Stochastické modelování úrokových sazeb

Transkript

1 Sochasické modelování úrokových sazeb Michal Papež odbor řízení rizik 1

2 Sochasické modelování úrokových sazeb OBSAH PŘEDNÁŠKY Úvod do problemaiky sochasických procesů Brownův pohyb, Wienerův proces Ioovo lemma Sochasické difirenciální rovnice (SDE) Jednofakorové modely Rendelman, Barer model Vašíčkův model Cox, Ingersoll, Ross (CIR) model Dvoufakorové modely Brennan-Schwarz model Longsaff-Schwarz model Modelování úrokových sazeb pomocí CIR modelu ve výpočením prosředí MaLab Odhad paramerů Použií MaLabu pro simulaci úrokových sazeb Využií CIR modelu pro oceňování úrokových insrumenů

3 Úvod do problemaiky sochasických procesů Moderní finanční maemaika používá pro řešení řady prakických úloh sochasického poču Oceňování finančních insrumenů zejména finančních deriváů (např. Black-Scholes model) Odhad budoucího vývoje ekonomických veličin (úrokové sazby, inflace, apod.) Řízení rizik aplikace meody Mone Carlo při výpoču Value a Risk Pro zvládnuí ěcho úkolů je řeba zná základní principy sochasických procesů Brownův pohyb Wienerův proces Sochasické diferenciální rovnice (SDE) Ioovo lemma 3

4 Úvod do problemaiky sochasických procesů Wienerův proces Je o náhodný proces se spojiým časem W(), >0, W(0)=0 Přírůsek Wienerova procesu W()-W(s) je Gausovský se sřední hodnoou E(x)=0 a rozpylem (-s) přírůsky Wienerova procesu jsou na sobě nezávislé Brownův pohyb Původně fyzikální význam popisuje neusálý a neuspořádaný pohyb molekul Z maemaického hlediska je o sochasický proces Nejčasější příklad realizace Wienerova procesu Ekonomerická aplikace Brownova pohybu Ceny akiv na finačních rzích se podle eorie dokonalých rhů chovají zcela náhodně a nezávisle na předchozím vývoji Brownův pohyb je edy ideální násroj popisující chování cen akiv (akcie, měny, komodiy) 4

5 Úvod do problemaiky sochasických procesů - pokračování Přechod z diskréní do spojié dynamiky Nechť W je přírůsek Wienerova procesu za čas, j.: W W ( ) W ( ) Pak změnu Wienerova procesu Z() pro čas napsa jako dz( ) ad bdw( ) 0 můžeme kde: a, b jsou konsany a dw limw 0 5

6 Úvod do problemaiky sochasických procesů - pokračování K omu, abychom mohli popsa chování ceny určiého akiva (např. akcie) v čase, poslouží nám následující modifikace SDE: ds Sd SdW kde: ds je okamžiý přírůsek ceny akcie je rend ve vývoji ceny akcie je volailia akcie dw je přírůsek Wienerova procesu Abychom mohli výše uvedenou rovnici vyřeši, využijeme Iovo lemma. Ioovo lemma je asi nejdůležiější vzah v sochasickém poču Ioovo lemma je obdoba Talorova rozvoje pro sochasické prosředí 6

7 Úvod do problemaiky sochasických procesů - pokračování Taylorův rozvoj: df 1 d F df dx dx dx dx Ioovo lemma: df df 1 d F dx d dx dx Velmi malé přírůsky funce F(X+dX) můžeme aproximova pomocí Taylorova rozvoje (v případě deerminisických proměnných) a pomocí Ioova lemma v případě sochasických proměnných Nechť S(X(+h)) S(X()) je přírůsek ceny akcie v inervalu +h a F(S) = ln S Poom, s využiím Ioova lemma a můžeme napsa původní SDE do následujícího varu : 7

8 8 Úvod do problemaiky sochasických procesů - pokračování d SdX Sd S d ds F d S ds ds df df d dx 1 dx S S 0 1 (0) exp ) ( Teno var můžeme vyřeši inegrováním a dosaneme:

9 9 Úvod do problemaiky sochasických procesů - pokračování Pro simulaci vývoje ceny akcie musíme převés předchozí spojiý var na diskréní formu. Nejčasější meodou je zv. Eulerova meoda. Diskréní var logarimické náhodné procházky ceny akcie je následující: S S S S 1 )exp ( ) ( ) ( kde: je náhodná veličina z rozdělení N(0,1) je časový krok je očekávaná výnosnos akcie je volailia ceny akcie

10 Jednofakorové modely úrokových sazeb Na rozdíl od akcií má chování úrokových sazeb určié zvlášnosi Úrokové sazby se pohybují v určiém rozmezí; obvykle nerosou do nekonečna ani neklesají pod nulu Úrokové sazby mají endenci se vrace k určié rovnovážné hodnoě Teno fenomén se nazývá mean reversion Sochasické modely, keré popisují chování úrokových sazeb musí edy brá v úvahu výše uvedené vlasnosi Jednofakorové modely úrokových sazeb berou v úvahu pouze jeden zdroj nejisoy popsaný jednou SDE V praxi jsou nejčasěji používány následující jednofakorové modely Rendleman-Barer model Vašíčkův model Cox, Ingersoll, Ross mode (CIR model) 10

11 Rendlemann-Barer model Renlemann-Barer model paří mezi základní jednofakorové modely Dynamika úrokové sazby r je popsána pomocí SDE následovně dr( ) rd rdw ( ) r následuje geomerický Brownův pohyb Model pracuje s konsanním rendem a konsanní volailiou Model funguje na sejném principu jako model pro modelování ceny akcie To je jeho hlavní nevýhoda, neboť nedokáže zajisi inveribiliu procesu Pro modelování úrokových sazeb není udíž vhodný 11

12 Vašíčkův model Vašíčkův model je pojmenován po jeho vůrci Oldřichu Vašíckovi, kerý jej publikoval v roce 1977 v časopise Journal of Financial Economics Model je založen na principu Ornsein-Uhlenbeckově procesu ( mean revering proces) s konsanními koeficieny Dynamika úrokové sazby ve Vašíčkově modelu následovně b r( ) d dw( ) dr( ) a kde: a, b, jsou poziivní konsany a je koeficien rychlosi přizpůsobení dynamiky rovnovážné úrokové míře r b je rovnovážná úroková míra je volailia úrokové míry Výhodou Vašíckova modelu je (oproi předchozímu modelu) jeho inveribilia. Model je velice várný a udíž exisují expliciní analyické formule pro oceňování řady úrokových insrumenů Avšak úrokové sazby mohou v reálném čase nabýva i záporných hodno, což je v praxi dos nerealisický předpoklad r() má normální rozdělení 1

13 13 Vašíčkův model - pokračování Oceňovací formule pro bezkupónový dluhopis: T B r T A e T P ; ; ; T a e a T B 1 1 ; ; 4 ; ; T B a T T B a b T A Kde:

14 Vašíčkův model - pokračování Simulace úrokové sazby pomocí Vašíckova modelu: Paramery modelu: a = 0,10 b = 3,1 = 0% = 1 r(0) = 3,50 3 Simulace úrokových sazeb,5 1,5 1 0,5 0-0,5-1 14

15 Cox, Ingersoll, Ross model CIR model byl publikován v roce 1985 v článku A heory of he Term Srucure of Ineres Raes v časopise Economeria Na rozdíl od Vašíčkova modelu není volailia úrokových sazeb konsanní, ale je závislá na druhé odmocnině úrokové sazby, což zajišťuje, že simulovaná úroková sazba nikdy nenabude záporných hodno pokud plaí, že ab> Dynamika úrokových sazeb je v CIR modelu popsána následovně: dr a b r d r dw kde: ab, jsou poziivní konsany a je koeficien rychlosi přizpůsobení dynamiky rovnovážné úrokové míře r b je rovnovážná úroková míra je volailia úrokové míry Nespornou výhodou CIR modelu je jeho relaivní jednoduchos (sejně jako Vašíčkův model) a i fak, že úrokové sazby nemohou nabýva záporných hodno 15

16 Cox, Ingersoll, Ross model - pokračování Následující graf srovnává simulaci úrokových sazeb pomocí Vašíčkova modelu a CIR modelu 5 Simulace úrokových sazeb 4 3 VASICEK CIR Je zřejmé, že úrokové sazby simulované pomocí Vašíčkova modelu mohou lehce nabýva záporných hodno, kdežo u CIR modelu ao siuace nikdy nenasane (je-li splněna podmínka ab> V CIR modelu volailia závisí na dynamice úrokových sazeb. Čím jsou věší přírůsky simulované úrokové sazby, ím je i věší volailia procesu. 16

17 Cox, Ingersoll, Ross model - pokračování Sochasická proměnná r() nemá v CIR modelu normální rozdělení, ale non-cenral chí kvadrá rozdělení n,c,kde n je poče supňů volnosi a c je paramer vychýlení Obdobně jako u Vašíčkova modelu exisuje i pro CIR model analyická formule pro ocenění bezkupónového dluhopisu, kerá má sejný var. Avšak paramery A a B jsou rozdílné a jsou dány následovně: A ; T B e a( e ( e ( a )( T 1) / ( T ) ( T ) ; T ) 1) 1) ( T a ( e 1) ab a 17

18 Dvoufakorové modely Jednofakorové modely pracují s jedním zdrojem nahodilosi j. s jedním fakorem vyjádřeným jednou SDE Jeden zdroj nejisoy může bý za určiých okolnosí limiující pro modelování méně obvyklých varů výnosových křivek Jednofakorové modely byly udíž dále rozvíjeny ak, aby mohly lépe zachyi anomálie ve varu výnosových křivek Dvoufakorové modely pracují s dvěma zdroji nahodilosi Důvodem použií dvoufakorových modelů je edy pořeba modelova různé nesandardní vary výnosových křivek, keré jednofakorové modely neumožňují zachyi 18

19 Dvoufakorové modely Brennan Schwarz Krákodobá úroková sazba v Brennan Schwarz modelu vyhovuje rovnici a b l r d rdw dr Dlouhodobá úroková sazba je charakerizována následovně: a b r c ld ldw dl Nevýhodou modelu je jeho relaivní složios Vlasnosi dluhodobé a krákodobé sazba musí splňova jisé požadavky na konsisennos Úrokové sazby mohou v konečném čase růs do nekonečna, což není reálný předpoklad 19

20 Dvoufakorové modely Longsaff Schwarz Longsaff Schwarz model vznikl rozšířením původního CIR modelu a je charakerizován dvěma SDE ako: dx a x x d x dw 1 ( ) y yd ydw dy b Kde krákodobá úroková sazba je pak dána následovně: cx dy r 0

21 Jednofakorové vs. vícefakorové modely Jednofakorové modely (CIR, Vašíčkův model) předpokládají, že ceny všech dluhopisů jsou závislé pouze na pohybu r(), udíž všechny ceny dluhopisů jsou závislé pouze na jednom rizikovém fakoru Je však eno předpoklad realisický? Paralelní posuny výnosových křivek vysvělují až 80% všech pohybů úrokových sazeb Jednofakorové modely udíž poskyují vhodnou aproximaci pro modelování úrokových sazeb 1

22 Modelování úrokových sazeb pomocí CIR modelu ve výpočením prosředí MaLab Výpočení prosředí MaLab můžeme využí pro: Odhad paramerů modelu Samonou simulaci scénářů úrokových sazeb Ocenění úrokových insrumenů pomocí CIR modelu Problemaika odhad paramerů CIR modelu: Dvě možné cesy odhadu odhad paramerů z akuálního varu výnosové křivky (saická meoda) odhad paramerů z hisorického vývoje úrokových sazeb (dynamická meoda)

23 Modelování úrokových sazeb pomocí CIR modelu ve výpočením prosředí MaLab Saická meoda odhadu paramerů Každý den jsou paramery odhadovány z akuálního varu výnosové křivky meodou nelineárních nejmenších čverců Tao meoda popisuje siuaci jednoho jediného dne (nebere v poaz hisorii), což je její velká nevýhoda Dynamická meoda odhadu paramerů CIR model definuje sochasický vývoj úrokové sazby v čase, udíž je logické odhadova paramery procesu z předchozí dynamiky sazeb Kroky při odhadu paramerů jsou následující Volba reprezenaivní krákodobé úrokové sazby - jaký enor použí? Volba vhodného hisorického časového vzorku, ze kerého budeme paramery odhadova jaký horizon? Volba saické meody odhadu paramerů nejčasěji používaná meoda je Meoda maximální věrohodnosi Dynamická meoda odhadu paramerů popisuje průměrnou siuaci v dynamice úrokových sazeb za posledních n dní 3

24 Modelování úrokových sazeb pomocí CIR modelu ve výpočením prosředí MaLab Vhodný kandidá na reprezenaivní krákodobou úrokovou sazbu Úroková sazba musí bý krákodobá (j. z krákého konce výnosové křivky) AVŠAK Příliš kráké úrokové sazby vykazují určié anomálie (poměrně dlouhá období relaivně sabilních sazeb sřídají silné skokové pohyby jako důsledek exerních šoků v podobě zásahů cenrální banky) L. Trosanucci A. Umboldi navrhují pro modelování EUR výnosové křivky použí 3M EURIBOR Podle zkušenosí z českého prosředí se jeví jako užiečnější použí 6M PRIBOR (eno enor můžeme považova ješě za krákodobou úrokovou sazbu, kerá však již nevykazuje ak významné jednorázové skoky v její dynamice) 4

25 Modelování úrokových sazeb pomocí CIR modelu ve výpočením prosředí MaLab Volba vhodného časového horizonu pro odhad paramerů Z hlediska přesnosi odhadu je žádoucí použí pokud možno co nejdelší hisorickou časovou řadu Z hlediska akuálnosi je vhodné naopak použí pokud možno daa z velmi kráké minulosi KOMPROMIS Mezi výše uvedenými exrémy je nuné nají kompromis Jako rozumný kompromis se jeví posledních obchodních dní s diskréním časovým krokem = 1/50 (50 obchodních dní za rok) Výpoče paramerů pro 6M PRIBOR provedeme meodou maximální věrohodnosi v prosředí MaLab s následujícími výsledky 5

26 Modelování úrokových sazeb pomocí CIR modelu ve výpočením prosředí MaLab Odhadnué paramery procesu simulujícího 6M PRIBOR Paramery CIR modelu a b Denní hodnoy 0, , , Anualizované hodnoy 0,1354 1,7469 0,194 Na základě ako odhadnuých paramerů můžeme simulova budoucí vývoj úrokových sazeb pro libovolný enor výnosové křivky 6

27 Modelování úrokových sazeb pomocí CIR modelu ve výpočením prosředí MaLab Příklad simulace (1000 simulací) 6M PRIBORu pro období jednoho roku s využiím výpočeního prosředí MaLab 7

28 Využíí CIR modelu pro oceňování úrokových insrumenů Základní úrokové násroje (dluhopisy s fixním kuponem, FRN, IRS, FRA) se dají oceňi velice jednoduše jako současná hodnoa všech budoucích peněžních oků Pomocí CIR modelu lze snadno oceni jednoduché zero bondy T A ; T T e r B ; ; P Někeré ypy dluhopisů se speciální konsrukcí kuponu nelze oceni žádnou analyickou formulí TARN (arge redemion noe) Snowball Range Accrual Noe Excess Reurn Index Linked Noe Zde hraje nezasupielnou úlohu právě simulace úrokových sazeb 8

29 Využíí CIR modelu pro oceňování úrokových insrumenů Příklad ocenění TARN bondu Mauria 15 le Emisní cena 100% Kupon: 1 rok 6,75% poé (9% - (*6M PRIBOR())) Trigger level: 9.5% TARN redepion: Dluhopis je svolán v okamžiku, kdy suma vyplacených kuponů je rovna nebo překročí hodnou rigger level Ocenění akovéhoo dluhopisu je možné s využiím simulace budoucího vývoje 6M PRIBORu. 9

30 Využíí CIR modelu pro oceňování úrokových insrumenů Posup ocenění TARN bondu Volba vhodného sochasického procesu (v našem případě bude zvolen CIR model) Odhad paramerů příslušného procesu (viz. sr. 6 éo prezenace) Vygenerování scénářů budoucího vývoje 6M PRIBORu ( simulací je považováno za minimum) Zvolení hodnoy budoucího 6M PRIBORu z vygenerovaného scénáře (j. výpoče příslušného percenilu) V našem případě je pro nás riziko růsu úrokových sazeb, udíž budeme počía nejhorší možný vývoj (95-99 percenil z příslušného scénáře) Výpoče kuponu TARNu (dle formule na sr. 9) Výpoče diskonovaných peněžních oků z TARNu a určení současné hodnoy 30

31 Závěr Prosor pro oázky a pro diskusi 31

32 Závěr Děkuji za pozornos Michal Papež Živnosenská banka, a.s. Odbor řízení rizik

33 Použiá lieraura Ahangarani, P. An Empirical Esimaion and Model Selecion of he Shor Term Ineres Rae, working paper Brigo, D., Mercurio F. - Ineres Rae Models, Theory and Pracice, Springer-Verlag Berlin, 001 Jackson, M., Saunon, M. Advanced Modelling in Finance using Excel and VBA, John Wiley & Sons, 001 Jorion, P. Value a Risk: The benchmark for conrolling Marke risk, The McvGraw-Hill companies, 1997 Trosanucci, L. Umboldi, A. Saic and Dynamic Approach o he CIR Model and Empirical Evaluaion of he Marke Price of Risk, working paper Wilmo, P. Derivaives, The heory and pracice of financial engineering, John Wiley & Sons,