prosředním obrázku je řez grafu funkce f rovinou o rovnici y = 2. Na obrázku vpravo je řez posunu na čelní sěnu. Teno řez je grafem parciální funkce g. 2. Parciální derivace je derivace parciální funkce. Značení pro funkci f proměnných x, y:, f x x,, f y y. Hodnou derivace v bodě a = (x 0, y 0 ) značíme (a), f x x(a), případně (x x 0, y 0 ), f x(x 0, y 0 ). Příklad f : (x, y) x 2 x sin y. = x 1/2(x2 x sin y) 1/2 (2x sin y), = y 1/2(x2 x sin y) 1/2 ( x cos y). (2, π/6) = 1/2(4 2 sin x π/6) 1/2 (4 sin π/6) = 7/(4 3). Příklady na procvičování: [2], sr. 99, příklady ; výsledky najdee na sr. 108, 109 ve varu vekoru, jeho jednolivé složky jsou parciální derivace. A na závěr definice: x (x f(x, y 0 ) f(x 0, y 0 ) 0, y 0 ) x x0 x x 0 y (x f(x 0, y) f(x 0, y 0 ) 0, y 0 ) y y0 y y 0 3. Geomerický význam parciální derivace. Parciální derivace má sejný význam jako derivace funkce jedné proměnné je o směrnice ečny grafu parciální funkce. 4. Paramerické rovnice přímky. Paramerické rovnice přímky procházející bodem a = (1, 0) a mající směrový vekor v = (2, 1) jsou: x = 1 + 2, y =. Úkol. Vysvělee, jak souvisí paramerické rovnice přímky s operacemi násobení vekoru číslem a sčíání vekorů. Návod: načrněe geomerické vekory a, v a k nim vekory a +1/2 v, a + v, a v a a + v pro další hodnoy. 1

2 5. Zúžení funkce na přímku. Na obrázku je 1. graf funkce f : (x, y) sin(xy), 2. rovina kolmá k souřadné rovině xy proínající ji v přímce určené bodem a = (1, 0) a směrovým vekorem v = (2, 1). 3. zeleně jejich řez, což je křivka zadaná paramericky x = 1+2, y =, z = sin((1+2)( )) a červeně bod (1, 0, f(1, 0)). Řez je grafem funkce g : f(1 + 2, ) = sin((1 + 2)( )) a vidíe jej na obrázku vlevo. Hodnoa parameru = 0 odpovídá bodu a, hodnoa = 1 bodu a + v. Vzdálenos ěcho dvou bodů na rojrozměrném grafu funkce f je v = 5. Tomu jsme přizpůsobili odlišné měříko na osách (odpovídá volbě sejného měříka na osách rojrozměrného grafu funkce f). 6. Derivace funkce podle vekoru. Derivací funkce f : R 2 R v bodě a R 2 podle vekoru v nazýváme limiu, kerou budeme znači D v f(a) Výpoče vysvělíme na příkladu z odsavce 5: Dosadíme do (1) f(a + v) f(a) D v f(a). (1) f(x, y) = sin(xy), a = (1, 0), v = (2, 1). f(a + v) = f(1 + 2, ) = sin((1 + 2)( )) = sin( ) f(a) = f(1, 0) = 0 D v f(a) = sin( ) 0 sin( ) lim ( + 22 ) = sin( ) ( ) lim lim = Všimněe si, že pomocí funkce g : f(a + v) lze (1) zapsa D v f(a) f(a + v) f(a) g() g(0) = g (0). 2

3 7. Geomerický význam derivace funkce podle vekoru. Vysvělíme na funkci f z odsavce 5. Na obrázku je 1. graf funkce f, 2. zeleně přímka určená bodem a = (1, 0) a směrovým vekorem v = (2, 1) umísěná do podsavy kvádru, 3. modře graf funkce g : f(1 + 2, ), 4. červeně ečna k omuo grafu v bodě (1, 0, f(1, 0)). Na dalším obrázku je zobrazen řez s grafem funkce g a oběma přímkami. Derivace v bodě a podle vekoru v je rovna velikosi lineární čási přírůsku funkce g na jednokový přírůsek proměnné : D v f(a) = dg. Přírůsek funkce jedné proměnné a jeho lineární čás jsou zopakované v odsavci Derivace funkce podle vekoru je homogenní funkcí vekoru. Příklad: f(x, y) = x 3 xy, a = ( 1, 2), v = (1, 2). Dosadíme do (1) f(a + v) = f( 1 +, 2 + 2) = ( 1 + ) 3 ( 1 + )(2 + 2) f(a) = f( 1, 2) = 1 D v f(a) ( 1 + ) 3 ( 1 + )(2 + 2) ( ) ( ) = 3. Co se sane, když vekor změníme na jeho násobek αv?. Počíejme D αv f(a) ( 1 + α) 3 ( 1 + α)(2 + 2α) α 3(α) 2 + (α) 3 ( 2 + 2(α) 2 ) 1 3α 5(α) 2 + (α) 3 (3α 5α 2 + α 3 2 ) = 3α. Vzah, kerý jsme odvodili D αv f(a) = αd v f(a) (2) plaí obecně, jakmile limia napravo exisuje. Ilusrujeme ho na obrázku s grafem funkce g : f(a + v) Červeně je na ose zobrazena jednoka pro vekor v a modře pro vekor α v (pro hodnou α = 0.7). 3

4 V předchozím odsavci jsme odvodili vzah D v f(a) = dg, kerý můžeme inerpreova: D v f(a) = dg pro = 1. Na obrázku jsou yo přírůsky vyznačeny čárkovaně. Vzah (2) plyne z podobnosi rojúhelníků. 9. Co je o směr vekoru? Geomerický vekor je zadán svojí velikosí, směrem a orienací. Vysvělee význam slova směr v omo konexu. Čím se liší od významu slova směr používaném v běžné řeči? 10. Derivace ve směru (směrová derivace) erminologický zmaek. Derivace funkce více proměnných v bodě a ve směru vekoru v se v lierauře někdy definuje ak, jak jsme definovali derivaci podle vekoru v. Vzah (2) ale mimo jiné říká, že hodnoa derivace podle vekoru závisí na jeho velikosi. Proo se někdy derivace ve směru definuje pro jednokový vekor (j. vekor o velikosi jedna). I ady zůsává nejednoznačnos. K nenulovému vekoru v jsou dva jednokové vekory sejného směru, a o v / v a v / v a derivace podle nich se edy liší, je-li nenulová, znaménkem. 11. Gradien. Má-li funkce dvou proměnných ( f : (x,) y) f(x, y) derivace prvního řádu podle obou proměnných,, pak vekor, nazýváme gradienem funkce x y x y f a značíme ho grad f, případně f. Příklad: pro f : (x, y) x 2 x sin y je ( ) 2x sin y grad f = 2 x 2 x sin y, x cos y 2. x 2 x sin y Gradien funkce f v bodě a značíme grad f(a). Ve výše uvedeném případě je pro a = (2, π/6) ( ) 7 grad f(a) = 4 3, Věa o derivaci podle vekoru a gradienu. TODO 13. Funkce jedné proměnné, přírůsek funkce, derivace a aproximace lineární funkcí. Na obrázku je červeně vyznačen přírůsek funkce f = f(x 0 + x) f(x 0 ), zeleně jeho lineární čás f (x 0 ) x, budeme ji znači df, modře jejich rozdíl df f. Přírůsek proměnné x jsme označili x. Míso x mnohdy píšeme dx (jsou o přírůsky ideniy id : x x). Jak přírůsek funkce f, ak přírůsek x může bý záporný, jak ilusrují další obrázky. 4

5 Připomeňe si příklad a poznámku v [1]. Kromě dalšího říká f df lim h 0 x což inerpreujeme: pro malý přírůsek proměnné x je chyba, keré se dopusíme záměnou přírůsku funkce f za linearizovaný přírůsek df, zanedbaelná vzhledem k x. Poznámka ke geomerickému významu derivace: číslo f (x 0 ) je rovno podílu df a x má význam hodnoy linearizovaného přírůsku na jednokový přírůsek proměnné x: pro x = 1 je f (x 0 ) = df. Přímku o rovnici y = f(x 0 ) + f (x 0 )(x x 0 ) nazýváme ečnou ke grafu funkce f, její směrnice je rovna f (x 0 ) a v případě sejných měříek na osách x, y je směrnice rovna angensu úhlu, kerý ečna svírá s kladnou poloosou x. 14. Úkoly. 1. Vysvělee, jak souvisí paramerické rovnice přímky s operacemi násobení vekoru číslem a sčíání vekorů. 2. Nakreslee definiční obor a izokřivky funkce f : (x, y) x 2 x + y 2. Nevíe-li si rady s obecnou izokřivkou, pracuje nejdříve s izokřivkami o rovnicích f(x, y) = 0, f(x, y) = 1 a eprve poom přejděe k obecnému případu f(x, y) = c. = 0, Vypočěe parciální derivace a gradien funkce f v bodě a = (1, 2). Vypočěe derivaci funkce f v bodě a podle vekoru v = (3, 1) (a) přímo z definice (b) použiím gradienu 3. Na obrázku je graf funkce f : (x, y) x 3 xy 2 na inervalu [1, 2] [1, 4]. 5

6 (a) Na přední sěně je graf funkce jedné proměnné. Napiše její předpis. Toéž pro pravou boční sěnu. (b) Určee z výše uvedeného grafu znaménka parciálních derivací funkce f v bodě a = (2, 1) a odhadněe jejich hodnou. Svůj odhad zkonroluje výpočem. Napiše rovnici ečny k řezu grafu funkce f čelní sěnou v bodě [2, 1, f(2, 1)]. Toéž pro sejný bod a boční sěnu. (c) Napiše rovnici roviny určené ečnami z předchozího příkladu. Reference [1] Jiří Veselý. Základy maemaické analýzy. [2] Ilja Černý. Ineligenní kalkulus 2. hps://maemaika.cuni.cz/dl/ikalkulus/ik2.pdf. 6