Summer Workshop of Applied Mechanics. Určování modulu pružnosti a Poissonova čísla Hookeovských materiálů prutovým etalonem

Transkript

1 Summer Workshop of Applied Mechanics June 2002 Department of Mechanics Faculty of Mechanical Engineering Czech Technical University in Prague Určování modulu pružnosti a Poissonova čísla Hookeovských materiálů prutovým etalonem Ing. Karel Vítek, CSc. Ústav mechaniky Fakulta strojní České vysoké učení technické v Praze Technická Praha 6 vitek@fsid.cvut.cz Keywords: experiment Abstract Any classic tensile experiment can introduce significant uncertainty, regarding the boundary condition definition, into the elastic constants definition. Moreover, necessity to measure small strains by strain-gages arises. Thus the identification of material properties by the help of tensile experiments is time demanding and quite high-priced. In contrast, a simply shaped bar body, variously loaded, can be manufactured easily and prepared fast for the experimental use. It can be modeled quickly in the frame of any relevant computational system. The possibility to measure experimentally displacements on such simple bar construction is attractive, together with the fact that the strain sensitivity can be adjusted by means of proper choice of bar s dimensions. The sensitivity of a measuring instrumentation is then adapted. The measuring instrumentation should be purely mechanical and no extra investments into strain-gages are necessary. The bending diagram of dependency of displacement v on the force F, which is depicted in Fig.1, is obtained from the linear regression analysis in the form: v = a *F in the validity range of the Hooke s law. Generally, the slope of regression line a(e,µ) is a function of Young s modulus E, Poisson s ratio µ and of constant dimensions of expected bar specimen. The specimen is shaped as a circle with mean radius R =

2 mm and with a constant rectangular cross-section (height in radial direction h = 3.3 mm and width b = 5.15 mm). In Fig. 2, the curve represents FE-analysis concerning the Poisson s ratio µ and displacement v(e,µ) for the chosen unit force F is adapted by polynomial regression (v = 0, µ 2 +0, µ+0, ). The stable constant term (bold) here is a function of Young s modulus E (and of bar s constant dimensions) and the other negligible terms, which are affecting the final displacement v(e,µ) first in the fourth significant digit, are functions of µ(and constant dimensions). Thus, the displacement v is a week function of µ and dominant function of E. The elastic modulus identification can be done according to Fig. 3, where the inverse proportion of v(e,µ) displacement to elastic modulus E is documented (prepared via power function regression on calculated variants). Since the slope a of the regression line on experimental data corresponds to displacement v for given unit force F, the elasticity modulus E can be determined as an intersection of the regression line from the experiment and of the regression hyperbole set from calculations, i.e. from the equality: v = a F = a 1 = c E 1. This is depicted in Fig. 3 by the intersection of the constant line with the hyperbole. The elasticity modulus is then given in accordance with the previous equation from the ratio: E = c/a. Nevertheless, the hyperbole must be derived from a set of calculations. Another (and more convenient) way is to utilize the hyperbolic dependency of displacement v on elasticity modulus E, which leads to only one numerical calculation of the construction. Using the calculation of the bar s model, which is loaded (in accordance with previous model in Fig. 2) by unit force and material constants E = 1, µ = 0, we get the constant c directly from the numerical analysis (since v = c E 1 = c 1 1 = c). Consequently, the elasticity modulus E = c/a = / = MPa is set - the value c = is calculated in contrast to c = from the intersection method in this particular case. The relative difference amounts to 0.037%, so it has no practical effect on further improvement of accuracy of elasticity modulus. The determination of Poisson s ratio is based on the hypothesis of simple functional dependency of bar s displacement under a dominant combination of torsion and bending on Poisson s ratio µ. The circle is loaded by a force perpendicular to the bar s plane (see Fig. 1) and the displacement u is measured, leading to the regression line u(f) = p*f. The calculations of the displacement u(µ) in Fig. 4 are performed with the use of unit loading force F and constant elasticity modulus E = 90,000 MPa. They are characterized by a regression line, which is a strongly linear function of u in the form: u(µ, E) = g*µ+h (u = 0,152355*µ + 0,180726). The constant h = is a function of elasticity modulus E only, which is already set from the previous analysis of the first displacement v. Thus the h constant can be determined from the calculation of displacement u(µ, E) of the bar s model loaded by unit force F and with material constants in the 246

3 form: E = previous analysis, µ = 0. Thanks to the second suitable combination of constants (E = previous analysis, µ = 1) the constant g of the regression line stems from calculated deformation u as: g = u-h. The Poisson s ratio can be found as an intersection of the linear regression of experimental data and of the linear regression of calculations: u(µ,e) = (g*µ +h)*f = p*f. This leads to: µ = (p-h)/g. At last can be concluded, that only two relatively simple experimental measurements of two displacements on bar specimen and linear regression of these data are sufficient for identification of basic material constants by the here presented method. Then, only three easy calculations of the corresponding bar loaded by the unit force and with properly chosen material constants, which are performed on given computational system, are sufficient. Thus these 2+3 results directly lead to both E, u constants. 1 Úvod Na Obr.7 je pro 8 osových tenzometrů rozložených podle schéma na průřezu vzorku realizována klasická tahová zkouška. Svazek rozdílných směrnic regresních přímek potvrzuje, že tento experiment může vnášet do materiálové identifikace elastických konstant principiální nejistotu v definici okrajových podmínek ( interakce vzorku a čelistí trhačky, poloha vzorku, neboť zkouška pro definované parciální zatížení tahem je vlastně zkouškou na kombinaci ohybu a tahu vzorku s dominantním tahem ) a zároveň je při ní nutno měřit malé relativní deformace tenzometry. Proto identifikovat tahovou zkouškou materiálové vlastnosti je zdlouhavé a poměrně drahé. Pro určování modulu pružnosti E a Poissonova čísla µ Hookeovských materiálů jsme v prutu kruhového tvaru z Obr.1 nalezli alternativu klasického tahového diagramu. Tento obecněji namáhaný prut jednoduchého tvaru je možno pro experimenty snadno a rychle vyrobit i numericky namodelovat.. Zároveň konstrukce splňuje kritérium relativní jednoznačnosti okrajových podmínek deformačních i silových - na rozdíl od trhacího stroje. Za účelem materiálové identifikace je možno měřit posuvy a vhodnou volbou rozměrů prutu také ladit citlivost deformací a přizpůsobit ji citlivosti měřidel, která při měření posuvů prutu mohou být mechanická - opakovatelně použitelná (oproti tenzometrům). Těžištěm tohoto příspěvku jsou důkazy použitelnosti metody a využili jsme při nich jednak fyzikální experimenty, jejichž podstatou bylo měření malých posuvů při definovaném silovém zatížení a dále numerické experimenty realizované metodou konečných prvků (MKP) s prostorovým 3D modelem kroužku. U lineárního materiálu je obecně posuv funkcí obou materiálových konstant (E, µ). První krok poukazuje na vlastnost dominantně ohybové deformace kroužku, která je především funkcí modulu pružnosti a zanedbatelnou, respektive fyzikálním experimentem neregistrovatelnou funkcí Poissonova čísla. Druhý z posuvů je pak jednoduchou lineární funkcí Poisonova čísla. Metoda umožňuje postupnou identifikaci Youngova modulu pružnosti E 247

4 zkoumaného materiálu a následně Poissonova čísla µ. 2 Modul pružnosti Ohybový diagram závislosti posuvu v na síle F litinového kroužku z Obr.1 je v oblasti Hookeova zákona vyrovnán lineární regresí ve tvaru : v = a*f. Směrnice regresní přímky a(e, µ) je obecně funkcí modulu pružnosti E, Poissonova čísla µ a konstantních rozměrů uvažovaného prutu ( ten tvoří kroužek o středním poloměru R=37,85mm s konstantním obdélníkovým průřezem o radiální výšce h=3,3mm a šířce b=5,15mm ). Analýza MKP uvedená v Obr.2 vzhledem k Poissonovu číslu µ tohoto posuvu v(e, µ) pro volenou zatěžovací jednotkovou sílu F je vyrovnána polynomickou regresí. Stabilní konstantní člen zde bude funkcí modulu pružnosti E ( a konstantních rozměrů prutu ) a ostatní zanedbatelné členy, které ovlivňují ve výpočtu nejvýše 4. významovou číslici výsledku posuvu v(e, µ), jsou funkcí µ (a konstantních rozměrů). Uvažovaný posuv v je tedy velmi slabou funkcí µ a dominantní funkcí E. Identifikaci modulu pružnosti můžeme provést podle obr. 3, kde je numerickou analýzou dokumentována (po proložení mocninné regresní křivky vypočtenými variantami) nepřímá úměrnost posuvu v(e, µ) na modulu pružnosti E. Protože směrnice a regresní přímky experimentu odpovídá posuvu v pro jednotkovou sílu F, lze modul pružnosti E určit jako průsečík regresní přímky experimentu a regresní hyperboly výpočtů, tedy z rovnosti : v = a F = a 1 = c E 1, což v grafu na obr.3 představuje průsečík konstanty s hyperbolou a modul pružnosti je podle předešlé rovnice dán podílem: E = c/a. Regresní hyperbolu je však nutno ze sady výpočtů konstruovat. Další - výhodnější cesta využívá zjištěnou hyperbolickou závislost posuvu v na E a vyžaduje pouze jeden numerický výpočet konstrukce. Pomocí výpočtu modelu prutu zatíženého (shodně s předchozím modelem z obr.1) jednotkovou silou s materiálovými konstantami: E = 1, µ = 0, získáme ve výsledku numerické analýzy přímo konstantu c ( dle vztahu: v = c E 1 = c 1 1 = c ) a dále opět modul pružnosti E = c/a (v tomto konkrétním případě je konstanta c=519,667 zjištěná numericky oproti c=519,86 z průsečíku směrnice regresní přímky experimentu s regresní hyperbolou výpočtů. Jejich relativní rozdíl činí 0,037% a nemá tedy praktický vliv na další zpřesnění modulu pružnosti, ten je zde konkrétně: E = c/a = 519,86/0, =96538,53 MPa). 3 Poissonovo číslo Určení Poissonova čísla jsme založili na hypotéze: Jednoduché funkční závislosti deformace prutu při dominantní kombinaci krutu s ohybem na Poissonově čísle µ. Výpočty posuvu u(µ) v obr. 4 jsou provedeny s jednotkovou zatěžovací silou F a konstantním modulem pružnosti E=90000 MPa. Charakterizovány jsou regresní přímkou, která je silně lineární funkcí µ ve tvaru: u(µ, E) = g µ + h. Konstanta 248

5 h=0, pak je zde pouze funkcí modulu pružnosti E, který je v této fázi už analýzou na základě prvního posuvu v vyřešen. Kroužek zatížený silou kolmo na rovinu prutu podle obr. 1 s měřeným posuvem u, odpovídá regresní přímce ve tvaru u(f) = p*f. Proto konstantu h můžeme stanovit výpočtem posuvu u(µ, E) modelu prutu zatíženého jednotkovou silou F s materiálovými konstantami ve tvaru: E=dané, µ = 0. Při volbě druhé vhodné kombinace konstant: E=dané, µ =(z intervalu: 0 < µ < 0, 5, vhodné je například µ = 0, 3...µ je omezeno intervalem z principu teorie a výpočetní systém by ani správně nevypočítal deformaci u pro u volené jinak) vyplývá konstanta regresní přímky g z vypočtené deformace u vztahem: g = (u h)/µ. Poissonovo číslo najdeme jako průsečík lineární regrese experimentu s lineární regresí výpočtů: u(µ, E) = (g µ + h) F = p F a z toho vyplývá: µ = (p h)/g - čímž je materiál identifikován. 4 Závěř U obou typů experimentů a teoretických řešení uvažovaných deformací jsme věnovali pozornost také průběhům deformací v měřeném místě na průřezu prutu. Vlastnosti jsou dokumentovány na obr.5 a obr.6. Náročnější na dodržení regulárních podmínek experimentu je posuv u, při kterém je prut namáhán zejména kombinací krutu s ohybem. Průřez se zde při posouvání také natáčí, proto udržet polohu měřidla například na bodu průřezu ve středové ose symetrie je obtížnější. K materiálové identifikaci touto metodu je potřeba realizovat dvě poměrně nenáročná experimentální měření celkem dvou deformací na modelu prutu a vyrovnat je lineární regresí. Dále už postačují tři jednoduché výpočty odpovídajícího prutu zatíženého jednotkovou silou s vhodně zvolenými materiálovými konstantami samotným výpočetním systémem a tyto (2+3) výsledky přímo stanovují na základě jednoduchého matematického obratu obě konstanty E, µ zkoumaného materiálu. Poděkování Tento výzkum na téma: Optimalizace elastických konstant pro tenzometrické aplikace je podporován grantem GAČR 106/01/0958. Literatura [1] Vítek K.- Optimalizace tvaru tyčí pro tahovou zkoušku, Konference Experimentální analýza napětí - EAN 93, Měřín, 1993, sborník str

6 [2] Vítek K., Holý S.- Identifikace materiálové tahové zkoušky, Konference Experimentální analýza napětí - EAN 99, Frenštát pod Radhoštěm, 1999, sborník str [3] Vítek K., Holý S, Štěrba P. - Zjišťování materiálových konstant využitím metody konečných prvků, National Conference with International Participation ENGI- NEERING MECHANICS 2001, Svratka, Czech Republic, May 14-17, 2001, sborník, str

7 251

8 252

9 253

10 254

11 255