Název: Komplexní čísla zobrazení v rovině

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Květoslava Navrátilová
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Název: Komplexní čísla zobrazení v rovině Autor: Mgr. Jiří Bureš, Ph.D. Název školy: Gymnázium Jana Nerudy, škola hl. města Prahy Předmět, mezipředmětové vztahy: matematika a její aplikace Ročník: 6.

1 Název: Komplexní čísla zobrazení v rovině Autor: Mgr. Jiří Bureš, Ph.D. Název školy: Gymnázium Jana Nerudy, škola hl. města Prahy Předmět, mezipředmětové vztahy: matematika a její aplikace Ročník: 6. (4. ročník vyššího gymnázia, bilingvní sekce) Tématický celek: komplexní čísla, geometrie shodná zobrazení, stejnolehlost Stručná anotace: Výukový materiál je zaměřen na využití komplexních čísel v geometrii při studiu shodných zobrazení a stejnolehlosti v rovině jejich základní popis a charakteristické prvky. Tento výukový materiál byl vytvořen v rámci projektu Přírodní vědy prakticky a v souvislostech inovace výuky přírodovědných předmětů na Gymnáziu Jana Nerudy (číslo projektu CZ..7/3..00/36047) financovaného z Operačního programu Praha - Adaptabilita.

2 Transformations du plan (écriture complexe) Les nombres complexes permettent de décrire les transformations du plan habituelles (translation, rotation, homothétie, symétrie centrale et autres). On peut ainsi déterminer l'image d'un point non seulement par une construction mais aussi par un calcul relativement simple qui ne demande pas la connaissance des calculs avec les matrices. Définition: Soit f la transformation du plan qui, à tout point M d'affixe z, associe le point M ' d'affixe z'. La transformation f est ) la translation de vecteur b d'affixe b ssi z'=z+b, ) la rotation de centre Ω d'affixe ω et d'angle θ ssi z' ω=e i θ (z ω), 3) l'homothétie de centre Ω d'affixe ω et de rapport k R * ssi z' ω=k (z ω), 4) la symétrie par rapport au centre Ω d'affixe ω ssi z' ω= (z ω), 5) la réflexion par rapport à l'axe réel ssi z'= z, 6) la réflexion par rapport à l'axe imaginaire ssi z'= z. Note : Le centre d'une homothétie ou d'une rotation est un point invariant de la transformation, c'est-à-dire qu'il est lui-même son image. Donc pour déterminer l'affixe ω de centre Ω d'une rotation ou d'une homothétie, on pourra utiliser l'invariance de ce point, c'est-à-dire résoudre l'équation f (z)=z (remplacer z' par z ). Forme exponentielle d'un nombre complexe (résumé) A part les formes algébrique et trigonométrique, il est possible de représenter un nombre complexe par la forme exponentielle. Celle-ci contient les mêmes informations que la forme trigonométrique mais elle est plus pratique à utiliser dans certains calculs. Définition : Pour tout nombre réel θ, on pose cosθ+i sinθ=e i θ. Soit z un nombre complexe non nul de module z et d'argument θ. On appelle forme exponentielle de z l'écriture z e i θ. Propriétés : Soit z = z e i θ ) z z = z z e i (θ +θ ) ) et z = z e i θ et n N deux nombres complexes non nuls. = z z e i θ 3) z z = z z θ ) ei(θ 4) z n = z n e i n θ 5) ẕ = z e i θ

3 Transformations du plan (écriture complexe) Fiche de travail Activité. Déterminer les éléments caractéristiques de la transformation f qui, à tout point M d'affixe z, associe le point M ' d'affixe z'. A chaque fois, calculer l'image des points O(0), A(), B( i). a) z'=z +i d) z'=z+4+5i b) z'= z+3i e) z'=( )z+ i +i 3 3 c) z'= i z+ i f) z'=( ) z+ +i Activité. Déterminer l'écriture complexe des transformations suivantes : ) a) la translation de vecteur w( ; ), b) l'homothétie de rapport 3 et de centre Ω( ;3), c) la rotation d'angle π de centre Ω(0 ;), d) la rotation d'angle π 3 de centre Ω( ; 0), ) a) la rotation d'angle π qui transforme A( ;) en A' (3 ;), b) la rotation de centre Ω(0 ;) qui transforme O en O' ( c) l'homothétie de rapport qui transforme A( ; 0) en A' (0 ;). ;+ 3 ), Activité 3. Répondez aux questions suivantes : ) D'après l'écriture générale, comment peut-on reconnaître une homothétie? une rotation? une translation? ) Donnez un exemple de chacune des transformations de la question. 3) Laquelle des transformation n'a pas de point invariant? a un seul point invariant? a le nombre infini de points invariants?

4 Éléments de solution : Activité. A chaque fois, calculer l'image des points O(0), A(), B( i). a) z'=z + i éléments caractéristiques : translation, u( + i ) f (0)=0 +i= +i f ()= +i=i f ( i )= i +i= +i b) z'= z+3i éléments caractéristiques : homothétie de rapport k = et de centre Ω(i ) car (z= z+3i) (3 z=3 i) (z=i) f (0)=3i f ()= +3i f ( i )=5i c) z'= i z+ i éléments caractéristiques : rotation d'angle arg( i)= π 4 et de centre Ω( i) car (z= iz+ i ) (z(+ i)= i ) (z = i) f (0)= i f ()= i f ( i )= i d) z'=z+4+5i éléments caractéristiques : translation, u(4+ 5 i) f (0)=4+5i f ()=5+5i f ( i )=4+4 i e) z'=( )z + i éléments caractéristiques : homothétie de rapport k = et de centre Ω(i ) car (z= z+3i) (3 z=3i) (z=i) f (0)= i f ()= + i f ( i )= i+ i +i 3 3 f) z'=( ) z+ +i +i 3 éléments caractéristiques : rotation d'angle arg( car ++i 3 z=( ) +i 3 f (0)= 3 i 3 z+ +i z( ) f ()=i 3 3 = +i ) = π 3 et de centre Ω ( +i 3 z= i 3 = 3i 4 f ( i )= i 3 ) i = 3 i

5 Activité. Déterminer l'écriture complexe des transformations suivantes : ) a) la translation de vecteur w( ; ) : z'=z + i b) l'homothétie de rapport c) la rotation d'angle π 3 et de centre Ω( ;3): z'= 3 z+ 3 +i de centre Ω(0 ;): [z ' i= i (z i)] [z '= iz +i] d) la rotation d'angle π 3 de centre Ω( ; 0): z'=e i π 3 (z )+ ) a) la rotation d'angle π qui transforme A( ;) en A' (3 ;): z' ω=i (z ω) z A ' = f (z A ):3+i ω=i( +i ω) 5+i [3+i+i+=ω ω ω= i] [ i = 5+i+5i = 3 7 ] i z'=i( z i ) +3 7 i=iz 5i b) la rotation de centre Ω(0 ;) qui transforme O en O' ( z' i=e i θ (z i ) z O ' = f (z O ): 3 +i + i i=e iθ (0 i) e i θ 3 i = i = 3 + i θ= π 6 ;+ 3 ), z' i=e i π6 (z i) c) l'homothétie de rapport qui transforme A( ; 0) en A' (0 ;). z' ω=( z ω) z A ' = f (z A ): i ω=( ω) ω= i z'=( z + i)+ i= z +i

6 Activité 3. ) D'après l'écriture générale, comment peut-on reconnaître une homothétie? une rotation? une translation? D'après le coefficient de z : un nombre réel différent de une homothétie un nombre imaginaire de module différent de une rotation le nombre une translation ) Donnez un exemple de chacune des transformations de la question. 3) Laquelle des transformation n'a pas de point invariant? une translation a un seul point invariant? une rotation/homothétie/symétrie centrale a le nombre infini de points invariants? une réflexion (points sur l'axe de symétrie)

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