Časopis pro pěstování matematiky

Transkript

1 Časopis pro pěstování matmatiky Miroslav Brdička Užití tnsorové symboliky v lasticitě Časopis pro pěstování matmatiky, Vol. 77 (1952), No. 3, Prsistnt URL: Trms of us: Institut of Mathmatics AS CR, 1952 Institut of Mathmatics of th Acadmy of Scincs of th Czch Rpublic provids accss to digitizd documnts strictly for prsonal us. Each copy of any part of this documnt must contain ths Trms of us. This papr has bn digitizd, optimizd for lctronic dlivry and stampd with digital signatur within th projct DML-CZ: Th Czch Digital Mathmatics Library

2 Časopis pro pěstování matmatiky, roč. 77 (1952) REFERÁTY O PŘEDNÁŠKÁCH V MATEMATICKÉ OBCI PRAŽSKÉ A V BRNĚ UŽITÍ TENSOROVÉ SYMBOLIKY V ELASTICITĚ (Rfrát o přdnášc M. Brdičky, přdnsné dn 23. ldna 1952.) V přdnášc autor ukázal na přdnosti a užití tnsorového poctu v klasické lasticitě, hlavně pokud jd o obcné úvahy. Tnsorový počt nní totiž jn těsnopism" matmatických postupů, al umožňuj i hlubší proniknutí k fysikální podstatě thori. Pro zjdnodušní úvah byly v této přdnášc uvažovány pouz kartézské tnsory, pro něž, jak j známo, odpadá rozdíl mzi složkami kontra variantními a kovariatními. Tnsory, jjichž složky s nzmění při libovolném otoění os souřadné soustavy nazývám isotropními. Tak Kronckrův symbol d is j (jdničkový) isotropní tnsor druhého řádu a Lvi-Civitův tnsor iik, antisymtrický v všch třch indxch, j (jdničkový) isotropní tnsor třtího řádu. Lz ukázati, ž obcný isotropní tnsor Čtvrtého řádu rj iikl lz vyjádřiti jako linární kombinaci výrazů á ti ó fcř, d ik 6 n d i si d ik v tvaru Vuki = MiAi + M^iA* + <5 t A*) + v(d ik d i d i d ik ). (1) Složky vktoru lastického posunutí označm pl { \ pak složky symtrického tnsoru dformac if jsou dfinovány vztahm u = JKi + v>i,i)l (2) kd čárkou j vyznačna parciální drivac podl souřadnic, na př. VIL u ifi == ^ -. Označím-li složky tnsoru napětí r ii {= r iť ), j vztah mzi cx i napětím a dformací dán zobcněným Hookovým zákonm r ii = C iik i kl ; (3) kd zavádím sumační pravidlo, ž s sčítá od 1 do 3 přs každý indx, ktrý s vyskytuj v jdnom článku dvakrát. Elastické koficinty C iikl v vzorci (3) jsou matriálové konstanty; ovšm jsou to konstanty jn pokud mám na mysli tělsa homognní. 311

3 Nyní nás zajímá tnsorový charaktr vličin dm- J-li orthogonální transformac souřadnic dána vztahm x i a ik X k> snadno dokážm, ž C im s transformují podl zákona ^ijkl == a im a jn a kr a ls ^mnrs-> t. j. jako složky tnsoru čtvrtého řádu. Z rovnic (3) j zřjmé, ž tnto tnsor j symtrický v indxch i a /, k a l a z nrgtických úvah plyn, ž j i symtrický v dvojicích indxů i, j a k, l. Obcně má tdy tnto tnsor 21 nzávislých složk; stjný počt nzávislých složk má i symtrický tnsor druhého řádu v šstirozměrném prostoru a tak lží na snadě možnost zobrazní tnsoru čtvrtého řádu v trojrozměrném prostoru C im jako symtrický tnsor druhého řádu v prostoru šstirozměrném ([1] str. 37). Tímto zobrazním (podobně jako v označní Voigtově pomocí jn dvou indxů) j ovšm jho přirozný tnsorový charaktr střn. Půjd-li o tělso isotropní, musí být zřjmě tnsor C im isotropní, * j- C im = rj ijkli kd 7j ijkt j dáno rovnicí (1). Dosadím-li do pravé strany rovnic (3) za rj im z (1), dostávám ta = AiS^ + 2/i ii9 ů = mm ; (4) to j znění Hookova zákona pro isotropní tělso, vyjádřné pomocí Laméových konstant A a //. Nuvážujm-li objmové síly, můžm psát podmínky rovnováhy v tnsorové symbolic takto: r iu = ( 5 ) a při úvahách o lastické rovnováz jd v podstatě o řšní těchto rovnic s příslušnými krajovými podmínkami. Jsou-li krajové podmínky dány v lastických posunutích ju i, vyjadřujm zpravidla v těchto posunutích pomocí Hookova zákona (4) i složky napětí r ij9 t. j. vycházím z rovnic IkAfki +(X + /i) Ů 9Í = 0, (6) kd A j Laplacův symbol v kartézských souřadnicích. Jsou-li krajové podmínky dány v napětích r ijy snažím s pochopitlně rovnici (5) intgrovati přímo. Funkc r^ njsou však navzájm nzávislé, nboť prostřdnictvím Hookova zákona (4) jsou spojny s funkcmi t y, mají-li pak tato {j vyjadřovati dformaci, t. j. mají-li mít tvar (2), musí být splněno šst rovnic kompatibility dformací (rovnic Saint-Vnantovy), ktré lz tnsorově psáti takto: 312 ikm iln khmn = 0. (7)

4 Z nich můžm po dosazní z (4) a úpravách odvoditi rovnic kompatibility napětí (rovnic Bltramiho) v tvaru l + o- kd 0 = r mm a o* j Poissonova konstanta. Mám tdy nalézti šst íunkcí x ih ktré by splňovaly rovnic (5) a (8), a pochopitlně i dané krajové podmínky. Mám-li intgrovati dvě soustavy rovnic (v našm případě jdna soustava sstává z tří a druhá z šsti rovnic), zpravidla s snažím nalézti takové funkc, pomocí ktrých by jdna soustava byla splněna idnticky, takž pak druhá soustava slouží k urční těchto nových funkcí. V lasticitě při intgraci výš uvdného problému nazývám tyto funkc funkcmi napětí. Položm na př. r ij == ikl 8 jmn ykm,ln> (9) kd funkc napětí y km jsou složkami symtrického tnsoru; rovnic (5) j splněna idnticky a dosazní (9) do rovnic (8) vd po úpravách na rovnici (ktrá ovšm rprsntuj šst rovnic) ikl sjmn I--V&.7I 1 j ~ km &] ^. (10) Rovnic (10) má však stjný vzhld jako rovnic kompatibility dformací (7), z čhož usuzujm, ž výraz v kulaté závorc má charaktr dformac, t. j. můžm jj vyjádřiti pomocí libovolného vktoru v i takto: dy km - YJ^J ^ 0 = = i K* + v k,i)- To j řšní, k ktrému jiným postupm (a nikoliv s použitím tnsorové symboliky) dospěl Krutkov ([2] str ), v jhož právě citované kniz j též toto řšní podrobně diskutováno. V tomto řšní j jako spciální případ zahrnuto řšní Maxwllovo (y 29 = y 3l = y 12 = 0) a řšní Morrovo (y n = y 22 = y 39 = 0). Připomňm závěrm, ž přd podobnou úlohou, jakou byla intgrac rovnic (5) a (8), stojím na př. v thorii lktromagntického pol při intgraci rovnic Maxwllových. V čtyřrozměrném prostoru spcilní thori rlativnosti můžm Maxwllovy rovnic pro vakuum psáti takto (x A = ict, c rychlost světla): Fik,k = 0, (11) iklm Fkl,m = 0, kd F ik jsou složky antisymtrického tnsoru druhého řádu, ktré odpovídají složkám intnsity lktrického a magntického pol, a kd 313

5 iklm j Lvi-Civitův tnsor v čtyřrozměrném prostoru. Každá z tnsorových rovnic (11) přdstavuj soustavu čtyř rovnic; jsou to ovšm parciální difrnciální rovnic prvého řádu, zatím co v (8) mám parciální difrnciální rovnic druhého řádu. Zavdm-li čtyřpotnciál <p ť tak., aby platilo = iklm <P,m> F ik j první rovnic z (11) splněna idnticky, zatím co druhá dává rovnici V TO( Pi D <Pi <Pk,ki = 0, kd j Laplacův symbol v čtyřrozměrném psudouklidovském prostoru. Bz omzní obcnosti vličin F ih lz vždy zvoliti cpi tak, aby platilo <p ktk = 0, takž rovnic pro <pi s zjdnoduší na tvar D <Pi = - Zobcnění uvdných výsldků na obcné orthogonální souřadnic bud podáno na jiném místě. Litratura [1] S. G. Lchnickij, Torija uprugosti anizotropnogo těla, Gostchizdat [2] Ju. A. Krutkov, Tnzor funkcij naprjažnij i obšči ršnija v statiko torii uprugosti, Izdatlstvo AN SSSR, DYNAMICKÉ ÚČINKY NA ŽELEZNIČNÍ MOSTY (Rfrát o přdnášc VI. Kolouska, proslovné 21. května 1952.) V úvodě přdnášky byl podán přhld o výzkumu dynamických účinků v mzinárodních organisacích a u žlzničních správ různých států. Rozsáhlá měřní byla konána v SSSR, Vlké Britanii a USA. Poněvadž poměry na žlznicích těchto zmí jsou odlišné od našich, nbylo možno výsldky prostě přvzíti..zkoumání v ostatních zmích, kd jsou poměry podobné jako u nás, nbylo dosti soustavné, a proto musly ČSD provésti měřní vlastní. Další část přdnášky pojdnávala o povaz dynamických vlivů na žlzniční mosty. Jsou to přdvším rázy, vliv pohybu břmn po mostě a harmonicky proměnné síly, vznikající při rotaci hnacích kol lokomotivy. Podl toho, jak tyto vlivy na mosty působí, můžm mosty rozděliti do tří skupin, na mosty s malým, střdním a vlkým rozpětím. V přdnášc bylo analysováno pouz kmitání mostů vlkého rozpětí a to oclových mostů njobvykljší konstrukc s hlavními nosníky prostými. Při thortickém vyštřování vycházím z pohybových rovnic délkového lmntu nosníku o délc do;, ktré mají při kmitání vlastní tvar 314