ELEKTŘINA A MAGNETIZMUS Řešené úlohy a postupy: Řízené LRC Obvody

Transkript

1 ELEKTŘNA A MAGNETZMUS Řešené úlohy a postupy: Řízené L Obvody Peter Dourmashkin MT 6, překlad: Jan Pacák (7) Obsah 9. ŘÍZENÉ L OBODY 3 9. ÚKOLY 3 9. OBENÉ LASTNOST ŘÍZENÝH L OBODŮ 3 ÚLOHA : ŘÍZENÉ OSLAE EZSTOU 3 OTÁZKA : AMPLTUDA A FÁZE POUDU 4 OTÁZKA : KAPATA A NDUKČNOST 4 OTÁZKA 3: ÝKON EZSTOU 4 ŘEŠENÍ ÚLOHY : ŘÍZENÉ OSLAE EZSTOU 4 OTÁZKA : AMPLTUDA A FÁZE POUDU 4 OTÁZKA : KAPATA A NDUKČNOST 4 OTÁZKA 3: ÝKON EZSTOU 4 ÚLOHA : ŘÍZENÉ OSLAE ÍKY 4 OTÁZKA : AMPLTUDA A FÁZE POUDU 4 OTÁZKA : ODPO A KAPATA 4 OTÁZKA 3: ÝKON ÍKY 5 ŘEŠENÍ ÚLOHY : ŘÍZENÉ OSLAE ÍKY 5 OTÁZKA : AMPLTUDA A FÁZE POUDU 5 OTÁZKA : ODPO A KAPATA 5 OTÁZKA 3: ÝKON ÍKY 5

2 ÚLOHA 3: ŘÍZENÉ OSLAE KONDENZÁTOU 5 OTÁZKA : AMPLTUDA A FÁZE POUDU 5 OTÁZKA : ÝKON KONDENZÁTOU 5 ŘEŠENÍ ÚLOHY 3: ŘÍZENÉ OSLAE KONDENZÁTOU 6 OTÁZKA : AMPLTUDA A FÁZE POUDU 6 OTÁZKA : ÝKON KONDENZÁTOU 6 ÚLOHA 4: ČENÁ SKŘÍŇKA 6 OTÁZKA : POUD 6 OTÁZKA : ČENÁ SKŘÍŇKA 6 OTÁZKA 3: ODPO 6 OTÁZKA 4: KAPATA NEBO NDUKE 6 ŘEŠENÍ ÚLOHY 4: ČENÁ SKŘÍŇKA 6 OTÁZKA : POUD 6 OTÁZKA : ČENÁ SKŘÍŇKA 6 OTÁZKA 3: ODPO 6 OTÁZKA 4: KAPATA NEBO NDUKE 7 ÚLOHA 5: ČENÁ SKŘÍŇKA 7 OTÁZKA : ČENÁ SKŘÍŇKA 7 OTÁZKA : KAPATA A NDUKČNOST 7 OTÁZKA 3: ÝKON 7 ŘEŠENÍ ÚLOHY 4: ČENÁ SKŘÍŇKA 7 OTÁZKA : ČENÁ SKŘÍŇKA 7 OTÁZKA : KAPATA A NDUKČNOST 7 OTÁZKA 3: ÝKON 8 ÚLOHA 6: L OBOD 8 OTÁZKA : KHHOFFŮ ZÁKON 8 OTÁZKA : POUDY OKAMŽKU ZAPNUTÍ SPÍNAČE 8 OTÁZKA 3: POUDY DLOUHÉM ČASOÉM MĚŘÍTKU 8 OTÁZKA 4: NÁBOJ 8 OTÁZKA 5: OZPOJENÝ SPÍNAČ 9 ŘEŠENÍ ÚLOHY 6: L OBOD 9 OTÁZKA : KHHOFFŮ ZÁKON 9 OTÁZKA : POUDY OKAMŽKU ZAPNUTÍ SPÍNAČE 9 OTÁZKA 3: POUDY DLOUHÉM ČASOÉM MĚŘÍTKU 9 OTÁZKA 4: NÁBOJ 9 OTÁZKA 5: OZPOJENÝ SPÍNAČ 9

3 9. Řízené L Obvody 9. Úkoly (a) Zjistěte vztah mezi proudem a řídícím elektromotorickým napětím na třech obvodech, kde budou postupně zapojeny pouze rezistor, kondenzátor nebo cívka. (b) Zjistěte tyto vztahy pro obvody, kde jsou rezistor, kondenzátor i cívka zapojeny najednou, a vyřešte dva vzorové příklady. 9. Obecné vlastnosti řízených L obvodů L obvod je analogií z mechaniky k pružině a závaží. ozlišujeme mezi dvěma druhy chování těchto obvodů. U prvního zapojení sledujeme volné oscilace, tedy obvod nějakým způsobem vyvedeme z rovnovážné polohy (např. nabijeme kondenzátor) a sledujeme vlastní oscilace obvodu. Druhý příklad představuje L obvody, kdy oscilace řídíme vnějším zdrojem elektromotorického napětí s danou amplitudou a frekvencí. Pokud je časový průběh napětí zdroje t () = sinωt, kde ω je úhlová frekvence zdroje a je amplituda zdroje, řízená odpověď bude časová závislost proudu kde ( ω φ ) t () = sin t, ωl =, tanφ = ω. + ωl ω (9.) šimněte si, že proud zachovává řídící frekvenci zdroje, nezachovává se tedy vlastní frekvence obvodu. Obvodem však bude téci nejvyšší proud (obvod dává nejlepší odezvu), pokud řídící frekvence je vlastní frekvencí zapojení, tzn. ω =. Můžeme také spočítat L průměrný příkon spotřebovaný zapojením zprůměrováním součinu () t() t Pt () = t () () t = cos φ. (9.) Úloha : Řízené oscilace rezistoru Začneme obvodem složeným pouze ze zdroje a rezistoru. Schéma zapojení je na obrázku vpravo. Z Kirchhoffova zákona můžeme obvod popsat rovnicí: () t () t =. 3

4 Otázka : Amplituda a fáze proudu Jaká je amplituda a fáze proudu rezistorem, pokud jej zapíšeme () t sin( ω t φ ) Otázka : Kapacita a indukčnost =? Jaká kapacita a indukčnost charakterizují odpor (např. tak, abychom mohli dosadit do rovnice 9.)? Otázka 3: ýkon rezistoru Jaký průměrný výkon P () t = () t () t je disipován na rezistoru? Střední hodnota sin ω t =. Řešení úlohy : Řízené oscilace rezistoru Otázka : Amplituda a fáze proudu Otázka : Kapacita a indukčnost Otázka 3: ýkon rezistoru Úloha : Řízené oscilace cívky =, φ =. L=, =. P() t = () t () t = sin ω t =. Mějme nyní obvod složený pouze ze zdroje napětí t () = sinω ta cívky. Schéma zapojení je na obrázku vpravo. Z Kirchhoffova zákona můžeme obvod popsat rovnicí: d L L dt () t =. Otázka : Amplituda a fáze proudu yřešte danou diferenciální rovnici a zapište proud jako funkci času L() t L sin( ω t φ ) Jaká bude amplituda a fáze proudu? Použijte trigonometrickou identitu sin( ωt φ ) =. = = sinωtcosφ sinφcosωt. Otázka : Odpor a kapacita Jaký odpor a kapacita charakterizují cívku (např. tak, abychom mohli dosadit do rovnice 9.)? 4

5 Otázka 3: ýkon cívky Jaký průměrný výkon P () t = () t () t je disipován na cívce? Střední hodnota L L L sinωtcosω t je sinωtcosω t =. Řešení úlohy : Řízené oscilace cívky Otázka : Amplituda a fáze proudu L π =, φ =. ωl Otázka : Odpor a kapacita =, =. Otázka 3: ýkon cívky PL() t = L() t L() t = sinωtcosωt =. ωl Úloha 3: Řízené oscilace kondenzátoru Mějme nyní obvod složený pouze z kondenzátoru a zdroje napětí t () = sinωt. Schéma zapojení je na obrázku. Z Kirchhoffova zákona můžeme obvod popsat rovnicí: Q t (). = Pokud rovnici jednou derivujeme podle času, dostaneme d t () = cos t =. dt ω ω Otázka : Amplituda a fáze proudu yřešte danou diferenciální rovnici a zapište proud jako funkci času () t sin( ωt φ ) Jaká bude amplituda a fáze proudu? Použijte trigonometrickou identitu sin( ωt φ ) = sinωtcosφ sinφcosωt. Otázka : ýkon kondenzátoru =. = Jaký průměrný výkon P () t = () t () t je disipován na cívce? Střední hodnota sinωtcosω t =. 5

6 Řešení úlohy 3: Řízené oscilace kondenzátoru Otázka : Amplituda a fáze proudu Otázka : ýkon kondenzátoru, π = ω φ =. P () t = () t () t = ω sinωtcosωt =. Úloha 4: Černá skříňka Mějme zapojení podle obrázku složené ze zdroje střídavého elektromotorického napětí o časové závislosti E() t = E sinω t, rezistoru o odporu a černé skříňky, která obsahuje buď kondenzátor, nebo cívku, obě součástky však ve skříňce nemohou být najednou. Amplituda řídícího elektromotorického napětí je E = a úhlová frekvence zdroje je ω = rad/s. Změřili jsme proud, který tekl zapojením, jeho průběh jako funkce času je t ( ) = ( A)sin( ω t+ π /4). (Poznámka: ( π ) π /4 rad=45, tan /4 =+.) Otázka : Proud Předbíhá, nebo je proud opožděn za řídícím napětím? Otázka : Černá skříňka Je v černé skříňce kondenzátor nebo cívka? Otázka 3: Odpor Jaká je hodnota odporu? Otázka 4: Kapacita nebo indukce Jaká je kapacita nebo indukce L součástky v černé skříňce? Řešení úlohy 4: Černá skříňka Otázka : Proud Proud předbíhá řídící napětí. Otázka : Černá skříňka černé skříňce musí být kondenzátor, protože proud předbíhá napětí. Otázka 3: Odpor Z rovnice 9. získáme 6

7 π X tanφ = tan = = X =, 4 E E = = = Ω. Otázka 4: Kapacita nebo indukce + X e skříňce je zapojen kondenzátor, jeho kapacita je = = F= mf. ω Úloha 5: Černá skříňka Mějme zapojení podle obrázku složené ze zdroje střídavého elektromotorického napětí o časové závislosti E() t = E sinωt, rezistoru o odporu = 3 Ω a černé skříňky, která obsahuje kondenzátor, cívku, nebo obě součástky najednou. Amplituda řídícího elektromotorického napětí je E = 6. Pokud je úhlová frekvence zdroje ω = rad/s je proud přesně ve fázi s napětím na zdroji, pokuj úhlová frekvence je však ω = rad/s je fázový rozdíl mezi proudem a napětím π /4radiánů. Otázka : Černá skříňka Je v černé skříňce kondenzátor, cívka, nebo obě součástky najednou? Předbíhá, nebo je proud opožděn za řídícím napětím? Otázka : Kapacita a indukčnost Jaká je kapacita, nebo indukčnost, případně obě tyto hodnoty součástky(tek) v černé skříňce? Nezapomeňte na jednotky. K řešení této úlohy byste neměli potřebovat kalkulátor, vše se dá vyjádřit v jednoduchých zlomcích. Otázka 3: ýkon Jaký je průměrný výkon disipovaný v zapojení při úhlové frekvenci ω? Řešení úlohy 4: Černá skříňka Otázka : Černá skříňka Černá skříňka musí obsahovat obě tyto součástky tak, aby mohl být proud ve fázi s napětím. Otázka : Kapacita a indukčnost yjdeme z rovnice 9., pro ω : tanφ = tan = = ω L / L=. ω ω 7

8 ovnice 9. pro ω : ω L π ω ω ω tanφ = tan = = = = =,5 F. 4 Otázka 3: ýkon ω ω ω ω L = = H. ω Obvod je v rezonanci, výkon je disipován pouze na rezistoru Úloha 6: L obvod P = E 6W. = Zapojení složené ze zdroje elektromotorického napětí, cívky L, kondenzátoru a dvou rezistorů, oba mají odpor, viz obrázek dole. Kondenzátor je vybitý, obvodem nikde neteče proud. Spínač S byl sepnut, jak je zobrazeno na obrázku. Otázka : Kirchhoffův zákon Použijte Kirchhoffův smyčkový zákon pro cívku a zapište součet potenciálů pro vnější smyčku zapojení (tu s cívkou a baterií). Otázka : Proudy v okamžiku zapnutí spínače Určete velikost proudů, a 3 v okamžiku zapnutí spínače. Předpokládejte, že levá smyčka má nulovou indukčnost. Nemusíte řešit diferenciální rovnici tak, abyste byli schopni odpovědět na tuto otázku. Otázka 3: Proudy v dlouhém časovém měřítku Určete velikost proudů, a 3 v dostatečně dlouhém čase. Nemusíte řešit diferenciální rovnici tak, abyste byli schopni odpovědět na tuto otázku. Otázka 4: Náboj Jak velký náboj je na kondenzátoru v dostatečně dlouhém čase? Nemusíte řešit diferenciální rovnici tak, abyste byli schopni odpovědět na tuto otázku. 8

9 Otázka 5: ozpojený spínač Jak velké budou proudy v obvodu v okamžiku rozpojení spínače? Předpokládejte, že levá smyčka má nulovou indukčnost. Řešení úlohy 6: L obvod Otázka : Kirchhoffův zákon d L = dt 3 3. Otázka : Proudy v okamžiku zapnutí spínače Kondenzátor zkratuje rezistor i cívku a tak 3 =, = =. Otázka 3: Proudy v dlouhém časovém měřítku dostatečně dlouhém čase je kondenzátor nabitý, neprochází jím tedy žádný proud =, = 3 =. Otázka 4: Náboj dostatečně dlouhém čase se cívka chová jako vodič, kondenzátor se již nenabíjí a náboj na deskách kondenzátoru odpovídá potenciálu na rezistoru je tedy Otázka 5: ozpojený spínač Q= = = = 3. ezistorem vlevo neteče žádný proud (spínač je rozpojen), cívka se chová jako drát a na kondenzátoru je stejné napětí, jako bylo před otevřením spínače, tedy =, 3 = =. 9