Základy aritmetiky a algebry II

Transkript

1 Osnova předmětu Základy aritmetiky a algebry II 1. Lineární rovnice, řešení v tělesech Q, R, C, Z p, počet řešení v okruhu Z n, n N \ P. Grafické řešení, lineární nerovnice. 2. Kvadratická rovnice. Didaktický postup, řešení speciálních případů, odvození Viétových vzorců. Odvození vzorce pro kořeny: klasické doplnění na čtverec, mezopotámské řešení na základě Viétových vzorců, řešení soustavy z Vietových vět. Geometrické znázornění reálných a komplexních kořenů rovnice s reálnými koeficienty. 3. Kubická rovnice. Substituce pro odstranění členu obsahujícího x 2, Cardanův postup řešení (substituce y = u + v), kvadratická resolventa, diskriminant kubické rovnice, význam výrazu D = ( q 2 ( 2) + p ) 3. 3 Získání všech kořenů pomocí ε = cos 2π 3 + i sin 2π 3. Vlastnosti u, v. Vietovy vzorce. Casus irreducibilis řešení pomocí goniometrické substituce. 4. Rovnice binomické, trinomické, bikvadratické. 5. Reciproká rovnice 1. druhu (a k = a n k, stupně n = 2k + 1 a n = 2k) a 2. druhu (a k = a n k ), vlastnosti, kořeny, řešení. 6. Základní věta algebry a její důsledky. 7. Iracionální čísla. Důkaz iracionality odmocnin přirozených čísel, která nejsou čtverci. Čísla algebraická a transcendentní. Mohutnost množiny všech algebraických čísel. Liouvilleovo číslo, mohutnost množiny všech transcendentních čísel. Bez důkazu: věta Gelfandova Schneiderova. Důkaz iracionality čísla e. Pro zajímavost: důkaz iracionality čísla π (nezkouší se). Konstrukce druhých odmocnin. Nesouměřitelnost úseček. 8. Pole reálných čísel zavedení: 1) desetinné rozvoje, 2) Dedekindovy řezy, 3) axiomatické zavedení reálných čísel, 4) základní myšlenka zúplnění Q, cauchyovské posloupnosti. 9. Řetězové zlomky: konečné, nekonečné, periodické; výpočet článků řetězového zlomku čísel racionálních, iracionálních, druhých odmocnin. Aproximace racionálních a iracionálních čísel řetězovými zlomky. Řešení lineární diofantické rovnice a Pellovy rovnice pomocí řetězových zlomků. 10. Pole komplexních čísel: zavedení (problémy se zavedením), vlastnosti, geometrie v komplexní souřadnici. 11. Hyperkomplexní čísla: neúspěšné snahy o aritmetizaci bodů (třírozměrného) prostoru, tj. rozšíření C o jednu další imaginární jednotku; kvaterniony (základní myšlenka). 12. Průměry: harmonický, geometrický, aritmetický, kvadratický. Geometrické znázornění, úloha o pohybu a harmonický průměr. 13. Grupy, homomorfismy grup, faktorizace. Relace kongruence, normální podgrupa, jádro homomorfismu je normální podgrupou. Lagrangeova věta. Cyklické grupy. 14. Podílové těleso oboru integrity. 15. Dělitelnost, prvočinitel, ireducibilní prvek, nsn, NSD, eukleidovské obory integrity. U kolokvia je možno používat samostatný kalkulátor (ne v mobilu, ne grafický).

2 1 Kvadratická rovnice 1. Vyřešte mezopotámským způsobem kvadratickou rovnici x = 3x. 2. Najděte souřadnice vrcholu V paraboly y = ax 2 + bx + c. 3. Pokuste se odvodit, jak by bylo možno znázornit kořeny kvadratické rovnice s reálnými koeficienty, které jsou komplexní. 4. Řešte následující binomické rovnice v komplexním oboru. Všechny kořeny zapište v goniometrickém i algebraickém tvaru. 5. Najděte všechna řešení rovnice a) z 4 = 4 b) z 3 = 1 c) z 2 = 1 + i a) x 3 + 5x v Z 6, b) x 2 + x + 2 v Z 3. 2 Kubická rovnice G. Cardano 1. Najděte jeden kořen následující kubické rovnice Cardanovým postupem. x 3 6x x 8 = 0 Následně najděte i ostatní kořeny této rovnice. (pro kontrolu: z 3 2z 4 = 0, kvadratická resolventa je t 2 4t = 0) 2. Označme jednu z třetích odmocnin z jedné řeckým písmenem ε: Ukažte, že ε = cos 2π 3 + i sin 2π 3 = i. 1 + ε + ε 2 = Ukažte, že předchozí tvrzení lze snadno zobecnit: označíme-li ω = cos 2π n + i sin 2π n, tak platí: 1 + ω + ω ω n 1 = Odvoďte Cardanovy vzorce pro kořeny kubické rovnice v redukovaném tvaru: x 3 + px + q = 0. Postupujte tak, že tuto rovnici vyřešíte jako obvykle Cardanovým postupem, ale s obecnými koeficienty p, q místo konkrétních čísel. 5. Pokuste se přijít na to, proč jsou zbylé dva kořeny kubické rovnice ve tvaru je-li x 1 = u + v. x 2 = ε u + ε 2 v, x 3 = ε 2 u + ε v,

3 3 Kubická rovnice casus irreducibilis 1. U následujících rovnic ověřte, že nastává casus irreducibilis, následně najděte všechny jejich kořeny pomocí goniometrických substitucí. a) x 3 13x + 12 = 0 b) x 3 + 3x 2 4x 12 = 0 2. Najděte všechny kořeny rovnice x 3 3x 2 = 0 standardním Cardanovým postupem. Vyšetřete průběh funkce y = x 3 3x 2 (najděte extrémy, inflexní body, intervaly, kde je tato funkce rostoucí, klesající, konvexní, konkávní) a načrtněte její graf. 3. Ukažte, že všechny komplexní kořeny binomické rovnice z 3 = a, a R, lze zapsat ve tvaru: x 1 = 3 a, x 2 = ε 3 a, x 3 = ε 2 3 a. Je předpoklad a R nutný? 4 Rovnice vyšších stupňů 4.1 Kubická rovnice 1. Zajímavost. Pro rozhodování, zda nastává casus irreducibilis, používáme výraz ( q ) 2 ( p ) 3 D = +, 2 3 což je modifikovaný diskriminant kvadratické resolventy. Přesně tento výraz se vyskytuje v Cardanových vzorcích pod druhou odmocninou. Pozor: ani diskriminant kvadratické resolventy, ani uvedený výraz D přísně vzato není diskriminantem kubické rovnice. Diskriminant D n polynomiální rovnice stupně n je pojem, který bude důkladně zaveden v 5. ročníku. U kubické rovnice pak odvodíme, že jejím diskriminantem je výraz ( (q 2 ( p ) ) 3 D 3 = ) 3 2. Jednoduché pozorování. Všechny třetí odmocniny daného komplexního čísla z = a+bi je možno zapsat ve tvaru: w, εw, ε 2 w, kde w je některá z třetích odmocnin čísla z. Dokažte toto tvrzení pomocí goniometrického tvaru čísel z, ε, w. 4.2 Trinomické a bikvadratické rovnice 1. Řešte v C bikvadratickou rovnici x 4 + x 2 20 = Řešte v C rovnici x 3 (x 3 7) = 12 (18 + x 3 ). 3. Najděte v C všechny kořeny následujících trinomických rovnic. a) x 6 9x = 0 b) x 6 19x = 0 [3, 3 2 (1 ± i 3), 2, 1 ± i 3]

4 4.3 Reciproké rovnice Nechť je dána rovnice ve tvaru a n x n + a n 1 x n 1 + a n 2 x n a 2 x 2 + a 1 x + a 0 = 0, kde a n 0. Reciproká rovnice 1. druhu: a i = a n i pro všechna i = 0, 1,..., n sudého stupně: prostřední koeficient a n 2 řešíme pomocí substituce z = x + 1 x může být libovolný lichého stupně má kořen x 1 = 1 po vydělení kořenovým činitelem x + 1 zbude reciproká rovnice 1. druhu sudého stupně Reciproká rovnice 2. druhu: a i = a n i pro všechna i = 0, 1,..., n má vždy kořen x 1 = 1 po vydělení kořenovým činitelem x 1 zbude reciproká rovnice 1. druhu sudého stupně: prostřední koeficient a n 2 = 0 lichého stupně Pro reciproké rovnice 1. i 2. druhu platí: je-li α kořenem této rovnice, pak je jejím kořenem také 1 α. Toto tvrzení dokažte. 5 Reciproké rovnice a základní věta algebry Reciproké rovnice 1. Určete typ následujících reciprokých rovnic a najděte všechny jejich kořeny v R. a) 6x 5 41x x 3 97x x 6 = 0 [1, 2, 1 2, 3, 1 3 ] b) 10x 4 77x x 2 77x + 10 = 0 [2, 1 2, 5, 1 5 ] c) 8x 5 6x 4 83x 3 83x 2 6x + 8 = 0 [ 1, 2, 1 2, 4, 1 4 ] 2. Příklad reciproké rovnice, která je řešitelná i po redukci na rovnici polovičního stupně, přestože je to rovnice pátého stupně: x x x 6 + x x x = 0. Určete všechny její kořeny v C. Platí i pro její komplexní kořeny, že je-li jejím kořenem α C, je také jejím kořenem 1 α C? 3. Příklad reciproké rovnice, která po redukci na rovnici polovičního stupně není řešitelná: x x x 6 + x x x = 0. Proveďte redukci na rovnici polovičního stupně. Platí přesto pro každý z jejích deseti kořenů, že je-li jejím kořenem α C, je také jejím kořenem 1 α C? Počet kořenů polynomu Následující rovnice lze řešit zkusmo dosazením všech hodnot z konečné množiny Z n. 1. Najděte v poli Z 3 všechna řešení rovnice x 2 + x + 2 = Najděte v okruhu Z 6 všechna řešení rovnice x 3 + 5x = 0.

5 6 Násobné kořeny polynomů 1. Pomocí Eukleidova algoritmu najděte největší společný dělitel čísel 204 a Najděte kořeny následujících polynomů tak, že se pokusíte snížit jejich stupeň odstraněním násobných kořenů. Využijte přitom: - větu o násobných kořenech polynomu a jeho derivace a - Eukleidova algoritmu pro nalezení NSD(p, p ). a) p(x) = x 4 6 x x 2 12 x + 4 b) p(x) = 8 x x x x x x Připomeňte si větu o suprému a Cantorův princip uzavřených do sebe vložených intervalů. (Matematická analýza I) 7 Reálná čísla Podílové těleso oboru integrity stručné shrnutí vybudování pole racionálních čísel (str. 29 a příklady nahoře na str. 30) Dedekindova teorie řezů srozumitelné shrnutí základů teorie: řezy, Dedekindova věta Def. 1.7, V 1.10, Pozn. 1.11, V 1.12, Úml. 1.13, Def. 1.14, Def. 1.15, V Důsl., Def. 1.21, V 1.22 a Axiomatické zavedení reálných čísel ke studiu v rozsahu probíraném na přednášce Vývoj představ o reálných číslech pro zájemce