A STEJNOLEHLOST,, EUKLIDOVYE VĚTY 2.

Transkript

1 PODOBNOST A STEJNOLEHLOST,, EUKLIDOVYE VĚTY 2. ČÁST MAT. OT 2. OT. Č.. 15: SHODNÁS HODNÁ ZOBRAZENÍ V ROVINĚ, PODOBNOST A STEJNOLEHLOST,, EUKLIDOVYE VĚTY PODOBNOST KDE LÁTKU NAJDETE Kapitola Základy planimetrie v cca 4. nebo 5. sešitě asi v půlce 2. ročníku. TEORIE Podobné zobrazení nazýváme každé zobrazení v rovině takové, že existuje k R libovolné body A, B dané roviny a jejich obrazy A', B' platí A' B ' =k AB., že pro Věta: Dva geometrické útvary jsou podobné <=> existuje podobné zobrazení, v němž jeden z obou útvarů je obrazem druhého. k je poměr podobnosti. Platí: k>1 => zvětšení VĚTY O PODOBNOSTI TROJÚHELNÍKŮ k<1 => zmenšení k=1 => shodné zobrazení Dva trojúhelníky jsou podobné <=> se shodují 1. ve všech poměrech velikostí sobě odpovídajících stran sss 2. ve dvou úhlech uu 3. v jednom úhlu a v poměru velikosti sobě odpovídajících stran ležících na jeho ramenech sus Rozhodněte, zda jsou podobné trojúhelníky o stranách délek 12cm, 16cm, 19cm a 10cm, 13cm, 15cm =13 16 = ,8 3 0,8125 0,7895 => trojúhelníky nejsou podobné 1/8

2 Úsečku AB rozdělte bodem C tak, aby AC : CB = 5 : 2 a) redukční úhel b) Pozn.: Nejlepší je použít kolmice Vypočítejte délku stran a, b trojúhelníku ABC, je-li a o 4 cm delší než b, výška v a = 6 cm a v b = 9 cm. 2/8

3 STEJNOLEHLOST TEORIE Def.: Je dán bod S a nenulové reálné číslo λ. Stejnolehlost (homotetie) se středem S a koeficientem λ je zobrazení H S ;, které přiřazuje: 1. bodu S bod S' = S 2. každému bodu X S bod X' tak, že platí: i. SX ' = SX ii. pro λ > 0 leží X' na polopřímce SX pro λ < 0 leží X' na polopřímce opačné k polopřímce SX H S ; : X X' U U' Pozn.: Příklad stejnolehlosti: útvary U, U' jsou stejnolehlé a) λ = 1 => jedná se o totožnost b) λ = -1 => jedná se o středovou souměrnost pro { 1 ;1} se nejedná o stejnolehlost a) λ > 1 => obraz je větší než vzor b) λ < 1 => obraz je menší než vzor λ>0 a λ >1 λ<0 a λ <1 3/8

4 Sestrojte obrazy zadaných útvarů v dané stejnolehlosti 1. H S ;2 2. H M ; H M ; 2 3 Bodem M ležícím uvnitř kružnice k veďte tětivu, jejíž délka je bodem M rozdělena v poměru 2:1. Je dán obdélník ABCD (a = 6 cm; b = 4 cm) a uvnitř něj bod L. Sestrojte všechny úsečky, které mají krajní body na stranách obdélníka a jsou bodem L děleny v poměru 2:3. Sestrojte trojúhelník ABC, je-li dáno a) v a = 5 cm; a : b : c = 2 : 3 : 4 b) a : b : c = 2 : 3 : 5; poloměr kružnice vepsané ρ = 5 cm c) a : b : c = 2 : 3 : 4; poloměr kružnice vepsané ρ = 5 cm Užitím stejnolehlosti vepište čtverec do rovnostranného trojúhelníka. 4/8

5 STEJNOLEHLOST KRUŽNIC Věta 1: Obrazem libovolné kružnice k (O; r) je v každé stejnolehlosti H (s; λ) kružnice k'(o'; r'), jejíž střed O' je obrazem středu O kružnice k a pro jejíž poloměr r' platí: r '= r Sestrojte všechny středy stejnolehlostí, v nichž k 1 se zobrazí na k 2. H 1 S 1 ; r 2 r 1, H 2 S 1 ; r 2 r 1 Jsou dány dvě kružnice o různých poloměrech, které nemají žádný společný bod. Sestrojte všechny jejich společné tečny. SPOLEČNÉ TEČNY DVOU KRUŽNIC Možnosti: r 1 r 2 0 společných tečen 1 společná tečna 2 tečny 3 tečny 4 tečny 5/8

6 Věta 2: Jsou-li dány libovolné kružnice k 1 (O 1 ; r 1 ), k 2 (O 2 ; r 2 ) s různými poloměry, existují právě dvě stejnolehlosti zobrazující k 1 na k 2. Středy stejnolehlostí leží na středné obou r 2 kružnic a jejich koeficienty jsou čísla a r 2. r 1 r 1 Věta 3: Mají-li dvě kružnice o různých poloměrech společné tečny, prochází každá z nich vnějším nebo vnitřním středem stejnolehlosti těchto kružnic. Věta 4: Každá přímka, která prochází středem stejnolehlosti svou kružnic a je tečnou jedné této kružnice, je tečnou i kružnice druhé. Jsou dány dvě různoběžky a, b a bod M ležící uvnitř jednoho jejich úhlu (ne na ose úhlu). Sestrojte kružnici procházející bodem M a dotýkající se přímek a, b. Je dána kružnice k 1 se středem o 1 a poloměrem r a mimo ni přímka p. Sestrojte kružnici k, která se dotýká jak přímky p v bodě P, tak kružnice k 1. 6/8

7 EUKLIDOVY VĚTY Platí v pravoúhlém trojúhelníku EUKLIDOVA VĚTA O VÝŠCE (EVV) V každém pravoúhlém trojúhelníku ABC s tradičním značením stran platí: v 2 =c a c b Obsah čtverce nad výškou je roven obdélníku o stranách c a, c b. EUKLIDOVY VĚTY O ODVĚSNĚ (EVO) 1) a 2 =c c a 2) b 2 =c c b Obsah čtverce nad odvěsnou a je roven obsahu obdélníku o stranách c a c a. Sestrojte čtverec, který má stejný obsah jako daný obdélník. Sestrojte čtverec, který má stejný obsah jako obdélník o stranách 3 cm a 5 cm. 7/8

8 Sestrojte úsečky daných délek užitím Euklidových vět. a) l 1 = 12 cm b) l 2 = 18cm c) l 3 =3 3cm Nad úsečkou délky 2r je opsána půlkružnice a sestrojen obdélník, jehož druhý rozměr je r. Jaká část úhlopříčky obdélníku leží vně kružnice? ZDROJE A DOPORUČENÉ ODKAZY stranka=stejnolehlost ni/geometrickazobrazeni.html 8/8