STATICKÉ A DYNAMICKÉ VLASTNOSTI ZAŘÍZENÍ

Transkript

1 STATICKÉ A DYNAMICKÉ VLASTNOSTI ZAŘÍZENÍ Saické a dnamické vlasnosi paří k základním vlasnosem regulovaných sousav, měřicích přísrojů, měřicích řeězců či jejich čásí. Zaímco saické vlasnosi se projevují v usálených savech, dnamické vlasnosi se projevují při přechodu mezi usálenými sav nebo v případech, kd se měřená veličina rchle mění a kd máme zjišťova její okamžié hodno. Obě vlasnosi úzce souvisí s maemaickým popisem příslušného zařízení a s jeho vjádřením pomocí blokového schémau.. Dnamické vlasnosi v časové oblasi Předpokládejme, že vsupní veličina zařízení (např. prvku měřicího řeězce) je, výsupní veličina je. Diferenciální rovnice (DR) popisující dané zařízení obecně vjadřuje funkční vzah mezi vsupní a výsupní veličinou a jejich derivacemi: f(, ', '',...,, ',...) = 0 () DR odvozujeme z bilance eenzívní veličin, pro kerou plaí zákon o zachování, a kerá je charakerisická pro daný fzikální děj: příok - odok = změna akumulace 2. (2) Za předpokladu lineárního vzahu nebo linearizovaného nelineárního vzahu (předpokládá se vjádření v odchlkovém varu 3 ) můžeme vzah () vjádři v lineární formě: a n (n) + a n- (n-) a 2 '' + a ' + a 0 = + b ' + b 2 '' b m (m) (3) Pro reálné ssém musí plai n m, což plne ze vzahu příčina - následek a jejich časové souvislosi. V měřicí echnice se jedná o jednodušší ssém, kd koeficien u derivací vsupní veličin jsou věšinou nulové, b i = 0 pro i {, 2,...m}, ed DR bude:... + a 2 " + a ' + a 0 = (4) DR je obecným popisem saických i dnamických vlasnosí, plaí pro jakékoliv počáeční podmínk a pro jakoukoliv změnu vsupní veličin. Pravidelně se jedná o občejné diferenciální rovnice (jen s derivacemi podle jedné proměnné - času), nehomogenní (kromě výsupní veličin a jejich derivací obsahuje aké vsupní veličinu ), s konsanními koeficien (a i není funkcí času) a lineární (neznámé a jejich derivace jsou jen v první mocnině a není jejich součin). Vznikla-li rovnice linearizací, pak plaí jen v okolí bodu linearizace a pro malé změn veličin. Občejná diferenciální rovnice popisuje ssém se sousředěnými paramer (např. míchanou průočnou nádrž - zde jsou derivace jen podle jedné proměnné, podle času), ssém s rozloženými paramer pak popisují parciální diferenciální rovnice (např. rubkový výměník epla - zde jsou derivace podle dvou proměnných, podle času podle délk výměníku). 2 Změna akumulace je derivace akumulované (hromaděné) eenzívní veličin v zařízení podle času. Příok zahrnuje aké zdroj akumulované veličin. 3 Je-li jedna z veličin eploa ( C), pak uo veličinu můžeme vjádři v bezrozměrném odchlkovém varu, např. = ( - 0 )/ 0, kde 0 je určiá konkréní hodno eplo (pro linearizované DR je o bod linearizace) a je bezrozměrná eploa v odchlkovém varu. Teno způsob se vužívá při řešení regulačních obvodů.

2 Je-li v rovnici (4) a 0 0, pak dané zařízení se nazývá saické, j. eisuje jednoznačný vzah mezi vsupem a výsupem, zařízení má saickou charakerisiku 4. Při změně vsupní veličin se i výsupní veličina usálí. Plaí-li však a 0 = 0, pak dané zařízení se nazývá asaické (maemaický popis je shodný s popisem inegračního členu), není jednoznačný vzah mezi vsupem a výsupem a zařízení nemá saickou charakerisiku. Při změně vsupní veličin se výsupní veličina sále mění až po krajní hodnou danou konsrukcí 5. Pro dané počáeční podmínk a daný průběh vsupní veličin můžeme řeši DR (4) a získáme přechodovou funkci (5), (6). DR můžeme řeši buď klasick nebo pomocí Laplaceov ransformace (LT). Klasické řešení předpokládá, že se nejprve řeší příslušná homogenní DR, např. rovnice. řádu separací proměnných, poom příslušná nehomogenní DR pak meodou variace konsan. Získáme ak obecné řešení. Konkréní řešení získáme z obecného řešení vpočením hodno inegrační konsan z počáečních podmínek. Řešení meodou LT vžaduje nulové počáeční podmínk. Nejsou-li splněn, pak je uměle vvoříme ransformací posunuím nebo vjádřením v odchlkovém varu, viz poznámka 3. Meoda LT vváří již od počáku konkréní řešení rovnice. Přechodová funkce má obecný var: = f(, ) (5) pro vsupní funkci jednokového skoku ji můžeme zapsa ve varu: = A + B Ep + C Ep +... (6) T T 2 kde poče eponenciál odpovídá řádu DR (4), T, T 2,... jsou příslušné časové konsan, přičemž plaí: T i =, kde i {, 2,..., n} (7) α i kde α i jsou kořen charakerisické rovnice odpovídající DR (4). Vzah (6) plaí, pokud kořen nejsou násobné. Grafické zobrazení přechodové funkce (6) pro vsupní signál jednokový skok je uvedeno na obr. a nazývá se přechodová charakerisika 6. V užším slova smslu je přechodová charakerisika odezvou na vzruch jednokového skoku, v širším slova smslu je o odezva na jakýkoliv skok, neboť vhodnou ransformací souřadnic lze jakýkoliv skok převés na jednokový skok. Pro jednokový skok lze závislos vsupní veličin na čase vnecha. Průběh přechodové charakerisik podle obr. je aperiodický neboli přelumený. Teno průběh nasává, pokud kořen charakerisické rovnice jsou reálné záporné. U mechanických měřicích přísrojů se někd sává, že nejsou dosaečně lumen a pak přechodová charakerisika má průběh periodický, podle obr. 2. Teno případ nasává, má-li 4 Např. pec se vsupem elekrickým příkonem a výsupem je eploa. 5 Např. nádrž s konsanním příokem a odokem. Nejsou-li o ok sejné, pak se nádrž buď vprázdní nebo přeeče. V měřicí echnice je o aké magneoelekrický měřicí ssém bez pružin, prsencový lakoměr bez závaží a lineární moorek bez zpěné vazb v někerých ukazovacích přísrojích. 6 Tao závislos se aké nazývala skoková odezva podle ČSN IEC 902 nebo časová odezva podle ČSN IEC

3 charakerisická rovnice kořen kompleně sdružené 7. Vznačená odchlka se nazývá překminuí a vjadřuje se v procenech z celkové změn. Vskuje-li se u měřicího přísroje necilivos nebo chb reverzibili, pak se periodický průběh velmi rchle lumí, obvkle jen jednou překmine. Opimální průběh přechodové charakerisik měřicího přísroje je na mezi aperiodici, má-li charakerisická rovnice násobný kořen. Toho se dosahuje vhodnou jusací lumení přísroje. A 0 T u T n T p Obr. Přechodová charakerisika 2. nebo vššího řádu, aperiodický průběh Obr. 2 Přechodová charakerisika periodického průběhu Tvar přechodové charakerisik podle obr. plaí pro zařízení popisované DR druhého nebo vššího řádu. Příslušné úsek na časové ose, vmezené ečnou v inflením bodě na počáeční a konečné hodnoě, se nazývají doba průahu 8 Tu, doba náběhu 9 Tn a doba přechodu Tp. Do dob průahu se případně zahrnuje i dopravní zpoždění. Ze změn vsupního a výsupního signálu v usáleném savu je možno urči zesílení. Pro zařízení popsané DR prvního řádu je možno z rovnice (4) odvodi rovnici: T ' + = k (8) 7 Too lze vsvěli eisencí Eulerova vzorce: Ep( a + i b) = Ep( a) (cos b + i sin b). 8 Tao doba se aké nazývá ekvivalenní mrvá doba podle ČSN IEC Tao doba se podle ČSN IEC aké nazývá ekvivalenní časová konsana. Pojem doba náběhu má podle éo norm poněkud jiný význam.

4 kde je: T (s) k () časová konsana, zesílení (zisk) příslušného zařízení. Obecně plaí, že T = R C, časová konsana je součinem odporu a kapaci. Podle fzikální podsa děje, probíhajícího v zařízení, přisuzujeme odporu a kapaciě příslušný fzikální význam. Např. při měření eplo se jedná o proces sdílení epla, kapacia je zde epelná kapacia měřicího zařízení a odpor je "odpor" proi přesupu epla, j. převrácená hodnoa součinu epelné vodivosi (nebo koeficienu přesupu epla) a přesupné ploch. Příslušná přechodová funkce, řešení rovnice (8), pro nenulové počáeční podmínk je: ( ) k Ep = + (9) p k p T a jí odpovídající přechodová charakerisika (obr. 3) pro skokovou změnu vsupní veličin z p na k. Plaí aké: k ( ) k = + k p p (0) Z přechodové charakerisik na obr. 3 můžeme urči časovou konsanu z keréhokoliv bodu jejího průběhu (bez ohledu na počáek) buď pomocí ečn nebo pro 63,2 % ze změn od ohoo bodu do usáleného savu. Zesílení je možno urči ze vzahu (0) nebo pro jednokový skok a nulové počáeční podmínk je zesílení rovno přímo k. T k k p p 63,2 % 00 % Obr. 3 Přechodová charakerisika členu. řádu V zařízeních, kde se signál šíří konečnou rchlosí se projevuje dopravní zpoždění 0 τ D. Tpickým příkladem je odběrové zařízení analzáoru, kde plnný či kapalný vzorek proudí rchlosí v rubicí o průřezu F a délce L do analzáoru. Za předpokladu písového oku přejde koncenrační změna vzorku od počáku odběrového zařízení do analzáoru za dobu dopravního zpoždění τ D, keré můžeme vpočía podle vzahu: F L τ D = () v Dopravní zpoždění nemění var diferenciální rovnice (3), (4) a (8), pouze pravá čás rovnice plaí pro čas - τ D, levá čás rovnice plaí pro čas. Dopravní zpoždění se projeví v počáečních podmínkách, keré se sanovují pro čas = τ D míso obvklého = 0. Přechodové funkce proo změní svůj var, ve vzazích (5), (6) nebo (9) bude v eponenciále míso výraz ( - τ D ). Podobně se změní i přechodové charakerisik, kde se křivka posunuje 0 Podle norm ČSN IEC 902 se eno čas nazývá mrvá doba.

5 o hodnou τ D doprava. Např. přechodová charakerisika na obr. 3, bude-li obsahova dopravní zpoždění je uvedena na obr. (4). Přechodové charakerisik je možno zjišťova eperimenálně pomocí vzruchu skokovým signálem a ím se zpěně dopracova až k popisu dnamických vlasnosí zařízení diferenciální rovnicí. k p τ D T Obr. 4 Přechodová charakerisika členu. řádu s dopravním zpožděním 2. Laplaceova ransformace Je o maemaická disciplína, spadající do operáorového poču, umožňující řeši diferenciální rovnice a vjadřova dnamické vlasnosi pomocí přenosů. Transformace je předpis, podle kerého jedné funkci (z jedné množin funkcí) přiřazujeme jinou funkci (v jiné množině funkcí). Vužívá se zde vlasnosí funkcí komplení proměnné. Z původní funkce času, originálu f(), vzniká ransformací obraz F(p), funkce kompleního parameru p. Definice LT je dána inegrálem: F ( p) f ( ) Ep( p ) d = 0, (2) kde p je komplení paramer, kerý může nabýva jakékoliv hodno kompleního čísla. Zpěný převod od obrazu k originálu se nazývá zpěná ransformace. Transformace má gramaiku, což jsou příslušná algebraická pravidla a slovník, ed abulku sobě odpovídajících originálů a obrazů. Transformovaná funkce musí splňova určié podmínk. Z vlasnosí definičního inegrálu je možno odvodi gramaická pravidla: f() F(p) = L[f()] (3) k f() k F(p) násobení konsanou (4) f() + g() F(p) + G(p) souče funkcí (5) f '() p F(p) za předpokladu nulových počáečních podmínek (6) f ''() p 2 F(p) za předp. nulových počáečních podmínek (7) 0 f ( ) d p F ( p) (8) Naproi omu funkce je předpis, kerý přiřazuje jednomu číslu (z množin čísel) jiné číslo (z jiné množin čísel).

6 I slovník lze odvodi z definičního inegrálu, výsledk jsou v následující abulce: f f f ( ) F ( p) = L[ f ( )] () = 0 pro < 0 () = pro 0 p e a e a p + a p + a τ D F p ( ) 2 f ( τ D ) e p ( ) Při řešení diferenciální rovnice se ransformací vvoří operáorová rovnice, řeší se příslušná algebraická rovnice, pro rozvoj na jednolivé zlomk se řeší ssém lineárních rovnic, načež se provede zpěná ransformace. 3. Dnamické vlasnosi ve frekvenční oblasi Obrazový přenos F(p) je definován jako poměr Laplacova obrazu výsupní veličin k Laplaceovu obrazu vsupní veličin. Např. pro rovnici (4) je eno poměr: Y ( ) ( p) L[ ] F p = = = (9) 2 X ( p) L[]... + a p + a p + a Přenos je z maemaického hlediska komplení funkce komplení proměnné. Přenos upravujeme do varu podílu dvou polnomů. Levá srana DR určuje var jmenovaele přenosu, pravá srana (vsupní veličin) určuje var čiaele. Teno obrazový přenos plaí pro nulové počáeční podmínk a pro jakýkoliv var vsupního signálu, proože p je obecně komplení číslo. Budeme-li uvažova vsupní harmonický signál o konsanní ampliudě, pak paramer p nabývá rze imaginární hodno, míso p dosadíme jω, kde j je imaginární jednoka 2 a ω úhlová frekvence. Výraz e j ω vjadřuje harmonickou funkci o konsanní ampliudě. Frekvenční přenos F(jω) vžd upravujeme do varu: kde je: f (ω) f 2 (ω) F ( ω ) = f ( ω ) + j f ( ω ) j (20) 2 reálná funkce vjadřující reálnou složku frekvenčního přenosu, reálná funkce vjadřující imaginární složku frekvenčního přenosu. Dělení komplením číslem se provádí násobením číslem kompleně sdruženým. Frekvenční přenos je z maemaického hlediska komplení funkce reálné proměnné ω (úhlový kmioče). Frekvenční přenos umožňuje vpočía pro daný kmioče f (ω = 2 π f) bod frekvenční charakerisik, ed reálnou a imaginární čás nebo po převodu do polárních souřadnic absoluní hodnou a úhel. Množina bodů pro ω <0, ) je zobrazením frekvenčního přenosu v komplení rovině a nazývá se frekvenční charakerisika. Např. pro zařízení popsané DR Zde i v dalším je imaginární jednoa označena j, ak jak je o běžné v elekroechnické a regulační prai na rozdíl od poznámk 7 a maemaických zvklosí.

7 . řádu podle rovnice (8) je frekvenční charakerisika na obr. 5. Frekvenční charakerisiku je možno zjišťova eperimenálně pomocí vzruchu harmonickou funkcí. Poměr A 2 /A je poměr ampliud výsupního signálu k ampliudě vsupního signálu a úhel ϕ je fázové posunuí vsupního signálu pro úhlovou frekvenci ω. j k ω ϕ ω = 0 A 2 A ω ω = T Obr. 5 Frekvenční charakerisika členu. řádu 4. Saické vlasnosi U měřicích přísrojů jsou v někerých případech saické vlasnosi důležiější než vlasnosi dnamické, zejména při měření pomalých dějů. Ze saických vlasnosí jsou důležié saická charakerisika, konsana měřicího přísroje, cilivos, měřicí rozsah, přesnos apod. To pojm jsou vsvělen v čási o základních pojmech. Saická charakerisika je grafick znázorněná závislos výsupní veličin na vsupní veličině v usáleném savu. Z diferenciálních rovnic (), (3), (4) a (8) odvodíme její maemaický vzah položením všech derivací podle času za nulové. Nejběžnější případ je lineární saická charakerisika podle rovnice (4), kerá má výsadní posavení a je znázorněna na obr. 6. V prai časo vznikají odchlk od ohoo ideálního průběhu, jak je znázorněno na obr. 7 až 2. Odchlk věšinou souvisí s chbami měřidla. Změna cilivosi měřidla se projevuje změnou směrnice charakerisik podle obr. 6. Posun nul měřidla se projevuje podle obr. 7. Sejně se může projevova i časová změna (drif) měřidla, kde posunuí je funkcí času. Pro přísroje s nelineariou se určuje chba lineari. Je o maimální rozdíl skuečné saické charakerisik od lineární závislosi. Na obr. je vznačena chba lineari jako odchlka od přímk, procházející dvěma pevnými bod. Tako je definována chba pro přísroje, vrobené v ZPA. Naproi omu na obr. 2 je chba lineari vjádřená jako odchlka od opimální přímk. Jedná se o minimalizaci maimální chb. U závislosi se dvěma průsečík je maimální chba minimální, pokud všechn ři odchlk jsou sejně velké. Podobně je omu i v případech, kd přímka proíná křivku ve řech bodech. Třeí možný způsob vjádření chb lineari je na obr. 8, kde linearizační přímka prochází jedním pevným bodem (počákem) a dalším průsečíkem ak, ab obě maimální odchlk bl co nejmenší, o je v případě, že jsou sejné. α g α = a 0 Obr. 6 Saická charakerisika lineárního členu

8 Obr. 7 Saická charakerisika přísroje s polačeným rozsahem Obr. 8 Saická charakerisika přísroje s nelineariou Obr. 9 Saická charakerisika přísroje s počáeční necilivosí Obr. 0 Saická charakerisika přísroje s reverzibiliou Obr. Nelinearia podle přímk procházející dvěma pevnými bod Obr. 2 Nelinearia při minimalizaci maimální chb 4. Dnamické chb Vznikají při rchlých dějích nebo u přísrojů pomalu reagujících. Jejich hodnoa závisí na dnamických vlasnosech měřicího přísroje a na časovém průběhu měřené veličin. Jsou vžd funkcemi času. Pro zařízení popsané DR prvního řádu (viz rovnice 8) jsou uveden dnamické chb na následujících obrázcích. Na obr. 3 je zobrazen průběh dnamické chb pro skokovou změnu. Řešením lze odvodi, že její hodnoa je:

9 ε = - k Ep (2) d T Podobně lze zobrazi průběh dnamické chb pro změnu vsupní veličin konsanní rchlosí na obr. 4. Řešením lze odvodi její hodnou: ε = - k T w Ep (22) d T ε d k Obr. 3 Dnamická chba pro skokovou změnu = w ε d Obr. 4 Dnamická chba pro změnu konsanní rchlosi 5. Odsraňování dnamických chb Zde se budeme zabýva pouze numerickým posupem odsraňování dnamických chb. Vjdeme-li ze znalosi dnamického chování zařízení, známe ed diferenciální rovnici, např. rovnici (8): T ' + = k (8)

10 Známe ed hodno T a k, známe i časový průběh indikace v n bodech. Úkolem je vpočía časový průběh měřené veličin. Pro výpoče je nuná znalos průběhu derivace ', kerou můžeme vpočía z ekvidisanní řad hodno i, např. pomocí říbodových vzorců: ' = ( )/(2 Δ) pro první bod (23) ' i = (- + 3 )/(2 Δ) pro sřední bod (24) ' n = ( n-2-4 n- +3 n )/(2 Δ) pro poslední bod (25) kde Δ je časový úsek mezi sousedními bod.