Definujte Gaussovský obor. Vysvětlete, co přesně rozumíme jednoznačností rozkladu.

Transkript

1 1.teorie(1bod) Formulujte princip matematické indukce. Napište základní větu aritmetiky. Napište Bézoutovu rovnost v oboru celých čísel. Definujte,coznamenázápis a b(mod n),auveďtezákladnívlastnosti. Napište Čínskou větu o zbytcích(pro celá čísla). Definujte Eulerovu funkci a uveďte vzorec pro její výpočet. Definujte Eulerovu funkci a napište Eulerovu větu. 2.teorie(1bod) Definujte pojem polynomu(jedné proměnné) nad obecným oborem integrity. Co je to absolutní a vedoucí člen? Definujte kořen daného polynomu a uveďte tuto definici do souvislosti s dělitelností. Definujte kořen daného polynomu a uveďte větu o počtu kořenů daného polynomu. Definujte pojem algebraického a transcendentního čísla. Kterých je více? Definujte pojem algebraického a transcendentního čísla. Uveďte příklady. Napište kritérium existence racionálního kořene pro celočíselné polynomy. Napište větu o interpolaci. Definujte těleso. Definujte obor integrity. 3.teorie(1bod) Definujte v daném oboru integrity následující značení: a b, a b, a je invertibilní. Definujte ireducibilní prvek. Definujte největší společný dělitel a nejmenší společný násobek v oboru R. Definujte největší společný dělitel a nejmenší společný násobek v oboru R. Definujte Gaussovský obor. Vysvětlete, co přesně rozumíme jednoznačností rozkladu. Definujte Gaussovský obor. Vysvětlete, co přesně rozumíme jednoznačností rozkladu. Definujte Eukleidovskou normu a Eukleidovský obor. Formulujte Eukleidův algoritmus v obecném Eukleidovském oboru R. Formulujte Eukleidův algoritmus v oboru celých čísel. Formulujte Eukleidův algoritmus v oboru Gaussových celých čísel. Formulujte Eukleidův algoritmus v oboru polynomů nad tělesem. 4.teorie(1bod) Definujtepodobor.Napište,coznačí Z[ s]. Definujtezobrazení νnaoboru Z[ s]anapištejehozákladnívlastnosti. Uveďte algoritmus dělení se zbytkem v oboru Gaussových celých čísel. Platí pro obor Z[x] analogie Základní věty aritmetiky? Pokud ano, formulujte. Pokud ne, uveďte protipříklad. Platí pro obor Q[x] analogie Základní věty aritmetiky? Pokud ano, formulujte. Pokud ne, uveďte protipříklad. 1

2 2 Platí pro obor Z[i] analogie Základní věty aritmetiky? Pokud ano, formulujte. Pokud ne, uveďte protipříklad. Platí pro obor Z[x] Bézoutova rovnost? Pokud ano, formulujte. Pokud ne, uveďte protipříklad. Platí pro obor Q[x] Bézoutova rovnost? Pokud ano, formulujte. Pokud ne, uveďte protipříklad. Platí pro obor Z[i] Bézoutova rovnost? Pokud ano, formulujte. Pokud ne, uveďte protipříklad. Je obor Q Gaussovský? Je Eukleidovský? Stručně zdůvodněte. Pokud je Eukleidovský, uveďte normu. Je obor Z Gaussovský? Je Eukleidovský? Stručně zdůvodněte. Pokud je Eukleidovský, uveďte normu. Je obor Z[i] Gaussovský? Je Eukleidovský? Stručně zdůvodněte. Pokud je Eukleidovský, uveďte normu. Je obor Z[x] Gaussovský? Je Eukleidovský? Stručně zdůvodněte. Pokud je Eukleidovský, uveďte normu. Je obor Q[x] Gaussovský? Je Eukleidovský? Stručně zdůvodněte. Pokud je Eukleidovský, uveďte normu. Co jsou to Gaussova celá čísla? Tvoří Gaussovský obor? Tvoří Eukleidovský obor? Stručně zdůvodněte. Pokud je to Eukleidovský obor, uveďte normu. 5.teorie(1bod) Uveďte definici abelovské grupy. Uveďte definici grupy. DefinujtepodgrupudanégrupyG=(G,, 1,1). BuďG=(G,, 1,1)grupaaX G.Coznačí X G? BuďG=(G,, 1,1)aH=(H,,,e)grupy.DefinujtehomomorfismusG H. BuďG=(G,, 1,1)aH=(H,,,e)grupyaϕ:G Hhomomorfismus.Cose rozumí jeho jádrem a obrazem? Definujteřádprvku agrupyg=(g,, 1,1). Definujtegrupu Z n.jakémáprvky? ProdanýoborintegrityR,definujtegrupuR. Uveďtenějakýpostupnavýpočetinverzníhoprvkuvgrupě Z n. 6.teorie(1bod) Napište,corozumímerozklademgrupyG=(G,, 1,1)podlepodgrupyH.Co rozumíme rozkladovou třídou a transverzálou? Napište,corozumímerozklademgrupyG=(G,, 1,1)podlepodgrupyHauveďte základní vlastnosti. NapišteLagrangeovuvětu.Copřesněznačí[G:H]? Jakýjevztahřádugrupyařádůjejíchprvků? Jakýjevztahřádugrupyařádůjejíchpodgrup? Definujte relaci tranzitivity a orbitu daného působení grupy G na množině X. NechťgrupaGpůsobínamnožinu X.Definujte X g a G x prodané g Gax X. Cojetopevnýbod?

3 3 NechťgrupaGpůsobínamnožinu Xabuď x X.Napištevztahmezivelikostmi G, G x a[x]. Napište Burnsideovu větu. Definujte cyklickou grupu. Uveďte všechny(až na izomorfismus) cyklické grupy. Kolik má daná cyklická grupa generátorů? 7. příklady(1 bod) Existuje abelovská grupa s neabelovskou podgrupou? Pokud ano, uveďte příklad. Pokud ne, zdůvodněte. Existuje neabelovská grupa s abelovskou vlastní podgrupou? Pokud ano, uveďte příklad. Pokud ne, zdůvodněte. JegrupaS 3 abelovská?stručnězdůvodněte. JegrupaA 4 (=sudépermutace)abelovská?stručnězdůvodněte. JegrupaA 3 (=sudépermutace)abelovská?stručnězdůvodněte. JegrupaD 8 (symetriečtverce)abelovská?stručnězdůvodněte. Jegrupa Z abelovská?stručnězdůvodněte. Je(Z,, 1,1)grupa?Stručnězdůvodněte. Je(Q,, 1,1)grupa?Stručnězdůvodněte. Je({0,1, 1},, 1,1)grupa?Stručnězdůvodněte. Je({1, 1},, 1,1)grupa?Stručnězdůvodněte. Tvoří matice s násobením grupu? Stručně zdůvodněte. Tvoří všechny funkce R R se skládáním grupu? Stručně zdůvodněte. Existuje neabelovská 6-prvková grupa? Pokud ano, uveďte příklad. Pokud ne, zdůvodněte. Existuje neabelovská 7-prvková grupa? Pokud ano, uveďte příklad. Pokud ne, zdůvodněte. Existuje neabelovská 8-prvková grupa? Pokud ano, uveďte příklad. Pokud ne, zdůvodněte. Existuje neabelovská 12-prvková grupa? Pokud ano, uveďte příklad. Pokud ne, zdůvodněte. Existuje neabelovská nekonečná grupa? Pokud ano, uveďte příklad. Pokud ne, zdůvodněte. Existuje cyklická nekonečná grupa? Pokud ano, uveďte příklad. Pokud ne, zdůvodněte. Existuje cyklická osmiprvková grupa? Pokud ano, uveďte příklad. Pokud ne, zdůvodněte. Existuje necyklická osmiprvková grupa? Pokud ano, uveďte příklad. Pokud ne, zdůvodněte. Existuje necyklická 11-prvková grupa? Pokud ano, uveďte příklad. Pokud ne, zdůvodněte. Existuje 100-prvková grupa obsahující prvek řádu 12? Pokud ano, uveďte příklad. Pokud ne, zdůvodněte. Existuje 99-prvková grupa obsahující prvek řádu 8? Pokud ano, uveďte příklad. Pokud ne, zdůvodněte.

4 4 Existuje 99-prvková grupa obsahující prvek řádu 9? Pokud ano, uveďte příklad. Pokud ne, zdůvodněte. Existuje 74-prvková grupa obsahující prvek řádu 10? Pokud ano, uveďte příklad. Pokud ne, zdůvodněte. Existuje 64-prvková grupa, která má 16-prvkovou podgrupu? Pokud ano, uveďte příklad. Pokud ne, zdůvodněte. Existuje 70-prvková grupa, která má 15-prvkovou podgrupu? Pokud ano, uveďte příklad. Pokud ne, zdůvodněte. Existuje 60-prvková grupa, která má 15-prvkovou podgrupu? Pokud ano, uveďte příklad. Pokud ne, zdůvodněte. 8. příklady(1 bod) JegrupaS 3 cyklická?stručnězdůvodněte. JegrupaS 4 cyklická?stručnězdůvodněte. JegrupaA 4 (=sudépermutace)cyklická?stručnězdůvodněte. JegrupaD 8 (=grupavšechsymetriíčtverce)cyklická?stručnězdůvodněte. Je grupa všech otočení krychle cyklická? Stručně zdůvodněte. Je grupa všech otočení čtverce cyklická? Stručně zdůvodněte. Je grupa všech otočení pětiúhelníka cyklická? Stručně zdůvodněte. Je grupa Q cyklická? Stručně zdůvodněte. Jegrupa Q cyklická?stručnězdůvodněte. Je grupa Z cyklická? Stručně zdůvodněte. Jegrupa Z 9 cyklická?stručnězdůvodněte. Jegrupa Z 8cyklická?Stručnězdůvodněte. Jegrupa Z 10cyklická?Stručnězdůvodněte. Jegrupa Z cyklická?stručnězdůvodněte. Jegrupa Z[i] cyklická?stručnězdůvodněte. Je podgrupa 3Z grupy Z cyklická? Stručně zdůvodněte. Rozhodněte, zda iracionální čísla tvoří podgrupu grupy C. Stručně zdůvodněte. Rozhodněte,zdairacionálníčíslatvořípodgrupugrupy C.Stručnězdůvodněte. Rozhodněte, zda celá čísla tvoří podgrupu grupy C. Stručně zdůvodněte. Rozhodněte,zdaceláčíslatvořípodgrupugrupy C.Stručnězdůvodněte. Rozhodněte, zda racionální čísla tvoří podgrupu grupy R. Stručně zdůvodněte. Rozhodněte, zda kladná čísla tvoří podgrupu grupy R. Stručně zdůvodněte. Rozhodněte,zdakladnáčíslatvořípodgrupugrupy R.Stručnězdůvodněte. Rozhodněte, zda sudá tvoří celá čísla podgrupu grupy Q. Stručně zdůvodněte. Rozhodněte,zdasudáčíslatvořípodgrupugrupy Q.Stručnězdůvodněte. Rozhodněte, zda přirozená čísla tvoří podgrupu grupy Q. Stručně zdůvodněte. Rozhodněte,zdapermutacesplňující π 2 = idtvořípodgrupugrupys 3. Rozhodněte,zdalichépermutacetvořípodgrupugrupyS n. Rozhodněte,zdamnožina {1,7}tvořípodgrupugrupy Z 9.Stručnězdůvodněte. Rozhodněte,zdamnožina {1,3}tvořípodgrupugrupy Z 10.Stručnězdůvodněte. Rozhodněte,zdamnožina {1,2,4,5,10}tvořípodgrupugrupy Z 11.Stručnězdůvodněte. Rozhodněte,zdamnožina {1,3,9}tvořípodgrupugrupy Z 13.Stručnězdůvodněte.

5 5 Rozhodněte,zdamnožina {1,4,7}tvořípodgrupugrupy Z 9.Stručnězdůvodněte. Rozhodněte,zdamnožina {1,5}tvořípodgrupugrupy Z 12.Stručnězdůvodněte. Rozhodněte, zda lichá čísla tvoří podgrupu grupy Z. Stručně zdůvodněte. Rozhodněte,zdaotočenítvořípodgrupugrupyD 8 (=grupavšechsymetriíčtverce). Stručně zdůvodněte. Rozhodněte,zdaosovésymetrietvořípodgrupugrupyD 8 (=grupavšechsymetrií čtverce). Stručně zdůvodněte. Rozhodněte,zdaotočenítvořípodgrupugrupyD 10 (=grupavšechsymetriípětiúhelníka). Stručně zdůvodněte. Rozhodněte,zdaosovésymetrietvořípodgrupugrupyD 10 (=grupavšechsymetrií pětiúhelníka). Stručně zdůvodněte. 9. příklady(1 bod) Určeteřádprvku5vgrupě Z 62. Určeteřádprvku2vgrupě Z 63. Určeteřádprvku3vgrupě Z 80. Určeteřádprvku12vgrupě Z 61. Určeteřádprvku44vgrupě Z 46. Určeteřádprvku27vgrupě Z 30. Generujeprvek8grupu Z 50?Generujeprvek8grupu Z 51?Stručnězdůvodněte. Generujeprvek6grupu Z 70?Generujeprvek6grupu Z 72?Stručnězdůvodněte. Generujeprvek2grupu Z 9?Stručnězdůvodněte. Generujeprvek4grupu Z 15?Stručnězdůvodněte. Generujeprvek7grupu Z 50?Stručnězdůvodněte. Kolikpodgrupmágrupa Z 8? Kolikpodgrupmágrupa Z 10? Kolikpodgrupmágrupa Z 12? Kolikpodgrupmágrupa Z 6? KolikpodgrupmágrupaS 3? Kolikprvkůřádu4mágrupaS 4? Kolikprvkůřádu5mágrupaS 4? Kolikprvkůřádu3mágrupaS 5? Kolikprvkůřádu4mágrupa Z 12? Kolikprvkůřádu5mágrupa Z 25? Kolikprvkůřádu9mágrupa Z 18? Kolikprvkůřádu13mágrupa Q? Kolikprvkůřádu2mágrupa Q? Kolikprvkůřádu3mágrupa C? Kolikprvkůřádu3mágrupa Z 9? Kolikprvkůřádu3mágrupa Z 12? Kolikprvkůřádu2mágrupa Z 15? Kolikprvkůřádu3mágrupa Z 14? Kolikprvkůřádunekonečnomágrupa Z? Kolikprvkůřádu2mágrupa Z[i]?

6 6 Kolikprvkůřádu4mágrupaD 8 (=grupavšechsymetriíčtverce)? Kolikprvkůřádu3mágrupaD 8 (=grupavšechsymetriíčtverce)? Kolikprvkůřádu2mágrupaD 8 (=grupavšechsymetriíčtverce)? Kolikprvkůřádu5mágrupaD 10 (=grupavšechsymetriípětiúhelníka)? Kolikprvkůřádu4mágrupasudýchpermutacíA 4? Kolikprvkůřádu3mágrupasudýchpermutacíA 4? Kolikprvkůřádu2mágrupaS 4? Kolikprvkůřádu3mágrupaS 4? Kolikprvkůřádu4mágrupaS 4? Kolikprvkůřádu6mágrupaS 5? Kolikprvkůřádu5mágrupaS 5? Rozhodněte,zdagrupaS 6 obsahujeprvekřádua)5,b)8.pokudano,uveďte příklad. Rozhodněte,zdagrupaS 5 obsahujeprvekřádua)5,b)6.pokudano,uveďte příklad. Rozhodněte,zdagrupaS 5 obsahujeprvekřádua)4,b)7.pokudano,uveďte příklad. Rozhodněte,zdagrupaA 4 (=sudépermutace)obsahujeprvekřádua)4,b)5. Pokud ano, uveďte příklad. Rozhodněte,zdagrupaA 5 (=sudépermutace)obsahujeprvekřádua)4,b)5. Pokud ano, uveďte příklad. Určeteřádprvku(125)(36)(47)vgrupěS 7. Určeteřádprvku(3125)(76)(4)vgrupěS 7. Určeteřádprvku(3165)(7428)vgrupěS 8. Určeteřádprvku(1395)(248)(67)vgrupěS 9. Určeteřádprvku(13)(48765)vgrupěS příklady(1 bod) VypišteorbitypůsobenígrupyD 10 všechsymetriípravidelnéhopětiúhelníkana množině jeho vrcholů. VypišteorbitypůsobenígrupyD 10 všechsymetriípravidelnéhopětiúhelníkana množině jeho hran. VypišteorbitypůsobenígrupyS 8 namnožině {1,...,8}. VypišteorbitypůsobenígrupyS 6 namnožině {(i,j):i,j=1,...,6}. NechťgrupaD 10 všechsymetriípravidelnéhopětiúhelníkapůsobínamnožinějeho vrcholů. Kolik pevných bodů má daná osová symetrie? NechťgrupaD 10 všechsymetriípravidelnéhopětiúhelníkapůsobínamnožinějeho hran. Kolik pevných bodů má daná osová symetrie? NechťgrupaD 12 všechsymetriípravidelnéhošestiúhelníkapůsobínamnožinějeho hran. Kolik pevných bodů má středová symetrie? Kolikprvkůmástabilizátorbodu5vpůsobenígrupyS 10 namnožinu {1,...,10}? Kolikprvkůmástabilizátorbodu2vpůsobenígrupyS 6 namnožinu {1,...,6}? KolikprvkůmástabilizátordanéhovrcholuvpůsobenígrupyD 12 všechsymetrií pravidelného šestiúhelníka na množině jeho vrcholů? KolikprvkůmástabilizátordanéhranyvpůsobenígrupyD 12 všechsymetriípravidelného šestiúhelníka na množině jeho hran?

7 7 KolikprvkůmástabilizátordanéhovrcholuvpůsobenígrupyD 10 všechsymetrií pravidelného pětiúhelníka na množině jeho vrcholů? KolikprvkůmástabilizátordanéhranyvpůsobenígrupyD 10 všechsymetriípravidelného pětiúhelníka na množině jeho hran? Uvažujme působení grupy otočení čtverce na množinu všech obarvení šachovnice 3 3 dvěma barvami. Kolik prvků má stabilizátor obarvení, kde jsou všechna políčka bílá? Uvažujme působení grupy otočení čtverce na množinu všech obarvení šachovnice 3 3 dvěma barvami. Kolik prvků má stabilizátor obarvení, kde je prostřední políčko černé a ostatní bílá? Uvažujme působení grupy otočení čtverce na množinu všech obarvení šachovnice 3 3dvěmabarvami.Kolikprvkůmástabilizátorobarvení,kdejejednorohové políčko černé a ostatní bílá? Uvažujme působení grupy otočení čtverce na množinu všech obarvení šachovnice 4 4 dvěma barvami. Kolik prvků má stabilizátor obarvení, kde je jedno políčko černé a ostatní bílá? Uvažujme působení grupy otočení čtverce na množinu všech obarvení šachovnice 4 4 dvěma barvami. Kolik prvků má stabilizátor obarvení, kde jsou rohová políčka černá a ostatní bílá? UvažujmepůsobenígrupyD 8 všechsymetriíčtvercenamnožinuvšechobarvení šachovnice 3 3 dvěma barvami. Kolik prvků má stabilizátor obarvení, kde jsou všechna políčka bílá? UvažujmepůsobenígrupyD 8 všechsymetriíčtvercenamnožinuvšechobarvení šachovnice 3 3 dvěma barvami. Kolik prvků má stabilizátor obarvení, kde je prostřední políčko černé a ostatní bílá? UvažujmepůsobenígrupyD 8 všechsymetriíčtvercenamnožinuvšechobarvení šachovnice 3 3 dvěma barvami. Kolik prvků má stabilizátor obarvení, kde je jedno rohové políčko černé a ostatní bílá? UvažujmepůsobenígrupyD 8 všechsymetriíčtvercenamnožinuvšechobarvení šachovnice 4 4 dvěma barvami. Kolik prvků má stabilizátor obarvení, kde je jedno vnitřní políčko černé a ostatní bílá? UvažujmepůsobenígrupyD 8 všechsymetriíčtvercenamnožinuvšechobarvení šachovnice 4 4 dvěma barvami. Kolik prvků má stabilizátor obarvení, kde jsou rohová políčka černá a ostatní bílá? UvažujmepůsobenígrupyGL n (T)navektorovýprostor T n,kdeakcematice Ana vektoru v je definovaná jako Av. Vypište orbity. Nechť grupa G všech izometrií v rovině(tj. všechna otočení, translace a osové symetrie)působínarovinu X= R 2.Vypišteorbity. Nechť grupa G všech izometrií v rovině(tj. všechna otočení, translace a osové symetrie)působínarovinu X= R 2.Vypišteprvky G x prodanýbod x. Nechť grupa G všech izometrií v rovině(tj. všechna otočení, translace a osové symetrie)působínarovinu X= R 2.Vypišteprvky X g prodanéotočení g. Nechť grupa G všech izometrií v rovině(tj. všechna otočení, translace a osové symetrie)působínarovinu X= R 2.Vypišteprvky X g prodanoutranslaci g. Nechť grupa G všech izometrií v rovině(tj. všechna otočení, translace a osové symetrie)působínarovinu X= R 2.Vypišteprvky X g prodanouosovousymetrii g.

8 8 11. příklady(1 bod) Ječíslo 3 2transcendentní?Stručnězdůvodněte. Ječíslo 3 3transcendentní?Stručnězdůvodněte. Ječíslo1 2transcendentní?Stručnězdůvodněte. Ječíslo2+ 2transcendentní?Stručnězdůvodněte. Je číslo i + 1 transcendentní? Stručně zdůvodněte. Je číslo e + 1 transcendentní? Stručně zdůvodněte. Najdětevšechnyracionálníkořenypolynomu x 3 x 2 3x+2. Najdětevšechnyracionálníkořenypolynomu2x 3 3x+1. Najdětevšechnyracionálníkořenypolynomu2x 3 x 2 +2x 1. Najdětevšechnyracionálníkořenypolynomu2x 4 4x. Najdětevšechnyracionálníkořenypolynomu2x 3 x 2 +4x 2. Jepolynom5ireducibilnía)voboru Z[x],b)voboru Q[x]? Jepolynom6ireducibilnía)voboru Z[x],b)voboru Q[x]? Jepolynom2xireducibilnía)voboru Z[x],b)voboru Q[x]? Jepolynom2x+4ireducibilnívoboru Q[x]? Jepolynom2x 2 + x 1ireducibilnívoboru Z[x]? Jepolynom2x 2 + x 2ireducibilnívoboru Z[x]? Jepolynom4x 2 4x+1ireducibilnívoboru Z[x]? Jepolynom x 4 +2x 2 +1ireducibilnívoboru Q[x]? Jepolynom x 4 +2x 2 +1ireducibilnívoboru Z 3 [x]? Jepolynom x 4 +5x 2 +1ireducibilnívoboru Z 7 [x]? Jepolynom x 3 + x 2 +1ireducibilnívoboru Z 2 [x]? Jepolynom x 2 +1ireducibilnívoboru(Z[i])[x]? Platí6x 2 2x+4 9x 2 +3x 6a)voboru Z[x],b)voboru Q[x]? Platí6x 2 2x+4 9x 2 +3x 5a)voboru Z[x],b)voboru Q[x]? Platí2x 2 +1 x 2 +2a)voboru Q[x],b)voboru Z 3 [x]? Platí2x 2 +1 x 2 +2a)voboru Q[x],b)voboru Z 5 [x]? Platí3x 2 +2x 3x+2a)voboru Z[x],b)voboru Q[x]? Platí x 2 +2x 2x+1a)voboru Z 3 [x],b)voboru Z 5 [x]? Jepolynom2xinvertibilnía)voboru Z[x],b)voboru Q[x]? Jepolynom6invertibilnía)voboru Z[x],b)voboru Q[x]? 12. příklady(1 bod) Jeprvek5+iireducibilnívoboru Z[i]? Jeprvek3+5iireducibilnívoboru Z[i]? Jeprvek7 2iireducibilnívoboru Z[i]? Jeprvek4+5iireducibilnívoboru Z[i]? Je prvek i ireducibilní v oboru Z[i]? Jeprvek i 2ireducibilnívoboru Z[i 2]? Jeprvek5+ 2ireducibilnívoboru Z[ 2]? Jeprvek3+2 2ireducibilnívoboru Z[ 2]? Jeprvek1+3 2ireducibilnívoboru Z[ 2]?

9 9 Jeprvek1+i 2ireducibilnívoboru Z[i 2]? Jeprvek5+iinvertibilnívoboru Z[i]? Jeprvek3 2iinvertibilnívoboru Z[i]? Jeprvek1+ 2invertibilnívoboru Z[ 2]? Jeprvek1+i 2invertibilnívoboru Z[i 2]? Platí2+i 2 ivoboru Z[i]? Platí2+i 1+2ivoboru Z[i]? Platí1+i 1 ivoboru Z[i]? Platí7+3i 5 4ivoboru Z[i]? Platí8+3i 3 8ivoboru Z[i]? Spočtětepodílazbytek4+5i:1+ivoboru Z[i]. Spočtětepodílazbytek5 2i:2+ivoboru Z[i]. Spočtětepodílazbytek2+5i:2 ivoboru Z[i]. Spočtětepodílazbytek3+7i:4voboru Z[i]. Spočtětepodílazbytek15:3+ivoboru Z[i]. 13.úlohy(2body) Spočtěte mod17. Spočtěte mod8. Spočtěte5 444 mod132. Spočtěteposlednídvěcifryčísla Spočtěteposlednídvěcifryčísla Spočtěteposlednídvěcifryčísla Spočtěteposlednítřicifryčísla Spočtěteposlednítřicifryčísla Spočtětepředposlednícifručísla Spočtětepředposlednícifručísla Spočtěteposlednícifručísla Spočtěte10 98 mod6. Spočtěte mod6. Spočtěte9 87 mod7. Spočtěte9 75 mod7. Spočtěte mod6. Spočtěte mod10. Spočtěte mod10. Spočtěte mod12. Spočtěte mod12. Najdětevšechna x Zsplňující2x 2(mod3), x 1(mod4),3x 1(mod5). Najdětevšechna x Zsplňující x 1(mod4), x 2(mod5),2x 3(mod7). Najdětevšechna x Zsplňující x 1(mod2), x 4(mod5), x 6(mod7). Najdětevšechna x Zsplňující x 0(mod4), x 2(mod5), x 3(mod7). Najdětevšechna x Zsplňující x 1(mod5), x 0(mod6), x 4(mod7). Najdětevšechna x Zsplňující x 3(mod4),3x 4(mod11).

10 10 Najdětevšechna x Zsplňující2x 5(mod7),2x 5(mod9). Najdětevšechna x Zsplňující3x 5(mod8), x 5(mod9). Najdětevšechna x Zsplňující2x 6(mod7), x 3(mod9). Najdětevšechna x Zsplňující3x 7(mod10),2x 8(mod11). Najděte0 x 31takové,že28x 5(mod31). Najděte0 x 33takové,že29x 5(mod33). Najděte0 x 35takové,že9x 5(mod35). Najděte0 x 37takové,že4x 5(mod37). Spočtěte hodnotu Eulerovy funkce ϕ(2250). Spočtěte hodnotu Eulerovy funkce ϕ(2310). Spočtěte Bézoutovy koeficienty pro NSD(25,33). Spočtěte Bézoutovy koeficienty pro NSD(21,30). Spočtěte Bézoutovy koeficienty pro NSD(20,32). Spočtěte Bézoutovy koeficienty pro NSD(19,27). Spočtěte11 1 vgrupě Z 24. Spočtěte13 1 vgrupě Z 19. Spočtěte5 1 vgrupě Z 22. Spočtěte7 1 vgrupě Z úlohy(2body) SpočtěteNSD(10,6+8i)voboru Z[i] SpočtěteNSD(5+i,2+3i)voboru Z[i]. SpočtěteNSD(2+4i,3 3i)voboru Z[i]. SpočtěteNSD(3+4i,5)voboru Z[i]. SpočtěteNSD(3 4i,5)voboru Z[i]. SpočtěteNSD(3 11i,1 7i)voboru Z[i]. SpočtěteNSD(3 11i,1+7i)voboru Z[i]. SpočtěteNSD(7+6i,9+2i)voboru Z[i]. Rozložte prvek 10 na součin ireducibilních v oboru Z[i]. Rozložte prvek 15 na součin ireducibilních v oboru Z[i]. Rozložte prvek i na součin ireducibilních v oboru Z[i]. Rozložte prvek i na součin ireducibilních v oboru Z[i]. Rozložte prvek i na součin ireducibilních v oboru Z[i]. Rozložte prvek 6 + 8i na součin ireducibilních v oboru Z[i]. Rozložte prvek 11 7i na součin ireducibilních v oboru Z[i]. Rozložte prvek i na součin ireducibilních v oboru Z[i]. SpočtěteNSD(x 3 4x 2 + x 4,x 3 +4x 2 + x+4)voboru Q[x]. SpočtěteNSD(x 3 + x 2 2x 2,x 4 +2x 2 8)voboru Q[x]. SpočtěteNSD(x 3 +2x 2 +2x+1,x 3 + x 2 2x 2)voboru Q[x]. SpočtěteNSD(x 4 +2x 3 +2x+1,x 4 + x 2 +1)voboru Z 3 [x]. SpočtěteNSD(x 4 +1,x 4 + x 2 +2x)voboru Z 3 [x]. SpočtěteNSD(x 4 +1,x 4 + x 2 +2x)voboru Z 5 [x]. SpočtěteNSD(x 3 +1,x 4 + x 2 +2x)voboru Z 3 [x]. Rozložtepolynom6x 2 12x+6nasoučinireducibilníchvoboru Z[x].

11 11 Rozložtepolynom x 3 4x 2 + x 4nasoučinireducibilníchvoboru Q[x]. Rozložtepolynom x 3 + x 2 2x 2nasoučinireducibilníchvoboru Q[x]. Rozložtepolynom2x 3 +2x 2 4x 4nasoučinireducibilníchvoboru Z[x]. Rozložtepolynom x 4 +2x 2 +1nasoučinireducibilníchvoboru Z[x]. Rozložtepolynom x 4 4nasoučinireducibilníchvoboru Z[x]. Rozložtepolynom x 4 +2nasoučinireducibilníchvoboru Z 3 [x]. Rozložtepolynom x 5 + x 2 + x+1nasoučinireducibilníchvoboru Z 2 [x]. Rozložtepolynom x 4 +3x 2 +2nasoučinireducibilníchvoboru Z 5 [x]. Rozložtepolynom x 5 + x 3 + x 2 +1nasoučinireducibilníchvoboru Z 3 [x]. Rozložtepolynom4x 4 + x 2 +1nasoučinireducibilníchvoboru Z 5 [x]. Rozložtepolynom2x 3 + x 2 +2x+1nasoučinireducibilníchvoboru Z[x]. Rozložtepolynom2x 3 + x 2 2x 1nasoučinireducibilníchvoboru Z[x]. 15.úlohy(2body) Spočtětepodgrupugenerovanouprvkem2vgrupě Q.Je1433/16prvkemtéto grupy? Spočtětepodgrupugenerovanouprvky 1 2,2 3vgrupě Q.Je137/4prvkemtétogrupy? Spočtětepodgrupugenerovanouprvky 1 2,2 3 vgrupě Q.Je64/9prvkemtétogrupy? Spočtětepodgrupugenerovanouprvky3, 3 4 vgrupě Q.Je64/9prvkemtétogrupy? Spočtětepodgrupugenerovanouprvky 3 4,2 5 vgrupě Q.Je127/10prvkemtéto grupy? Spočtěte podgrupu generovanou prvky 21, 30 v grupě Z. Je 137 prvkem této grupy? Spočtěte podgrupu generovanou prvky 12, 23 v grupě Z. Je 4567 prvkem této grupy? Spočtěte podgrupu generovanou prvky 9, 15 v grupě Z. Je 4567 prvkem této grupy? Vypišteprvkypodgrupygenerovanéprvky9,15vgrupě Z 45. Vypišteprvkypodgrupygenerovanéprvky9,15vgrupě Z 35. Vypišteprvkypodgrupygenerovanéprvkem16vgrupě Z 21. Vypišteprvkypodgrupygenerovanéprvkem2vgrupě Z 21. Vypišteprvkypodgrupygenerovanéprvky2,11vgrupě Z 21. Vypišteprvkypodgrupygenerovanéprvkem7vgrupě Z 25. Vypišteprvkypodgrupygenerovanépermutacemi(12)(34),(13)(24)vgrupěS 4. Vypišteprvkypodgrupygenerovanépermutacemi(12)(34),(12)vgrupěS 4. Vypišteprvkypodgrupygenerovanépermutací(123)(45)vgrupěS 5. Vypišteprvkypodgrupygenerovanépermutací(1254)vgrupěS 5. Rozhodněte,zdapermutacesplňující π 3 = idtvořípodgrupugrupys 4. Rozhodněte,zdapermutacesplňující π 3 = idtvořípodgrupugrupys 3. Rozhodněte,zdapermutacesplňující π 4 = idtvořípodgrupugrupys 4. Rozhodněte,zda {(12)(34),(13)(24),(14)(23),id}tvořípodgrupugrupyS 4. Jezobrazení C R, z z,homomorfismustěchtogrup?pokudano,cojejeho Jezobrazení C R, z z,homomorfismustěchtogrup?pokudano,cojejeho

12 12 Jezobrazení R R, x e x,homomorfismustěchtogrup?pokudano,cojejeho Jezobrazení R R, x e x,homomorfismustěchtogrup?pokudano,cojejeho Jezobrazení R R, x e x,homomorfismustěchtogrup?pokudano,cojejeho Jezobrazení R R, x e x,homomorfismustěchtogrup?pokudano,cojejeho Jezobrazení Z C, x i x,homomorfismustěchtogrup?pokudano,cojejeho Jezobrazení Z 5 C, x i x,homomorfismustěchtogrup?pokudano,cojejeho Jezobrazení Z 4 C, x i x,homomorfismustěchtogrup?pokudano,cojejeho Jezobrazení Z Z, x 5x,homomorfismustěchtogrup?Pokudano,cojejeho Jezobrazení Z Z, x x 5,homomorfismustěchtogrup?Pokudano,cojejeho Jezobrazení Z S 4, x (1234) x,homomorfismustěchtogrup?pokudano,co je jeho Jezobrazení Z S 4, x (12)(34) x,homomorfismustěchtogrup?pokudano,co je jeho Jezobrazení Z R, x 3 x,homomorfismustěchtogrup?pokudano,cojejeho Jezobrazení Z 3 R, x 3 x,homomorfismustěchtogrup?pokudano,cojejeho Jezobrazení Z R, x 3 x,homomorfismustěchtogrup?pokudano,cojejeho JezobrazeníS 4 Z, x ord(x),homomorfismustěchtogrup?pokudano,coje jeho Jezobrazení Z 10 Z, x ord(x),homomorfismustěchtogrup?pokudano,coje jeho Jezobrazení Z Q, x 2 x,homomorfismustěchtogrup?pokudano,cojejeho Jezobrazení Z 2 Q, x 2 x,homomorfismustěchtogrup?pokudano,cojejeho Jezobrazení C R, x(cos φ+isin φ) φ,homomorfismustěchtogrup?pokud ano,cojejeho Jezobrazení R C, x cos x+isin x,homomorfismustěchtogrup?pokudano, cojejeho Jezobrazení Z 7 Z 10, x x,homomorfismustěchtogrup?pokudano,cojejeho Jezobrazení Z 5 Z 10, x 2x,homomorfismustěchtogrup?Pokudano,coje jeho Jezobrazení Z 10 Z 5, x xmod5,homomorfismustěchtogrup?pokudano,co je jeho

13 16.úlohy(2body) Spočtěte kolika způsoby lze obarvit políčka průhledné desky 3 3 tak, aby 7 políček bylo červených a 2 modré. Dvě obarvení považujeme za totožná, pokud lze jedno z druhého dostat otočením a převrácením desky. Spočtěte kolika způsoby lze obarvit políčka průhledné desky 3 3 tak, aby 5 políček bylo červených a 4 modré. Dvě obarvení považujeme za totožná, pokud lze jedno z druhého dostat otočením a převrácením desky. Spočtěte kolika způsoby lze obarvit políčka průhledné desky 3 3 tak, aby 3 políčka bylyčervené,2modré,2žlutéa2zelené.dvěobarvenípovažujemezatotožná, pokud lze jedno z druhého dostat otočením a převrácením desky. Spočtěte kolika způsoby lze obarvit políčka průhledné desky 4 4 tak, aby 13 políček bylo červených a 3 modré. Dvě obarvení považujeme za totožná, pokud lze jedno z druhého dostat otočením a převrácením desky. Spočtěte kolika způsoby lze obarvit políčka průhledné desky 4 4 tak, aby 8 políček bylo červených a 8 modrých. Dvě obarvení považujeme za totožná, pokud lze jedno z druhého dostat otočením a převrácením desky. Spočtěte kolika způsoby lze obarvit políčka průhledné desky 4 4 dvěma barvami. Dvě obarvení považujeme za totožná, pokud lze jedno z druhého dostat otočením a převrácením desky. Spočtětekolikazpůsobylzeobarvitpolíčkadesky3 3tak,aby7políčekbylo červených a 2 modré. Dvě obarvení považujeme za totožná, pokud lze jedno z druhého dostat otočením desky. Spočtětekolikazpůsobylzeobarvitpolíčkadesky3 3tak,aby5políčekbylo červených a 4 modré. Dvě obarvení považujeme za totožná, pokud lze jedno z druhého dostat otočením desky. Spočtětekolikazpůsobylzeobarvitpolíčkadesky3 3tak,aby3políčkabyly červené, 2 modré, 2 žluté a 2 zelené. Dvě obarvení považujeme za totožná, pokud lze jedno z druhého dostat otočením desky. Spočtětekolikazpůsobylzeobarvitpolíčkadesky4 4tak,aby8políčekbylo červených a 8 modrých. Dvě obarvení považujeme za totožná, pokud lze jedno z druhého dostat otočením desky. Spočtěte kolika způsoby lze na políčka průhledné desky 3 3 nakreslit šipku směřující k jednomu z vrcholů daného políčka. Dvě nakreslení považujeme za totožná, pokud lze jedno z druhého dostat otočením a převrácením desky. Spočtětekolikazpůsobylzenapolíčkadesky3 3nakreslitšipkusměřujícík jednomu z vrcholů daného políčka. Dvě nakreslení považujeme za totožná, pokud lze jedno z druhého dostat otočením desky. Spočtěte kolika způsoby lze na políčka průhledné desky 3 3 nakreslit šipku směřující k středu jedné z hran daného políčka. Dvě nakreslení považujeme za totožná, pokud lze jedno z druhého dostat otočením a převrácením desky. Spočtětekolikazpůsobylzenapolíčkadesky3 3nakreslitšipkusměřujícíkk středu jedné z hran daného políčka. Dvě nakreslení považujeme za totožná, pokud lze jedno z druhého dostat otočením desky. Kolika způsoby lze z šesti bílých a šesti modrých trojúhelníkových destiček sestavit pravidelnou šesticípou hvězdu? Dvě sestavy považujeme za totožné, pokud se liší otočením a převrácením. Kolika způsoby lze z osmi bílých a čtyř modrých trojúhelníkových destiček sestavit pravidelnou šesticípou hvězdu? Dvě sestavy považujeme za totožné, pokud se liší otočením a převrácením. 13

14 14 Kolik náhrdelníků lze sestavit z 5 modrých a 3 červených kuliček? Nezáleží na poloze náhrdelníku, je možno jej převracet či otáčet. Kolik náhrdelníků lze sestavit z 3 modrých, 3 červených a 3 žlutých kuliček? Nezáleží na poloze náhrdelníku, je možno jej převracet či otáčet. Kolik náhrdelníků lze sestavit z 4 modrých, 3 červených a 3 žlutých kuliček? Nezáleží na poloze náhrdelníku, je možno jej převracet či otáčet. Kolik náhrdelníků lze sestavit z 2 modrých a 7 červených kuliček? Nezáleží na poloze náhrdelníku, je možno jej převracet či otáčet. Kolik náhrdelníků lze sestavit z 7 modrých a 3 červených kuliček? Nezáleží na poloze náhrdelníku, je možno jej převracet či otáčet. Kolik náhrdelníků délky 9 lze sestavit kuliček dvou barev? Nezáleží na poloze náhrdelníku, je možno jej převracet či otáčet. Kolik náhrdelníků délky 8 lze sestavit kuliček dvou barev? Nezáleží na poloze náhrdelníku, je možno jej převracet či otáčet. Kolik náhrdelníků délky 5 lze sestavit kuliček tří barev? Nezáleží na poloze náhrdelníku, je možno jej převracet či otáčet. Stavebnice obsahuje 5 červených a 4 zelené trojúhelníkové destičky. Kolika způsoby je lze sestavit do velkého trojúhelníka o hraně 3? Dvě sestavy považujeme za totožné, pokud jednu z druhé dostaneme otočením. Stavebnice obsahuje 4 červené a 3 zelené a 2 modré trojúhelníkové destičky. Kolika způsoby je lze sestavit do velkého trojúhelníka o hraně 3? Dvě sestavy považujeme za totožné, pokud jednu z druhé dostaneme otočením. Stavebnice obsahuje 5 červených a 4 zelené trojúhelníkové destičky. Kolika způsoby je lze sestavit do velkého trojúhelníka o hraně 3? Dvě sestavy považujeme za totožné, pokud jednu z druhé dostaneme otočením nebo převrácením. Stavebnice obsahuje 4 červené a 3 zelené a 2 modré trojúhelníkové destičky. Kolika způsoby je lze sestavit do velkého trojúhelníka o hraně 3? Dvě sestavy považujeme za totožné, pokud jednu z druhé dostaneme otočením nebo převrácením. Stavebnice obsahuje 3 červené a 3 zelené a 3 modré trojúhelníkové destičky. Kolika způsoby je lze sestavit do velkého trojúhelníka o hraně 3? Dvě sestavy považujeme za totožné, pokud jednu z druhé dostaneme otočením nebo převrácením. Stavebnice obsahuje 9 trojúhelníkových destiček, na kterých je nakreslena šipka směrem k jednomu z vrcholů. Kolika způsoby je lze sestavit do velkého trojúhelníka o hraně 3? Dvě sestavy považujeme za totožné, pokud jednu z druhé dostaneme otočením. Stavebnice obsahuje 9 trojúhelníkových destiček, na kterých je nakreslena šipka směrem k jednomu z vrcholů(na obou stranách k stejnému). Kolika způsoby je lze sestavit do velkého trojúhelníka o hraně 3? Dvě sestavy považujeme za totožné, pokud jednu z druhé dostaneme otočením nebo převrácením. 17. lehký důkaz(10 bodů) Formulujte a dokažte základní větu aritmetiky. Předpokládejte platnost Bézoutovy rovnosti. Formulujte Eukleidův algoritmus v oboru celých čísel, dokažte jeho správnost a odvoďte Bézoutovu rovnost. Formulujte a dokažte Čínskou větu o zbytcích(pro celá čísla). Formulujte a dokažte Eulerovu větu, včetně pomocného lemmatu. Formulujte a dokažte vzorec na výpočet Eulerovy funkce.

15 15 Formulujte a dokažte větu o počtu kořenů daného polynomu, včetně pomocného tvrzení. Odvoďte Tartagliův vzorec na výpočet kořenů polynomu stupně 3. Odvoďte Ferrariho vzorec na výpočet kořenů polynomu stupně 4. Formulujte a dokažte větu o interpolaci. Formulujte Eukleidův algoritmus v oboru polynomů nad tělesem, dokažte jeho správnost a odvoďte Bézoutovu rovnost. 18.těžkýdůkaz(6bodů) Dokažte, že existuje transcendentní číslo. Dokažte, že v oboru polynomů jedné proměnné nad tělesem existují jednoznačně určené rozklady na ireducibilní prvky. Dokažte, že v Gaussovských oborech existují NSD všech dvojic prvků(včetně pomocných tvrzení). Dokažte, že z existence NSD a neexistence nekonečných posloupností vlastních dělitelů plyne Gaussovskost. Dokažte, že Eukleidovské obory jsou Gaussovské(včetně pomocných tvrzení, Eukleidův algoritmus považujte za známý). Dokažte, že Gaussova celá čísla tvoří Eukleidovský obor. Dokažte,ževgrupáchplatí(ab) 1 = b 1 a 1 a(a 1 ) 1 = a. Dokažte Lagrangeovu větu, včetně pomocných lemmat. DokažteBurnsideovuvětu.Lemmaovztahumezivelikostmi G, G x a[x]považujte za známé. Dokažtelemmaovztahumezivelikostmi G, G x a[x].lagrangeovuvětupouze zformulujte. Dokažte,žejádroaobrazhomomorfismujsoupodgrupyajaksezjádrapozná prostý homomorfismus. Dokažte klasifikaci cyklických grup. Dokažte, že podgrupy cyklických grup jsou cyklické. Dokažte větu o počtu generátorů cyklických grup. Dokažte,že d n ϕ(d)=n. Dokažte větu o cykličnosti multiplikativních grup těles.