Seznámíte se s pojmem primitivní funkce a neurčitý integrál funkce jedné proměnné.

Transkript

1 INTEGRÁLNÍ POČET FUNKCÍ JEDNÉ PROMĚNNÉ NEURČITÝ INTEGRÁL NEURČITÝ INTEGRÁL Průvodc studim V kapitol Difrnciální počt funkcí jdné proměnné jst s sznámili s drivováním funkcí Jstliž znát drivac lmntárních funkcí a pravidla pro drivování, jst schopni drivovat libovolnou funkci Možná Vás napadn, zda j možno z drivované funkc nějakým způsobm získat původní funkci Opačnou oprací k drivování j intgrac (anglické tty používají trmín antidriva V této kapitol s sznámít s pojmm primitivní funkc Množinu všch primitivních funkcí k dané funkci nazvm nurčitým intgrálm Sznámít s základními mtodami intgrac (substituční mtoda a mtoda pr parts) V závěru s budm věnovat způsobům intgrac něktrých vybraných druhů funkcí Primitivní funkc a nurčitý intgrál Cíl Sznámít s s pojmm primitivní funkc a nurčitý intgrál funkc jdné proměnné Přdpokládané znalosti Přdpokládám, ž umít dobř drivovat funkc jdné proměnné, ž znát tabulku drivací lmntárních funkcí Přdpokládá s i základní znalost pojmu difrnciál funkc Výklad V kapitol Difrnciální počt funkcí jdné proměnné jst s sznámili s drivováním funkcí Pro danou funkci f( ) dovdm nalézt jjí drivaci f ( ) = g( ) Věnujm s nyní opačné úloz Hldám takovou funkci F( ), aby daná funkc f( ) byla jjí drivací, tj aby platilo F ( ) = f ( ) Tato funkc, pokud ovšm istuj, s njn v matmatic hldá vlmi často a jmnuj s primitivní funkc Postup hldání primitivní funkc s nazývá intgrování (opačná oprac k drivování) Příklad Pro funkci drivování f ( ) = f ( ) = 6 = g( ) Opačná úloha intgrování F( ) f( ) = =, protož platí F ( ) = = = f( ) - 9 -

2 Primitivní funkc a nurčitý intgrál Dfinic Říkám, ž funkc F( ) j v intrvalu ( ab, ) primitivní funkcí k funkci f( ), platí-li pro všchna ( ab, ) vztah F ( ) = f ( ) Řšné úlohy Příklad Najdět primitivní funkci k funkci f( ) = v intrvalu (,) Hldám funkci F( ), jjíž drivac s na intrvalu (,) rovná J zřjmé, ž to bud nějaký násobk funkc Po krátkém primntování zjistím, ž j to funkc F( ) =, nboť F ( ) = = = = ( ) s liší konstantou, primitivní k dané funkci Příklad Najdět primitivní funkci k funkci f( ) f Podl věty budou i funkc, ktré = v intrvalu (, ) Jlikož všchny úvahy v řšní příkladu platí pro libovolné rálné (, ), j řšním stjná funkc F( ) = Příklad Najdět primitivní funkci k funkci f ( ) =, n N v intrvalu (, ) n Podobnými úvahami dojdm k tomu, ž primitivní funkc má tvar F( ) n+ =, n + n pro všchna ) (,, protož Příklad 5 Najdět primitivní funkci k funkci n+ n ( n+ ) n F ( ) = = = = f( ) n+ n+ f( ) = v intrvalu (0, ) Vidím, ž vztah uvdný v příkladu nlz použít pro n = Snažím s najít funkci, jjíž drivací j f( ) = = Z přhldu drivací lmntárních funkcí vím, - 0 -

3 ž touto funkcí j funkc F( ) ln, nboť = [ ] Příklad 6 Najdět primitivní funkci k funkci Primitivní funkc a nurčitý intgrál F ( ) = ln = = f( ) pro (0, ) f( ) = v intrvalu (,0) Podobnými úvahami jako v přdcházjící části zjistím, ž primitivní funkcí k funkci f( ) = pro (,0) j funkc F ( ) = ln = ln( ) Funkc F ( ) = ln j primitivní funkcí k funkci Avšak také funkc f( ) = pro (,0) (0, ) F ( ) = ln + 5 bud primitivní funkcí k dané funkci, nboť platí F ( ) = ln 5 + = = f( ), protož drivac konstanty j rovna nul J zřjmé, ž tvrzní platí njn pro konstantu 5, al i pro libovolnou jinou konstantu C Věta J-li F( ) primitivní funkc k funkci f( ) v intrvalu ( ab, ), pak také funkc F( ) + C, kd C j libovolná rálná konstanta, j primitivní funkcí k funkci f( ) v intrvalu ( ab, ) ( ab, ) ( ) ( ) ( ) Důkaz: Jlikož na intrvalu platí [ F + C] = F = f dostanm podl dfinic uvdné tvrzní Poznámka K dané funkci istuj nkončně mnoho primitivních funkcí, ktré s liší konstantou Dfinic Množina všch primitivních funkcí k funkci f( ) na intrvalu ( ab, ) s nazývá nurčitý intgrál této funkc Píšm: f ( d ) = F ( ) + C Poznámka - s nazývá intgrační znak, - f( ) j intgrovaná funkc (intgrand), - d j difrnciál intgrační proměnné, - C j intgrační konstanta - -

4 funkci Základní nurčité intgrály Příklady 5 a 6 bychom mohli v souladu s dfinicí formulovat: Intgrujt f( ) = na daném intrvalu Zápis: d Výsldk, ktrý jsm získali (množina všch primitivních funkcí F ( ) = ln + C ), zapíšm: d = ln + C Tnto vztah platí pro všchna, pro něž jsou příslušné funkc ( a ln ) dfinovany, tj pro všchna 0 V takových případch často vynchávám intrval, v ktrém pracujm Základní nurčité intgrály Oprac intgrování (tj oprac určování primitivní funk a drivování jsou navzájm invrzní Z tabulky drivací lmntárních funkcí hnd dostanm tabulku nurčitých intgrálů (tab ) O správnosti uvdných vztahů s podl dfinic snadno přsvědčím drivováním Tabulka Tabulka základních intgrálů [] 0d = C [] d = + C n+ n [] d = + C n + [] d = ln + C [5] sin d = cos + C [6] cos d = sin + C [7] d = tg + C cos [8] d = cotg + C sin [9] pro > 0, n pro 0 π pro (k + ), k Z pro kπ, k Z d = arcsin + C pro (, ) [0] d = arctg + C + a [] a d = + C ln a pro a > 0, a - -

5 Základní nurčité intgrály [] d = + C [] f ( ) d = ln f ( ) + C f( ) d [] = arctg + C a + a a d [5] = arcsin + C a a pro a > 0 [6] f ( a + b) d = F( a + b) + C pro a 0 a pro ( a,, a > 0 Poznámka Eistují rozsáhlé tabulky, v ktrých lz nalézt množství dalších nurčitých intgrálů K výsldkům můžm dospět použitím pravidl a mtod intgrac, ktré budou uvdny v násldující části Dns však tyto tabulky ztrácjí význam, nboť jsou dostupné matmatické programy, ktré zvládnou intgraci složitých funkcí (např Driv, Mapl, Mathmatic Na Intrntu lz nalézt řadu onlin kalkulátorů (např a další) Po zadání intgrované funkc j nalzna primitivní funkc Nurčité intgrály z dalších funkcí lz získat různými intgračními mtodami Z pravidl pro drivování funkcí ( f ± g) = f ± g, ( cf ) = cf, c = konst a z vlastnosti primitivní funkc okamžitě plyn: Věta Mají-li funkc f( ) a g( ) na intrvalu ( ab, ) primitivní funkc, pak platí: ( f ( ) ± g( )) d= f( d ) ± g( d ) cf ( ) d = c f ( ) d, c = konst f ( d ) = f( ) + C Řšné úlohy (úpravou intgrandu) Příklad Vypočtět intgrál + + d - -

6 Základní nurčité intgrály d = d+ d + d = + + ln C + Příklad Vypočtět intgrál ( ) d ( ) d = ( + ) d = d d + d = + + C = + + C Příklad Vypočtět intgrál tg d sin cos tg d = d = d = d tg C = cos cos cos + Příklad Vypočtět intgrál cotg d ( sin ) cos cotg d = d = d = ln sin C sin sin + (Použili jsm vztah [] z tabulky ) Příklad 5 Vypočtět intgrál + d + + ( + )( + ) d = d = ( + ) d = C Při úpravě čitatl zlomku jsm použili vztah a + b = ( a+ b)( a ab+ b ) Příklad 6 Vypočtět intgrál d

7 Základní nurčité intgrály d d d d = = = (6+ 9 ) 8 (+ ) + 9 (+ ) = d + arcsin = + C Použili jsm vztah [6] z tabulky + Poznámka I když všchny primitivní funkc k funkci f( ) mají až na konstantu stjný tvar, můž s stát, ž při použití různých intgračních mtod dostanm pokaždé trochu jiný výsldk V tomto případě j vždy možno přvést jdn tvar výsldku na druhý Například první mtodou dostanm tg d = + C Jinou mtodou nám vyjd cos cos tg cos d = + tg + C sin cos + sin jsou správné, nboť + tg = + = = cos cos cos Oba výsldky Kontrolní otázky Kolik primitivních funkcí istuj k funkci K ktré funkci j funkc F( ) = (ln ) primitivní? J funkc sin sin primitivní funkc k funkci J funkc + primitivní funkc k funkci arctg?? Uvďt něktré z nich cos? 5 Lz při výpočtu násldujícího intgrálu použít naznačný postup? + ( + ) d = d + d 6 Platí sin d = d sin d? Úlohy k samostatnému řšní d) d b) d ) ( ) d + 8 d f} + d + d

8 ( ) d b) ( + cos sin ) 6 d) sin cos d ) d) 5 d + 9 b) d + + ) d b) ln d) sin + d d cotg d f} d + d f) d arccos ) tg d f) cos + + d b) + d d) + + d Výsldky úloh k samostatnému řšní ) C; b) C; C ) b) f) d) + +C f) arctg C + sin + C; tg cotg + C; d) tg+ C arctg + C ; b) + + Základní nurčité intgrály d sin cos cos d cos d + 7 d d + d + + ( + ) d cotg d cos + ; d) C; + + C ; ln ln cos + C ; ) cotg + C; arctg + C ; arctg + C ; + + arctg + C ; ) arcsin + C ; f) arcsin + C ln ln + C ; 6 + ; ln ( ) b) ln arccos C + + C ; d) cos + + C ; ) ln cos + C ; - 6 -

9 Základní nurčité intgrály ( ) f) ln + +C 5 arcs in + C; d) sin + arctg + C; b) ln0 7 + arctg + C ; ) tg 5+ C + arctg + C ; Kontrolní tst K ktré funkci j funkc + arctg + + ( + ) = + + primitivní? F( ) arctg ln( ) 6 6, b) arctg, arctg +, d) ( + ) ( + ) K ktré funkci j funkc = primitivní? F( ) arcsin, b) +, ( + ), d) K ktré funkci j funkc + F( ) ( ), b) = primitivní? ( + ),, d) ( ) (+ ) Vypočtět nurčitý intgrál + d C + +, b) C, 9 + C, d) C - 7 -

10 Základní nurčité intgrály 5 Vypočtět nurčitý intgrál ( ) d 6 ( ) + ( ) + C, b) ( ) ln + ( ) ln + C, + C, d) + + C ln ln ln ln 6 Vypočtět nurčitý intgrál + + d ln + C, b) 5 C 5 +, 5 ln + C, d) ln 6 + cos 7 Vypočtět nurčitý intgrál d + cos cotg C + +, b) + cotg + C, d) tg 8 Vypočtět nurčitý intgrál cotg d + C + tg + C, + + C cotg + C, b) tg + C, cotg + C, d) 9 Vypočtět nurčitý intgrál 8 d C, b) 8ln + C, d) + C sin C, + C - 8 -

11 0 Vypočtět nurčitý intgrál d 5 + arccos + C, b) arcsin + C, + arcsin + C, d) arccos + C Základní nurčité intgrály Výsldky tstu b); ; b); ; 5 ; 6 ; 7 b); 8 ; 9 d); 0 Průvodc studim Pokud jst správně odpověděli njméně v 8 případch, pokračujt další kapitolou V opačném případě j třba prostudovat kapitoly a znovu Shrnutí lkc V prvých dvou kapitolách jst s sznámili s pojmy primitivní funkc a nurčitý intgrál Oprac intgrování (tj oprac určování primitivní funk a drivování jsou navzájm invrzní Tabulka obsahuj přhld základních intgrálů Doporučujm vytisknout si tuto tabulku, nboť bud využívána v dalších kapitolách při intgraci složitějších funkcí Všchny příklady a cviční v kapitol vyřším tak, ž intgrovanou funkci upravujm, až dostanm základní intgrály uvdné v tabulc - 9 -