Exponenciální funkce a jejich "využití" - A (Tato doplňková pomůcka nemůže v žádném případě nahradit systematickou matematickou přípravu.

Transkript

1 Josf PUNČOCHÁŘ: Epociálí fukc a ich "využití" ld Epociálí fukc a ich "využití" - A (Tato doplňková pomůcka můž v žádém případě ahradit systmatickou matmatickou přípravu. Epociálí fukc dfiováa obcě vztahm X y a ( pro z oboru rálých čísl vždy kladá. Pro a s dá o fukci rostoucí; pro a s dá o fukci klsaící; pro a = y. Pro = platí vždy y = - obr.. a y a Obr.. Kvalitativí zázorěí průběhu pociálí fukc. V lktrotchické torii a prai má zvláští místo pociálí fukc s základm a = =, kd Eulrovo číslo. Potom má fukc zápis bo obcěi y y k p( p( k ( ( kd k můž být libovolé komplí číslo (rálá hodota pak pouz spciálím případm. Něktré hodoty sou uvdy v tabulc. Tabulka. Něktré hodoty fukc ( pro k = p(,98,5,68,78 7,89,9 p(-,9 7,89,78,68,5,98 Rozvo fukc ( v pociálí řadu: Lz odvodit, ž platí m k k ( k ( k ( k......!!! m! (

2 Josf PUNČOCHÁŘ: Epociálí fukc a ich "využití" ld Pro vlmi malé hodoty k často stačí pro popis skutčosti použít pouz prví dva čly řady - viz tabulka : k k (5 Tabulka. Porováí vztahu (5 s přsou hodotou fukc. k,,,,5, -,5 -, -, -, p(k,5,,5,5,,95,95,89,7 + (k,,,,5,,95,9,8,7 Souči pociálích fukcí Z obcé dfiic mociy zřmé, ž... - clkm - krát... - clkm - krát takž ( základ krát ( základ krát ( základ clkm ( krát tdy (6 Přvrácá hodota pociálí fukc (7 Podíl pociálích fukcí (8 Drivac pociálí fukc Drivac fukc y = f ( obcě dfiováa vztahm f ( f ( y dy / d lim Požim tto vztah pro (: k ( k k k k k k ( lim lim vztah(5 lim k k (9 tdy zapsáo "zkrácě" Pro obcý základ platí, ž k k ( k ( ( a a l a.

3 Josf PUNČOCHÁŘ: Epociálí fukc a ich "využití" ld Itgrál pociálí fukc Itgrál ivrzí fukcí k drivaci. Musí platit tdy k k d K k k k k ( k d k d k d, ( Drivum-li obě stray rovic (, opravdu dospěm k rovosti kostata. Obdobým postupm získám vztah a d a K. l a k k (K Eulrův vztah Dosaďm do vztahu (: k = =, = (bo prostě do ( =. Dostam ( ( (!!!! ( ( (...!!!! cos si tdy cos si (...!!... (! (!... postupě s dá o řadu dfiuící cos a si ( Dál cos( si( cos si ( J zřmé, ž modul čísla cos si, zobrazím tdy kružic kolm počátku (komplí roviy - v závislosti a vlikosti úhlu -obr.. Im p( R Obr.. Zázorěí fukc p(. Sado také určím, ž (cos si. Vyádří goiomtrických fukcí z Eulrova vztahu, ich drivac a itgrály Z součtu a rozdílu vztahů ( a ( sado určím, ž

4 Josf PUNČOCHÁŘ: Epociálí fukc a ich "využití" ld cos ( si (5 Drivací vztahů ( a (5 - s využitím vědomostí o drivaci pociálí fukc - sado určím, ž ; (cos si tdy (cos si (6 a (si cos (7 Obdobě bychom určili, ž (cos k k si k (8 (si k k cos k (9 Při itgrováí bychom obdobě pracovali s vztahy (, (5 a (: cosk si k si k d K ( cos k d K ( k k Moivrův vztah Z získaých vztahů můžm sado určit ( (cos si, al současě musí platit, ž ( cos si. Platí proto Moivrův vztah (cos si cos si ( Vyádří komplího čísla v pociálím tvaru Měm komplí číslo Mˆ a b. Z vlastostí pravoúhlého troúhlíka určím, ž modul (přpoa troúhlíka - obr. M a b ; dál musí platit a M cos a také b M si. Potom lz psát ˆ a b M cos M si M (cos si M ( M

5 Josf PUNČOCHÁŘ: Epociálí fukc a ich "využití" ld kd cos a / M ; si b / M ; tg si / cos b / a. 5 Im b M M.p( a R Obr.. Zázorěí fukc komplího čísla. Odmocia komplího čísla Nˆ Měm komplí číslo N, pro ktré platí Mˆ a b M ; M a b ; tg b / a. Hldm číslo Mˆ M Nˆ N tdy - tou odmociou čísla Mˆ. Pracovat budm s rovicí M N Jstliž clou rovici umocím číslm, dostávám tdy i M ( N M N. Tato rovic splěa, stliž platí / M N N M a dál (díky priodicitě goiomtrických fukcí k ( k / přičmž růzé kořy obdržím pro k =,,,...( -, (potom s iž kořy opakuí. Platí proto, ž odmocia dfiováa vztahm / M M p( ( k / ( Příklad. Určt třtí odmociu čísla v oboru komplích čísl. Řší: Číslo zapíšm v podobě.(cos si, tdy =. Třtí odmociě odpovídá =. Potom můžm psát: k (cos k si pro k = ; ;

6 Josf PUNČOCHÁŘ: Epociálí fukc a ich "využití" ld tdy vyhovuí čísla (argumty goiomtrických fukcí sou v stupích; rozpiš ( do složkového tvaru N( k N( k.(cos si ( N( k.(cos si ( Zobrazí těchto čísl a kružici (obr., komplí rovia zřmé. 6 5 Příklad. Mám číslo ˆ M. Určt. odmociu čísla. Řší: Pro = platí (úhly sou v stupích ˆ / M ( p( (5 k / pro k = ; ; ;. Protož ( / 8, 95, můžm určit, ž ˆ N Nˆ ( k,95.p( (5 /,95 (cos,5 si,5,95 (,988,95 N( k,95.p(,5,95 (,95,988 N( k,95.p( 9,5,95 (,988,95 N( k,95.p( 8,5,95 (,95,988 Zobrazí těchto čísl a kružici i zd zřmé. Fukc sih a Hyprbolické fukc sou dfiováy pomocí fukc pociálí ásldově: sih (5 (6 Kvalitativě průběh těchto fukcí zázorě a obr. (viz i hodoty v tabulc. Jstliž zvolím, sado určím, ž sih si (8 cos (9

7 Josf PUNČOCHÁŘ: Epociálí fukc a ich "využití" ld Aplikací dfiičích vztahů sado určím další rlac: ( ( (sih ( ( (sih ( ( sih ( sih ( ( d d sih /( ( d d /( sih (5 Využití pociálí fukc při řší liárích difrciálích rovic bud přdvdo v matriál: Epociálí fukc - ich "využití" při řší difrciálích rovic. Litratura: Kohlma, Č.: Matmatika v sdělovací tchic. SNTL, Praha 96 Rktorys, K.: Co a k čmu vyšší matmatika. ACADEMIA, Praha Kvasica, J.: Matmatický aparát fyziky. ACADEMIA, Praha 997 (. vydáí Dvli, K.: Jazyk matmatiky. Argo a Dokořá, Praha 5 Agot, A.: Užitá matmatika pro lktrotchické ižýry. SNTL, Praha 97 7 Obr.. Kvalitativí zázorěí průběhu hyprbolických fukcí. y sih p p(-