MATEMATIKA II V PŘÍKLADECH

Transkript

1 VYSOKÁ ŠKOLA BÁŇSKÁ TEHNIKÁ UNIVERZITA OSTRAVA FAKULTA STROJNÍ MATEMATIKA II V PŘÍKLADEH VIČENÍ Č. Ing. Ptra Schribrová, Ph.D. Ostrava Ing. Ptra Schribrová, Ph.D. Vsoká škola báňská Tchnická univrzita Ostrava ISBN Tnto studijní matriál vznikl za finanční podpor Evropského sociálního fondu ESF a rozpočtu Čské rpublik v rámci řšní projktu: Z..7/../5.46, MODERNIZAE VÝUKOVÝH MATERIÁLŮ A DIDAKTIKÝH METOD

2 OBSAH VIČENÍ Č..... Příklad... 4 POUŽITÁ LITERATURA... Z..7/../5.46

3 viční č. VIČENÍ Č. STRUČNÝ OBSAH VIČENÍ: Mtoda nurčitých koficintů Lagrangova mtoda variac konstant MOTIVAE: Jlikož s v mnoha tchnických aplikacích stkávám i s nhomognní linární difrnciální rovnicí druhého řádu, naučím s tto rovnic vřšit. Ukážm si dvě mtod pro nalzní řšní - obcnou mtodu a mtodu pro spciální tp rovnic. ÍL: Dokázat vřšit úplnou LDR. řádu. Umět rozpoznat spciální pravou stranu a správně vtvořit tvar partikulárního řšní. Pochopit mtodu variac konstant. Z..7/../5.46

4 viční č. 4. PŘÍKLADY Příklad : Mějm rovnici D. Rozhodnět, zda příslušná D j spciální pravá strana a pokud ano, odhadnět tvar partikulárního řšní. a D cos, b D cos sin, c D sin, d D cos. Řšní: a Spciální pravá strana j v tvaru D [ P cosb Q sin b] a D cos. P, b, a, Q... jdná s o spciální pravou stranu k odhadnutí tvaru partikulárního řšní potřbujm znát kořn charaktristické rovnic r r r, r v pravé straně s vsktuj funkc kosinus vnásobná polnomm kontrolujm, zda j kořnm charaktristické rovnic ± i... nní kořn tvar partikulárního řšní musí odpovídat tvaru pravé stran - polnom stupně tři vnásobný funkcí kosinus i kdž j na pravé straně pouz z goniomtrických funkcí, musím v odhadovaném tvaru použít obě z funkcí - sinus i kosinus s stjným argumntm: ˆ A B D cos E F G H sin b D cos sin... njdná s o spciální pravou stranu, protož funkc sinus a kosinus násobím c D sin P, b, a, Q... jdná s o spciální pravou stranu v pravé straně s vsktuj funkc sinus vnásobná ponnciálou kontrolujm, zda j kořnm charaktristické rovnic ± i... nní kořn tvar partikulárního řšní musí odpovídat tvaru pravé stran - ponnciální funkc s argumntm vnásobný goniomtrickými funkcmi: Z..7/../5.46

5 viční č. 5 ˆ Acos Bsin d D cos... njdná s o spciální pravou stranu, al jdná s součt o dvou výrazů, ktré spciální pravou stranou jsou D D D, kd D... P, b, a, Q... jdná s o spciální pravou stranu D cos... P, b, a, Q... jdná s o spciální pravou stranu tvar partikulárního řšní odhadnm pro každou stranu samostatně, nalznm hldané koficint a pak nalzné řšní sčtm Příklad : D v pravé straně s vsktuj polnom stupně jdna kontrolujm, zda j kořnm charaktristické rovnic... j kořn tvar partikulárního řšní: ˆ A B D cos v pravé straně s vsktuj funkc kosinus vnásobná ponnciálou kontrolujm, zda j kořnm charaktristické rovnic ± i... nní kořn tvar partikulárního řšní: ˆ Acos Bsin partikulární řšní dostanm sčtním partikulárních řšní: ˆ ˆ ˆ Určt řšní rovnic Řšní: 9 8cos za podmínk π π,. vřším zkrácnou LDR: 9 r r ± i řšním jsou komplně sdružné kořn 9, obcné řšní j: cos sin zkontrolujm, zda s njdná o spciální tvar pravé stran D 8cos jdná s o spciální pravou stranu, proto použijm k řšní mtodu nurčitých koficintů, tj. řšní budm hldat v tvaru ˆ Z..7/../5.46

6 viční č. 6 odhadnm tvar partikulárního řšní ± i nní kořnm a určím jho první a druhou drivaci: ˆ Acos Bsin ˆ Asin B cos ˆ Acos Bsin dosadím do původní rovnic 9 8cos a porovnáním koficintů u stjných funkcí nalznm nznámé konstant A, B : Acos Bsin 9 Acos Bsin 8cos cos : A 9 A 8 A sin : B 9 B B partikulární řšní j: ˆ cos obcné řšní: cos sin cos mám okrajovou úlohu, tzn., hldám partikulární řšní úplné LDR sin cos sin do, dosadím počátční podmínk π π, π cosπ sinπ cos π sinπ cosπ sin partikulární řšní: cos cos Příklad : Řšt difrnciální rovnici sin. Řšní: vřším zkrácnou LDR: r r ± i řšním jsou komplně sdružné kořn, obcné řšní j: cos sin Z..7/../5.46

7 viční č. 7 zkontrolujm, zda s njdná o spciální tvar pravé stran D sin njdná s o spciální pravou stranu, al j dána jako součt dvou funkcí, z nichž každá má tvar spciální pravé stran, tj. řšní budm hldat v tvaru ˆ ˆ a D odhadnm tvar partikulárního řšní nní kořnm a určím jho první a druhou drivaci: ˆ A B A B ˆ ˆ A dosadím do původní rovnic a porovnáním koficintů u stjných funkcí nalznm nznámé konstant A, B, : b D sin A A B : A : B : 4 ˆ odhadnm tvar partikulárního řšní ± i j kořn a určím jho první a druhou drivaci: Acos Bsin ˆ Asin B cos ˆ Acos Bsin Asin B cos Asin B cos ˆ Acos Bsin dosadím do původní rovnic sin a porovnáním koficintů u stjných funkcí nalznm nznámé konstant A, B : Acos Bsin Acos Bsin sin Asin B cos Asin B cos Asin B cos sin Z..7/../5.46

8 viční č. 8 sin A A cos : B B ˆ cos obcné řšní: cos sin cos Příklad 4: Řšt difrnciální rovnici. Řšní: najdm řšní příslušné zkrácné rovnic: charaktristická rovnic: r r r, obcné řšní homognní rovnic: D njdná s o spciální pravou stranu, budm řšit variací konstant v řšní homognní rovnic nahradím konstant funkcmi: stačí určit funkc, sstavím a vpočtm wronskián: nalzní : D d ln c Z..7/../5.46

9 viční č. 9 nalzní : D d arctan c obcné řšní získám dosazním, do : c arctan c ln c c ln arctan Příklad 5: Řšt difrnciální rovnici. Řšní: najdm řšní příslušné zkrácné rovnic: charaktristická rovnic: r r r, r obcné řšní homognní rovnic: D njdná s o spciální pravou stranu, budm řšit variací konstant v řšní homognní rovnic nahradím konstant funkcmi: stačí určit funkc, sstavím a vpočtm wronskián: Z..7/../5.46

10 Z..7/../5.46 viční č. nalzní : D c d nalzní : D c d d d d d obcné řšní získám dosazním, do : c c c c Další řšné příklad:

11 viční č. Nřšné příklad: Nalznět řšní rovnic a 4 b cos sin [ sin cos sin ] cos 4 4 [ ] 9 c cos [ sin cos ln cos sin ] cos Další příklad najdt v sbírc úloh v kapitol 8..: Z..7/../5.46

12 Použitá Litratura POUŽITÁ LITERATURA [] VLČEK J., VRBIKÝ J.: Difrnciální rovnic - Matmatika IV. Skriptum VŠB-TU, Ostrava, 997, ISBN [] KALAS J., RÁB M.: Občjné difrnciální rovnic. Masarkova univrzita,. vd, Brno,, ISBN [] VRBENSKÁ H.: Základ matmatik pro bakalář II. Skriptum VŠB-TU, Ostrava, 998, ISBN [4] lktronický učbní tt: Z..7/../5.46