3.3. Derivace základních elementárních a elementárních funkcí

Transkript

1 Přdpokládané znalosti V násldujících úvahách budm užívat vztahy známé z střdní školy a vztahy uvdné v přdcházjících kapitolách tohoto ttu Něktré z nich připomnm Eponnciální funkc Výklad Pro odvozní vzorců budm užívat násldující známé vztahy: + ln a 0 = R lim = a = pro R a a (0 ) \{} Dostanm: + h h h ( ) = lim = lim = lim = R h 0 h h 0 h h 0 h ln a ln a ( ) ( ) ( ln a = = = a lna R Logaritmické funkc Výklad Užitím vztahu pro drivaci invrzní funkc pro funkci ln tj = a funkci y y log a tj = a a (0 ) \{} dostanm: ( ln ) = = = pro (0 ) y y ( ) ( log a ) = = = pro (0 ) y y ( a ) a lna lna 60

2 Mocninné funkc Výklad Užijm vztahu r rln = (0 ) r R rln rln r Pak dostanm: ( r ) = ( ) = ( rln ) = r = r r- pro (0 ) r r Jstliž j r N rsp r N rsp r = kd n N pak vzorc ( ) = r platí n pro R rsp R\{0} rsp pro n liché pro R a pro n sudé pro < 0 ) Goniomtrické funkc Výklad Připomnm vztahy: sin + cos = R sin( + ) = sin cos + cos sin cos( + ) = cos cos sin sin sin cos R lim = sin = 0 h h sin sin cosh lim lim h = = lim sin lim = 0 h 0 h h 0 h h 0 h 0 h Nyní odvodím vzorc: R Njprv dokážm ž platí sin( + h) sin sin cos h+ cos sin h sin (sin ) = lim = lim = h 0 h h 0 h cos h sinh = sin lim + cos lim =cos R h 0 h h 0 h cos( + h) cos cos cos h sin sin h cos (cos ) = lim = lim = h 0 h h 0 h cos h sin h = cos lim sin lim = sin R h 0 h h 0 h sin cos cos sin ( sin ) cos + sin (tg ) = = = = cos cos cos cos 6

3 π pro R \ (k+ ) : k Z cos sin sin cos cos sin + cos (cotg ) = = = = sin sin sin sin { π } pro R \ ( k : k Z 5 Cyklomtrické funkc Výklad Užitím vztahu pro drivaci invrzní funkc pro funkc y= arcsin tj = sin y arccos tj = cos y y= arctg tj = tg ya y= arccotg tj = cotg y dostanm: (arcsin ) = = = = (sin y) cos y sin y - (arccos ) = = = = (cos y) sin y cos y - pro ( ) pro ( ) (arctg ) = = = = = pro R (tg y) sin y+ cos y tg y+ + cos y cos y (arccotg ) = = = = = (cotg y) cos y+ sin y cotg y+ + sin y sin y pro R Přhld vzorců () c = 0 c R ( u+ v) = u + v ( cu) = c u () uv uv uv u uv uv = + 5 = 6 ( f ( g ( ))) = f ( g ( )) g ( ) v v 7 ( ( )) f 8 ( ) = 9 ( a ) = a lna f ( ) 0 (ln ) = (log a ) r r = = r ln a (sin ) = cos (cos ) = sin 5 (tg ) = cos 6

4 6 9 (cotg ) = 7 sin (arctg ) = 0 + (arcsin ) = (arccotg ) = + 8 (arccos ) = Poznámka Intrvaly v nichž drivac istují jsou uvdny v přdchozím ttu 6 Elmntární funkc Výklad Užitím uvdných vzorců můžm drivovat lmntární funkc Nsmím zapomnout ž D D y y Řšné úlohy Příklad: Určt drivaci funkc ln( ) Řšní: Určím D = ( ) ( ) Označím y g = Podl vzorc 6 pro drivaci složné funkc dostanm y = g = = g Musím si uvědomit ž funkc funkc y = f( ) = j však D y = ( ) ( ) D y má sic D = R \{ } f Dfiniční obor 6

5 Poznámka Při drivování budm skutčnost ž Dy D y nadál přdpokládat Řšné úlohy Příklad: Drivujt funkci tg(ln ) Řšní: Označm u = v= ln u w= tg v z = w Užitím vzorc 6 dostanm w w tg(ln ) y = ( )(tg v)(ln u)( ) = = cos v u cos (ln ) Poznámka V dalším ttu již nbudm jdnotlivé složky složné funkc označovat Výklad Dfinic Výraz g( ) f ( ) kd f( ) > 0 pro D f dfinujm vztahm g( ) g() ln f() f( ) = Řšné úlohy Příklad: Drivujt funkci cos ( + ) Řšní: Položím cos ln( + ) a budm drivovat jako složnou funkci: cos ln( ) cos + ( sin ln( + ) + cos ) = ( + ) ( cos sin ln( + )) + + 6

6 Výklad Dfinic Nchť n N Dfinujm n-tou drivaci funkc f ( ) v bodě 0 Df D f indukcí kd (0) f ( ) = f( ) 0 0 ( n) ( n ) ( ) = 0 f ( ) = f 0 ( ) Řšné úlohy Příklad: Vypočtět třtí drivaci funkc y= arcsin Řšní: Dostanm y y ( ) ( ) ( ) ( ) = = = = 5 y = ( ) + ( ) ( ) = + 5 ( ) ( ) Poznámka Bz důkazu uvdm násldující vztahy pro n N : n ( n) ( n ) ( ) = n! ( ) = ( n) (sin ) = ( ) sin n ( n) ( n) (cos ) = ( ) cos (n+ ) n+ (sin ) = ( ) cos (n+ ) ( n) (cos ) = ( ) sin ( n) n+ n (ln ) = ( ) ( n )! 65

7 Kontrolní otázky Drivac funkc f ( ) v bodě ( 0 0) lim 0 f ( ) f ( 0 ) f = f = f ( ) ( 0) lim 0 f ( 0 ) 0 Drivac funkc f ( ) v bodě 0 0 j dfinována f ( ) = lim 0 0 gomtricky znamná f ( ) f( 0) 0 směrnici tčny k grafu funkc f ( ) v bodě 0 směrnici sčny k grafu funkc f ( ) v bodě 0 rovnici tčny k grafu funkc f ( ) v bodě 0 Rovnic tčny k grafu funkc f ( ) v bodě 0 j y y 0 = 0 f ( 0) ( ) y y 0 = f ( 0)( 0 ) y f ( )( 0 ) 0 0 Eistuj-li f ( 0) pak funkc f ( ) v bodě 0 j spojitá nmusí být spojitá nní spojitá 5 Nchť istuj drivac složné funkc f ( g ( )) v bodě 0 Pak platí: f ( g ( 0)) = f ( g ( 0)) g ( 0) [ ] f ( g ( 0)) = f ( g ( 0)) g ( 0) [ ] f ( g ( 0)) = f ( g ( 0)) [ ] 6 Nchť f ( ) < 0 pro všchna ( a b ) Pak j funkc f ( ) v ( ab ) rostoucí nklsající klsající 7 Pro drivaci funkc ln platí vzorc 66

8 y = log a = y y = aln 8 Pro drivaci funkc arccos platí vzorc y = y = y = + 9 Pro drivaci funkc y= a rctg platí vzorc y = + y = + y = 0 Funkci f()g() můžm přpsat g ( ) f ( )ln g ( ) f( ) = g ( ) g ( )ln f ( ) f( ) = g ( ) g ( )log f ( ) f( ) = Odpovědi na kontrolní otázky

9 Úlohy k samostatnému řšní J dána funkc y= f( ) Vypočtět f (0) a f ( ) j-li: 8 y = 5 ) 5 f) J dána funkc y= f( ) Vypočtět f ( j-li: a a f ( ) = a + a + a f( ) = t 5t J dána funkc f() t = Vypočtět: t f ( ) f ( ) f () f () ) f (0) f) f ( ) a Vypočtět drivac funkcí: ) ( + ) 5 f) Vypočtět drivac součinu funkcí: ( + ) arctg sin y= cotg ( + ) ) ( ) f) sin t t ( t )cost h) 6 Vypočtět drivac podílu funkcí: + + ) tg h) = i) sin arctg y ln + sin cos f) ln + ln i) t + t sin + cos cos 68

10 7 Vypočtět drivac složných funkcí: ( 5 ) 5 ( ) sin ) cos f) sin sin + cos h) ln( ) i) y= ln sin j) + k) 8 Vypočtět drivac funkcí: ( + ) (+ ) ) 6 t t h) arcsin + + l) sin( ) f) a + b+ c + ( )( + ) i) 5 ( + ) Vypočtět drivac funkcí: sin cos + (+ sin ) ) + tg f) tg cotg + cotg h) cos + i) tg cos sin + 0 Vypočtět drivac funkcí: 5+ ln y= ln sin log + 7 ln( + + ) ) ln Vypočtět drivac funkcí: ( + ) ) y ln ln f) ln cos + h) y ln arccos = h) Vypočtět drivac funkcí: arcsin + = i) y arctg[ ln( a )] = +b cos cos + f) cos ( ) i) cos cos + arctg arccos 5 69

11 arccotg ) arcsin f) + arctg( + ) h) arcsin i) Vypočtět drivac funkcí: arctg + ln + + arctg arccos( ) ln + ) arcsin f) ln tg sin ln h) (tg ) Vypočtět drivac funkcí (užijt dfinic ): y sin = ) ln h) cos arctg + sin a f) arctg ( + ) i) (ln ) 5 Vypočtět drivac vyššího řádu: + y ( ) =? y ( ) =? 5 f( ) = ( ) f () =? f( ) = f (0) =? (5) ) f( ) = f ( ) =? f) f( ) = arctg f () =? () ln y ( ) =? h) cos y ( ) =? 6 Vypočtět druhé drivac funkcí: a ) arcsin h) 7 Vypočtět drivac vyššího řádu: y =? 6( + ) (5) a? ) y= arctg y =? f) y = ( + ) arctg + ln( + + ) f) i) + ln y =? (5) ln? (6)? 8 Dokažt ž funkc sin vyhovuj rovnici y + y + y=0 70

12 9 Dokažt ž funkc + vyhovuj rovnici y y y= 0 0 Dokažt ž funkc y= + sin vyhovuj rovnici y + y= Ktré z násldujících funkcí vyhovují rovnici y y + y= 0 : ) h) y Jaký úhl s osou svírá tčna k parabol Napišt rovnici této tčny = + f) cos ( + ) i) y 5 ( a+ b ) = + vdná jjím bodm [ ] T =? Na křivc ( ) nalznět body v nichž jsou jjí tčny rovnoběžné s osou V ktrých bodch křivky + jsou tčny k této křivc rovnoběžné s přímkou y=? 5 Napišt rovnici tčny k křivc arctg v jjím bodě [ ] 6 Pod jakým úhlm protíná křivka y= log osu? 7 Napišt rovnic tčn k křivc 8 Napišt rovnici tčny k křivc 9 Napišt rovnici tčny a normály k parabol 0 Napišt rovnici normály k křivc? v průsčících křivky s osou + 5 kolmou k přímc 6y+ y + = ay v jjím bodě [ y ] 6 = v jjím bodě [ ]? Napišt rovnici tčny a normály k křivc + v průsčíku této křivky s osou kvadrantu Pod jakými úhly s protínají křivky a y= 5 a y= sin a cos (0 < < π ) + 8 a 0 0 7

13 Výsldky úloh k samostatnému řšní 0-8 nistuj nistuj - 0 nistuj ) nistuj 5 f) nistuj 6a a a ) nistuj f) a 0a + a ( ) ) 6 + f) (sin + cos ) h) (cotg ) arctg ) f) t sin t sin ln i) sin sin arctg + cos arctg ( ) ( + ) t 6t 6 ) ( t ) ( + ) f) cos sin + cos (cos sin ) + sin sin cos h) cos i) (+ ln ) sin + cos 7 0( 5 ) 0 6 ( ) sin ) cos sin f) cos sin h) i) cotg j) + arcsin + k) l) cos( ) (+ ) 8 + ( ) ( + ) ( ) ( + ) + + ) (+ + ) f) a + b a + b + c t t t (6 ) h) 5 5 ( + ) i) 6 (7 0) 6 ( 8) 9 cos cos sin cos + + ( + sin ) sin ) cos + tg f) + h) cos sin sin + ( + ) i) sin cos 0 (5 + )(+ 7 ) 7

14 cotg (log + ) ln + ) ln f) tg h) ( ) arccos i) a ( a + + ln ( a + ln (sin + cos ) cos sin ln cos ( + ) ) ( + ) cos sin f) ln cos arcsin + ln ln h) cos cos i) sin ln 5arccos ) + 8 f) arctg ( + ) h) ( + ) i) ( ) 8 ( ) 5 + ( + )( + ) arctg ) f) cos sin ( ln + ln + ) h) tg (ln + ) + (ln + ) (ln + ) sin sin (cos ln + ) ) a a (ln + ln + ) f) ln ln ln arctg h) ( + ) (ln( + ) + arct i) (ln ) (ln ln(ln ) + ) 5 0 ) 0 6 ( ) f) 6 h) s 6 in ( + ) 6 ( ) ( + ) arctg + + a ( a ) ) ( + ) f) ( ) arcsin + ( ) h) ( + ) i) ( ln + ln+ + ) 7 ( + ) ln 6 5 a ln a ) 6 f) ( + 6) ano n ano ( + ) π ano ) n f) n n h) ano i) ano y 7 α = = + [ 00 ] [ ] [ ] 0

15 [ 0 ] [ ] y+ 6= 0 9 π y 0 0 ( 0) a = a 0 a y ( 0 ) a = 0 y 7+ 79= 0 y+ = 0 y = π Kontrolní tst Funkc 5 f ( ) = Vypočtět f () Funkc f( ) = 7 Vypočtět drivaci funkc 0 Vypočtět f () Vypočtět drivaci součinu funkcí 6 cos 5 Vypočtět drivaci součinu funkcí arcsin + cos tg ln t g 6ln tg+ 6ln cos ( + )sin arcsin + ( + ) cos arcsin + + cos ( + )sin sin 6 Vypočtět drivaci podílu funkcí sin cos cos cos (sin cos ) sin + cos (sin cos ) ln 7 Vypočtět drivaci podílu funkcí + ln (ln + ) ln + ln + ( + ln ) ln + ( + ln ) 7

16 8 Vypočtět drivaci složné funkc sin + ln(sin ) cos cos + ln(cos ) cos + sin cos + cotg sin 9 Vypočtět drivaci složné funkc cos + cos cos cos sinln sin + ln cos 0 Vypočtět drivaci funkc arctg + + sin sin sin + cos + + ( + ) ( + ) + Vypočtět drivaci funkc cos ( sin ) sin (cos ) sin sin (cos ) (cos ln(cos ) ) cos ) Vypočtět drivaci funkc ( ) ( ) (ln( ) ) ( ) ln( ) Vypočtět druhou drivaci funkc 0 0 ln Zjistět v ktrém bodě má funkc 0 5 Napišt rovnici tčny k funkci = ln + y + = 0 = 0 v bodě = y v bodě = y + y+ = 0 6 Napišt rovnici tčny k funkci + tg v bodě = 0 y + = 0 = sin (cos ) ln(cos ) ( ) tčnu rovnoběžnou s osou Výsldky tstu Průvodc studim Pokud jst správně odpověděli njméně v případch pokračujt další kapitolou V opačném případě j třba prostudovat kapitolu až znovu 75