Přechodné děje 2. řádu v časové oblasti

Transkript

1 Přechodné děje 2. řádu v časové oblasti EO2 Přednáška 8 Pavel Máša - Přechodné děje 2. řádu

2 ÚVODEM Na předchozích přednáškách jsme se seznámili s obecným postupem řešení přechodných dějů, jmenovitě pak s řešením přechodných dějů 1. řádu. Nyní se tedy budeme podrobně zabývat řešením přechodných dějů 2. řádu. Z předchozích přednášek již víme, že přechodné děje vyšších řádů se liší pouze v počtu exponencielních funkcí / exponencielně tlumených harmonických funkcí, takže můžeme naše zkoumání skončit právě druhým řádem. RLC defibrilátor Je nejjednodušším příkladem obvodu druhého řádu Jaký časový průběh má proud, protékající tělem? Jak jednotlivé parametry obvodu (L, C, R) ovlivní tento časový průběh? - Přechodné děje 2. řádu

3 ŘEŠENÍ PŘECHODNÉHO DĚJE 2. ŘÁDU V ČASOVÉ OBLASTI 1. Obvodové rovnice Na rozdíl od obvodů 1. řádu, v obvodech 2. řádu není preferována žádná metoda Můžeme zvolit libovolnou metodu (MSP, MUN) V tomto případě je výhodnější metoda smyčkových proudů L di(t) + Ri(t)+ 1 dt C Z t 0 i( )d u C (0) = 0 2. Separace proměnných zde máme pouze jedinou proměnnou, tento krok můžeme vynechat 3. Obvodovou rovnici zderivujeme (pokud jsme ovšem neprovedli separaci proměnných v kroku 2) d 2 i(t) dt 2 + R di(t) + 1 i(t) =0 L dt LC 4. Řešení hledáme metodou variace konstant s nulovou pravou stranou, tedy bez zdrojů 2 + R L + 1 LC =0 Tvar obecného řešení bude záviset na kořenech kvadratické rovnice Obvod, na kterém je ilustrován postup řešení RLC defibrilátor - Přechodné děje 2. řádu

4 Kořeny reálné, různé i(t) =K e 1t 1 + K e 2t 2 + i p (t) Příklad: =0 ) 1;2 = 2000 p = :1 = 3732:1 = 267:9 i(t) =K 1 e 3732:1t + K 2 e 267:9t + i p (t) Kořen reálný, dvojnásobný i(t) =(K 1 + K 2 t) e t + i p (t) Příklad: =0 ) 1;2 = 1000 p = = 1000 i(t) =(K 1 + K 2 t) e 1000t + i p (t) Kořeny komplexně sdružené 1;2 = j p! r 2 2 = j! i(t) =(K 1 cos!t + K 2 sin!t) e t + i p (t) Příklad: =0 ) 1;2 = 500 p = 500 j p = j i(t) =(K 1 cos(866t)+k 2 sin(866t)) e 500t + i p (t) - Přechodné děje 2. řádu

5 5. Vypočítáme partikulární řešení Ustálený stav v obvodu, po odeznění přechodné složky Dle charakteru zdrojů v obvodu SUS / HUS / PNUS analýza V uvedeném příkladu RLC defibrilátoru: u c (0) = 4216 V i L (0) = 0 A q 0:3 + 1 =0 ) = 83:3 83: = 83:3 259:1j 0: i(t) =(K 1 cos(259:1 t)+k 2 sin(259:1 t)) e 83:3t + i(p) i p (t) =0 Nyní již zbývá pouze najít integrační konstanty K 1, K 2 Máme pouze jednu obvodovou rovnici, ale dvě integrační konstanty K 1, K 2 Nestačí dosadit za t = 0, tím dostaneme pouze jednu rovnici 6. Zderivujeme celkové řešení tvar opět vychází z kořenů kvadratické rovnice - Přechodné děje 2. řádu

6 Kořeny reálné, různé i 0 i0 (t) = d h i K e 1t 1 + K e 2t 2 + i p (t) dt = K 1 1e 1t + K 2 2e 2t + i 0 p (t) Příklad: i 0 (t) = 3732:1 K 1 e 3732:1t 267:9 K 2 e 267:9t + i 0 p(t) Kořen reálný, dvojnásobný i 0 i0 (t) = d ³ (K 1 + K 2 t) e t + i p (t) = K e t 2 +(K 1 + K 2 t) e t + i 0 p dt (t) Příklad: i 0 (t) =K 2 e 1000t +(K 1 + K 2 t)( 1000)e 1000t + i 0 p(t) Kořeny komplexně sdružené i 0 (t) = = 1;2 = j p! r 2 2 = j! d h i (K 1 cos!t + K 2 sin!t) e t + i p (t) = dt h i! ( K 1 sin!t + K 2 cos!t) (K 1 cos!t + K 2 sin!t) e t + i 0 p(t) Příklad: h i 0 i0 (t) = 866 ( K 1 sin(866t)+k 2 cos(866t)) 500 (K 1 cos(866t)+k 2 sin(866t)) e 500t +i 0 p (t) - Přechodné děje 2. řádu

7 Pokud ale do zderivované rovnice dosadíme za t = 0, potřebujeme znát její hodnotu v tomto čase 7. Matematická počáteční podmínka v tomto kroku se vracíme zpět k původní rovnici, do které dosadíme t = 0 energetické počáteční podmínky Z 0 Li 0 (0)+Ri L (0)+ 1 i( )d u C (0) = 0 ) i 0 (0) = u C(0) Ri L (0) C 0 L {z } =0 Tvar řešení matematické počáteční podmínky závisí na rovnici (rovnicích), popisující konkrétní obvod 8. Do úplného řešení a jeho derivace dosadíme t = 0, počáteční podmínky a řešíme lineární soustavu rovnic Kořeny reálné, různé i(0) = K 1 + K 2 + i p (0) i 0 (0) = K K i 0 p(0) )! K 1 K 2 = i0 (0) i 0 p(0) 2 i(0) ip (0) 1 2 = i0 (0) i 0 p (0) 1 i(0) ip (0) Přechodné děje 2. řádu

8 Kořen reálný, dvojnásobný i(0) = K 1 + i p (0) i 0 (0) = K 2 + K 1 + i 0 p (0) )! K 1 = i(0) i p (0) K 2 = i 0 (0) i 0 p (0) i(0) i p (0) Kořeny komplexně sdružené i(0) = K 1 + i p (0) i 0 (0) =!K 2 K 1 + i 0 p (0) ) Nyní dokončíme řešení našeho defibrilátoru:! K 1 = i(0) i p (0) K 2 = i0 (0) i 0 p (0) + i(0) i p (0) i(t) =(K 1 cos(259:1 t)+k 2 sin(259:1 t)) e 83:3t +0 i i 0 (t) = 259:1( K 1 sin 259:1t + K 2 cos 259:1t) 83:3(K 1 cos 259:1t + K 2 sin 259:1t) i (0) = = :3 ) 0 = K 1 +0! = 259:1K 2 83:3K 1 i(t) =54:24 sin(259:1 t) e 83:3t A K 1 = 0 K 2 = :3 0 =54:24 259:1! e 83:3t - Přechodné děje 2. řádu

9 Časový průběh přechodného děje 2. řádu RLC defibrilátor U [V] I [A] p [W] Průběh napětí na rezistoru Průběh proudu Okamžitý výkon dodaný do rezistoru t[s] - Přechodné děje 2. řádu

10 CO OVLIVŇUJE ČASOVÝ PRŮBĚH? Máme charakteristickou rovnici: 2 + R L + 1 LC =0... a její kořeny Pokud: μ 2 R > 1 2L LC s μ 1;2 = R 2 R 2L 1 2L LC Aperiodický děj čím větší R, tím delší časová konstanta S rostoucím R trvá přechodný děj déle - Přechodné děje 2. řádu

11 μ 2 R = 1 2L LC r L ) R =2 C Mez aperiodicity Přechodný děj trvá nejkratší možnou dobu Mez aperiodicity Aperiodický děj Kvaziperiodický děj - Přechodné děje 2. řádu

12 μ 2 R < 1 2L LC s μ 1;2 = R 2 R 2L 1 2L LC = p 2! {z } r 2 Co ovlivní: R Činitel tlumení α, ale také amplitudu proudu I Kvaziperiodický děj S klesajícím R klesá činitel tlumení obvodu α Doba ustálení přechodného děje opět roste j!!! r Činitel tlumení obvodu Frekvence vlastních kmitů obvodu Rezonanční frekvence L Činitel tlumení α, ale také amplitudu proudu I (ω v K 2 )a frekvenci vlastních kmitů obvodu (+ rezonanční frekvenci) C Amplitudu proudu I (ω v K 2 )a frekvenci vlastních kmitů obvodu (+ rezonanční frekvenci) - Přechodné děje 2. řádu

13 Co by se stalo, kdyby pacient nekladl ten správný odpor... Typický odpor lidského těla při defibrilaci je 50 Ω Při síťovém napětí je udávaný odpor lidského těla v rozmezí 500 Ω 10 kω, průměrná hodnota je 2 kω Časový průběh proudu v případě, že by lidské tělo mělo odpor 2 kω Časový průběh proudu v případě, že by lidské tělo mělo odpor 10 Ω Příliš velký odpor aperiodický přechodný děj, velký proud, protékající po dlouhou dobu, povrchové popáleniny je nutné zabránit i přechodovým odporům Příliš malý odpor kvaziperiodický přechodný děj, opakovaná stimulace, fibrilace - Přechodné děje 2. řádu

14 Nyní budeme zkoumat sériový RLC obvod, ke kterému připojíme harmonický zdroj napětí předpokládejme malé tlumení obvodu (malý odpor R), tak že obvod má kvaziperiodickou odezvu Obvodová rovnice a její derivace L di(t) + Ri(t)+ 1 dt C RLC S HARMONICKÝM BUZENÍM Z t 0 i( )d + u C (0) = U m sin(! z t + ') d 2 i(t) dt 2 + R di(t) + 1 L dt LC i(t) =U m! z cos(! z t + ') Charakteristická rovnice a její kořeny 2 + R L + 1 LC =0 R = 100 Ω C = 1 μf L = 1 H 1;2 = j p! r 2 2 = j! v u C (0) = 0 V =0 1;2 = 50 j p = :75j u(t) =1sin(1000t) i L (0) = 0 A Odezvou obvodu na změnu jsou exponenciálně tlumené harmonické kmity; ty nemají nic společného s charakterem zdroje obvod kmitá na frekvenci ω v - Přechodné děje 2. řádu

15 Partikulární řešení u(t) =U m sin(! z t + ') ) ^U = U m e j' ^I = ^U R + j(! z L 1! z C ) = I pe jã Řešení diferenciální rovnice ) i p (t) =I p sin(! z t + Ã) 1 ^I = j( ) =0:01 A ) i p(t) =0:01 sin(1000t) V řešeném příkladu je RLC obvod v rezonanci i(t) =(K 1 cos! v t + K 2 sin! v t) e t + I p sin(! z t + Ã) Zatímco obvod v reakci na připojení zdroje kmitá na frekvenci ω v, ustálený stav je HUS, v něm jsou jeho kmity vnuceny harmonickým zdrojem s frekvencí ω z i(t) =(K 1 cos(998:75 t)+k 2 sin(998:75 t)) e 50t +0:01 sin(1000t) Při nenulovém tlumení je frekvence vlastních kmitů vždy menší, nežli rezonanční frekvence - Přechodné děje 2. řádu

16 Derivace řešení a matematická počíteční podmínka h i i 0 (t) =! v ( K 1 sin! v t + K 2 cos! v t) (K 1 cos! v t + K 2 sin! v t) e t +I p! z cos(! z t+ã) Z 0 Li 0 (0)+Ri L (0)+ 1 i( )d +u C (0) = U m sin(') ) i 0 (0) = u C(0) Ri L (0) + U m sin(') C 0 L {z } i 0 (t) = i 0 (0) = 0 t = 0 =0 h i 998:75 ( K 1 sin(998:75t)+k 2 cos(998:75t)) 50 (K 1 cos(998:75t)+k 2 sin(998:75t)) +0: cos(1000t) i(0) = K 1 + I p sin(ã) i 0 (0) =! v K 2 K 1 + I p! z cos(ã) )! K 1 = i(0) I p sin(ã) K 2 = i0 (0) I p! z cos(ã)+ i(0) I p sin(ã) Řešení přechodného děje: ¾ 1 i(t) =I p ½ ( sin à +! z cos Ã)sin! v t +sinãcos! v t e t +sin(! z t + Ã)! v μ 1000 i(t) =0:01 998:75 sin(998:75 t) e 50t + sin(1000t)! v e 50t - Přechodné děje 2. řádu

17 1 I p Časový průběh proudu pro uvedený příklad Časový průběh proudu stejný obvod, kde ale R = 20 Ω α = 10 I p 1 Obvod je v rezonanci napětí na L a C mají 1000 větší amplitudu (tedy 10, resp. 50 voltů) a jsou fázově posunuta o +90, resp. 90 (tedy o čtvrtinu periody). Čím vyšší je ale činitel jakosti obvodu (menší α), tím déle trvá, nežli rezonanční obvod dosáhne ustáleného stavu Q = 1! r 2 - Přechodné děje 2. řádu

18 Zázněje Uvažujme případ, kdy frekvence zdroje bude málo odlišná od rezonanční frekvence V tomto případě lze předchozí výsledek značně zjednodušit: Činitel tlumení musí být malý, pro zjednodušení uvažujme! 0 Důsledkem předchozí podmínky je frekvence vlastních kmitů! v!! r V rezonanci je fázový posun mezi napětím zdroje a proudem nulový, Ã! 0 Frekvence zdroje se liší od rezonanční frekvence o kmitočet Δω,! z =! r +! Pak: ¾ 1 i(t) = I p ½ ( sin à +! z cos Ã)sin! v t +sinãcos! v t e t +sin(! z t + Ã)! v μ μ :!r t +(! r +!)t (!r +!)t! r t = I p f sin! r t +sin(! r +!)tg =2I p cos sin 2 2 μ = 2I p cos! r +! t sin!t 2 2 Význam: v akustice ladění nástrojů =10 =2 - Přechodné děje 2. řádu