Syntetická geometrie I

Transkript

1 Shodnost Pedagogická fakulta

2 Vzdálenost dvou bodů Necht A, B, C ρ. Vzdálenost dvou bodů A, B v rovině je číslo AB a platí AB 0 AB = 0 A = B AB = BA pozitivně definitní symetrie AC AB + BC Vzdálenost měříme pomocí zadané jednotkové vzdálenosti, kterou přenášíme pohybem (třeba kružítkem, stupnicí na pravítku... )

3 Vzdálenost bodu a přímky, délka úsečky Definice (Vzdálenost bodu a přímky) Vzdálenost bodu A od přímky p je vzdálenost bodu A od kolmého průmětu A bodu A na přímku p. Definice (Délka úsečky) Délka úsečky je vzdálenost její koncových bodů.

4 Délky v Věta ( ) V trojúhelníku se stranami a, b, c platí: a < b + c b < a + c c < a + b neboli a b < c < a + b

5 Strany v Definice (Klasifikace podle délek stran) Obecný, a b c a. Rovnoramenný, dvě strany (ramena) jsou rovnaké délky. Třetí strana se nazývá základna. Rovnostranný, všechny strany jsou rovnako dlouhé.

6 Obsah 1) Obsah trojúhelníku ABC je S = 1 2 av a = 1 2 bv b = 1 2 cv c

7 Obsah 2) Obsah trojúhelníku ABC je S = 1 2 ab sin γ = 1 2 bc sin α = 1 2ac sin β S = 1 2 cv c = 1 2cb sin α

8 Eukleidovy věty Eukleides (cca st. p. n. l.)

9 Eukleidovy věty Věta (Eukleidova o výšce) Necht je dán trojúhelník ABC a C 1 je pata výšky na stranu c. Označme c a = C 1 B, c b = C 1 A. Trojúhelník ABC je pravoúhlý s pravým úhlem při vrcholu C, právě tehdy, když v 2 c = c a c b. Důkaz (Přímo) ABC je pravoúhlý ABC CBC 1 ACC 1 podle (uu) v c = c a vc 2 = c a c b. c b v c (Sporem) Necht v ABC platí v 2 c = c a c b? je pravoúhlý. Není-li ABC pravoúhlý pak existuje A AB (CA CB). Označme A C 1 = c b, pak dle platí v A BC : v 2 c = c a c b a podle předpokladu v 2 c = c a c b, tedy c b = c b a A = A.

10 Eukleidovy věty Věta (Eukleidova o odvěsně) Necht je dán trojúhelník ABC a C 1 je pata výšky na stranu c. Označme c a = C 1 B, c b = C 1 A. Trojúhelník ABC je pravoúhlý s pravým úhlem při vrcholu C, právě tehdy, když a 2 = cc a (b 2 = cc b ). Důkaz (Přímo) ABC je pravoúhlý ABC CBC 1 podle (uu) c a = a c a a 2 = cc a. (Sporem) Necht v ABC platí a 2 = cc a? je pravoúhlý. Stejně ako v Eukleidově větě o výšce... c = c.

11 Pythagorova věta Pythagoras (cca 6. st. p. n. l.)

12 Pythagorova věta

13 Pythagorova věta Věta (Pythagorova) Trojúhelník ABC je pravoúhlý s pravým úhlem při vrcholu C, právě tehdy, když c 2 = a 2 + b 2. Důkaz (jeden z mnoha) (Přímo) z Eukleidovych vět o odvěsně a výšce: a 2 + b 2 = cc a + cc b = c(c a + c b ) = c 2. (Sporem) Necht v ABC platí a 2 + b 2 = c 2? je pravoúhlý. Sestrojíme A (2 možnosti) stejně ako v Eukleidových větách. Označme CA = b, AA = d. 1) AC 1 C b 2 = v 2 c + c2 b 2) A C 1 C b 2 = v 2 c + c 2 b 3) A CB c 2 = a 2 + b 2. Dosadíme 2) do 3) : (c ± d) 2 = a 2 + v 2 c + (c b ± d) 2. Dosadíme 1) do předpokladu: c 2 = a 2 + v 2 c + c2 b cd = c b d d = 0.

14 Pythagorova věta Pravoúhlý s celočíselnými délkami stran nazýváme pythagorejský.

15 Cosinova věta Věta (Cosinova) V libovolném ABC se stranami a, b, c a vnitřnímí úhly α, β, γ platí: a 2 = b 2 + c 2 2bc cos α b 2 = a 2 + c 2 2ac cos β c 2 = a 2 + b 2 2ab cos γ Důkaz pro ostroúhlý AC 1 C : b 2 = v 2 c + c 2 b = v 2 c + (b cos α) 2 BC 1 C : a 2 = v 2 c + (c b cos α) 2 odečtením dostáváme a 2 = b 2 + c 2 2bc cos α podobně pro tupoúhlý (cos(π α) = cos α).

16 Obsah 3) - Hérónův vzorec Hérón 1. pol 1. st. n.l.

17 Obsah 3) - Hérónův vzorec Obsah trojúhelníku ABC je S = s(s a)(s b)(s c), kde s = a + b + c. 2 S = 1 2ab sin γ 16S 2 = 4a2 b 2 sin 2 γ c 2 = a 2 + b 2 2ab cos γ 4a 2 b 2 cos 2 γ = (c 2 (a 2 + b 2 )) 2 4a 2 b 2 = 16S 2 + (c2 (a 2 + b 2 )) 2 16S 2 = (a + b + c)(a + b c)(a b + c)( a + b + c) S 2 = s(s a)(s b)(s c)

18 Kružnice Definice ( ) Kružnice k(s, r) je množina bodů, které mají od daného pevného bodu S vzdálenost r. S - střed kružnice r - poloměr kružnice

19 Osy v Věta (Osy stran) Osy stran v trojúhelníku se protínají v jednom bodě S o, který je středem kružnice opsané trojúhelníku. Důkaz. S o o a o c S o o a S o B = S o C S o o c S o A = S o B S o A = S o B = S o C a body A, B, C leží na kružnici k o se středem S o.

20 Osy v Věta (Osy úhlů) Osy úhlů v trojúhelníku se protínají v jednom bodě. Důkaz. S v o α o γ S v o α S v ; AB = S v ; AC S v o γ S v ; AC = S v ; BC S v ; AB = S v ; BC a S v leží na o β. S v je střed kružnice vepsané k v, která se dotýká stran ABC v bodech T a, T b, T c.

21 Eulerova přímka Věta (Eulerova přímka) V každém nerovnostranném trojúhelníku leží střed kužnice opsané S o, těžiště T a ortocentrum V na jedné přímce. Důkaz. Stejnolehlost H(T, 2) : S c C S a A o c v c o a v a S o o c o a V v c v a TS o V

22 Thalétova kružnice Thalés 7.-6.st. p.n.l.

23 Thalétova kružnice Věta (Thalétova kružnice) Necht AB je průměrem kružnice k a bod C je libovolný bod na kružnici k takový, že A C B, pak úhel ACB je pravý.

24 Thalétova kružnice Věta (Thalétova kružnice) Necht AB je průměrem kružnice k a bod C je libovolný bod na kružnici k takový, že A C B, pak úhel ACB je pravý. Důkaz.

25 Eukleidovské konstrukce Konstrukce pomocí pravítka a kružítka. Využití eukleidových a pythagorovy věty.

26 Redukčný úhel Dělení úsečky v daném poměru.

27 Shodná zobrazení Definice (Shodná zobrazení - izometrie) Zobrazení f : ρ ρ se nazývá shodné zobrazení neboli shodnost, izometrie, právě když pro libovolné dva různé body A, B ρ a jejich obrazy A, B platí A B = AB. přímá shodnost zachovává orientaci prostoru nepřímá shodnost nezachovává orientaci prostoru

28 Věty o shodných Definice (Shodné útvary) Dva útvary S 1 a S 2 jsou shodné S 1 = S2 právě tehdy, když existuje shodnost, která zobrazí S 1 na S 2. Věta (Shodné ) Dva trojúhelníky jsou shodné, shodují-li se sss v délkách všech stran. sus v délkách dvou stran a úhlu jimi sevřeném. usu v délke jedné strany a dvou vnitřných úhlech, které ji svírají. Ssu v délkách dvou stran a úhlu proti delší z nich.

29 Shodná zobrazení

30 Shodná zobrazení Věta (Grupa shodností) Všechna shodná zobrazení v rovině tvoří grupu vzhledem ke skládání zobrazení. Důkaz (Náznak) Uzavřenost. A B = AB ; A B = A B AB = A B. T.j. skládaním shodností dostaneme shodnost. Asociativita. Neutrální prvek je identita. Inverzní prvek.

31 Vlastnosti shodnosti Věta (Vlastnosti shodnosti) Shodnost 1 zachovává incidenci. 2 zachovává uspořádání. 3 zachovává dvojpoměr. 4 zachovává středy úseček (a dělicí poměr). 5 zachovává poměry úseček a velikosti úhlů. 6 zachovává délky úseček (a obsahy).

32 Klasifikace shodností - osová souměrnost Definice (Osová souměrnost) Osová souměrnost s osou o je shodné zobrazení v rovině O(o), které přiřazuje každému bodu X / o bod X tak, že o je osa úsečky XX. Osa o je přímka samodružných bodů. Samodružné body: SB leží na o. Samodružné přímky: přímky k ose a osa o. Samodružné směry: směry a s osou.

33 Klasifikace shodností - osová souměrnost Věta Libovolné shodné zobrazení v rovině je bud osovou souměrností, nebo jej lze rozložit na nejvýše 3 osové souměrnosti. Důkaz (konstrukcí) Necht je shodné zobrazení dáno 3 páry odpovídajících si nekolineárních bodů X, Y, Z X, Y, Z. Sestrojíme postupně osové souměrnosti (v obecném případě): O 1 : X X 1 = X, Y, Z Y 1, Z 1 O 2 : X 1 = X 2 = X, Y 1 Y 2 = Y, Z 1 Z 2 O 3 : X 2 = X 3 = X, Y 2 = Y 3 = Y, Z 2 Z 3 = Z

34 Klasifikace shodností - osová souměrnost

35 Klasifikace shodností - osová souměrnost Necht m je osa úsečky XX, volíme O 1 (m).

36 Klasifikace shodností - osová souměrnost Necht n je osa úsečky Y 1 Y, volíme O 2 (n).

37 Klasifikace shodností - osová souměrnost Necht o je osa úsečky Z 2 Z, volíme O 3 (o).

38 Klasifikace shodností - posunutí (translace) Definice (Posunutí, translace) Posunutí, translace je shodné zobrazení v rovině T ( XX ), které každému bodu X přiřazuje bod X tak, že pro každou další dvojici odpovídajících si bodů Y, Y platí, že úsečky XY, X Y mají společný střed. Samodružné body: pro T Id neexistují žádne samodružné body. Samodružné přímky: pro T Id : přímky XX. Samodružné směry: směry.

39 Klasifikace shodností - posunutí (translace) Věta Každé posunutí lze rozložit na 2 osové souměrnosti. Důkaz (konstrukcí) Necht je posunutí dáno párem odpovídajících si bodů X X a sestrojme páry nekolineárních bodů X, Y, Z X, Y, Z. Volíme libovolně osovou souměrnost O 1 (m) takovou, že m XX, potom sestrojíme druhou osovou souměrnost O 2 (n) takovou, že n m : O 1 : X, Y, Z X 1, Y 1, Z 1 O 2 : X 1, Y 1, Z 1 X, Y, Z

40 Klasifikace shodností - posunutí (translace)

41 Klasifikace shodností - posunutí (translace) Volíme O 1 (m), osa m je kolmá k XX.

42 Klasifikace shodností - posunutí (translace) O 2 (n) takové, že osa n je osou X 1 X.

43 Klasifikace shodností - posunutí (translace) Věta (Grupa translací) Posunutí s identitou tvoří grupu vzhledem ke skládání zobrazení. Důkaz Uzavřenost. T ( X X ) T ( XX ) T ( XX ). T.j. skládaním posunutí dostaneme posunutí. Asociativita. Neutrální prvek je identita. Inverzní prvek je opačné posunutí T ( XX ) 1 = T ( X X).

44 Klasifikace shodností - otočení (rotace) Definice (Otočení, rotace) Otočení, rotace je shodné zobrazení v rovině R(S, ϕ), které každému bodu X přiřazuje bod X tak, že XS = X S a X SX = ϕ je daný orientovaný úhel. Bod S je samodružný bod zobrazení. Samodružné body: pro R Id je S jediný samodružný bod. Samodružné přímky: pro ϕ kπ, k Z neexistují samodružné přímky. Samodružné směry: pro ϕ kπ, k Z neexistují samodružné směry.

45 Klasifikace shodností - otočení (rotace) Definice (Středová souměrnost) Středová souměrnost S(S) je rotace se středem S a úhlem ϕ = 2kπ + π, k Z. Samodružné body: S je jediný samodružný bod. Samodružné přímky: přímky procházející středem. Samodružné směry: směry.

46 Klasifikace shodností - otočení (rotace) Věta Každé otočení lze rozložit na 2 osové souměrnosti, jejíchž osy svírají úhel, kterého velikost je polovina velikosti úhlu otočení. Důkaz (konstrukcí) Necht je otočení dáno párem odpovídajících si bodů X X a středem S a sestrojme páry nekolineárních bodů X, Y, Z X, Y, Z. Volíme libovolně osovou souměrnost O 1 (m) takovou, že S m, potom sestrojíme druhou osovou souměrnost O 2 (n) takovou, že S n : O 1 : X, Y, Z X 1, Y 1, Z 1 O 2 : X 1, Y 1, Z 1 X, Y, Z

47 Klasifikace shodností - otočení (rotace)

48 Klasifikace shodností - otočení (rotace) O 1 (m) takové, že S m. XS, m = X 1 S, m = µ

49 Klasifikace shodností - otočení (rotace) O 2 (n) takové, že S n a n je osa X 1 X. X 1 S, n = X S, n = ν XSX = 2µ + 2ν, m, n = µ + ν

50 Klasifikace shodností - otočení (rotace) Věta Otočení se stejným středem a identita tvoří grupu vzhledem ke skládání zobrazení. Důkaz Uzavřenost. R(S, ψ) R(S, ϕ) R(S, ϕ + psi)). T.j. skládaním otočení dostaneme otočení. Asociativita. Neutrální prvek je identita. Inverzní prvek je otočení o opačný úhel R(S, ϕ) 1 = R(S, ϕ).

51 Klasifikace shodností - otočení (rotace) Věta Složením dvou otočení je otočení, nebo posunutí. Důkaz R 1 (S 1, ϕ); R 2 (S 2, ψ). Je-li S 1 = S 2 pak tvrzení platí z předešlé věty. Je-li S 1 S 2, rozložíme otočení na osové souměrnosti R 2 (S 2, ψ) R 1 (S 1, ϕ) = (O 22 (n 2 ) O 21 (m 2 )) (O 12 (n 1 ) O 11 (m 1 )). Pro R 1 volíme m 1 libovolně, S 1 m 1, n 2 je tedy jednoznačně určeno. Pro R 2 volíme m 2 = n 1 a n 2 je jednoznačně určeno. Osová souměrnost je involuce a tedy: O 22 (n 2 ) (O 21 (n 1 ) O 12 (n 1 )) O 11 (m 1 ) = O 22 (n 2 ) O 11 (m 1 ). Z vět o rozkladu posunutí a otočení na osové souměrnosti: Ak m 1 n 2 pak jde o posunutí. Ak m 1 n 2 pak jde o otočení se středem S 3 m 1 n 2 o úhel ϕ + ψ.

52 Klasifikace shodností - otočení (rotace)

53 Klasifikace shodností - posunutá osová souměrnost Definice (Posunutá osová souměrnost) Posunutá osová souměrnost je shodné zobrazení v rovině P složené z osové souměrnosti a posunutí ve směru její osy. Samodružné body: neexistují žádne samodružné body. Samodružné přímky: osa o (pozor! není přímka samodružných bodů). Samodružné směry: směry a s osou..

54 Klasifikace shodností - shrnutí Existují následující typy shodností: přímé: I identita T posunutí (translace) R otočení (rotace) + spec. případ středová souměrnost nepřímé: O osová souměrnost P posunutá osová souměrnost Věta Každou přímou shodnost lze rozložit na dvě osové souměrnosti. Každou nepřímou shodnost lze rozložit na lichý počet osových souměrností. Důkaz Přímý důsledek předešlých vět a definic.

55 Skládání shodností T I = T T T = T, I T R = R T O = P, O R I = R R R = R, T, I R O = P, O O I = O O O = R, T, I I I = I Věta (Grupa přímých shodností) Všechna přímá shodná zobrazení v rovině tvoří grupu vzhledem ke skládání zobrazení.

56 Skládání shodností a podobností Věta Složením shodnosti a stejnolehlosti je podobnost. Důkaz Shodnost: S : X, Y X, Y : X Y = XY Stejnolehlost: H : X, Y X, Y : X Y = λ X Y H S : X, Y X, Y : X Y = λ XY. Oveřili jsme definici. Věta Libovolnou podobnost lze rozložit na stejnolehlost a shodnost. Důkaz Necht je dána podobnost s koeficientem k, která zobrazí X, Y, Z X, Y, Z. Volíme libovolnou stejnolehlost s koeficientem k, která zobrazí X, Y, Z X 1, Y 1, Z 1. Dourčíme shodnost X 1, Y 1, Z 1 X, Y, Z. (nejvýše 3 os. s.)

57 Mongeova grupa Věta (Mongeova grupa, grupa homotetií) Množina všech stejnolehlostí a posunutí s identitou tvoří grupu vzhledem na skládání zobrazení. Důkaz (viz 05_monge.ggb) Víme: posunutí s identitou tvoří grupu, stejnolehlosti se společným středem tvoří grupu. Necht je dáno H 1 (S 1, λ 1 ), H 2 (S 2, λ 2 ), takové, že S 1 S 2 : Je-li λ 1 λ 2 = 1 A 2 B 2 = λ 1 λ 2 AB = AB a dostáváme shodnost. Ze stejnolehlosti H(A 1, A 1 A ) je AA 1 A 2 S 1 A 1 S 2 A 1 S 1 a S 1 S 2 AA 2. Stejně tak pro všechny páry odpovídajících si bodů a jedná se o posunutí o AA 2.

58 Mongeova grupa Věta (Mongeova grupa, grupa homotetií) Množina všech stejnolehlostí a posunutí s identitou tvoří grupu vzhledem na skládání zobrazení. Důkaz (viz 05_monge.ggb, pokračování) Je-li λ 1 λ 2 1 S 1 S 2 AA 2 a využijeme Menelaovu větu: AS 3 A 2 S 2 A 1 S 1 A 2 S 3 A 1 S 2 AS 1 = 1 AS 3 A 2 S 3 λ 2λ 1 = 1 A 2 S 3 = AS 3 λ 2 λ 1 Stejně pro všechny ostatní body dostávame stejnolehlost H(S 3, λ 1 λ 2 ).