ITO. Semestrální projekt. Fakulta Informačních Technologií

Transkript

1 ITO Semestrální projekt Autor: Vojtěch Přikryl, xprikr28 Fakulta Informačních Technologií Vysoké Učení Technické v Brně

2 Příklad 1 Stanovte napětí U R5 a proud I R5. Použijte metodu postupného zjednodušování obvodu. sk. U [V ] R 1 [Ω] R 2 [Ω] R 3 [Ω] R 4 [Ω] R 5 [Ω] R 6 [Ω] R 7 [Ω] R 8 [Ω] H Obrázek 1: Počáteční stav. Nejdříve vypočítáme celkový odpor obvodu, ze kterého následně budeme moci zjistit celkový proud. Obvod zjednodušujeme postupnou transfigurací trojúhelník hvězda. R 5 R 7 R 5 R 8 R 7 R 8 R A =, R B =, R C = R 5 + R 7 + R 8 R 5 + R 7 + R 8 R 5 + R 7 + R 8 Po této úpravě můžeme nahradit sériově zapojené dvojice rezistorů R 2, R A a R 4, R B. Poté můžeme jednoduše provést druhou potřebnou transfiguraci. R 2A = R 2 + R A R 4B = R 4 + R B R X = R 3 R 2A R 3 + R 2A + R 4B, R Y = R 3 R 4B R 3 + R 2A + R 4B, R Z = R 2A R 4B R 3 + R 2A + R 4B

3 Obrázek 2: Stav po první transfiguraci. Obrázek 3: Stav po druhé transfiguraci. Zjednodušíme postupně sériově a následně paralelně zapojené rezistory. R 6Y = R 6 + R Y R CZ = R C + R Z R 6CY Z = R 6Y R CZ R 6Y + R CZ

4 Nyní můžeme spočítat celkový odpor a následně celkový proud. R = R 1 + R X + R 6CY Z = 1049, 1576Ω I = U R = 0, 1287A Nyní je potřeba se dostat zpět k hodnotě I R5. Postupně tedy za pomocí Kirchhoffových zákonů, Ohmova zákonu a znalosti paralelního a sériového zapojení zjišt ujeme další hodnoty proudů v obvodu, které použijeme ke konečnému výpočtu: I R1 = I R ZC I R6 = I R ZC + R 6Y I R3 = U I R 6 R 6 I R1 R 1 R 3 I R2 = I R1 I R3 I R4 = I R3 I R6 Výsledek: I R5 = I R 3 R 3 + I R4 R 4 I R2 R 2 R 5 I R5 = 5, 3013mA U R5 = 3, 0482V

5 Příklad 2 Stanovte napětí U R3 a proud I R3. Použijte metodu Theveninovy věty. sk. U [V ] R 1 [Ω] R 2 [Ω] R 3 [Ω] R 4 [Ω] R 5 [Ω] D Obrázek 4: Zadaný obvod. Rezistor R 3, jehož napětí a proud chceme vypočítat, si ohraničíme body A, B a dle Theveninovy věty ho nahradíme napětím naprázdno U i a zavedeme náhradní obvod. Obrázek 5: Nahrazení rezistoru R 3 napětím naprázdno.

6 Obrázek 6: Náhradní obvod. Dále je třeba vypočítat celkový odpor R i. To je odpor mezi body A a B, samozřejmě bez odporu R 3. Napětí jsou přitom zkratována. Obvod s odpory lze překreslit následujícím způsobem: Obrázek 7: Překreslený obvod pro výpočet R i. R i = R 1 R 4 R 1 + R 4 + R 2 R 5 R 2 + R 5 Napětí U i vypočítáme tak, že si uvědomíme, že (dle obrázku 5) je U i napětí naprázdno, a tak mezi body A a B neprochází žádný proud. Dostáváme tedy obvod, kde rezistory R 1 a R 4 jsou zapojeny v sérii, rezistory R 2 a R 5 jsou také zapojeny v sérii a to celé je zapojeno paralelně. Tím vypočítáme proudy I 1 a I 2 a pomocí znázorněné smyčky pak i U i. I 1 + I 2 = U (R 1 +R 4 ) (R 2 +R 5 ) (R 1 +R 4 )+(R 2 +R 5 )

7 R 2 + R 5 I 1 = (I 1 + I 2 ) R 1 + R 2 + R 4 + R 5 Ve smyčce platí: R 1 + R 4 I 2 = (I 1 + I 2 ) R 1 + R 2 + R 4 + R 5 I 1 R 1 + U i I 2 R 2 = 0 Nyní již můžu vypočítat I R3 a U R3 : U i = I 2 R 2 I 1 R 1 I R3 = U i R i + R 3 Výsledek: U R3 = I R3 R 3 I R3 = 0, A U R3 = 10, 8892 V

8 Příklad 3 Stanovte napětí U R2 a proud I R2. Použijte metodu uzlových napětí (U A, U B, U C ). sk. U [V ] I 1 [A] I 2 [A] R 1 [Ω] R 2 [Ω] R 3 [Ω] R 4 [Ω] R 5 [Ω] R 6 [Ω] A Obrázek 8: Zadaný obvod. Nejdříve mohu zjednodušit obvod spojením paralelně zapojených rezistorů R 3 a R 4. Rovnice pro jednotlivé uzly: R 34 = R 3 R 4 R 3 + R 4 A : I R1 I R2 I R34 I 1 = 0 B : I R34 + I 1 I R6 I 2 = 0 C : I R6 + I 2 I R5 = 0

9 Rovnice pro jednotlivé proudy: I R1 : U A + R 1 I R1 U = 0 I R1 = U U A R 1 I R34 : I R34 R 34 + U B U A = 0 I R34 = U A U B R 34 I R2 : I R2 R 2 U A = 0 I R2 = U A R 2 I R6 : I R6 R 6 + U C U B = 0 I R6 = U B U C R 6 I R5 : I R5 R 5 U C = 0 I R5 = U C R 5 Obrázek 9: Zjednodušený obvod s vyznačením směrů proudů. Dosazením jednotlivých proudů do rovnic pro uzlová napětí získáme soustavu rovnic, ze které vypočítáme potřebnou hodnotu U A. Toto napětí je stejné, jako napětí U R2, které máme vypočítat. Hodnotu proudu pak vypočítáme na základě Ohmova zákonu.

10 Výsledky: U R2 = U A = V I R2 = U A R 2 = 36, 9961 ma

11 Příklad 4 Pro napájecí napětí platí: u = U sin(2πft). Ve vztahu pro napětí na kondenzátoru: u C1 = U C1 sin(2πft + ϕc 1 ) určete U C1 a ϕc 1. Použijte metodu zjednodušování obvodu. Pozn: Pomocný směr šipky napájecího zdroje platí pro speciální časový okamžik (t = π 2ω ). sk. U [V ] R 1 [Ω] R 2 [Ω] L 1 [mh] L 2 [mh] C 1 [µf ] C 2 [µf ] f [Hz] H Obrázek 10: Zadaný obvod. Nejdříve spočítám celkovou impedanci obvodu. Z 1 = X L1 + X C1 Z 2 = R 1 + X C2 Z 3 = R 2 + X L2 Z = Z 1 + Z 2 Z 3 Z 2 + Z 3

12 Nyní vypočítám celkový proud. Tento proud prochází také kondenzátorem C 1. Tudíž mohu hned vypočítat i U C1. I = U Z U C1 = I X C1 = j Z komplexního tvaru nyní vypočítám absolutní hodnotu a také hodnotu úhlu ϕ. U C1 = Re 2 + Im 2 = V ( ) Im ϕ = tan 1 = , 9 Re Pozn.: K úhlu ϕ přičítám 180, protože komplexní hodnota U c1 kvadrantu. Výsledek: U C1 = V ϕ = , 9 leží ve třetím

13 Příklad 6 Sestavte diferenciální rovnici popisující chování obvodu na obrázku, dále ji upravte dosazením hodnot parametrů. Vypočítejte analytické řešení i L = f(t). Proved te kontrolu výpočtu dosazením do sestavené diferenciální rovnice. sk. U [V ] L [H] R [Ω] i L (0) [A] A Obrázek 11: Zadaný obvod. Nejdříve sestavíme diferenciální rovnici, platí: u L + u R = U u R = R i L u L = U u R i L = 1 L u L i L = 1 L (U u R) i L = 1 L (U R i L)

14 Z toho dostaneme diferenciální rovnici: L i L + R i L = U Po dosazení: 40i L + 10i L = 4, i L (0) = 2 A Očekávaný tvar řešení: i L = C(t) e λt Výpočet λ: 40λ + 10 = 0 Derivace očekávaného tvaru řešení: λ = 1 4 i L = C (t) e 1 4 t 1 4 C(t) e 1 4 t Tuto derivaci dosadím do diferenciální rovnice: 40 (C (t) e 14 t 14 ) C(t) 14 e t + 10C(t) e 1 4 t = 4 Nyní výsledek zintegruji: C(t) = Dosadím do očekávaného tvaru: 40C (t) e 1 4 t = 4 C (t) = 1 10 e 1 4 t 1 10 e 1 4 t = 2 5 e 1 4 t + k i L = ( 2 5 e 1 4 t + k) e 1 4 t i L = k e 1 4 t Dosadíme počáteční podmínku i L (0) = 2 A: 2 = k e = k Výsledek: k = 8 5 i L = e 1 4 t

15 Výsledky Příklad 1H I R5 = 5, 3013mA U R5 = 3, 0482V Příklad 2D I R3 = 0, A U R3 = 10, 8892 V Příklad 3A U R2 = V I R2 = 36, 9961 ma Příklad 4H U C1 = V ϕ = , 9 Příklad 6A i L = e 1 4 t